Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla mahdollisesti tarvittavia potenssin laskusääntöjä sekä derivointisääntöjä. Laskusääntöihin on liitetty myös esimerkkitehtäviä, joiden ratkaisut ovat erillisellä sivulla monisteen lopussa. Derivaatta Funktion derivaatta on tällä kurssilla hyvin käytännöllisessä roolissa. Derivaatta mittaa funktion arvon muutosta, kun muutamme yhtä funktion muuttujien arvoista. Luennoilla esitämme yhden muuttujan funktioita usein graafisesti tasossa siten, että funktion arvo on mitattu koordinaatiston pystyakselilla ja muuttujan arvo vaaka-akselilla. Derivaatta on sen suoran kulmakerroin, joka on tangentti derivoitavalle funktiolle pisteessä, jossa laskemme derivaatan. Tästä vielä esimerkki hieman jäljempänä. Jos kyseessä on yhden muuttujan funktio, esimerkiksi f(x), merkitsemme derivaattaa seuraavasti f (x) = df dx. Lisäksi derivaattaa voidaan merkitä myös näin: Df(x) (kuten monisteen lopun tehtävissä on tehty). Käytännössä kysymys on vain vaihtoehtoisista ilmaisuista. Todettakoon kuitenkin, että differentiaalimerkintä dx viittaa nimenomaan muutokseen muuttujan arvossa (ja df muutokseen funktion arvossa). Derivaatta on osamäärän df/dx arvo, kun muutos muuttujan arvossa on mielivaltaisen pieni (lähestyy nollaa). Derivaatan määritelmästä voit lukea lisää esimerkiksi täältä. Jos funktiossa on useita muuttujia, esim. f(x,z), derivointi yhden muuttujan suhteen tarkoittaa osittaisderivaattaa, jolloin käytämme differentiaalimerkinnän ( dx ) sijaan osittaisderivaatan symbolia x. Esimerkkifunktiomme f(x,z) osittaisderivaatat ovat siis f x f ja. Osittaisderivaatta mittaa funktion z arvon muutosta, kun vain kyseinen muuttuja muuttuu, ja muiden muuttujien arvot pysyvät ennallaan. Käytännössä muita muuttujia kohdellaan osittaisderivaattaa laskettaessa kuten vakiotermejä (ks. monisteen lopun derivointisäännöt ja esimerkit). Derivointisääntöjen avulla voimme derivoida erilaisia funktioita. Säännöt ovat periaatteessa todistettavissa derivaatan määritelmän perusteella. Käytännössä näin ei kuitenkaan tehdä, koska toistuva todistelu olisi hyvin työlästä. Tästä syystä riittää, että osaamme joukon tärkeimpiä derivointisääntöjä ulkoa ja ymmärrämme tietysti samalla, kuinka derivaatta tulkitaan. Tällä kurssilla tarvitaan vain kourallista derivointisääntöjä. Esimerkki: tarkastellaan yrityksen kokonaiskustannusfunktiota: C(q) = c 1 + c 2 q 2. Tässä funktiossa yrityksen kokonaiskustannukset C(q) riippuvat siis vain tuotannon määrästä q. Funktiossa on lisäksi kaksi parametria: c 1 ja c 2. Nämä voivat olla periaatteessa mitä tahansa lukuja. Luonnollisinta tässä yhteydessä (puhuttaessa kustannuksista) on kuitenkin ajatella, että ne ovat positiivisia reaalilukuja, ts. c 1>0 ja c 2>0. Funktion kuvaaja ja sen tangenttisuora eräässä pisteessä näyttävät tältä:
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 Sivu 2 / 8 60 50 40 30 20 10 0-10 -20 Kustannusfunktiomme derivaatta on C (q) = dc dq = 2c 2q. Miksi? Tarvitsemme tähän vastataksemme muutamaa derivointisääntöä. Ensinnäkin funktio, joka koostuu eri funktioiden summasta (tässä siis termit c 1 ja c 2q 2 ) voidaan derivoida termi kerrallaan: siis tässä C (q) = dc 1 + d(c 2q 2 ) dq dq. Termi c 1 on vakio: kun q muuttuu, c 1 ei muutu, eli dc 1 = 0. Yleisesti: vakion derivaatta on nolla. Toisessa termissä (c 2q 2 ) sen sijaan esiintyy muuttuja (q), jonka suhteen olemme derivoimassa funktiota. Termi koostuu vakiokertoimen c 2 sekä muuttujan neliön q 2 tulosta. Tarvitsemme termin derivointiin kahta sääntöä: Ensinnäkin vakion ja funktion tuloa koskeva vakiotermin siirtosääntö on yleisesti d kf(x) = k f (x), dx k R Esimerkissämme muuttuja on x:n sijaan q, c 2 vastaa vakiotermiä k, ja q 2 funktiota f(x). Toisin sanoen d(c 2 q 2 ) dq = c 2 d(q2 ) dq. Nyt meidän on siis derivoitava vielä q 2. Potenssifunktion derivaattaa koskeva sääntö on d dx xp = px p 1 Toisin sanoen vähennämme alkuperäisen funktion eksponentista 1 ja kerromme näin saadun funktion alkuperäisellä eksponentilla. Esimerkissämme siis dq2 dq tulokset päädymme lopputulokseen: C (q) = 2c 2 q. = 2 q2 1 = 2q. Yhdistämällä edellä läpikäydyt Tulkinta: huomaa, että C(0) = c 1. Toisin sanoen yrityksen kustannus on c 1, vaikka se ei tuottaisi mitään. Tästä syystä c 1 on yrityksen kiinteä kustannus. Kustannusfunktion jälkimmäinen termi c 2q 2 edustaa taas yrityksen muuttuvia kustannuksia: muuttuvat kustannukset kasvavat, kun yritys tuottaa enemmän (kun q kasvaa). Laskemamme derivaatta C (q) = 2c 2 q on yrityksen rajakustannus. Se edustaa kokonaiskustannusten muutoksen ja tuotannon muutoksen osamäärää C, kun tuotannon muutos on q mielivaltaisen pieni, ts. rajakustannus (marginal cost, MC) on C (q) = dc. Hyödykkeille, joiden tuotantoa on dq luonnollista mitata diskreeteissä yksiköissä, rajakustannus tulkitaan muutoksena kokonaiskustannuksissa,
Sivu 3 / 8 kun tuotanto kasvaa yhdellä yksiköllä. Graafisesti kysymys on kokonaiskustannusfunktion tangenttisuoran kulmakertoimesta. Huomaa, että rajakustannus riippuu tuotannon tasosta. Tässä esimerkissä rajakustannus on kasvava q:ssa, eli mitä enemmän yritys tuottaa, sitä suuremman kustannuksen jokainen lisäyksikkö aiheuttaa. Kuvio 1 oli piirretty oletuksin c 1=2 ja c 2=0.5 eli C(q) = 2 + q2 ja C (q) = q. Olemme usein kiinnostuneita derivaatan arvioimisesta tietyssä pisteessä. Voimme esimerkiksi kysyä, mikä on esimerkkiyrityksemme rajakustannus, kun q=5. Saamme sen helposti sijoittamalla q=5 rajakustannusfunktioon: C (5) = 5. Kuvio 1 oli piirretty samoin parametrioletuksin, joten kuvioon piirretyn suoran, joka on tangentti kustannusfunktiolle pisteessä q=5, kulmakerroin on 5. Derivointisääntöjen käyttö edellyttää usein, että osaamme hahmottaa derivoitavan funktion rakenteen oikein. Esimerkiksi funktio V(x) = (1 + x)(1 + 2x) 2 voidaan ajatella kolmen eri funktion yhdistelmänä: funktio on muotoa f(x)z(g(x)), jossa f(x) = 1 + x, g(x) = (1 + 2x) ja z(g(x)) = (1 + 2x) 2. Funktion derivointiin tarvitsemme ketjusääntöä sekä funktioiden tulon derivaatan sääntöä. Vaihtoehtoisesti tämän nimenomaisen funktion voi derivoida myös kertomalla ensin alkuperäisen yhtälön auki, ja derivoimalla niin syntyvän polynomin termi kerrallaan. Joka tapauksessa V (x) = 12x 2 + 16x + 5. 2 Potenssin laskusäännöt a 0 = 1 Esimerkki: 5 0 = 1 a m a n = a m+n Esimerkki: x x 2 = x 3 Esimerkki: 2 3 2 2 2 1 2 = 2 51 2 a n b n = (ab) n Esimerkki: 2 3 3 3 = (2 3) 3 = 6 3 = 216 Esimerkki: (tk) a (tl) 1 a = t a K a t 1 a L 1 a = t a t 1 a K a L 1 a = t a+1 a K a L 1 a = tk a L 1 a a 1 n n = a Esimerkki: 4 1 2 2 = 4 = 2
Sivu 4 / 8 a n = 1 a n Esimerkki: 5 2 = 1 5 2 = 1 25 Esimerkki: x 1 2 = 1 x 1 2 = 1 x a m = am n an Esimerkki: 32 3 4 = 3 2 = 1 3 2 = 1 9 Esimerkki: Ka K a 1 = Ka (a 1) = K ( a b ) m = am b m Esimerkki: ( 1 2 )3 = 13 2 3 = 1 8 (a m ) n = a mn Esimerkki: (x 2 ) 1 2 = x 1 = x Derivointisääntöjä Vakiofunktion derivaatta Dk = 0, k R Esimerkki: D5 = 0 Potenssifunktion derivaatta Dx p = px p 1, p R Esimerkki: Dx = 1 x 1 1 = x 0 = 1
Sivu 5 / 8 Esimerkki: Dx 1 3 = 1 3 x1 3 1 = 1 3 x 2 3 Vakiofunktiolla kerrotun funktion derivaatta (vakiotermin siirtosääntö) D(kf(x)) = k f (x), k R Esimerkki: D4x 2 = 4 2x = 8x Esimerkki (huom. osittaisderivaatta): Q(K, L) = AK a L 1 a ; Q(K,L) K = AL 1 a ak a 1 Funktioiden summan derivaatta D(f(x) ± g(x)) = Df(x) ± Dg(x) Esimerkki: D(5q q 2 ) = D5q Dq 2 = 5 2q Funktioiden tulon derivaatta D(f(x)g(x)) = f(x)g (x) + f (x)g(x) Esimerkki: D(x 2 x) = x 2 1 + 2x x = x 2 + 2x 2 = 3x 2 (= Dx 3 ) Esimerkki (ks. logaritmifunktion derivointisääntö jäljempänä): D(2xlnx) = 2xDlnx + D2x lnx = 2x 1 x + 2lnx = 2 + 2lnx Esimerkki: Monopolin kokonaistuotto on TR(Q) = P(Q)Q. Rajatuotto on MR = dtr(q) dq P (Q) Q = P(Q) + P (Q)Q = P(Q) 1 + Funktioiden osamäärän derivaatta D f(x) f (x)g(x) f(x)g (x) = g(x) (g(x)) 2, g(x) 0 Esimerkki: D 5x = 5(x2 +1) 5x(2x) = 5(1 x2 ) x 2 +1 (x 2 +1) 2 (x 2 +1) 2 Yhdistetyn funktion derivaatta (ketjusääntö) Dg(f(x)) = g (f(x)) f (x) Esimerkki: D(1 + 2x) 3 = 3(1 + 2x) 2 D(1 + 2x) = 3(1 + 2x) 2 2 = 6(1 + 2x) 2
Sivu 6 / 8 Esimerkki: olkoon g(y) = y 2 ja y = f(x) = 1. Tällöin yhdistetty funktio g(f(x)) = x (1 x )2 = 1 x2. Lasketaan Dg(f(x)) ensin ketjusäännön avulla: Dg(f(x)) = 2 1 D 1 = 2 ( 1 x x x x 2) = 2 x3. Sama vastaus saadaan derivoimalla suoraan yhdistettyä funktiota, ts. D 1 x 2 = 2 1 x 3. Eksponenttifunktion derivaatta De x = e x De f(x) = f (x)e f(x) Esimerkki: De x12 = 1 2 x 1 2e x1 2 Logaritmifunktion derivaatta Dlnx = 1 x, x > 0 Dln(f(x)) = f (x) f(x), f(x) > 0 Esimerkki: Dln(2x + x 2 ) = 2+2x 2x+x 2
Sivu 7 / 8 Harjoituslaskuja Derivoi seuraavat funktiot i. f(x) = 2x 2 ii. f(x) = x 2 x 4 iii. f(x) = (x + 3)(x 2 + x) iv. f(x) = 2x 3 x+1 v. f(x) = e x2 vi. f(x) = lnx 4 vii. f(x) = (x 2 + 2) 3 Osittaisderivoi seuraavat funktiot muuttujan x suhteen viii. f(x, y) = xy 2 ix. f(x, y, z) = xy + xz + x 2 x. π(x, y) = (5 2x + y)x 4x 2
Sivu 8 / 8 Vastaukset harjoituslaskuihin: Huom. osa tehtävistä on mahdollista ratkaista useammalla tavalla. i. f (x) = 4x ii. f (x) = 2x 4x 3 iii. f (x) = (x + 3)(2x + 1) + (x 2 + x) = 3x 2 + 8x + 3 iv. f (x) = 2(x+1) (2x 3) = 5 (x+1) 2 (x+1) 2 v. f (x) = 2xe x2 vi. f (x) = 4x3 = 4 x 4 x vii. f (x) = 3(x 2 + 2) 2 2x = 6x(x 2 + 2) 2 viii. ix. x. f = x y2 f x π x = y + z + 2x = (5 2x + y) 2x 4 = 1 4x + y