ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA

Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ø Ä ÒÒ Ò ÚÐÐ ¾¼½¼ ÐÙ ÒÒÓØ ÖØ Ò Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØØØººº Â Ñ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØØ ÐÙ Å Ø Ñ Ø ÖØØ µ Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ò ÅÓØÛ Ò ÍÐÐÑ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙØÓÑ Ø ÌÓÖÝ Ä Ò Ù ÀÓÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÔÓÐÐ Ò Ò Ò ÓÔ ÒØÓ ÙÖ ÓÔ ¾ ÓÚµ ØØÓÚØ ÑÙ Ø Ø Ó ÙÖ Ä ÒÒ Ò Ø ÓÖ ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ Ð ÒÒ ÔÓÐÐ Ò Ò ÃÙÖ ÐÐ ÙÙÖÒ Ø ÖÚ Ø µ Ñ ØÒ ÖÓ ØØÓÖ ÒØØ ÑÙØØ Ä È ÌÊ Ó Ò ÝÑÑÖØÑ Ò Ò ÐÔÓØØÙÙ ÌÊ ÙÖ Ò Ø Ó ÐÐ º ÙÖ Ò Ò ÓÔ ÒØÓ ÙÖ µ Ø ÓØ ÂÓ ØÙ ØØÓÒ ØØ ÐÝØØ Ò ÖØØ Ñ Ø Ñ Ø ÌØÓÖ ÒØØ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ò Ò ÙÖ Ò Ø ÓØµº ¾ ½ ÇÔÔ Ñ Ø Ö Ð ÄÙ ÒÒÓ ÐÐ Ø ØÝØ ÐÚÓØ Ñº ØÑµ ØÙÐ Ú Ø ÙÖ Ò ÓØ ÚÙÐÐ ÐÔÓØØ ÑÒ ÓÔ ØÙ ÙÖ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò ÒÒ ØØ Ú ÄÙ ÒÒÓØ 2 + ØÙÒØ Ú Ó Ý ØÒ 2 ØÙÒØº 22 À Ö Ó ØÙ Ø ¾ ØÙÒØ Ú Ó Ý ØÒ ÖØ Ñ Ü ¾¼ Ô Ø ØØ» ØØÚ Ø Ð ÒÓÐÓ Ö Ó ØÙ Ú Ø ½ ØØÚ ÚÒØÒ ¾» ØØÚ Ø ØØÚ ØØÝ Ã Ö Ó ÙÖ Ò ÙÖÑ Ø º Ë Ô Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ½¼Ôµº Ì ÒØØ Ñ Ü ¼ Ô Ø ØØ Ø Ú ÚÒØÒ ¼ Ô Ø ØØ Ó ØØ Ú ÐÙ ÒÒÓ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ÐÐÝØ Øº Å Ü ½¼¼» ½¼¼º ÖÚÓ Ò ½ ¼ Ô Ø ØØ ÖÚÓ Ò ¼ Ô Ø ØØº ÅÓÒ ÑÙ Ø Ò Ö Ó ÚÓ ÝØØ ÙÖ Ù Ø Ò Ò ÙÓÖÒ ÙÖ Ñ ØÒ Ö º Ã ÐÚÓ Ó Ó ÐÑ ÓÐ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ø ÓÔ ÐÙÙÒ ØØ Ø ÖÚ Ø ØÙ Ò Ä Û È Ô Ñ ØÖ ÓÙ Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÐÙ ÒØÓÒ Ø ÓÒÒ ÖÒ ÙÖÑ Ø º

Ô ÖÙ ÙÖ Ø ÝÐÒ ÓÒ ØÖÙ ØÚ Ò Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ð ÔÒÓ ÐÙ ÌØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ¾ Ñº ÌÊ ÓÒ ØÖÙÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø ÒÒ ØÙÒ ÓÒÐÑ Òµº Ó ÂÓ ÒØÓ ÝÐ Ø Ù Ð ÒÒ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÒÒ Ò ÚØ ÚÙÙ Ø ÓÖ Ò Ð ÒÒ Ò ¼º Ñ ÐÐÒ ÃÙÖ Ò Ñ ØØÓÒ ØØ ÐÝØØ Ë ÐØ ÖÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ø Ø ØÙØ ½º Ñ ÐÐ Ø ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÚØ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ó ¾º Ñ Ø Ò ØÑ ÙØÓÑ Ø Ó ÒØ ØÙÐ ÙÓÖ ØØº ½º ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Øº ¾º ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ø Ô ÒÓ ÙØÓÑØ Øº º ÂÓ ÒØÓ Ð ÒÒ Ò Ø ÓÖ Òº Ñ ØÓ Ò ÙÖ ÐÐ Ø ØÒ Ú Ø Ù ÙÖÚ ÒÐ Ò Ô ÖÙ Ý ÝÑÝ Ò Ð Å Ø Ð ÒØ ÓÒ Ä È ÔÒÓ ÐÙ Ó ½º Å Ø ÚÓÒ Ð ÙØÓÑØØ Ø ººº Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ØØÚ Ó Ø Ô Ö ØØ Ò ÚÓ ÙØÓÑ Ø Ó º ÌÑ Ø Ö Ó Ø Ø ØØ ÙØÓÑ Ø Ó ÒØ ÚÒ ÚÐ Ó Ø Ø º ººº Ñ ÐÐ Ó ÐÐ º À ØÓÖ ÌÖ ÑÑØ ÙÖ Ò ØØØ ÐÙÓØÒ Ó ½ ¼¹ ¼¹ÐÙÚÙ ÐÐ º ÐÐÒ ØÚ Ò Ò ØÙØÑÙ ÐÙ Ö ÙÙÐÙ ÑÑ Ø ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÓÒÐÑ Ø ÓÒ Ó È ÆÈµ ÓÒ Ô Ö Ò ¼¹ÐÙÚÙÒ Ð ÙÔÙÓÐ ÐØ ÚÓ Ñ Ø Å Ø Ò ÒÑ Ø ÚÓÒ ØØ Ø ÑÐÐ Ø º Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Øº Â Ò Ø Ó Ø ÐÒÒ Ô ÖÙ ØÒ Ø ÓÐÐ º Ö Ø ÐÐ ÐÙÚ ½¼¼¼¼¼¼ºººµ ÙÙ ØÒ Ë ÐØ Ö ÐÐ Ø Ô ÒÓ ÙØÓÑØ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø ÑØØ ØÖØ Ó Ø Ý ÒÖØ ÐÐ Ð ÒØ ÐØØÐÐ º ËÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÒØ Ø ÖÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÒØ ÜØ¹ Ö Ý Ø ÝØØ ÑÝÝ µ ÓÚ ÐÐÙ Ø ÃÝØÒÒ Ò Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÓÚ Ø ØÖ Ø Ñ ÖÓÒÓ Ð ÓÖ ØÑ º Ö Ð ÙØÓÑØØ ÝØ ØÒ ÙØ ØØÙÒ Ö Ø ÐÑÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ º ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ø ÓÚ Ø ØÖ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ð Ò Ó ÐÑÓ ÒØÐØ Ò ÒØ Ø ØÙÐØµ Ö ÒØ Ø Ò Ó ÙÑ ÒØØÒ ØØ ÐÝ ØØ ÐÝ Ö Ø ÚÙÙ ÓÚ Ø Ð ÒØ ÓÒÐÑÒ ÚÙ ÐÙÓØÙ º ÎÙ ÐÙÓØÙ Ø Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ Ø ÑÐÐÒ Ö Ø Ñ ÐÐ Ó Ø Ñº Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó Ð º Ö ØÝ Ø Ö Ø Ñ ØØÓÑ Ø ÓÒÐÑ Ø ÓÚ Ø ÐÐ ØØ ÒØ ÚÓ Ö Ø Ø Ñ ÐÐÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÅÄ ÀÌÅÄ ÝÑ µ Ê Ø Ñ ØØÓÑÒ ÓÒÐÑÒ ÚÓ Ø ÖÑØ Ò Ò ØÓÐÝ ÓÖÑÐ Ú ÖÓ ÒÒ Ó Ó Ú ÖÓ µºµ Æ Ø Ö Ó Ú Ø ØØÐÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÝ ÑÓÒÒ ÑÙ Ò ÓÒÐÑÒ Ö Ø Ñ Òº ÒÝ ÝØØ ØÑÝ Ò ÑÙ ÐÐ Ð ÒØ ÐØØÐÐ º ËÓÚ ÐÐÙ Ù Ø Ò Ò ÙÙÖÒµ Ø ÐÐº

Ð ÑÓØ ÚØ ÓØ ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÓÔÐÐ ÚÓ ÐÔÓ Ø ÙØÓÑØØ Ø Î Ò Ú ÙÖ Ô Ð ÙØ ØØ Ò ÖÓ Ä ØØÔ»»ÛÛÛºÔ ÒºÓÖ»ÓÑÔÐÒØ» ÂÓ ÒØÓ ¼º Ø ÓÖ ØÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒµ ØØ Ð Ø Ñ Ø Ò ÓÒÐÑ ÐÙÓØ ÐÐÒ Ä ÒÒ Ò ÚÙÒ ØÓ ÙÙÒ Ô ÖÙ ØÐÐ ÒÒ Ò Ù Ò Ö Ø ØÒº Ö Ø ÚÙÙÒ ØÒ Ô Ö ÒØ Ø ØÒ Ó ¹ ÐÙ Ò Ä ÒÒ ÒØ ÓÖ Ä ØØ ÚÙÙÒ Ø ÓÖ ØÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ð ØÝµ ØÙØØÒ Ñ Ø ØØÓ ÓÒÐÐ ½º ÚÓÒ Ö Ø Ø Ù Ò Ú ÒÒ ØØÙ ÓÒÐÑ ÓÒº ÇÒÐÑÒ ÚÙ ÝÐ ÔÒ Ñ Ð Ó Ö ÐÐ Ø ÓÐÐ Ò Ô ÖÙ ØÐÐ Ù Ò ÑÓÒ ÑÙØ Ø Ð ÒÒ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø Ù Ø ÖÚ ØÒº Ä Ð ØØ ÚÙÙÒ Ø ÓÖ ÒØ ÝÚ Ú Ø Ø Ñ ÐÐ ÐØ Ñ Òº Ö Ø ÙÒ Ä Ìµ Ä È Ä ÒÒ Ò ÚØ ÚÙÙ Ø ÓÖ ØÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝµ ØÙØØÒ Ù Ò ¾º ÓÒÐÑ ÚÓÒ Ö Ø Ø º Ä ÒÒ Ò ÚØ ÚÙÙ Ø ÓÖ ÑÙ ØÙØØ ØÓ Ø Ò ÐÝÝ ÑÙØØ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ý ØØ Ò Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ Ò ¹ Ø Ð ÓÖ ØÑÒ ÚÒ Ø ÓÒÐÑ Ò Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò ¹ Ø Ð ÚØ ÚÙÙ ÐÙÓ º Ø Ð ÚØ ÚÙÙØØ ÚØ ÚÙÙ Ø ÓÖ ÒØ ÑÝ ÝÚØ ÚØ ÓÒÐÑÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØÓ Ò Ä ÒÒ Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÓÒÐÑÒº Ó ÑÐ Ò ÒØÓ Ò Ò ÙÖ ÙÒÒ ÐÚ Ò ÑÑ Ò ÐÙ ÒÒÓÒ ÃÒÒ Ó Ò ÔÙÓÐ Ø ØÙÒØÙ ÐÐ ÐØ ØØ Ø Ø ÐÚ Ð Ù Ö ÝØÝ Ø ÒÓ Òº ÅÙØØ ÓÒÒ Ø Ø ØÙÐÐÙØ Ø ÔÙØ ØØÙ ÖÙ ÐÐ ÙÖ Ò Ñ ÐÐÒ Ø Ð Ó Ú Ø Ð ÒØÝÑÒ ÒØ ÓÔ ÝÑÑÖØÒ Ô Ð ÓÒ ÚÐ Ø ÒÓÒÝÝÑ ÓÔ Ð ÚØ ¾¼¼ ÙÖ ÐÐ Ø ÐÐÒ ÓÒÒ Ú ÖÖ Ò Ð ÒÒ Ò Ø ÓÖÒ Ò ÑÑ Ø Ó ¹ ÐÙ ØØ Ð ÌÐÐ Ø ÓÖ º Ð ØØ ÚÙÙÒ ÓÚ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ÒÒ Ö Ø ÙÒ ÑÒ Ø Ñ ÐÐ Ø Ó Ø ÔÖ Ò Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ º ÙØ ÙØÒ ØÙØÑÑ Ñ Ø ÙÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÚÓÒ Ö Ø Ø º ÃÙÖ Ò ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ Ø ÐÐÒ ÑÝ ÌÙÖ ÒÒ ÓÒØ Ó Ø Ò ÑÑÒ ÙÖ ÐÐ Ð ÒÒ Ò Ø ÓÖµº ÐÝ Ý Ø Ç Ô Ð ÙØ ØØ ººº ÓÔ ØØ Ú µººº È ÐÑÑ Ò ÐÙÚÙ ¾ºººµ ½¼ Ã ØØ Ð ÑÑ Ø Ö Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ½º Ö ÐÐ ÙØÓÑØØ ¾º Ô ÒÓ ÙØÓÑØØ Ä Ì Ë µ ½¾ ½½

ÑÒ Ò Ò Ñ ÐÐ ÙØÓÑ Ø Ó ÒØ Ø Ö Ó ØØ ØÑÒ ÙÖ Ò ÒÒ ÐØ Ä ÒÒ Ò ØØÑ Ø º ÁÒØÙ ØÚ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÙÚ ØØÓÒ ØØ ÐÝÔÖÓ Ò ÒÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò ØØ ÚÓÒ ØÑÒ ÙÚ Ù Ò Ô ÖÙ ØÐÐ ÙÓÖ ØØ ÑÒ Ø ÐÑ Ò Ø ÑÐÐ Ø ØØ ÐÙµº ÅÒ Ò Ð ÒÒ Ò Ø ÖÑÑ ÑÖ ØØ Ð Ñ Ð ÐÙÓÚ Ñ Ø ÑØØ ÓÖÑ Ð Ó Ñ ÓÒ Ð ØÝÑ Ø Ô Ð ÓÖ ØÑ ØØÒ Ä ØÒ ÐÐÐ ØÝ Ø ÑØ ØÒ Ñ Ø ÚÓÒ Ô Ø ÑÒ Ò Ð ÒØ Ò º ½º ÇØ ØÒ Ð ØÓ ÒÝ Ý Ø ØØÓ ÓÒØ ÓØ ÐÚ Ø ÙÓÖ ØØ Ú Ø ÑÒ Ø ¾º Ô Ð Ø ØÒ ÔÓ ÔÓÐ ÒÒ ÙÙØº Ð Ñ Ø ÑÒ Ò Ò Ð ÒØ ÓÒ Ø Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØÒ Ø Ö Ø ÐÙ ÃÓ ÐÓÓ ÓØ ÑØØ ÚØ Ô Ð ÓÒ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ º Ñ Ø ÑØÓØ ÓÚ Ð Ú Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ð ØÝÑ Ø Ô ½º À Ø ÐÙØÒ ÓÚ ÐØ ØÙÐÓ ÝØÒÒ Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝÝÒ Ð ØÝÑ Ø Ô ¾ ÂÓ ÐÙÔÚ ÑÑ ÐØ º ØÙÒØÙ Ó Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ð ØÝÑ Ø Ú Ø ½ ¾ Ó Ø Ú Ø ÑÒ Ð ÓÖ ØÑ ØØÒ ÇÒÒ ÓÖÑ Ð Ó ÒØÒº Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÐÓ ØØÓ ÓÒØ Ó Ú ÐÐ Ô Ö ØØÐÐ ÐÐ ÖÓ ØÙ ÐÐ ÓÒ Ë Ý Ø Ý º ÝÚÐÐ Ò Ò Ø ÓÖ Ø Ö Ø Ð Ò Ø ÖÓ ØÙ Ð Ø Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÒÐÑ ÐÐ ÓÒ Ä ØØ ÚÙÙÒ ÓÒ ØÙ Ú ÐÑ ØÖØ Ñ ÐÐ ØØÓ ÓÒÐÐ ÚÓÒ Ý Ý Ñ ÑÙÙØØÙÙ Ó ÃÙÒ Ø ØÒ ÓÒ ÔÖÖ ÔÓ º ÊÓ Ø ØØÙÒ Ñ ÐÐÒ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ò ÙØØ Ñ ÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÓÒ ÝÚ Ò Ý ÒÖØÒ Ò ØÖØ µ Ð ÒØ ÐØ ÓÐÐ Ù Ø ÒÒ ÚÓ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÐ Ò ÒØÓ Ó Ø º Ì ÓÖØØ Ò ÑÐ Ò ÒÒÓÒ Ð ÓÒ ÝÝÐÐ Ò Ò Ø Ð ÓÔ Ø ÓÚ Ø Ñ Ò Ö ÐÐ ÙØÓÑØØ ÐÑ ÙÚÓ Ñ ÑÔ ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø ÓÐÐ ÓÒ ØÖ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ñº Ó ÐÑÓ ÒØÐØ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ñ Ò Ñ Ä ØØ ÚÙÙÒ Ø ÓÖ Ø ÙØÓÑØØ Ø ÓÖ ÝÑÑÖØÑÒ ÝÐ ÑÔ Ñ ÐÐ º ÝØÒÒ Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ñ ÐÐ ÒÒÙ ØÒ Ò º ÒØÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ð Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ º ÓÐ Ñ Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ º ½ ½ ONGELMA ÓÒÐÑ Ø Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ä ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÒÐÑ Ñ Ø Ò ØØÚ Ó ÚÓÒ Ñ ÐÐ ÒØ = EI LASKENNALLINEN ONGELMA LASKENNALLINEN ONGELMA Ö Ø Ø Ú ØÐ ÐÐ ØØÓ ÓÒÐÐ º Ä ÒÒ ÐÐ ÓÒÐÑ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ ÖØÓÐ Ù Ö ØÓ ÓÖØ ØÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ò Ô ÐÒÐ ÒØ ÝÐ ÓÔ ØÓÐÐ Ò ÙÖ Ò ÙÖ ØØÓÒ ÝÐÐÔ ØÓ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ ÝÖ ØÝ Ò Ò ººº Ö ØÑ Ò Ò ¹Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÒÐÑ ÇÒ Ó ÓÒ Ù Ø Ø ÒØ ÇÒÐÑ Ò Ö Ø Ú Ó ÐÑ ÓÒ Ò Ý ØÝ Ø Ô RATKEAVA ONGELMA RATKEAMATON ONGELMA TEHOKKAASTI RATKAISTAVISSA EI TEHOKASTA RATKAISUA OSITTAIN RATKEAVA TÄYSIN RATKEAMATON ½ ½

ÓÒÐÑ ÙÚ Ù Ö ÐÐ Ø Ø ØØÚÒ Ø Ô Ù Ø Ò ÓÙ Ó Ø Ö ÐÐ Ø Ä ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ú Ø Ù Ø Ò ÓÙÓÓÒ Ø ØØÚÒ {0,} Ð Ø Ò ÐÒ Ò Ó ØÓ { º º º }º ÒÖ Ó ØÓ ÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ò ÐÙØÒ Ñ Ó ØÓ ÐÐ x ÓÒ x = x = x ÐÐ x y ÓÒ xy = x + y º Ó ØÓÒ Σ Ò Ñ ÖÓÒÓÒ ÓÙÓ ÓÒ Σ º Ñº Σ = {0,} Σ = {,0,,00,0,0,...}º Syötteet Tulosteet π ÇÒÐÑ Ò ØÝ ÓÒÐÑ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ö Ø Ò ÓÙÓ Ø Ô Ù Ý ØØØ µ ÓÒÐÑ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÐØØ Ù ÙÒÒ Ø Ô Ù Ò Ò ÓÒ Ú Ø Ù Ò ØÙÐÓ ØÒ µº ÙÒÒ Ý ØØ Ò Ø Ô Ù Ò Ò Ú Ø Ù Ò ÓÐØ Ú Ö ÐÐ Ø Ø ØØÚ º ¼º½ ÃÓ ÓÒ ÐÙ ÙÒ ÖØÓÐ ÙÓÒÐÑ Ñ Ö Ø Ô Ù Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ ÙÔ Ö Ø (p, Ñ ÖÓÒÓ ÓÓØØÙÒ µ q) ÒÒ ØØÙÙÒ Ø Ô Ù Ò ÐØØÝÚ Ú Ø Ù ÐÙ ÙÔ Ö Ò ØÙÐÓ pq Ñ ÖÓÒÓ ÓÓØØÙÒ µ ÓÒÐÑ Ò Ö Ø Ù Ñ Ø Ò ÝÐÒ Ò ÖØÓÐ Ù Ð ÓÖ ØÑ º (,) (,3)... (2,2) (2,4)... (,2) (2,3) jne. 3 4 8... 2 6 ½ ½ ÐØØÝÚ Ô ÖÙ ØØØ Ñ ÖÒØ Å ÖÓÒÓ Ò Ó ØÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÔØÝ ÓÙÓ Ð Ñ Ö Ð ÝÑ ÓÐØ º Ñº ÀÖ ÇÆ ÔÔ ÀÖ Ã Æ ÔÔ ÀÖ ÊÙÐÐÐ ÀÖ ÊÙÐÐÐ Ð ßÀÖ Î ÒÆ ÔÔ Å ÖÓÒÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓÒÓ ÓÒÒ Ó ØÓÒ Ñ Öº Ñº ¼½¼¼½ ¼¼¼ ÓÚ Ø ÒÖ Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓ Ä È ÓÚ Ø Ð Ø Ò Ð Ò Ñ ÖÓÒÓº Ó ØÓÒ ØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ØØÓ ÓÒÒ ØØ Ð Ñ ØØÓ ÓÒ ÚÑ ÚÓ Ø Ú ÓÓØ ØØÓÒÓ º ÐÙÓÒØ Ú ÐÐ ÓÓÙ Ò ÝØ ØØÚÒ ÑÝ ÑÙ Ø Ñ Ö Ù Ò ¼ ½ ÑÙÙØ ÚÓÒ ØØ ÒÒ Ø ÖÚ ØØ ÐÐÒ ØØ ØØÓÒÓ Ò µº Ñ ÖØ ÅÖ Ø ÐÑ Ö ÐÐ Ò Ò ØÝ ÓÒÒ Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓº ÌÝ Ñ ÖÓÒÓ ÐÐ Ý ØÒ Ñ Ö º ÀÙÓÑ Ö Ù Ò ÚÐ ÐÝ ÒØ µ Å ÖÓÒÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ò ÐØÝÚÒ Ñ ÖÒ ÑÖ x º Ñº x 000 = XYZZY 5º ÌÝÒ Ñ ÖÓÒÓÒ = Ô ØÙÙ ÓÒ 0º = Ã Ø ÒØ Ó ÓÒÓÒ Ô Ö Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò Ñ Ö Ó x = 00 y = ÒÒ xy = 00 yx = 00 Ã Ø ÒØ Ó Ø Ò Ò 3 = ( 2 ) 3 = () 3 º = Å ÖÓÒÓÒ ÒØ Ñ ÖÓÒÓ x x R x Ö Ó Ø ØØÙÒ Ø Ô Ö Òº ÓÒ ¾¼ ½

¼º ÅÙÓ Ó ØÙ ÓÓÒ Ë ÁÁ¹Ó ØÓÒ Ð C Ò Ø Â Ú ¹ Ð Ø Ó ÐÑ Ø Ñ Ö ØÝÐÐ Ý Ø Ø Ó ØÓÐÐ ÓÙØÙÚ Ø Ù Ò ÐÑÙÒº ÃÐ C ÓÒ Ñ Ö ÓØ ØØ ØÑ Ô Ö ØØ ÓÐ ÖÓ ØÙ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÑ Ø Ý ÝÑÝ Ø ÚÓ ÀÙÓÑ Ô ÐÓ ÓÙ Ó ÝÐÐ¹ Ý ÝÑÝ ºººµ Ò Ø Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ò ÓÒÐÑ Ò ÚÙÒ ÚÓ ÖÚ Ó Ú ØÚ Ò ÔØ ÓÒÐÑ Ò Å Ò ÚÙÐÐ Ó Ð A ÙÙÐÙÙ ÒÒ ÐÐ Ò ÐÒ π Ö ØÝ Ø A Ö Ø Ø ÐÔÓ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÚÓÒ Ó ÓÒØ Ø ØØÓÑÒ ÐÒ ÒÒ Ô ÒÓ ÙØÓÑØ ÐÐ Ó ÖÙÖ Ú Ò ÐÒ ÙØÓÑØ ÐÐ ÓÖÑÐ Ø Ð Ø ÈØ ÓÒÐÑ Ø ÝÐ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÒÐÑ ÓÒ ÙÚ Ù π π : Σ Γ Ñ, Σ ÓÚ Ø Ó ØÓ Γ Ð Ò A ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ Ñ ÖÓÒÓ ÓÙÓÓÒ ÐØØÝÚ ÔØ ÓÒÐÑ π A ÔØ ÓÒÐÑ Ø ÓÚ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÒÐÑÒ Ð ÐÙÓ Ó ÙÒÒ ÓÒÐÑ Ò Ú Ø Ù ÓÒ ÝÐÐ Ø ÓÖÑÐ Ø ÓÒÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ π : Σ {0,}º Ø Ô Ù Ò Ñ Ö ÓÒ Ó ÒÒ ØØÙ ÐÙ Ù Ð ÙÐÙ Ù ÚÓÒ ØØ Ó ØÓÒ ÔØ ÓÒÐÑ Σ = {0,,2,.. ÙÚ Ù Ò.,9} π : Σ {0,} {, Ó x ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù π(x) Ó = ÓÐ Ð ÙÐÙ Ùº 0, x Σ A π A 0 Ð Ø Ó Ø ÔØ ÓÒÐÑ π : Σ Ú Ø Ñ ÖÓÒÓ ÓÙÓ {0,} A π = {x Σ π(x) = }, Ó Ø Ñ ÖÓÒÓ ÓÙÓ A Σ Ú Ø ÔØ ÓÒÐÑ Ð ÒÒ ÓÒÐÑ Ò Ø Ô Ù Ø Ò ÓÙÓ Ó Ò Ú Ø Ù ÓÒ ÝÐÐ π A : Σ {0,}, π A (x) = Ó A Ó Aº {, x 0, x / Â Ø Ó ØØ Ð ÑÑ ÚÒ ÔØ ÓÒÐÑº Ó ØÓÒ Σ ÓÖÑÐ µ Ð ÑÐ Ú ÐØÒ Ò Ñ ÖÓÒÓ ÓÙÓ A Σ ÐÝ Ý Ø ÓÐ ÑÑ ÒÒÓ ØÙÒØ Ø ÙÙÐÙÙ Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ñ ÖÓÒÓ ÒÒ ØØÙÙÒ Ë Ð ÙÙÐÙÙ Ó ÒÒ ØØÙ Ò ÒÒ ØØÙÙÒ ÐÒº Ñ ÖÓÒÓ ÓÙÓÓÒº ¾¾ ¾½ ÇÒÐÑ Ò ÚÙÒ ÖÚ Ó ÒØ ÔØ ÓÒÐÑ ÐÐ ¼º¾ ÇÐ ÓÓÒ A Ó ØÓÒ {+,,0,...9} Ð Ó ÓÓ ØÙÙ Ý ÒÖØ Ø Ñ Ö Ñº Â Ú ¹ Ð µº Ë 0 A +7326 A 32 A ÑÙØØ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÚ Ó Ø 2 + 3 Aº ÒÔÙØ x M M 3 Aset Onko y = 0 π(x) = y on M 4 Tulost Ö Ø Ù y ei ÃÐ A ÓÒ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ Ø Ð Øº ¼º ÇÐ ÓÓÒ B Ó ØÓÒ {+,,,(,),0,...,9} Ð Ó ÓÓ ØÙÙ ÐÐÐ Ø Ñ Ö Ñº + B ( + 2 + 3) 4 5 B ÑÙØØ (+2)) B Ó ÓÒ ÐÙ ÙÐ Ù Ø º 3+ Bº ÃÐ ÓÒ Ñ Ö ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Øº B Generoi ÙÖÚ y M 2 Ö Ø Ñ ØØÓÑ Ø Ð Øº Ë Ø ÚÓ ØÙÒÒ Øº ¼º ÃÐ { k k N} ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð { k k k N} ÓÒ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð Ñ Ö { k k c k k ÓÒ ÓÒØ Ø ÐÐ Ò Òº N} ÔØ ÓÒÐÑ ÓÑÔÓÒ ÒØØ M ÂÓ 3 µ Ö Ø Ú ÒÒ ÓÒÐÑ Ö Ø Ú Ö Ø Ñ ØÓÒ ÒÒ ÓÒÐÑ Ö Ø Ñ ØÓÒ ÐÔÔÓ ÒÒ ÓÒÐÑ ÐÔÔÓ Ò º ÒÒ ÌÙÖ ÒÒ ÓÒÐÐ º ÅÙÙ Ø Ô Ù π A ÓÐ Ö Ø Ú ÐÒ Òº ¾ ¾

¼º Ì Ö Ø ÐÐÒ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÒ ÖØÓÐ ÙÓÒÐÑ Å Ø ÓÒ pq Ñ Ñ Ö p, q Z ÝØ ØÒ ÖÓØØ Ñ Ò Ñ Ö ³ ³ ³=³º Ä ÈØ ÓÒÐÑ ÇÒÐÑ w ¼ Ø ½ ÌÙÐÓ Ø Ú ØÚ ÓÖÑÐ Ð A ÓÒ ÓÙÓ Ñ ÖÓÒÓ u v = w Ó ÐÐ ÔØ ÈØ ÓÒÐÑ ÖØÓÐ ÙÓÒÐÑ Ò ÚÙ Ð Ò A ÚÙ ÐÙÓ º ÆÝØ Ö Ø Ù ÔØ ÓÒÐÑ Ò ÚÙÐÐ Ò ÖÓ Ö ØÝ µ Ã ÖØÓÐ ÙÓÒÐÑ Ò Ö Ø ÙØ Ó Ð Ñ ÐÐÓ Ò ÔØ ÓÒÐÑÒ Ò Ú Ø Ù ½ º Ñ ÓÐÐ Ø ÚÓ Ø ØÓ ÒÒºººµ ÌÑÒ u = string(p) v = string(q) w = string(r) Å ÖØÒ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ x Ñ ÖÓÒÓ ØÝ Ø string(x)º ÆÝØ ÃÐØ Ò ÚÙ ÐÙÓØ pq = r pq pq = u v u v = w A = {u v = w pq = r} ÐÖ Ö ÑÖ ØØ Ð ÐØ Ò ÚÙ ÐÙÓØ ÓÑ ÝÒ ØÝÝÔÔ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÖÓ Ø Ô Ù Ö ÐÐ Ø Ð Øµº ØÝÝÔÔ ¾ ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Øº ØÝÝÔÔ ½ ÓÒØ Ø ÐÐ Ø Ð Øº ØÝÝÔÔ ¼ ÖÓ ØØ Ñ ØØÓÑ Ø Ð Ø ÖÙÖ Ú Ø ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ð Øº ¾ ¾ rtkemttomt ongelmt tyyppi 0: rjoittmttomt kielet rekursiivisesti numeroituvt kielet tunnistus: universli Turingin kone (pysähtyy "kyllä" tpuksess) rekursiiviset kielet tunnistus: Turingin kone + ääretön työnuh (pysähtyy in), RAM kone, ohjelmointikielet tyyppi : kontekstilliset kielet tunnistus: Turingin kone + äärellinen työnuh tyyppi 2: kontekstittomt kielet tunnistus: pinoutomtti tyyppi 3: säännölliset kielet tunnistus: äärellinen utomtti rjllinen muisti ¼º ÂÓ ÐÐ Ò Ý ÒÖØ ÐÐ Ó ÐÑÓ ÒØÐ ÐÐ ÙØ Ò È Ðµ ÔØ Ñ Ö Ä Ð Ø ÓÒ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ó Ø ÒÓ Øµ Ó ÐÑÒ ÓÙÓ ÚÓÒ ØÙÓØØ ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ð ÓÔÔµº ËÝÒØØ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÚ Ö ØÝ µ Ó ÐÑÒ ÓÙÓ ÚÓÒ ØÙÓØØ ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÐÐº ÖÙÖ Ú Ø Ð Ø ÚØ ÙÙÐÙ ÙÖ Ò ÐÙ Ò ÑÙØØ Ò ÐÐ ÚÓ Ø Ò ÃÓÒØ Ø ÐÐ Ø Ó ÐÑ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ð ÒØ ººº ÙÚ Ø Ò Ó ÐÑÒ ÓÙÓ ÓØ Ö Ø Ú Ø ÓÒÒ ÓÒÐÑ Ò ÚÓ ÙÚ Ø ÌÓ ÐØ Ð ÓÔ ÐÐ º äärelliset kielet ¾ ¾

Ð ÒÒ ÐÐ ÓÒÐÑ ÚÓ Ö Ø Ø ØØÓ ÓÒÐÐ ÐÐ ÓÒÐÑ ÓÒ Ã ÑÓÒØ ÑÙØØ Ö Ø ÙÓ ÐÑ ÚÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÑÓÒØ º ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò Ä ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÒÐÑÒ Ö Ø ÚÙÙ È ÖÙ Ø ÐÙººº ½º ÌØÓ ÓÒ Ó ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ñ ÖÓÒÓ Lskennlliset ongelmt Kikki inäärijonot Σ={0,} ¾º Å Ò Ø Ò Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓÒ ÓÙÓ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö Ø Ò Päätösongelmt Lilliset konekieliohjelmt º ÇÒÐÑ Ò Ö Ø Ú ØØÓ ÓÒ Ó ÐÑ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖ Rtkevt päätösongelmt Päätösongelmien rtkisuohjelmt º Ä ÒÒ ÐÐ ÓÒÐÑ ÓÒ ÚÒØÒ Ý Ø Ô Ð ÓÒ Ù Ò ÔØ ÓÒÐÑ º Å Ò Ø Ò Ó ØÓÒ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓ ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º Ä ÒÒ ÐÐ ÓÒÐÑ ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÑÓÒØ º ÃÐÐ Ð ÒÒ ÐÐ ÐÐ ÓÒÐÑ ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ú ØØÓ ÓÒ Ó ÐÑ ¼ ¾ Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖ 0 ǫ 2 2 ÎØØÙ Ø Ó f : N Σ ÓÒ ¼º Å Ò Ø Ò Ó ØÓÒ Σ Ñ ÖÓÒÓÒ ÓÙÓ Σ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ä Ù Ö Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Σ = { ÌÓ ØÙ, 2,..., n ÃÒÒ Ø ØÒ Ñ Ö ÐÐ Ó Ö ØÝ Ñº }º < 2 <... < n º n n n + n + 2 2 º º ÂÓÙ ÓÒ Σ Ñ ÖÓÒÓØ ÚÓÒ Ö Ø ÙÖÚ Ø ÒÓÒ Ò Ö ØÝ Òµ Ò Ò ÐÙ Ø ÐÐÒ ¼ Ò Ñ ØØ Ø Ñ ÖÓÒÓØ µ ØØ Ò ½ Ò Ñ ØØ Ø ½º, 2,..., n ØØ Ò ¾ Ò Ñ ØØ Ø Ò º µ 2n n 2n + 2 º º ¾º ÃÙÒÒ Ô ØÙÙ ÖÝ ÑÒ ÐÐ Ñ ÖÓÒÓØ ÐÙ Ø ÐÐÒ Ó Ö ØÝ º ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÙ ÙÙÒ n ÚÓÒ ÐØØ Σ Ò Ñ ÖÓÒÓ Ô ÒÚ ØÓ Ò ÓØ Ò ÂÓ Ò Σ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º ÓÒ º º 3n 2 n n 2 + n n n n 2 + n + n 2 + n + 2 2 º º º º ¾ ½

ÒØÓÖ Ò ÓÒÐÖ ÙÑ ÒØØ ºµ ÌÓ ØÙ Ò Σ Ò ÔØ ÓÒÐÑÒ Ó Ó ÐÑ Π ÐÐ Å ÖØÒ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ˆπ Π Ó Π ÓÒ Ò ÔØ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓµ ÃÓ ˆπ = π ÒÒ k k Nº ÓÐÐ Ò x ÒÒ ÔÝ ØÝÝ P Ò Ð ÒØ Ý ØØÐÐ x Ú Ù Ò ÐÑÙÒ Ý Ø ÓÒÐÑ ÓÒ Ù Ø ÒÒ Ó ØØÒ Ö Ø Ú ºººµ ÌÑ ÑÙÓ Ó Ø ØÒ Ö ØØ ÑÒ ÙÙÖ µ Ø ÙÐÙÓ ÓÒÐÑ Ø π ÃÙÚ Ò 0, π, π 2... x Ñ ÖÓÒÓ Ø 0, x, x 2,..º ÇÒÐÑ. ÔÓ Ø ÑÙ Ø ÓÒÐÑ Ø ˆπ π i Ø ÙÐÙ ÓÒ ˆπ ÚÓ ÒØÝ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ñ ÐÐÒ Ö ÐÐ ÓØ Ò ÔØ ÓÒÐÑ ËÙÓÑ Ð ÒÒ ÐÐ ÓÒÐÑµ ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖº ÝÐ ÑÑ Ò º º º ÈØ ÓÒÐÑ ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖ Ä Ù ¼º Å Ò Ø Ò Ó ØÓÒ Σ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓ ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º Π = {π π ÓÒ ÙÚ Ù Σ {0,}}. Ú i Ú Ö ØØ ÑÒ ÓÒÐ ÐÐ ˆπ ց π 0 π π 2 π 3 ÇÐ Ø ØÒ ØØ Π ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Óº ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÙÑ ÖÓ ÒØ Î Ø Ú Ø Π = {π 0, π, π 2,...}. ÇÐ ÓÓØ Σ Ò Ñ ÖÓÒÓØ ÒÓÒ Ö ØÝ ÐÙ Ø ÐØÙ Ò x 0, x, x 2,... x 0 x 0 ½ 0 0 0 ¼ 0 0 ÙÙ ˆπ ÔØ ÓÒÐÑ ÅÙÓ Ó Ø ØÒ {, ˆπ : Σ Ó πi (x {0,}, ˆπ(x i ) = i ) = 0 0, Ó π i (x i º ) = x 2 ¼ x 3 0 0 0 ½ 0 º º {, Ó πk (x ˆπ(x k ) = k ) = ˆπ(x k ) 0 = Ó 0, π k (x k ) = ˆπ(x k º ) = º º º ÌÐÐÒ Ð ˆπ ÖÓ Ó Ø Ö Ø Ò Ò Ý Ó Øºµ ÌÑ ÓÒ Ö Ø ÖØ º Ë ÓÐ ØÙ ØØ ÓÙÓ Π ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÓÒ ÚÖº Ä ÒÒ Ò Ñ ÐÐÒ Ò Ø ÚÚÙÙ Ø ÃÝØÒÒ ØÑ Ñ ÖØ Ø ØØ Ø Ð ÒØ ÓÒÐÑ Ø ÚÓÒ Â Ú ¹Ó ÐÑ ÐÐ Ö Ø Ø ÚÒ Ú ÚÒ ÔÒ Ó ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÓÙ ÓÒ Ñ Ö ÙÖÚ Ý ÒÖØ Ø Ä È¹Ó ÐÑÓ ÒØÐØ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ÝØ Ì Ö Ø ÐÐÒ ÓÒ ÑÙ Ø M[0...] Ó Ó Ø Ò p Ð Ù ÖÚÓ 0µ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ó ÓÙÓº Ë Ñ ÔØ ÐÐ Ó ÐÑÓ ÒØÐ ÐÐ ÐÐ ÖØØÚÒ ÚÚ Ø Ó ÐÑÓ ÒØÐ Ø Ø ÑÐÐÒ Ñ Ò Ö Ø ÚÒ ÓÒÐÑÒ ÐÙÓÒ Ò º ÙÖÒ ÌÙÖ ÒÒ ÑÖ ØØÚØ Ó ÓÒ Ò Ñ ÒÓÑÒ Ø Ø ÓÐ ØÓ Ø ØØÙµº Ø ÓÚ Ø ÔÙÐÓ ÒØ Ú ÒØØÓÒÒ ÓÐ Ú Ò Ó Ø ÚÚ ÑÔ ÑÙØØ ØØ Ò ÂÓØ ÙØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙºººµ Í ÑÑ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ÓÚ Ø ÓÐÙÙØØ Ø Ö Ø Ñ ØØÓÑº Î Ð Ø ØØ Ú Ø Ö Ø Ñ ØØÓÑ Ø ÓÒÐÑ Ø ØØÚØ ÑÝ ÑÓÒ ÑÐ Ò ÒØÓ» ÓÒÐÑ ÙØ Ò ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ Ò Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ó ÐÑ P Ò ÝØÒÒ ÐÐ M[p] [0... c ] ÝØ Ñ M[p] M[p] + M[p] M[p] p p + p p ÛÐ M[p] 0 {< Ý ÓÒÓ >} ÑÝ À ÐÙØØ M[p] ÙÖÚ Ý Ø Ñ Ö ØÙÐÓ Ø M[p]

ØÙÒÒ ØØÙ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ø Ó ÐÑÓ ÒØÐ ÓÐ Ä È¹ ÐØ ÚÚ ÑÔ ÅÒ Ó ÓÒ Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÒÐÑ ÚÓÒ Ö Ø Ø Ñº Â Ú ¹ Ð ÐÐ Ñ Ö Ö Ø Ø ÑÝ Ä È¹ Ð ÐÐº Ë Ñ ÒØ Ò Ó ÓÒÐÑ ÚÓ Ö Ø Ø ÚÓÒ Ø ÚÓ Ö Ø Ø ÑÝ Ò Â Ú ¹ Ð ÐÐº ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ ØÒºµ Ä È¹ Ð ÐÐ Ó Ø ÒÓ ØÙÒÐÐ Ø Ó Ñ Å Ó ØÐÐ ØØÔ»» ÓÐ Ò ºÓÖ»Û» ÖÒ Ù ØØÔ»» ÓØ Ö ºÚÓÜ ÐÔ ÖØºÒ Ø»Û»ÇÁË ØØÔ»» ÒºÛ ÔºÓÖ»Û»ÄÓ Ð Æ Æ ¹ØÙÐÒØ ÓÒ ÓÐ ÓÐ Ñ ØÓØÐ Ø Ò ÔÝ ØÝÚµ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ Ò Ó Ö Ø ÔÝ ØÝÝ ÒÒ ØØÙ ¹Ó ÐÑ P ÒÒ ØÙÐÐ Ý ØØÐÐ w º ¹Ó ÐÑ Ô Ð ÙØØ ÖÚÓÒ ½ ÌÖÙ µ Ó Ñ ÖÓÒÓÔ Ö Ñ ØÖ Ò p ØØÑ ÙÒ Ø Ó ÔÝ ØÝÝ Ó w ¼ Ð µ ÑÙÙØ Òº Ã Ö Ó Ø ØÒ ØÑÒ Ô ÖÙ ØÐÐ ØÓ Ò Ò ¹ ÙÒ Ø Ó Ĥ Ý ØØÐÐ Ĥ Ö Ô µ ß ÚÓ H(p, p)µ ÛÐ ½µ ÔÝ ØÝÝ Ĥ(ĥ) H(ĥ, ĥ) ¼ = ÔÝ Ýº Ĥ(ĥ) ÙÖ ØØ ÓÐ Ø ØØÙ ØÓØÐ Ø ÔÝ ØÝÑ ÒØ Ø Ù Ó ÐÑ H ÚÓ ÓÐÐ Ê Ø Ö Ø ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ½º ÙØÓÑØØ ÓÒ ÝÚ Ò Ý ÒÖØÒ Ò Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ð ØÖØ Ð ÒØ ÐØ µº Ö ÐÐ Ò Ò ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ Ò Ö Ø Ñ ØØÓÑÙÙ ÇÐ Ø ØÒ ØØ ÚÓ Ø Ò Ö Ó ØØ ØÓØÐ Ò Ò ¹ ÙÒ Ø Ó ÒØ H Ö Ô Ö Û µ Ä È¹ ÐØ ÚÓ ÚÐÒ Ý ÒÖØ Ø Ý ÓÔ Ú Ý ÖØØººº º º º µ Ð ØØ Ñ Ð Ò Ñ Ø Ø Ò Ó ÑÐÙÚ ØÙ Ø Ð ÝÝØØ ÖØØµ ÀÙÓÑ ØØÓÓÒ ÑÓÒ ÑÙØ Ø Ö Ø ÐÑ ÚÓ ÝØØ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ð ÙÐØØÒ Ñº ÖØØÚÒ ÐÐ ÙÚ ØØÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ĥ Ó ÐÑ Ø Ø ĥ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ĥ Å ÖØÒ ØÐÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚ Ù ÐÐ Òº Ë Ò Ö Ø ÖØ Ð ÒØ ÐÖÔ ÐÐÓÒ Ø ÖÑÝ ºººµº ÓÐ Ñ º ÓÖÑ Ð Ñ Ø µ ÌØÓÒ ØØ ÐÝµØØ ÓÒ ÖÚÓ Ø ØØ Ð ÒØ Ò Ø ØÝ Ð Ø ÓÒ ÐÙÓ Ð ÒØ ÓÒÐÑ ÓÒ Ò Ò Ý ÒÖØ ÐÐ ÐØØÐÐ ËÒÒ ÐÐ Ø Ö Ø ÑÒº ÔÝ ØÝÝ Æ ÐÐ ØÒ Ó ÐÐ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ñº Ñ ÖÓÒÓ Ð ÓÖ ØÑ º Ø ÑÐÐ Ñ Ø ÑØØ ÑÙÓ Ó º Â Ø Ó ÐÙ ÑÑ ØØ Ú ØØØ ÑÙÓØÓ Ã Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÓÒ p ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø Å Ø Ø Ò ÓÒ r ØÓØ ÙØØ Ú Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÚÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÙØÓÑØØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ s ÙØÓÑØ Ø ÇÒÒ ØÙÙ ÝÐÐ ØØØÝÝÒ ÖÒ ÔÖØÑÐÐ ÙÚ ÐÙØØ Ñ ÐÐ ÙØ Ò ÙÖ ÐÐ Ú ÖÑÒ Ô Ð ÓÐØ ØÙÐÐÒ Ø ÑÒºººµ ÑÙØØ Ù ÓØØ ÚÙÙÒ ØÐÐ Ì ÚÓ ØØØ ÇÔ ØÒ Ñ Ø ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø Ñ ÓÒ ÒÒ ÚÐ Ò Ò Ù ÓÔ ØÒ ÑÙÓ Ó Ø ÑÒ Ý ÒÖØ Ö ÐÐ ÙØÓÑØØ ÒÒ ÐÐ ÝÑÑÖÖ ØØÚÝÝÒ Ö Ø ØÙÐ Ú Ø Ñ Ð Ó ÔÒ Ú ØÒº Å Ø ÑØØ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ñ ÓÒ ØÝ ÐÙ ÓØ ÓÒ ÝÚ ÓÔ Ø ÐÐ ÝØØÑÒººº Ð Ù Ø ÖÙÐ Ö ÜÔÖ ÓÒ µ ÓÔ ØÒ Ø ÑÒ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑØØÒ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÚÐ ÐÐ ÓÔ ØÒ Ó Ó ØØ ÑÒ Ð Ó Ó ÒÒ ÐÐ Ø Ô ÒÒ ÐÐ ¼

½¼¼ ½¼¼ ¼ ¼ ¼ ½¼¼ ½¼¼ ½º½ ÃÚÙØÓÑØØ Ó ÒÒ Ú ØÓÖ ÝÚ ÝÝ ÚÒ ¼ ÒØ Ò Ñ Ö ÙÖÓÒ ÓÐÓ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ù ÓÒ ¾ ÙÖÓ º Å ÐÐ Ý ØÓÒÓ ÚÙØÓÑØØ Ý Ò ÃÚÙØÓÑØ Ò ØÓ Ñ ÒØ ÚÓÒ ÙÚ Ø Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØØ Ò ÙØÓÑØ Ò Ý ØØØ ÓÚ Ø ¼ ÒØ Ò ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÝÚ ÝÝ ¼ ¼ ¼ ¼ ½¼¼ ½¼¼ Ý ØÓÒÓÒ Ó Ò ÐØÝÚÒ ÖÓÒ ÙÑÑ ÓÒ ÚÒØÒ ¾ ÙÖÓ ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ØØ Ø Ð ÖØÝÑ Ú ÓÒ 50, 00 Ã ÐÚÓÐÐ Ý ØÓÒÓ ÓÚ Ø Ñº ÙÖÚ Ø Ý Ò ÒØµ Ì º ÚÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ý ØÓÒÓØ ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ 00 q 0 q 2 00 q 4 ½ ÙÖÓ Ø 50 50 50 50, 00 ½ ÙÖÓ ¼ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØ Ò Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓ Ø q 00 q 3 ½ ÙÖÓ ¼ ÒØØ ½ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØ Ò Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓ Ø Ø ¼ ÒØØ ½ ÙÖÓ ½ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØ Ò Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓ Ø ÌÊ ¹ ÙÖ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ÐÐ ØÑ ÓÐ ÙÙÒÒ ØØÙ ÔÒÓØ ØØÙ Ú ÖÓº Ò ººº ½ ¾ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØ Ò ØÝ Ì Ð ÖØÝÑ Ú Ó q Ì Ð q ÙØÓÑØ ÐÐ ÓÒ Ø ÐÓ ÔÔ Ð ØØ µ ÓØ ÓÒ Ø ØØÝ ÝÑÔÝÖÒ Ò Ñ ØØÝ q 0,... q 4 q 0 Ð ÙØ Ð ÖØÝÑ ÓØ ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÐÓÒ ÚÐ Ò Ö Ò Ó ØÓ ÓÒ ÝÑ ÓÐÐÐ ÖØÝÑØ ÓÒ Ñ ÖØØÝ Ð ÙØ Ð Ø Ð q 0 µ Ó ÓÒ Ñ ÖØØÝ ØÝ Ø ØÙÐ Ú ÐÐ Ö ÐÐ ÀÝÚ ÝÚ Ø Ð ÝÚ ÝÚ Ø Ð Ø Ð q 4 µ Ó ÓÒ Ö Ò Ø ØØÙº ÀÝÐ Ú ÐÓÔÔÙØ Ð Ì ÐÓÒ Ò Ñ Ø ÓÚ Ø Ú ÔÚ Ð ÒØ ÙØÓÑØ Ò ØÓ Ñ ÒØÒ Ò ÚØ Ú ÙØ º q q δ(q, ) = q Ì Ð ÖØÝÑ

Ö Ö Ð q == 2µ ÔÖ ÒØ ÐÙ Ù Ó µ Ð ÔÖ ÒØ Î Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù µ ½º¾ ØÙÑ ÖÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ò Òº Ñ Ö d = {0,,...,9}µ Ì Ð ÖØÝÑ Ú Ó ÔÙÙØØÙÚ Ø Ó Ø Ú ØÚ Ø Ú ÖØ Ð ÖÖÓÖ º Ì ÙÐÙ ÓÒ ½º½ Ñº ¹ Ð 0¹ Ð Ù Ø ÐÙÚÙØ ØÙÐØÒ Ó ØÐ ÐÙÚÙ ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ÌØÚ ½º¾ Â Ø Ó µ ¹ Ð 0x¹ Ð Ù Ø ÐÙÚÙØ ØÙÐØÒ ÑÐ ÐÙÚÙ ÇØ ÌØÚ ÙÓÑ ÓÓÒº ØÑÒ d Ì Ð ÖØÝÑØ ÙÐÙÓ ÃÚÙØÓÑØ Ò Ø Ð ÖØÝÑØ ÙÐÙÓ ÒØ ½ ÙÖÓ ¼ q 0 q q 2 q q 2 q 3 q 2 q 3 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 q 4 q 4 +, d q 0 q q 2 d q 0 00 q 2 50 50 50 q 00 q 3 00 50, 00 q 4 50, 00 Ì Ð ÖØÝÑØ ÙÐÙÓ d +, q 0 q 2 q q q 2 q 2 q 2 ÐÐ Ø ÐÒ Òµ...9 Ð Ù Ø 0¹ÒØ ÐÙÚÙ º ÅÙÙØ ÙØÓÑØØ ØØ ÒÑ Ø Ô Ù Ø ÖÓØ ÐÐÒº Ø Ò d Ç ÐÑ Ò q = 0 Ö c ÒØ c Ø ØÒµµ Ç µ ÛÐ +, d q 0 q q 2 q µ ß Û Ø ¼ c ³ ³ c ³¹³µ q ½ Ð Ø cµ q = 2 Ð q = Ö Ø cµ q = 2 Ð q = Ö 2 Ø cµµ q = 2 Ð q = d Ñ Ö ½º ¹ Ð Ò ÑÙ Ò ØÙÑ ÖØØ ÑÒ Ð Ù ÙÐÙÚÙÒ ØÙÒÒ Ø Ú ÙØÓÑØØ d. E,e +, 3 2 2 4 3 3 4 5 4 4 5 5 7 6 6 7 7 7. d 2 3 d. d e,e 4 d e,e 5 +, 6 d d 7 d Ð

ÙØÓÑØ Ò ÓÖÑÐ ÑÖ ØØ ÐÝ Ö ÐÐ Ò Ò Ô Ø u q2 ØÓ Ñ ÒØ ÙØÓÑØ Ò ÙØÓÑØØ ÝÒÒ Ø ØÒ Ö ØÝ Ð ÙØ Ð q Ø Ò ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ý Ø ÓÒ 0 q Ö Ó Ø ØØÙÒ Ý Ø Ò ÙÐÐ Ò ÙÔ Ó Ó ØØ Ò Ò ÑÑ Ø Ñ Ö º ØÓ Ñ ÒØ ¹ Ð ÙØÓÑØØ ÐÙ Ò ÙÔÒ Ó ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ý Ø Ñ ÖÒ q0 δ ÙØÓÑØØ M Ö ÐÐ Ò Ò Ö ÐÐ Ø ÐÒ Ò Ó Ù Ý ÓÒ ØÓ Ñ ÒØ Ø Ð ÙØÓÑØ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ Ñ Ö ÔÓ Ò ØØÙ Ý Ø Ò Ù Ó Ù Ý Ò Ø Ð Ò ÐÙ ØÙÒ Ñ ÖÒ Ô ÖÙ ØÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ Ø ÔØØ ÙÙ Ø Ø Ð Ø ÖØ Ò ÙÔØ Ý Ò Ñ ÖÒ ØÒÔ Òº Ó Ù Ý Ò ÙØÓÑØØ ÔÝ ØÝÝ ÙÒ ÚÑÒ Ò Ý Ø Ñ Ö ÓÒ Ø ÐØÝº ÂÓ Ó Ù Ý Ò Ø Ð ÙÙÐÙÙ Ö ØÝ Ò ÝÚ ÝÚÒµ ÐÓÔÔÙØ ÐÓÒ ÓÙÓÓÒ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ØÐÐÒ Ý ØØÒ ÑÙÙØ Ò ÝÐ Òº ÙØÓÑØ Ò ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ Ò ÝÚ ÝÑÒ Ñ ÖÓÒÓÒ ÓÙÓº Ò ÙÔ Ó ÙÐÐ Ò ØÐÐ Ó Ó ØØ Ý Ø Ý Ø Ò ÙÒ Ñ Ö ¼ ÅÖ Ø ÐÑ ½º ÙØÓÑØØ ÓÒ Ú Ó M = (Q,Σ, δ, q Ö ÐÐ Ò Ò 0 F) Ñ, ÓÒ ÙØÓÑØ Ò Ø ÐÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙÓ Q Σ ÓÒ ÙØÓÑØ Ò Ý Ø Ó ØÓ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÙØÓÑØ Ò Ñº d d +, +, d q 0 q q 2 d q 0 q 2 q q q 2 q 2 q 2 δ : Q Σ Q ÓÒ ÙØÓÑØ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó q 0 Q ÓÒ ÙØÓÑØ Ò Ð ÙØ Ð F Q ÓÒ ÙØÓÑØ Ò ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓÒ ÓÙÓº ÓÒ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú ÒØ º ÂÓ Ø ÐÓ ÐÐ q q ÝÑ ÓÐ ÐÐ Σ ÔØ ËÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ(q, ) = q ÒÒ ÒØÙ ØÚ Ø ØÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó ÓÐÐÒ Ø Ð q ÙÖÚ ØÙÐ ÓÖÑÐ ØÝ M = ({q 0, q, q 2, error}, {¼ ½ ººº ¹}, δ, q 0, {q 2 }), δ(q 0,0) = δ(q 0,) = = δ(q 0,9) = q 2, δ(q 0,+) = q, δ(q 0, ) = q, Ñ δ ÓÒ ÙØ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ñº δ(q 2,0) = = δ(q 2,9) = q 2 Ñ Ö ÒÒ ÖÖÝØÒ Ø ÐÒ q º (q,+) = error Ò º ¾ ½

Ñ Ö º (q, w) (q, w ) ÙÖ ÓÒ ÓÐ Ñ ÚÐ Ø Ð ÒÒÓÒÓ (q Ó 0, w 0 (q ), w º º º (q ) n, w n n 0 Ø Ò ØØ ) M ØÙÒÒ Ø Ñ Ð L(M) ÓÒ Ò ÒÒ Ñ ÖÓÒÓÒ ÓÙÓ ÓØ ÙØÓÑØ Ò ÝÚ ÝÝº M ØØ ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÒ Ð Ò Ð Ñ ÖÓÒÓ ÓÙ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ý ØØ Ò ÀÙÓÑ ÓÐ ÑÐ Ø Ý Ý Ý ØØ Ø Ñ ÖÓÒÓ Ø ÓÒ Ó ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ñ ÖÓÒÓÒº Ø Ò Ñ ÖÓÒÓ Ø w Σ ÚÓÒ ØÓ ÑÙÓ Ó Ø Ý ÐÓ Ò Ò Ð {w} Σ Å Ø ÓÒ ÐÚ Ø ÒÒ ÐÐ Ò Òºµ Ó Î ØÓØÓ Ø ÚÓÒ Ñ ÖØ Ø Ò Ô Ð ØÒ ÑÝ ÑÑ Òµ δ (q, w) = q (q, w) (q, ), ÔÙÑÖ Ø ÐÑ ÙØÓÑØ Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ô Ö (q, w) Q Σ δ (q, w) = Ø Ð Ó ÓÒ Ô ØÒ Ø Ð Ø q Ñ ÖÓÒÓÐÐ wº Ð Ö ØÝ Ø δ (q, ) = q δ (q, ) = ) ÙÒ δ(q, Σ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓ ÓÒÓÒ w Ó δ (q 0, w) F ÙØÓÑØ Ò Ð ÙØ Ð ÒÒ Ý ØØÐÐ x ÓÒ Ô Ö (q 0, x)º Ì Ð ÒÒ (q, w ) Ó Ø ÙÓÖÒ Ø Ð ÒØ Ò (q, w ) Ñ ÖØÒ (q, w) (q, w ) Ó w = w Ñ Σ q = δ(q, )º Ì Ð ÒÒ (q, w) Ó Ø Ø Ð ÒØ Ò (q, w ) Ð Ø Ð ÒÒ (q, w ) ÓÒ Ø Ð ÒØÒ (q, w) { δ q, Ó w = (q, w) = δ(δ Ó (q, v), ) w = v, Σ ÌÑ ÓÒ ÐÔÔÓ ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÖÙÖ Ú Ø q ÓÒ ÒÝ Ý Ò Ò Ø Ð w ÓÒ Ý Ø Ñ ÖÓÒÓÒ ØØ Ð ÑØ Ò Ó (q, w) = (q 0, w 0 ) (q, w ) (q n, w n ) = (q, w ). ÙØÓÑØØ M ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓÒÓÒ x Σ Ó ÓÒ ÚÓ Ñ (q 0, x) (q f, ) ÓÐÐ Ò q f F; M ÝÐ x Ò Ø º ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ x Ò Ó Ò Ð ÙØ Ð ÒÒ Ý ØØÐÐ x ÑÙÙØ Ò Ó ÓÒÒ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØ Ð ÒØ Òº Ó Ø Â ÖÙÖ Ú Ò µ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÐØ Ì Ø (q, w) w = w ÇÐ ÓÓÒ... w Ñ n w i Σ w = 0 ØÒ q Ö ØÙÖÒ Ð p ÐØ Ì Ø (q, w... w n ) δ(p, w Ö ØÙÖÒ n ) ½º ÄÐÐ Ò Ñ ÖÓÒÓÒ ½¾½¼ ØØ ÐÝ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÙØÓÑØ ÐÐ Ñ Ö d Î ØÚ ÓÖÑÐ Ð ÙØÓÑØØ M ØÙÒÒ Ø Ð Ò L(M) = {x Σ (q 0, x) M (q f, ) ÓÐÐ Ò q f F }. +, d q 0 q q 2 d Ì Ú ØÚ Ø L(M) = {x Σ δ (q 0, x) F } (q 0,+20) (q,20) (q 2,20) (q 2,0) (q 2,0) (q 2, ) ÆÝØ ØÒ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØ ÐÒ q 2 Ð ½¾½¼ L(M)º ØØ Ð A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ø º Ë ÒÓÑÑ A = ÓÐÐÒ Mº L(M) ÄØØÓÑ ÐÐ Ñ ÖÓÒÓÐÐ ½¾ ½¼ (q 0,2 +0) (q 2,2 +0) (q 2,+0) (error, 0) È ÝØØÒ Ú ÖØ ÐÒ Ð ½¾ ½¼ / L(M)

ÙØÓÑØØÒ ÚÓÒ ÐÔÓ Ø Ð Ø ÑÙÙØ Ò ØÙÐÓ ØÙ Ø ØÓ Ñ ÒØÓ Ù Ò Ö ÐÐ Ò ÝÚ ÝÑ Ò Ò Ø ÝÐ Ñ Ò Òº Ô Ð ÑÓØ ÓØ ÚØ ØÑÒ ÙÖ Ò ÒÒ ÐØ ØÙÓ Ñ ØÒ ÓÚ Ò ÓÐÐÐ Ø ÙÙØØ ÌÐÐ Ò ÅÙ Ý Ø Ý Ò ÚÓ Ú Ø Ù Ø ÒÒ ÓÐÐ ÝÝÐÐ º Òº ½º Ä ØÒ ØÙÑ ÖÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ò ØÓ Ñ ÒØÓ Ó Ñ Ö ÐÙÚÙÒ ÖÚÓÒ ÑÙÙÒØ Ñ ÖÓÒÓÒ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ µ Ú ÐÙÓ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØ Ò ØÑÒ Ø ÔÒ Ò ÓÖÑÐ ÑÔ ÐÒÒÙ ÓÒ Ë ÚÙ ÙÓÑ ÙØÙ Ö ÐÐ Ò Ò ØÖ Ò Ù Ø Ö Ò Ø Ø Ø ØÖ Ò Ù Öµº Ì Ó Ò Ø ÐÒ ÐØØÝÝ Ò Ñ ÐØÒ Ý Ò Ý Ø Ñ ÖÒ ÐÙÑ Ò Ò ÒÒ ÑÝ Ý Ò Ø Ù ÑÑ Òµ ØÙÐÓ Ø Ñ ÖÒ ÔØ Ö ÐÐ ÐÐ ØÙÐÓ Ø Ò ÙÐÐ Ø Ý ØØÒ ÔÐÐ µº Ö Ó ØØ Ñ Ò Ò ÒØÑ Ò ÑÑ Ò Ò Ú ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ò ÐÝÝ º Ç ÐÑÓ ÒØÐØ Ò ÓÒ ÔÓ Ñ ÖÓØ ÐÐ Ó ÐÑ Ò ÐÓÓ Ø Ö ØÝÝÔÔ Ø ÐÓØ ÙØ Ò Ì Ö Ó ØÙ Ò ÚÓÒ ØÓØ ÙØØ Ù Ò ØÓØ ÙØ ØÒµ Ý Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØØ Ò Ø ÌÑ Ø Ñ µº ÙØÓÑØØ Ù Ø Ò Ò ÝÐÒ µ ÓÓØ Ò ÚÒ Ò ÓÓ ØÖ Ò Ù Ø Ö Ò ØÙÓØØ ÙØÓÑØØ Ø Ó ÐÑÓ ÒØÐ Ò ÙÚ Ù Ø ÓÐÐÒ ÓÔ Ú ÐÐ ØÝ ÐÙÐÐ ÚÓÒ Ð Üµ Ó ÑÝ ÚÓ ÙØÓÑØØ Ø ÐØØ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓ Ò ÝØØ Ò Ñº q = 0 sign = vl = 0 Ö c ÒØ c Ø ØÒµµ Ç µ ÛÐ Ð q = Ð Ö ½ Ø cµ ß q = 2 vl = c 0 Ð Ð q = Ö 2 Ø cµµ ß q = 2 vl = 0 vl + (c 0 ) Ð Ð q = Ö Ð q == 2µ ÔÖ ÒØ ÐÙÚÙÒ ÖÚÓ ÓÒ ± sgn vlµ Ð ÔÖ ÒØ Î Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù µ Ø ÜºÐ Ü ÖÖ ±ß ØÓº ÒÐÙ ±Ð ÒÓÝÝÛÖ Ô ±ÓÔØ ÓÒ ±± ß ÔÖ ÒØ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù ± ¼¹ ß ÔÖ ÒØ Ä ÈÒ µ Ð» ÌÙÒÒ Ø ØÒ Ð Ô» Ð Ô ß Ð» Ë ÚÙÙØ ØÒ ÑÙÙ» º ±± Ð Ü ÜºÐ Ü ÖÖ Ð ÜºÝÝº ¹Ó ÓÓ ÖÖ º» ÓÓ ÖÖ ½¾ Ð ÔÜÜÜÜÜ ½¾ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù d +, d q 0 q q 2 d qµ ß Û Ø 0 c³ ³ c == ³ ³µ ß q = c ³ ³µ sign = Ð Ø cµ ß Ð q 2 = vl = c 0 Ö Ä Ð Ò Ò Ò ÐÝÝ ººº Ó ÓÒ ÐÙ ÙÚ ÓØ Ú Ö ØÙØ Ò Ø Ð ÛÐ Ò µ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ñ Ø Ò º ÒØ ÑÒ ÚÓµ ß ÝÝÐ Ü µ Ö ØÙÖÒ ¼ Ð ÑÖ ØØ Ð ÑÒ ÓÓÒº Ä È ¼

½º Ì Ô Ö ÒÒ ÐØÙ Ú Ö Ó ÚÙØÓÑØ Ø ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÚÒ ÌØÚ ÑÙØØ Ð Ò ÓÒ Ð ØØÝ Ò ÔÔ Ó Ô Ð ÙØØ Ý Ø ØÝØ ÓÐÓØ Ø Ö Ò ½º ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ Ð Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò ÌØÚ {w ÐÐ Ø ÑÐÐÒ Ø Ø }º w ½º Ç Ó Ø ØØ Ð {w w[2i + ] =, i N} ÓÒ ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ð Ó ÌØÚ Ô Ö ØØÓÑ Ó ÓÒ Ñ Ö µº w Ò Ñ ÖÓÒÓØ Ó ÓÒ Ò Ò ÓÒÓ ÒÓÐÐ ØØ Ò Ñ Ò Ú ÖÖ Ò Ý µ ÓÐ Ð Ì Ò Ô Ð ØÒºµ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÓÑ Ò ÙÙØØ Ú ÓÑÖ ÑÙ Ø ÝØØÚØ ÙØÓÑØØ ÑÑ Ñº ÌÓ ÐØ ÚÙØÓÑØØ ÑÑ Ý Ø ØÝÒ Ó ÓÒ Ö ÙÑÑ Ò Ó ÓÒ < 200 ÒØØ º ÅÙÙØ Ò ØØÒ ÚÒ ÑÙ Ø Ý Ø ØØÝ ÙÑÑ ÓÒ 200 ÒØØº ØØ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ Ø ººº ½º Ä Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò ÌØÚ {w ÐØ Ø ÑÐÐÒ Ø }º Ó ØÓ ÓÒ w Σ = }ºµ {, L = {0 n m n, m N} ÒØ Ñ ØØ Úµº ÃÐ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÙÒÒ Øº ÌØÚ ½º Ä ÙØÓÑØØ Ð ÐÐ {w w ÑÙÓ Ó ØÙ Ô Ð Ø Ø Ø Ø} ÌØÚ ½º Ä ÙØÓÑØØ Ð ÐÐ {w w ÐÐ ÓÒÓ } ÙØÓÑØØ ÓÒ ÝÚ Ò ÖÓ ØØÙÒÙØ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ º Ñº ÒÒÒ Ý ÒÖØÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ù Ò Ð L 2 = {0 n n n N} ÌØÚ ½º Ç Ó Ø ØØ Ð {() n n > 0} ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÌØÚ ½º½¼ Ä Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò ÃÝ ÝÑÝ L = {0 n m n, m N} { n 0 m n, m N}. ÓÒ Ô ÖÙ Ø Ú ÖÓ Ò Ò ÐØ Ò ÚÐ ÐÐ Ó Ø ØÓ Ø ÐÔÓÒ ØÓ Ø Å ØÙÒÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ Ñ ÓØØÓÑ Ò ½ ¾ 50, 00 Î Ø Ù ÁÒØÙ ØÚ Ø L ÃÐ Ò = {0 n m n, m ØÙÒÒ Ø Ñ Ò Ò ÚØ ÚÒ Ú ÓÑÖÒ ÑÙ Øº ÃÐ N} L = Ó ÓÒ Ò Ò Ô Ð ÒÓÐÐ ØØ Ò Ô Ð Ý º Ë ÐÙ ÙÑÖÐÐ Ñ ÖÓÒÓØ 00 q 0 q 2 00 q 4 ÓÐ ÚÐ ÖØØ ÑÙ Ø Ñ ÓÐ ÐÐ Ò Ò Ñ Ö Ø Ð µº Ð Ò L ÌÓ ÐØ 2 = {0 n n n ØÙÒÒ Ø Ñ Ò ÖØ Ú ÓÑÖ ÑÙ Øº N} L 2 = Ó ÓÒ Ò Ò n ÒÓÐÐ ØØ Ò n Ý Ø º Ì n ÚÓ ÓÐÐ ÑÐ Ú ÐØ Ò Ñ ÖÓÒÓØ ÙÙÖ º 50 q 50 00 50 q 3 50, 00 ÓÖÑ Ð Ó ÑÑ ØÑÒ ÑÝ ÑÑ Ò ÔÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑµº

½º Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò ØÓ ÚÑÒ Ò Ñ Ö ÓÒ Ñ Ö ÒÓÐÐ ÑÙ Ø ÐÐ Ø ØØ º Ì Ø Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ØØÝ Ò ÚÑ ÐÙ ØÙÒ ÙØÓÑØØ Ô ÖÙ ØÐÐ Ð ¼½ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÐÐ Ò Ò ØØ ÓÐ ½ Ø ÐÐ Ò Ò ¼º Ø Ò ÃÐ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Òº Ê Ø Ù ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ Ë ÐÐÒ Ò 0 + 0 = 0 + 0 = 0 + = B + = 2 ÑÙØØ 2 ÓÒ ÒÖ ÐÙ ÙÒ 0 Ð ØÙÐÓ ØØ A 0 ÐØ ØÒ ÑÙ ØÒ ÖÖÝØÒ Ø ÐÒ ½µº ÓÒ Ø Ð Ø Ø ÐÓÒ Ò Ñ Øµ ÙÚÚ Ø ÑÙ Ø Ø Ò ÖÖÝ Øµ Ø Ð Ó ÚÓ ÓÐÐ ¼ Ø ½º Ð Ì ÐÐ Ò Ò Ý ØÒÐ Ù ØÙÓØØ ØÙÐÓ Ò ÐÙÚÙÒ ¾ Ø Ð ¼ Ø ½µ Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÚÒ Ó ½º½½ ÂÓÒÓ Ó ØÓÒ Σ ÝÑ ÓÐ ÑÖ ØØ Ð ÓÐÑ Ö Ú Ý ÒÓÐÐº ÌØÚ ÒÑ ÒÖ ÐÙ Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ñ ÖØ Ú ØØ ÓÒ ÓÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ ÌÙÐØÒ Ó ØÓØ Σ ÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ð Ò Ñ Ø Ò ÚÒº ËÓÚ ÐÐÙ Ö Ø ÐÙÓÒØ Ú ÑÑ Ò Ó ØÓ Ñº Ø Ú Òº Γ = {ÓÑ Ò ÔÖÝÒ ÔÔ Ð Ò } Ì Σ = {[ 0 0 0 ] [ ] [ ] [ ] [ ]} 0 0 0, 0,,,...,. 0 ÌÓ Ò ÒÓ Ò Σ ÐØ ÓÐÑ Ò ÐÓÒ Ô ØÙ Ø ÒÖ ÚØÓÖ Ø Σ = 2 3 = 8º L = {w Σ Ð Ò Ö Ú ÓÒ Ò ÝÐ ÑÑÒ Ö Ú Ò ÙÑÑ } Ñº [ 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 ] L, ÑÙØØ [ 0 ] [ 0 0 ] L Ð 3 + = 4 ÑÙØØ + 0 3ºµ Ç Ó Ø ØØ Ð L ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº A D B 0 ÌØÚ ½º½¾ ÇÐ ÓÓÒ Σ = {[ 0 0 ] [ ] [ ] [ ]}, 0, 0,. Ñ A = {[ 0 0 0 ] [ ] [ ]} {[ 0, 0, B = 0 C ]} Ð ØØ ÚÓÒ ØÙØ ÓÐÑ Ó ÖÖ ÐÐÒ C = {[ 0 0 ]} D = {[ 0 0 ] [ ] [ ]} 0, º, 0 Ó ØÓÒ Σ ÝÑ ÓÐ ÑÖ ØØ Ð Ö Ú Ý ÒÓÐÐº ÌÙÐØÒ ÒÑ ÂÓÒÓ Ó Ò Ø Ò Ñ ÖØ Ú ØØ ÓÒ ÓÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ ÒÖ ÐÙ Ù Ò Ñº [ L = {w Σ Ð Ò Ö Ú ÓÒ ÓÐÑ ÖØ ÝÐ Ò Ö Ú } ] [ 0 ] [ ] [ 0 ] [ 0 0 ] [ 0 ] L [ ] [ 0 ] L Ð 3 3 = 39 3 = 3ºµ Ç Ó Ø ØØ Ð L ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ø Ð ½µ ÒÒ ÖÖÝØÒ Ø ÐÒ ½ ÑÙÙØ Ò Ø ÐÒ ¼ Ý ØÒÐ ÙÒ ØÙÐÓ ÓÐ ¼ Ø ½µº Ð Ó ÓÐÐÒ Ø Ð Ô Ø Ð Ø ØÙÐÓ Ò Ò º

00µ ÓØ Ò ØÙÐÓ ØØ ÓÒ 0 ÑÙ ØÒ 0 Ò ºººµººº ÒÖ ÐÙ ÙÒ ÌÑÒ ÐÐ Òµ ØØÚÒ Ö Ø Ù ØÙÒÒ Ø ÙÙÐÙÙ Ó Ý Ø ÐÒº ÂÓ ÀÙÓÑ Ó Ø Ø ÖØÓÐ Ù ÓÒÒ Ø Ý ØÒÐ Ù ÓÒÒµ ÒÒ Ö Ø Ù ÚÓÒ ÐÙ ÑÙÙØØ ØÖ Ò Ù Ø Ö Ý ØØÒ ÓÐ ÐÐÓ Ò ÚÒ ÝÐ Ò Ö Ú Ò Ò ØØ ÐÔÓ Ø Ð ÒØ Ö Ú ÚÓ Ø Ò Ö Ó ØØ Ø Ú ØÚ Ó ØØ º Ñº Ó Ø Ð ½ ØÙØØØ Ò ØØ ÒÒ Ö Ó Ø ØÒ ØØ 0 Ô ÒÚ ØÓ Òº Ð ÖØÝÑ ÝÐ ÑÔ ØØ Ú Ø ÐÙ ØÒ Ð ÑÔ ØÙÐÓ Ø ØØ ººº Ý Ø ØØ ÂÓ Ó ØÓ ÓÐ Σ = {0,,+,=} ÒÒ Ð ÀÙÓÑ¾ Ý ÖØ Ø ÚÙÓÖÓØØ Ð Ú Ò Ø Ò¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó ÐØØ ÔÖÓ S Ì Ö Ø ÐÐÒ R ÓÑÑÙÒÓ Ú Øº Ú ØÒÓØØ ÔÖÓ ÙØÓÑØ Ø ÐÐ ÒÒ ÓÚ Ø ÝÝÐÐ Ñ ÖÓÒÓÒ ØØ ÐÝ Ñ Ø Ö ÐÐ Ø Ð ººº ÑÝ ÑÑ Ò Ø Ð ÖØÝÑÒ ØÙÒÒ ÙÙØØ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙØ Ð ØÙÒÒ ÔÖÓ Ø Ä ÑÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙ Ø º È ÖÙ Ú Ö Ó Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò ØÓ Ò ÐØÝ Ñ ØÒ Ý Ø ØØº Ó ÐÐ ÔÐÓÑ ÐÐ Ø Ò Å Ö ÓÚ ÑÓÐ µ ÓÚ Ø ÐÑÔÒ Ø Ø ØØÝ Ö ÐÐ Å Ö ÓÚ Ò ÙØÓÑØØ º ÝØ ØÒ Ø ÒÒ ÙØ ØØÙÒ Ö Ø ÐÑÒµ Ô Ó ÒÒ Ì Ð ÖØÝÑ Ö Ø ÐÑ Ú ÖÓ ÒÒ º 0 0 0 0 0 0 0 0 ËÓÚ ÐÐÙ Ø ººº Ê Ø Ù Ë ÑÒ Ø ÔÒ Ù Ò ÐÐ Ò Ò ØØÚº ÖÓÒ ÓÒ ØØ ÒÝØ ÑÙ Ø ØØ ÚÓ ÓÐÐ º 0 3 = 0 3 = 3 ÒÖ ÐÙ ÙÒ µ Ð ØÙÐÓ Ò ØÙÐ ÑÙ ØÒ ÐØ ØÒ º ÂÓ ÑÙ Ø ÓÒ Ð ØÒ 0 3 ØÙÐÓ ØÙÐ ÑÙ Ø Ø µ Ó Ø 3 ØÙÐÓ ÓÒ 4 L = {x + y = z x, y, z ÓÚ Ø ÒÖ ÐÙ Ù z ÓÒ x Ò y Ò ÙÑÑ } ÓÐ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ë Ñ ÔØ ÖØÓÐ ÙÐÐ º ¼ ÇÒÐÑ Ó Ù ØØ Ù ÙÙÙ R ÚÓ ÙÔÐØØ Ú Ø Ò ËÓÚ ÐÐÙ Ú Ø ÒÚÐ ØÝ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ø Ö Ð ÔÖÓØÓ ÓÐÐ ÚÓÒ ÙÚ Ø Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ Ø Ø ÐÓÒÒ º S ÐØØ Ô ØØ d 0, d, d 2,...º È ØØ ÚÓ ÙÙ Ñ ØÐÐ º R Ù ØØ µ ÙÒ Ô Ø Ò ÙÙ Ô ØØ ÐØ ØÒ Ú Ø ÙÒ ÓÒ ØÙ Ù ØØ Ù º ÂÓ Ù ØØ Ù Ø ÙÙÐÙ ÐØ ØÒ Ô ØØ ÙÙ ØÒ Ê Ø Ù ÒÙÑ ÖÓÒ Ú Ø Ø Ù ØØ Ù Øººº ¾ ½

È Ö ÒÒÙ Ø ÖØØ ÝØØ Ø ÒÙÑ ÖÓ ¼ ½µ ÂÓ ØÙ ÙÖÚÒ Òººº Å ÓÒ ÙØÓÑØ Ò 0 2 3 timeout ÄØØ Ú ØÒÓØØ ÚÓÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ø Ð ÖØÝÑ Ö Ø ÐÑ Ò, d, 0 d,, 0 timeout ÐØØ d, 0, d, d, 0 d, d, 0, 0 d, ØÙÒÒ Ø Ñ Ð 4 5 6 7, Ú ØÒÓØØ ÓÒ Å ÙØÓÑØ Ò 0 2 3 0 2 Å ÓÒ ÙØÓÑØ Ò 0 2 0 4 5 6 7 3 4 5 3 4 5 2 3,,,, ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ØÙÒÒ Ø Ñ Ð

Ó ÙØÓÑØØ q Ø q Ø Ð ØÒ ÝÚ ÝÝ Ø ÑÐÐÒ Ñ Ø Ñ ÖÓÒÓØºµ Ð ÌÑ ÓÐ Ñ Ù Ò q = q ÀÙÓÑ ÙØÓÑØØÒ Ñ Ò ÑÓ ÒØ, ÓÐ Ø Ô Ò ÔÖØØ Î ÖØ ÐÓ ÝÐÒ µ 0 2 3 0 2 0 3 4,, 2, 0 Ã ÙØÓÑØØ ÓØ ØÙÒÒ Ø Ú Ø Ø ÑÐÐÒ Ñ Ò Ð Ò ÓÚ Ø ÒÒ,,, Ú Ú Ð ÒØØ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÓÒ Ñ Ò ÑÐ Ò Ò Ó ÓÒ Ø Ð ÑÖÐØÒ ÔÒ Ò Ú Ú Ð ÒØØÒ ÙØÓÑØØÒ ÓÙ Ó ÙØÓÑØØ Ó ÓÒ Ò ÑÑÒ Ø ÐÓ Ù Ò Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ò ÑÐ ÙØÓÑØ Î ØÚ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ( ) ÓÔ ØÒ ÑÝ ÑÑ Òºººµ ÓÒ ÖÙÒÒØØ Å ÓÒ ÙØÓÑØØÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ðµ ÔÙ ØØØ ÅÙ Ø ØÒ M Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÒÒÙ δ Ó q Q x Σ ÒÒ δ (q, x) = q Q (q, x) (q, ) Ñ Ò ÑÓ Å ÙØÓÑØØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ÚØ Ò ØÙÓØ Ñ Ò ÑÐ Ø ÙØÓÑØØº ÇÒ ÐÔÓÑÔ Ò Ñ ÓÒ Ñ Ò ÑÐ Ò ÙØÓÑØ Ò ØÙÒÒ Ø Ñ Ð º Ð Ø Ð q Ó ÓÒ Ø Ð Ø q Ô ØÒ Ý ØØÐÐ xµº Ì ÐÓÒ Ú Ú Ð Ò M Ò Ø Ð Ø q q ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø Ñ ÖØÒ q q Ó ÐÐ x Σ ÓÒ δ (q, x) F Ó ÚÒ Ó δ (q, x) F ÇÒ ØÙÖ Ø ÐÐ ØØ ÝÐ ÑÖ Ø ÐÓº Å Ò ÑÐ Ò ÙØÓÑØ Ò ØØ ÐÝ ÓÒ ØÓÑÔº ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓÒ Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ñ Ø Ð ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ δ (q, x) δ (q, x)º k¹ú Ú Ð Ò q q k¹ú Ú Ð ÒØ Ø q k q Ó ÐÐ x Σ x k ÓÒ ÓÚ Ø Ø Ð Ø δ (q, Ó ÚÒ Ó x) F δ (q, x) F ËÙÓÑ ºººÑÒ k Ò Ô ØÙ Ò Ò Ñ ÖÓÒÓ ÔÝ ØÝ ÖÓØØ ÑÒ Ø ÐÓ ØÓ ØÒº ¼

q 0 q Ó, ØØ q q ÝÚ ÝÚ Ø ÐÓ µ ÓÚ Ø ÓÐ ÙÑÔÒ Ø ¼¹Ú Ú Ð Ò µ Ç Ø M Ò ÐÐÐ ÒØ Ø Ð Ø ØÒ ÐÙÓÒ ¹ ÝÚ ÝÚÒ ¾º ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓ Òº Ø ÐÓ Ò k¹ú Ú Ð Ò (k + )¹Ú Ú Ð Ò µ º ÒÓØ Ø Ð ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ý ØÒ ÓÔ Ú ÐÙÓ ÓÒ Ò µ Ó ÛÐ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑØ Ò Ñ Ò ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ ËÝ Ø Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ M = (Q,Σ, δ, q 0, F)º ÌÙÖ Ò Ø ÐÓÒ ÔÓ ØÓµ ÈÓ Ø M Ø Ø Ð Ø Ó Ø ÚÓ ÚÙØØ Ø Ð Ø q ½º 0 Ý Ø Ñ ÖÓÒÓÐÐ º Ñ ÐÐÒ Ë ÐÚ Ø ÔØ µ q q, Ó q k q ÐÐ k = 0,,2,... ÐÙÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÝØØÝØÝÚØ Ø Ð Ø Ö ÐÙÓÒ M Ö ØÙÖÒ = (ˆQ,Σ,ˆδ, ˆq 0, F) Å Ò ÑÓ ÒÒ Ò ÒÒ ØÙÒ ÙØÓÑØ Ò Ø ÐÓÒ k¹ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ó Ø ØÒ ËÝ ØØÒ (k )¹Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ ÙÒÒ ÚÙØ ØÒ ØÝ Ú Ú Ð Ò + ÐÐ ˆQ M Ò Ø Ð ÐÙÓØ ˆδ ÐÙÓÒ ÚÐ Ò Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ˆq 0 M Ò Ð ÙØ Ð Ò ÐÙÓ F M Ò ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓÒ ÐÙÓØ ¾ ½ ÄÓÔÔÙØÙÐÓ M Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ M Ó ÓÒ Ñ Ò Ñ ÑÖ Ø ÐÓ M ÓÒ Ø ÐÓÒ Ò Ñ Ñ Ø ÚÐÐ Ý ØØÒ Ò ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ ØÒµ ½º ÇÐ ÓÓÒ M = (Q,Σ, δ, q Ñ Ö 0 F), Ø ÐÓÒ ÓÙÓ Q {,2,3,4,5,6} = Ý Ø Ó ØÓ Σ = } {, Ð ÙØ Ð q 0 = ÐÓÔÔÙØ ÐÓÒ ÓÙÓ F = {4,5} ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ ½ ¾ ¾ ¾ 2 4 6 ÓÒ ÐÙÒ Ô Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ó Ð ÒÖÓ ÔØ ÚÑ µ Ó Ø ØÒ Ì ÐÓ Ý Ø Ð ÐÙÓ ÓØ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÔØØÝÝ Ò º ÚÒØÒ ¾ ½ 3 5

ÙØ Ò ÐÙÓ Ú Ø Ý Ø Ð Ù Ø Ò Ø Ð Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ø ÖØÝÑØ ÓØ ÐÙÓÒ ÙÙÐÙÚ ÐÐ Ø ÐÓ ÐÐ ÓÒ ¾ ¼¹Ú Ú Ð Ò Ð Ç Ø M Ò ÐÐÐ ÒØ Ø Ð Ø ØÒ ÐÙÓÒ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓ Ò ÑÙ Ò Ø ÐÓ Ò 2 3 Ð ½ ÌÙÖ Ò Ø ÐÓÒ ÔÓ ØÓ 4 5 6 2 3 4 5 ½ ¾ Á Á Á ÁÁ ¾ Á ¾ ¾ Á Á Á ÁÁ ÁÁ ½ Á ÁÁ 2 3 4 5 ÆÝØ Ó ØÙ Ø ÚÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÙØÓÑØØ Ó I 2 Ñ ÖÒ ÙØÓÑØØ ÒÝØØ ÙÖÚ ÐØ ½ ¾ Á Á Á ÁÁ ¾ Á ¾ k¹ú Ú Ð Ò (k + )¹Ú Ú Ð Ò Ð ÂÓ M ÓÐ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø ÐÓ ÒÒ Ð ÓÖ ØÑ ÔØØÝÝ Ô Ð ÙØØ M Ò ÅÙÙØÓ Ò ÒÓÒÒ ÙØ Ò M Ò ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø Ø Ð Ú ØÚ Ò ÐÙÓÒ Ó ØÙ Ø ÐÐÒ II 5 3 4 ¾ Á Á Á ÁÁ ÁÁ ½ Á ÁÁ, Ì Ð Á ÓÒ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ó Ñ ÖÐÐ ÚÓÒ ÖØÝ Ø ÐÒ Á Ø Ø ÐÒ ÁÁ I II Â Ò ÐÐ Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ð Ø Ö ÐÙÓÒ º º Ù Ø Ò ÐÙÓ Ø ÓÒ ÚÒ ÖØÝÑ Ñ ÒÐ ËÙÓÖ Ø Ð ÙÙ ØÒ Ø Ð Á Ø ÓÒ Ð Ò ÓÐ Ò ÔØ ÖÑ Ò Ø ÐÓ Ð ÓÖ ØÑ ÔØØÝÝº ÂØÒ ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ½ ¾ ÁÁ Á Á ¾ ÁÁ Á ¾ ÁÁÁ ¾ ÁÁ ÁÁ Á ÁÁÁ ÁÁÁ ½ Á ÁÁÁ I II III

½º½ ÅÙÓ Ó Ø ÙÖÚ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÌØÚ Ñ Ò ÑÙØÓÑØØ ½º½ ÅÙÓ Ó Ø ÙÖÚ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÌØÚ Ñ Ò ÑÙØÓÑØØ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÔØÝ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÒº ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ô ÝÑÑ ØÖ Ó ÓÐÐÒ Ý ØØÐÐ ÚÓ ÔØÝ ÝÚ ÝÚÒ ØØ ÀÙÓÑ A B D 2 3 C E 4 5 ¼ Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø ÔØ ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÐØØ Ú ÒÒ Ø Ð Ò Ý Ø Ñ ÖÒ Ô ÖÒ (q, x) ÓÙ ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÙÖÚ Ø ÐÓ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓÒÓÒ Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ø ÐÓÒ Ø ÖÑ Ò Ñ Ú º ÔØ ÖÑ Ò Ñ Ó Ø ÐÓÔÔÙØ ÐÒº ÂÓ Ý ØÒ ØÐÐ Ø ÓÒÓ ÓÐ ÒÒ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÓÒÓ ÝÐ Ý Ø Ñ ÖÓÒÓÒ ÙØÓÑØØ q 0 q q 2 q 3 ÙØÓÑØ ÖØÝÑ δ(q, ) = r Ø Ö Ó ØØ ØØ Ø Ð Ø q Ý ØØÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÐÒ rº Ñ ÒÒÒ ÙØÓÑØ ÖØÝÑ r δ(q, ) Ø Ö Ó ØØ ØØ Ø Ð Ø q Ý ØØÐÐ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ Ñ ÒÒ Ø ÐÒ rº Ö Ñº ÙÚ Ò ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ý ØÓÒÓÒ Ó ÚÓÒ Ø ÐÐ ¹ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÒ ÒÒ Ý Ø ÝÚ ÝØÒº ÙÖÚ Ø (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) (q, ) (q 2, ) (q 3, ) ÚÓÒ ÑÐØ ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÒØ º ÂÓ ¹ ÓÖÑ Ð Ñ ÔØ ÖÑ Ò Ñ ÔÖ Ñ ØÚ Ò Ó ÐÑÓ ÒØÐ Ò ÒÒ Æ¹ ÓÖÑ Ð Ñ ÓÒ Ñ Ð Ø ÐÐÒ ÌÓ ÐØ ÚÓÒ ÑÝ ÔØÝ ÝÐ ÚÒ Ø ÐÒ (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) (q 0, ) ÐÒÒ ØØÙÒ ÓÔ ÖØ ÓÐÐ Ó Ð Ú ØÓ ÓØ º ÌÑ ØØ Ó ÑÝ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÒ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ô Øºµ ¾ ½

Ñ Ö Ò Ý Ø ÚÒÙÓÐ Ø ÙÚÚ Ø ¹ ÖØÝÑ ÚÑ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÒØÝÝ ¹ ÖØÒµ ÝÚ ÝÚ Ø Ð ØÒÒ ÓØ Ò ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Deterministinen lskent Epädeterministinen lskent ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÙØÓÑØØ ÚÓÒ Ø ÐÐ ÙÓÖ ØØ Ú Ò ÓÓØ Ö ÒÒ Ò ÌÖ ØÙÐÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø µ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø Æµ ÙØÓÑØ Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ø Ø ÑÐÐÒ ½º Ð Ø Ñ Ø ¾º ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑØ Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ø Ø ÑÐÐÒ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø º Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑØ Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ø Ø ÑÐÐÒ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø Ð Æ ÓÚ Ø Ý Ø ÚÚÓ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ º ÝØØÑÐÐ ØÝ Ø ÚÓÒ Ù Ø ÒÒ Ù Ò ÐÝØØ ÔØ ÖÑ Ò Ñ Ý ÒÖØ Øº...... hyväksy hyväksy ti hylkää hylkää ÙØÓÑØ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ ¹ ÖØÝÑ ÌÙÐÒØ Ø Ð Ø ½ Ô Ø ÐÒ ¾ ÑÝ µ ÝØØÑØØ Ý ØÒ Ý Ø Ñ Ö º Ñ ÖÓÒÓÒ

Æ ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓÒÓØ Ó ÓÒ Ó ÓÒÓÒ Ò Ò Ò Ð Ò Ø Ë ÙÖÚ ÀÙÓÑ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐÖ ÙÙ ¹ ÖØÝÑÒ ÚÙÐÐ ÙØÓÑØØ ÚÓÒ º ÐÔÓ Ø Ó Ö ØØ Ù Ø ØÓ Ò ÙÙÖ ØÑÒ Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÓÐ ÑÙÓ Ó Ø ÑÙÓ Ó Ø ÙÓÖÒÒºººµ ÐÔÔÓ ½º ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ò Ðº ÒÓÒØ ÖÑ Ò Ø Ò Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ú Ó M = (Q,Σ, δ, q ÙØÓÑ ØÓÒµ 0, Ñ F), Ô Ø ÑÙÙØØÙ ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø Ø ÐÓ Ø Ó ØÐÐ ØÐÐ Ð Ø ÓÐÐ Ð ÒØ ÔÙÙÒ Ø Óµº ÚÓ ¹ Ð ÐÐ ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø ÃÙÐÐ Ò ÙÖØ Ð Ø Ð ØÒ Ñ ÓÐÐ Ø ¹ ÖØÝÑØº ¾º R Ø Ð Ø ÙÓÖ ØØ Ñ ÐÐ 0 Ø Ù ¹ ÓÙ ÓÒ ¹ ÖØÝÑ ÑÔ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÐÓÒ ÓÙÓ Q ÓÒ Ý Ø Ó ØÓ Σ δ : Q Σ ÓÒ ÓÙÓ ÖÚÓ Ò Òµ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó P(Q) q 0 ÓÒ Ð ÙØ Ð Q F ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓÒ ÓÙÓº Q Ñ Ö ½º½¼ q 0 q q 2 q 3 q 0 {q 0, q } {q 0 } q {q 2 } q 2 {q 3 } q 3 {q 3 } {q 3 } Æ Ò ÑÙÐÓ ÒØ È Ð ØÒ ÑÔÒ Ñ ÖÒ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÑÙÐÓ Ð Ò¹ Ã Ö Ó Ø ØÒ ÐÔÝÒØ Ð Ú Ý ÙÙÒØ Ø º Ø ÔÙÙÒ ÆÝØ Ú ÖØ Ð ÒÒ ÓÒ ÐÔÓ Ø ÐÑ Ø Ú ØÝÒ ÙÖØ ÐÓÙ ÓÒ ÚÙÐÐ (q, ÚÓ Ó Ø ÙÓÖÒ Ø Ð ÒØ Ò w) (q, w (q, w) (q, w ) Ó w = w ) q )º Ì Ð ÒÒ δ(q, (q, w ÓÒ ) w) Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÚÐ Ø Ò ÙÖ (q, ÅÙÙØÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ÔØ ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò ÑÑ Ò M Ô Ú Ø ØÒ ØÒ ØÙ Ý Ø Ñ Ö Ú ØÚ Ø ½º Æ Ë ÐÚ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑØ Ø ÓÚ Ø ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÖÓ Ø Ô Ù ÐÐ ÐÐ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú Ø Ð Ø ÓÚ Ø ØÙÒÒ Ø ØØ Ú ÑÝ ÐÑÑ ÐÐ R Q ÓÒ ÓÙÓ Ø ÐÓ ÓÐ ÓÓÒ E(R) ÃÙÒ Ø ÐÓÒ ÓÙÓ Ó Ò Ô ØÒ Ó ØÒ ÒÒ ÅÙØØ ÑÝ ÒØ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÓÚ Ø ÚÚÓ ØÓ ØÙ Ø ØÒ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÙØÓÑØØ Ý Ø Ë Ö ØÝ Ø Ò R E(R)º ÚÓÒ Ø ÖÑ Ò Ó µ ½¼¼

Ë ÑÙÐ Ø Æ ØÙÐ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ð ÒÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º Ð ÓÖ ØÑ Ý Ø Ñ Ö Ø ÐÐÒ Ô ÑÑ Ø Ô Ù µ O( Q )ºµ ØØ Ò Ò ØÙÐ Ø Ô ØÒ ÖÓÓÒ Î Ø Ù ÒØÑÐÐ Ð ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø Ð Å Ø Ò Æ Ø Ó ØÙÒÒ Ø Ñ Ò Ð Òº ÑÙÓ Ó Ø ØÒ Ë ÑÙÐ Ø Æ(Q,Σ, δ, q 0, F) ÑÙÙØØÙÒ ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø ÖÚÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÔÓØ Ò ÓÙÓÓÒ P(Q)º À ÚÒØÓ ÑÙÙØØÙÐÐ ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø ÓÒ ÓÖ ÒØÒ 2 Q ÖÚÓ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØÒ Ó Ø Ñ ÓÐÐ Ø ÖÚÓ Ó Ò Ý Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ð º Ð ÓÖ ØÑ E({q ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø 0 }) ÒÝ Ý Ø Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ø ÐÓÒ ÓÙÓ ÐÙ E(q 0 )µ Ý Ø ØØ ÖØØ Ó ÛÐ ÙÖÚ Ý Ø Ñ Ö ÐÙ Ë ÙÖÌ Ð Ø Ð Î Ð Ø ÑÑ Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÙØÓÑØ Ò Ø ÐÓ Ó Q = P(Q) q ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø Ó ÓÖ Ë ÙÖÌ Ð Ø δ(q, ) Ë ÙÖÌ Ð Ø ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø E(Ë ÙÖÌ Ð Ø) ÆÝ Ý ØÌ Ð Ø F Ö ØÙÖÒ ÝÚ Ý ØÒ Ð Ö ØÙÖÒ ÝÐ Ø ÐÐÒ ¹ ÖØÝÑØ ÍÙ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ δ (q, ) Q º ÂÓ r ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÝ ÝØÐÐ ÙÖÚ ÐÙ ØÒ Ñ Ö Q s ) ÒÒ δ(r, ÓÒ Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ø Ð ÙÖÚ ÐÐ ØÐÐº s Ë Ó δ (R, ) = S Ñ R, S Q Ø ØÓ Ò ÒÓ Ò R, S Q µ ÒÒ ÓÙ Ó S Ô Ø ÓÐÐ Ò Ø Ð Ø ÓØ ÚÓ Ú Ø ÙÖ Ø ÓØÒ ÓÙ ÓÒ R Ø Ð Ñ ÖÐÐ º ÓÒ Ø ÓÙ ÓÒ S ÐÓØº ÌØÚÒ ÐÐ Ñ Ö δ ({0,,2,3}, ) = {0,2} Ñ ÓÙ ÓØ {0,,2,3} {0,2} Ñº ÓÚ Ø Ø ÖÑ Ò Ø µ Ø ÐÓº ½¼½ ½¼¾ ÙØÓÑØ Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑØØ M Ú ØÚ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÙØÓÑØØ M ÅÙÓ Ó Ø ØÒ ÅÙÓ Ó Ø M Ò Ø Ð Ø ½º S P(Q) = {, s, s 2,..., s 2 Q } Ñ Ö ½º½½ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ä Ø ÐÓÒ ÚÐ ÐÐ ÖØÝÑØ ¾º M Ò s i sj s Ñ j = {q δ(q, ) = q, q s i }º q 0 q q 2 q 3 s ËÙÓÑ i ÙÖ ÓÙÓÓÒ Ñ ÖÐÐ ÙÙÐÙÚ Ø Ò Ø Ð Ø q ÓØ Ò ÚÙØØ s ÚÓÒ i Ø ÐÓ Ø q Ñ ÖÐÐ Ò Ø ÐÓÙ ÓÒ s Ñ Ö 2 = {q 0, q 2 ÙÖ ÐÐ ÓÒ Ø ÐÓÙÓ } s 3 = {q 0, q, q 3 ÐÐ s } 3 Ò s ÐØ 2 ÐÓ Ò ÙÖØ ÐÐ Ò º Ð ÙØ Ð {q 0 } Ð ÙÔ Ö Ø Ð ÙØ Ð Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÓÙÓµ ÀÝÚ ÝÚ Ø ÐÓ Ð ÙÔ Ö Ò ÙØÓÑØ Ò Ý ÒÒ ÝÚ ÝÚÒ Ø Ð Ò q º f Ø ÐÓÙ ÓØ s ÐØÚØ i s i ÝÚ ÝÚ Ó s ÓÒ i F Ø ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò F ÙØÓÑØ Ò ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓÒ ÓÙÓµº º Ã Ö ØÙÖØ Ø Ð Ø Ó Ø ÚÓ ÚÙØØ Ð ÙØ Ð Ø ºµ s 2 s 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q º Å Ò ÑÓ ÙØÓÑØØ ºµ Ñ ÖÒ Ð Ò Ð ÑÑ ¹ ÖØÝÑÒ ØØ ÐÝÒº ½¼ ½¼

Ú ÓÐ ÅÙÓ Ó Ø M Ò Ø Ð Ø Ò ÑÑ Ò Ò S P(Q) M Ò Ø ÐÓÒ ÓÙ ÓØ P(Q) Ø º ØÙÖØ Ø Ð Ø Ó Ø ÚÓ ÚÙØØ Ð ÙØ Ð Ø º ºººÖ µ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÓÙÓ S Ú ØØÒ ÓÐÐÓ Ò ÚÐØ ØÒ Ö ÒØ Úº À ÐÔÓÑÔ Ø Ð Ø q 0 Ó ÓÒ ÐÚ Ø ÚÙØ ØØ Ú Ò S Ò Ó ÓÙÓ {q Ä ØÒ 0 }º ÙÓÑ ØÒ ØØ Ø Ð Ø {q ÆÝØ 0, q Ô ØÒ Ñ ÖÐÐ } Ø ÐÓ Ò q 0 q 2 Ë Ø ÖÚ ØÒ º Ø Ð {q ÑÝ 0, q 2 ÐÐ ÐÐ ÐÚÓÐÐ ÓÙÓ } s 2 µ ÙÓÑ ØÒ ØØ Ø Ð Ø {q ÐÐÒ 0, q 2 Ô ØÒ Ñ ÖÐÐ } Ø ÐÓ Ò q 0 q q 3 Ë ÑÝ º {q Ø Ð 0, q, q 3 ÙÙÐÙÙ ØÙÐÓ Ò } P(Q) = {, {q 0 }, {q },..., {q 0, q},..., {q 2, q 3 },..., } q 0 q q 2 q 3 q 0 q q 2 q 3 {q 0 } = s 0 {q 0, q } {q 0 } {q 0 } = s 0 {q 0, q } {q 0 } {q 0, q } = s {q 0, q } {q 0, q 2 } {q 0, q 2 } = s 2 {q 0, q, q 3 } {q 0 } Ì Ø ÚÓÒ ÚÙØØ Ñ ÖÐÐ Ø Ð Ø q 0 q ÙØÓÑØØÒ ØÙÐ ÑÝ Ø Ð {q 0, q } {q 0 } = s 0 {q 0, q } {q 0 } {q 0, q } = s {q 0, q } {q 0, q 2 } ½¼ ½¼ q 0 q q 2 q 3 {q 0 } = s 0 {q 0, q } {q 0 } {q 0, q } = s {q 0, q } {q 0, q 2 } {q 0, q 2 } = s 2 {q 0, q, q 3 } {q 0 } {q 0, q, q 3 } = s 3 {q 0, q, q 3 } {q 0, q 2, q 3 } {q 0, q 2, q 3 } = s 4 {q 0, q, q 3 } {q 0, q 3 } {q 0, q 3 } = s 5 {q 0, q, q 3 } {q 0, q 3 } ÅÙÙØ ÙÖØ Ð ØÒ ÑÒ Ø ÔÒ ÓÐÐÓ Ò Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ {q 0 } = s 0 {q 0, q } {q 0 } {q 0, q } = s {q 0, q } {q 0, q 2 } {q 0, q 2 } = s 2 {q 0, q, q 3 } {q 0 } {q 0, q, q 3 } = s 3 {q 0, q, q 3 } {q 0, q 2, q 3 } {q 0, q 2, q 3 } = s 4 {q 0, q, q 3 } {q 0, q 3 } {q 0, q 3 } = s 5 {q 0, q, q 3 } {q 0, q 3 } ½¼ ½¼

½º½¾ Σ = {M, I, U}º Ò ÖÓÒ Ó Ó ÔÓØ Ò ÓÙÓ P(Q)º Ñ Ö S P(Q) ÚÙØ ØØ Ú Ø Ø Ð Øµ P(Q) \ Sº ÐÐ {2} {3} M,I,U M,I,U M I 0 2 U 3 Á Å Í {0,} {0} {0} {2} {0} {} Å Ò ÑÓ ØÙÒ {0,} {0,} {0,2} {0} {0,2} {0,} {0} {0,3} {0,,3} Ä {0,3} {0,3} {0,3} {,2} {,3} {2,3} {0,,2} {0,} {0,2} {0,3} Ã Ä {0,,3} Ä {0,2,3} Å {0,3} {0,,3} Å {0,,3} Ä {0,3} {0,3} {0,2,3} Æ {3} {2,3} Â {3} {,2,3} Ç {0,,3} Ä {0,2,3} Å {0,3} {0,,2,3} ½½¼ ½¼ I U,I M I, U A M E I F U G U M M M L U M I I, U M ÌØÚ ½º½ Ø ÖÑ Ò Ó ÙÖÚ ÙØÓÑØØ, 2 U,I M I M,I,U Å Ò ÑÓ ØÙÒ A M U E I F U G M ½½¾ ½½½

Ñ Ö ½º½ Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙØÓÑØØ ØØ ÐÝ Ë ÐÐ ØÒ ÒÝØ ÙØÓÑØ ÑÝ ¹ ÖØÝÑØº ÃÙØ Ò ¹ ÖØÝÑÒ Ë ÑÙÐ Ø Æ ÓÙÓ E(R) ÓÓ ØÙÙ Ò Ø Ø ÐÓ Ø Ó Ò Ô Ó ØÒ Ø Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ r Ø ÑÐÐ ÒÓÐÐ Ø Ù ÑÔ ¹ ÖØÝÑ º R ËÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÑÙÙØ ØÒ ÑÙÓØÓÓÒ ÅÖ Ø ÐÑ ½º½ δ (R, ) = r R E(δ(r, )). Ð ÙØ Ð Ø ØÒ E({q 0 })º Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÒÝØ ÙØ Ò ÒÒ ÒÒº Ì ÖÚ Ø ÑÑ ¹ ÙØÓÑØØ ÔÒ Ð Ù ¹ ÙØÓÑØ Ø ÙÐÙÑ ¹ÓÑ Ò ÙÙØºººµµ ÓÒ ¹ ÖØÝÑ ØØ Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÖØÝÑ Ø Ð Ø ÙØÓÑØ 0µº Ñ ÖÐÐ ½½ ½½ ÙØ Ò ÑÑ ÒÒ ÑÙØØ ÝØ ØÒÒ ÑÖ Ø ÐÑ δ (R, ) = r R E(δ(r, ))º ØÒ ÄÓÔÔÙØÙÐÓ Ò E({}) = {, c, d}º Ì Ø Ô ØÒ Ñ ÖÐÐ 0 Ø ÐÓ Ò Ð ÙØ Ð δ ({, c, d},0) = E(δ(,0) δ(c,0) δ(d,0)) Ð δ ({, c, d},0) = E({, } {c} ) = {,, c, d} Ñ ÖÐÐ Ô Ø Ø ÐÓ Ò Î ØÚ Ø δ ({, c, d},) = E(δ(,) δ(c,) δ(d,)) = {d} ½ {, c, d} {,, c, d} {d} {,, c, d} {,, c, d} {c, d} {c, d} {c, d} {d} {d} ¼ ½ {, c, d} {,, c, d} {d} {,, c, d} {,, c, d} {c, d} {c, d} {c, d} {d} {d} ¼ ººº Ò º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ½½ ½½

ÙØÓÑØ ÐÐ ÚÓ ÐÔÓ Ø ÙÚ Ø ÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÔØ ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ñ ÖÓÒÓ y ÒØÝÝ y Ý ØØ x ÒÒ ØØÙÒ ØÐÐÒ Ò ÙØÓÑØØ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ø ÐÓÒ ÐÙ ÙÑÖ Ó Ò Ú ÃÙÒ ÔÝ ÝÝ Ñ Ò µº ÔÒ Ò Ø Ô Ù ÑÐ Ú ÐØÒ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ð µ ÚÓ Ø ÐÓÒ ÑÖ Ú Ð P(Q) = 2 Q µº ÔÓÒ ÒØ Ð Ý ÒÖØ ÐÐ ÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÒ ÌÓ ÐØ ÙÓÖÒ O(m) ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØÐ ÓÖ ØÑ µº ÑÙÓ Ó Ø t p Ë ÁÁ Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓ n = t, m = p m w Ñ w ÓÒ ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ ÙÑÖ ÒØ¹ÑÙÙØØÙ Ñ ¾ Ø µº ØØÒ Ô ÖÙ ØÙÙ Æ Ò ÑÙÐÓ Ñ Ò ØÓ Ñ O(n) ÙÒ m wµº Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ Æ Ò ØÓ ÑÙÐÓ Ñ Ò Ò ÓÒ Ù Ø ÒÒ ÚÓ Ò ÓÒÐÑ º ÓØØÒ Ø ÓÖ Ö Ø ÒØ Ò Ö Ô ÒØ Ñµ ÚÓ ß ¼ ¾ µ ¼ Þ Ó ÒØµ ¹ Ñµ ÓÖ ¼ Ñ µ Ô ² ½ µ ÓÖ ¼ Ò µ ß ÓÖ ½µ Ø ÌØÚ ½º½ Ø ÖÑ Ò Ó ÙÖÚ Ø ÙØÓÑØ Ø 2 ½ 3, Ú º Æ ÑÙÙÒØ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò ÙØÓÑØ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ô ÒÚ ØÓ Ò Ç ÑÑ ØÖ Ú Ð Ø µ Æ ÓÚ Ø Ý Ø ÚÚÓº, ¾ ½½ ½½ ÙÖ Ó Æ Ò ÑÙÐÓ ÒØ ººº ËÓÚ ÐÐÙ Ø ººº Ë ÙÖÚ ¹ Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÖØÓÓ Ó Ø Ñ p ÒØÝÝ t º Ø Ò Ñ ÖÓÒÓ Ý ÐÓ Ò Ò Ð µ p Å p 2... p m p i ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Σ ÙØÓÑØ ÐÐ Ó ÓÒ m + Ø Ð q ÔØ ÖÑ Ò Ø ÐÐ 0... q Ó m q 0 Ð ÙØ Ð q ÓÒ m ÓÒ ÝÚ ÝÚ Ø Ð δ(q i, p i+ ) = q i+ δ(q 0, c) = q 0 δ(q m, c) = q m c Σº ÙÒ Ò ¾ ¼ ÑÑ ½ Ñ ¹ ½µ ÒØ ² ÑÑµ ÑÑµ ÔÖ ÒØ Ä ÝØÝ Ó Ø ±Ò µ Ð Ð ÌÐÐ Ò ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò ÙØÓÑØ Ò Ð ÒØ ÔÓÐ Ù ÚÓ ÑÝ ÑÙÐÓ ØÓ Ø Ó m = Å Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÌÑ ÙÙÐÙ ÙÖ Òºµ O(w) Ñ w ÓÒ ØØÒ Ð Ñ ØØÓ ÓÒ Ò ÒØ Ø Ñ µ Ø¹ÓÖ» Ø¹ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ º ÇÒÐÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ø Ø ÑÝ ÑÖ O(nlog Σ (m)/m)ººº ½¾¼ ½½

ÐÐÒ t p Ë ÁÁ Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓ n = t, m = p º Ë ÙÖÚ ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó ÖØÓÓ Ó Ø Ñ p ÒØÝÝ t º Ð ÓÖ ØÑ Ô ÖÙ ØÙÙ ¹ Ð Ò Ò ÑÔ Ö Ø ÒØ Ò Ö Ô ÒØ Ñµ ÚÓ ß Ñµ ß ÛÐ Ð ¼ ¼ ²² Ô Ô µ ÛÐ Òµ ß ÛÐ ¼ ²² Ø Ô µ ÛÐ Ñµ ß Ó Ø ±Ò µ ÔÖ ÒØ Ä ÝØÝ Ð Ù ÐÐ ÖÙÐ Ö ÜÔÖ ÓÒµ ÚÓ ÙÚ Ø Ñ Ò ÑÙÓØÓ Ñ ÖÓÒÓ ËÒÒ ÐÐ ÐÐ ÝÚ ÝØÒº ØÓÖÒ Ö Ö ² Ö ÔÐ ÓÑ ÒÒÓØ ÐÐ Ú Ø ÑÝ ÒÒ ÐÐ Ø ÅÓÒÒ ÑÓ Ò ÓØ ÙØ Ó ÐÑÓ ÒØÐ Ø ÐØÚØ Ö ÜÔ Ö ØÓº Ð Ù Ø ÔÒ ØØ ÔØ ÖÑ Ò Ñ Ý ÒÖØ Ø ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÑÓÒ Æ ÑÑ Ë ÐÐ ÓÒ ÝØØ ØØÓÒ ØØ ÐÝØØ ÐÑÑ ÒÒ Ñº ÙØÓÑØØÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø º ÝÒ ÖÓÒ Ð ÒÒ Ö ÔÖÓ ÓÖÒ Ê ÒÒ Ö Ø ÐÑØ ÓÐ ÓÒØÖÓÐÐÓ Ø Ú º ØØ Ð ÑÑ ØØ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ÑÖÝØÝÝ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ø ÚÑÑ Ñº ØØ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ÐÙ ÙØÙ Ñ ÐÐÒ ÙÓÖ ØÙ Ö ØÝ ÐÐº Ö Ø ÐÑ ÚØ ÚÙÙ ÅÓÒ ÐÐ ØÖ ÐÐ Ø ÒØ¹ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒÐÑ ÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ Ä ÒÒ Ò ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö Ø Ù ÑÙØØ ÔØ ÖÑ Ò Ñ Ò ØÓ ØØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÓÐÐ µ ØØÓ ÓÒÐÐ ÓÒ ÚÓ Ò ÓÒÐÑ º ÑÙÐÓ Ñ Ò Ò ÐÐ Æ Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Ò ØØ ÙØØ Ø ÐÓÒ ÎÖØº ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÚÙÒº ÂÓØÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ø ØÓ ÚÐØØÚØ ÐÙ ÙÑÖÒ ÓÒÐÑ Ò ÙØ Ò Ò ØÒºµ ØÑÒ ÅÙÓ Ó Ø ØÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ Ø Ò ÐÐ Ø Ñ ÖÓÒÓØ Ó ½º ÒÒ ØØÙ ÑÓº ÒØÝÝ Ë Ð ØÒ Ý Ø Ö Ú ÖÖ ÐÐÒ ÝØØÑÐÐ ØØ ÙØÓÑØØ ØÙÐÓ Ø ØÒ ÝÚ ÝØÝØ ¾º Ö Ú Øº ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÒ ÑÓ Ø ÙØÓÑØØ Ð ÙÙ ÑÓ Ø¹ÓÔ ÖØØÓÖ ÐÐ Ñº Ë ÑÓ Ò ÐÐ ØØÒ ÑÓÒ Ø ÒÓ ÒØ Ø Ò Ò ¼¹ µº º ÙÖ Ó ÃÒÙØÅÓÖÖ ÈÖ ØØººº ÙØÓÑØØÒº Ì ÓÒ Ù Ø ÒÒ ¹ ÖØÝÑ ÑÙØØ Ò Ø ÙÖ Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ø Ò ØÓ Ò ÒÒ Ú ØÓØÓ ÓØ Ò Ö ÙØÙÑ Ø Ø Ô Ùºººµ Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÓÒ O(n m)º Å Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø ÑÐÐ Ø ÓØØÒ ØÓ Ñ ÌÑ ÙÙÐÙ ÙÖ Òºµ + ÔØ ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÚ ÐÐÙ ººº ÒØ ¼ ¹½ Ñ Ð Ð Ð ½¾½ ½¾¾ ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø Ð Ø ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ö Ô ÚÓÒ Ø Ø Ó ØÓ Ø ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø º Ñº ÍÒ Ü Ø Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø Ð ÔºØÜØ Ö Ú Ø Ó ÐÐ ÒØÝÝ Ò ÙØÓÑØØ Ö Ñ ÓÐÐ ÙÙ Ö Ô¹ØÓ Ñ ÒÒÓÒ ØÓØ ÙØØ Ñ ÓÐ ÙÖÚ Ö Ô ÙØÓÑØØ Ð ÔºØÜØ Ø Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø Ð ÔºØÜØ Ö Ú Ø Ó ÐÐ ÒØÝÝ Ò ÙØÓÑØØ Ø Ò Ð Ö Ô ³ ÙØÓÑØØÐµ³ Ð ÔºØÜØ Ø Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø Ð ÔºØÜØ Ö Ú Ø Ó ÐÐ ÒØÝÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ø ÃÝ ÝÑÝ ÃÙ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÑÓ ØÐÐ Ô Ö ØØÐÐ ÚÓÒ Ø ÐÐ ÚÙØÓÑØØ Ö Ô ³ Ö ÐÐ Ò Ò Úµ ÙØÓÑØØ ³ Ð ÔºØÜØ Ø Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø Ó Ó ØØØ ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ [xøù Ø xø ][ ÙÒÒÓÒÒÙÑ ÖÓ ] ÃÙ Ò ÚÓ Ñ Ø ÓÔ ÖØØÓÖ Ø ÚÓÒ ÐÐ Ö Ô ³¹ ¹Þ ØÙØ µ ¼¹ ¼¹ ³ Ø Ó ØÓºØÜØ ½¾ ½¾

½º½ Ó ØÓÒ Σ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø ÖÙÐ Ö ÜÔÖ ÓÒµ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÅÖ Ø ÐÑ ÒÒÐÐ Ò Ù ØÚ Ø ÃÐØ Ò Ý Ø ØÙÐÓ ÙÐÙÑ A B Ó ØÓÒ Σ Ð º ÅÙ Ø ØÒ ØØ Ð Ø ÓÚ Ø Ñ ÖÓÒÓ ÓÙÓº ÇÐ ÓÓØ A Ò B Ò Ý Ø ÓÒ Ð A B = {x Σ x A Ø x B} A Ò B Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ð AB = {xy Σ x A, y B} A Ò ÔÓØ Ò Ø A k 0 ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ö ØÚ Ø k A 0 = {}, A k = AA k = {x... x k x i A i =,..., k} (k ) ½º½ Ì Ö Ø ÐÐÒ Ó ØÓÒ {,... z,0,...,9} Ð A = {, } Ñ Ö B {0,02}º ÆÝØ = A B AB A = {,,0,02} = {0, 02, 0, 02} = {,,,,,,,,,,,,...} ØÝ Ñ ÖÓÒÓ ØÝ Ð ÓÚ Ø Ö Ó Ø º ÃÐ {} ÓÒ Ý ÐÓ Ð µ ÀÙÓÑ ÓÐ ØÝº = {} Ò ÙÐÙÑ Ò ÖÓ Ø Ô Ù Ò º A Ò ÙÐÙÑ ÓÒ Ð A = k=0 A k = {x... x k k 0, x i A i =,..., k} ½¾ ½¾ ËÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ñ Ö ½º½ Ó ØÓÒ {, } ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø ÓÚ Ø Ñ Ö r = (()), r 2 = (), r 3 = ( ), r 4 = (( ())). ½º ÓÚ Ø Σ Ò ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø ¾º ÓÒ Σ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÐÐ Σ Ó r s ÓÚ Ø Σ Ò ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø ÒÒ (r s) (rs) r ÓÚ Ø Σ Ò º Ð Ù Ø ÒÒ ÐÐ º ÑÙ Ø Σ Ò ÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø ÓÐ º Σ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù r ÙÚ Ð Ò L(r) ÃÙÒ L( ) = ½º ¾º L() = {} º L() = {} ÐÐ Σ º L((r s)) = L(r) L(s) ÙÚÑ Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ä Ù Ò L(r ) = ({}{}){} = {}{} = {}; L(r 2 ) = {} = {ǫ,,,,...} = {() i i 0}; L(r 3 ) = {}({}) = {,,,,...} = { i i 0}; L(r 4 ) = ({}{, }) = {, } = {,,,,,...} = {x {, } ÙØ Ò ¹Ö ÒØ x ÙÖ ½ Ø ¾ ¹Ö ÒØ } º L((rs)) = L(r)L(s) º L(r ) = (L(r)) ½¾ ½¾

Ø Ú ÐÐ Ö Ñ ÑÐ ÒÒÙ Ò ÚÖ Ñ ÖÓÒÓ Ò ÓÐ º ÃÝØ ØÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø Ñº Ó d = (0... 9) ÒÒ d + Ø dd µ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ñ ÖÓÒÓ ÓÒ ÚÒØÒ Ñº ÐÙ ÙÑ Ö º Ý ½º¾¼ ¹ Ð Ò ØÙÑ ÖØØ ÑØ Ð Ù ÙÐÙÚÙØ Ó Ø ÓÙ Ð ÐÓÒ ÓÙ Ð µ Ñ Ö ÙÖÚ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð ÓÒ ÒÒ Ñ ÖÓÒÓÒ ÓÙÓ ÓØ ÐØÚØ Ó Ñ ÖÓÒÓÒ ÙÚÑ ÙØÓÑØØº ÅÓÒ Ø Ö ÜÔ Ö ØÓØ ØÝ ÐÙØ ÐØÚØ ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ ÚØ ÓÐ ÀÙÓÑ Ñ Ö ÖÓ ØØ Ñ ØØÓÑ Ø ÚØØØ Ø Ô Ò ÆÈ¹ØÝÐÐ Ò Ò ÓÒÐÑ ºººµ ÒÒ ÐÐ ½º½ Ì Ö Ø ÐÐÒ ÙÖÚ Ó ØÓÒ Σ = {, } Ð º ÒÒ Ù Ø Ò ÌØÚ Ñ ÖÓÒÓ ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÐÒ ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÐÒ Ð Ø ½º½ Ø ÐÝÒ Ñ ÖÓÒÓ Ó ÙÙÐÙÙ ÙÖÚ Ò Ð Ù Ò ÙÚÑÒ ÌØÚ ÐÒ ËÓÔ ÑÙ ÚÓÒ ÚÒØ ÙÖÚ ÐÐ ÒÒÐÐ ËÙÐ ÙÑ Ö ÇÔ ÖØØÓÖÒ ÔÖ ÓÖ ØØØ ØÓÚ ÑÑ Ø ÚØ Ò ØÓÚÒ ËÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÃÐ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó ÚÓÒ ÙÚ Ø ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð Ù ÐÐ º Ø ¹ ØÙÐÓ¹ÓÔ ÖØ Ó Ò Ó ØÚ ÙÙ L(((r s) t)) = L((r (s t))) L(((rs)t)) = L((r(st))) ½º½ ÇÐ ÓÓÒ Ó ØÓ Σ = {,, c,...}º ËÒÒ ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ñ Ö Σ utomttiσ Ñ Ö ½º½ ÇÐ ÓÓÒ Σ = {A, B,...,,,,...,,0,,2,...,9}º Ç Ó Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ r = (()), r 2 = (), r 3 = ( ), r 4 = (( ())). (Ll )(ØÙ Ø )dd (l )(dd ) ddddd Ll, r =, r 2 = (), r 3 =, r 4 = (( )) d ÓÒ ÐÝÒÒ Ð Ù ÐÐ (0... 9) Ñ ÓÒ ÐÝÒÒ Ð Ù ÐÐ ( l... ) Ý ÒÖØ ÑÑ Ò ÐÝÒØØ ÅÙ Ø r + = rr = r rº L ÓÒ ÐÝÒÒ Ð Ù ÐÐ (... )º ½¾ ½ ¼ Ó ÓÒ Ó µº ÑÐ Ó µ Ø µ Ø [+ ÔÓÒ ÒØØ µ ] [ Ù ] Ó ÓÒ Ó ÑÐ Ó ÓÓ ØÙÚ Ø Ø Ø Ó Ó Ó ÓÒ Ó Ø ÑÐ Ó ÚÓ ÔÙÙØØÙ ÑÙØØ ÚØ ÑÓÐ ÑÑ Øµ Ó Ó µ ÑÐ Ô Ø Ø µ Ø µ ÔÓÒ ÒØØ ÚÓ Ú Ø ÔÙÙØØÙ ÑÙØØ ÚØ ½º () ¾º º () º ( ) º ÑÓÐ ÑÑ Øµ Ù Ø Ó Ø Ä Ø Ð ÐÓÒ ÓÙ Ð ÑÙÙØ Ò ÓÙ Ð º Σ Σ Σ Σ ËÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÐÑ Ò Ù µ ÒÙÑÖ = (d +.d.d + )(ǫ ((e E)(+ ǫ)d + )) d + (e E)(+ ǫ)d + ÃÐÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ñº ÙÖÚ Ø Ñ ÖÓÒÓØ ½º ( ) ¾º ( () ) º ( )( ) ½¾º º½¾ ½º¾ ½º¾ ½º¾ ½º¾ ¹ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½

½º¾¼ Ø Ý ÖØ ÑÑ ÑÙÓ Ó ÙÖÚ Ø Ð Ù Ø º º Ò Ý ÌØÚ Ñ Ò Ð Òµº Ò ÖÓ Ú Ø ½º½ ÅÙÓ Ó Ø ÙÖÚ Ð Ú ØÚ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø ÌØÚ {w {, } w Ò ÓÐÑ ÒÒ ÚÑÒ Ò Ñ Ö ÓÒ } ½º ¾º {w {, } w ÐØ Ó Ó Ñ ÖÓÒÓÒ Ø } ËÒÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò Ú ÒØÑ Ò Ò º {w {, } w Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ} º {w {, } w Ò ÐØÑÒ ¹Ñ ÖÒ ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ÓÐÑ ÐÐ ÓÐÐ Ò Ò} Ð ÐÐ ÓÒ ÝÐÒ Ù Ø Ú ØÓØÓ ÙÚ Ù Ñº ËÒÒ ÐÐ ÐÐ Σ = L(( ) ) = L(( ) ) = L( ( ) ( ) ). º {w {, } w ÐØ Ô Ö ÐÐ Ò ÑÖÒ Ñ Ö } ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø r s ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø Ñ Ö º r = sº Å Ö º r s ÙÒ L(r) L(s)º ½º (0 0 ) Ä Ù Ò Ú ÒÒÝ Ý ÒÖØ ÑÑ Ò Ú Ú Ð ÒØ Ò Ð Ù Ò ÑÖ ØÝ º ¾º (0 0 ) º (0 ) (0 ) 0 ½ ½ ËÚ ÒÒÝ ÒØ r r = r (ÑÙØØ rr r, ÙÒ r, ) r (s t) = (r s) t r(st) = (rs)t r s = s r r(s t) = rs rt (r s)t = rt st = r = (ÑÙØØ r = r) r = r (ÑÙØØ r r, ÙÒ r ) = r r = r + = (r ) (r ) = r r r Ì Ú ÐÐ Ø ÓÙÓ¹ÓÔ ÖØ ÓØ Ú º ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÓÔ ÖØ ÓØ ÇÐ ÓÓÒ A = {, } B = {c, d}º ÃÐ Ø A B = {,, c, d} A B = {,, c, d} ÂÓÙ ÓØ ØÙÐÓ B ØÙÐÓ ÖØ Ò Ò ÙÐÙÑ ÔÓØ Ò ÓÙÓ A AB = {(, c),(, d),(, c),(, d)} {c, d, c, d} P(A) = A = {, {}, {}, {, }} P(X) = 2 n ÙÒ X = n {ǫ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...} X = ÙÒ X Ò Ä ÔØ ÔØØ ÐÝ ÒØ ÂÓ r = rs t ÒÒ r = ts ÙÒ / L(s)º ½ ½

ÂÓ ÙØÓÑØ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø ÒÒ Ð Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ¾º ÓÒ Ý ØØÒ Òµº ÙØÓÑØØ ÚÙÐÐ ÚÓÒ Ó Ó ØØ ÐÔÓ Ø ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙØ ÙØÓÑØØÒ ½º¾½ ÇÐ ÓÓÒ L Ä Ù L 2 Ð º ÌÐÐÒ ÑÝ ÒÒ Ð L ½º L 2 Ý Ø µ ÐØ Ò L ¾º L 2 Ð Ù µ ÐØ Ò L º L 2 Ø ÒØ Óµ ÐØ Ò L º = Σ \ L ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ µ Ð Ò L º \ L 2 ÖÓØÙ µ ÐØ Ò (L º ) ÙÐÙÑ µ Ð Ò ÒÒ ÐÐ ÒÓÑÑ ØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÓÒ ÙÐØØÙ Ò Ò ÓÔ ÖØ Ó Ò ÓÚ Ø Ù ØÒº Î ØÚÒ ÙØÓÑØØÒ»Ø ÅÓÖÒ Ò ÐÒ ÚÙÐÐ ººº ÌÓ ØÙ ÑÔÐØ ÓÒ ÙÙÒØ ÀÙÓÑ ÓÐÐ L ÎÓ L 2 ÑÙØØ L ÒÒ ÐÐ Ò Ò L 2 Ô ÒÒ ÐÐ º L( ) = L Ñº L Ñ 2 L = { i j i j} L 2 = { i j j i}º ËÒÒ ÐÐ Ò Ð Ò ÙÐÙÑ ÓÑ Ò ÙÙØ Å Ø Ò Ó Ó ØØ ØØ L(r) = L(s) ½º Ç Ó Ø ØÒ ØØ L(r) L(s) Ð r s ¾º Ó Ó Ø ØÒ ØØ L(s) L(r) Ð s rº À ÐÔÓÑÔ Ú ØÚ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ º (L ) R = {w R w L } ÒØ Ð Ó L Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ø Ô Ö Òµ ½º ÅÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÑÐ Ø ÖÐÐ Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÙØÓÑØ Ø Ð Ù ÐÐ s rº ÂÓ ØØ Ð Ú µ Ý ÝÑÝ Ñ Ø Ò Ð Ù Ø ÚÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÙØÓÑØØ Î Ø Ù ÐÚ ÔÒºººµ ÌÓ ØÙ ÔÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ ºººµ ½ ½ ½º¾¾ ÄØÒ ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò Ñ Ö L(M) = {w {, } ÐÐ Ñ ÖÓÒÓ }º w Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØÐ Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò ÄØÒ L(M) = {w {, } ÐØ Ñ ÖÓÒÓÒ }º w, Ì Ø Ò ÐÙØØÙ ÙØÓÑØØ Ú Ø Ñ ÐÐ ÐÓÔÔÙØ Ð Ø ¹ÐÓÔÔÙØ Ð Ø ÒÒº 0 2 3 ËÙÐÙÑ ÓÑ Ò ÙÙØººº ËÒÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ØØ ÐÝÝÒ Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖÚ, L ÂÓ L 2 ÒÒ ÐÐ Ð ÒÒ ÑÝ L ÓÚ Ø L 2 L L 2 L ÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ º ØÑÒ Ó Ø º Ç Ó Ø ÑÑ ÃÐØ Ò L L 2 L \ L 2 L R L ÒÒ ÐÐ ÝÝÒ Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ö Ó ØÙ ØØÚºµ 0 2 3 ØÑ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ¹ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÐÐÝØØ ØØ Ñ ÓÐÐ Ø Ú ÖØ Ð Ø ÓÒ ÀÙÓÑ Ø ØØÝ ÓÑÔÐ Ñ ÒØØÙØÓÑØ Ò ØÒ ØÙÐ ÝÚ ÝÚ Ø ÐÓºµ ÔÐ ØØ Ø ½ ¼ ½

Ò ÑÑ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÒØ ÖØÝÑÒ ÔÝ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ØÓ Ò Ò Î ØÚ Ø Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº ÙØÓÑØØ Ý ÓÒ ÙÒ ÓÒ ÝÚ ÝÚ Ø ÐÓ ÓÚ Ø Ó ÒØÝÝ Ø C Ð Ò Ò ÃÓ Ð ÙÔ Ö Ò ÙØÓÑØ Ò ÝÚ ÝÚ Ø Ð º ØÓ Ò ÚÓ Ó Ó Ò Ò Ý Ø Ñ Ö ÐÙ ØÒ ÚÒ ÖÖ Ò Ò Ô Ò Î Ø Ù º ÙÙ ØÒ ØÑ Ô Ø ØÙÐØ Î Ð ØÒ Ý ØÙØÓÑØ ÐÐ Ø ÐÓÙ Ó Ð ÙÔ Ö Ø Ò Å Ø Ò Ø ÐÓÙÓÒ ÖØ Ò Ò ØÙÐÓ ÙØÓÑØØÒ δ((,b),) = (,C) Ø Ö Ó ØØ ØØ Ð ÙÔ Ö ÙØÓÑØ ÓÐ ËÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ(,) = δ(b,) = Cº ÖØÝÑØ Î Ø Ù ÚÓÒ Ñº ¹ ÖØÝÑÒ ÚÙÐÐ Ô Ð ØÒ Ø Ò ÔÒºººµº Ì Ö Ø ÐÐÒ Ñ ÖÓÒÓ 000º ÃÝ ÝÑÝ Ñ Ø Ò ÚÓ ÑÑ Ó Ó ØØ ØØ L L 2 ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÝÐ ÓÒÓÒ 000 0 0 0 º Î Ø Ù ÙØÓÑØ Ò ÚÙÐÐ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò L L 2 º Ñº ÙØÓÑØ Ø ÓØ ÝÚ ÝÚØ Ñ ÖÓÒÓØ ÓØ ÐÓÔÔÙÚ Ø 0 ÓØ ÐÓÔÔÙÚ Ø 0 ÌÓ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÓÒÓÒ A 0 B 0 B C 0 B Cº Ë Ñ ÖÓÒÓ ÙÙÐÙÙ ÐØ Ò Ý Ø Òºµ ÃÝ ÝÑÝ ÎÓ Ó Ð ÒÒ Ø ÐØØ Ô Ö Ò ÒØ ÔÐÐÒ Å Ø Ò Ö Ø ØÒ ÓØÒ (,A) 0 (,B) 0 (,B) (,C) 0 (,B) (,C)º Ý ÝÑÝ Ñ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø ØÒ ÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓÒÓØ ÓØ Ë ÙÖÚ 0 Ø 0 Ö ØÝ Ø ÚÓÒ Ó ÐÐÒ Ò ÙØÓÑØØ ÑÙÓ Ó Ø Ø ÐÓÔÔÙÚ Ø {,} {A,B,C} = {(,A),(,B),(,C),(,A),(,B),(,C)} ÒÒ ØÙ Ø ÙØÓÑØ Ø ½ ¾ ½ ½ ØÑÒ ÚÓ ØØ ÐØØ Ñ ÐÐ Ý ØÙØÓÑØ Ò Ø Ð Ø Ø ÙÐÙ Ó Ó Ö Ø Ò ÑÑ Ò ÙØÓÑØ Ò Ø Ð Ø Ú ØÚ Ø Ö Ú ØÓ Ò ÙØÓÑØ Ò Ø Ð Ø Ú ØÚ Ø Ö Ø º Ð ÙØ Ð ØÙÐ (,A) Ð Ð ÙÔ Ö Ø Ò ÙØÓÑØØÒ Ð ÙØ ÐÓÒ ÓÑÒØ Óº ½ ½

ÝÐ ÑÑ Òº Ø ØÒ ÙØÓÑØ Ø M Ë Ñ s M t Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò ÙØÓÑØ L(M s ) L(M t ) ÙÙ ØÒº ÎÓ ÑÑ Ý Ø ÙØÓÑØ Ø ÙÓÖÒ ¹ ÖØÝÑ ÐÐ Ë Ñ 0 X 0 0 Y ÚÐ Ø ÖÑ Ò Ó ÙØÓÑØ Òº ÎÓ ÑÑ 0 X 0 0 0 A B C 0 Y ½ {X,, A} {, B, Y } {, A} {, A} {, B, Y } {, A} {, B, Y } {, B, Y } {, C, Y } {, C, Y } {, B, Y } {, A} Å Ò ÑÓ ÒØ ½ {, A} {, B, Y } {, A} {, B, Y } {, B, Y } {, C, Y } {, C, Y } {, B, Y } {, A} ¼ ¼ 0 A B C 0 ÄÓÔÔÙØÙÐÓ {, A} 0 0 {, B, Y} {, C, Y} 0 ½ ½ ÚÐ ÙØÓÑØ Ø Ð ÐÐ L(M) ººº Ì ÖÚ Ø ÑÑ M s M s M t ½ ½

Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø Ç Ó Ø ØÒ ÙÖÚ ØÖ ØÙÐÓ ÃÐ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÃÐ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ º Á ÃÐ L(r) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò L(r) ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ M ½º ÅÙÓ Ó Ø ØÒ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù ØØ Ú ØÚ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Òµ r ººº L(M s )L(M t ) M s M t ¹ ÙØÓÑØØ º À ÐÙ ØØ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ÚÐ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ò ÑÓ µº ÃÐ L(M) ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ M L(M) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ¾º Ì Ö Ø ÐÐÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑØØÒ ÐÒÒÓ Ø Ð Ù ÙØÓÑØØ º ÂÓ Ú Ø ÔØ Ð Ù ÙØÓÑØÐÐ ÔØ ÑÝ Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ º ÊÙ ÓÒ Ð Ù ÙØÓÑØØ ÓÖ ÒØÒ ¾¹Ø Ð ÙØÓÑØ Ó Ø ÚÓÒ ÐÙ ÙÓÖÒ Ú ØÚ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù º ½ ¼ ½ ½º¾ ÅÙÓ Ó Ø ØÒ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù ØØ (( ) ( )) Ú ØÚ Ö ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ÙØÓÑØØ º ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø ÙØÓÑØØ Ä Ù ½º¾ ÂÓ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ º ÒÒ ØÒ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐÐ ÚÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÑÐ Ú ÐØ Ø ÒÒ ÐÐ Ø ÌÓ ØÙ º r Ú ØÚ ¹ ÙØÓÑØØ M r ÓÐÐ L(M Ð Ù ØØ r ) = ÑÙ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒºººµ L(r) M r = r = s t r = Ms M ( ) ( ) M r = st r =, Ms Σ Mt r = s Mt Ms, ½ ¾ ½ ½

Ú Ú Ð ÒØØ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÚÓÒ ØØ ÑÓÒ ÐÐ Ø Ô ÌÓ ÐØ Ó Ø ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù Ò ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö Ð º Ó ¹ ÙØÓÑØ Ø ½º¾½ ÅÙÓ Ó Ø ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù ØØ ÌØÚ (0 ) 0 (0 ) 0 = (0 ) (0 0) = (0 ) (0 0) Ú ØÚ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ º ÌÑ ÓÒ Ñ Ù Ò Ö ÑÔ Ñ Ö ÑÑ A B D Ê Ø Ù ØÑ ÓÒ Ñ Ù Ò ÐÐ X 0 0 0 Y C E 0 A B C 0 Ð Ö Ø ØØÚ ÓØ ÒÒ ØÓ Ò Ù Ò ÐÐº ½ ½ Ä Ù ÙØÓÑØ Ø Á ËÖØÝÑ ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð Ù ÐÐ º δ(q,( ) ) = q ÐÐ ÖØÝÑÒ Ø Ð Ø q Ø ÐÒ q Ñ ÐÐ Ø Ò Ó ØÓÒ {, } Ñº Ñ ÖÓÒÓÐÐ º ¹ Ð Ò Ð Ù ÙÐÙÚÙØ ØÙÒÒ Ø Ú ÙØÓÑØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø ÅÙÓ Ó Ø = (d +.d.d + )( ((e E)(+ )d + )) d + (e E)(+ )d + ÒÙÑÖ ½º¾ Ê ÅÖ Ø ÐÑ Σ Ó ØÓÒ Σ ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÓÙÓº ÓÒ Ú Ó Ä Ù ÙØÓÑØØ M = (Q,Σ, δ, q 0, F), ÌØÚ ½º¾¾ d = {0,,2,3,4,5,6,7,8,9} ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙÚ Ù Ñ δ : Q Ê Σ P(Q) (q, w) (q, w ) M Ò Ð Ò Ø Ð ÒÒÓ ØÓ Ó q δ(q, r) ÓÐÐ Ò ÐÐ ÐÐ r Ê Σ ØØ w = zw z L(r)º ÅÙÙØ ÑÖ Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò ÑÑ Òº ½ ½

Ð Ñ ÒÓÒ Ð Ù ÙØÓÑØ Ø Ø ÐÓ ÙÒÒ Ø ÚÓÒ ÐÙ Ú ØÚ Á Ð Ù º ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÒÓ Ò q ÌÓ Ò i ÓÒ Ø Ð Ò q ÚÐ ØØ Ñ Ø ÐØ Ø q ÓÒ j ÚÐ Ø Ò ÙÖº ÓÒ ÚÓ ÓÐÐ ÑÓÒº Ã ÓÒ ÙÓÑ Ó Ø Ú º Å ÓÐÐ ÙÙ ¾ ÛÐ ÐÐÐ ÑÙ Ø Ù Ò Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙØ ÐÓµ Ó Ð Ú Ð Ø q q q 0 q q f q f Fµ ÔÓ Ø q ÖØ ÐØ q i q q j ÖÙ Ø Ó ÒÒÐÐ qi r q s qj qi rs qj ÙØÓÑØ Ø ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù t Ä Ù ½º¾ ÂÓ Ò Ò Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú Ð ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº qi r s rt s q qj qi qj ÊØØ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ð Ù ÙØÓÑØ ÐÐ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú Ð ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ð ½ Ø M Ò ÐÓÔÔÙØ Ð Ø Ý ¹ ÖØÝÑ ÐÐ Ý Ø Ö ÒÒ Ø ÖØÝÑØ qi r s qj qi r s qj Ì Ú Ð ØÒ Ø Ð q Ø ÐÓ q ÀÙÓ¹Ñ ¹Ó i q j ÚÒ Ø Ð Ø q i q j Ø Ð Ò q ÑÖÝØÝÚØ Å ÓÐÐ Ô Ö (q Ô ÖÙ ØÐÐ º i, q j ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØØ Ú ÒÒ ) Ò Ý Ø º ÇÒ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø ÐÐ ØØÙ ØØ q i = q j º ½ ½ Ñ Ö ½º¾ ÄÙ ØÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÙÖÚ Ø ÙØÓÑØ Ø ÄÙ ÐÐÐ ÓÐ Ú ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ð r r r r 2 r 3 r r 2(r 3 r 4 r r 2) r 4 Î ÐÑ ½ ¼ ½

ÌØÚ ½º¾ ÄÙ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÙÖÚ Ø ÙØÓÑØ Ø ËÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÖÓ ØÙ Ø, 2 Å Ò Ø Ò Ó ØÓÒ ÓÖÑÐ Ð ÔØ ÓÒÐÑµ ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ½º ÑÖº ¾º ËÒÒ ÐÐ Ð Ù Ø ÓÒ ÚÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖº Ã Ð Ø ÚØ ÚÓ ÓÐÐ ÒÒ ÐÐ º 3 ÃÝ ÝÑÝ ÃÙ Ò ÚÓÒ ÚØ ØØ ÓÒÐÑ Ö Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ½ ½ ½ ¾ Ñ Ö ½º¾ Ì ÔÒÓ Ø Ò ÙÐ Ù ÓÒÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð L Ñ Ø = {(k ) k k 0} Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙ Ø ÙØÓÑØØÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÑÙ Ø Ñ ÖÓÒÓÒ Ð ÙÓ Ò ÚÒ Ø ÐÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ô Ø Ö Ø ÔÑ ØÒ Ñ Ö Ø q 0 q q n q n Ö Ø Ò Ð ÚÓ ÓÐÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÚÒ Ó Ò ÓÒ ÓÒ ØÓ ØÙÚ Ö ÒÒ ÐÑÙ Ê Ø ÙÝÖ ØÝ ÙÐÙÑ µ ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ ÓÖÑ Ð Ó ØÑÒ ÚÒÒÓÒº µ q 2n q 2n q n+2 q n+ µ µ µ µ ÃÐ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝÒ Ó Ó ØÙ ÓÐ Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ø Ú ÓÒÐÑ º Ì ÖÚ ØÒ Ñ Ò Ñ Ø ÑØØ Ø ÒØÙ Ø ÓØ º q 0 q q n q n ÒÝØØ ÐÑ ÐØ ØØ Ö ÐÐ Ò ÑÙ Ø Ò ØÙ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÓÐ ÓØ ÒÒ ËØØ ÐÚ Ø º ØØ ÑÙ Ø ÚØ ÑÙ Ø Ò ÓØ ÒÒ ÙÓÖÒ º ÃÐ ÒØÙ ØÚ Ø A = {w {0,} w ÐØ Ý Ø ÑÓÒØ ÒÓÐÐ Ý Ø} µ µ ÓÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÓ Ø ØÒ ÔÒºººµº ÅÙØØ Ð B = {w {0,} w ÒØÝÝ ¼½ ½¼ Ý Ø ÑÓÒØ ÖØ} µ µ ÒØ Ó ÙÐ ÙÔ Ö ÓÒÒ n + ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÌØÚ ½º¾ ÌÓ Ø ØØ Ð B ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ½ ½

Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ º ÇÐ Ø ØÒ ØØ C ÚÓ Ø Ò ØÙÒÒ Ø ÓÐÐÒ Ö ÐÐ ÐÐ ÌÓ ØÙ M L(M) = Cµº ÇÐ ÓÓÒ Ø ÙØÓÑØ k = Q Ø Ð m = k/2 º ÙØÓÑØ ÐÐ ÒÓ Ò Ñ ÖÓÒÓÐÐ s ÌÓ Ò i... s j Ø ÐÑÙÒ Ø Ð Ø r ÙØÓÑØØ i Ø ÐÒ Ø Ò r i = r j º i < j m + ÒÝØ y = 0 j i º ½º i < m+ < j ÒÝØ y = 0 m+ i j m º ¾º ÐØ C ÚÓ ØÙÒÒ Ø k¹ø Ð ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ Ñ ÐÐÒ k Ð Ð C ÓÐ Ë ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓÒÓÒ xy 0 z = xzº Ë ÚÓÒ ÑÝ ØÓ Ø ÑÐ Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ë ÐÑÙ ÝÚ ÝÝ Ð Ù¹ ÙØÓÑØØ ÓÒÓÒ s = xyz = xy z Ô Ö Ò ÐÑÙÒ Ý Ò ÖÖ Òº ÖØÑÐÐ Ú ØÚ ÝÚ ÝÚ Å ÖØÒ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÑÝ Ñ ÖÓÒÓØ xy 2 z = xyyz, xy 3 z = xyyyz Ò º Ë ÙÙÐÙÚ Ø Ó Ñ Ö ÒÓÒÓØ xy l z ÐÒ C = {0 n n n N} ÐÐ l ÃÝ ÝÑÝ x = s... s i Å ÖÓÒÓÐÐ s i... s j ÙØÓÑØØ Ø ÐÑÙÒ Ø Ð Ø r i Ø Ò Ø ÐÒ r i = r j º ri = rj z = s j... s 2m Ä Ù ½º¾ ÃÐØ C = {0 n n n N} ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ º r r2m+ s = 0 m m ÓÐÐÓ Ò s = 2m kº Å ÖØÒ s = s ÇÐ ÓÓÒ s 2... s 2m ËÝ ØØÐÐ s ÙØÓÑØØ º Ý ØÒ 2m + Ø Ð ÑÙ Ò ÐÙ Ò Ð ÙØ Ð Ó Ø Ó Ø µ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ý ÐÝ Ý Ø Ð ÒØ x y z r ri ri r2m+. ÂÓ L(M) = C ÒÒ ÐÐÓ Ò ÑÝ 0 m m L(M)º y = s i... s j ÑÓµº ÒÓ Ò Ý ÌÓ Ò Ø ÐÓ ÙØÓÑØØ 0 0 0 r r2... rm+ rm+2... r2m+. ÐØÚ Ø Ð ÒÒ Ø Ò ÙÙ ÝÚ ÝÚ Ð ÒØ Ë ÐÑÙÒ ÝÚ ÝÚ Ø r ÓØØ Ñ ÐÐ x z ÐÑÙ ri r2m+ Ð Ð ÙØ Ð q 0 = r δ(r i, s i ) = r i+ Ñ r i Qº Q = k < 2m + ÓÒÓ r À ÚÒØÓ... r 2m+ Ý Ø Ð ÒØÝÝ Ù ÑÑ Ò Ù Ò Ò Ò Ð r ÖÖ Ò i = r j i < jº ÓÐÐÒ r x ri y ri y ri z r2m+. r x ri y ri y ri y ri z r2m+. ½ ½ ri = rj z = s j... s 2m ÐÑÙÒ Ö Ð ÒØ Ñ ÖÓÒÓÒ s Ó Ò Ù ØÒ Ì Ö Ø ÐÐÒ x = s... s i r r2m+ º m + i < j ÒÝØ y = j i º y = s i... s j Ø Ô Ù xy 2 z ÙÙÐÙ ÐÒ C Ã Ø Ô Ù ½ Ò ÓÒ Ð ÒÓÐÐ Ø Ô Ù ¾ ÓÒ ÑÙÓØÓ 0...0...0...0... Ø Ô Ù Ò ÓÒ Ð Ý º ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ Ñ ÖÓÒÓÒ xy 2 z ØÑ ÓÒ Ö Ø ÖØ ÓÐ ØÙ Ò C = L(M) ÃÓ Ò º ½ ½

ØÓ ØÙ Ò Ô ÖÙ ÓÐ Ó Ó ØØ ØØ Ó M ÓÒ k¹ø ÐÒ Ò ÙØÓÑØØ ÒÒ ÐÐ Ò L(M) ÓÒ ÔÙÑÔÔ Ù Ô ØÙÙ k Ð ÐÐ x = z = ÓÚ Ø ÐÐ ØØÙ ÑÙØØ y ØÓ ¾ ÑÙÙØ Ò ÔÙÑÔ ØØ ÚÙÙ ÓÐ Ë ØÖ Ú Ðµº ½º ½ ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ µ ÂÓ ÐÐ ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ä Ù ÔÙÑÔÔ Ù ÓÑ Ò ÙÙ º Ñ ÖÓÒÓ s ÓÒ ÔÙÑÔÔ ÙØÙÚ ÙÙÐÙÙ ÐÒ Ó s = xy zº Ä ÐØ ÂÓ y ÓÒ ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ø ÑÓÒ Ø Ñ Ò Ò ØÙÓØØ ÙÙ Ð Ò Ñ ÖÓÒÓº Ó ÓÒÓÒ Ð ÐÐ ÚÓÒ ØÝØÝÝµ Ú Ð Ø ÔÙÑÔÔ Ù Ô ØÙÙ p Ó ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ö ÐÐ ÐÐ Ô ÑÑ Ò Ñ ÖÓÒÓÒ Ô ØÙÙ º ÌÐÐÒ Ð ÓÐ Ý ØÒ Ø ÖÔ Ô Ø Ð Ò Ñ ÙÓÑ Ö ØØ ÑÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÙØÓÑØ ÁÒØÙ ØÚ Ø ÐÑÙ º ÓÒ xy i z A ÐÑÙ ÚÓÒ ÖØ ÑÐ Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐØ ÚÓÒ Ô Ø ½º z ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÒº ÓÒÓÐÐ y > 0 ÐÑÙ ÚÓ ÓÐÐ ØÝ ÚÒ Ò Ô Ø ÙÙÐÙ ÚÒØÒ Ý ¹ØÝ ¾º ÖØÝÑº Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ô ÒÒ ÐÐ Ð Ó ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Á ÔÙÑÔÔ Ù Ô ØÙÙ ºººµº ÓÐ Ñ ÐÐÒ Ò s A ØØ s p ÓÒ Ø Ò Ó ÐÐ s = xyz ÓÒ ÔÙÑÔÔ Ù Ó Ø ½µ µ ØÓØ ÙØÙÑ ØØ º Ñ ÐÐ ÐÙ s ÚÓÒ Ú Ð Ø ÓÔ Ú Ø ÐÔÓØØ ÑÒ ØÓ ØÙ Ø ÑÙØØ ØØ Ò Ô Ø Ë ÐÔ Ñ ÓÐÐ Ø Ø Ú Ø s Ó Ò x y z Ó Ó ØØ ØØ ÑÒ Ý ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ ØÒ ÙØ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ º ½º ¼ ÃÐ ÐÐ A ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÔÙÑÔÔ Ù ÓÑ Ò ÙÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÅÖ Ø ÐÑ p ØØ Ñ Ø Ò s A ÓÐÐ s p ÚÓÒ ØØ ÑÙÓ Ó s = xyz Ñ ÐÐÒ Ò x = s... s i ri = rj z = s j... s 2m ½º xy i z A ÙÒ i = 0,,2,... r r2m+ ¾º y > 0 º xy pº ÌÐÐÒ p ÓÒ Ö µ Ð Ò A ÔÙÑÔÔ Ù Ô ØÙÙ º y = s i... s j Ð ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÔÙÑÔÔ Ù ÓÑ Ò ÙÙ Ñ ÐÐ Ø Ò ÖØØÚÒ Ô Ø ÐÐ ÃÙÒ s ÓÒ Ó y ÓØ ÔÙÑÔÔÑ ÐÐ Ò ÙÙ ÐÒ ÙÙÐÙÚ Ñ ÖÓÒÓÐÐ xy 2 z, xy 3 z,... Ñ ÖÓÒÓ º xy p Ð ÒÒ Ò ØÝØÝÝ ÓÙØÙ ÐÑÙÒ ÒÒ Ò Ù Ò ÙØÓÑØ Ø ÐÓÔÔÙÚ Ø Ø Ð Øº ½ ½ ¼ ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ Ò ÃÒÒÓ Ø Ú ÚÒ Ö ØØ Ñ ÐÐ Ð ÐÐ Ö ÐÐ Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ò ÒÒ ÐÐ µº ÔÙÑÔÔ ÙØÙÚÙÙ ØÓ ½µ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ð ÐØ Ñ ÖÓÒÓØ Ë xz, xyz, xyyz, xyyyz,... ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ Ò ÑÙ Ò Ñ ÐÐ Ø Ò ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð ÐÐ ÓÒ A ØÓ Ò ÒÓ Ò ÓÐÐ Ò p N ÔÙÑÔÔ Ù ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ò ÐÐ ÐÐ s A ØØ s p Ñ ÐÐ ¾µ ÙÖ ØØ ÒÑ ÓÒÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ò Ò ØÓ ØÒ Ô ÑÔº Ë y Ø Ó Ø Ò Ö ØØÓÑ Ø ÙÙ ÐÒ ÙÙÐÙÚ Ñ ÖÓÒÓº ÔÙÑÔÔÑ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó s = xyz ÓÐÐ ÔÙÑÔÔ Ù ÓØ ½µ µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ ÐÐ ÚÓ Ó Ó ØØ Ð Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝØØ ÚÒ Ô ÒÒ ÐÐ ÝÝÒ ÓÒ µ ÒÓÐÐ ØÑ Ó ÓÒÓ y Ð ÝØÝÝ ÓÒÓÒ s Ð ÙÓ Ø ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ pº Á Ò ØÓ ØÙ ÓÒØÖ ÔÓ Ø ÓÐÐ Ð Ð ÑÑ ÝØ ØÒ ÒØ Ø ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò A ÓÒ ÔÙÑÔ ØØ Ú A ÔÙÑÔÔ ÙØÙÚÙÙ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò Ø ÖÔ Ô Ø ÐÒ ÙÙÐÙÚ ÃÐ Ò ÓÒ ÔÙÑÔÔ ÙØÙÚ º Ñ ÖÓÒÓ A ÓÐ ÔÙÑÔ ØØ Ú A ÓÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò p N Ñ ÖÓÒÓ ººº ØÓØ ÙØ ÔÙÑÔÔ Ù ØÓº ½ ¾ ½ ½

D ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÃÐ 0 ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Î Ø ÓÐ ØÙ ÙØÓÑØ ÐÐ µ ÓØ Ò Ð (0 ) D ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ø Ð ÐÐ ÌÑ ÓÒ Ö Ø ÖØ Ó (0 ) D ÓÒ Ñ Ù Ò ÙÐÙÑ ÓÑ Ò ÙÙ µº C = {0 n n n N} Ó ØÓ Ø ØØÒ Ô ÒÒ ÐÐ º i + j pº Ó Ø y > 0 y = 0 j µ ÙÖ ØØ j > 0º ÌÑ ÓÐ Ý ÒÓ Ñ ÚÒ ÓÙÓ ØÓ ÓØ Ó Ò Ó ØÙ Ò ÓÒ ØÝØ ØØÚºµ ÆÝØ 0¹ÖØ Ø Ó ØÙ ½º ÃÐ D = {w {0,} w ÐØ Ý Ø ÑÓÒØ ÒÓÐÐ Ý Ø} ÓÐ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ú Ð ØÒ ÓÔ Ú s ÂÓ ÓÐ Ú Ð ØØÙ s = (0) p ÓÐ ØÙ Ö Ø ÖØ Ó ØØ Å Ø Ò ÔÙÑÔ Ø Ñº x = y = 0 z = (0) p µº È Ø ÙØÓÑØ ÐÐ ÚÓÒ Ñ Ö ½º ¾ ÃÐ C = {0 n n n N} ÓÐ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÙÒ ÐÙØÒ ØÓ Ø Ð Ô ÒÒ ÐÐ Ø Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ Ð ÒÒ ÐÐ Ó Ó Ø ØÒ ØØ Ø Ø ÙÖ Ö Ø ÖØ ººº ÓÐ Ø ØÒ C ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ã Ö Ó Ø ØÒ s = 0 p p = xyz ÓÐÐÓ Ò s = 2p > p ÙØ Ò Î Ø ÓÐ ØÙ Ä ÑÑ Ò ØÓÒ ÑÙ Ò xy p ÓÐÐÓ Ò Ó ØÙ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ÚØØÒº x = 0 i y = 0 j z = 0 p (i+j) p ººº ÓÒ ÚÓ Ó Ó ØØ ÝØØÑÐÐ ÔÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑººº ºººÑÙØØ ÚÓ Ó Ó ØØ ÑÙÙØ ÒÒ Ñº ÙÐÙÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÐÐ Ô Ð ÙØ ØÒ ÓÒÐÑ ØÙÒÒ ØØÙÙÒ ÐÒµº ÔÙÑÔ ØØÙ Ò xy 0 z = xz = 0 i 0 p (i+j) p = 0 p j p. ÃÐÐ Ó ØÙ ÐÐ j > 0 ÓÒ p j < p 0 p j p Cº ÌÑ ÓÒ Ö Ø ÖØ Ð Ò C ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó ØÙ Ø Ö ÓÚ Ø Ò Ò Ý Ø Ð ÑÑ Ò ØÓ º ½ ½ ½º ÃÐ D = {w {0,} w ÐØ Ý Ø ÑÓÒØ ÒÓÐÐ Ý Ø} ÓÐ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ Ò Òº D ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Î Ð ØÒ s = 0 p p º ÇÐ ÓÓÒ s = xyz Dº Ë y Î Ø ÓÐ ØÙ xy p ÓØ Ò ÓÓ ØÙÙ Ý Ø Ø Ù ÑÑ Ø ÒÓÐÐ Ø º ÃÓ y xyz D ÒÒ xyyz ÐØ ÒÓÐÐ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ý ÓØ Ò xyyz Dº Ê Ø ÖØ º ÒÐ Ø Ô Ù º ½ ½

Ó Ñº ØØØÝÒ Ñ ÖÒ ÐÙ ÙÑÖÒ Ò Ø Ù ØØ Ñº L = { k m c m k, m = 0,,2,..}. L 2 = { m 2m m = 0,,2,..}µ. ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ Ò ÑÙ Ø ÓØ w = xyz, xy p y º ÂÓ ÐÐ ÓÐÐ Ì Ø ÔÙÑÔÔ Ù Ø i Ò ÖÚÓ ÐÐ 0,2,3,... ÙÒÒ Ð ÝØÝÝ ÐÐÒ Ò i ØØ xy i z ÙÙÐÙ Ó Ð ÐØ Ò ÐÙÓ ÓÒ ÙÐØØÙ Ð Ù Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ù ØÒº ÇÒ ÒÒ ØØÙ ËÒÒ ÐÐ Ø Ò A Ó Ô Ø Ó Ó ØØ Ô ÒÒ ÐÐ º Ð ÓÐ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ù Ø ÒÒ ÓÐØ Ú Ø Ö Ò Ñº Ò Ô ÒÒ ÐÐ Ò Ð Ò Ð Ù ÚÓ ÓÐÐ ÇÒ ÓÚ ÐØ ÔÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ ÐÒ C = A B Ø D = A ÑÙØØ Ó Ù C Ø ÎÓ Ø Ò ÚÓ ÓÐÐ ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ø Ô ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÓÐÐÓ Ò Ö ÐÐ Ø D Ä Ìµ ÓÒØ Ø ÐÐ Ø ÖÙÖ Ú Ø Ð Ø ØÙÒÒ ØÙ ÌÙÖ ÒÒ ÓÒÐÐ ÅÝ ÑÑ Ò ØØÓ ÓÒÐÐµ p Ø Ò ØØ Ý ÓÒ ØÓ Ò Ò Ó ÔÙÓÐ ÙÙÐÙÙ Ò ÑÑ Ò p Ñ ÖÒ Ø Î Ð Ø ÔÙÑÔÔÑÒº ÌÓ Ò Ò Ø ÚÓ Ø ÓÒ ØØ Ñ ÖÓÒÓÒ Ñ ÓÐÐ Ó Ó Ò xyz Ô ØÒ À ÙÖ Ø ÓØ Ô ÒÒ ÐÐ ÝÝ ØÓ ØÙ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ð Ò Ô ÒÒ ÐÐ º Í Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø Ò Ò Å Ó Ò ÚÐ ÐÐ Ú ÐÐ Ø ÓÒ ØÓº ÇÑ Ò ÙÙ ÚÓ Ó Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ú Òº ÓÐ Ñº w = m m Ú Ð ØÒ p = m ÓÐÐÓ Ò Ó Ø xy ÙÙÐÙÚ Ø m Òº ÌÐÐÒ Ô ÑÑ ÔÙÑÔÔÑÒ Ø Ý ØÓ Ö ÓÓÒØÙÙº Ó Ò Ò Ó Ñº Ò Ò Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙÓ ÖÔÔÙÚ Ø ÓØ ÒÒ ØÓ ØÒ L 3 = {ww R w Σ L } 4 = {ww w Σ } ÐÒº ÓÒ Ý ÒÖØ Ò ÑÐ Ú ÐØ Ò Ô ØÙ Ò Ò Ñ ÖÓÒÓ Ó ÓÑ Ò ÙÙ ÒØÝÝ Å Ð ÓÒ ØÓ ØÙ Ò ÒÒ ÐØ ØÝ Ò ØÙÖ ÒÒ ÐÐ µ Ó Ñº L ÂÓ Ù Ò ÓÐ Ñ ØÒ ÚÐ ÚÓÒ Ú Ð Ø Ñ ÖÓÒÓ m c m º ÐÙ ÙÑÖÐÐ Ó ÓÒ Ó ÔÙÓÐØ Ò ÚÐ ÓÒ ØÙÓÐÐÒ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ó ØØ ÓÐÐ Ø ÖÔÒ ÖÓØØ Ñ Ò ØÓ ØÒ Ñº Ð L Ó ÔÙÓÐÒ 5 = { m k m m, k = 0,,2,...} Ò Ò Ý ÖÓØØ ÑÒ Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙ¹ Øº Î Ð ØÒ Ñº m m º Ø ÖÚ ØÒ Ó Ð Ò Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙÓ ÖÔÔÙÚ Ø ÓØ ÒÒ ØÓ ØÒ ÑÙØØ ÑÙÙØ Ò Ò Ú Ø ÓÐÐ Ø Ò ÖØØ ÖÓØØ Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙÓ ØÓ ØÒ Ñº Ð Ò L Ñ Ø 4 Ó ÐÐ Î Ð ØÒ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð B ÂÓ ÒÝØ A B ÓÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÒÒ ÑÝ Ò A ÒÒ ÐÐ Ò Òºµ ÂÓ A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ µ ÓÒ Ô ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÒÒ ÑÝ A ÓÒ Ô ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÚÓÒ Ú Ð Ø m m Ø m m º ÔÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ ¹ØÓ ØÙ Ø Ø ÖÚ Ø º ½ ½ Ø Ò Ñ ÒÒ ººº È ÖØ Ù Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ µ Ý ÒÖØÒ Ò Ð ÒØ ÐØ ÑÙ Ø ÚÒ Ú ÓÑÖ Ý ØØÒ Ô ØÙÙ Ø ÖÔÔÙÑ ØØ º ËÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÒÒ ÐØ Ò ÐÙÓ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÐÐ º ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Æµ Ð ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÐÐ Ó ÚÒ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Æ ÐÐ º Æ ÓÒ ÝÝÐÐ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÖÑ Ð Ñ º Ë ÙÖÚ ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ø ØÙÒÒ ØÙ Ô ÒÓ ÙØÓÑØ ÐÐ Ì Ò Ñ ÒÒ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ØÙÒÒ ØÙ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ ÚÓ ÚØ ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ò ÑÑÒ Ø ÐÓ Ù Ò Æº ÃÐ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÐÐ Ó ÚÒ Ó ÚÓÒ ØØ ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð Ù ÐÐ º Ã Ð Ø ÚØ ÓÐ ÒÒ ÐÐ º ÈÙÑÔÔ Ù Ð ÑÑ ÚÓÒ ÝØØ Ð Ò Ã ÑÙÙØ Ð Ø ÚÒ Ó ØØÒ Ö Ø Ú ÝÐÐ ¹Ø Ô Ù µ Ø ØÝ Ò Ö Ø Ñ ØØÓÑº Ó Ó ØØ Ñ Òº Ö Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÓÒ Ô ÒÒ ÐÐ ÝÝÒ {w w = w R, w {, } } ½ ¼ ½

½º¾ Å Ø Ò ÑÐ Ú ÐØ Ø Æ Ø Ò Æ Ó ÓÒ ÚÒ Ý ÝÚ ÝÚ ÌØÚ Ø Ð ½º ¼ ÇÐ ÓÓÒ A ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð º Ç Ó Ø ØØ ÑÝ A R = {w R w A} ÓÒ ÌØÚ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ½º ½ ÇÐ ÓÓÒ Ð Ø A B ÒÒ ÐÐ º ÇÒ Ó Ð ÌØÚ C = A B = (A B) (B ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ë A) w C Ó ÙÙÐÙÙ ÐÒ w Ø B A M A ÝÚ ÝÚÒ ¹ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÐÓÒ ÖÓÓÐ Ø ÐÐ ÙÚ ØÙÐÐ ÙØÓÑØ Ø Ú Ø ØÙÐÓ ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò Ø Ú ÐÐ ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ø Ô ÒÓ ÙØÓÑØ Ø ¾º Ð Ø ÓÒØ ÜØ¹ Ö Ð Ò Ù Ý Ø ÝØØ ÑØ Ð Øµ ÚÓÒ ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÙÙÒ ÓÖÚÑÑ ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ù Ø Ð ÓÔÐÐ Ò Î ÖÖ ØØÙÒ Ô ÒÓ ÙØÓÑØ ÐÐ º ÓÒ ÙØ Ò Ó ÓÒ ÓÒ Ð ØØÝ ÖÓ ØØ Ñ ØØÓÑ Ò ÙÙÖ ÑÙ Ø º ÌÑ È ÒÓ ÙØÓÑØØ ÓÒ Ô ÒÓ Øµº ÑÙ Ø rtkemttomt ongelmt tyyppi 0: rjoittmttomt kielet rekursiivisesti numeroituvt kielet tunnistus: universli Turingin kone (pysähtyy "kyllä" tpuksess) ÃÓ ØØÚ Ð Ø Ñ ÒØÝÝÐ Ù Ò ÐÙ ÒØÓÒ Ñ ÖØ ÓØ ØØÚØº rekursiiviset kielet tunnistus: Turingin kone + ääretön työnuh (pysähtyy in), RAM kone, ohjelmointikielet tyyppi : kontekstilliset kielet tunnistus: Turingin kone + äärellinen työnuh tyyppi 2: kontekstittomt kielet tunnistus: pinoutomtti tyyppi 3: säännölliset kielet tunnistus: äärellinen utomtti rjllinen muisti È ÖÙ ØØÚÔÖÓØÓØÝÝÔÔ ½º¾ Ä» Æ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò X. Å Ò ÑÓ» Ø ÖÑ Ò Ó ÌØÚ ÝØØ Ò ÐÙ ÒÒÓ ÐÐ ÒÒ ØØÙ Ñ Ò Ø ÐÑº Å ÓÒ ÙØÓÑØØ» ÐØ ÙØÓÑØØ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÅÙÙÒÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð Ù» ÙØÓÑØØ ÙØÓÑØ» Ú ØÚ ÝØØ Ò ÐÙ ÒÒÓ ÐÐ ÒÒ ØØÙ Ñ Ò Ø ÐÑº ÂÒ ººº Ð Ù ËÓÚ ÐØ Ú ÑÔ ½º¾ ËÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð A ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÌØÚ M ÙØÓÑØ ÐÐ A ÃÐ Ò A ÓÑÔÐ Ñ ÒØØÐ A ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÙØÓÑØ ÐÐ M A Ó º ÙØÓÑØ Ø M Ò A ÝÚ ÝÚØ Ø Ð Ø ¹ ÝÚ ÝÚ ¹ ÝÚ ÝÚØ Ú Ø Ñ ÐÐ ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÓÒ ÙÐØØÙ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ù ØÒº ÝÚ ÝÚ º ÓÐ ÓÓÒ M A ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø Ð Ò Aº ÎÓÒ Ó ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÐÐÒ äärelliset kielet A ÇÒ Ó ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò ÙØÓÑØØÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ø Ð Ø ÙÐØØÙ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ù ØÒ ½ ¾ ½ ½ ½º¾ ÎÓÓ ÒÒ ÐÐ Ø ÐØ 0 ØÙÒÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÌØÚ Ó ÓÒ ÚÒ Ý ÝÚ ÝÚ Ø Ð È ÖÙ Ø Ð º ÙØÓÑØ ÐÐ ÙÚ Ø ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÓÔÐÐ ÓÒØ ÜØ¹ Ö Ö ÑÑ Öµ ØÙÒÒ Ø ÔØ ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ô ÒÓ ÙØÓÑØÐÐ ÔÙ ÓÛÒ ÙØÓÑ ØÓÒµº ÌØÚ ½º¾ Ç Ó Ø ØØ ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÓÒ ÙÐØØÙ Ð Ù Ò Ù ØÒº ÑÙØØ ÑÓÐ ÑÔÒºµ È ÖÙ Ø Ð º ½º ¾ Å Ø ÙÖÚ Ø Ó ØÓÒ Σ = {, } Ð Ø ÓÚ Ø ÒÒ ÐÐ ÌØÚ E = { n n n N} ½º ¾º F = {wuw R w, u Σ + } º G = {ww w Σ } º H = { i j i j} Ì ÚÓ ØØØ ÇÔ ØÒ Ñ Ø ÓÚ Ø ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ø Ô ÒÓ ÙØÓÑØ Ø Ñ ÓÒ ÒÒ ÚÐ Ò Ò Ù º ÇÔ ØÒ ÑÙÓ Ó Ø ÑÒ Ð ÓÔÔ Ý ÒÖØ ÐÐ ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÐÐ º ÇÔ ØÒ ÒØÑ Ò Ô ÖÙ Øº ½ ½

Ñ Ö Å Ø Ò ÙÚ Ø ÙÖÚ Ø Ð Ø ÂÓ ØØ Ð Ú Ì ÔÒÓ Ø Ò ÙÐ ÙÐ Ù Ò Ð L ( ) = {( k ) k k 0} Ð ¹Ô ÖÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ð L ¹ Ð = { k Ð l l k} ÒÒÝ ÔÙÙ Ø Ò Ô Ð ØÒ ÚÐµ Î ØÚ S Ê Ø ÙÝÖ ØÝ ÒÒ ØÒ Ð ÐÐ ( ) ÖÙÖ Ú Ò Ò ÙÚ Ù Å ÖØÒ S ÑÐ Ú ÐØÒ Ò Ø ÔÒÓ Ò Ò ÙÐ ÙÑ ÖÓÒÓ º S ÌÐÐÒ S ÓÒ Ø ÔÒÓ Ò Ò ÙÐ ÙÑ ÖÓÒÓ Ó ½º S = Ø S ¾º S ÓÒ ÑÙÓØÓ (S ) Ñ S ÓÒ Ø ÔÒÓ Ò Ò ÙÐ ÙÑ ÖÓÒÓº ÙÚ Ù Ø Ô Ð ÓÔÔ µ ÌÓ Ò Ò S ½º ¾º S (S) ( ( ( ) ) ) Ñ ÖÓÒÓÒ ((())) ØÙÓØØ Ñ Ò Ò Ñ Ö S (S) ((S)) (((S))) ((())) = ((())) ½ ½ ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ò Ð ÓÔ Ò ÓÙÓ ÑÙÙÒÒÓ ÒØ ÑÙÙØØÙ ÝÑ ÓÐØ º Ä ØÒ ÐÐÐ ÒÒ ØØÙÒ ÑÙÙÒÒ ØÒ ÑÙÙØØÙ ÝÑ ÓÐØ Ñ ÖÓÒÓ ÙÒÒ Ò ÐÓ ØÙ ÝÑ ÓÐ Ø ¾º¾ ÃÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ ÓÒ Ò Ð Ó ÅÖ Ø ÐÑ G = (V,Σ, P, S), ØÙÓØ ØØÙ ÐÙØØÙ Ñ ÖÓÒÓº E T E + T T F T F F (E). Ñ ÓÒ Ð ÓÔ Ò Ó ØÓ V Σ V ÓÒ Ð ÓÔ Ò ÔØ Ñ ÖÒ ÓÙÓ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ N = V \ Σ ÓÒ Ð ÓÔ Ò Ñ Ö ¾º½ ÒÖØÒ Ò Ð ÓÔÔ Ö ØÑØØ ÐÐ Ð Ù ÐÐ ÚÐ Ñ ÖÒ Ð ¹ ÝÑ ÓÐÒ ÓÙÓ P N V ÓÒ Ð ÓÔ Ò ÒØ Ò Ð ÔÖÓ Ù Ø Ó Ò ÓÙÓ Ñ Ö Ð Ù Ò ( + ) ØÙÓØØ Ñ Ò Ò E T T F F F (E) F (E + T) F (T + T) F (F + T) F ( + T) F ( + F) F ( + ) F ( + ) S N ÓÒ Ð ÓÔ Ò Ð Ø ÝÑ ÓÐ ËÒØ (A, ω) P Ñ ÖØÒ A ωº ½ ½

L(G) ÓÒ Ò ÒÒ Ð Ù Ò Ñ ÖÓÒÓÒµ ÓÙÓ ÓØ ÚÓÒ Ó Ø Ð G Ð ØÒ Ð Ø ÝÑ ÓÐ Ø Sº Ð ÓÔ Ø ¾º ÓÖÑÐ Ð L Σ ÓÒ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ó ÚÓÒ ØÙÓØØ ÓÐÐ Ò ÅÖ Ø ÐÑ Ð ÓÔ ÐÐ º ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð { n n c n n N} ÓÐ ÓÒØ Ø ØÓÒ ÑÙØØ ÚÓÒ ØØ ÝØØÑÐÐ Ñ Ö ÒØº ÓÒØ Ø ÐÐ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ G = (V,Σ, P, S) ØÙÓØØ Ó ØÓÒ Σ Ñ ÖÓÒÓ ÁÒØÙ ØÚ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÙÖÚ ÐÐ ÔÙÑÖ Ø ÐÑ Å ÖÓÒÓ γ V Øº Ó Ø ÙÓÖÒ Ñ ÖÓÒÓÒ γ V Ð ÓÔ G Ñ Ö º ØÙÓØØ γ G γ ½º ÐÙ Ø r := Sº Â Ø Ó r ÖÚÓ Ò Ó ØÓÒ V Ñ ÖÓÒÓºµ ÚÓÒ γ αaβ = γ = αωβ α, β, ω V A Nµ Ð ÓÔ G ÓÒ Ó Ö Ó ØØ A ω ÔÖÓ Ù Ø Ó Î Ð Ø Ñ ÖÓÒÓ Ø r ÓÒ Ó Ø i Ó ÒØÝÝ ÑÙÙØØÙ ÝÑ ÓÐ ÚÐ µ Ø º ¾º ÓÐ ÓÓÒ r = r... r i Ar i+... r n, Ñ n = r r i V ÐÐ i A Nº Î Ð Ø ÒØÓÙ Ó Ø P ÓÒÒ ÒØ A ω º... ω ÓÒ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ Ñ m r Ú Ð ØØÙ ÑÙÙØØÙ ÝÑ ÓÐ º Ñ ÖÓÒÓ Ø Ñ Ö T F G F F Ø T F G T Å ÖÓÒÓ γ V ØÙÓØØ Øº Ó Ø Ñ ÖÓÒÓÒ γ V Ð ÓÔ G Ñ Ö º γ γ G Ø ÑÙÙØØÙÐÐ r ÙÙ ÖÚÓ º r := r... r i ω... ω m r i+... r n. γ = γ 0 G γ G... G γ n = γ T F ÐÐ (E) T F F F (E) F (E) º Ñ Ö G G G G Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÒÓ V Ò Ñ ÖÓÒÓ γ 0, γ,..., γ n n 0µ Ø Ò ØØ ÂÓ r ÐØ Ô Ð ÔØ Ñ Ö Ð r Σ µ ÒÒ ØÙÐÓ Ø rº ÅÙÙØ Ò Ô Ð º ¾º Ó ØÒ ØÙÓØØ Ñ Ð ÓÓ ØÙÙ Ò Ø Ó ØÓÒ Ñ ÖÓÒÓ Ø ÓØ ØÑ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ ÃÐ ÓÔ Ò ÙÒ ÓÚ ÐÐ ØØ Ú Ø ÒÒ Ø Ú Ð ØÒ ÓÔ Ú Ø º ØÙÐÓ Ø ÖÓ Ø Ô Ù n 0 = γ Ñ ÐÐ Ø Ò γ γ V T F T Fº G G ½ ¼ ½ Ð Ù Ä Ù ÓÓ Ð γ V Ð ÓÔ Ò G Ð Ù ÓÓ Ó ÓÒ S ÓÒ γ Ð Ø ÝÑ ÓÐ Ø Å ÖÓÒÓ G ÚØØ Ò ØØ Ð ÓÔ Ò ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ A ω Ñ ÚÓÒ ÃÓÒØ Ø ØÓÒ ØÙÐØ Ó Ø ÓÒÓ γµ ÚÓÒ (E) ( + ) Ñº ÅÙÙØØÙ A ÚÓÒ ÓÖÚ Ø Ñ ÖÓÒÓÐÐ ω ÓÐ ÝÑÔÖ ÐÐ Ñ Ø Ø Ò º G Ò Ð Ù ÓÒ Ô Ð ØÒ ÔØ Ñ Ö Ø ÓÓ ØÙÚ G Ò Ð Ù ÓÓ x Σ Ñº ( + ) ÃÐ ÓÔ Ò G ØÙÓØØ Ñ Øº ÙÚÑ Ð ÓÓ ØÙÙ G Ò Ð Ù Ø L(G) = {x Σ S x}. G Ð ÓÔ Ò ÝÐ ØÝ ÓÒ ÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ð ÓÔÔ ÓÒØ ÜØ¹ Ò Ø Ú Ö ÑÑ Öµº ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ò Ð ÓÔ Ò ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ÌÐÐ Ò αaβ αωβ, Ñ α, β, ω ÓÚ Ø Ñ ÖÓÒÓº ËÒØ ØÙÐØÒ ËÒØ ÚÓÒ ÓÚ ÐØ ÓÒØ Ø Ø ÖÔÔÙÑ ØØº ÅÙÙØØÙ A ÚÓÒ ÓÖÚ Ø Ñ ÖÓÒÓÐÐ ω Ó ÝÑÔÖ ÐÐ ÓÒ Ñ ÖÓÒÓØ α βº ÃÓÒ Ø Ø ÐÐ Ð ÓÔÔ Ø ÐÐ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ºµ ½ ¾ ½ ½

0,,...,9 ÒÙÑ ÖÓØ Ð ÚÓÙØ Ø ÐÐ ÚÚ ØÙØ Ú Ö ØÙØ Ò Ø ÓÖ Ò º º º µ ÖÓ Ñ ÖØ ¾º Ì Ö Ø ÐÐÒ ÙÓÑ Ò Ð Ò Ú ÖØØ Ó ÓÓ ØÙÙ Ý ÒÖØ Ø Ñ Ö ÒÓÐÐ Ø Ø Ù ÑÑ Ø Ø Ö Ð ØÚ Ð Ù Ø ÔÐ Ù Ø Ú ÖØ ÚÓ Ø Ó Ø Ð Ø ÝÑ ÓÐ Ø ÎÁÊÃ Å Ø Ñ Ñ ÖÒØØ ÔÓ ÎÒØÙÒØ ÎÐ ÝÑ ÓÐØ A, B, C,..., S, T ÈØ Ñ Ö Ö Ñ Ø,, c,..., s, t ¾º Ì ÔÒÓ Ø Ò ÙÐ Ù ÓÒÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ð Ò L Ñ Ö ( ) = {( k ) k k 0} Ð ÓÔÔ ØÙÓØØ G ( ) = ({S,(,)}, {(,)}, {S, S (S)}, S) ÅÐ Ú ÐØ Ñ Ö ÙÒ ÚÐ Ø ÔØØØ ÖÓØ ÐÐ µ X, Y, Z ÈØ Ñ ÖÓÒÓ u, v, w, x, y, z Ë Ñ ÖÓÒÓ α, β, γ,..., ω ¾º Ì ÔÒÓ Ø Ò ÙÐ Ù ÓÒÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ð Ò ØÙÓØØ Ð ÓÔÔ Ñ Ö Ú Ö Óµ ØØÝÒÒÔ G ( ) = ({S,(,)}, {(,)}, {S, S (S), S SS}, S) ÃÐ ÓÔÔ Ø ØÒ Ù Ò Ô ÐÒ ÒØÓÙÓÒ A ω... ω k A 2 ω 2... ω 2k2 º A m ω m... ω mkm ÆÝØ ÔØ ÐÐÒ ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ø ÐÐ Ø Ò Ñ ÖÒØ ÓÔ ÑÙ Ø Ò ÑÙ Ò Ø Ø ØØ Ò Ñ Ö ¾º ÃÐ Ò { i k c k i, k = 0,,...} ÚÓ ØÙÓØØ Ð ÓÔ ÐÐ G = (V,Σ, P, S) Ñ V = {S, A, B,,, c} Σ = {,, c} P = {S AB, A A, A, B Bc, B }. ÒØÝÚØ ÒØ Ò Ú ÑÔ Ò ÔÙÓÐ Ò º Ä Ø ÝÑ ÓÐ ÓÒ ØÐÐÒ Ò ÑÑ Ò ÒÒ Ò Ú ÑÔ Ò ÔÙÓÐ Ò ÒØÝÚ ÚÐ Ø A ½ ½ ¾º ÒÖØ Ø Ò Ö ØÑØØ Ø Ò Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ð Ò L ÜÔÖ Ñ Ö Ð ÓÔÔ ØÙÓØØ = (V,Σ, P, E), G ÜÔÖ Ñ V = {E, T, F,,+,,(,)}, Σ = {,+,,(,)}, P = {E T, E E + T, T F, T T F, F, F (E)}. L rel = {suj( Ó pred ttr oj) pred ttr oj} Ú ÖØ ÚÓÒ ØÙÓØØ Ñº ÙÖÚ ÐÐ ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ò Ð ÓÔ Ò G ÌÐÐ rel ÒÒÐÐ ÚÓÒ Ó Ø Ñº ÙÖÚ Ø Ð Ù ÓÓ Ø ÃÐ ÓÔ E E + T T + T T F + T F F + T F + T (E) + T (T) + T G G G G G G G G (F) + T () + T () + F º () + G G G ÔÓ ØÝØØ Ò Ù ÔÓ ËÍ Â Ô Ð Ñ Ø Ø ÈÊ ÙÙÖØ ÔÒØ Ú Ø ÖÑÙ Ø Ö ÌÌÊ ÔÓ ØÝØØ Ò Ø ÙØØ ÔÓ Ç Â Ð ÓÔÔ Ð Ò L ÜÔÖ ØÙÓØØ Ñ Ò ÓÒ ÌÓ Ò Ò G = (V,Σ, P, E), ÜÔÖ V = {E,,+,,(,)}, Σ = {,+,,(,)}, P = {E E + E, E E E, E, E (E)} ËÍ Â ËÄ ÈÊ ÌÌÊ Ç Â ÔÓ ËÄ ÈÊ ÌÌÊ Ç Â ÔÓ Ó ÎÁÊÃ ÌÌÊ Ç Â ËÄ ÈÊ ÌÌÊ Ç Â ÔÓ Ó ÈÊ ÌÌÊ Ç Â ËÄ Ñ Ø Ø ÈÊ Ç Â ÔÓ Ó ÈÊ ÌÌÊ Ç Â ËÄ Ñ Ø Ø ÖÑÙ Ø Ç Â ÔÓ Ó ÌÌÊ ÌÌÊ Ç Â ËÄ Ñ Ø Ø ÖÑÙ Ø Ò Ø ÔÓ Ó Ô Ð ÌÌÊ Ç Â ËÄ ÈÊ ÖÑÙ Ø Ò Ø ÔÓ Ó Ô Ð Ú Ø Ç Â ËÄ Ñ Ø Ø ÖÑÙ Ø Ñ Ø Ø ÔÓ Ó Ô Ð Ú Ø ØÝØØ ËÄ Ñ Ø Ø ÖÑÙ Ø Ò Ø Ò Ø Ñ ÔÓ Ó Ô Ð Ú Ø ØÝØØ Ñ Ø Ø ÖÑÙ Ø Ò Ø ½ ½

ØÓÐ Ù ÓÓØØÙ¹Ð Ù Ó ØÙ ÙØ Ù Ð Ù ØÓ ØÒ Ð Ù Ð Ð Ù ØÓÐ Ù Ü ¼ ØÓ Ò Ð Ù ÓÒÓ Ò ÓÓØØÙ¹Ð Ù Ð Ù Ð Ù Ð Ù ÓÒÓ Ð Ù ÓÒÓ Ü¼ Ó ØÙ ÓÒ Ý ØÝ Ó ÐÑÓ ÐÐ ÝÒØ Ô Ø Ó Ø Ó ÓÓ Ó ÐÑÓ µ ÑÙØØ ÑÝ Ì Ø Ø Ý Ò Ó ÒØ Ô Ö Ö µ ÚÓÒ ÐØ ÙÓÖ ÚÚ Ø Ô ÖÙ ØÙ Ò ÒØ ÓÒ ØØ Ñº Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØ ÐÐ Ó ÐÑ Ò ÐÓÓ ÓÒ Ô Ð ÓØØÙ Ú ÐÑ ÇÐ ØÙ ÙÚ ØØÙ Ò Ó Ò Ú Ö ØÙØ Ò Ø ÑÙÙØØÙØ Ð Ó ÐÑÒ Ò Ñ Ø Ú ÓØ Ò µº ÝÐÐ Ð ÓÔÔ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÙÓØØ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ú ØÚ ÓÔ ÖØ Ó Ø Ù Ò ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ Ð Ù º ÒÒ ÐÐ ØÓ Ò Ù Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÓÒØ Ø ØØÓÑÒ ÐØ Ò ÐÙÓ ÓÐ ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ù ØÒº ÙÐØØÙ ¾º Ä ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ Ó ØÙÓØØ ÙÖÚ Ò Ñ ÖÒ Ø Ô Ø ÌØÚ ÑÓÒ Ø Ø ÓÖ¹ ÐÑÙ Ó Ø Ð ÓÔ ÖØ Ó Ø ÓÓ ØÙÚ Ø Ö ØØÓÑ Ò Æ Æ µ ß ÓÖ Æ Æ µ ß ÓÖ Ó Ð ÐÐ L Ä, L 2, Ð ÓÔ Øº ÇÐ ÓÓÒ ÒÒ Ð Ù ÝÑ ÓÐ Ø... S S 2 S 3 Ä ØØ Ò º Ð ÓÔÔ ÙÖÚ Ø L Ò Ñ Ö ¾º Ç ÐÑÓ ÒØÐØ Ò ÝÒØ Ò ÙÚ Ù º È Ð Ò Ó ÓÙÓ Ó ÐÑÓ ÒØÐ Ò Ð Ù Ø ÙØ Ù Ð Ð Ñ N ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ð ÓÔÔÒº ½ ½ Ä Ù ¾º½¼ ÂÓ A B ÓÚ Ø ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ð ÒÒ ÑÝ A B AB A ÓÚ Øº Ì Ö Ø ÐÐÒ Ñ Ö Ò Ý Ø ØØ A B ÑÙÙØ Ó Ø Ñ Ò ÚØ ÑÒ ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ A B Ó ØÓÒ Σ ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ð º Ë A = L(G Ø ÔÒº A ) B = L(G B ) ÃÐ ËÒØ A {, } A A L( ) = {,,,,...} B Bc { n c n n = 0,,2,...} B Bc { 2n c n n = 0,,...} Í Ò ØÓ ØÙÚ Ö ÒØØ Ó ÐÐÒ ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÓÔÐÐ G A = (V A,Σ, P A, S A ) G B = (V B,Σ, P B, S B )º S / N ÇÐ ÓÓÒ A N B ÅÖ Ø ÐÐÒ G = (V º A V B {S},Σ, S) Ñ P, P = P A P B {S S A } {S S B }. ÇÒÐÑ ÒÒ ØØÙ ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð L Ð Ò ØÙÓØØ Ú ÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ Gº Å ÐÐ Ò Ð Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÙÚ Ë ÐÚ Ø L(G) = A Bº Ö Ø ØØ L Ù ÑÑ Ò Ý ÒÖØ ÑÑ Ò Ð Ò Ý ØÒ ØÙÐÓÒ Ø ÙÐÙÑ Ò Ñº L = L L 2 L 3 L = L L 2 Ø L = (L L 2 ) º Ø Ó Ð A ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð B ÓÒØ Ø ØÓÒ ÒÒ Ð A B ÓÒ ÌÓ ÐØ ÓÒØ Ø ØÓÒº Ô ÒÒ ÐÐ Ð ÙØ Ò {0 n n n N} Ø {w {0,} w = w R } ÓÒ ÐÔÔÓ ÂÓ Ø Ò ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÓÔ ÐÐ º ØÙÓØØ ËÒÒ Ø L = L L 2 L 3 S S S 2 S 3 L = L L 2 S S S 2 L = (L ) S S S L = (L L 2 ) S SA A S S 2 ÃÐ ÌÓ ÐØ Ð {ww w {0,} } ÓÐ ÓÒØ Ø ØÓÒº ¾¼¼ ½

ÇÐ ÓÓÒ L Σ Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð M = (Q,Σ, δ, q ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ó 0, Ò ØÙÒÒ Ø Ú F) ÙØÓÑØØ º ÅÙÓ Ó Ø ØÒ Ð ÓÔÔ G M ÓÐÐ ÓÒ L(G Ö ÐÐ Ò Ò M ) = L(M) Lº = G M ÔÖÓ Ù Ø ÓØ Ú ØÚ Ø M Ò ÖØÝÑ Ò ÙØ Ò M Ò ÐÓÔÔÙØ Ð q F Ó Ò Ð ÓÔÔÒ ÓØ ØÒ ÔÖÓ Ù Ø Ó A µ q Ð Ø ÓÒØ Ø ØØÓÑ Ø Ð ÓÔ Ø ËÒÒ ÐÐ Ø ÃÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÐÐ ÚÓÒ ÙÚ Ø Ó Ø Ò ÑÙØØ µ Ô ÒÒ ÐÐ ¾º Ä Ð ÓÔÔ Ð ÐÐ ÌØÚ 0 0 ½º Ð º Ã ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÚÓÒ ÙÚ Ø Ý ÒÖØ ÐÐ ÓÒØ Ø ØØÓÑ ÐÐ Ð ÓÔÐÐ Ò º Ð Ò Ö ÐÐ Ð ÓÔÐÐ º 0 (0 ) ¾º {0 n n n N} { n 0 n n N} º {ww R w {0,} } º {w {0,} w = w R } º tyyppi 2: kontekstittomt kielet tunnistus: pinoutomtti tyyppi 3: säännölliset kielet tunnistus: äärellinen utomtti rjllinen muisti äärelliset kielet ÌÑÒ Ô Ø ÓÐÐ ÐÚ Ó ÒÒ ÐÐ Ø Ð Ø ÐØÝÚØ ÓÒØ Ø ØØÓÑÒ ÐÒºµ ¾¼¾ ¾¼½ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ð Ò Ö Ò Ò Ð ÔÔÔ Ä Ù ¾º½¾ ÂÓ Ò Ò ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð ÚÓÒ ØÙÓØØ ÓÐÐ Ð Ò Ö ÐÐ Ð ÓÔ ÐÐ º G M Ò ÔØ Ó ØÓ M Ò Ý Ø Ó ØÓ Σ ÇÐÐ Ú ÑÑ ÐÐ Ð Ò Ö Ø Ð ÓÔ Ø G M Ò ÚÐ Ó ØÓÓÒ ÓØ ØÒ Ý ÚÐ A q ÙØ Ò M Ò Ø Ð q Ó Òº ººº Ð Ð Ò Ö Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ð ÓÔ Øº ¾º½½ ÃÓÒØ Ø ØÓÒ Ð ÓÔÔ ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑ ÓÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ó Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ A Ø A B G M Ò Ð Ø ÝÑ ÓÐ ÓÒ A q0 Ú ÑÑ ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ó Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ A Ø A Bº ÙØ Ò ÖØÝÑ q q Óº q δ(q, )µ Ó Ò Ð ÓÔÔÒ ÓØ ØÒ ÔÖÓ Ù Ø Ó µ M Ò A q A q ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ ÙÙ ÚÓÒ ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ºµ ¾¼ ¾¼

ÇÐ ÓÓÒ G = (V,Σ, P, S) ÓÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò Ð ÓÔÔ º ÅÙÓ Ó Ø ØÒ Ð Ò ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ó ØÙÒÒ Ø Ú ÔØ ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ L(G) M G = (Q,Σ, δ, q S, ÙÖÚ Ø F) ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ d ÐÝÒÒ ÐÙ ÙÑ ÖÐÐ {0,,...,9}º Ì Ö Ø ÐÐÒ ÙÖÚ Ñ Ö Ð Ò Ö Ø Ð ÓÔÔ ÓÐÐ ØÙÐ ÓÐÑ Ø Ð q ÙØÓÑØØÒ S, q A q B Ä Ø ÝÑ ÓÐ S Ú Ø Ð ÙØ Ð q º S B Ø ÑÑ ØØ q ÒÒ Ø B ÐÓÔÔÙØ Ð º ÅÙ Ø ÒØ Ú ØÚ Ø Ø Ð ÖØÝÑØ ÓÒ Ä Ò Ö Ò Ò Ð ÓÔÔ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ä Ù ¾º½ ÂÓ Ò Ò ÓÐÐ Ð Ò Ö ÐÐ Ð ÓÔ ÐÐ ØÙÓØ ØØ Ú Ð ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº Ñ Ö ¾º½ ÃÙÚ ÓÒ Ý ÒÖØÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ Ð Ò L = {w {, } w ÓÒ ÚÒØÒ Ý }., 2 Ú ØÚ Ð ÓÔÔ ÓÒ ÙØÓÑØØ A A A 2 A 2 A 2 A 2 M G Ø Ð Ø Ú ØÚ Ø G Ò ÚÐ Ø Ò Q = {q A A V \ Σ} M G Ò Ð ÙØ Ð ÓÒ Ð Ø ÝÑ ÓÐ S Ú ØÚ Ø Ð q S M G Ò Ý Ø Ó ØÓ ÓÒ G Ò ÔØ Ó ØÓ Σ M G Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ ÐØØ Ð G Ò ÔÖÓ Ù Ø Ó Ø º º ÙØ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓØ A B Ó Ò ÙØÓÑØ ÓÒ ÖØÝÑ q A qb Óº q B δ(q A, )µ M G Ò ÐÓÔÔÙØ ÐÓ ÓÚ Ø Ò Ø Ð Ø Ó Ø Ú ØÚÒ ÚÐ Ò ÐØØÝÝ G ¹ÔÖÓ Ù Ø Ó F = {q A Q A P } ¾¼ ¾¼ S +A A db A db B db Ä Ò Ö Ò Ò Ð ÓÔÔ Ú º Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÙØÓÑØØ Ö ÐÐ Ò Ò q Ø Ð Ð Ø Ø Ð q 0 S = A q0 Ð ÓÔÔ Ä Ò Ö Ò Ò A ÚÐ ÝÑ ÓÐ q ÖØÝÑ ÒØ ÝÚ ÝÚ Ø Ð ÒØ q q A q A q q F A q + q S qa q S qa d q S qb d q A qb d q B qb ÌÙÐÓ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ØÙÑ ÖÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØº d +, d q S q A q B d ¾¼ ¾¼

ÝÝÐÐ ÑÔ ÓÚ ÐÐÙ ÓÒ ÑÙ Ø Ò ÙØ Ò Ò ÙÖÓÚ ÖÓÒ Î ØÚ ÒØ Ô Ò ÖÓ ÒØ Ð ÓÔ ÐÐ Ó ÓÒ ÚÓ ØÙ Ò ÖÓ Ú Ô ÒØØ ÐÐ Ö ÒØÒ ÔÙ ¹ ÓÛÒ ÙØÓÑ ØÓÒ Èµ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑØØ Ó ÓÒ ÓÒ Ð ØØÝ È ÒÓ ÙØÓÑØØ ÑÖ ÑÙ Ø Ô ÒÓÒ Øµ ÑÙÓ Ó º ÖÓ ØØ Ñ ØÓÒ Ó ÙÖÚ Ñ Ö ÓÒ ¼ ÒÒ ½º ÈÙ ¼µ Ó ØÒ ½ Ñ Ò ÑÙÙØ Ò ÈÓÔ Ó ØÒ ¾ Ñ Ò Ó ÙÖÚ Ñ Ö ÓÒ ½ ÒÒ ¾º ÈÓÔ ¾º ÈÖÖ ÙÖÚ Ð ÓÔÔ Ú ØÚ Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÌØÚ Ä Ù Ð ÓÔÔ S S ½º ÅÙ Ø ÓÚ ÐÐÙ ÔÙÔÔÙÒ ÖØØÓÖ ØØÔ»»Ô Ó º ÐºÑ ØºÙ» Ò»µ Ä Ù + = Ð ÓÔÔ S S ¾º Ä Ù ( ) º ÃÐ ÓÔÔ S A B A S A B B Ä Ù () º S S ÃÐ ÓÔÔ Ä Ù ( ) º ÃÐ ÓÔÔ S S A A A B B B A ÓÐÐ ÑÝ S BBBS B B µ ÎÓ Ä Ù (0... 9)(0... 9) º ÃÐ ÓÔÔ S DN N DN D 0... 9 ¾½¼ ¾¼ Ã ÚÐ ÓÔÔ Ä¹ Ý Ø Ñ Ä ÒÒÑ Ý Ö¹ Ý Ø Ñµ È ÒÓ ÙØÓÑØØ ÎÓÒ Ô Ø Ö ÐÙ ØÙ Ø Ñ Ö Øº ÃÐ Ò ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ô ÒÓ ÙØÓÑØ ÐÐ Ó ÚÒ Ó ÓÒ ÓÒØ Ø ØÓÒº Ñ Ö ¾º½ ÃÐ Ò {0 n n n N} ÚÓ ÝÚ Ý Ô ÒÓÒ ÚÙÐÐ ÙÖÚÒ Ø ÔÒ Ñ Ò Ó ØÒ ¾ ËÝ Ø ÝÚ ÝØÒ Ó Ô ÒÓ ÓÒ ØÝ ÙÒ Ñ ÖÓÒÓ ÐÓÔÔÙÙº Ð ÓÖ ØÑÐÐ µ ÝÑ ººº ¾½¾ ¾½½