Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Bifurkaatiot dierentiaaliyhtälöissä Antti Toppila 18.04.2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Sisältö Johdanto Poincarén kuvaus Esimerkki Bifurkaatiotyyppejä Satulasolmubifurkaatio Jakson kaksinkertaistava bifurkaatio Hopn bifurkaatio Kumoutumattomat ilmiöt Kotitehtävä
Johdanto Dierentiaaliyhtälöiden bifurkaatioiden tutkiminen mielekästä Kvalitatiivinen käyttäytyminen Herkkyys parametreille Kääntäen voidaan kokeiden perusteella tehdä päätelmiä systeemiä kuvaavasta dynamiikasta Käsitelty diskreettiaikaisia systeemeitä: tarvitaan menetelmä jatkuva-aikaisille systeemeille Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 3/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 4/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Poincarén kuvaus Sovellusidea 1/4 Olkoon v R n, f : R n R n ja γ jaksollinen rata autonomiselle dierentiaaliyhtälölle v = f (v ) Valitaan radalta γ piste v 0 ja määritellään pisteen läpi n 1 dimensioiselle levylle D Poincarén kuvaus T
Poincarén kuvaus Sovellusidea 2/4 Huomataan: Piste v 0 kuvauksen T kiintopiste tai jaksollinen piste joss v 0 dierentiaaliyhtälön jaksollisella radalla Jatkuva riippuvuus alkutilasta (kirjan teoreema 7.16): lineaarinen analyysi riittää Voidaan osittaa: Yleistäminen mahdollista koko radalle γ! Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 5/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 6/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Poincarén kuvaus Sovellusidea 3/4 Lopputulos: Voimme soveltaa diskreettien systeemien menetelmiä tutkimalla Poincarén kuvauksella bifurkaatioita dierentiaaliyhtälöille v = f a (v), (1) missä v R n ja a on skalaari parametri
Poincarén kuvaus Sovellusidea 4/4 Seuraavat käsitteet luonnehtivat ratoja: Määritelmiä Jacobin matriisin D v T (v 0 ) ominaisarvot (n 1 kpl) ovat jaksollisen radan γ (Floquet) kertoimet Jaksollinen rata γ on puoleensa vetävä (attracting) jos γ:n kaikki kertoimet kompleksitason yksikköympyrän sisäpuolella ja torjuva (repelling) jos kertoimet yksikköympyrän ulkopuolella. Jos osa sisäpuolella ja osa ulkopuolella niin γ on satula. Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 7/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Poincarén kuvaus Esimerkki 1/2 Napakoordinaateissa systeemi ṙ = br(1 r) (b > 0) θ = 1 Poincarén kuvaus janalle L, joka säteen θ = θ osa (onnekkaasti osataan laskea): r n+1 = r n e 2π b 1 r n + r n e 2π b Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 8/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Poincarén kuvaus Esimerkki 2/2 Havaitaan: Rata r = 1 on jaksollinen ja puoleensa vetävä (ṙ = 0, kun r = 1 ja ṙ > 0(< 0) yksikköympyrän sisällä (ulkona)) Poincarén kuvaukselle r = 1 jaksollinen ja puoleensa vetävä rata (tarkemmin kotitehtävässä) Päätelmä: Poincarén kuvauksella ja dierentiaaliyhtälöllä samanlainen käyttäytyminen kaikkilla θ. Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 9/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 10/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Bifurkaatiotyyppejä Dierentiaaliyhtälöiden käyttäytymisessä voidaan havaita samantyyppisiä herkkyyksiä parametrien muutoksille kuin diskreeteissä tapauksissa Ratojen tyypit voivat muuttua Jaksollisten ratojen määrä voi vaihdella Poincarén kuvauksen perusteella voidaan suorittaa luokittelu kuten normaalisti
Bifurkaatiotyyppejä Satulasolmubifurkaatio (Satula-attraktoribifurkaatio) Alussa systeemillä ei ole jaksollisia ratoja Parametria kasvatetaan ja jaksollinen satulasolmurata C ilmestyy Satulasolmurata erkanee kahteen jaksollisen rataan C 1 ja C 2 Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 11/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 12/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Bifurkaatiotyyppejä Jakson kaksinkertaistava bifurkaatio Systeemillä jaksollinen rata C 1, jonka yksi kerroin välillä ( 1, 0). Parametria kasvatetaan, kerroin ylittää arvon -1 ja uusi rata C 2 erkanee. Rata C 2 kietoutuu kahdesti Möbius-nauhan ympärille.
Bifurkaatiotyyppejä Hopn bifurkaatio 1/3 Tutkitan napakoordinaateissa systeemiä ṙ = r(a r 2 ) θ = 1 Alkutila r = 0 tasapainotila kaikilla a Kun a < 0, myös ṙ < 0 ja kaikki ratkaisut häviävät origoon Kaikilla a > 0 on olemassa jaksollinen ratkaisu r = a Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 13/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Bifurkaatiotyyppejä Hopn bifurkaatio 2/3 Havaitaan, että syntyy polku jaksollisia ratoja Määritelmä Olkoon v tasapainopiste yhtälölle (1) kun a = ā. Sanomme, että jaksollisten ratojen polku haarautuu (bifurcates) pisteestä (ā, v), jos on olemassa jatkuva jaksollisten ratojen polku joka suppenee tasapainopisteeseen kun a = ā. Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 14/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 15/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Bifurkaatiotyyppejä Hopn bifurkaatio 3/3 Ylikriittinen Hopn bifurkaatio Bifurkaatiorata eli bifurkaatioarvon tasapainotila stabiili Siirtymä jaksolliseen käyttäytymiseen tasainen Alikriittinen Hopn bifurkaatio Bifurkaatiorata epästabiili Siirtymä jaksolliseen käyttäytymiseen askelmainen Yllä olevilla voidaan selittää jaksollisen käyttäytymisen syntyä, joten ne ovat tärkeitä kokeellisia bifurkaatiotyyppejä
Kumoutumattomat ilmiöt Hysteresis 1/2 Hysteresis: systeemin käyttäytymisen muutoksen riippuminen kahden attraktorin yhteisesiintymisestä samalla parametrin arvolla Seurauksena kumoutumattomia ilmiöitä Systeemi reagoi muutokseen riippuen sen suunnasta (vrt. kananmunan keittäminen) Ilmiötä voidaan tutkia alikriittisillä Hopn bifurkaatioilla Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 16/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 17/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Kumoutumattomat ilmiöt Hysteresis 2/2 Kuvan alikriittisessä Hopn bifurkaatiossa tapahtuu bifurkaatio kun a = 0 tasapainopolusta r = 0 Tasapainotila muuttuu epästabiiliksi ja polku epästabiileja jaksollisia ratoja haarautuu. Bifurkaatiokaavio näyttää erään hystereettisen polun
Esitelmä 21 Antti Toppila sivu 18/18 Optimointiopin seminaari Kevät 2007 Kotitehtävä (a) (Kirjan tehtävä T11.15) Tutkitaan kalvon 8 Poincarén kuvausta (i) Osoita, että jono {r n } suppenee kohti arvoa 1 kun n ja r n 0. (1.5 p) (ii) Etsi radan r = 1 Floquet kertoimet (1 p) (iii) Millä b:llä rata r = 1 on stabiili? (0.5 p) (b) Ohessa on erään alikriittisen Hopn bifurkaation kokeellinen bifurkaatiokaavio. Selitä miten kaaviosta ilmenee systeemin dynamiikka. Piirrä havainnollistava kuva. (2 p) Kokeellinen bifurkaatiokaavio Hopn bifurkaatiopisteen ympäristössä