763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion kolme ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Tarkastellaan ensin Cs + -ionien lähinaapureita, kahdeksaa Cl -ionia. Niiden etäisyys Cs + -ionista on (kts. Harjoitus 3b) R 3a/2. Yhden lähinaapurisidoksen energia on E p1 1 e 2 4πɛ 0 R. (1) Seuraavaksi lähimpänä on 6 Cs + -ionia, joiden etäisyys on d a 2R/ 3. tällaisen sidoksen energia on Yhden E p2 1 4πɛ 0 e 2 2R/ 3. (2) Seuraavaksi lähimpänä on jälleen Cs + -ioneja, joita on 12 kappaletta. Niiden etäisyys on d 2a 8R/ 3. Sidosenergia on E p3 1 4πɛ 0 e 2 8R/ 3. (3) Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis E p e2 3 4πɛ 0 R (8 3 3 12 ). (4) 8 Madelungin vakio on siis α 4.54462. Arvo on negatiivinen, josta seuraa, että sidosvoima olisikin repulsiivinen. On siis otettava huomioon enemmän termejä, jotta saadaan todenmukaisempi arvo. Sama lopputulos saataisiin, jos aloitettaisiin tarkastelu Cl -ionista. 2. Tehtävä: Oletetaan, että kahden atomin välisen vuorovaikutuksen energia on U(r) α r + β r 8, missä r on atomien välinen etäisyys ja α ja β ovat positiivisia vakioita. a) Laske atomien välinen voima. umpi termeistä kuvaa atraktiota ja kumpi repulsiota? b) Laske atomien välinen tasapainoetäisyys c) Vertaa attraktio- ja repulsioenergioita toisiinsa tasapainotilassa, missä attraktio- ja repulsiovoimat ovat yhtä suuret.
Ratkaisu: a) oska voima F U ˆr, niin ensimmäisen termin termin aiheuttama voima on r ja toisen F 1 α ˆr (5) r2 F 2 8β ˆr. (6) r9 Nyt F 1 on negatiivinen, joten voima suuntautuu kohti toista atomia, eli voima on attraktiivinen. Vastaavasti F 2 on positiivinen ja siten repulsiivinen. b) Tasapainossa F 1 F 2, joten r eq 7 8β α. (7) c) Tasapainossa attraktioenergia on ja repulsioenergia Nyt E rep E att E att α r eq (8) β α E rep β. (9) req 8 r eq req 8 β α α 8β 1 8, (10) joten repulsiivisen osuuden vaikutus sidosenergiaan on pieni 13%. 3. Tehtävä: Osoita, että hilavärähtelyjen liikeyhtälö M d2 ξ n dt 2 (ξ n 1 2ξ n + ξ n+1 ) palautuu pitkillä aallonpituuksilla, jolloin ξ n on hyvin hitaasti muuttuva n:n funktio, normaaliksi jatkuvan väliaineen aaltoyhtälöksi t 2 ξ 2 c2 x. 2 Vihje: Lausu ξ n+1 ja ξ n 1 kehittämällä ξ(x) Taylorin sarjaksi pisteessä x na. Ratkaisu: Oletetaan, että ξ(x) on hyvin hitaasti muuttuva funktio. Silloin sen Taylorin sarjakehitelmää voidaan pisteen x na lähiympäristössä approksimoida ξ(x) ξ(na) + ξ (na)(x na) + 1 2 ξ (na)(x na) 2. (11)
Tätä käyttäen saadaan Siten saadaan missä c a /M. ξ n+1 ξ((n + 1)a) ξ(na) + aξ (na) + a2 2 ξ (na) ξ n ξ(na) ξ(na) ξ n 1 ξ((n 1)a) ξ(na) aξ (na) + a2 2 ξ (na) ξ n+1 2ξ n + ξ n 1 a 2 2 ξ x 2. (12) t 2 a2 M x 2 ξ 2 c2 x, (13) 2 4. Tehtävä: Luennolla esitettiin värähtelytaajuksien lasku atomiketjulle, jossa on kahdesta erimassaisesta atomista koostuva kanta. äy yksityiskohtaisesti läpi tämän laskun välivaiheet. Laske sekä akustisen että optisen haaran värähtelytaajuudet erikoistapauksissa a)k 0 ja b)k π/a. Ratkaisu: äytetään luentojen kuvan merkintöjä. Nyt M 1 -massaiseen atomiin n vaikuttaa oikealta puolelta voima (vastaavasti kuin yksiatomisessa hilassa) ja vasemmalta voima Tästä saadaan M 1 -atomien liikeyhtälö (η n ξ n ) (14) (ξ n η n 1 ). (15) M 1 t 2 (η n ξ n ) (ξ n η n 1 ) (η n 2ξ n + η n 1 ). (16) Vastaavasti M 2 -massaiseen atomiin n vaikuttaa oikealta voima (ξ n+1 η n ) (17) ja vasemmalta voima Siten M 2 -atomien liikeyhtälö on (η n ξ n ). (18) M 2 t 2 (ξ n+1 η n ) (η n ξ n ) (ξ n+1 2η n + ξ n ). (19) Tehdään yhtälöpariin (16,19) yrite ξ n (t) A 1 e i(kna ωt) η n (t) A 2 e i(kna ωt). (20)
Sijoitetaan yrite yhtälöpariin. Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan ja toisesta M 1 ω 2 A 1 e i(kna ωt) (A 2 2A 1 + A 2 e ika )e i(kna ωt) M 1 ω 2 A 1 (A 2 2A 1 + A 2 e ika ) (21) M 2 ω 2 A 2 e i(kna ωt) (A 1 e ika 2A 2 + A 1 )e i(kna ωt) (22) M 2 ω 2 A 2 (A 1 e ika 2A 2 + A 1 ). (23) Näin saatu yhtälöpari voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ( ) ( ) M1 ω 2 2 (1 + e ika ) A1 (1 + e ika ) M 2 ω 2 0. (24) 2 Jotta tällä olisi nollasta poikkeava ratkaisu täytyy kerroinmatriisin determinantin hävitä (kertaa lineaarialgebrasta, jos et muista!) M 1ω 2 2 (1 + e ika ) (1 + e ika ) M 2 ω 2 2 (M 1 ω 2 2)(M 2 ω 2 2) 2 (1 + e ika )(1 + e ika ) A 2 ω 4 2(M 1 + M 2 )ω 2 + 4 2 2 (1 + e ika + e ika + 1) ω 4 2(M 1 + M 2 )ω 2 + 4 2 2 2 (1 + cos(ka)) ω 4 2(M 1 + M 2 )ω 2 + 4 2 4 2 (1 sin 2 ka 2 ) ω 4 2(M 1 + M 2 )ω 2 + 4 2 sin 2 ka 2, (25) missä on käytetty hyväksi relaatioita cos(x) (e ix + e ix )/2 ja 1 + cos x 1 + cos 2 x 2 sin 2 x 2 2 2 sin2 x. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa hyväksikäyttäen saadaan 2 ω 2 2(M 1 + M 2 ) ± 4 2 (M 1 + M 2 ) 2 4 4 2 sin 2 ka 2 2 M 1 + M 2 ± (M 1 + M 2 ) 4 sin 2 ka 2 2 M 1 + M 2 ± M 1 + M 2 ± M1 2 + M2 2 2 (2 sin 2 ka 2 1) M1 2 + M2 2 + 2 cos(ka) Yllä olevassa vastaa +-merkkiä ja akustinen haara -merkkiä.. (26)
a) Oletetaan, että k 0. Siten ω 2 M 1 + M 2 ± M 21 + M 22 + 2 M 1 + M 2 ± (M 1 + M 2 ) 2 M 1 + M 2 ± (M 1 + M 2 ) { 2 M 1 +M 2 0 akustinen haara (27) (28) (29) (30) joten ν ω 2π { 1 2π 2 M 1+M 2 0 akustinen haara b) Oletetaan sitten, että k π/a. Vastaavasti saadaan, että ω 2 M 1 + M 2 ± M 21 + M 22 2 M 1 + M 2 ± (M 1 M 2 ) 2 M 1 + M 2 ± (M 1 M 2 ) joten { 2 M 2 2 M 1 ν ω 2π akustinen haara 1 2π 1 2π 2 M 2 2 M 1 akustinen haara Huom! Yllä on oletettu, että M 1 > M 2. Jos M 1 < M 2, niin yhtälöissä täytyy vaihtaa M 1 M 2. 5. Tehtävä: Äänen nopeus kuparissa on 4000 m/s. Arvioi atomien välinen jousivakio sekä akustisten hilavärähtelyjen maksimitaajuus. Arvioi Debye-lämpötila kaavalla Θ D ωmax k B. (kupari: pkk, hilavakio 361 pm, atomimassa 63.55. Oletetaan äänen suunnaksi 110, jolloin atomiketjumallissamme atomien välinen tasapainoetäisyys on hilavakio jaettuna 2:lla). Ratkaisu: Ääni etenee suuntaan 110 (muista, että 110 tarkoittaa tasoja (110) vastaan kohtisuoraa suuntaa). Atomien välinen tasapainoetäisyys on hilavakio jaettuna 2:lla. Luentojen perusteella äänen nopeus on c d M. (37) (31) (32) (33) (34) (35) (36)
Nyt c 4000 m/s, M 63.55 u missä u 1.66 10 27 kg on atomimassayksikkö. Siten jousivakio M c2 d 25.91 N 2 m. (38) Vastaavasti kulmataajuuden maksimiarvo ω max 2 M 2 c d Debye-lämpötilaksi saadaan 2π 4.99 THz. (39) Θ D ω max k B 239. (40) 6. Tehtävä: Määrää timantin lämpökapasiteetti moolia kohden huoneen lämpötilassa. äytä Θ D 1860 ja luentomonisteen kuvaa (sivu 13), jossa Debyen mallin mukainen lämpökapasiteetti on graasesti esitetty lämpötilan funktiona. Ratkaisu: Huoneen lämpötila on T H 293. Oletetaan, että Θ D 1860. Nyt T H Θ D 0.16. (41) Monisteen s. 13 kuvan perusteella ko. lämpötilassa lämpökapasiteetti moolia kohden (yhdessä moolissa N A 6.022 10 23 atomia) 23 atomia C(0.16Θ D ) 0.23 3 6.022 10 1.38 10 23 J mol 5.73 J mol. (42) Huomaa, että Debyen mallissa ω max ja siten Debye-lämpötila Θ D ω max /k B määräytyvät hilan ominaisuuksista (ei esim. lämpötilasta). Pienillä lämpötiloilla (T Θ D ) virittyvät vain värähtelijät, joiden taajuudet ovat k B T/. Vain nämä vaikuttavat ominaislämpökapasiteettiin, joka ko. alueessa on sen vuoksi pieni. orkeissa lämpötiloissa systeemi "saturoituu" klassiseen tulokseen. (Lisää Debye-mallista: kts. esim. Wikipedia: Debye model!)