Luento 6 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia Jan-Erik Holmberg Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto jan-erik.holmberg@riskpilot.fi 1
Katkosjoukkojen lukumäärä (1/3) Lähtökohtia Isoissa järjestelmissä perustapahtumia voi olla satoja Näistä muodostuvia katkosjoukkoja voi olla miljoonia tai peräti miljardeja tuloksena laskennallisia haasteita Päähuomio kohdistuu yleensä tn:ltään suurimpiin katkosjoukkoihin (esim. tn > 10-7 ) Miten tarkasteltavien katkosjoukkojen määrää voidaan rajoittaa siten, että tn:ltään kynnysarvon alittavia katkosjoukkoja ei välttämättä generoida? Lähestymistapa Järjestetään perustapahtumat tn:nsä mukaan alenevaan järjestykseen Rakennetaan puu, jossa» kullakin tasolla lisätään yksi vikaantuva perustapahtuma aiempien tasojen tapahtumiin» kullakin rivillä perustapahtumat esitetään em. tnjärjestyksen mukaisesti (so. tn:ltään suurin ensin, sitten toiseksi suurin jne.) 2
Katkosjoukkojen lukumäärä (2/3) Huomioita Olkoon P i i:nnen perustapahtuman tn Vikajoukko FS (failure set) on joukko toteutuvia perustapahtumia Jos perustapahtumat ovat riippumattomia, niin vikajoukon tn on P FS = i FS P i (1 P i ) i FS 3
Katkosjoukkojen lukumäärä (3/3) Tapahtuman lisääminen vikajoukkoon Jos FS on vikajoukko, joka saadaan lisäämällä vikajoukkoon FS perustapahtuma j, niin P FS = P j P 1 P i (1 P i ) j i FS i FS = P(FS) P j 1 P j P j Kerrointermi pienempi kuin 1 joss P 1 P j < 0.5 j Ts. jos FS:n tn on alle kynnysarvon, sama pätee tn-ehdon mukaisesti laajennetulle vikajoukolle vikajoukkojen määrää voidaan rajata Tapahtuman vaihtaminen toiseksi Jos FS saadaan vaihtamalla vikajoukossa FS perustapahtuma j tapahtumaksi k, niin P FS = P k (1 P j ) i FS FS = 1 P j P j P k 1 P k P(FS) P i i FS FS (1 P i ) Huom! Modarres Kerrointermi pienempi kuin 1 joss P k < P j (3.4) väärin! Ts. jos FS:n tn on alle kynnysarvon, sama pätee näin tehdyn vaihdon kautta saadulle vikajoukolle vikajoukkojen määrää voidaan rajata 4
Toisistaan riippuvat vikaantumiset Riippuvuuksien huomiointi Perustapahtumien taustalla voi olla yhteisiä syitä Nämä on pyrittävä huomioimaan muutoin saadut riskiarviot ovat alakanttiin, koska yhteisten syiden vaikutukset eivät näy tuloksissa Edellyttää tilastojen rakentamista ja käyttöä siten, että yhteiset vikaantumissyyt tunnistetaan» Tämä voi olla käytännössä haasteellista Esimerkki Järjestelmässä kolme komponenttia A,B ja C Järjestelmä toimii, jos komponenteista vähintään kaksi toimii (so. 2/3 portti) Komponentit voivat vikaantua toisistaan riippumatta Lisäksi komponentit A, B ja C voivat vikaantua yhteisistä syistä joko pareittain tai kaikki kolme Merkitään tapahtumia» A = komponentti vikaantuu (vast. B,C)» A I = A vikaantuu mistään muista syistä riippumatta (vast. B I, C I )» C AB = komponentit A ja B vikaantuvat yhteisestä syystä, joka ei vikaannuta C:tä (vast. C AC, C BC )» C ABC = kaikki kolme komponenttia vikaantuvat yhteisestä syystä 5
Vikapuuesitys Vikapuuesitys T 2/3 A B C + + + A I B I C I C AB C AC C BC A-komponentin vikaantuminen A = A I + C AB + C AC + C ABC Vikaantumissyyt toisensa poissulkevia A I C AB = A I C AC = A I C ABC = C AB C AC = C AB C ABC = C ABC 6
Vikaantumisen minimikatkosjoukot Vikaantuminen tapahtuu, kun T = A B + A C + B C Edellisen kalvon tulosten perusteella A B = A I + C AB + C AC + C ABC B I + C AB + C BC + C ABC = A I B I + C AB + C ABC (muiden parien leikkaukset tyhjiä) Minimikatkosjoukoiksi saadaan siis T = A I B I + A I C I + B I C I +C AB + C AC + C BC + C ABC Saadaan siis P T P A I P B I + P A I P C I +P(B I ) P(C I ) + P(C AB ) + P(C AC ) + P(C BC ) + P(C ABC ) (riippumattomille tapahtumille P(A I B I ) = P(A I ) P(B I ), leikkauksen A I B I C I tn paljon pienempi kuin parien) 7
Vikaantumistodennäköisyys Oletettakoon, että Kukin komponenteista vikaantuu muista syystä riippumatta samalla todennäköisyydellä Q 1 Pareittaiset samasta syystä aiheutuvat vikaantumiset tapahtuvat kukin tn:llä Q 2 Kaikki kolme vikaantuvat yhteisestä syystä tn:llä Q 3 Tällöin järjestelmä vikaantuu siis tn:llä P T 3 Q 1 2 + 3Q 2 + Q 3 Jos esimerkiksi Q 1 = 0.05, Q 2 = 0.02, Q 3 = 0.01, niin P T 3 0.05 2 + 3 0.02 + 0.01 = 0.0075 + 0.06 + 0.01 = 0.0775 Yhteisten riskitekijöiden osuus kokonaisriskistä siis 0.06 + 0.01 0.0775 = 90.3% Riippumattomien vikojen vaikutus on siis verraten vähäinen, koska näiden lausekkeissa tulotermejä 8
Riippuvuudet ja ehdolliset tn:t Lähtökohtia Viime luennolla perustapahtumat oletettiin riippumattomiksi (ks. pumppujärjestelmä) Jos perustapahtumilla yhteisiä vikaantumissyitä, niin yhden perustapahtuman tn kasvaa, jos toisen perustapahtuman tiedetään tapahtuneen Esim. jos perustapahtumia (A, B) on kaksi kuten edellä siten, että nämä voivat toteutua joko riippumatta (A I, B I ) tai yhteisestä syystä C AB, niin P A B = P A I P B I + P(C AB ) P B I + P(C AB ) Merkitään p AB = P A I P B I p A = P A I x = P(C AB ) f x = p AB + x p B + x f (x) = 1 p B + x p AB + x p B + x 2 = p B p AB p B + x 2 > 0 Minimi saavutetaan kohdassa x = P(C AB ) = 0, mikä vastaa riippumattomuutta 9
-faktorimalli Lähtökohtia Järjestelmän komponentit tuplataan m-kertaiseksi Yhteisen (common) vikaantumissyyn tapahtuessa kaikki komponentit vikaantuvat -parametri ilmaisee, miten suuressa osassa vikaantuminen aiheutuu yhteisestä syystä, ts. λ c β = λ c + λ I missä λ c on yhteisen syyn aiheuttama vikaantumistaajuus ja λ I on riippumaton vikaantumistaajuus Jos Q t on järjestelmän kokonaisvikaantumistn, niin järjestelmä vikaantuu siis» riippumattomien komponenttivikaantumisten tuloksena tn:llä Q 1 = (1 β)q t» yhteisestä syystä kaikkien komponenttien vikaantuessa tn:llä Q m = βq t Tarkalleen k komponenttia (1 < k < m) ei voi vikaantua yhteisestä syystä, koska yhteinen syy vikaannuttaa kaikki komponentit k valittua komponenttia (1 < k < m) vikaantuu todennäköisyydellä Q k = 0, k = 2,, m 1 10
Esimerkki Jäähdytysjärjestelmä Jäähdytys edellyttää sekä pumpun että venttiilin toimivan Pumppu- ja venttiiliosasysteemikokonaisuudet tuplataan luotettavuuden parantamiseksi Pumppu saattaa olla käynnistymättä (PS, pump failure to start) tai käydä liian vähän aikaa (PR, pump failure to run) Venttiili saattaa olla avaumatta (VO, valve failure to open) Käynnissä olevan pumpun vikaantumistaajuus PR» Jos pumppu käy ajan T, niin se vikaantuu tänä aikana todennäköisyydellä T q PR = න λ PR e λprt dt = 1 e λ PRT 0 11
Jäähdytysjärjestelmän vikapuu Rakennetaan vikapuu Minimikatkosjoukoiksi saadaan C 1 = P A P B, C 2 = P AB, C 3 = V A V B C 4 = V AB, C 5 = P A V B, C 6 = P B V A 12
Vikaantumistn:n laskenta (1/3) Arvioidaan yhteisistä syistä aiheutuvat vikaantumistaajuudet -faktorimallilla β PS = miten suuressa osassa tapauksista pumppu jää käynnistymättä yhteisestä syystä β PR = miten suuressa osassa pumppu ei käy tavoiteaikaa T yhteisestä syystä β VO = miten suuressa osassa venttiili ei avaudu yhteisestä syystä Minimikatkosjoukkojen tn:t P P A P B = 2 1 β PS q PS + 1 β PR q PR P P AB = β PS q PS + β PR q PR P V A V B = 1 β VO q VO 2 P V AB = β VO q VO P P A V B = P P B V A = 1 β VO q VO 1 β PS q PS + 1 β PR q PR 13
Vikaantumistn:n laskenta (2/3) Järjestelmän (System) vikaantumistn:n approksimoida ylhäältä summalla P(S) P(C i ) i=1 Huom! osa katkosjoukoista (esim. P A P B, V AB ) osin päällekkäisiä, kyse siis approksimaatiosta ylhäältä Tarkastellaan parametrien arvoja q PS = 0.02, q VO = 0.01 PR = 0.05/h, T = 1 h q PR = 1 exp( 0.05) = 0.0487 PS = PR = VO = 0.1 Katkosjoukkojen todennäköisyydet P P A P B = 0.9 0.02 + 0.9 0.0487 2 = 0.003831 P P AB = 0.1 0.02 + 0.1 0.0487 = 0.006877 P V A V B = 0.9 0.01 2 = 0.000081 P V AB = 0.1 0.01 = 0.001 P P A V B = P P B V A = 0.99 0.01 0.9 0.02 + 0.9 0.0487 = 0.000613 6 14
Vikaantumistn:n laskenta (3/3) Vikaantumistodennäköisyys siis 6 P S P C i = 0,013014 i=1 Yhteisten syiden (P AB, V AB ) osuus kokonaisriskistä P(P AB ) P(S) = 0.006877 0.013014 = 52.8% P(V AB ) P(S) = 0.001 0.013014 = 7.7% Yhteisten syiden merkitys siis iso, vaikka -parametrit verraten pieniä tasolla 0.1 Huomioita Yhden pumppu-venttiililinjan luotettavuus P S 1 = q PS + q PR + q VO = 0.0787 Jos voitaisiin tuplata ilman yhteisiä vikaantumisia (so. - parametrit nollia), niin vikaantumistn olisi P S 1 2 0.006194 Ts. yhteiset vikasyyt alentavat luotettavuutta paljon! 15
Yhteisvikaantumisen estimointi -faktorimallin kritiikki Oletus siitä, että yhteinen vika aiheuttaa aina kaikkien komponenttien vikaantumisen on kovin vahva» Esim. kolmen komponentin 2/N-järjestelmässä (ks. luennon alku) yhteiset syyt voisivat vikaannuttaa joko kaksi (esim. C AB ) tai kolme komponenttia (C ABC ) Yhteistodennäköisyydet estimoitavissa eri tavoin» -faktorimallissa kysytään, miten suurella tn:llä joku muu komponentti myös vikaantunut yhteisestä syystä, jos yhden komponentin tiedetään vikaantuneen» Jos komponentteja kaksi (A ja B) s.e. yhteisen vikaantuminen on tapahtuma C AB, niin P(C AB ) β = P B 1 + P(C AB ) Multiple Greek Letter (MGL)-malli Yleistää -faktorimallin siten, että yhteinen syy ei vikaannuta välttämättä kaikkia komponentteja Kysymykset» - faktori: millä tn:llä ainakin yksi toinen komponentti vikaantuu yhteisestä syystä, jos ko. komponentti vikaantunut?» -faktori: millä tn:llä ainakin kaksi muuta komponenttia vikaantuu yhteisestä syystä, jos ko. komponentti on vikaantunut yhteisestä syystä vähintään yhden toisen komponentin kanssa? 16
MGL-mallin estimointi (1/2) Alun esimerkin - ja -parametrit P C AB + P C AC + P C ABC β = P A 1 + P C AB + P C AC + P C ABC P C ABC γ = P C AB + P C AC + P C ABC Komponenttien riippumattomat (Q 1 ) ja pareittaiset (Q 2 ) vikaantumistn:t oletettiin samoiksi β = 2Q 2 + Q 3 2 0.02 + 0.01 = Q 1 + 2Q 2 + Q 3 0.05 + 2 0.02 + 0.01 = 33% Q 3 γ = = 20% 2Q 2 + Q 3 Tarkasteluissa ei kuitenkaan edetä näin päin, vaan niissä - ja - parametreista johdetaan pareittaisten, kolmittaisten jne. yhteisten syiden aiheuttamien vikaantumisten Q 2, Q 3, Q 4, tn:t m:n komponentin järjestelmässä yhden komponentin kokonaisvikaantumistn Q t (total) muodostuu siitä, että komponentti vikaantuu joko riippumatta tai kahden, kolmen jne. komponentin vikaantumisen aiheuttamasta yhteisestä syystä Yhdelle komponentille saadaan siis summa m m 1 Q t = k 1 k=1 Q k 17
MGL-mallin estimointi (2/2) Saadaan Q k -parametrien yhtälöt β = 2Q 2 + Q 3 Q 1 + 2Q 2 + Q 3 Q 3 Q 1 = (1 β)q t Q 2 = 1 2 (1 γ)βq t γ = 2Q 2 + Q 3 Q 3 = γβq t Q t = Q 1 + 2Q 2 + Q 3 Ts. Q k -parametrit esitettävissä - ja -parametrien algebrallisina lausekkeina Parametrit estimoidaan tarkastelemalla, miten usein useammat komponentin vikaantuvat yhteissyistä» Esim. -parametri saadaan jakamalla vähintään kolmen komponentin yhteisvikaantumisten lkm vähintään kahden komponentin yhteisvikaantumisten lkm:llä Yleinen tapaus Merkitään 1 = 1, 2 =, 2 =,, m + 1 = 0 Tällöin pätee Q k = m 1 k 1 1 k (1 ρ k+1 ) i=1 ρ i Q t Huom! Modarres s. 78 virhe 18