Geometrian harjoitustehtävien ratkaisuja

Geometrian harjoitustehtävien ratkaisuja 1.1 Tyhjä malli, jossa ei siis ole pisteitä tai suoria lainkaan, toteuttaa aksioomat (H1) ja (H2), muttei aksioomaa (H3). Jos määritellään malli niin, että siinä on täsmälleen kolme pistettä P,Q ja R ja neljä suoraa {P }, {P,Q}, {P,R} ja {Q,R} sekä sovitaan, että piste x kuuluu suoraan l jos x l, niin aksioomat (H1) ja (H3) toteutuvat, mutta aksiooma (H2) ei. Jos määritellään malli niin, että siinä on täsmälleen kolme pistettä P,Q ja R ja kaksi suoraa {P,R} ja {Q,R} sekä sovitaan, että piste x kuuluu suoraan l jos x l, niin aksioomat (H2) ja (H3) toteutuvat, mutta aksiooma (H1) ei, sillä pisteiden P ja Q kautta ei kulje yhtään suoraa. Aksiooma (H1) voi olla toteutumatta myös siitä syystä, että kahden pisteen kautta kulkee useampia suoria kuin yksi. Tällainen malli syntyy, kun valitaan siihen täsmälleen neljä pistettä P,Q,R ja S ja kolme suoraa {P,R,S}, {Q,R,S} ja {P,Q} sekä sovitaan, että piste x kuuluu suoraan l jos x l. Tällöin aksioomat (H2) ja (H3) toteutuvat, mutta aksiooma (H1) ei, sillä pisteiden R ja S kautta kulkee kaksi eri suoraa {P,R,S} ja {Q,R,S}. 1.2 a) Tässä oletetaan, että l ja m ovat eri suoria, jotka eivät ole yhdensuuntaisia. Väitetään, että l ja m leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä. Todistus. Koska l ja m eivät oletuksen mukaan ole yhdensuuntaisia, ne leikkaavat määritelmän 2.1 mukaisesti ainakin yhdessä pisteessä. Tällöin riittää osoittaa, että ne eivät voi leikata kahdessa eri pisteessä. Tehdään antiteesi: l ja m leikkaavat kahdessa eri pisteessä; olkoot ne A ja B. Koska A ja B siis ovat eri pisteitä, aksiooman (H1) nojalla niiden kautta kulkee vain yksi suora. Koska l ja m molemmat kulkevat A:n ja B:n kautta, on tällöin oltava l = m. Tämä on vastoin oletusta. Syntynyt ristiriita osoittaa, että antiteesi on väärä, joten väite on todistettu. b) Tässä oletetaan, että l on suora ja väitetään, että l:n ulkopuolella on ainakin yksi piste. Todistus. Aksiooman (H3) nojalla on olemassa kolme pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta. Tällöin erityisesti l ei kulje näiden kaikkien kautta, joten välttämättä ainakin jokin näistä kolmesta pisteestä on l:n ulkopuolella. c) Tässä oletetaan, että P on piste ja väitetään, että on olemassa suora, jo- 1

ka ei kulje P:n kautta. Todistus. Tehdään antiteesi: Kaikki suorat kulkevat pisteen P kautta. Aksiooman (H3) nojalla on olemassa kolme eri pistettä olkoot ne A, B ja C siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta. Aksiooman (H1) nojalla pisteiden A ja B kautta kulkee jokin suora l, pisteiden A ja C kautta jokin suora m ja vastaavasti pisteiden B ja C kautta kulkee suora n. Tässä on nyt kaksi mahdollisuutta: 1) P on jokin pisteistä A,B,C tai 2) pätee P A,B,C. Tarkastellaan ensin vaihtoehtoa 1). Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että P = A. Koska mikään suora ei kulje kaikkien pisteiden A,B,C kautta ja n kulkee B:n ja C:n kautta, suora n ei voi kulkea pisteen P = A kautta. Tämä on vastoin antiteesia, joten vaihtoehto 1) johtaa (toivotusti) ristiriitaan ja riittää tarkastella vaihtoehtoa 2). Aksiooman (H1) nojalla eri pisteiden P ja A kautta kulkee jokin suora olkoon se o. Antiteesin nojalla suora l kulkee myös pisteen P kautta, joten sekä l että o kulkevat eri pisteiden A ja P kautta. Silloin aksiooman (H1) yksikäsitteisyyspuolen nojalla on oltava l = o. Suora l kulkee valintansa nojalla pisteen B kautta, joten nyt myös suora o kulkee pisteen B kautta. Valintansa nojalla suora n kulkee myös pisteen B kautta ja lisäksi antiteesin nojalla suora n kulkee pisteen P kautta. Tällöin suorat n ja o molemmat kulkevat pisteiden P ja B kautta. Koska P ja B ovat tässä vaihtoehdossa 2) eri pisteitä, niin aksiooman (H1) yksikäsitteisyyspuolen nojalla on oltava n = o. Valintansa mukaisesti suora n kulkee pisteen C kautta, joten nyt piste C sisältyy myös suoraan o = n. Kuten edellä todettiin, suora o kulkee pisteiden A ja B kautta, joten nyt o sisältää kaikki kolme pistettä A,B ja C. Tämä on kuitenkin vastoin näiden pisteiden valintaa. Näin myös vaihtoehdossa 2) päädyttiin ristiriitaan. Koska muita vaihtoehtoja ei ole, antiteesi on väärä ja väite on todistettu. d) Tässä oletetaan, että P on piste ja väitetään, että P:n kautta kulkee ainakin kaksi eri suoraa. Todistus. Aksiooman (H3) nojalla on olemassa kolme eri pistettä olkoot ne A, B ja C siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta. Aksiooman (H1) nojalla pisteiden A ja B kautta kulkee jokin suora l, pisteiden A ja 2

C kautta jokin suora m ja vastaavasti pisteiden B ja C kautta kulkee suora n. Koska mikään suora ei kulje kaikkien pisteiden A,B,C kautta ja n kulkee B:n ja C:n kautta, n ei voi kulkea pisteen A kautta. Koska l ja m valintansa nojalla kulkevat A:n kautta, on tällöin oltava n l,m. Vastaavasti nähdään, että on myös l m, joten kaikki nämä suorat l,m ja n ovat eri suoria. Nyt tässä on taas kaksi mahdollisuutta: 1) P on jokin pisteistä A,B,C tai 2) pätee P A,B,C. Tarkastellaan ensin vaihtoehtoa 1). Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että P = A. Koska valintansa nojalla suorat l ja m kulkevat pisteen P = A kautta ja ovat kuten yllä todettiin eri suoria, väite pätee tässä tapauksessa. Tarkastellaan sitten vaihtoehtoa 2). Nyt aksiooman (H1) nojalla eri pisteiden P ja A kautta kulkee jokin suora olkoon se o. Vastaavasti eri pisteiden P ja B kautta kulkee jokin suora olkoon se p. Koska sekä o että p kulkevat pisteen P kautta, väite seuraa, jos pätee o p. Voidaan siis olettaa, että o = p. Aksiooman (H1) nojalla eri pisteiden P ja C kautta kulkee jokin suora olkoon se q. Koska sekä o että q kulkevat pisteen P kautta, väite seuraa, jos osoitetaan, että o q. Tehdään antiteesi: o = q, jolloin siis kaikki kolme suoraa o, p ja q ovat samoja. Koska o kulkee A:n, p pisteen B ja q pisteen C kautta, niin kaikki kolme pistettä A,B ja C ovat samalla suoralla o = p = q. Tämä on kuitenkin vastoin näiden pisteiden valintaa. Syntynyt ristiriita osoittaa, että antiteesi on väärä, joten väite on todistettu. 1.3 Valitaan malliin neljä eri pistettä A,B,C,D ja yksi suora {A,B,C}. Sovitaan, että suora l kulkee pisteen P kautta tarkoittaa sitä, että P l. Tällöin aksiooma (A1) ei toteudu, koska pisteiden A ja D kautta ei kulje yhtään suoraa. Sen sijaan kaikki muut aksioomat (A2) - (A7) toteutuvat, kuten helposti nähdään. 1.4 Valitaan malliin neljä eri pistettä A,B,C,D ja kolme suoraa {A,B,C}, {A,B,D}, {C,B,D}. Sovitaan taas, että suora l kulkee pisteen P kautta tarkoittaa sitä, että P l. Tällöin aksiooma (A2) ei toteudu, koska pisteiden A ja B kautta kulkee kaksi eri suoraa {A,B,C} ja {A,B,D}. Sen sijaan kaikki muut aksioomat (A1) ja (A3) - (A7) toteutuvat, kuten taas helposti näh- 3

dään. 1.5 a) Kierron K α matriisiesitys on siis [ ] cos α sin α mat(k α ) =, sinα cos α joten kierron K α matriisiesitys on [ ] [ ] cos( α) sin( α) cos α sin α mat(k α ) = =. sin( α) cos( α) sin α cos α Tällöin väite seuraa, jos osoitetaan, että matriisit [ ] [ ] cos α sin α cos α sin α ja sinα cos α sin α cos α ovat toistensa käänteismatriiseja. Tämä on suora lasku, joka perustuu tunnettuun yhtälöön cos 2 α + sin 2 α = 1. Tehtävän toinen väite K α K β = K α+β voidaan kirjoittaa matriisimuodossa väitteksi [ cos α sin α sinα cos α ] [ ] cos β sin β = sinβ cos β [ cos(α + β) sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β) Tämänkin todistus on suora lasku, joka perustuu tunnettuihin sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoihin sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β ja cos(α + β) = cos α cos β sinαsinβ. b) Jos karteesinen suora l kulkee origon kautta, niin se on muotoa l = {λv λ R}, missä v R 2 \ {(0,0)} on suoran suuntavektori. On ilmeistä, että l leikkaa yksikköympyrää täsmälleen pisteissä v/ v ja v/ v. Olkoon pisteen v/ v napakoordinaattiesitys v = (cos α,sin α) jollekin α R. v Tällöin toisen leikkauspisteen eli pisteen v/ v napakoordinaattiesitys on v = (cos(α + π),sin(α + π)). v Tehtävän väite voidaan silloin kirjoittaa muotoon K α P R K α = K α+π P R K α π. (1) Kohdan a) nojalla K α on bijektio ja sen käänteiskuvaus on K α. Tällöin väite (1) voidaan kirjoittaa muotoon P R = K α K α+π P R K α π K α. (2) ]. 4

Kohdan a) nojalla väite (2) tulee edelleen muotoon eli P R = K α+α+π P R K α π+α P R = K π P R K π. (3) Kierron matriisiesityksestä nähdään myös, että [ ] 1 0 mat(k π ) = mat(k π ) =. 0 1 Koska peilauksen P R matriisiesitys on mat(p R ) = [ ] 1 0, 0 1 niin väite (3) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa näin: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 1 0 1 0 1 0 =. (4) 0 1 0 1 0 1 0 1 Väite (4) nähdään helposti oikeaksi laskemalla oikealla puolella oleva matriisitulo. c) Olkoon l, v ja α kuten kohdassa b). Koska kierron K α matriisiesitys on [ ] cos α sinα mat(k α ) = sin α cos α ja [ ] cos α sinα sin α cos α niin [ ] λ cos α = λ sinα [ ] λ, (1) 0 K α (λ v v ) = K α(λ cos α,λsin α) = (λ,0) R {0} kaikille λ R. (2) Näin on nähty, että Käänteistä inkluusiota K α (l) R {0}. R {0} K α (l) varten riittää a)-kohdan nojalla osoittaa, että Tämä seuraa siitä, että [ cos α sin α sinα cos α K α (R {0}) l. ] [ ] λ = 0 [ ] λ cos α, (3) λ sin α 5

joten K α (λ,0) = (λ cos α,λsin α) = λ v l kaikille λ R. (4) v Jos näissä laskelmissa käytetään v/ v :n sijasta suoran l ja yksikköympyrän toista leikkauspistettä v/ v, jonka napakoordinaattiesitys on (ks. b)-kohta) v = (cos(α + π),sin(α + π)), v niin ehdon (1) sijasta saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] cos(α + π) sin(α + π) λ cos α cos α sin α λ cos α = = sin(α + π) cos(α + π) λ sin α sin α cos α λ sin α joten ehto (2) korvautuu ehdolla [ ] λ, 0 K (α+π) (λ v v ) = K α π(λ cos α,λsin α) = ( λ,0) R {0} kaikille λ R, mutta johtopäätös K (α+π) (l) R {0} voidaan tästäkin vetää. Ehto (3) korvautuu ehdolla [ ] [ ] [ ] cos(α + π) sin(α + π) λ cos α sinα = sin(α + π) cos(α + π) 0 sin α cos α joten ehdon (4) sijasta saadaan ehto [ ] λ = 0 K α (λ,0) = ( λ cos α, λ sin α) = λ v l kaikille λ R, v mutta väite K α+π (R {0}) l tästäkin seuraa. [ ] λ cos α, λ sin α Huomaa, että käytettäessä kiertoa K α+π kierron K α sijasta suora l kuvautuu reaaliakselille toisin päin, sillä kierrolla K α suoran l piste v/ v kuvautuu pisteeksi (1,0) ja piste v/ v kuvautuu pisteeksi ( 1,0), mutta kierrolla K α+π ne kuvautuvat päinvastaisessa järjestyksessä. 1.6 a) Koska a l ja S a (a) = a a = 0, niin S a (l) sisältää origon, joten riittää osoittaa, että S a (l) on suora. Koska l on suora ja a l, niin l voidaan esittää muodossa l = {a + λv λ R}, missä vektori v 0 on suoran l suuntavektori. Tällöin S a (l) = S a ({a + λv λ R}) = {S a (a + λv) λ R} = {(a + λv) a λ R} = {λv λ R}, 6

ja tämähän on suora, koska v 0. b) Kaikille x R 2 pätee joten S a :n käänteiskuvaus on S a. Kuvauksille K a,α ja K a, α pätee S a S a (x) = (x + a) a = x ja S a S a (x) = (x a) + a = x, i) ii) K a,α K a, α = S a K α S a S a K α S a = S a K α K α S a = S a S a iii) = id R 2 ja vastaavasti K a, α K a,α = S a K α S a S a K α S a iv) = S a K α K α S a v) = S a S a vi) = id R 2, joten K a, α ja K a,α ovat toistensa käänteiskuvauksia. Yllä yhtälöt i), iii), iv) ja vi) seuraavat kohdasta a). Yhtälöt ii) ja v) seuraavat tehtävästä 5 a). Olkoon v 0 suoran l suuntavektori ja valitaan a l kuten peilauksen P l määritelmässä. Olkoon pisteen v/ v napakoordinaattiesitys Tällöin määritelmien mukaan v = (cos α,sin α) jollekin α R. v P l = S a K α P R K α S a, joten P l on itsensä käänteiskuvaus, jos pätee S a K α P R K α S a S a K α P R K α S a = id R 2. (1) Koska S a ja S a sekä toisaalta K α ja K α ovat toistensa käänteiskuvauksia, niin väite (1) tulee muotoon S a K α P R P R K α S a = id R 2. (2) Koska määritelmänsä mukaan P R (x 1,x 2 ) = (x 1, x 2 ), niin se on triviaalisti itsensä käänteiskuvaus, jolloin väite (2) tulee edelleen muotoon S a K α K α S a = id R 2. (3) Väite (3) seuraa taas siitä, että S a ja S a sekä toisaalta K α ja K α ovat toistensa käänteiskuvauksia. 7

1.7 a) Koska K a,α = S a K α S a sekä S a (a) = 0 ja S a (0) = a, niin väite K a,α (a) = a seuraa, jos osoitetaan, että K α (0) = 0. Mutta tämä on triviaalia, koska K α on lineaarikuvaus. b) Tarkastellaan sitten peilausta P l. Olkoon v 0 suoran l suuntavektori ja valitaan a l kuten peilauksen P l määritelmässä. Olkoon pisteen v/ v napakoordinaattiesitys Tällöin ja v = (cos α,sin α) jollekin α R. v l = {a + λv λ R} (1) P l = S a K α P R K α S a. (2) Pitää siis osoittaa, että P l (x) = x kaikille x l, eli ehtojen (1) ja (2) mukaan että S a K α P R K α S a (a + λv) = a + λv kaikille λ R eli eli S a K α P R K α (λv) = a + λv kaikille λ R K α P R K α (λv) = λv kaikille λ R. (3) Koska origon suhteen tehtävät kierrot ovat lineaarikuvauksia ja P R on määritelmänsä perusteella myös lineaarinen, niin väite (3) voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon λk α P R K α (v) = λv kaikille λ R tai tai K α P R K α (v) = v K α P R K α ( v v ) = v v. (4) Tehtävän 5 c) nojalla piste v/ v kuvautuu kierrossa K α pisteeksi (1,0) ja määritelmänsä mukaan P R (1,0) = (1,0), joten väite (4) tulee muotoon K α (1,0) = v tai v (1,0) = K α ( v v ), mutta tämä siis todettiin jo tehtävässä 5 c). 8

2.1 Tässä oletetaan, että l on suora, jolla on tarkalleen viisi eri pistettä A,B,C,D ja E. Sovitaan, että voimassa ovat tarkalleen seuraavat välissäolot: A B C, C B A, A C D, D C A, E A C, C A E, A E B, B E A, D A B, B A D, A D E, E D A, B D C, C D B, B C E, E C B, E B D, D B E, C E D, C E D. Käymällä läpi kaikki vaihtoehdot nähdään, että aksioomat (H4) - (H6) pätevät. 2.2 Lauseen 2.3.5 ehto (i) ei toteudu, sillä esimerkiksi puolisuorat BA ja BC ovat ehdon A B C nojalla vastakkaisia, BA = {B,A,E,D} ja BC = {B,C,D,E}, joten BA BC = {B,D,E} {B}. Lauseen 2.3.5 ehto (ii) toteutuu eli vastakkaiset puolisuorat täyttävät koko suoran l. Esimerkiksi BA BC = {A,B,C,D,E}. Vastaava pätee myös kaikille muille l:n vastakkaisille puolisuorille, minkä näkee käymällä läpi kaikki tapaukset. Huomaa myös, että tämä esimerkki on kertomus siitä, että lauseen 2.3.5 ehto (ii) ei olisi riittävän vahva (aksioomaksi) implikoimaan ehtoa (i). Vertaa määritelmän 2.4 jälkeiseen huomautukseen. 2.3 Pisteet olkoot 1, 2,..., 21 ja suorat {1,2,3,4,5}, {1,6,7,8,9}, {1,10,11,12,13}, {1,14,15,16,17}, {1,18,19,20,21}, {2,6,10,14,18}, {2,7,11,15,19}, {2,8,12,16,20}, {2,9,13,17,21}, {3,6,11,16,21}, {3,7,10,17,20}, {3,8,13,14,19}, {3,9,12,15,18}, {4,6,12,17,19}, {4,7,13,16,18}, {4,8,10,15,21}, {4,9,11,14,20}, {5,6,13,15,20}, {5,7,12,14,21}, {5,8,11,17,18}, {5,9,10,16,19}. Suoria on siis myös 21 kappaletta. Sovitaan, että piste P kuuluu suoraan l jos P l. Käymällä läpi kaikki vaihtoehdot nähdään, että aksiooma (H1) pätee. Aksioomat (H2) ja (H3) pätevät triviaalisti. 9

2.4 a) Käymällä läpi kaikki vaihtoehdot nähdään, että tehtävän 2.3 mallissa kaikki suorat leikkaavat toisiaan, joten yhdensuuntaisia suoria ei ole lainkaan. b) Jokaisella suoralla määritellään järjestys samalla tavalla kuin tehtävässä 1. Tämähän riippuu tietysti siitä, mikä kyseisen suoran piste vastaa tehtävän 1 A:ta, mikä B:tä jne., mutta valitaan jokin tällainen järjestys kullekin suoralle erikseen. Jos jotkut kolme pistettä eivät kuulu samalle suoralle, niiden välille ei tietenkään mitään järjestystä määritellä. Tehtävän 1 perusteella aksioomat (H4) - (H6) pätevät. Huomaa, että nämä aksioomat ovat yksiulotteisia eli ne ikäänkuin toimivat vain yksittäisillä suorilla. Vasta aksiooma (H7) on kaksiulotteinen. Tehtävän 3 mukaan myös aksioomat (H1) - (H3) toteutuvat; nämähän eivät riipu valitusta järjestyksestä lainkaan. Nyt siis aksioomat (H1) - (H6) toimivat tehtiinpä suorien järjestäminen (eli viime kädessä pisteiden nimeäminen, vrt. edellinen kappale) miten tahansa, ts. valittinpa kullakin suoralla järjestys miten tahansa, kunhan se tehdään samalla periaatteella kuin tehtävässä 1. Tässä vaiheessa ei siis tarvitse tietää tarkalleen kaikkien suorien järjestystä. Aksiooma (H7) poikkeaa tässä suhteessa muista kaksiulotteisuutensa takia ja sen paikkansapitävyyden testaamiseksi (ainakin tarkkaan aksiooman sanamuotoon perustuen) olisi tiedettävä kaikkien suorien järjestys tarkkaan. Tässähän voisi periaatteessa käydä niin, että jollakin sopivalla globaalilla järjestyksellä aksiooma (H7) pelaisi, jollakin toisella taas ei. Näin ei kuitenkaan käy, vaan aksiooma (H7) ei missään tapauksessa voi olla voimassa. Tämä johtuu siitä, että tehtävässä 2 todettiin, että suorien järjestys ei toteuta lauseen 2.3.5 ehtoa (i). Toisaalta kyseinen lause pätee, mikäli aksiooma (H7) (muiden aksioomien lisäksi) pätee; tämähän on siis todistettu luennolla. Siispä tässä tapauksessa aksioomaa (H7) ei voi saada (aksioomien (H1) - (H6) lisäksi) voimaan millään ilveellä. Ylimääräisenä harjoitustehtävänä voit tarkistaa, missä aksiooma (H7) menee pieleen, jos annat konkreettisen järjestyksen kaikille 21 suoralle. 2.5 a) Tyhjä malli, jossa pisteitä ja suoria ei ole lainkaan. b) Yksi piste ja yksi suora, joka ei kulje kyseisen pisteen kautta. c) Kolme pistettä ja yksi suora, joka kulkee näiden kaikkien kolmen pisteen kautta. 2.6 Tässä mallissa siis suoria ovat isoympyrät eli joukot S T, missä S on R 3 :n yksikköpallon pinta eli S = {x R 3 x = 1} ja T on origon kautta kulkeva taso eli kaksiulotteinen R 3 :n aliavaruus. Pisteitä ovat antipodaaliset vektoriparit {x, x}, missä x S. Piste {x, x} sisältyy suoraan l, mikäli {x, x} l. 10

Aksioomat (A4) - (A6) ovat triviaalisti voimassa; samoin on triviaalia, että aksiooma (A7) ei päde. Aksiooma (A1) pätee, sillä jos P = {x, x} ja Q = {y, y} ovat eri pisteitä eli {x, x} {y, y}, niin ilmeisesti vektorit x ja y ovat lineaarisesti riippumattomia, joten aliavaruus T = x, y on kaksiulotteinen. Silloin l = S T on mallimme suora, joka kulkee pisteiden P ja Q kautta. Myös aksiooma (A2) pätee, sillä jos P,Q ja l ovat kuten yllä ja jos myös suora l = S T kulkee pisteiden P ja Q kautta, niin välttämättä l = l. Tämän näkee näin: Koska x ja y ovat lineaarisesti riippumattomia ja {x,y} l T, niin {x,y} on kaksiulotteisen aliavaruuden T kanta ja silloin T = x,y eli T = T, joten l = S T = S T = l. Pitää vielä nähdä, että aksiooma (A3) pätee. Olkoot siis l = S T ja l = S T eri suoria; pitää osoittaa, että ne leikkaavat toisiaan. Koska dim T = 2 = dimt niin leikkausjoukko eli aliavaruus T T on vähintään yksiulotteinen. Tämä johtuu siitä, että muussa tapauksessa olisi T T = {0} ja tällöin LAG:n tietojen perusteella olisi dim(t + T ) = 2 + 2 = 4, mikä on mahdotonta, koska T + T on R 3 :n aliavaruus. Koska siis dim(t T ) 1, niin voidaan valita jokin nollasta eroava vektori v T T, ja silloin { v v, v v } T T, (1) koska T T on aliavaruus. Ehdon (1) nojalla suorat l = S T ja l = S T leikkaavat pisteessä { v v, v v }. 2.7 a) Koska cos 2kπ = 1 ja sin2kπ = 0 kaikille k Z, niin origon ympäri tehtävän kierron K 2kπ matriisiesitys on yksikkömatriisi ja siten K 2kπ on identtinen kuvaus kaikille k Z. Silloin myös pisteen a ympäri tehtävälle kierrolle K a,2πk pätee K a,2πk = S a K 2kπ S a = S a S a = id R 2, sillä S a ja S a ovat toistensa käänteiskuvauksia, kuten tehtävässä 1.6 b) nähtiin. Oletetaan kääntäen, että kierto K a,α on identtinen kuvaus. Väitteenä on, että α on jokin 2π:n monikerta. Koska määritelmän mukaan K a,α = S a K α S a sekä S a ja S a ovat toistensa käänteiskuvauksia, niin Tällöin erityisesti K α = S a K a,α S a = S a id R 2 S a = S a S a = id R 2. (1) K α (1,0) = (1,0). (2) 11

Ehto (2) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa näin: [ ] [ [ cos α sin α 1 1 = eli sin α cos α 0] 0] [ ] [ ] cos α 1 =. (3) sin α 0 Matriisiehto (3) tarkoittaa sitä, että { cos α = 1 sinα = 0. (4) Sinin ja kosinin tunnettujen ominaisuuksien nojalla ehto (4) voi päteä vain, mikäli α on jokin 2π:n monikerta. b) Todistetaan ensin väite siinä tapauksessa, että kiertokeskipiste a on origo. Todistus on epäsuora. Oletetaan siis, että K α (x) = x, jollekin x 0. Väitteenä on, että kiertokulma α on jokin 2π:n monikerta. Koska K α on lineaarikuvaus, niin oletuksen nojalla Tällöin erityisesti K α (λx) = λk α (x) = λx kaikille λ R. K α ( x x ) = x x. Olkoon yksikköympyrän pisteen x x napakoordinaattiesitys x = (cos β,sin β) jollekin β R, x jolloin siis Tehtävän 1.5 nojalla K α (cos β,sin β) = (cos β,sin β). (5) K β (cos β,sin β) = (1,0) ja K β (1,0) = (cos β,sin β), jolloin ehdon (5) nojalla Tehtävän 1.5 nojalla myös K β K α K β (1,0) = (1,0). (6) K β K α K β = K β+α+β = K α, joten ehdon (6) nojalla K α (1,0) = (1,0). (7) 12

Selvästi K π (1,0) = (0,1), 2 josta saadaan ehdon (7) ja tehtävän 1.5 nojalla K α (0,1) = K α K π (1,0) = K 2 α+ π (1,0) = K π 2 2 +α (1,0) = (8) K π K 2 α(1,0) = K π (1,0) = (0,1). 2 Ehtojen (7) ja (8) nojalla kierron K α matriisiesitys luonnollisessa kannassa on [ ] [ ] cos α sin α 1 0 =, sin α cos α 0 1 joten { cos α = 1 sinα = 0. Tämä on ehto (4), josta nähdään samoin kuin edellä, että α on jokin 2π:n monikerta, joten väite on todistettu kiertokeskipisteelle a = 0. Jos a 0 ja kierto K a,α säilyttää pisteen x a, niin origokeskinen kierto K α säilyttää pisteen x a, sillä K α (x a) = S a K a,α S a (x a) = S a K a,α (x) = S a (x) = x a. Koska x a, niin x a 0 ja silloin tehtävän alkuosan nojalla origokeskinen kierto K α on identtinen kuvaus. Tällöin myös kierto K a,α on identtinen kuvaus, mikä nähdään vastaavalla tavalla kuin ehdossa (1). 2.8 Oletetaan, että P l (x) = x. Pitää osoittaa, että x l. Olkoon a l kuten peilauksen määritelmässä, jolloin siis jollekin suuntavektorille v 0 pätee tehtävän 1.6 a) mukaisesti Olkoon vektorin v/ v napakoordinaattiesitys l = {a + λv λ R} ja (1) S a (l) = {λv λ R}. (2) v = (cos α,sin α) jollekin α R. v Tällöin peilauksen määritelmän mukaan P l = S a K α P R K α S a, ja siten oletuksen perusteella Tästä saadaan edelleen S a K α P R K α S a (x) = x. K α P R K α S a (x) = S a (x) 13

ja edelleen P R K α S a (x) = K α S a (x) Tällöin siis reaaliakselin suhteen tehtävä peilaus P R (x 1,x 2 ) = (x 1, x 2 ) pitää pisteen K α S a (x) paikallaan, jolloin on ilmeisesti oltava K α S a (x) R {0}. (3) Tehtävän 1.5 ja esityksen (2) nojalla kierto K α kuvaa reaaliakselin eli joukon R {0} suoraksi S a (l). Silloin ehdon (3) nojalla eli tehtävän 1.5 a) nojalla K α K α S a (x) S a (l) S a (x) S a (l), josta väite x l seuraa ehdon S a S a = id R 2 nojalla. 14

3.1 Tässä oletetaan, että BAC on kulma ja B,C pisteitä siten että AB = AB ja AC = AC, jolloin siis BAC = B AC. Oletetaan myös, että piste D on kulman BAC sisäpuolella eli määritelmän mukaan pisteet D ja B ovat samalla puolella suoraa AC ja toisaalta D ja C ovat samalla puolella suoraa AB. Väitteenä on, että piste D on (määritelmän mukaisesti) myös kulman B AC sisäpuolella eli että D ja B ovat samalla puolella suoraa AC sekä D ja C ovat samalla puolella suoraa AB. Todistus. Koska B AB \ {A} = AB \ {A}, niin lauseen 2.3.5 kohdan (iii) nojalla B ja B ovat samalla puolella suoraa AC. (1) Koska oletuksen mukaan D ja B ovat samalla puolella suoraa AC, niin ehdon (1) ja aksiooman (H7) nojalla D ja B ovat samalla puolella suoraa AC. (2) Koska AC = AC, niin myös AC = AC, ja silloin ehdon (2) nojalla D ja B ovat samalla puolella suoraa AC. Tämä on väitteen ensimmäinen osa. Jälkimmäinen osa todistetaan vastaavasti B :n ja C :n roolit vaihtaen. 3.2 Tässä oletetaan, että BAC on kulma ja piste D sen sisäpuolella, jolloin BAD on ilmeisesti myös kulma. Oletetaan lisäksi, että piste P on kulman BAD sisäpuolella. Väitteenä on, että P on kulman BAC sisäpuolella. Todistus. Koska D on kulman BAC sisäpuolella, niin puomilauseen nojalla puolisuora AD leikkaa janaa BC, jolloin on olemassa piste E siten, että E AD \ {A} ja (1) B E C. (2) Ehdon (1) ja lauseen 2.3.5 nojalla AD = AE, jolloin BAD = BAE ja oletuksen mukaan P on kulman BAE sisäpuolella. Tällöin puomilauseen nojalla puolisuora AP leikkaa janaa BE, jolloin on olemassa piste Q siten, että Q AP \ {A} ja (3) B Q E. (4) 15

Ehtojen (2) ja (4) sekä lauseen 2.3.4 nojalla Ehdon (5) ja lauseen 2.3.9 nojalla B Q C. (5) Q on kulman BAC sisäpuolella. (6) Ehtojen (3) ja (6) sekä lauseen 2.3.10 (i) nojalla väite seuraa. 3.3 Tässä oletetaan, että D ja C ovat samalla puolella suoraa AB ja että B A E. Väitteenä on, että piste D on joko puolisuoralla AC, kulman BAC sisäpuolella tai kulman CAE sisäpuolella. Todistus. 1) Tarkastellaan ensin tapausta, jossa D on suoralla AC. Koska oletuksen mukaan D ja C ovat samalla puolella suoraa AB, niin ei voi olla D A C, jolloin aksiooman (H6) ja puolisuoran määritelmän mukaan D AC ja väite pätee. 2) Riittää siis tarkastella tapausta, jossa D ei ole suoralla AC. Tällöin joko D ja B ovat samalla puolella suoraa AC tai (1) D ja B ovat eri puolella suoraa AC. (2) Tapauksessa (1) piste D on oletuksen nojalla BAC sisäpuolella ja väite pätee. Riittää siis tarkastella vaihtoehtoa (2). Oletuksen B A E nojalla pisteet B ja E ovat eri puolella suoraa AC, jolloin ehdon (2) ja aksiooman (H7) nojalla D ja E ovat samalla puolella suoraa AC. Tällöin oletuksen nojalla D on kulman CAE sisäpuolella ja väite pätee. Koska muita vaihtoehtoja ei ole, väite on todistettu. 3.4 Tässä oletetaan, että ABC on kolmio ja piste P sen sisäpuolella. Q on mielivaltainen piste. Väitetään, että Q on joko jollakin puolisuoralla PA, PB tai PC tai sitten jonkun kulman APB, BPC tai CPA sisäpuolella. Todistus. 1) Olkoon ensin Q suoralla PA. Jos Q PA, niin väite pätee. Voidaan siis olettaa, että Q PA.Tällöin aksiooman (H6) nojalla pätee Q P A. (1) 16

Oletuksen nojalla P on kulman CAB sisäpuolella. Tällöin puomilauseen nojalla puolisuora AP leikkaa janaa BC pisteessä R, jolle pätee R AP \ {A} ja (2) B R C. (3) Ehdon (3) nojalla R on kulman ABC kyljellä BC, jolloin ABR = ABC. (4) Oletuksen ja ehdon (4) nojalla P on kulman ABR sisäpuolella, ja silloin ehdon (2) ja lauseen 2.3.9 nojalla pätee Ehtojen (1) ja (5) sekä lauseen 2.3.5 nojalla R P A. (5) PR = PQ. (6) Koska ehdon (1) perusteella Q P, niin ehdon (6) nojalla Q PR \ {P }. (7) Ehdon (3) ja lauseen 2.3.9 nojalla R on kulman BPC sisäpuolella ja silloin ehdon (7) sekä lauseen 2.3.10 (i) nojalla myös Q on kulman BP C sisäpuolella, joten väite pätee. 2) Riittää siis tarkastella tapausta, jossa piste Q ei ole suoralla PA. Kuten edellä löytyy ehdot (2), (3) ja (5) toteuttava piste R. Ehdon (3) nojalla B ja C ovat eri puolilla suoraa RA. Ehdon (2) nojalla RA = PA, joten B ja C ovat eri puolilla suoraa PA. Tällöin aksiooman (H7) nojalla nähdään, että joko Q ja B tai sitten Q ja C ovat samalla puolella suoraa P A. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla (B C; huomaa, että väite on symmetrinen B:n ja C:n suhteen) voidaan olettaa, että Q ja B ovat samalla puolella suoraa PA. (8) Ehtojen (5) ja (8) sekä tehtävän 3.3 nojalla piste Q on joko puolisuoralla PB, (9) kulman BPA sisäpuolella tai (10) kulman BPR sisäpuolella. (11) Vaihtoehdoissa (9) ja (10) väite pätee, joten riittää todistaa väite tapauksessa (11). 17

Kuten edellä, ehdon (3) ja lauseen 2.3.9 nojalla R on kulman BPC sisäpuolella ja silloin tehtävän 3.2 ja ehdon (11) nojalla myös Q on kulman BPC sisäpuolella, ja väite pätee tässäkin tapauksessa. Huomautus. Näyttää tosiaan vahvasti sille, että karteesisessa mallissa tehtävän 3.4 väite ei päde, jos piste P on kolmion ABC ulkopuolella: P C Q B A Itse asiassa voidaan todistaa, että tehtävän 3.4 väite ei päde missään mallissa, jos piste P on kolmion ABC ulkopuolella. Jätetään tämä todistus ylimääräiseksi harjoitustehtäväksi. 3.5 Pisteet ovat A,B,C,D,E,F,G ja suorat {A,B,C}, {A,D,E}, {A,F,G}, {B,E,F }, {C,E,G}, {C,D,F }, {B,D,G}. Piste P sisältyy suoraan l jos P l. Huomaa, että tämä on tehtävän 2.6 jälkeisen huomautuksen loppukysymykseen liittyen kertalukua 2 oleva esimerkki, joka eroaa muista kyseisistä esimerkeistä siinä, että se toteuttaa myös aksiooman (A7). E D G F A B C Kuvassa siis katkoviivat ja ympyrä esittävät suoria. 3.6 Jos origo on kiertokeskipiste, niin suoraan määritelmän nojalla kierto K α 18

on lineaarinen. Toisaalta jos kierto K a,α id R 2 on lineaarinen, niin se kuvaa origon origolle kuten lineaarikuvaus aina. Tehtävän 2.7 b) nojalla ainoastaan kiertokeskipiste säilyy tässä kierrossa paikallaan, joten origon on oltava kiertokeskipiste. Jos peilaussuora l kulkee origon kautta, niin suoraan määritelmän nojalla P l on lineaarinen. Toisaalta jos P l on lineaarinen, niin se kuvaa origon origolle. Tehtävän 2.8 nojalla ainoastaan peilaussuoran l pisteet säilyvät peilauksessa paikallaan, joten origo on välttämättä peilaussuoran piste. 3.7 Olkoon v origon kautta kulkemattoman suoran l suuntavektori. Peilaus P l määriteltiin käyttäen jotakin pistettä a l määrittelemällä P l = S a P S a(l) S a. (1) Jos käytetään jotain toista pistettä b l määritelmäksi tulee P l = S b P S b (l) S b. (2) Pitää siis osoittaa, että määritelmät (1) ja (2) ovat samoja eli että S a P S a(l) S a = S b P S b (l) S b kaikille a,b l. (3) Merkitään symbolilla m origon kautta kulkevaa suoraa m = {λv λ R}, tässä siis v on suoran l suuntavektori. Tehtävässä 1.6 a) nähtiin, että S a (l) = m. Tämä pätee siis mielivaltaiselle suoran l pisteelle a ja siten myös pisteelle b eli myös S b (l) = m. Silloin väite (3) tulee muotoon S a P m S a = S b P m S b kaikille a,b l. (4) Kiinnitetään a,b l. Tällöin b voidaan esittää muodossa b = a + λv jollekin λ R. Ilmeisesti silloin S b = S a+λv = S a S λv ja S b = S a λv = S λv S a, joten väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että tai yhtäpitävästi, että eli että S a P m S a = S a S λv P m S λv S a P m = S λv P m S λv P m (x) = S λv P m S λv (x) kaikille x R 2. (5) Olkoon x R 2 mielivaltainen. Väite (5) seuraa, jos osoitetaan, että P m (x) = S λv P m (x λv). (6) 19

Koska m on origon kautta kulkeva suora, niin tehtävän 3.6 nojalla P m on lineaarikuvaus, jolloin P m (x λv) = P m (x) P m (λv), ja silloin S λv P m (x λv) = P m (x) P m (λv) + λv. (7) Ehdon (7) nojalla väite (6) tulee muotoon P m (x) = P m (x) P m (λv) + λv P m (λv) = λv. (8) Väite (8) seuraa tehtävästä 1.7, sillä m:n määritelmän mukaan λv on peilaussuoran m piste. 3.8 Tässä tehtävässä voi tietysti ensin kyseenalaistaa pisteen a olemassaolon eli voi kysyä onko suoralla l pistettä, a jolle pätee x a v. Tämän pisteen löytää näin: Valitaan ensin jokin piste b l, jolloin l on muotoa Olkoon ( ) euklidinen sisätulo R 2 :ssa. Määritellään l = {b + λv λ R}. (1) a = b + eli (x b v) v 2 v, (2) jolloin esityksen (1) perusteella a l. Lisäksi pätee x a v, sillä (x b v) (x a v) = (x b v 2 v v) = (x b v) (x v) (b v) v 2 (v v) = (x v) (b v) (x v) + (b v) = 0. a) Tehtävän 3.7 nojalla peilauksen P l määritelmässä voidaan käyttää nimenomaan tätä pistettä a, jolloin väitteen ensimmäisessä osassa pitää osoittaa, että vektori S a P S a(l) S a (x) a on kohtisuorassa suoran l suuntavektorin v kanssa eli että (S a P S a(l) S a (x) a v) = 0 eli (S a P S a(l)(x a) a v) = 0 eli ((P S a(l)(x a) + a) a v) = 0 eli (P S a(l)(x a) v) = 0. (1) Tehtävän 1.6 nojalla vektori v on origon kautta kulkevan suoran S a (l) piste, jolloin tehtävän 1.7 nojalla P S a(l)(v) = v. Tällöin väite (1) voidaan kirjoittaa muotoon (P S a(l)(x a) P S a(l)(v)) = 0. (2) 20

Jos neliömatriisi M on ortogonaalinen, niin suoraan määritelmien nojalla M T = M 1, missä M T on matriisin M transpoosi. Toisaalta suoraan laskemalla nähdään, että kaikille vektoreille x ja y sekä kaikille matriiseille M pätee (M x y) = (x M T y), joten ortogonaaliselle M pätee (Mx My) = (x M T My) = (x y) kaikille x,y, (3) eli M säilyttää sisätulon. Silloin väite (2) seuraa oletuksesta (x a v) = 0, jos peilauksen P S a(l) matriisi on ortogonaalinen. (Huomaa, että suora S a (l) kulkee origon kautta, jolloin tehtävän 3.6 mukaan kyseessä on lineaarikuvaus ja voidaan järkevästi puhua sen matriisista.) Tämä puolestaan seuraa siitä, että kierron matriisi on aina ortogonaalinen ja peilauksen P R matriisi on sitä myös. Lisäksi ortogonaalisten matriisien tulo on ortogonaalinen, mikä seuraa siitä, että ehto M T = M 1 on myös riittävää ortogonaalisuudelle ja ortogonaalisille M,N pätee (MN) T (MN) = N T M T MN = N T N = I. Kohdan a) jälkimmäinen väite P l (x) a = x a voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muotoon S a P S a(l) S a (x) a = x a S a P S a(l)(x a) a = x a (P S a(l)(x a) + a) a = x a P S a(l)(x a) = x a. (4) Väite (4) seuraa ehdosta (3) ja peilauksen P S a(l) matriisin ortogonaalisuudesta, sillä ehdon (3) nojalla Mx 2 = (Mx Mx) = (x x) = x 2. b) Oletuksen ja kohdan a) nojalla vektorit x a ja P l (x) a kuuluvat molemmat vektorin v virittämän yksiulotteisen avaruuden ortogonaalikomplementtiin, joka on myös yksiulotteinen R 2 :n aliavaruus. Koska siis a)-kohdan nojalla P l (x) a = x a, niin on oltava tai tai tai P l (x) a = ±(x a). (5) Koska x ei oletuksen mukaan ole peilaussuoran l piste, niin tehtävän 2.8 nojalla P l (x) x ja silloin myös P l (x) a x a. Tällöin ehdon (5) nojalla on oltava P l (x) a = (x a). (6) Väite P l (x) = x + 2a seuraa välittömästi ehdosta (6). c) Väite a = 1 2 (x + P l(x)) seuraa myös välittömästi ehdosta (6). 21

4.1 Tässä oletetaan, että l, m ja n ovat eri suoria siten, että l m ja että m n; lisäksi A on suoran l, B suoran m ja C suoran n piste siten, että A B C. Väitetään, että l n. Todistus. Tehdään antiteesi: l n. Tällöin suorat l ja n leikkaavat toisiaan jossakin pisteessä P. A B C P n l m Huomataan ensin, että A ei voi kuulua suoralle n. Jos se näet olisi n:n piste, niin oletuksen A B C nojalla suoran m piste B olisi suoralla AC = n, missä se oletuksen m n mukaan ei voi olla. Vastaavasti nähdään, että C ei voi kuulua suoralle l. Koska suorien l ja n leikkauspiste P kuuluu molemmille suorille l ja n, täytyy tällöin olla P A,C. Siten l = AP ja n = CP. Koska siis A ei kuulu suoralle n = CP ja P C, niin ACP on kolmio. Koska oletuksen mukaan A B C ja B on suoran m piste, niin m leikkaa kolmion ACP sivua AC muualla kuin kärkipisteessä. Paschin lauseen nojalla tällöin m leikkaa myös (ainakin) toista sivuista AP tai CP. Koska siis l = AP ja n = CP, niin m leikkaa (ainakin) toista suorista l ja n. Tämä on kuitenkin oletuksen l m ja m n nojalla mahdotonta. Näin antiteesi johtaa ristiriitaan, joten väite on todistettu. Ilman oletusta A B C väite ei aksioomilla (H1) - (H13) ole todistettavissa. Tästä on esimerkkinä ns. Poincarén malli, jota esitellään seuraavassa kuvassa. Tässä perusjoukkona on tason avoin yksikkökiekko B = {v R 2 v < 1}, missä on tavallinen euklidinen normi. Suoria ovat kaikki kiekon halkaisi- 22

jat, jotka syntyvät, kun origon kautta kulkeva karteesinen suora leikkaa kiekkoa B. Lisäksi suoria ovat sellaiset karteesisen ympyrän kaaret, jotka syntyvät kun yksikköympyrän S = {v R 2 v = 1} kanssa ortogonaaliset tavalliset ympyrät leikkaavat kiekkoa U. Ortogonaalisuus tarkoittaa tässä sitä, että molemmissa ympyröiden leikkauspisteissä ympyröiden tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. l m Ylläolevassa kuvassa on eri tyyppiä (halkaisija ja ortogonaalinen kaari) olevat suorat l ja m. Huomaa, että näitä eri tyyppiä olevia suoria kohdellaan täysin tasavertaisesti, molemmat ovat (vain) Poincarén mallin suoria. Huomaa, että kuvassa olevat suorat l ja m ovat yhdensuuntaisia, koska ne eivät leikkaa toisiaan. Tässä Poincarén mallissa pisteitä ovat kaikki avoimen kiekon B pisteet ja pisteen kuuluminen suoraan määritellään tavalliseen joukko-opilliseen tapaan: piste P on suoralla l jos P l. Välissäolon sen enempää kuin yhtenevyyksienkään määritelmiin ei mennä tässä, mutta ne voidaan tehdä niin, että kaikki aksioomat (H1) - (H13) toteutuvat. Janat tulevat näyttämään intuitiivisesti siltä miltä pitääkin, eli pisteiden A ja B välinen jana on joko kiekon U halkaisijan pätkä tai pätkä ortogonaalista ympyrää, intuitiivisina päätepisteinä A ja B seuraavan kuvan osoittamalla tavalla; huomaa, että suora reitti eli kuvassa oleva pisteviiva pisteestä A pisteeseen B ei ole Poincarén jana AB: 23

B A B A Jos nyt tämän tehtävän oletuksen mukaisesti l, m ja n ovat eri suoria siten, että l m ja että m n; A suoran l, B suoran m ja C suoran n pisteitä siten, että vaikkapa B C A, niin voi käydä näin: B m n C A l Tässähän l ja n eivät ole yhdensuuntaisia, koska ne leikkaavat toisiaan. Huomaa, että m ja l ovat yhdensuuntaisia juuri ja juuri, ts. ne sivuavat toisiaan, mutta sivuamispiste on kiekon B reunalla, joten se ei ole Poincarén mallin piste, joten suorilla m ja l ei ole yhteistä (Poincarén) pistettä ja siten ne ovat yhdensuuntaisia. Tämä juuri ja juuri -tilanne ei tietenkään ole mitenkään välttämätön tämän esimerkin kannalta. Näin käy siis Poincarén mallissa, mutta yleisemminkin hyperbolisessa geometriassa yhdensuuntaisuusrelaation transitiivisuus ei päde. Jos suoran l ulkopuolella olevan pisteen P kautta kulkee kaksi l:n kanssa yhdensuuntaista suoraa m ja n, niin m l ja l n mutta m ja n eivät ole yhdensuuntaisia, koska ne leikkaavat pisteessä P. 4.2 Tässä oletetaan, että ABC ja A B C ovat yhteneviä kulmia, puolisuora BD on kulman ABC sisällä ja vastaavasti puolisuora B D on kulman 24

A B C sisällä siten, että kulmat ABD ja A B D ovat yhteneviä. Väitteenä on, että myös kulmat DBC ja D B C ovat yhteneviä. Todistus. Aksiooman (H8) nojalla puolisuoran B C alusta voidaan erottaa janan BC mittainen jana, jolloin voidaan olettaa, että Vastaavasti voidaan olettaa, että BC = B C. (1) BA = B A. (2) Koska ABC on oletuksen mukaan kulma, niin ABC on kolmio ja vastaavasti, koska A B C on kulma, niin myös A B C on kolmio. Näissä kolmioissa pätee oletuksen nojalla ABC = A B C, jolloin ehtojen (1) ja (2) sekä SKSsäännön nojalla pätee ABC = A B C. Silloin erityisesti BCA = B C A, (3) AC = A C ja (4) BAC = B A C. (5) Koska puolisuora BD on oletuksen mukaan kulman ABC sisällä, niin puomilauseen nojalla BD leikkaa janaa AC pisteessä E, jolle pätee A E C. Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että E = D, jolloin siis Vastaavasti puomilauseen nojalla voidaan olettaa, että Ehtojen (6) ja (7) nojalla jolloin ehdon (5) nojalla A D C. (6) A D C. (7) BAC = BAD ja B A C = B A D, BAD = B A D. (8) Oletuksen DBA = D B A, ehtojen (8) ja (2) sekä KSK-lauseen nojalla pätee ABD = A B D. Silloin erityisesti AD = A D. (9) 25

Ehtojen (4), (9), (6) ja (7) sekä lauseen 2.4.2 nojalla pätee DC = D C. (10) Ehtojen (6) ja (7) nojalla BCA = BCD ja B C A = B C D, jolloin ehdon (3) nojalla BCD = B C D. (11) Ehtojen (1), (10) ja (11) sekä SKS-säännön nojalla BCD = B C D, ja tällöin erityisesti eli väite pätee. DBC = D B C, 4.3 Tässä ehdot c) ja a) implikoivat ehdon b), sillä jos olisi A < B ja B < A, niin ehdon c) nojalla saataisiin A < A, mikä on ehdon a) nojalla mahdotonta. Siten riittää todistaa väitteet a) ja c). a) Tässä väitetään, että kaikille kulmille A pätee Tehdään antiteesi: jollekin kulmalle ABC pätee A A. (1) ABC < ABC. (AT) Tällöin määritelmän mukaan kulman ABC sisällä on puolisuora BD, jolle pätee ABD = ABC. (2) Koska BD on kulman ABC sisällä, niin C ja D ovat samalla puolella suoraa AB. Tällöin aksiooman (H11) ja ehdon (2) nojalla on oltava BD = BC, jolloin D BC. Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska D on kulman ABC sisällä. Tämä ristiriita osoittaa, että antiteesi (AT) on väärä ja väite (1) pätee. c) Tässä oletetaan, että A AA < B BB ja B BB < C CC sekä väitetään, että A AA < C CC. (3) Aksiooman (H8) nojalla voidaan olettaa, että CC = BB = AA. (4) 26

Oletuksen nojalla kulman C CC sisällä on puolisuora CD, jolle pätee C CD = B BB. (5) Puomilauseen nojalla puolisuora CD leikkaa janaa C C, joten voidaan olettaa, että C D C. (6) Aksiooman (H8) nojalla voidaan lisäksi olettaa, että Ehtojen (4), (5) ja (7) sekä SKS-säännön nojalla Ehdon (8) nojalla BB = CD. (7) B BB = C CD. (8) B B = C D ja (9) B B B = DC C. (10) Oletuksen nojalla kulman B BB sisällä on puolisuora BE, jolle pätee A AA = B BE. (11) Puomilauseen nojalla puolisuora BE leikkaa janaa B B, joten voidaan olettaa, että B E B. (12) Ehtojen (9) ja (12) sekä lauseen 2.4.3 nojalla janalta C D voidaan valita piste F, jolle pätee C F D ja (13) C F = B E. (14) Ehdon (12) nojalla B B B = EB B ja vastaavasti ehdon (13) nojalla DC C = FC C, jolloin ehdon (10) mukaan Ehtojen (4), (14) ja (15) sekä SKS-säännön nojalla jolloin FC C = EB B. (15) FC C = EB B, Ehtojen (11) ja (16) sekä aksiooman (H12) nojalla FCC = EBB. (16) A AA = FCC. (17) 27

Ehdon (6) nojalla puolisuora CD on kulman C CC sisällä ja toisaalta ehdon (13) nojalla puolisuora CF on kulman C CD sisällä. Tällöin tehtävän 3.2 nojalla puolisuora CF on kulman C CC sisällä. (18) Ehtojen (17) ja (18) nojalla väite seuraa. 4.4 Tässä väitetään, että kaikille kulmille A ja B pätee joko A < B, B < A tai A = B. Olkoot siis A AA ja B BB mielivaltaisia kulmia. Aksiooman (H11) nojalla on olemassa puolisuora BD siten, että Valitaan apupiste P siten että D ja B ovat samalla puolella suoraa B B ja (1) DBB = A AA. (2) Ehtojen (1) ja (3) sekä tehtävän 3.3 nojalla joko D on puolisuoralla B B P. (3) BB, (4) kulman B BB sisäpuolella tai (5) kulman B BP sisäpuolella. (6) Tapauksessa (4) pätee ehdon (2) nojalla B BB = A AA, ja väite pätee. Tapauksessa (5) pätee ehdon (2) nojalla A AA < B BB, ja väite pätee. Riittää siis tarkastella tapausta (6). Tässä tapauksessa lauseen 2.3.10 (iii) nojalla B on kulman B BD sisällä. Tällöin puomilauseen nojalla puolisuora BB leikkaa janaa B D, joten voidaan olettaa, että B B D. (7) Aksiooman (H8) nojalla voidaan olettaa, että Ehtojen (2), (8) ja (9) sekä SKS-säännön nojalla AA = BD ja (8) AA = BB. (9) A AA = B BD. (10) 28

Ehdon (10) nojalla A A = B D ja (11) A A A = DB B. (12) Ehtojen (7) ja (11) sekä lauseen 2.4.3 nojalla on olemassa piste E siten että Ehtojen (7) ja (13) nojalla jolloin ehdon (12) mukaan A E A ja (13) A E = B B. (14) A A A = EA A ja B B B = DB B, Ehtojen (9), (14) ja (15) sekä SKS-säännön nojalla jolloin EA A = B B B. (15) EA A = B B B, A AE = B BB. (16) Ehdon (13) nojalla puolisuora AE on kulman A AA sisällä, jolloin ehdon (16) perusteella B BB < A AA, joten väite pätee tässäkin tapauksessa. 4.5 Tässä oletetaan, että AB ja BC ovat janoja ja väitetään, että kaikille k N = {1,2,3,...} pätee Todistus. Tässä oletetaan, että AB < CD k AB < k CD. AB < CD. (1) Väite k AB < k CD todistetaan induktiolla k:n suhteen. Kun k = 1, asia on selvä, joten riittää ottaa induktioaskel. Oletetaan siis induktiivisesti, että Induktioväitteenä on k AB < k CD. (2) (k + 1) AB < (k + 1) CD. (3) 29

Olkoot B k,b k+1 AB kuten määritelmässä 2.11, jolloin siis A B k B k+1, (4) AB k = k AB, (5) B k B k+1 = AB ja (6) AB k+1 = (k + 1) AB. (7) Vastaavasti puolisuoralta CD valitaan pisteet D k,d k+1 siten, että C D k D k+1, (8) CD k = k CD, (9) D k D k+1 = CD ja (10) CD k+1 = (k + 1) CD. (11) Aksiooman (H8) nojalla voidaan valita pisteet P k ja P k+1 siten, että Ehtojen (10) ja (15) sekä aksiooman (H9) nojalla P k AB k, (12) AP k = CDk, (13) A P k P k+1 ja (14) P k P k+1 = CD. (15) D k D k+1 = Pk P k+1. (16) Ehtojen (8), (14), (13) ja (16) sekä aksiooman (H10) nojalla AP k+1 = CDk+1. (17) Ehtojen (5) ja (9) sekä induktio-oletuksen (2) nojalla AB k < CD k, jolloin ehdon (13) ja lauseen 2.4.4 kohdan (i) nojalla AB k < AP k. (18) Ehtojen (12) ja (18) sekä lauseen 2.4.4 kohdan (iv) nojalla on oltava Ehtojen (14) ja (19) nojalla pätee myös A B k P k. (19) B k P k P k+1. (20) Lisäksi on oltava A B k+1 P k+1. (21) 30

Väite (21) vaatii perustelun. Tehdään antiteesi: Väite (21) ei päde. Ehtojen (4), (12) ja (14) nojalla piste P k+1 on puolisuoralla AB k+1, jolloin antiteesin vallitessa joko P k+1 = B k+1 tai (22) A P k+1 B k+1. (23) Tapauksessa (22) saadaan ehtojen (15), (20) ja (6) nojalla CD = P k P k+1 < B k P k+1 = B k B k+1 = AB, jolloin lauseen 2.4.4 kohtien (i), (ii) ja (iii) nojalla CD < AB. Tämä on kuitenkin lauseen 2.4.4 kohdan (iv) nojalla vastoin oletusta (1). Siten vaihtoehto (22) on mahdoton. Tapauksessa (23) pätee ehdon (14) nojalla Ehtojen (15), (24), (20) ja (6) nojalla saadaan nyt P k P k+1 B k+1. (24) CD = P k P k+1 < P k B k+1 < B k B k+1 = AB, jolloin lauseen 2.4.4 kohtien (i), (ii) ja (iii) nojalla taas CD < AB. Tämä on edelleenkin vastoin oletusta (1). Siten myös vaihtoehto (23) on mahdoton, joten tehty antiteesi johtaa ristiriitaan, ja näin väite (21) on todistettu. Ehtojen (21) ja (17) nojalla saadaan AB k+1 < AP k+1 = CDk+1, jolloin induktioväite (3) seuraa ehdoista (7) ja (11) sekä lauseesta 2.4.4 (i). Tässä oletetaan, että jollekin k pätee ehto (2). Väitteenä on nyt ehto (1). Tehdään antiteesi: ehto (1) ei päde. Silloin lauseen 2.4.4 kohdan (iii) nojalla on joko CD < AB tai (25) CD = AB. (26) Tapauksessa (25) sovelletaan todistuksen alkuosaa, ja saadaan ehto k CD < k AB. Tämä on kuitenkin mahdotonta oletuksen (2) ja lauseen 2.4.4 (iv) nojalla. Siispä joudutaan vaihtoehtoon (26). Tästäkin päästään ristiriitaan oletuksen (2) ja lauseen 2.4.4 (iv) nojalla, sillä tehtävänasettelussa esitetty (todistamaton) huomautus kertoo, että tässä tapauksessa pätee k AB = k CD. 31

Näin antiteesi johtaa molemmissa vaihtoehdoissa turmioon, joten väitteen tämä(kin) suunta on todistettu. 4.6 Nämä kaikki väitteen operaatiot saadaan yhdisteinä siirroista, origon ympäri tehtävistä kierroista ja peilauksesta P R. Riittää siis osoittaa, että nämä kuvaavat suoran suoraksi. Origon ympäri tehtävät kierrot ja P R ovat bijektiivisiä lineaarikuvauksia, joten riittää osoittaa, että siirrot ja bijektiiviset lineaarikuvaukset kuvaavat suoran suoraksi. Jos v on suoran l suuntavektori eli l on muotoa l = {b + λv λ R} jollekin b R 2 ja S a on siirto, niin S a (l) = {a + b + λv λ R}, ja tämähän on suora, sillä l:n suuntavektorina v 0. Jos L : R 2 R 2 on bijektiivinen lineaarikuvaus, niin L(l) = {L(b) + λl(v) λ R}, ja tämäkin on suora, koska L(v) 0 L:n bijektiivisyyden nojalla. 4.7 Käytetään tässä tehtävän 3.4 jälkeistä määritelmää välissäololle, jolloin siis U W V W = (1 λ)u + λv jollekin λ, 0 < λ < 1. Oletetaan siis, että ehdot pätevät. Väitteenä on, että U V ja (1) W = (1 λ)u + λv jollekin λ, 0 < λ < 1 (2) A(U) A(V ) ja (3) A(W) = (1 µ)a(u) + µa(v ) jollekin µ, 0 < µ < 1. (4) Kuten tehtävässä 4.6 riittää tässäkin osoittaa, että väite pätee, kun A on siirto tai bijektiivinen lineaarikuvaus. Myös siirto on bijektio, jolloin väite (3) seuraa oletuksesta (1). Riittää siis todistaa väite (4). Jos A = S a on siirto, niin A(U) = U + a, A(V ) = V + a ja A(W) = W + a, jolloin väite (4) tulee muotoon W + a = (1 µ)(u + a) + µ(v + a) jollekin µ, 0 < µ < 1. (5) Selvästi väite (5) pätee, kun valitaan µ = λ. Jos A on lineaarikuvaus, niin väite (4) tulee muotoon A(W) = A((1 µ)u + µv ) jollekin µ, 0 < µ < 1. (6) 32

Väite (6) seuraa välittömästi oletuksesta (2), kun valitaan taas µ = λ. Väitteen jälkimmäisessä osassa pitää todistaa, että U ja V ovat samalla puolella suoraa l A(U) ja A(V ) ovat samalla puolella suoraa A(l). (7) Huomaa, että tehtävän 6 nojalla A(l) on suora, joten väite on mielekäs. Väite (7) voidaan kirjoittaa muotoon jana UV ei leikkaa suoraa l jana A(U)A(V ) ei leikkaa suoraa A(l) tai sitten jana UV leikkaa suoraa l jana A(U)A(V ) leikkaa suoraa A(l). (8) Tehtävän alkuosan nojalla A säilyttää välissäolon, joten janat kuvautuvat janoiksi eli A(UV ) = A(U)A(V ). Silloin väite (8) tulee muotoon jana UV leikkaa suoraa l jana A(UV ) leikkaa suoraa A(l). (9) Koska A on bijektio ja sen käänteiskuvaus on myös siirto, kierto tai peilaus, niin väite (9) seuraa jos osoitetaan, että jana UV leikkaa suoraa l joukko A(UV ) leikkaa joukkoa A(l). Tämä on triviaali väite ja pätee mille tahansa kuvaukselle A. 33

5.1 Tässä oletetaan, että l on suora ja piste P on l:n ulkopuolella. Väitetään, että on olemassa suora m, joka kulkee P:n kautta ja on yhdensuuntainen l:n kanssa. Todistus. Lauseen 2.4.8 nojalla P:n kautta kulkee l:n normaali; olkoon se n. Olkoon lisäksi A suorien l ja n leikkauspiste sekä B A jokin toinen l:n piste. Normaalin määritelmän mukaan kulma PAB on suora. Lauseen 2.4.8 nojalla P:n kautta kulkee myös n:n normaali; olkoon se m. Riittää osoittaa, että l ja m ovat yhdensuuntaisia. Huomataan ensin, että suoralta m voidaan valita piste Q siten, että Q ja B ovat eri puolilla suoraa n. Tämä piste Q löytyy näin: Valitaan ensin mielivaltainen m:n piste R P. Jos R ja B ovat eri puolilla suoraa n, niin valitaan yksinkertaisesti Q = R. Jos taas R ja B ovat samalla puolella suoraa n, niin valitaan Q siten, että Q P R. Tällöin Q on suoralla m sekä R ja Q ovat eri puolilla suoraa n, joten aksiooman (H7) nojalla Q ja B ovat eri puolilla suoraa n. Tämä argumentti osoittaa, että Q voidaan valita halutulla tavalla. Koska m on n:n normaali, niin kulma QPA on suora. Koska myös PAB on suora, niin lauseen 2.4.14 nojalla QPA = PAB. (1) Koska siis Q ja B ovat eri puolilla suoraa n, niin ehdon (1) ja vuorokulmalauseen 2.4.15 nojalla l ja m ovat yhdensuuntaisia. 5.2 Virhe on siinä, että kolmen pisteen vaikka ne eivät olisikaan samalla suoralla kautta ei välttämättä kulje ympyrää. Toisin sanoen kolmiolla ei välttämättä ole ympäri piirrettyä ympyrää. Jos on, niin tämän ympyrän keskipiste on välttämättä kylkijanojen keskinormaalien leikkauspiste ja myös kääntäen: jos kaksikin kylkijanojen keskinormaaleista leikkaa toisiaan, niin välttämättä myös kolmas keskinormaali kulkee tämän saman pisteen kautta ja tämä piste on ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Mutta keskinormaalitpa eivät välttämättä leikkaa toisiaan lainkaan. Seuraava kuva esittää tällaista tilannetta Poincarén mallissa. Tässä l on AB:n, m BC:n ja n AC:n keskinormaali. 34

C m A B l n Tässä kuvassa kolmio ABC sattuu olemaan tasakylkinen, ja siitä syystä n kulkee (sattumalta) pisteen B kautta. Näin ei tietenkään yleensä käy. Oleellista tässä on siis se, että l, m ja n eivät leikkaa toisiaan. Huomaa myös, että l ja m todellakin ovat janojen AB ja BC keskinormaaleja eli kulkevat janojen keskipisteiden kautta, vaikkei siltä ehkä näytäkään: Poincarén mallissa tilanne on sellainen, että mitä lähempänä kiekon reunaa ollaan, sitä lyhyemmiltä yhtenevät janat näyttävät. Seuraavassa kuvassa l, m ja n leikkaavat toisiaan. Kuten edellä todettiin, leikkauspiste on kaikille keskinormaaleille yhteinen ja tämä leikkauspiste on samalla pisteiden A, B ja C kautta kulkevan ympyrän α hyperbolinen keskipiste. Huomaa, että tämä ei näytä euklidiselta keskipisteeltä (eikä sitä olekaan) sen sijaan itse ympyrä näyttää euklidiselta ympyrältä ja de facto onkin sellainen, ks. tehtävä Y.18. 35

α C m A B l n Tässä kuvassa kolmiolla ABC on ympäri piirretty ympyrä α. 5.3 a) Kulman sisäpuolella olevan pisteen kautta kulkeva suora voi pysytellä kokonaan kulman sisällä eikä sen siis tarvitse välttämättä leikata kumpaakaan kulman kyljistä. Havainnollinen esimerkki Poincarén mallissa: A l B P C b) Tämä jälkimmäinen väite pätee. Oletetaan siis, että P on kolmion ABC ulkopuolella ts. P ei ole kolmion sisällä tai sen sivuilla. Väitetään, että on ole- 36