Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 7-8 tulee palauttaa seuraavan alkuviikon harjoituksiin paperilla tai pdf-muodossa kurssin MyCourses-sivuille maanantaihin klo 20.00 mennessä. Sama kellonaika on myös viikoittaisten verkkotehtävien dl, joskin verkkotehtävät kannattaa tehdä ennen palautettavia kotitehtäviä. Alkuviikko: todistaminen, joukko-oppi Tuntitehtävä 1: Kirjoita seuraavat joukot muodossa {lauseke : ehto}: (a) {..., 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8,...} 8 4 2 (b) {..., 8, 3, 2, 7, 12, 17,...} (c) {3,, 11, 18, 27, 38,...} Lue tarvittaessa ensin Book of Proof luku 1.1. (a) {2 n : n Z} (b) {2 + 5n : n Z} (c) {n 2 + 2 : n N + }, missä N + = {1, 2, 3,...} Tuntitehtävä 2: Lue MyCourses-sivulla tämän harjoituspaperin ohessa oleva teksti "Todistamisesta lyhyesti". Tee sitten seuraavat tehtävät: a) Osoita suoralla todistuksella, että jos kokonaisluku k on pariton, niin myös k 3 on pariton. b) Osoita epäsuoralla todistuksella, että 3 2 on irrationaaliluku. c) Osoita induktion avulla, että n j 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1), n 1. 1
a) Koska k on pariton kokonaisluku, se on muotoa k = 2n + 1, missä n Z. Tällöin k 3 = (2n + 1) 3 = (2n) 3 + 3(2n) 2 + n + 1 = 2(4n 3 + n 2 + 3n) + 1 = 2m + 1, missä m = 4n 3 + 2n 2 + n Z. Näin ollen myös k 3 on pariton. b) Tehdään vastaoletus: Oletetaan, että 3 2 on rationaaliluku. Tällöin 3 2 = p q joillakin p, q Z +, jotka eivät molemmat ole parillisia (jos sekä osoittaja että nimittäjä olisivat parillisia, voisi sieventää jakamalla kumpaakin luvulla 2 kunnes saisi esityksen, jossa ainakin toinen on pariton). Nyt 3 2 = p q = 2q3 = p 3, eli p 3 on parillinen. Näin ollen myös luku p on parillinen, sillä jos se olisi pariton, niin a)- kohdan mukaan myös p 3 olisi pariton. Koska p on parillinen, pätee p = 2m jollakin m Z +. Siten 2q 3 = p 3 = 2q 3 = (2m) 3 = 8m 3 = q 3 = 4m 3, joten myös q 3 on parillinen. Siis myös q on parillinen, sillä jälleen a)-kohdan mukaan jos se olisi pariton, myös q olisi pariton. Sekä p että q ovat siis parillisia, mikä on ristiriita: aiemmin todettiin ainakin toisen niistä olevan pariton. Siis vastaoletus on väärä ja 3 2 on irrationaalinen. (c) Kun pitää osoittaa, että kaksi lauseketta antavat saman tuloksen niin on usein (sekä paperilla, että tietokoneella laskettaessa) yksinkertaisinta osoittaa, että niiden erotus on 0. Kun n = 1 niin n j2 = 1 j2 = 1 2 = 1 ja 1n(n + 1)(2n + 1) = 1 1 2 3 = 1 joten väite pätee kun n = 1. Oletetaan seuraavaksi, että väite pätee kun n = k missä k 1. Silloin saamme, kun toiselta kolmannelle riville siirryttäessä käytämme induktio-oletusta: k+1 j 2 = (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1) k j 2 + (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k(k + 1)(2k + 1) = + (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k(2k + 1) (k + 2)(2k + 3) = (k + 1) + k + 1 = (k + 1) 1 2k2 + k + k + 2k 2 3k 4k = 0. Näin ollen väite pätee myös kun n = k + 1. Induktioperiaatteen mukaan siis väite pätee kaikilla n 1. 2
Kotitehtävä 3: Osoita induktiolla, että n (2j 1)(2j + 1) = n 3 (4n2 + n 1), n 1. Vihje: Kun osoitat, että induktioaskeleen väite pätee, kirjoita se ensin muotoon... = 0. Väite V (n) on siis että 1 3 + 3 5 +... + (2n 1)(2n + 1) = n 3 (4n2 + n 1) ja n 0 = 1. Kun n = 1 väitetään, että 1 3 = 1(4 1 + 1 1) mikä sama kuin että 3 = 9 eli väite 3 3 pätee. Jos nyt V (k) pätee niin k (2j 1)(2j + 1) = k 3 (4k2 + k 1) ja saamme k+1 (2j 1)(2j + 1) = k (2j 1)(2j + 1) + (2(k + 1) 1)(2(k + 1) + 1) = k 3 (4k2 + k 1) + (2k + 1)(2k + 3) = 1 3 (4k3 + k 2 k + 12k 2 + 24k + 9). Nyt meidän pitää osoittaa, että k+1 k+1 (2j 1)(2j + 1) ((4(k + 3 1)2 + (k + 1) 1) = 0 ja laskemalla toteamme, että saamme k+1 (2j 1)(2j + 1) k + 1 3 ((4(k + 1)2 + (k + 1) 1) = 1 3 (4k3 + k 2 k + 12k 2 + 24k + 9) 1 3 (4(k + 1)3 + (k + 1) 2 k 1) = 1 3 (4k3 + k 2 k + 12k 2 + 24k + 9 4k 3 12k 2 12k 4 k 2 12k + k + 1) = 0 ja näemme että mös V (k +1) pätee. Induktioperiaatteen nojalla voimme nyt todeta että V (n) pätee kaikilla n 1, mikä oli osoitettava. Kotitehtävä 4: a) Olkoot A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ja C = {1, 2, 3}. Muodosta joukot A B, B Z, A \ C, A C, (A C) \ B ja A (C \ B). b) Mitä voidaan sanoa joukoista A ja B jos tiedetään, että i) A B = A? ii) A \ B = A? iii) A B = B A? iv) A \ B = B \ A? 3
a) A B = {1, 2, 3, 4, 5} B Z = {3, 4, 5} = B A \ C = {4} A C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} (A C) \ B = A \ B = {1, 2} A (C \ B) = A {1, 2} = A b) (i) Jos A B = A, niin B A. Jos nimittäin pätisi B A, niin olisi olemassa alkio b B siten, että b / A. Tällöin olisi välttämättä A A B, koska b A B, mutta b / A. (ii) Jos A \ B = A, niin A B =, koska jos olisi olemassa alkio x A B niin täytyisi päteä x A ja x B. Tällöin x / A \ B joten A \ B A. (iii) Leikkaus on vaihdannainen, eli aina pätee A B = B A, joten joukoista A ja B ei tämän tiedon perusteella voida sanoa mitään. (iv) Jos A \ B = B \ A niin A = B, koska jos löytyisi esimerkiksi alkio a A siten, että a / B niin silloin a A \ B, mutta a / B \ A. Tästä seuraisi, että A \ B B \ A. Loppuviikko: joukko-oppi, logiikka Tuntitehtävä 5: Määritellään kullekin i [0, 1] R joukko A i = (i 1, i + 1) R. Määritä perustellen joukot ja A i. A i Huomataan ensinnäkin, että kun i [0, 1] niin i 1 0 ja i + 1 1, joten (0, 1) A i kaikilla i. Kumpikaan etsityistä joukoista ei siis ole tyhjä, vaan sisältää ainakin tämän välin. Joukoista A i se, jonka alaraja on suurin luku, on A 1 = (0, 2) ja se, jonka yläraja on pienin, on A 0 = ( 1, 1). Siis A i = (0, 2) ( 1, 1) = (0, 1). Vastaavasti joukolla A 1 = (0, 2) on suurin yläraja ja joukolla A 0 = ( 1, 1) pienin alaraja, joten A i = (0, 2) ( 1, 1) = ( 1, 2). Tuntitehtävä : Esitä seuraavat väitteet logiikan ja joukko-opin merkinnöillä,,, =,,,, R ja Z sekä normaaleilla matemaattisilla merkinnöillä ja suluilla: (a) Jos x on reaaliluku mutta ei ole kokonaisluku niin x 3 ei myöskään ole kokonaisluku. (b) Jokaisella kokonaisluvulla y on olemassa kokonaisluku x siten että y = 2 + x. (c) On olemassa negatiivinen reaaliluku x siten, että kaikilla kokonaisluvuilla y pätee y < 2 x tai y > x. 4
Mitkä näistä väitteistä ovat tosia? Esimerkiksi näin: (a) (b) (c) ((x R) (x Z)) = (x 3 Z). y Z ( x Z (y = 2 + x)). x R ((x < 0) y Z((y < 2 x) (y > x))). Väite (a) ei ole tosi koska 1 R \ Z ja 3 1 3 3 (c)-väitteessä voidaan valita x = 1. 4 = 1 Z mutta väitteet (b) ja (c) ovat tosia, koska Kotitehtävä 7: a) Todista, että kaikille joukoille A ja B pätee ( P(A) P(B) ) P(A B). b) Anna esimerkki tilanteesta, jossa a)-kohdan osajoukkous on aito. (3 p.) a) Olkoon x ( P(A) P(B) ). Tällöin x kuuluu jompaan kumpaan (tai molempiin) annetuista joukoista, eli x P(A) tai x P(B). Näin ollen x A tai x B. Päti näistä kumpi tahansa, niin joka tapauksessa siis x A B. Näin ollen x P(A B). Koska x on mielivaltainen alkio joukossa P(A) P(B), niin välttämättä jokainen tämän joukon alkio siis kuuluu myös joukkoon P(A B), eli ( P(A) P(B) ) P(A B). b) Osajoukkous on aito, jos joukossa P(A B) on jokin sellainen alkio, joka ei kuulu joukkoon P(A) P(B). Esimerkiksi kelpaa mikä tahansa sellainen tilanne, jossa joukolla A B on jokin osajoukko, joka ei ole osajoukkona kummassakaan osajoukossa erikseen. Vaikkapa: A = {1, 2, 3} ja B = {4}, jolloin {1, 4} P(A B), mutta {1, 4} / ( P(A) P(B) ). Kotitehtävä 8: (a) Osoita kontrapositiivisella päättelyllä, että väite Kaikilla x R\{0} pätee, että jos x on irrationaaliluku niin 1/x on irrationaaliluku on tosi. (b) Osoita epäsuoralla päättelyllä, että väite On olemassa kokonaisluku n siten, että n = a 2 ja n + 2 = b 2 missä a ja b ovat kokonaislukuja on epätosi, eli oleta että väite on tosi ja johda siitä ristiriita. (3 p.) Vihje: Kontrapositiivinen päättely tarkoittaa, että sen sijaan, että osoitetaan, että p q on tosi osoitetaan, että q p on tosi. Jos halutaan osoittaa, että jokin väite pätee jonkin joukon kaikilla alkioilla riittää osoittaa, että se pätee mielivaltaisella alkiolla. Irrationaaliluku on siis reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku, eli ei ole muotoa m/n missä m ja n ovat kokonaislukuja ja n 0. (a) Jos 1/x ei ole irrationaaliluku, mutta kuitenkin reaaliluku (oletamme, että x 0) niin se on rationaaliluku eli 1 x = m n 5
missä m ja n ovat kokonaislukuja ja n 0. Koska 1 x 0 niin m 0 jolloin x = n m. Näin ollen x on rationaaliluku eikä irrationaaliluku ja voimme päätellä että jos x on irrationaaliluku niin myös 1/x on irrationaaliluku. (b) Oletamme siis, että väite on tosi ja on olemassa kokonaisluku n siten, että n = a 2 ja n+2 = b 2. Silloin 2 = n + 2 n = b 2 a 2 = (b a)(b + a). Voimme olettaa, että sekä a että b ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, jolloin a + b 0 ja ehdosta (b a) (b + a) = 2 seuraa, että b a 1. Jos a = 0 niin 2 = b 2, mikä ei ole totta. Näin ollen a 1, jolloin b + a = (b a) + 2 a 1 + 2 = 3 ja (b a) (b + a) 1 3 = 3 > 2. Näin olemme saaneet ristiriidan, joten voimme päätellä, että väite on epätosi. Vaihtoehtoisesti voimme todeta, että jos (b a) (b + a) = 2 niin toinen luvuista on 2 (tai 2) ja toinen 1 (tai 1), jolloin (b a) + (b + a) = ±3 eli 2 b = ±3, mikä on taas ristiriita. Verkkotehtävät 1: Muistathan myös verkkotehtävät! Ensimmäinen tehtäväsarja sulkeutuu maanantaina 27.1. klo 20.00.