SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88
1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Määritelmä 1.1. Epätyhjä joukko V on lineaariavaruus eli vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Joukossa V on määritelty laskutoimitus + (toisin sanoen kaikilla alkioilla v, w V on olemassa yksikäsitteinen joukon V alkio v + w, jota sanotaan alkioiden v ja w summaksi), joka toteuttaa seuraavat laskulait: (a) u + (v + w) = (u + v) + w kaikilla u, v, w V (liitännäisyys). (b) v + w = w + v kaikilla v, w V (vaihdannaisuus). (c) On olemassa neutraalialkio 0 V, jolle 0 + v = v kaikilla v V. (d) Kaikilla v V on olemassa vasta-alkio v V,
1. Lineaariavaruus eli V jolle v + ( v) = 0. 2. Joukossa V on määritelty reaaliluvulla (skalaarilla) kertominen (vasemmalta) (toisin sanoen kaikilla v V ja λ R on olemassa jokin yksikäsitteinen alkio λ v V ), jolla on seuraavat ominaisuudet: (a) (λμ) v = λ (μ v) kaikilla v V ja λ, μ R. (b) 1 v = v kaikilla v V. 3. Yhteenlasku + ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat seuraavat osittelulait: (a) λ (v + w) = λ v + λ w kaikilla v, w V ja λ R. (b) (λ+μ) v = λ v +μ v kaikilla v V ja λ, μ R. Edellisessä määritelmässä annettuja ehtoja sanotaan lineaariavaruuden aksioomeiksi ja joukon V alkioita voidaan kutsua vektoreiksi. Huomautus 1.2. :
1. Lineaariavaruus eli V (a) Yhteenlasku + on kuvaus + : V V V ja reaaliluvulla kertominen on kuvaus : R V V. (b) Määritelmän 1.1 vektoriavaruus on reaalinen vektoriavaruus. Olkoon K kunta. Jos skalaarilla kertominen on kuvaus : K V V, niin puhutaan K-kertoimisesta vektoriavaruudesta. Erikoistapauksena saadaan reaalinen vektoriavaruus, kun K = R, ja kompleksinen vektoriavaruus, kun K = C. (c) Yleensä kertolasku jätetään merkitsemättä, ts. λ v = λv. (d) MERKINTÄ: Asetetaan Esimerkki 1.3. : u v := u + ( v). (1) (a) Joukko R n, n Z + on vektoriavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen mää-
1. Lineaariavaruus eli V ritellään komponenteittain: x = y x i = y i i = 1,..., n; (2) x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ); (3) λ x = (λx 1,..., λx n ). (4) Erityisesti R on vektoriavaruus. (b) Joukko M(k, n) = {A A on k n matriisi} on vektoriavaruus, kun se varustetaan tavallisella matriisien yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella. (c) Olkoon F(R, R) = {f f : R R on kuvaus}. Määritellään kaikilla f, g F(R, R) ja λ R identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen seuraavasti: f = g, jos f(x) = g(x) (5) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (6) (λ f)(x) = λf(x) (7)
1. Lineaariavaruus eli V kaikilla x R. Tällöin F(R, R) on vektoriavaruus. Osoitetaan kohta 1c): Määritellään nollafunktio O asettamalla Tällöin O(x) = 0 x R. (8) (O+f)(x) = O(x)+f(x) = 0+f(x) = f(x) x R, (9) joten funktioiden identtisyyden nojalla O + f = f. (10) Siten nollafunktio on neutraalialkio funktioavaruudessa. Osoitetaan kohta 1d): Määritellään f asettamalla ( f)(x) = f(x) x R. (11) Tällöin (f + ( f))(x) = f(x) + ( f)(x) = f(x) f(x) = 0 = O(x) x R, (12)
1. Lineaariavaruus eli V joten funktioiden identtisyyden nojalla f + ( f) = O. (13) Siten f on alkion f vasta-alkio funktioavaruudessa. (d) Olkoot X epätyhjä joukko, V vektoriavaruus ja F(X, V ) = {f f : X V on kuvaus}. Määritellään yhteenlasku + ja kertolasku kuten (c)- kohdassa. Tällöin F(X, V ) on vektoriavaruus (todistus harjoitustehtävä). (e) Joukossa C(R, [ 1, 1]) = {f f : R [ 1, 1] on jatkuva funktio} (c)-kohdan operaatio + ei ole laskutoimitus. Nyt sin C(R, [ 1, 1]), mutta koska sin( π 2 ) + sin( π 2 ) = 2 / [ 1, 1], niin sin + sin / C(R, [ 1, 1]). (f) Olkoot V = {x R x 0}, + : V V V tavallinen reaalilukujen yhteenlasku ja määritellään
1. Lineaariavaruus eli V : R V V asettamalla λ x = λ x. Tällöin aksioomat 1(a), 1(b), 1(c), 2a), 2(b) ja 3(a) ovat voimassa. Sen sijaan aksioomat 1(d) ja 3(b) eivät ole voimassa. Jos x V, x > 0, niin x + y > 0 kaikilla y V, joten tällaisella alkiolla x ei ole vasta-alkiota joukossa V. Lisäksi (1 + ( 1)) x = 0 x = 0 = x + x = 1 x + ( 1) x, kun x > 0, joten aksiooma 3(b) ei ole voimassa. Lause 1.4. Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin (a) yhteenlaskun neutraalialkio on yksikäsitteinen; (b) vektorin vasta-alkio on yksikäsitteinen; (c) kaikilla v, w V on olemassa täsmälleen yksi x V, jolle v + x = w (toisin sanoen yhtälöllä v + x = w on yksikäsitteinen ratkaisu). Lause 1.5. Olkoon V vektoriavaruus ja 0 V sen nollaalkio. Kaikilla v, w V ja 0, λ, μ R pätee
1. Lineaariavaruus eli V (a) 0 v = λ 0 = 0; (b) ( 1) v = v; (c) ( v) = v; (d) (v + w) = v + ( w); (e) (λ v) = ( λ) v = λ ( v); (f) ( λ) ( v) = λ v; (g) λ (v + ( w)) = λ v + ( (λ w)); (h) (λ μ) v = λ v + ( (μ v)); (i) λ v = 0 jos ja vain jos λ = 0 tai v = 0; (j) Jos λ v = λ w ja λ = 0, niin v = w; (k) Jos λ v = μ v ja v = 0, niin λ = μ. Todistetaan kohdan (a) tapaus: 0 v = 0.
1. Lineaariavaruus eli V Aluksi 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. (14) Lisätään vasta-alkio 0 v yhtälön molemmille puolille, jolloin 0 = 0 v + ( 0 v) = (0 v + 0 v) + ( 0 v) = 0 v + (0 v 0 v) = 0 v. (15) Huomautus 1.6. Jätetään jatkossa kertomerkki pois, toisin sanoen merkitään lyhyesti λ v = λv. Induktiolla ja aksiooman 1(a) avulla voidaan osoittaa, että jos v 1,..., v n V, niin summa v 1 +... + v n on riippumaton siitä, missä järjestyksessä yhteenlaskut suoritetaan. Esimerkiksi ((v 1 +v 2 )+v 3 )+v 4 = v 1 +((v 2 +v 3 )+v 4 ) = (v 1 +v 2 )+(v 3 +v 4 ) Jätetään siis jatkossa summista sulut pois. Määritelmä 1.7. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko W on vektoriavaruuden V aliavaruus, jos se on suljettu yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen, toisin sanoen
1. Lineaariavaruus eli V 1. W = ; 2. jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3. jos w W ja λ R, niin λw W. Seuraava lause antaa hyvän tavan todeta joukko vektoriavaruudeksi: Osoitetaan se jonkin tunnetun vektoriavaruuden aliavaruudeksi. Lause 1.8. Joukko W V on vektoriavaruuden V aliavaruus jos ja vain jos W varustettuna avaruuden V yhteenlaskulla ja reaaliluvulla kertomisella on vektoriavaruus. Esimerkki 1.9. : (a) Joukot V ja {0} ovat vektoriavaruuden V triviaalit aliavaruudet. (b) Joukko C(R, R) = {f f : R R on jatkuva kuvaus} on vektoriavaruuden F(R, R) aliavaruus. Perustelu: Koska nollakuvaus 0 : R R on jatkuva, niin
1. Lineaariavaruus eli V 0 C(R, R) ja siten C(R, R) =. Jos f ja g ovat jatkuvia, niin f +g on jatkuva ja λf on jatkuva kaikilla λ R. (c) Olkoon Pol(R, R) = {f F(R, R) f(x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n kaikilla x R joillekin n N ja a 0,..., a n R} eli Pol(R, R) on kaikkien polynomien joukko. Tällöin Pol(R, R) on vektoriavaruuksien C(R, R) ja F(R, R) aliavaruus. Olkoot k N ja Pol k (R, R) = {f Pol(R, R) polynomin f aste k}. Tällöin Pol k (R, R) on avaruuden Pol(R, R) aliavaruus. Saadaan siis aliavaruusketju Pol 0 (R, R) Pol 1 (R, R)... Pol k (R, R) Pol k+1 (R, R)...... Pol(R, R) C(R, R) F(R, R).
1. Lineaariavaruus eli V HUOM: Olkoon K kunta. Yleensä K-kertoimisten polynomien joukolle käytetään merkintää K[x] = {f(x) f(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n joillekin n N ja a 0,..., a n K}. Kun polynomien yhteen- ja kertolasku määritellään tavanomaisesti, niin saadaan polynomirengas (K[x], +, ), missä nolla- ja ykköspolynomit ovat 0(x) = 0+0 x+0 x 2 +..., 1(x) = 1+0 x+0 x 2 +... Edelleen vakiopolynomille a(x) = a+0 x+0 x 2 +... voidaan käyttää lyhennysmerkintää a. Määritelmä 1.10. Olkoon V vektoriavaruus. Vektori v V on vektoreiden v 1,..., v n V lineaarikombinaatio, jos on olemassa luvut λ 1,..., λ n R siten, että n v = λ i v i. i=1
1. Lineaariavaruus eli V Avaruuden V epätyhjän osajoukon S lineaarinen verho S koostuu kaikista joukon S lineaarisista kombinaatioista, toisin sanoen S R = S = {u V u = n λ i v i i=1 joillekin n N, v 1,..., v n S ja λ 1,..., λ n R}. Esimerkki 1.11. Koska f Pol 1 (R, R) täsmälleen silloin, kun on olemassa sellaiset a 0, a 1 R, että f(x) = a 0 + a 1 x kaikilla x R, niin Pol 1 (R, R) = 1, x. Yleisemmin Pol k (R, R) = 1, x,..., x k. Lause 1.12. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Tällöin (a) S on avaruuden V aliavaruus. (b) Jos S W ja W on avaruuden V aliavaruus, niin S W. Määritelmä 1.13. Olkoot V vektoriavaruus ja S V epätyhjä. Joukko S on lineaarisesti riippuva, jos on
1. Lineaariavaruus eli V olemassa äärellisen monta alkiota s 1,..., s n S ja sellaiset luvut λ 1,..., λ n R, että λ i = 0 jollain 1 i n ja n λ i s i = 0. i=1 Muulloin S on lineaarisesti vapaa eli lineaarisesti riippumaton. ESIM: {0} on lineaarisesti riippuva, koska 1 0 = 0. Huomautus 1.14. Joukko S on lineaarisesti vapaa jos ja vain jos sen jokainen äärellinen epätyhjä osajoukko on lineaarisesti riippumaton, toisin sanoen ehdosta n λ i s i = 0 seuraa, että i=1 λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0
1. Lineaariavaruus eli V kaikilla joukon S äärellisillä osajoukoilla {s 1,..., s n }. Esimerkki 1.15. : (a) Joukko {1(x), x, x 2 } Pol 2 (R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot λ 0, λ 1, λ 2 R sellaiset, että λ 0 1(x) + λ 1 x + λ 2 x 2 = 0(x) kaikilla x R. Valitaan x = 0, jolloin saadaan λ 0 +0+0 = 0, eli λ 0 = 0. Valitaan x = 1 ja x = 1, jolloin saadaan { λ1 + λ 2 = 0 λ 1 + λ 2 = 0 Siis λ 0 = λ 1 = λ 2 = 0. { λ1 = 0 λ 2 = 0. (b) Joukko {1, x,..., x k } Pol k (R, R) on lineaarisesti riippumaton. (c) Joukko {1, x,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton. Perustelu: Olkoot Olkoon p 1,..., p n {1, x,..., x k,...}. l = max{polynomin p i aste i = 1,..., n}.
1. Lineaariavaruus eli V Tällöin {p 1,..., p n } {1, x,..., x l }, joten {p 1,..., p n } on lineaarisesti riippumaton (b)-kohdan ja Huomautuksen 1.14 nojalla. (d) Joukko {1, sin 2, cos 2 } C(R, R) on lineaarisesti riippuva, sillä 1 sin 2 x + 1 cos 2 x 1 1 = 0 = 0(x) kaikilla x R. Määritelmä 1.16. Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko S on avaruuden V kanta, jos (a) S on lineaarisesti riippumaton, ja (b) S = V. Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos sillä on olemassa äärellinen kanta. Myös {0} on äärellisulotteinen. Muulloin V on ääretönulotteinen. Jos avaruuden V kannassa on n alkiota, missä n N, niin avaruuden V dimensio on n. Tätä merkitään dim V =
1. Lineaariavaruus eli V n. Jos V = {0}, niin dim V = 0. Muulloin dim V =. Lause 1.17 (Hamelin kantalause). Jokaisella vektoriavaruudella V = {0} on olemassa kanta. Jos V on äärellisulotteinen, niin jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Huomautus 1.18. Olkoon V vektoriavaruus. (a) Lauseen 1.17 nojalla vektoriavaruuden V dimensio on hyvin määritelty. (b) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen sellainen avaruuden V osajoukko, jossa on vähintään n + 1 alkiota, on lineaarisesti riippuva (todistus harjoitustehtävä). (c) Jos dim V = n jollain n N, niin jokainen lineaarisesti riippumaton avaruuden V osajoukko S, jossa on n alkiota, on avaruuden V kanta (todistus harjoitustehtävä).
1. Lineaariavaruus eli V (d) Jos V on vektoriavaruus, W on avaruuden V aliavaruus ja S on avaruuden W kanta, niin on olemassa sellainen avaruuden V kanta T, että S T. (Tapauksen dim V = n jollain n N todistus harjoitustehtävä. Yleisesti tämän todistaminen vaatii Zornin Lemmaa.) Erityisesti dim W dim V. Esimerkki 1.19. : (a) Koska {1, x,..., x n } on avaruuden Pol n (R, R) eräs kanta (ks. Esimerkit 1.11 ja 1.15 (b)), niin dim Pol n (R, R) = n + 1. Koska {1, x, x 2,..., x k,...} Pol(R, R) on lineaarisesti riippumaton (ks. Esimerkki 1.15 (c)), niin dim Pol(R, R) =. Huomautuksen 1.18 (d) nojalla saadaan dim C(R, R) = = dim F(R, R). (b) Laske dim S, kun S = {1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x 3x 2 } Pol 2 (R, R). Ratkaisu: Tutkitaan, onko joukko S lineaarisesti riippumaton. Nyt a(1 + x) + b(1 + x 2 ) + c( 1 + 2x 3x 2 ) = 0 (a + b c)1 + (a + 2c)x + (b 3c)x 2 = 0
1. Lineaariavaruus eli V Esimerkin 1.15 (b)-kohdan nojalla saadaan a + b c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 a + 2c = 0 b 3c = 0 b 3c = 0 a = 2c b = 3c c R. (Ensimmäisessä kohdassa viimeinen yhtälö on vähennetty ensimmäisestä.) Koska yllä olevalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu, esim. a = 2, b = 3, c = 1, niin S on lineaarisesti riippuva. Tästä nähdään, että polynomi 1 + 2x 3x 2 on lineaarikombinaatio polynomeista 1 + x ja 1 + x 2, joten S = 1 + x, 1+x 2. Joukko {1+x, 1 + x 2 } on lineaarisesti riippumaton, sillä a(1 + x) + b(1 + x 2 ) = 0 (a + b)1 + ax + bx 2 = 0 Näin ollen dim S = 2. a = 0 ja b = 0. Lause 1.20. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja S = {v 1,..., v n } avaruuden V kanta. Tällöin jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys kannan S suhteen,
2. Sisätuloava toisin sanoen on olemassa yksikäsitteiset luvut λ 1,..., λ n R, joille n v = λ i v i. Todistus. Luennolla. i=1 Huomautus 1.21. Lauseen 1.20 antamia lukuja λ i sanotaan vektorin v koordinaateiksi kannassa S. 2 Sisätuloavaruus Määritelmä 2.1. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus ( ) : V V R on sisätulo, jos kaikilla v, w, u V ja λ R pätee (a) (v w) = (w v) (symmetrisyys); (b) (v + w u) = (v u) + (w u); (c) (λv w) = λ (v w);
2. Sisätuloava (d) (v v) > 0, kun v = 0 (positiividefiniittisyys). Sisätuloavaruus on pari (V, ( )), missä V on vektoriavaruus ja ( ) on sisätulo avaruudessa V. Vektoreiden v ja w sisätulolle (v w) käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. Huomautus 2.2. : (a) Sisätulo ( ) jätetään yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti sisätuloavaruudesta V. (b) Sisätulon ehdot (b) ja (c) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. (c) Jos V on kompleksinen vektoriavaruus, niin sisätulo määritellään kuten yllä, paitsi ehto (a) korvataan seuraavalla ehdolla: (v w) = (w v) kaikilla v, w V, missä z on luvun z C kompleksikonjugaatti (z = x + iy, z = x iy).
2. Sisätuloava (d) Olkoon v V. Tällöin (0 v) = (0 0 v) 2(b) = 0 (0 v) = 0. Erityisesti (v v) 0 kaikilla v V. Lisäksi (v v) = 0 jos ja vain jos v = 0. Esimerkki 2.3. : (a) Pistetulo x y = n i=1 x iy i on sisätulo avaruudessa R n (harjoitustehtävä). (b) Kuvaus : R 4 R 4 R, missä x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 +x 4 y 4 kaikilla vektoreilla x, y R 4, ei ole sisätulo. Kun v = (1, 0, 0, 0), niin v v = 1 < 0, joten ehto (d) ei ole voimassa. (c) Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan sisätulo asettamalla (f g) = kaikilla f, g C([a, b], R). b a f(t)g(t)dt
2. Sisätuloava Todistus. Luennolla. (d) Esimerkin (c) kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle f(x) = { 1, kun x = a 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f = 0, mutta (f f) = b a f 2 (t)dt = 0. Määritelmä 2.4. Olkoon V vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos 1. v 0 kaikilla v V ; 2. v = 0 jos ja vain jos v = 0; 3. λv = λ v kaikilla v V ja λ R; 4. v+w v + w kaikilla v, w V (kolmioepäyhtälö).
2. Sisätuloava Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Kuten sisätuloavaruuksien yhteydessä, jätetään normi yleensä merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti normiavaruudesta V. Lause 2.5. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = (v v) kaikilla v V. Tällöin on normi, jolle pätee Cauchy- Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. v w v w (16) Todistus. Kirjoitetaan z := w 2 v (v w)w.
2. Sisätuloava Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + 2(v w)z w + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen 16. Huomautus 2.6. : (a) Tasossa R 2 vektorin (x, y) R 2 normi (Lause 2.5) on (x, y) = (x, y) (x, y) = x 2 + y 2,
2. Sisätuloava joten se on tavallinen vektorin pituus (vrt. Pythagoraan lause). (b) Jos v, w = 0, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 (v w) v w 1. Voidaan siis määritellä vektorien v ja w välinen kulma α kaavasta cos α = (v w) v w. Olkoot v, w R 2. Tällöin v w 2 = (v w v w) = v 2 + w 2 2 (v w) = v 2 + w 2 2 cos α v w. Tämä on kosinilause. (Tässä v w on vektorien v ja w välinen etäisyys, vrt. Euklidinen Topologia, d(v, w) = v w.) (c) Sisätuloavaruudessa käytetään sisätulon antamaa normia ellei erityisesti toisin mainita. Määritelmä 2.7. Sisätuloavaruuden V vektorit v, w V ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vas-
2. Sisätuloava taan, jos (v w) = 0 Tällöin merkitään v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos v w kaikilla v, w T, joilla v = w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. Esimerkki 2.8. : (a) Tason R 2 joukko {(1, 2), ( 10, 5)} on ortogonaalinen, sillä ((1, 2) ( 10, 5)) = 1 ( 10) + 2 5 = 0. (b) Joukko {e 1,..., e n } R n on ortonormaali, sillä kaikilla i = j pätee (e i e j ) = 0 0 +... + 1 0 +... + 0 1 + 0 0 +... + 0 0 (e i e i ) = 0 0 +... + 1 1 +... + 0 0 = 1. Siis e i e j, kun i = j, ja e i = 1 kaikilla i = 1,..., n. (c) Avaruuden R 3 osajoukko S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), ( 1, 1, 1)}
2. Sisätuloava ei ole ortogonaalinen, sillä ((1, 1, 0) (0, 1, 1)) = 1 0 + 1 1 + 0 1 = 1 = 0. Erityisesti S ei ole ortonormaali. (d) Olkoot f, g C([0, 1], R), missä C([0, 1], R) on varustettu Esimerkin 2.3 sisätulolla, f(x) = x ja g(x) = 1 kaikilla x [0, 1]. Lasketaan funktioiden f ja g välinen kulma α. Koska (f g) = f 2 = g 2 = 1 0 1 0 1 0 f(x)g(x)dx = f(x) 2 dx = g(x) 2 dx = 1 0 1 0 1 0 xdx = 1 2, x 2 dx = 1 3, ja 1dx = 1, niin cos α = 1 2 1 3 1 = 3 2, eli α = π 6 (= 30 ). Lause 2.9. Olkoot V sisätuloavaruus, S V ortogonaalinen ja oletetaan, että 0 / S. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton.
2. Sisätuloava Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0 mutta s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Edelleen huomautuksen 1.14 nojalla S on lineaarisesti vapaa. Määritelmä 2.10. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 2.11. :
2. Sisätuloava (a) Avaruuden R n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. (b) Joukko {(1, 1), (1, 1)} R 2 on ortogonaalinen, sillä ((1, 1) (1, 1)) = 1 1 + 1 ( 1) = 0. Lauseen 2.9 nojalla se on lineaarisesti riippumaton. Koska joukossa S on kaksi vektoria, niin S on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta (Huomautus 1.18 (c)). Koska (1, 1) = 2 = (1, 1), niin S ei ole avaruuden R 2 ortonormaali kanta. Joukosta S kuitenkin saadaan ortonormaali kanta normittamalla sen vektorit sopivasti. Siis S = { 1 1 2 (1, 1), 2 (1, 1)} on avaruuden R 2 ortonormaali kanta. 1 (c) Polynomit 2 3, 2 x ja 45 8 (x2 1 3 ) muodostavat avaruuden Pol 2 (R, R) ortonormaalin kannan, kun sisätulona (osoitus harjoitustehtävä) on (p q) = 1 1 p(x)q(x)dx
2. Sisätuloava kaikilla p, q Pol 2 (R, R). Perustelu: Nyt ( ) 1 3 1 2 2 x 1 3 3 = 2 2 xdx = 2 1 ja vastaavasti ( ) 1 45 2 8 (x2 1 3 ) = ( 3 2 x 1/ 1 1 2 x2 = 0 ) 45 8 (x2 1 3 ) Siis polynomit ovat ortogonaaliset. Lisäksi = 0. 1 2 2 = ( 1 2 ja vastaavasti 1 2 ) = 1 1 ( 1 2 ) 2 dx = 1 2 2 = 1 3 45 2 x = 8 (x2 1 3 ) = 1. Näin ollen annetut polynomit ovat ortonormaaleja. Lauseen 2.9 nojalla joukko S = { 1 3 45, 2 2 x, 8 (x2 1 3 )} on lineaarisesti riippumaton. Koska dim Pol 2 (R, R) = 3, niin S on avaruuden Pol 2 (R, R) kanta.
2. Sisätuloava Lause 2.12. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (17) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. Ottamalla sisätulo v i v = λ 1 v i v 1 +... + λ i v i v i +... + λ n v i v n = josta saadaan väite (17). Esimerkki 2.13. : λ i v i v i.
2. Sisätuloava (a) Edellisen lauseen perusteella vektorin (0, 1) koordinaatit kannassa { 1 1 2 (1, 1), 2 (1, 1)} (Esimerkki 2.11 (b)) ovat λ 1 = λ 2 = ( (0, 1) ( 1 ) 1, ) 2 2 ( (0, 1) ( 1, 1 ) 2 2 = 1 2 ja ) = 1 2 Siis (0, 1) = 1 2 ( 1 2, 1 2 ) 1 2 ( 1 2, 1 2 ). (b) Polynomin x 2 koordinaatit Esimerkin 2.11 (c) kan-
2. Sisätuloava nassa ovat ( ) x 2 1 = 2 ( ) 3 x 2 2 x = ( x 2 45 8 1 1 1 1 45 8 (x2 1 3 ) ( 2 5 2 ) = 9 2 x 2 dx = 3, 3 2 x3 dx = 0, ja ) 45 1 = x 4 1 8 1 3 x2 dx = 8 45. Siten x 2 = 2 3 1 2 + 8 45 45 8 (x2 1 3 ). Lause 2.14. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö (v w) = n (v v i ) (v i w). i=1
2. Sisätuloava Erityisesti v = n (v v i ) 2 = i=1 n i=1 λ 2 i missä luvut λ i ovat vektorin v koordinaatit. Lause 2.15. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (18) Todistus. Asetetaan w 1 = v 1, w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1 w k 1 w k 1... v k w 1 w 1 w 1 w 1.
2. Sisätuloava Tällöin esimerkiksi w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i 0... 0 v l w i w i w i w i w i 0... 0 = 0. Huomautus 2.16. : Menetelmää, jolla Lause 2.15 todistettiin, kutsutaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmäksi.
2. Sisätuloava Seuraus 2.17. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V = {0} on ortonormaali kanta. Seuraus 2.18. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja S V ortonormaali. Tällöin on olemassa sellainen avaruuden V ortonormaali kanta T, että S T. Huomautus 2.19. : Seuraus 2.17 ei päde ääretönulotteisissa sisätuloavaruuksissa. Esimerkki 2.20. : (a) Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaa-
2. Sisätuloava li kanta. Valitaan w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = (5, 1, 1, 1) 5 1 + 1 1 (1, 1, 1, 1) 1 + 1 + 1 + 1 = (4, 2, 0, 2), ja w 3 = v 3 (v 3 w 2 ) (w 2 w 2 ) w 2 (v 3 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = v 3 12 6 + 0 6 16 + 4 + 0 + 4 w 2 3 + 3 + 1 + 3 4 = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kan- w 1
2. Sisätuloava ta {u 1, u 2 }, missä u 1 = w 1 w 1 = 1 (1, 1, 1, 1) ja 2 u 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, ) 1. 6 (b) Etsi ortonormaali kanta aliavaruudelle V = 1, sin C([0, π], R) kun sisätulona on (f g) = π 0 f(x)g(x)dx. Ratkaisu: Gram-Schmidtin menetelmällä w 1 = 1 ja w 2 = sin x = sin x + (sin x 1) 1 = sin x (1 1) π/ cos x 0 π 1 = sin x 2 π. π 0 sin x 1dx π 1 0 12 dx Siis {1, sin x 2 π } on avaruuden V ortogonaalinen kanta. Normitetaan sen alkiot: (w 1 w 1 ) = π 0 1 2 dx = π,
2. Sisätuloava joten u 1 = 1 π, ja (w 2 w 2 ) = π 0 ( sin x 2 ) 2 dx = 0 π (sin 2 x 4π sin x + 4π ) 2 dx π = π 2 8 π + 4 π = π 2 4 π, sillä π 0 sin 2 xdx = 1 2 2π 0 2π 1 4 0 sin 2 xdx = sin 2 x + cos 2 x dx = π }{{} 2. =1 Siis u 2 = 1 π 2 4 π ( sin x 2 ), π joten joukko { 1 π, 1 π 2 4 π V ortonormaali kanta. ( sin x 2 π ) } on avaruuden
3. Lineaariku 3 Lineaarikuvaus Määritelmä 3.1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia. Kuvaus L : V W on lineaarinen eli L on lineaarikuvaus, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w) kaikilla v, w V, ja (b) L(λv) = λl(v) kaikilla v V ja λ R. Huomautus 3.2. Lineaarikuvauksen argumentin ympäriltä jätetään usein sulut pois, toisin sanoen merkitään Lv = L(v). Esimerkki 3.3. : (a) Olkoon A M(k, n). Kuvaus f A : R n R k, f A (x) = Ax kaikilla x R n, missä x tulkitaan n 1-matriisiksi (vrt. Lin.Alg.1) on lineaarinen, sillä f A (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f A (x) + f A (y), ja f A (λx) = A(λx) = λax = λf A (x)
3. Lineaariku kaikilla x, y R n ja λ R matriisitulon ominaisuuksien nojalla (ks. Lin.Alg.1). (b) Kuvaus L : R R on lineaarinen jos ja vain jos on olemassa α R siten, että L(x) = αx kaikilla x R. Todistus. Luennolla. (c) Kuvaus f : R 2 R, f(x) = 3x 3 1 2x 1 x 2 kaikilla x = (x 1, x 2 ) R 2, ei ole lineaarinen, sillä f(2(1, 1)) = 3 8 8 = 16 = 2 = 2f(1, 1). (d) Identtinen kuvaus Id : V V, Id(v) = v kaikilla v V, on lineaarinen. Samoin nollakuvaus 0 : V W, 0(v) = 0 kaikilla v V, on lineaarinen kaikilla vektoriavaruuksilla V ja W. (e) Olkoon C 1 (R, R) = {f C(R, R) : f C(R, R)}. Tällöin C 1 (R, R) on avaruuden C(R, R) aliavaruus ja derivaattakuvaus D : C 1 (R, R) C(R, R), D(f) =
3. Lineaariku f kaikillaf C(R, R), on lineaarinen, koska D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f) + D(g) ja D(λf) = (λf) = λf = λf = λd(f) kaikilla f, g C 1 (R, R) ja λ R. Lause 3.4. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Tällöin ja ( k ) L λ i v i = i=1 L(0) = 0 (19) k λ i L(v i ) (20) i=1 kaikilla k N, λ 1,..., λ k R ja v 1..., v k V. Todistus. Luennolla. Lause 3.5. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia T, L : V W lineaarikuvauksia ja S avaruuden V kanta. Tällöin T = L jos ja vain jos T s = Ls kaikilla s S.
3. Lineaariku Todistus. Luennolla. Määritelmä 3.6. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L ydin eli kernel on Ker L = N (L) = L 1 ({0}) = {v V : Lv = 0} ja kuvajoukko eli image eli arvojoukko on Im L = R(L) = L(V ) = {w W : w = Lv jollakin v V }. Lause 3.7. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia, V V ja W W aliavaruuksia ja L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L(V ) W ja L 1 (W ) V ovat aliavaruuksia. Erityisesti Ker L V ja Im L W ovat aliavaruuksia ja dim Ker L dim V, dim Im L dim W. Esimerkki 3.8. : (a) Kuvaus L : R 3 R 2, L(x, y, z) = (x, y + z) on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään sen ydin ja
3. Lineaariku arvojoukko. Nyt (x, y, z) N (L) (0, 0) = L(x, y, z) = (x, y + z) { x = 0 z = y. (21) Siis N (L) = {(0, t, t) R 3 : t R} = {t(0, 1, 1) : t R} = (0, 1, 1). Arvojoukko R(L) = R 2, sillä kaikilla b = (b 1, b 2 ) R 2 on L(x, y, z) = (x, y + z) = (b 1, b 2 ) { x = b1 y + z = b 2. Valitsemalla x = b 1, y = b 2 ja z = 0 saadaan L(b 1, b 2, 0) = (b 1, b 2 ). Joukko H = {(0, t) : t R} on avaruuden R 2 ali-
3. Lineaariku avaruus. Nyt L 1 (H) = {(x, y, z) R 3 : L(x, y, z) = (0, t) jollekin t R} = {(x, y, z) R 3 : (x, y + z) = (0, t) jollekin t R = {(x, y, z) R 3 : x = 0 ja y + z = t jollekin t R = {(0, s, t s) R 3 : t, s R} = {(0, s, s ) R 3 : s, s R} = {s(0, 1, 0) + s (0, 0, 1) : s, s R} = (0, 1, 0), (0, 0, 1) = yz-taso. (b) Olkoon D : Pol 2 (R, R) Pol 2 (R, R) derivaattakuvaus. Tällöin N (D) = {p Pol 2 (R, R) : p = 0} = {c Pol 2 (R, R) : c R} = Pol 0 (R, R) = vakiopolynomit.
3. Lineaariku Arvojoukko on R(D) = {Dp : p Pol 2 (R, R)} = {D(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) : a 0, a 1, a 2 R} = {a 1 + 2a 2 x : a 1, a 2 R} = {a + bx : a, b R} = Pol 1 (R, R). Kuvaus f : A B on INJEKTIO: f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2 ; SURJEKTIO: f(a) = B; BIJEKTIO=INJEKTIO+SURJEKTIO. Lause 3.9. Olkoot V, W ja U vektoriavaruuksia sekä L : V W ja S : W U lineaarikuvauksia. Tällöin (a) yhdistetty kuvaus S L : V U on lineaarinen; (b) jos L on bijektio, niin L 1 : W V on lineaarinen. Todistus. Kohta b. Koska L : V W on bijektio, niin L 1 : W V
3. Lineaariku ja LL 1 = L 1 L = Id. Olkoot w 1, w 2 W, tällöin sellaiset v 1, v 2 V, että w 1 = Lv 1, w 2 = Lv 1. Siispä L 1 (w 1 +w 2 ) = L 1 (Lv 1 +Lv 2 ) = L 1 L(v 1 +v 2 ) = v 1 + v 2 = L 1 w 1 + L 1 w 2 ; L 1 (λw) = L 1 (λlv) = L 1 L(λv) = λv = λl 1 w. Lause 3.10. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä L : V W lineaarikuvaus. Tällöin L on injektio jos ja vain jos Ker L = {0}. Todistus. : Olkoon L injektio. Valitaan x Ker L, tällöin Lx = 0 = L0. Siten x = 0 ja edelleen Ker L = {0}. : Olkoon Ker L = {0}. Asetetaan Lx = Ly. Tällöin L(x y) = 0, joten x y Ker L = {0} x y = 0 x = y.
3. Lineaariku Lause 3.11 (Dimensiolause). Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, W vektoriavaruus ja L : V W lineaarinen. Tällöin dim V = dim Ker L + dim Im L. (22) Todistus. Olkoot dim V = n, dim Ker L = k, Ker L = v 1,..., v k. Täydennetään joukko v 1,..., v k avaruuden V :n kannaksi, jolloin V = v 1,..., v k, v k+1,..., v n, v k+1,..., v n / Ker L.
3. Lineaariku Määrätään kuva-avaruus Im L = L( v 1,..., v n ) = {L(a 1 v 1 +... + a n v n a 1,..., a n R} = {a 1 Lv 1 +... + a n Lv n a 1,..., a n R} = {a k+1 Lv k+1 +... + a n Lv n a 1,..., a n R}. Osoitetaan vielä, että {Lv k+1,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi a k+1 Lv k+1 +... + a n Lv n = 0 L(a k+1 v k+1 +... + a n v n ) = 0 a k+1 v k+1 +... + a n v n Ker L a k+1 v k+1 +... + a n v n = b 1 v 1 +... + b k v k b 1 v 1 +...+b k v k +( a k+1 )v k+1 +...+( a n )v n = 0. Kantana joukko {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } on lineaarisesti vapaa, joten b 1 =... = b k = a k+1 =... = a n = 0.
3. Lineaariku Siten {Lv k+1,..., Lv n } on lineaarisesti vapaa ja kuvaavaruuden dimensioksi saadaan dim Im L = n k. Seuraus 3.12. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia siten, että V on äärellisulotteinen, ja L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: (a) Jos L on injektio, niin dim V dim W. (b) Jos L on surjektio, niin dim V dim W. (c) Jos L on bijektio, niin dim V = dim W. Todistus. Aluksi k := dim Ker L n := dim V, n k = dim Im L dim W.
3. Lineaariku a) kohta. Nyt Ker L = {0}, joten k = 0 n k = n dim W. b) kohta. Nyt Im L = W, joten n k = m := dim W n = m + k m. c) kohta seuraa kohdista a+b. dim W n dim W. Seuraus 3.13. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia siten, että niiden dimensiot ovat samat, ja olkoon L : V W lineaarinen. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) L on bijektio. (b) L on injektio. (c) L on surjektio.
3. Lineaariku Esimerkki 3.14. : (a) Kuvaus L : R 3 R 2, L(x, y, z) = (y z, x z), on lineaarinen (harjoitustehtävä). Määrätään kuvauksen L ydin: y = z L(x, y, z) = 0 (y z, x z) = (0, 0) x = z z R. Siis N (L) = {(x, y, z) R 3 : x = y = z, z R} = {s(1, 1, 1) : s R} = (1, 1, 1), joten dim N (L) = 1. Erityisesti N (L) = {0}, joten L ei ole injektio. Dimensiolauseen nojalla 3 = 1 + dim R(L), joten dim R(L) = 2 = dim R 2. Siten R(L) = R 2 eli L on surjektio. (b) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol n (R, R) Pol n (R, R). Koska Dp = p = 0 jos ja vain jos p(x) =
3. Lineaariku c kaikilla x R jollekin c R (eli p on vakiopolynomi), niin N (D) = 1. Näin ollen dim N (D) = 1. Dimensiolauseen nojalla dim P ol n (R, R) = n+1 = 1+ dim R(D), joten dim R(D) = n < dim P ol n (R, R). Näin ollen D ei ole surjektio. Esimerkki 3.15. : Olkoon {e 1, e 2 } avaruuden R 2 luonnollinen kanta. Onko olemassa lineaarikuvausta L : R 2 R 2, jolle Le 1 = e 1 + 2e 2 ja Le 2 = e 1 e 2? Olkoon (x, y) R 2. Jos tällainen L on olemassa, niin L(x, y) = L(xe 1 + ye 2 ) = xle 1 + yle 2 = x(e 1 + 2e 2 ) + y(e 1 e 2 ) = = (x + y)e 1 + (2x y)e 2 = (x + y, 2x y). Siis L(x, y) = (x + y, 2x y) kaikilla (x, y) R 2 ja tämä kuvaus on lineaarinen (harjoitustehtävä). Lause 3.16. Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sekä S = {v 1,... v n }, n N, avaruuden V kanta. Valitaan jokaiselle i = 1,..., n jokin w i W. Tällöin on olemassa yk-
3. Lineaariku sikäsitteinen lineaarikuvaus L : V W, jolle Lv i = w i kaikilla i = 1,..., n. Esimerkki 3.17. : Olkoon L : R 2 R 2, L(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 ) kaikilla (x 1, x 2 ) R 2. Kun ajatellaan avaruuden R 2 alkiot pystyvektoreiksi, saadaan matriisiyhtälö [ ] x 1 + x 2 Lx = = 2x 1 x 2 [ 1 1 2 1 ] [ x 1 x 2 Pisteen x = (x 1, x 2 ) kuva lineaarikuvauksessa [ L] x 1 voidaan siis laskea kertomalla 2 1-matriisi x 2 [ ] 1 1 2 2-matriisilla A =. Huomaa, että matriisin A ensimmäinen sarake = Le 1 ja toinen 2 1 [ ] 1 2 sarake [ 1 1 ] = Le 2. MERKINTÄ: Olkoon v = {v 1,..., v n } avaruuden ].
3. Lineaariku V kanta. Koordinaattikuvaus [.] v kuvaa vektorin v kantaesityksen pystyvektoriksi eli matriisin sarakkeeksi seuraavasti λ 1 n [v] v = [ λ i v i ] v =.. i=1 Koordinaattikuvaus on lineaarinen bijektio ja siten vektori ja sen koordinaateista muodostettu pystyvektori/sarake voidaan samaistaa. Lause 3.18. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, W m-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V W lineaarikuvaus. Olkoot v = {v 1,..., v n } jokin avaruuden V kanta ja w = {w 1,..., w m } jokin avaruuden W kanta. Olkoot kantavektoreitten kuvat annettu Lv 1 = a 11 w 1 +... + a m1 w m,... λ n Lv n = a 1n w 1 +... + a mn w m kannassa w = {w 1,..., w m }. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen m n-matriisi A = [a ij ], jonka avulla ku- v
3. Lineaariku vauksen L arvot voidaan laskea kertolaskuna eli A [v] v = [Lv] w = a 11... a 1n. a m1... a mn λ 1. λ n v = μ 1. μ m missä v = n i=1 λ iv i ja Lv = m j=1 μ jw j. Todistus. Lasketaan Lv = L( n λ i v i ) = i=1 n λ i Lv i = i=1 λ 1 (a 11 w 1 +... + a m1 w m )+... λ n (a 1n w 1 +... + a mn w m ) = (a 11 λ 1 +... + a 1n λ n )w 1 +... (a m1 λ 1 +... + a mn λ n )w m. w
3. Lineaariku Täten μ 1 = a 11 λ 1 +... + a 1n λ n... μ m = a m1 λ 1 +... + a mn λ n. Määritelmä 3.19. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja L : V W lineaarikuvaus. Lauseen 3.18 antama matriisi A on kuvausta L vastaava matriisi kannoissa K ja S. Tällöin käytetään merkintää Mat(L; K, S). Huomautus 3.20. : (a) Matriisin Mat(L; K, S) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j koordinaateista kannassa S. (b) Lineaarikuvausta vastaa yksikäsitteinen matriisi ja matriisin avulla voidaan määritellä lineaarikuvaus.
3. Lineaariku On siis olemassa bijektio kaikkien lineaaristen kuvauksien L : V W ja kaikkien n k-matriisien välillä; tämä bijektio on F (L) = Mat(L; K, S). Kuvaus F riippuu valituista kannoista K ja S. Esimerkki 3.21. : (a) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = 1 2 (x + y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Valitaan avaruuteen R 2 kannat K = {(1, 0), (0, 1)} ja S = {(1, 1), (1, 1)}. Lasketaan matriisit Mat(L; K, K), Mat(L; K, S), Mat(L; S, K) ja Mat(L; S, S). Mat(L;K,K): Etsitään kantavektorien (1, 0) ja (0, 1) kuvien koordinaatit kannassa K. Ensin L(1, 0) = 1 2 (1, 1) = 1 2 (1, 0) + 1 (0, 1), 2 ] joten ensimmäinen sarake on [ 1 2 1 2. Sitten L(0, 1) = 1 2 (1, 1) = 1 2 (1, 0) + 1 (0, 1), 2
3. Lineaariku [ 1 joten toinen sarake on myös 2 1. Siis 2 [ ] Mat(L; K, K) = 1 1 1. 2 1 1 ] Mat(L;K,S): L(1, 0) = 1 2 ((1, 1)) = 1 (1, 1) + 0(1, 1), 2 ] joten ensimmäinen sarake on [ 1 2 0 L(0, 1) = 1 2 (1, 1) = 1 (1, 1) + 0(1, 1), 2 ] joten toinen sarake on myös [ 1 2 0 Mat(L;S,K): 1 2 [ 1 Mat(L; K, S) = 2 0 0.. Siis L(1, 1) = 1 (2, 2) = (1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1), 2 ].
3. Lineaariku joten ensimmäinen sarake on [ ] 1. 1 L(1, 1) = 1 (0, 0) = (0, 0) = 0(1, 0) + 0(0, 1), 2 [ ] 0 joten toinen sarake on. Siis 0 Mat(L;S,S): Mat(L; S, K) = [ 1 0 1 0 L(1, 1) = (1, 1) = 1(1, 1) + 0(1, 1), [ ] 1 joten ensimmäinen sarake on. 0 L(1, 1) = (0, 0) = 0(1, 1) + 0(1, 1), [ ] 0 joten toinen sarake on. Siis 0 [ ] 1 0 Mat(L; S, S) =. 0 0 ].
3. Lineaariku (b) Etsitään matriisia Mat(L; K, S) = 3 1 1 0 2 4 vastaava lineaarikuvaus, kun kannat K ja S ovat K = {(1, 0), ( 1, 1)} ja S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}. Koska kyseessä on 3 2-matriisi, niin on L : R 2 R 3. Etsitään vektorin (x, y) R 2 koordinaatit kannassa K: a(1, 0)+b( 1, 1) = (x, y) a b = x, b = y a = x y b = y. Siis (x, y) = (x y, y) K. Nyt vektorin L(x, y) koordinaatit kannassa S saadaan kertolaskusta 3 1 [ ] 3x 4y x y [L(x, y)] S = 1 0 = x y. y 2 4 2x 2y
3. Lineaariku Siten L(x, y) = (3x 4y)(1, 0, 1) + (x y)(0, 1, 1) + ( 2x 2y)(1, 1, 0) = (x 6y, x 3y, 4x 5y). (c) Lasketaan matriisi Mat(Id, K, S), missä Id : R 2 R 2 on tason R 2 identiteettikuvaus, K = {(1, 0), (0, 1)} ja S = {(1, 10), ( 1, 10)}. Nyt Id(1, 0) = (1, 0) = 1 2 (1, 10) 1 ( 1, 10), 2 ] joten ensimmäinen sarake on [ 1 2 1 2. Lisäksi Id(0, 1) = (0, 1) = 1 20 (1, 10) + 1 ( 1, 10), 20 ] [ 1 joten toinen sarake on 20 1 20 Siis Mat(Id; K, S) = [ 1 2 1 2. 1 20 1 20 ] = 1 20 [ ] 10 1. 10 1
3. Lineaariku Erityisesti identtisen kuvauksen matriisi ei aina ole identtinen matriisi. (d) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = (x y, 10x + 10y). Tällöin L on lineaarinen. Lasketaan Mat(L; K, S), missä K ja S ovat kuten kohdassa (c). Nyt L(1, 0) = (1, 10) = 1(1, 10) + 0( 1, 10), L(0, 1) = ( 1, 10) = 0(1, 10) + 1( 1, 10), joten Mat(L; K, S) = [ ] 1 0. 0 1 Siis identtinen matriisi ei aina vastaa identtistä kuvausta. (e) Tarkastellaan derivaattakuvausta D : Pol 3 (R, R) Pol 2 (R, R). Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {1, x, x 2, x 3 } ja avaruuden Pol 2 (R, R) kannaksi S = {1, x, x 2 }. Lasketaan Mat(D; K, S).
3. Lineaariku Koska 0 D1 = 0 = 0 1 + 0 x + 0 x 2, niin 1. sarake on 0, 0 1 Dx = 1 = 1 1 + 0 x + 0 x 2, niin 2. sarake on 0, 0 0 Dx 2 = 2x = 0 1 + 2 x + 0 x 2, niin 3. sarake on 2, ja 0 0 Dx 3 = 3x 2 = 0 1 + 0 x + 3 x 2, niin 4. sarake on 0. 3 Siten Mat(D; K, S) = 0 1 0 0 0 0 2 0. 0 0 0 3
3. Lineaariku Nyt esimerkiksi 1 D(1 + x + x 2 + x 3 1 ) = Mat(D; K, S) 1 = 1 1 2 = 1 1 + 2 x + 3 x 2. 3 Lause 3.22. Olkoot V, W ja U äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, L, M : V W ja T : W U lineaarikuvauksia sekä K avaruuden V kanta, S avaruuden W kanta ja R avaruuden U kanta. Tällöin (a) Mat(L + M; K, S) = Mat(L; K, S) + Mat(M; K, S) (b) Mat(λL; K, S) = λmat(l; K, S) kaikilla λ R. (c) Mat(T L; K, R) = Mat(T ; S, R)Mat(L; K, S). (d) Kuvaus L on bijektio jos ja vain jos matriisi Mat(L; K, S)
3. Lineaariku on kääntyvä. Jos L on bijektio, niin Mat(L 1 ; S, K) = Mat(L; K, S) 1. Seuraus 3.23. Olkoot L : V W lineaarikuvaus, dim V = dim W < sekä K 1, K 2 avaruuden V kantoja ja S 1, S 2 avaruuden W kantoja. Tällöin det Mat(L; K 1, S 1 ) = 0 det Mat(L; K 2, S 2 ) = 0 Esimerkki 3.24. Valitaan avaruuden Pol 3 (R, R) kannaksi K = {1, x, x 2, x 3 }. Olkoot D : Pol 3 (R, R) Pol 3 (R, R) derivaattakuvaus ja L = D 2 + D, missä D 2 = D D. Lasketaan Mat(L, K, K). Esimerkin 3.21 nojalla Mat(D; K, K) = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3. 0 0 0 0
4. Ominaisa Siten Mat(L; K, K) = Mat(D 2 ; K, K) + Mat(D, K, K) = Mat(D; K, K)Mat(D; K, K) + Mat(D; K, 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 6 = 0 0 0 0 + 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 6 = 0 0 0 3. 0 0 0 0 4 Ominaisarvo Olkoot K kunta, V vektoriavaruus K:n yli ja L : V V lineaarinen kuvaus. Kysymys: Milloin lineaarikuvauksen L : V V matriisi
4. Ominaisa Mat(L; v, v) on diagonaalinen, toisin sanoen λ 1 0 0... 0 0 λ 2 0... 0 Mat(L; v, v) =.? 0 0 0... λ n Vastaus: Jos löytyy avaruuden V kanta v = {v 1,..., v n } ja λ 1,..., λ n K, joille Lv i = λ i v i kaikilla i = 1,..., n. Määritelmä 4.1. Olkoot K kunta, V vektoriavaruus K:n yli ja L : V V lineaarinen kuvaus. Luku λ K on kuvauksen L ominaisarvo, jos löytyy sellainen v V {0}, että Lv = λv. (23) Tällöin v on ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus on V λ (L) = {v V : Lv = λv} (toisin sanoen kaikkien ominaisvektorien sekä vektorin 0 muodostama joukko). Huomautus 4.2. :
4. Ominaisa (a) Useimmiten K = C tai K = R kuten seuraavissa esimerkeissä. (b) Jos v on ominaisvektori, niin kv on ominaisvektori kaikilla k K {0}. Käytetään jatkossa identiteettikuvaukselle Id : V V yksinkertaisempaa merkintää I. Siis I(x) = x kaikilla x V. Lause 4.3. Olkoon λ lineaarikuvauksen L : V V ominaisarvo. Tällöin V λ (L) = Ker (L λi) (24) ja siten avaruuden V aliavaruus. Todistus: v V λ (L) Lv = λv (L λi)v = 0 v Ker (L λi). (25) Esimerkki 4.4. :
4. Ominaisa (a) Tarkastellaan kuvausta L : R 2 R 2 L(x, y) = (2x + y, y) kaikilla (x, y) R 2. Nyt L(1, 0) = (2, 0) = 2 (1, 0), joten 2 on kuvauksen L ominaisarvo ja (1, 0) on ominaisarvoa 2 vastaava ominaisvektori. Lisäksi L(1, 1) = (1, 1) = 1 (1, 1), joten myös 1 on ominaisarvo ominaisvektorinaan (1, 1). Muita ominaisarvoja ei ole: L(x, y) = λ(x, y) (2x + y, y) = (λx, λy) { 2x + y = λx y = λy (26) Jos λ = 1 ja λ = 2, niin toisesta yhtälöstä saadaan (ehdosta λ = 1) y = 0 ja sitten ensimmäisestä yhtälöstä saadaan (ehdosta λ = 2) x = 0. Näin ollen λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. (b) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = ( y, x) kaikilla
4. Ominaisa (x, y) R 2. Tällöin (x, y) = λ(x, y) ( y, x) = (λx, λy) { λx + y = 0, λy x = 0. Jos λ = 0, niin saadaan x = y = 0, joten 0 ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Olkoon λ = 0. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla λ ja lisätään tähän ensimmäinen yhtälö. Tällöin saadaan (1 + λ 2 )y = 0. Siis y = 0 ja sitten x = 0, joten λ ei ole kuvauksen L ominaisarvo. Kuvauksella L ei siis ole reaalisia ominaisarvoja. Kuvauksella on kompleksiset ominaisarvot i = e iπ/2 ja i = e iπ/2, jotka vastaavat kiertoja ±90 vastapäivään/myötäpäivään. (c) Olkoon C (R, R) = k=0 C k (R, R), missä C k (R, R) = {f C(R, R) : f (k) C(R, R)} ja f (k) on funktion f k:s derivaatta. Olkoon D : C (R, R) C (R, R) derivaattakuvaus. Etsitään kuvauksen D
4. Ominaisa ominaisarvot: Df = λf f (x) = λf(x) kaikilla x R f(x) = Ce λx k missä C R. Siten jokainen λ R on kuvauksen D ominaisarvo ja funktio f(x) = Ce λx, missä C = 0, on sitä vastaava ominaisvektori. Lause 4.5. Olkoon V vektoriavaruus. Lineaarikuvauksen L : V V erisuuriin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Todistus. Olkoot λ = μ ominaisarvoja ja x, y = 0 vastaavat ominaisvektorit, jolloin { Lx = λx, Ly = μy. (27)
4. Ominaisa Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi eli ax + by = 0, a, b K, L(ax + by) = L0 alx + bly = 0 aλx + bμy = 0 aλx + μ( ax) = 0 (λ μ)ax = 0 ax = 0 a = 0 by = 0 b = 0. (28) Seuraus 4.6. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksella L on korkeintaan n erisuurta ominaisarvoa. Jos kuvauksella L on n erisuurta ominaisarvoa λ 1,..., λ n, niin vastaavat ominaisvektorit muodostavat avaruuden V kannan K ja Mat(L; K, K) = λ 1 0 0... 0 0 λ 2 0... 0.. 0 0 0... λ n
4. Ominaisa Todistus. Matriisin Mat(L; K, K) j:s sarake muodostuu kantavektorin v j kuvan Lv j = λ j v j = 0 v 1 +... + λ j v j +... + 0 v n (29) koordinaateista 0,...0, λ j, 0,..., 0 kannassa K = {v 1,..., v n }. Määritelmä 4.7. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarikuvaus. Kuvaus L on diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen avaruuden V kanta K, että Mat(L; K, K) on diagonalisoituva. Huomautus 4.8. Seuraus 4.6 antaa riittävän ehdon diagonalisoituvuudelle. Tämä ehto ei ole kuitenkaan välttämätön, sillä esimerkiksi I : V V on diagonalisoituva (Mat(I; K, K) = I jokaiselle avaruuden V kannalle K), mutta kuvauksella I on vain yksi ominaisarvo, nimittäin 1. Määritelmä 4.9. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K avaruuden V kanta ja L : V V lineaarinen. Olkoon A = Mat(L; K, K). Lineaarikuvauksen
4. Ominaisa L (ja matriisin A) karakteristinen polynomi on Huomautus 4.10. : p L (λ) = det (A λi). (30) (a) Jos λ on kuvauksen L ominaisarvo, niin löytyy vektori v V {0}, jolle Lv = λv eli (L λi)v = 0. Tällöin L λi ei ole kääntyvä, joten 0 = det Mat(L λi) = det (A λi). (31) Siten λ on karakteristisen polynomin p L (λ) nollakohta. Tämä päättely voidaan myös kääntää, joten λ on lineaarikuvauksen L ominaisarvo jos ja vain jos p L (λ) = 0. (32) (b) Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus, K ja S avaruuden V kantoja ja L : V V lineaarinen. On olemassa kannanvaihtomatriisi C = C(S, K), jolle Mat(L; S, S) = C 1 Mat(L; K, K)C (33)
4. Ominaisa Lause 4.11. Lineaarikuvauksen L : V V karakteristinen polynomi on riippumaton avaruuden V kannan valinnasta. Esimerkki 4.12. : (a) Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = ( x + y, x + y) kaikilla (x, y) R 2. Määrätään tämän kuvauksen ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Kuvauksen [ ] L matriisi luonnollisessa kannassa on A =, joten 1 1 1 1 karakteristinen polynomi on [ ] 1 λ 1 p A (λ) = det = ( 1 λ)(1 λ) 1 = λ 2 2 1 1 λ Ominaisarvot ovat yhtälön λ 2 2 = 0 ratkaisut: λ = ± 2. Vastaavat ominaisavaruudet saadaan yh-
4. Ominaisa tälöistä L(x, y) = 2(x, y) { x + y = 2x x + y = 2y y = ( 2 + 1)x; L(x, y) = 2(x, y) { x + y = 2x x + y = 2y y = (1 2)x. (34) Siis V 2 = {(x, y) R2 y = ( 2 + 1)x} = (1, 2 + 1) ja V 2 = {(x, y) R 2 y = (1 2)x} = (1, 1 2) Nyt K = {(1, 2 + 1), (1, 1 2)} on avaruuden R 2 kanta ja [ ] 2 0 Mat(L; K, K) = 0. 2 (b) Olkoon lineaarikuvauksen L : R 3 R 3 matriisi
4. Ominaisa luonnollisen kannan suhteen 2 1 1 A = 0 3 1. 2 1 3 Määrätään kuvauksen L ominaisarvot ja ominaisavaruudet. Nyt p A (λ) = det 2 λ 1 1 0 3 λ 1 2 1 3 λ = (2 λ)((3 λ) 2 + 1) + 2(1 (3 λ)) = (2 λ)((3 λ) 2 1). Nyt p A (λ) = 0 jos ja vain jos λ = 2, λ = 4 tai λ = 2, joten ominaisarvot ovat 2 ja 4.
4. Ominaisa Ominaisavaruudet: L(x, y, z) = 2(x, y, z) 2x y + z = 2x 3y z = 2y 2x + y + 3z = 2z Siis x = y = z ja 2x y + z = 4x L(x, y, z) = 4(x, y, z) 3y z = 4y 2x + y + 3z = 4z x = y = z. (35) V 2 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = ( 1, 1, 1), V 4 (L) = {(x, y, z) R 3 x = y = z} = (1, 1, 1). (36) Määritelmä 4.13. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Olkoot λ 0 kuvauksen L ominaisarvo ja A kuvauksen L matriisi. Jos λ 0 on polynomin p A (λ) m-kertainen juuri
4. Ominaisa eli p A (λ) = (λ λ 0 ) m q(λ), missä q(λ) on polynomi ja q(λ 0 ) = 0, niin ominaisarvon λ 0 algebrallinen kertaluku on m. Ominaisarvon λ 0 geometrinen kertaluku on Ker (L λ 0 I). Alue Lauseesta 4.14 alkaen Huomautukseen 4.23 asti ei kuulu koealueeseen. Lause 4.14. Olkoot V n-ulotteinen vektoriavaruus ja L : V V lineaarinen. Tällöin kuvauksen L ominaisarvolle λ 0 pätee 1 λ 0 :n geometrinen kertaluku λ 0 :n algebrallinen kertaluku Huomautus 4.15. Esimerkissä 4.12 (b) nähtiin, että ominaisarvot geometrinen kertaluku voi olla aidosti pienempi kuin algebrallinen kertaluku. Lause 4.16. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja L : V V diagonalisoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin sen algebrallinen kertaluku. Edellisen lauseen väite pätee myös kääntäen, jos V
4. Ominaisa on kompleksikertoiminen vektoriavaruus (jolloin myös ominaisarvot voivat olla kompleksilukuja). Määritelmä 4.17. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia sekä L : V W lineaarinen. Kuvauksen L adjungaatti on lineaarikuvaus L : W V, jolle pätee kaikilla v V ja w W. (L w v) = w Lv Lause 4.18. Olkoot V ja W äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia kuten Määritelmässä 4.17. Lineaarikuvauksella L : V W on olemassa yksikäsitteinen adjungaatti. Lisäksi L = L. Lause 4.19. Olkoot (V, ( )) ja (W, ) äärellisulotteisia sisätuloavaruuksia, K avaruuden V ortonormaali kanta, S avaruuden W ortonormaali kanta ja L : V W lineaarinen. Tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T.
4. Ominaisa Jos V ja W ovat kompleksikertoimisia avaruuksia, niin tällöin Mat(L ; S, K) = Mat(L; K, S) T. Määritelmä 4.20. Olkoot V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja L : V V lineaarinen. Kuvaus L on itseadjungoituva eli symmetrinen, jos L = L. Lause 4.21. Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin kuvauksen L eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lause 4.22 (Spektraalilause). Olkoon L : V V äärellisulotteisen sisätuloavaruuden V itseadjungoituva lineaarikuvaus. Tällöin avaruudella V on ortonormaali kanta, joka muodostuu kuvauksen L ominaisvektoreista. Huomautus 4.23. Lineaarikuvauksen L : V V, missä dim V <, ominaisarvojen joukkoa kutsutaan kuvauksen L spektriksi, ja sitä merkitään δ(l).
4. Ominaisa Kohtisuorat Projektiot Geometrinen lähestymistapa Tässä osiossa tarkastelemme Euklidista avaruutta R n ja sen aliavaruuksia. Määritelmä 4.24. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja K = {v 1,..., v k } avaruuden V ortonormaali kanta. Vektorin u R n kohtisuora projektio aliavaruudelle V on P V (u) = k (u v j ) v j. j=1 Esimerkki 4.25. a) Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta V = {(x, y, 0) : x, y R}. Tällöin P V (x, y, z) = (x, y, 0) kaikilla (x, y, z) R 3. (Luennolla) b) Tarkastellaan avaruuden R 2 aliavaruuksia V = {(x, x) : x R} ja W = {(x, x) : x R}.
4. Ominaisa Tällöin P V (u) = ((x + y)/2, (x + y)/2) ja P W (u) = ((x y)/2, ( x + y)/2) kaikilla u = (x, y) R 2. (Luennolla) Lause 4.26. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus ja u R n. (i) u V jos ja vain jos P V (u) = u. (ii) Vektori u P V (u) on kohtisuorassa aliavaruutta V vastaan. (iii) Epäyhtälö u P V (u) u v on tosi kaikilla v V. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos v = P V (u). (iv) Epäyhtälö P V (u) u on tosi kaikilla u R n. Lisäksi tässä epäyhtälössä on yhtäsuuruus jos ja vain jos u V. Todistus. Luennolla.
4. Ominaisa Määritelmä 4.27. Avaruuden R n epätyhjän osajoukon S kohtisuora komplementti on joukko S = {u R n : (u v) = 0 kaikilla v S}. Lause 4.28. Jos S on avaruuden R n epätyhjä osajoukko, niin S on avaruuden R n aliavaruus. Todistus. Luennolla. Lause 4.29. Olkoon V avaruuden R n aliavaruus. Tällöin jokaiselle vektorille u R n on olemassa yksikäsitteiset vektorit v V ja w V siten, että u = v + w. Todistus. Luennolla. Esimerkki 4.30. Olkoon L : R 2 R 2, L(x, y) = (y, x) kaikilla (x, y) R 2. Tällöin L = 1 P V 1 P W, missä V ja W ovat ominaisarvoja 1 ja 1 vastaavia ominaisavaruuksia. (Luennolla) Lause 4.31 (Spektraalilause II). Olkoon L : R n R n itseadjungoitu kuvaus ja olkoon {v 1,..., v n } kuvauksen
4. Ominaisa L ominaisarvoista koostuva avaruuden R n ortonormaali kanta. Olkoot λ j ominaisvektoria v j vastaava ominaisarvo ja P j kohtisuora projektio avaruudelta R n avaruudelle v j. Tällöin n L = λ j P j. Todistus. Luennolla. j=1 Hitunen algebraa Määritelmä 4.32. Lineaarinen kuvaus L : R n R n on idempotentti jos ja vain jos L 2 = L. Tässä siis L 2 = L L. Lause 4.33. (i) Jos V on avaruuden R n aliavaruus, niin kuvaus P V on itseadjungoitu idempotentti. (ii) Jos L : R n R n on itseadjungoitu idempotentti, niin R(L) = {u R n : Lu = u} ja N (L) = R(L). Lisäksi L = P R(L).
5. Esimerkk Todistus. Luennolla. Lause 4.34. Olkoot P ja Q avaruuden R n projektioita. Seuraavat väitteet ovat tosia: (i) P Q on projektio jos ja vain jos P Q = QP. (ii) P + Q on projektio jos ja vain jos R(P ) R(Q). (iii) P Q on projektio P Q = Q QP = Q. 5 Esimerkkejä Esimerkki 5.1. (Harjoitustehtävä 5.) Olkoon W = {x = (x, y, z) R 3 : x y + z = 0}. Osoita, että W on vektoriavaruuden R 3 aliavaruus. Ratkaisu: Osoitetaan, että aliavaruusaksiomit
5. Esimerkk 1. W = ; 2. jos w 1, w 2 W, niin w 1 + w 2 W ; 3. jos w W ja λ R, niin λw W ; ovat voimassa: 1. Koska 0 = (0, 0, 0) W, niin W = ; 2. Olkoot w 1 = (x 1, y 1, z 1 ), w 2 = (x 2, y 2, z 2 ) W. Tällöin x 1 y 1 + z 1 = x 2 y 2 + z 2 = 0 w 1 + w 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ), (x 1 + x 2 ) (y 1 + y 2 ) + (z 1 + z 2 ) = ja x 1 y 1 + z 1 + x 2 y 2 + z 2 = 0, (37) joten w 1 + w 2 W ;