Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a 1 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 b 5 a 3 b 2 a 5 a 3 b 3 a 4 b 5 a 5 b 4 b 1 a 4 2. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. EIVÄT. Tämän näkee katsomalla 4-kierrosten lukumäärää (Siis kierrosten joissa on neljä sivua). Vasemmanpuoleisessa verkossa näitä on neljä kappaletta, kun taas oikean puoleisessa verkossa kuusi kappaletta. Siten verkot eivät voi olla isomorfiset. 3. Jos n joukkuetta pelaa kaikki kaikkia vastaan, niin kuinka monta peliä pelataan?
2 Ratkaisu. Pelejä voi mallintaa täydellisenä verkkona (V, E), missä V = {1, 2,..., n} ja E = { {v, w} : v, w V, v w } ; sivu {v, w} mallintaa tässä peliä joukkueiden v ja w välillä. Pelien lukumäärä on näin ollen sivujen lukumäärä E, jolle Lauseen 4.3 nojalla pätee esitys E = 1 δ(v) = 2 v V V ( V 1) 2 = n(n 1)/2. 4. Jos talossa on vain yksi ulko-ovi, niin osoita, että siinä on ainakin yksi huone, jossa on pariton määrä ovia. Ratkaisu. Oletetaan, että talossa on n huonetta, missä n 1. Tilannetta voidaan mallintaa verkkona (V, E), missä V = {v 0, v 1,..., v n }. Tässä v 0 mallintaa talon ulkopuolta ja kärjet v 1,..., v n talon huoneita; voimme olettaa, että ulko-ovi on kärkeä v 1 vastaavassa huoneessa. Jos huoneiden v i ja v j välillä on ovi, i, j 1, niin asetamme {v i, v j } E. Koska talossa on vain yksi ulko-ovi, niin sivu {v 0, v 1 } E ja kärjen v 0 aste δ(v 0 ) = 1 on pariton. Lauseen 4.4 nojalla parittomien kärkien lukumäärä on parillinen, joten on olemassa huone v i (i 1) jolle δ(v i ) on pariton. Siten on olemassa ainakin yksi huone, jossa on pariton määrä ovia. 5. (a) Onko olemassa verkkoa jossa on kuusi kärkeä siten että niiden asteet ovat {2, 3, 3, 3, 3, 3}? (b) Onko olemassa verkkoa jossa on viisi kärkeä siten että niiden asteet ovat {0, 1, 2, 3, 4}? (c) Kuinka monta neljän kärjen verkkoa on siten että kärkien asteet ovat {1, 1, 2, 2}? (isomorfiset verkot samaistetaan) (d) Kuinka monta kymmenen kärjen verkkoa on siten että kärkien asteet ovat {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}? (isomorfiset verkot samaistetaan) Ratkaisu. Tämä tehtävä liittyy yhteen verkkoteorian kysymyksiin: Karakterisoi listat, jotka voivat esiintyä verkon kärkien astelukuina. Näitä listoja kutsutaan astelistoiksi, (degree sequence or score of graph G). Myös Sage osaa tutkia voiko annettu lista olla astelista http://doc.sagemath.org/html/en/reference/combinat/sage/combinat/degree sequences.html (a) Lauseen 4.4 mukaan parittomien kärkien lukumäärä on parillinen, joten tällaista verkkoa ei voi olla olemassa.
(b) Ei ole. Jos 5-kärkisessä verkossa jonkun kärjen aste on 4 se on kaikkien muiden kärkien naapuri. Tällöin ei voi olla kärkeä jolla ei olisi ollenkaan naapureita, eli aste olisi 0. (c) Huomataan että minkään kärjen aste ei ole 0, joten kaikilla kärjillä on naapuri. Jos verkko ei olisi yhtenäinen, ainoa vaihtoehto olisi siis, että molemmat komponentit olisivat kaksikärkisiä. Tämäkään ei ole mahdollista, koska tällöin komponentin molempien kärkien aste pitäisi olla yksi. Verkon on siis oltava yhtenäinen. Lauseen 4.3 mukaan sivuja on (1 + 1 + 2 + 2)/2 = 3 = V 1 joten yhtenäisyyden nojalla se on siis Lauseen 4.15 mukaan puu. Nyt huomaa, että ainoa tällainen on puu, jossa kärjet ovat jonossa. Vastaus on siis yksi kappale. (d) Kun jokaisen kärjen aste on yksi, kuuluu jokainen kärki täsmälleen yhteen sivuun. Verkko voidaan siis piirtää viitenä erillisenä viivana joiden päät ovat verkon kärjet. Tällaisia on siis yksi kappale. 3 6. Määritä suunnatulla verkolla (Kuva 1) kärjet, joiden välillä on eniten 4-kävelyitä. Minkä kärkien välillä on vähiten? Ratkaisu. Olkoon Kuva 1. 4-kävelyiden verkko 1 1 0 0 N = 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 suunnatun verkon (V, D) naapurimatriisi (vrt. luentojen s. 54). Lauseen 4.8 nojalla matriisin N 4 rivillä i ja sarakkeella j oleva luku on 4-kävelyiden lukumäärä kärjestä i kärkeen j. Lasketaan tätä varten matriisin N neljäs potenssi: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 N 2 = 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 = 2 0 1 0 1 1 0 0 ; 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 0
4 1 1 1 1 1 1 1 1 6 3 2 1 N 4 = N 2 N 2 = 2 0 1 0 2 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 = 3 3 2 2 3 1 2 1. 2 1 0 0 2 1 0 0 4 2 3 2 Tästä esityksestä nähdään ne kärjet, joiden välillä on eniten 4-kävelyjä; sellaisten 4-kävelyiden lukumäärä, jotka kulkevat kärjestä 1 kärkeen 1, on kuusi. Myös sellaisten 4-kävelyiden lukumäärä, jotka kulkevat kärjestä 1 kärkeen 2, tai kärjestä 2 kärkeen 1, on kuusi. Vähiten 4-kävelyjä on kärjeltä 3 itselleen ja kärjeltä 4 itselleen (kutakin tyyppiä on yhteensä 2 kappaletta). 7. Kuinka monta q-polkua on täydellisellä verkolla? Ratkaisu. Oletetaan, että (V, E) on täydellinen verkko, jossa on n = V kärkeä. Jos q n, niin ei ole olemassa yhtään q-polkua. Tapauksessa q n 1 q-polut voidaan täydellisyyden nojalla samaistaa joukon V (q+1)-permutaatioiden kanssa. Lauseen 2.13 nojalla näitä on yhteensä n! (n) q+1 = (n (q + 1))! kappaletta.
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Ohjaus 6, 21.10.2015 1. Voiko kahdeksan litran vetoisesta ruukusta, joka on täynnä vettä, mitata täsmälleen neljä litraa käyttäen hyväksi vain viiden ja kolmen litran vetoisia ruukkuja? 1 Ratkaisu. Mallinnetaan tila-avaruus sunnattuna verkkona (V, D), jonka kärkinä ovat lukukolmikot XY Z, missä X on vesimäärä kahdeksan litran ruukussa, Y viiden litran ruukussa ja Z kolmen litran ruukussa. Kahden eri kärjen XY Z ja X Y Z välinen nuoli (XY Z, X Y Z ) D jos tilasta XY Z päästään tilaan X Y Z kaatamalla (mahdollisesti vain osa) jonkin ruukun A sisältämästä vedestä toiseen ruukkuun B siten, että joko A tyhjenee tai B tulee täyteen. Seuraava 7-polku (800, 503, 530, 233, 251, 701, 710, 413) osoittaa, että alkaen lähtötilasta 800 voidaan mitata täsmälleen neljä litraa vettä seitsemällä kaadolla. 2. Olkoon V = {a, b, c, d, e, f, g} ja E = { {a, d}, {b, e}, {c, e}, {d, g}, {e, f} }. Esitä verkko (V, E) geometrisena kaaviona ja määritä sen naapurimatriisi. Esitä myös kärkijoukon V = {b, c, d, e} virittämä aliverkko geometrisena kaaviona sekä määritä sen naapurimatriisi. Ratkaisu. 3. Esitä verkko, jonka naapurimatriisi on 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 N =, 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 geometrisena kaaviona. Ratkaisu. 1 Hahmottele ratkaisua verkolla, jonka kärkinä ovat lukukolmikot XY Z, missä X on vesimäärä kahdeksan litran ruukussa, Y viiden litran ruukussa ja Z kolmen litran ruukussa.
6 4. Osoita, että (a) jos verkolla on vähintään kaksi kärkeä, niin on olemassa kaksi eri kärkeä, joilla on samat asteet, (b) jos kuuden kärjen täydellistä verkkoa vastaavan geometrisen kaavion sivut on väritetty kahdella värillä siten, että jokainen sivu on jommankumman värinen, niin näin väritetystä verkosta löytyy yksivärinen kolmio 2. Ratkaisu. (a) Verkon kärjet voidaan tulkita vieraina juhlissa ja sivut vieraiden välisinä kättelyinä; kättely on tässä siis antirefleksiivinen ja symmetrinen relaatio. Harjoitusten 2 tehtävän 4 ratkaisuissa on osoitettu, että on olemassa vähintään kaksi vierasta, jotka kättelivät yhtä monta kertaa. Toisin sanoen verkossa V on vähintään kaksi kärkeä, joilla on samat asteet. (b) Verkon kärjet voidaan tulkita kuuden ihmisen joukkona ja sivujen {v, w} värit siten, että (esimerkiksi) musta sivu kertoo, että ihmiset v ja w eivät tunne toisiaan ja punainen sivu kertoo, että ihmiset v ja w tuntevat toisensa; harjoitusten 2 teht. 5 ratkaisun perusteella on olemassa kolme ihmistä v 1, v 2, v 3 siten, että muotoa {v i, v j } olevat sivut, missä i, j = 1, 2, 3 ja i j, ovat joko kaikki mustia tai kaikki punaisia. Joka tapauksessa olemme löytäneet kolme kärkeä jotka muodostavat yhdenvärisen kolmion (olettaen lisäksi, että geometrisessa kaaviossa sivut on esitetty suorina viivoina jotka leikkaavat toisensa vain pisteissä). Ratkaisu. 2 Oletetaan, että geometrisessa kaaviossa sivut on esitetty suorina viivoina.