Elementtimenetelmän perusteet 7. 7 D-SOLIDIRAKEEE 7. ohdanto Edellä tarkasteltiin interpolointia ja numeerista integrointia emoneliön ja emokolmion alueissa. Emoelementtien avulla voidaan muodostaa vaihtelevan muotoisia ja halutulla tavalla -tasolle sijoittuvia kaksiulotteisia elementtejä ns. kuvaustekniikalla. ällöin kätetään koordinaattimuunnosta joka kuvaa emoelementin pisteet kuvaelementin pisteiksi siten että emoelementin solmut kuvautuvat kuvaelementin vastinsolmuiksi. Kuvauksen pitää olla kääntäen ksikäsitteinen jotta kuvaelementti toimisi verkon osana. ämä tarkoittaa sitä että kukin emoelementin piste kuvautuu täsmälleen hdeksi kuvaelementin pisteeksi ja kullakin kuvaelementin pisteellä on täsmälleen ksi alkukuva emoelementissä. Lujuusopissa tasoelementtejä tarvitaan esimerkiksi levrakenteiden käsitteln jolloin kseessä on tasojännitstilan elementti mutta ne ovat tarpeen mös tasomuodonmuutostilan M htedessä. äihin tapauksiin liittvät elementit eroavat toisistaan vain konstitutiivisen matriisin [ E ] osalta joten niiden teoria voidaan esittää samanaikaisesti. ietn elementin kättö verkon osana vaatii sen jäkksmatriisin [ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritstä kaavoista. ja.. ämä edellttää kenttäunktioiden siirtmäkomponenttien derivointia ja tiettjen lausekkeiden integrointia elementin alueessa. ämä operaatiot voidaan palauttaa emoelementin hteteen jolloin käsittel tulee helpommaksi ja sstemaattisemmaksi. 7. Lineaarinen kolmisivuinen elementti 7.. Emokolmion geometrinen kuvaus arkastellaan kuvan 7. a lineaarista kolmisivuista elementtiä jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat i i i. Määritellään ŷ seuraavasti solmukoordinaattien vektorit { ˆ } ja { } { ˆ } { } { ŷ} { } 7. Lineaariset interpolointiunktiot kuvan 7. b emoelementin alueessa ovat 7. Määritellään elementin geometrian kuvausmatriisi [ G ] seuraavasti [ ] [ ] [ ] G 7. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. Edellä on merkintöjen ksinkertaistamiseksi jätett interpolointiunktioista ja kuvausmatriisista [ G ] niiden argumentit ja pois. äin menetellään jatkossa usein mös muiden suureiden htedessä. Lukijan on kuitenkin stä tarkoin hahmottaa mitkä suureet riippuvat emoelementin koordinaateista ja. Lineaarinen kuvaus joka muuntaa emoelementin -tason kolmioelementiksi e jonka kärjet ovat pisteissä i i i on 7. ällöin emokolmion kärkipisteet kuvautuvat kuvan 7. solmunumeroinnin mukaisesti. Kuvaus 7. voidaan kirjoittaa tiiviimmin muotoon [ G]{ ˆ } [ G]{ ŷ} 7.5 Koska kuvaus 7. on lineaarinen se säilttää suorat suorina hdensuuntaiset hdensuuntaisina ja jakosuhteet ennallaan. Emoelementin sivut kuvautuvat janoiksi jotka määrätvät päätepisteidensä perusteella. ästä seuraa että elementtiverkossa vierekkäisiksi kuvatut elementit liittvät toisiinsa ilman aukkoja. Kuvaus 7. on kääntäen ksikäsitteinen kun kuvaelementin solmut ovat eri pisteissä. [ G] Kuva 7. Emokolmion lineaarinen kuvaus -tasolle. Kuvaus 7. antaa kuvaelementin koordinaatit emoelementin koordinaattien unktiona eli ja. ietn kenttäunktion osittaisderivaatoiksi muuttujien ja suhteen tulee ketjusäännön mukaisesti 7.6 D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. D-solidirakenteet Kirjoitetaan edellä oleva tulos matriisimuotoon [ ] 7.7 Matriisi [ ] on kuvauksen acobin matriisi. Kuvaushtälöistä 7. seuraa acobin matriisille ja sen determinantille lausekkeet [ ] 7.8 A 7.9 jossa A on kuvaelementin pinta-ala. Kaavasta 7.9 tulee > kun solmut numeroidaan kiertäen elementti vastapäivään. Kaavasta 7.7 seuraa tulos [ ] A 7. jota tarvitaan elementin kinemaattisen matriisin määritkseen. Kuvaelementin li olevalle integraalille tulee matematiikan mukaan kaava A Emo d d H A d d ] F[ F d d 7. jossa on merkitt H ] [ F. Kuvaelementin li olevat integraalit voidaan muuntaa emoelementin li laskettaviksi kaavan 7. avulla. 7.. Siirtmäkentän interpolointi Kuvan 7. a elementin solmuilla on kaksi vapausastetta siirtmät - ja -suunnissa joten elementillä on kuusi vapausastetta. Kun vapausastenumerointi valitaan solmuittain eteneväksi tulee elementin solmusiirtmävektoriksi { } { } v u v u v u u 7.
Elementtimenetelmän perusteet 7. Elementin alueessa tuntemattomana kenttäunktiona on siirtmäkenttä { } { u v } d 7. joka sisältää elementin alueen pisteiden - ja -suuntaiset siirtmät u ja v. Siirtmäkenttä { d } interpoloidaan elementin alueessa solmuarvoistaan. Interpoloinnissa kätetään samoja unktioita 7. kuin geometrian kuvauksessa. Siirtmäkentän komponenteille saadaan näin u v u v u v u v u u u v v v 7. Määritellään elementin interpolointimatriisi [ ] seuraavasti 7.5 [ ] jolloin kenttäunktion interpolointi 7. voidaan kirjoittaa tiiviimpään muotoon { d } [ ]{ u} 7.6 Koska interpolointiunktiot i i määritettiin emoelementin koordinaattien ja avulla antaa kaava 7.6 elementin siirtmäkentän niiden unktiona. ämä ei haittaa koska geometrian kuvaus on tunnettu ja kääntäen ksikäsitteinen. Siirtmäkentän komponentit u ja v ovat jatkuvia mös elementtien rajoilla sillä interpolointiunktioiden perusominaisuuksista seuraa että tietllä sivulla siirtmäkomponentin interpolointiin vaikuttavat vain kseisen sivun solmuarvot ja interpolointiunktiot. Funktioiden u ja v derivaattojen jatkuvuudesta ei sen sijaan ole takeita. 7.. Muodonmuutostilakenttä Kun siirtmäkenttä tunnetaan saadaan muodonmuutostilakenttä lujuusopin perushtälöiden mukaan kinemaattisista htälöistä. D-solidirakenteilla voidaan ottaa kättöön muodonmuutoskomponenttien vektori { ε } seuraavasti { } { ε ε γ } ε 7.7 asomuodonmuutostilassa muut muodonmuutoskomponentit ε z γ z γ z ovat nollia. asojännitstilassa ε z ei ole nolla mutta se voidaan helposti määrittää jälkikäteen -tason jännitksistä joten sitä ei tarvitse ottaa elementtimenetelmäratkaisuun mu- D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.5 D-solidirakenteet kaan. Kinemaattiset htälöt ovat tasotapauksessa v u v u γ ε ε 7.8 Kaavasta 7.8 seuraa vektorin { } ε ja siirtmäkentän { } d htedeksi tulos { } [ ]{ } d D v u γ ε ε ε 7.9 jossa on määritelt kinemaattinen dierentiaalioperaattori [ ] D seuraavasti [ ] D 7. Kaavoista 7.9 ja 7.6 saadaan muodonmuutosvektorille { } ε solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ } u B u D d D ε 7. jossa [ ] B on kinemaattinen matriisi ja se ilmaisee muodonmuutoskomponenttien hteden solmusiirtmiin. Matriisin [ ] B lausekkeeksi tulee [ ] [ ][ ] [ ] B D B 7. Interpolointiunktioiden derivaatat voidaan laskea kaavan 7. avulla josta seuraa A A A A A A 7.
Elementtimenetelmän perusteet 7.6 Kaavassa 7. on otettu kättöön solmukoordinaateista saatavat vakiot 7. Edellä olevasta seuraa kinemaattiseksi matriisiksi [ B ] vakiomatriisi [ B] A 7.5 Kaavojen 7. ja 7.5 mukaan muodonmuutosvektori on elementin alueessa vakio. Lineaarista kolmisivuista elementtiä kutsutaan mös vakio venmän kolmioksi. 7.. ännitstilakenttä D-solidirakenteilla määritellään jännitskomponenttien vektori { σ } seuraavasti { } { σ σ τ } σ 7.6 asojännitstilassa jännitskomponentit σ z τ z τ z ovat nollia. asomuodonmuutostilassa σ z ei ole nolla mutta se voidaan määrittää -tason muodonmuutoksista joten sitä ei oteta elementtimenetelmäratkaisuun mukaan. Vektoreiden { ε } ja { σ } htes saadaan materiaalihtälöstä joka lineaarisesti kimmoiselle materiaalille on { σ } [ E]{ ε } 7.7 Konstitutiivinen matriisi [ E ] on eri tapauksissa seuraavan kaavan mukainen ν ν ν E E ν ν M ν ν ν 7.8 ν ν [ E] ν [ E] jossa E on kimmomoduuli ν Poissonin vakio ja ν ν ja ν ν. Kaavoista 7.7 ja 7. tulee vektorille { σ } solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { σ} [ E ]{ ε} [ E] [ B]{ u} 7.9 Kaavasta 7.9 näk että mös jännitsvektori on lineaarisen kolmisivuisen ele- D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.7 mentin alueessa vakio. ällä elementillä saatavat muodonmuutos- ja jännitskomponentit ovat elementtien rajaviivoilla leensä epäjatkuvia ja riittävän tarkkojen tulosten saaminen edellttää varsin tiheän elementtiverkon kättöä. 7..5 äkksmatriisi Elementin jäkksmatriisi saadaan kaavan. integraalista. D-tapauksessa elementin paksuus t oletetaan tasojännitstilassa vakioksi ja tasomuodonmuutostilassa se valitaan kköseksi. äkksmatriisin lauseke on kummassakin tapauksessa [ ] [ B] [ E][ B] k t da 7. A e jolloin integrointi on -tasossa elementin alueen li. Kaavojen 7.5 ja 7.8 matriiseilla [ B ] ja [ E ] kaavan 7. integrandi on vakio ja integrointi voidaan suorittaa tarkasti tuloksen ollessa [ k] [ B] [ E][ B] t A 7. Lineaarisen kolmisivuisen elementin jäkksmatriisi voidaan siis laskea ilman numeerista integrointia kaavasta 7.. 7..6 Ekvivalenttiset solmukuormitukset Elementin ekvivalenttiset solmukuormitukset saadaan kaikissa tapauksissa kaavan. tilavuus- ja pintaintegraaleista. 7..6. ilavuusvoimakuormitus ilavuusvoimakuormitusta vastaa kaavan. keskimmäinen tilavuusintegraali. Se voidaan tasotapauksessa ja elementin paksuuden t ollessa vakio laskea seuraavasti {} [ ] {} dv t [ ] { } r da 7. ve A e jossa viimeinen integrointi on elementin alueen li. ilavuusvoimien vektorilla { } on komponentit - ja -suunnassa eli {} { } 7. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.8 Komponentit ja voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Kun integrointi muunnetaan emokolmion alueeseen kaavan 7. mukaisesti on tilavuusvoimakomponentit lausuttava emon koordinaattien avulla. ämä onnistuu sijoittamalla niihin ja kuvaushtälöistä 7.. Merkitään sijoituksen jälkeen saatavaa tilavuusvoimien vektoria ja sen komponentteja seuraavasti { } { } 7. jolloin integraali 7. menee kaavan 7. perusteella muotoon {} r A t [ ] { } d d 7.5 Lasketaan ensin lausekkeen 7.5 integrandi [ ] {} Edellä olevasta näk että tilavuusvoimakomponentit ja aiheuttavat solmukuormituksia vain oman suuntansa vapausasteisiin. ilavuusvoimavektori { } voidaan muuntaa ekvivalenttisiksi solmukuormituksiksi integraalilla 7.5 ainakin likimääräisesti numeerista integrointia kättäen. os { } { } { } on vakiovektori voidaan integrointi suorittaa tarkasti jolloin saadaan {} r A t d d A t d d A t Kummankin suunnan tilavuusvoimaresultantti jakaantuu solmuille samansuuruisiksi ρg pistevoimiksi. Painovoimakuormituksessa tilavuusvoimavektori on { } { } joka muunnetaan kolmeksi solmuihin vaikuttavaksi -suuntaiseksi pistevoimaksi jotka ovat suuruudeltaan A tρ g mg. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.9 7..6. Pintavoimakuormitus Pintavoimakuormitusta vastaa kaavan. viimeinen integraali. Pintavoimat ovat D-tilanteessa elementin reunapintaan vaikuttavia kuormituksia ja niitä voi esiintä vain elementtiverkon reunaan rajoittuvilla elementin sivuilla. Kaavan. mukaan ekvivalenttiset solmukuormitukset voidaan tasapaksun tasoelementin tapauksessa laskea seuraavasti {} [ ] { p} da t [ ] { p} r ds 7.6 Ae Se Se jossa viimeinen integraali on kuormitussivun li ja S sitä pitkin kulkeva koordinaatti. Merkintä S e kaavassa 7.6 tarkoittaa että suluissa olevassa vektorissa otetaan huomioon koordinaattien ja htes kuormitussivulla sekä koordinaattien ja htes vastaavalla emoelementin sivulla. Pintavoimien vektorilla { p } on komponentit - ja -suunnassa eli { p } { p p } 7.7 Komponentit p ja p voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Seuraavassa oletetaan merkintöjen ksinkertaistamiseksi että tarkasteltava pintakuormitus vaikuttaa sillä kuvaelementin sivulla joka on emokolmion sivun kuva. Kuvassa 7. on esitett erään kuvaelementin a sivulla oleva leinen pintakuormitus b ja kummassakin suunnassa lineaarisesti muuttuvaa pintakuormitus c. s p p p p p p Kuva 7. Pintakuormitus kuvaelementin sivulla. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. Koska emokolmion sivulla on tulee geometrian kuvaushtälöistä 7. tulos d d d d 7.8 Edellä olevasta seuraa edelleen ds d d d s d 7.9 jossa s on kuvaelementin sivun pituus. Kaavojen 7. ja 7.5 mukaan interpolointimatriisi [ ] on emon sivulla [ ] 7. Pintavoimien vektori 7.7 saadaan lausuttua koordinaatin avulla sijoittamalla ja kuvaushtälöistä 7.8. Merkitään sijoituksen jälkeen saatavaa pintavoimien vektoria ja sen komponentteja seuraavasti { p } { p p } 7. Kaavan 7.6 integraali voidaan tulosten 7.9 7. ja 7. perusteella muuntaa emoelementin sivun li olevaksi ja se saa muodon {} r t s [ ] { p} d 7. Kirjoitetaan auki kaavan 7. integrandi [ ] { p } p p p p p p Edellä olevasta näk että pintakuormituksesta tulee solmukuormituksia vain sen vaikutussivun solmuihin ja lisäksi kummastakin kuormituskomponentista tulee vaikutus vain sen oman suunnan vapausasteisiin. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. Määritetään vielä kuvan 7. c lineaarisiin pintakuormituksiin liittvät ekvivalenttiset solmukuormitukset integraalista 7.. Kuormituskomponenttien lausekkeet ovat p p p p p p p 7. p Sijoittamalla komponentteihin 7. kuvaushtälöistä 7.8 saadaan p p p p p p p p 7. Kaavasta 7. tulee seuraava lauseke ekvivalenttisille solmukuormituksille {} r [p p p ] [p p p ] [p p p ] t s d [p p p ] t s 6 p p p p p p p p 7.5 7..6. Esijännitstilakenttä Kaavan. ensimmäinen integraali muuntaa esijännitstilakentän ekvivalenttisiksi solmukuormituksiksi ja ne voidaan laskea seuraavasti {} r [ B] { } dv t [ B] { σ} σ da 7.6 ve A e Kuormituksena on esijännitstilakenttä { } { σ σ } σ 7.7 τ jonka komponentit σ σ ja τ voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Kun komponentit lausutaan kuvaushtälöitä 7. kättäen koordinaattien ja avulla saadaan kuormitus { } { σ σ } σ 7.8 τ Integraali 7.6 voidaan kirjoittaa emoelementin alueessa muotoon {} r A t [ B] { σ } dd 7.9 D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. Esijännitsvektori { σ } voidaan muuntaa solmukuormituksiksi integraalilla 7.9 numeerista integrointia kättäen. os { } { σ σ } σ τ on vakiovektori voidaan integrointi suorittaa tarkastikin sillä [ B ] on kaavan 7.5 vakiomatriisi. Koska emoelementin pinta-ala on saadaan tulokseksi tässä tapauksessa {} r t σ σ τ t σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ 7.5 7. Lineaarinen nelisivuinen elementti 7.. Emoneliön geometrinen kuvaus Kuvassa 7. a on esitett lineaarinen nelisivuinen elementti jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä. Elementin solmukoordinaattien vektorit ovat { ˆ } { } { ŷ} { } 7.5 a 8 7 6 e 5 [ G] b emo Kuva 7. Emoneliön lineaarinen kuvaus -tasolle. Lineaariset interpolointiunktiot kuvan 7. b emoelementin alueessa ovat 7.5 D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. Geometrian kuvausmatriisi [ G ] on muotoa [ G ] [ ] 7.5 Kuvaus joka muuntaa emoneliön -tason nelikulmioelementiksi siten että kuvaelementin kärjet ovat pisteissä i L voidaan esittää muodossa i i [ G]{ ˆ } [ G]{ ŷ} 7.5 Emoneliön kärkipisteet kuvautuvat kuvan 7. solmunumeroinnin mukaisesti ja emoelementin sivuista tulee kuvaelementin sivuja. Kuvaus 7.5 on bi-lineaarinen joten - ja - akseleiden suuntaisten suorien kuvat ovat suoria ja niiden jakosuhteet säilvät mutta hdensuuntaisuus ei säil. Bi-lineaarisessa kuvauksessa 7.5 emoelementin sivut kuvautuvat janoiksi jotka määrätvät ksikäsitteisesti päätepisteidensä perusteella. ästä seuraa että elementtiverkossa vierekkäisiksi kuvatut elementit liittvät toisiinsa ilman aukkoja. arkastelujen palauttamiseksi emoelementin hteteen tarvitaan kuvauksen 7.5 acobin matriisi [ ] ja sen determinantti. acobin matriisi määritellään htälöllä [ ] 7.55 jossa on mielivaltainen kenttäunktio. acobin matriisissa olevat muuttujien ja derivaatat koordinaattien ja suhteen voidaan laskea kuvaushtälöistä 7.5 ja tulokseksi saadaan 7.56 Kaavassa 7.56 tarvitaan solmukoordinaattien lisäksi interpolointiunktioiden 7.5 derivaatat joille tulee lausekkeet 7.57 Kaavoista 7.56 ja 7.57 tulee acobin matriisiksi D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. a b c b a [ ] d d e e b e c 7.58 ähdään että acobin matriisi ei ole vakiomatriisi vaan sen alkiot ovat lineaarisia emoelementin koordinaattien ja unktioita. Kinemaattisen matriisin [ B ] muodostamisessa tarvitaan [ ] jolle voidaan kirjoittaa lauseke [ ] e c b d e a b [a cd ae bd b ce ]6 7.59 Kaavan 7.59 mukaan matriisin [ ] alkiot ovat muuttujien ja rationaalilausekkeita joiden osoittajat ja nimittäjät ovat ensimmäistä astetta. otta [ ] olisi olemassa elementin alueessa ei saa mennä > nollaksi. os menee nollaksi elementin alueessa ei kuvaus 7.5 ole kääntäen ksikäsitteinen ja sntvä kuvaelementti on elementtiverkon osana kelvoton. Voidaan todistaa että jos kuvaelementti on kupera < nelikulmio kuten kuvan 7. tapaukset b ja c ei tule nollaksi sen alueessa. Kuva 7. Emoelementin kuvauksia. ällöin > mikäli kuvaelementin solmut on numeroitu samaan suuntaan kiertäen kuin emoelementissä mutta < numerointisuuntien ollessa vastakkaiset. os emoelementti kuvataan kuvan 7. c tapaan siten että jokin sen kulmista on kovera saa elementin alueessa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja ja menee tietllä viivalla nollaksi. ällöin kuvaelementti kaatuu itsensä päälle kuvassa c viivoitetulla alueella. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.5 7.. Kenttien interpolointi Siirtmäkenttä voidaan interpolointia hväksi kättäen lausua likimääräisesti solmusiirtmien avulla. Lineaarisen nelisivuisen tasoelementin solmusiirtmävektori on { } { u v u v u v u v } u 7.6 jossa elementin vapausastenumerointi on valittu solmuittain eteneväksi. Siirtmä- d sisältää elementin alueen pisteiden - ja -suuntaiset siirtmät kenttä { } { } { u v } d 7.6 Siirtmäkentän interpoloinnissa kätetään samoja bi-lineaarisia interpolointiunktioita 7.5 kuin geometrian kuvauksessa ja interpolointimatriisiksi [ ] tulee [ ] 7.6 Siirtmäkentän interpolointi on jälleen muotoa { d } [ ]{ u} 7.6 Lauseke 7.6 antaa siirtmäkentän emoelementin koordinaattien ja avulla. Siirtmäkentän interpolointi on C -jatkuva. Muodonmuutoskomponenttien vektorin { ε } ja siirtmäkentän { d } htes on ε u ε 7.6 v γ { } ε [ D]{ d} josta seuraa muodonmuutosvektorille { ε } solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { ε } [ D ]{ d} [ D][ ]{ u} [ B]{ u} 7.65 Kinemaattinen matriisin [ B ] lausekkeeksi tulee B 7.66 [ ] [ ][ ] D D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.6 B 7.67 [ ] Interpolointiunktioiden derivaatoille tulee kaavasta 7.55 lausekkeet i i L 7.68 i i j i i jossa merkintä tarkoittaa acobin matriisin käänteismatriisin alkiota. Kaavan 7.68 perusteella kinemaattinen matriisi [ B ] saadaan esitettä emoelementin koordinaattien avulla. Voidaan osoittaa että tulos menee seuraavaan matriisitulomuotoon i i [ B] 7.69 Muodonmuutosvektorista { ε } saadaan jännitsvektori { σ } materiaalihtälöillä { σ } [ E]{ ε } 7.7 jossa konstitutiivinen matriisi [ E ] on kaavan 7.8 mukainen. Kaavoista 7.7 ja 7.65 seuraa jännitsvektorille { σ } solmusiirtmien avulla esitett likilauseke { σ } [ E ]{ ε } [ E][ B]{ u} 7.7 Kaavasta 7.69 näk että kinemaattisen matriisin [ B ] alkiot ovat rationaalilausekkeita joissa osoittajat ovat toista ja nimittäjät ensimmäistä astetta muuttujien ja suhteen. Kaavojen 7.65 ja 7.7 perusteella muodonmuutos- ja jännitsvektorin komponentit ovat samantppisiä lausekkeita kuin kinemaattisen matriisin alkiot. 7.. äkksmatriisi äkksmatriisin lauseke on vakio paksuuden t omaavalla tasoelementillä muotoa [ ] [ B] [ E][ B] k t da 7.7 A e D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.7 jolloin integrointi on -tasossa elementin alueen li. Integrointi voidaan muuntaa emoelementin alueen li olevaksi kaavan 7. osoittamalla tavalla josta seuraa [ k] t [ B] [ E][ B] d d 7.7 Koska kinemaattisen matriisin [ B ] alkiot ja acobin matriisin determinantti ovat edellä kuvattuja muuttujien ja lausekkeita ei jäkksmatriisin alkioiden tarkka integrointi ole tarkoituksenmukaista vaikka olisi periaatteessa mahdollista. Kätännössä elementtimenetelmäohjelmissa jäkksmatriisi lasketaan kaavasta 7.7 numeerisella Gaussin integroinnilla. ällöin integraali korvataan kätettävän integrointiasteen mukaisella äärellisellä painotetulla summalla n n ij [ k] t Wi Wj [ B] [ E][ B] i j 7.7 jossa merkintä i j tarkoittaa että suluissa oleva matriisi on laskettu integrointipisteessä ja [ ] tarvitaan jäkksmatriisia lasketta- i j. Suureet [ B ] [ ] essa vain integrointipisteissä eikä koko elementin alueessa. Kun [ ] B on tunnettava Gaussin integrointipisteissä voidaan sitä hödntää solmusiirtmien ratkaisun jälkeen mös muodonmuutos- ja jännitskomponenttien laskemiseen näissä pisteissä. 7.. Ekvivalenttiset solmukuormitukset Elementin ekvivalenttiset solmukuormitukset saadaan kaikissa tapauksissa kaavan. tilavuus- ja pintaintegraaleista. 7... ilavuusvoimakuormitus ilavuusvoimakuormitusta vastaava integraali on {} [ ] {} dv t [ ] { } r da 7.75 ve A e jossa viimeinen integrointi on elementin alueen li. ilavuusvoimien vektorilla on komponentit - ja -suunnassa eli {} { } 7.76 D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.8 jotka voidaan lausua kuvaushtälöitä 7.5 kättäen koordinaattien ja avulla jolloin saatua tilavuusvoimien vektoria merkitään { } { } 7.77 Integraali 7.75 menee kaavan 7. perusteella muotoon {} r t [ ] { } d d 7.78 Koska riippuu koordinaateista ja edellä esitetllä tavalla ei integraalia 7.78 kannata laskea analttisesti edes vakio tilavuusvoimakuormitukselle. Se voidaan aina laskea numeerisella Gaussin integroinnilla halutulla tarkkuudella olipa tilavuusvoimakuormitus mikä tahansa. Kaavan 7.78 integraali korvataan tällöin äärellisellä painotetulla summalla ij n n {} r t W W [ ] { } 7.79 i j i j 7... Pintavoimakuormitus Pintavoimakuormitusta vastaa kaavan. viimeinen integraali ja sen mukaan ekvivalenttiset solmukuormitukset saadaan tasapaksulle tasoelementille kaavasta {} [ ] { p} da t [ ] { p} r ds 7.8 Ae Se Se jossa viimeinen integraali on kuormitussivun li ja S sitä pitkin kulkeva koordinaatti. Pintavoimien vektorilla { p } on komponentit - ja -suunnassa eli { p} { p p } 7.8 Komponentit p ja p voivat olla mielivaltaisia koordinaattien ja unktioita. Seuraavassa oletetaan merkintöjen ksinkertaistamiseksi että tarkasteltava pintakuormitus vaikuttaa emoneliön sivun kuvasivulla jonka solmuja merkitään mös numeroilla ja. Kuvassa 7.5 on esitett erään kuvaelementin a sivulla oleva leinen pintakuormitus b ja kummassakin suunnassa lineaarinen pintakuormitus c. D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7.9 a 6 e 5 8 S 7 s b p p p c p p Kuva 7.5 Pintakuormitus kuvaelementin sivulla. p Koska emoneliön sivulla on voimassa saadaan kuvaushtälöistä 7.5 d d d d 7.8 Edellä olevasta seuraa edelleen d d d s d 7.8 ds jossa s on kuvaelementin sivun pituus. Kaavojen 7.5 ja 7.6 mukaan interpolointimatriisi [ ] menee emon sivulla muotoon [ ] 7.85 Pintavoimien vektori 7.8 lausutaan koordinaatin avulla sijoittamalla ja kuvaushtälöistä 7.8. Merkitään näin saatavaa vektoria ja komponentteja seuraavasti { p } { p p } 7.86 Kaavan 7.8 integraali voidaan tulosten 7.8 7.85 ja 7.86 perusteella muuntaa emoelementin sivun li olevaksi ja se saa muodon 7.87 {} r t s [ ] { p} d D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. Kirjoitetaan auki kaavan 7.87 integrandi [ ] { p } p p p p p p Edellä olevasta nähdään että pintakuormituksesta tulee solmukuormituksia vain sen vaikutussivun solmuihin ja kummastakin kuormituskomponentista tulee vaikutus vain sen oman suunnan vapausasteisiin. Määritetään vielä kuvan 7.5 c kuormituksiin liittvät solmukuormitukset. Kuormituskomponentit ovat p p p p p p p 7.88 p Sijoittamalla komponentteihin 7.88 koordinaatti kuvaushtälöistä 7.8 saadaan p p p p p p p 7.89 p Kaavasta 7.87 tulee seuraava lauseke ekvivalenttisille solmukuormituksille {} r [p [p [p [p t s p p p p p p p p ] ] ] ] d t s 6 p p p p p p p p 7.9 D-solidirakenteet
Elementtimenetelmän perusteet 7. 7... Esijännitstilakenttä Kaavan. ensimmäinen integraali muuntaa esijännitstilakentän ekvivalenttisiksi solmukuormituksiksi seuraavasti {} r [ B] { } dv t [ B] { σ} σ da 7.9 ve A e jolloin kuormituksena on esijännitstilakenttä { } { σ σ } σ 7.9 τ Esijännitskomponentit lausutaan emon koordinaattien avulla kuvaushtälöitä 7.5 kättäen josta saadaan kuormitus { } { σ σ } σ 7.9 τ Integrointi muunnetaan emoneliön alueeseen kaavan 7. mukaisesti jolloin se menee muotoon {} r t [ B] { σ} dd 7.9 Koska ja [ B ] riippuvat koordinaateista ja edellä esitetllä tavalla ei integraalia 7.9 kannata laskea analttisesti edes vakio esijännitstilakentällä. Se voidaan laskea Gaussin integroinnilla kaikilla esijännitstilakentillä. Kaavan 7.9 integraali korvataan tällöin integrointiasteen mukaisella äärellisellä painotetulla summalla n n ij {} r t Wi Wj [ B] { σ} i j 7.95 D-solidirakenteet