Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015
1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen joukko on joukko Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Merkitään lisäksi N = {0, 1, 2, 3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, ts. n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Joukon Z alkioita kutsutaan kokonaisluvuiksi. Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. Reaaliluku x on rationaaliluku, jos on olemassa sellaiset m Z ja n N, että x = m n. Irrationaaliluku on sellainen reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku. Luonnollisten lukujen sekä kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi. 2 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P :tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yo. väitelause on totta, sanotaan, että P :stä seuraa Q tai että P on riittävä ehto Q:lle, ja merkitään P Q. Nuolta kutsutaan impikaationuoleksi. Merkintä P Q luetaan joko P :stä seuraa Q tai P implikoi Q:n. 2.1 Esimerkkejä (1) Jos ei sada (oletus), kävelen yliopistolle (väite). (1) Jos x 0 (oletus), niin x 0 (väite). (2) Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n 2 on parillinen luonnollinen luku (väite). (3) Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja (oletus). Tällöin mn on pariton luonnollinen luku (väite). (4) Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen. 2
Oletus: n ja m ovat parillisia luonnollisia lukuja. Väite: nm on parillinen. Väitelauseen todistus kertoo, miksi ja miten väite seuraa oletuksista. Tarkastellaan seuraavaksi, miten väitelauseita todistetaan. 2.2 Suora todistus Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja edetään vaiheittain väitteeseen. Päättelyn jokainen välivaihe on pystyttävä perustelemaan ja käytettävät käsitteet on määriteltävä tarkasti. Perusteluissa käytetään oletusta, aiemmin todistettuja lauseita tai muita tunnettuja tosiasioita. Harjoitellaan aluksi todistamista parittomia ja parillisia luonnollisia lukuja käyttäen. 2.3 Määritelmä Luonnollinen luku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k N, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l N, että n = 2l + 1. 2.4 Huomautus Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa luonnollista lukua, joka on parillinen ja pariton. 2.5 Esimerkkejä (1) Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, että n+k = 2p. Oletuksen perusteella n + k = (2m + 1) + (2l + 1) = 2(m + l + 1), joten n + k = 2p, kun valitaan p = m + l + 1 N. Siis n + k on parillinen. 3
(2) Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Väite: n 2 on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, että n 2 = 2l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, että n 2 = 2l. Oletuksesta saadaan n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), joten valitsemalla l = 2k 2 = (2k)k N nähdään, että n 2 on parillinen. Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n 2 2 4 4 16 6 36.. 2.6 Huomautus Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja päädytään väitteeseen. Päättelyssä voidaan käyttää oletusta ja tunnettuja tuloksia. väitettä ei saa käyttää. 2.7 Epäsuora todistus Epäsuorassa todistuksessa muodostetaan aluksi antiteesi, ts. oletetaan, että väite ei pidä paikkaansa, ja päädytään ristiriitaan joko oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Ristiriidasta seuraa, että antiteesi ei ole totta. Näin ollen väitteen on oltava totta. 2.8 Esimerkkejä (1) Todista väite: jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. 4
Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. Nyt n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, missä 2k 2 +2k N. Siis n 2 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n 2 on parillinen. Näin ollen antiteesi on epätosi ja väite on totta. (2) Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: toinen luvuista on parillinen. Olkoon tämä parillinen luku n, ts. n = 2k jollakin k N. Nyt nm = 2km on parillinen, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella nm on pariton. Siis antiteesi on epätosi ja väite on totta. 2.9 Huomautuksia (1) Epäsuorassa päättelyssä antiteesin muodostaminen on tärkeää. Antiteesiä muodostettaessa on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei ole totta. Antiteesin muodostamiseen palataan myöhemmin luvussa 2.15. (2) Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. (3) Esimerkissä 2.5 (2) osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta esimerkissä 2.8 (1) osoitettiin, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta voidaan yhdistää ja kirjoittaa muodossa n on parillinen n 2 on parillinen. Nuolta kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko n on parillinen, jos ja vain jos n 2 on parillinen tai n on parillinen, täsmälleen silloin, kun n 2 on parillinen. Merkintä P Q tarkoittaa siis (P Q) ja (Q P ). 5
2.10 Esimerkki Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos luonnollinen luku n + 1 on pariton. Todistus. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta: n on parillinen (oletus) = n + 1 on pariton (väite) ja n + 1 on pariton (oletus) = n on parillinen (väite). Todistetaan nämä erikseen. Oletus: luku n on parillinen. Väite: luku n + 1 on pariton. Todistus. Koska oletuksen perusteella n on parillinen, niin n = 2k jollakin k N. Nyt n + 1 = 2k + 1, joten n + 1 on pariton. Siis väite on totta. Oletus: luku n + 1 on pariton. Väite: luku n on parillinen. Todistus. Oletuksen nojalla n + 1 = 2l + 1 jollakin l N, joten n = (n + 1) 1 = (2l + 1) 1 = 2l. Näin ollen n on parillinen eli väite on totta. Koska molemmat väitteet ja ovat tosia, on alkuperäinen väite totta. 2.11 Määritelmä Olkoot n, m N. Luku m on jaollinen luvulla n, jos on olemassa sellainen k N, että m = kn. Lukuja k ja n kutsutaan luvun m tekijöiksi. Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m 2 ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. 2.12 Määritelmä Kokonaisluku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k Z, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l Z, että n = 2l +1. (Vertaa määritelmä 2.3.) 2.13 Huomautus Jokainen kokonaisluku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa kokonaislukua, joka on parillinen ja pariton. 6
2.14 Esimerkkejä (1) Luku 12 on jaollinen luvuilla 1, 2, 3, 4, 6 ja 12, sillä 12 = 1 12 = 2 6 = 3 4. Luvulla 5 ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja 5, joten se on alkuluku. (2) Todista väite: luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6, jos ja vain jos se on jaollinen sekä luvuilla 2 että 3. Todistus. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta. Todistetaan ne erikseen. Oletus: luku n on jaollinen luvulla 6. Väite: luku n on jaollinen luvuilla 2 ja 3. Todistus. Käytetään oletusta ja jaollisuuden määritelmää 2.11: Koska n = 6k jollakin k N, niin n = 2 (3k) = 2l, missä l = 3k N. Siis n on jaollinen 2:lla. Lisäksi n = 3 (2k) = 3m, missä m = 2k. Näin n on jaollinen 3:lla. Väite on siis totta. Oletus: luku n on jaollinen luvuilla 2 ja 3. Väite: luku n on jaollinen luvulla 6. Todistus. Oletuksen ja jaollisuuden määritelmän 2.11 perusteella n = 2l jollakin l N ja n = 3m jollakin m N. Osoitetaan aluksi, että m on parillinen. Käytetään epäsuoraa päättelyä. Antiteesi: m on pariton. Tällöin m = 2p + 1 jollakin p N, joten n = 3m = 3(2p + 1) = 2(3p + 1) + 1. Siis n on pariton. Tämä on ristiriita, sillä n = 2l eli n on parillinen. Koska päädyttiin ristiriitaan, on antiteesi väärä. Luvun m on siis oltava parillinen eli m = 2k jollakin k N. Tästä saadaan n = 3m = 3 (2k) = 6k, joten n on jaollinen 6:lla eli väite on totta. Koska sekä väite että väite ovat tosia, on alkuperäinen väite totta. (2) Osoita, että 2 on irrationaaliluku. (Pythagoras n. 550 eaa.) Todistus. Antiteesi: 2 ei ole irrationaaliluku, ts. 2 on rationaaliluku. Rationaalilukujen määritelmän 2.12 perusteella löydetään sellaiset m Z ja n N, että 2 = m n. 7
Voidaan olettaa, että osamäärää m ei voida supistaa. (Jos supistaminen on mahdollista, supistetaan niin monta kertaa kuin voidaan, ja valitaan saadut luvut n m:ksi ja n:ksi.) Nyt 2 = ( ( m ) 2 2) 2 m 2 = = n n, 2 joten m 2 = 2n 2. Näin ollen m 2 on parillinen ja esimerkin 2.8 (1) perusteella myös m on parillinen, ts. m = 2k jollakin k N. Koska 2n 2 = m 2 = (2k) 2 = 4k 2, niin n 2 = 2k 2. Siten n 2 on parillinen ja esimerkin 2.8 (1) nojalla myös n on parillinen, ts. n = 2l jollakin l N. Nyt saadaan m n = 2k 2l, joten osamäärässä m voidaan supistaa luvulla 2. Tämä on ristiriita, sillä aiemmin n todettiin, että tätä osamäärää ei voida supistaa. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen 2 on irrationaaliluku. (3) Olkoon n Z pariton. Osoita sekä suoraa että epäsuoraa todistusta käyttäen, että 5n 3 on parillinen kokonaisluku. Oletus: n Z on pariton. Väite: 5n 3 Z on parillinen. Suora todistus. Koska n on pariton, löydetään sellainen k Z, että n = 2k + 1. Näin ollen 5n 3 = 5(2k + 1) 3 = 10k + 2 = 2(5k + 1), joten 5n 3 on parillinen. Siis väite on totta. Epäsuora todistus. Antiteesi: 5n 3 ei ole parillinen, ts. 5n 3 on pariton. Antiteesin perusteella 5n 3 = 2k + 1 jollakin k Z. Nyt n = 5n 4n = (5n 3) 4n + 3 = 2k + 1 4n + 3 = 2k 4n + 4 = 2(k 2n + 2). Näin ollen n on parillinen kokonaisluku. Tämä on ristiriita, koska oletuksen mukaan n on pariton. Väite on siis totta. 2.15 Antiteesin muodostaminen Antiteesi eli vastaväite on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. 8
Väite ja antiteesi yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset tilanteet. Epäsuorassa todistuksessa antiteesi on lisäoletus, jota hyödynnetään ristiriitaan pyrittäessä. Väite on totta täsmälleen silloin, kun antiteesi ei ole totta, ts. väite on tosi antiteesi on epätosi. 2.16 Esimerkkejä Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Antiteesi: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. (5) Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. Antiteesi: kaikki syyspäivät ovat tuulettomia ja sateettomia. 2.17 Esimerkkejä Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k +1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. 9
(4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. Antiteesi: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee nm + 1 / N. (5) Väite: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee m n ja mn N. Antiteesi: kaikilla n N on olemassa sellainen m N, että n = m tai nm / N. 2.18 Esimerkki Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 2 3x + 2 < 0, niin x > 0. Oletus: x R ja x 2 3x + 2 < 0. Väite: x > 0. Suora todistus: Koska x 2 3x + 2 < 0, niin 3x > x 2 + 2. Näin ollen Siis x > 0. x = 1 3 (3x) > 1 3 (x2 + 2) 1 3 (0 + 2) = 2 3 > 0. Epäsuora todistus: Antiteesi: x 0. Tällöin 3x 0, joten x 2 3x + 2 0 + 0 + 2 = 2 > 0. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x 2 3x + 2 < 0. Siis antiteesi ei ole totta, joten väite on totta. 2.19 Huomautuksia (1) Matematiikassa tai ei ole joko tai. Väite P on tosi tai Q on tosi voi tarkoittaa (i) P on totta, Q ei ole totta, (ii) P ei ole totta, Q on totta (iii) P on totta, Q on totta. tai (2) Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: kaikki (All) on olemassa (Exist). 10
Esimerkiksi: Väite on olemassa sellainen x R, että x 2 = 2 voidaan esittää muodossa x R : x 2 = 2, ja väite kaikille luonnollisille luvuille m ja n pätee, että m + n N voidaan esittää muodossa n, m N pätee: m + n N. (3) Antiteesiä muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit ja käyttäytyvät näin: väite ja tai antiteesi tai ja 2.20 Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Väitteen voi todistaa vääräksi keksimällä yhden esimerkin siitä, että väite ei ole totta. Sen sijaan yksi esimerkki ei riitä osoittamaan, että väite on totta. 2.21 Esimerkkejä Osoita, että seuraavat väitelauseet eivät ole tosia. (1) Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 1 ja 2 ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( 2) = 1 on positiivinen kokonaisluku. (2) Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 2 on irrationaaliluku, mutta x x = 2 2 = 2 ei ole irrationaaliluku. Jatketaan todistamisen harjoittelemista. 2.22 Esimerkkejä (1) Olkoot n, m N. Oletetaan, että n + m on parillinen. Osoita, että n ja m ovat molemmat parillisia tai n ja m ovat molemmat parittomia. 11
Oletus: n, m N ja n + m on parillinen. Väite: n ja m ovat parillisia tai n ja m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: Toinen luvuista on parillinen ja toinen pariton. Oletetaan, että n on parillinen ja m on pariton. Tällöin löydetään sellaiset k N ja l N, että n = 2l ja m = 2k + 1. Näin ollen n + m = 2l + 2k + 1 = 2(l + k) + 1, joten n + m on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n + m on parillinen. Antiteesi ei siis ole totta, ja näin ollen väite on totta. (2) Osoita, että lukua 512 ei voida esittää yhden parittoman ja kahden parillisen luonnollisen luvun summana. Todistus. Antiteesi: Luku 512 voidaan esittää muodossa 512 = k + l + m, missä k N on pariton ja l, m N ovat parillisia. Koska k = 2n + 1 jollakin n N, l = 2p jollakin p N ja m = 2s jollakin s N, saadaan 512 = k + l + m = 2n + 1 + 2p + 2s = 2(n + p + s) + 1, joten 512 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä 512 = 2 256 on parillinen. Antiteesi ei siis ole totta, joten väite on totta. (3) Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite jos m + k on jaollinen n:llä, niin m on jaollinen n:llä tai k on jaollinen n:llä totta? Ratkaisu. Väite ei ole totta, mikä nähdään valitsemalla m = 3, k = 5 ja n = 2. Luku m + k = 3 + 5 = 8 on jaollinen 2:lla, sillä 8 = 4 2, mutta luvut 3 ja 5 eivät ole jaollisia 2:lla. (4) Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite jos m on jaollinen n:llä ja k on jaollinen n:llä, niin m + k on jaollinen n:llä totta? 12
Ratkaisu. Väite on totta. Perustellaan se: Koska m ja k ovat jaollisia n:llä, niin m = ln ja k = pn joillakin l, p N. Nyt m + k = ln + pn = (l + p)n, joten m + k on jaollinen n:llä. Siis väite on totta. (5) Osoita, että on olemassa sellaiset irrationaaliluvut x ja y, että x y on rationaaliluku. Todistus. Reaaliluku 2 2 on joko rationaaliluku tai irrationaaliluku. Jos 2 2 on rationaaliluku, niin väite on totta, sillä voidaan valita x = y = 2. Jos 2 2 on irrationaaliluku, niin luku ( 2 2 ) 2 = 2 2 = 2 on rationaaliluku. Tässä tapauksessa voidaan valita x = 2 2 ja y = 2. (6) Osoita, että on olemassa sellainen yksikäsitteinen reaaliluku x, että kaikilla reaaliluvuilla y. xy + x 4 = 4y Todistus. Todistetaan ensin, että reaaliluvun x olemassaolo, ja sen jälkeen sen yksikäsitteisyys. Valitaan x = 4. Tällöin olipa y mikä tahansa reaaliluku. xy + x 4 = 4y + 4 4 = 4y Todistetaan vielä yksikäsitteisyys. Antiteesi: oletetaan, että on olemassa sellainen reaaliluku x 4, että xy + x 4 = 4y kaikilla reaaliluvuilla y. Erityisesti, kun y = 0, saadaan x 4 = 0, joten x = 4, mikä on ristiriita. Näin ollen antiteesi ei ole totta, ja väite on todistettu. 13
2.23 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan perustella väitteitä, jotka ovat muotoa Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa on kaksi vaihetta: väite P (n) on totta kaikille n = 0, 1, 2,.... (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k + 1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n = 0, 1, 2,..., sillä kohdan (i) perusteella väite on totta, kun n = 0, joten kohdan (ii) perusteella väite on totta, kun n = 1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n = 2 jne. Induktion ei tarvitse välttämättä alkaa luvusta n = 0: induktion avulla voidaan todistaa myös muotoa oleva väite, kun n 0 N. väite P (n) on totta kaikille n = n 0, n 0 + 1, n 0 + 2,... 2.24 Esimerkki Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n = 1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 = 1. Siis väite pätee kun n = 1. (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. 14
Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) {}}{ 1 + 3 +... + (2k 1) +(2(k + 1) 1) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k + 2 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen perusteella väite on tosi kaikille n = 1, 2,.... 2.25 Summamerkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n R. Merkitään n a j = a 1 + a 2 +... + a n. j=1 2.26 Esimerkkejä (1) 3 2 i = 2 1 +2 2 +2 3 i=1 (2) l a k = a+a 2 +...+a l k=1 (3) m m a2 k = a 2 k = a(2+4+8+...+2 m ) k=1 k=1 Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, joten sen saa viedä -merkin eteen. (4) p p p (αx j +βjy j+1 ) = α x j +β jy j+1 = α(x+x 2 +...+x p )+β(y 2 +2y 3 +...+py p+1 ). j=1 j=1 j=1 15
(5) n (2j 1) = 1 + 3 +... + (2n 1) j=1 (6) Tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia: Olkoon b sellainen reaaliluku, että b 0 ja b 1. Merkitään n S n = b j. j=0 Osoita, että S n = bn+1 1 b 1 kaikilla n = 0, 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Osoitetaan, että väite pätee kun n = 0: Vasen puoli: S 0 = 0 j=0 bj = 1 Oikea puoli: b1 1 b 1 = b 1 b 1 = 1 Siis väite on tosi kun n = 0. (ii) Induktio-oletus: Väite on tosi kun n = k, ts. S k = bk+1 1 b 1. Induktioväite: Väite on tosi, kun n = k + 1, ts. S k+1 = bk+2 1 b 1. Induktioväitteen todistus. Induktio-oletuksen perusteella k+1 S k+1 = b j = j=0 k b j + b k+1 j=0 induktio-oletus b k+1 1 = + b k+1 b 1 = bk+1 1 (b 1)bk+1 + b 1 b 1 = bk+1 1 + b k+2 b k+1 = bk+2 1 b 1 b 1. 16
Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n = 0, 1, 2,.... (7) Osoita, että 3 n > 2n kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 1: Vasen puoli: 3 1 = 3 Oikea puoli: 2 1 = 2 Koska 3 > 2, niin väite on totta, kun n = 1. (ii) Induktio-oletus: 3 k > 2k Induktioväite: 3 k+1 > 2(k + 1) Induktioväitteen todistus. Induktio-oletusta käyttäen saadaan 3 k+1 = 3 k 3 induktio-oletus > 2k 3 = 2k + 4k k 1 2k + 4 > 2k + 2 = 2(k + 1). Näin ollen induktioväite on totta, ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n = 1, 2,.... (8) Osoita, että äärellisen monen rationaaliluvun q 1, q 2,..., q n summa q 1 + q 2 +... + q n on rationaaliluku. Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 2, ts. kahden rationaaliluvun q 1 ja q 2 summa q 1 + q 2 on rationaaliluku. Olkoot q 1 = m 1 n 1 ja q 2 = m 2 n 2, missä m 1, m 2 Z ja n 1, n 2 N. Tällöin q 1 + q 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2 = m 1n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 on rationaaliluku, sillä m 1 n 2 + m 2 n 1 Z ja n 1 n 2 N. (ii) Induktio-oletus: Kun k kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Induktioväite: Kun k + 1 kappaletta rationaalilukuja lasketaan yhteen, saadaan rationaaliluku. Ts. jos q 1, q 2,..., q k+1 Q, niin q 1 +... + q k+1 Q. Induktioväitteen todistus. Olkoot q 1, q 2,..., q k+1 Q. Koska q 1 +... + q k + q k+1 = (q 1 +... + q k ) + q k+1, 17
missä q 1 +... + q k Q induktio-oletuksen nojalla ja q k+1 Q, niin kohdan (i) perusteella näiden kahden rationaaliluvun summa on rationaaliluku. Siis induktioväite on totta. Induktioperiaatteen nojalla äärellisen monen rationaaliluvun summa on rationaaliluku. 18
Lähteet Juutinen, Petri: Johdatus matematiikkaan (http://users.jyu./ peanju/) Roberts, Charles E.: Introduction to mathematical proofs: a transition, CRC Press, 2010. Kiitokset Kiitokset Tuula Ripatille luentomuistiinpanojeni puhtaaksi kirjoittamisesta. 19