Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)
|
|
|
- Matilda Väänänen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division
2 Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52
3 Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä: Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52
4 Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä: Jos oletukset ovat tosia, niin johtopäätös on tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52
5 Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä: Jos oletukset ovat tosia, niin johtopäätös on tosi. Matematiikka onkin ainutlaatuista, sillä vain siinä ei ole merkittäviä korjauksia, vaan ainoastaan laajennuksia. Esimerkiksi Pythagoraan lause on edelleen voimassa eikä sitä tarvitse korjata (vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtonin liikelakeihin ja painovoimateoriaan). Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52
6 Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52
7 Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52
8 Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.syy: Jokainen määritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itse määritelmässä käytetään. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52
9 Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.syy: Jokainen määritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itse määritelmässä käytetään. Samoin mitään lauseita ei voida todistaa, ellei joitakin lauseita oteta perustotuuksiksi (aksiomeiksi), joista muuta lauseet johdetaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52
10 Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.syy: Jokainen määritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itse määritelmässä käytetään. Samoin mitään lauseita ei voida todistaa, ellei joitakin lauseita oteta perustotuuksiksi (aksiomeiksi), joista muuta lauseet johdetaan. Luonnollista kieltä lyhyempään ja selkeämpään esitykseen päästään ottamalla käyttöön lyhennysmerkintöjä eli symboleja matemaattisille käsitteille. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52
11 Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52
12 Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. Suora kulkee pisteen kautta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52
13 Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. Suora kulkee pisteen kautta. Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora on aksiomi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52
14 Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. Suora kulkee pisteen kautta. Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora on aksiomi. Pythagoraan lause voidaan johtaa loogisesti aksiomeista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52
15 Esimerkkejä Esim. 1 Mitä vikaa on seuraavissa käsitteiden puu ja metsä määritelmissä? Puu on kasvi, joka kasvaa metsässä. Metsä on paikka, jossa kasvaa puita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 52
16 Esimerkkejä Esim. 1 Mitä vikaa on seuraavissa käsitteiden puu ja metsä määritelmissä? Puu on kasvi, joka kasvaa metsässä. Metsä on paikka, jossa kasvaa puita. Esim. 2 Tarkastellaan luvun 2 määrittelyä. Määritellään, että luku 2 on kaikkien sellaisten joukkojen ominaisuus, joissa on 2 alkiota. Mikä vika tässä määritelmässä on? Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 52
17 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
18 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
19 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
20 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
21 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
22 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
23 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
24 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. 2. Jukka on ihminen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
25 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. 2. Jukka on ihminen. 3. Siispä Jukka pitää matematiikasta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
26 Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. 2. Jukka on ihminen. 3. Siispä Jukka pitää matematiikasta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52
27 Matemaattisesta päättelystä Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A B (lue: A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:tä väitteeksi. Nuolta sanotaan implikaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 52
28 Matemaattisesta päättelystä Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A B (lue: A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:tä väitteeksi. Nuolta sanotaan implikaatioksi. Lause A B kirjoitetaan usein muodossa Jos A (on totta), niin B (on totta). Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 52
29 Matemaattisesta päättelystä Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A B (lue: A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:tä väitteeksi. Nuolta sanotaan implikaatioksi. Lause A B kirjoitetaan usein muodossa Jos A (on totta), niin B (on totta). Edellistä muotoa oleva lause todistetaan siten, että oletetaan A:n olevan totta. Tämän jälkeen suoritetaan ongelmasta riippuen erinäinen määrä samaa tyyppiä olevia päätelmiä, merkitään A 1 A 2. Jos viimeisessä päätelmässä voidaan perustella muotoa A k B oleva lause, voidaan päätellä, että B on totta ja siten lause A B pitää paikkansa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 52
30 Matemaattisesta päättelystä Usein oletukset voivat olla muotoa A B (lue: A ja B), joka on totta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 52
31 Matemaattisesta päättelystä Usein oletukset voivat olla muotoa A B (lue: A ja B), joka on totta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta. Oletus voi olla myös muotoa A B (lue: A tai B), joka on totta täsmälleen silloin, kun ainakin toinen A:sta ja B:stä on totta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 52
32 Matemaattisesta päättelystä Usein oletukset voivat olla muotoa A B (lue: A ja B), joka on totta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta. Oletus voi olla myös muotoa A B (lue: A tai B), joka on totta täsmälleen silloin, kun ainakin toinen A:sta ja B:stä on totta. Huomautus 1 Huomaa, että matematiikan tai poikkeaa luonnollisessa kielessä käytetyn tai:n merkityksestä. Matematiikassa ilmaisussa A B jompi kumpi A tai B on totta tai molemmat ovat totta, kun taas luonnollisessa kielessä tai voi olla myös merkityksessä joko...tai. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 52
33 Esimerkki Esim. 3 Esimerkiksi hississä törmää ilmaisuun Hissiin mahtuu 8 henkilöä tai 640 kiloa. Ei varmaankaan kannata mennä kokeilemaan mitä tapahtuu, jos hissiin pannaan 8 henkilön lisäksi 640 kiloa. Toisaalta esiintyy ilmaisuja Hakijalta edellytetään filosofian maisterin tai diplomi-insinöörin tutkintoa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 52
34 Matemaattisesta päättelystä Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B ei olekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöön merkintä A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleen silloin, kun A ei ole totta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 52
35 Matemaattisesta päättelystä Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B ei olekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöön merkintä A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleen silloin, kun A ei ole totta. Lause voi olla myös muotoa A B (lue: A jos ja vain jos B), mikä tarkoittaa, että joko molemmat A ja B ovat totta tai että A on epätosi ja B on epätosi. Tällöin sanotaan, että A ja B ovat yhtäpitävät. Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 52
36 Matemaattisesta päättelystä Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B ei olekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöön merkintä A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleen silloin, kun A ei ole totta. Lause voi olla myös muotoa A B (lue: A jos ja vain jos B), mikä tarkoittaa, että joko molemmat A ja B ovat totta tai että A on epätosi ja B on epätosi. Tällöin sanotaan, että A ja B ovat yhtäpitävät. Tyyppiä A B oleva lause todistetaan siten, että A:n totuudesta seuraa B:n totuus (A B) ja että B:n totuudesta seuraa A:n totuus (B A). Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 52
37 Esimerkkejä Esim. 4 Osoita, että negaatiolle pätee (A B) A B; (A B) A B. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 52
38 Esimerkkejä Esim. 4 Osoita, että negaatiolle pätee (A B) A B; (A B) A B. Huomautus 2 Huomaa, että esimerkiksi toisen kohdan mukaan A ei ole totta ja B ei ole totta on yhtäpitävää sen kanssa, että väite (A tai B) ei ole totta. Arkikielessä tämä kuulostaa ehkä kummalliselta, jonka vuoksi lyhennysmerkintöjen käyttö on suotavaa ja ne selkeyttävät tilannetta. Samasta syystä jälkimmäisen väitteen ympärille on kirjoitettu sulut. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 52
39 Esimerkkejä Esim. 5 Muodosta negaatiot seuraaville väitteille Minä valehtelen. Kaikilla naisilla on vaaleat hiukset. Hauki on kala ja Musti on koira. Minä olen paavi tai sinä olet paavi. On olemassa x R siten, että x 2 2x + 1 = 0. On olemassa x R siten, että x 2 2x + 2 = 0. Ovatko edelliset väitteet totta vai ei? Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 52
40 Esimerkkejä Esim. 6 Eräällä kaukaisella saarella asuu kahdenlaisia ihmisiä, rehtejä ja retkuja. Rehdit kertovat aina totuuden, mutta retkut valehtelevat aina. Eräänä päivänä saaren kolme henkilöä A, B ja C kohtaavat. A sanoo: Olemme kaikki retkuja. B sanoo: Vain yksi meistä on rehti. Mitä A, B ja C ovat? Kaupasta on varastettu viikon kassa ja rikollinen tai rikolliset pakenivat autolla. Kolme tunnettua rikollista A, B ja C pidätettiin ja kuulusteluissa he totesivat seuraavaa: (a) Vain A, B ja C olivat yhteydessä ryöstöön. (b) C tekee keikkansa aina A:n ja mahdollisesti joidenkin muiden kanssa, mutta ei B:n kanssa. (c) B ei osaa ajaa autoa. Onko A syytön? Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 52
41 Suora päättely Päättelyä Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi sanotaan suoraksi päättelyksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 52
42 Suora päättely Päättelyä Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi sanotaan suoraksi päättelyksi. Sama voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa (A (A B)) B. Nimitys suora ei suinkaan tarkoita sitä, että välttämättä B seuraisi suoraan ilman välivaiheita A:sta. Nimitys johtuu siitä, että lähdetään oletuksesta liikkeelle ja päädytään erinäisten välivaiheiden jälkeen väitteeseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 52
43 Suora päättely Päättelyä Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi sanotaan suoraksi päättelyksi. Sama voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa (A (A B)) B. Nimitys suora ei suinkaan tarkoita sitä, että välttämättä B seuraisi suoraan ilman välivaiheita A:sta. Nimitys johtuu siitä, että lähdetään oletuksesta liikkeelle ja päädytään erinäisten välivaiheiden jälkeen väitteeseen. Esim. 7 Osoita, että jos x + 2 = 5, niin x 2 + 4x + 4 = 25. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 52
44 Epäsuora päättely Matematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistä käyttää epäsuoraa päättelyä: Jos A on totta ja B:stä seuraa A, niin B on tosi, joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa (A ( B A)) B. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 52
45 Epäsuora päättely Matematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistä käyttää epäsuoraa päättelyä: Jos A on totta ja B:stä seuraa A, niin B on tosi, joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa (A ( B A)) B. Nimitys epäsuora johtuu siitä, että väitteelle B tehdään vastaoletus: B on tosi, ja osoitetaan, että edellisestä seuraa, että A on tosi. Edellinen on kuitenkin mahdotonta oletuksen A on tosi vuoksi, joten päädyttiin ristiriitaan ja näin ollen B:n täytyy olla tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 52
46 Epäsuora päättely Matematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistä käyttää epäsuoraa päättelyä: Jos A on totta ja B:stä seuraa A, niin B on tosi, joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa (A ( B A)) B. Nimitys epäsuora johtuu siitä, että väitteelle B tehdään vastaoletus: B on tosi, ja osoitetaan, että edellisestä seuraa, että A on tosi. Edellinen on kuitenkin mahdotonta oletuksen A on tosi vuoksi, joten päädyttiin ristiriitaan ja näin ollen B:n täytyy olla tosi. Esim. 8 Osoita lause x 2 x 2 2x 0 epäsuoralla päättelyllä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 52
47 Esimerkkejä Esim. 9 Oletetaan, että seuraavat väitteet ovat tosia on transkendenttiluku. 2. Mikään transkendenttiluku ei ole algebrallinen luku. 3. Jokainen rationaaliluku on algebrallinen luku. 4. Jokainen kokonaisluku on rationaaliluku. Onko tällöin väite 2 ei ole kokonaisluku tosi? Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 52
48 Esimerkkejä Esim. 9 Oletetaan, että seuraavat väitteet ovat tosia on transkendenttiluku. 2. Mikään transkendenttiluku ei ole algebrallinen luku. 3. Jokainen rationaaliluku on algebrallinen luku. 4. Jokainen kokonaisluku on rationaaliluku. Onko tällöin väite 2 ei ole kokonaisluku tosi? Esim. 10 Oletetaan, että A on tosi ja että B A ja B C. Osoita, että C on tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 52
49 Esimerkkejä Esim. 11 Insinööri on suunnitellut 51 hammasrattaan järjestelmän. Ensimmäinen ratas pyörittää toista, toinen kolmatta ja niin edelleen siten, että 51. hammasratas on yhteydessä ensimmäiseen. Voiko insinöörin järjestelmä pyöriä? Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 52
50 Esimerkkejä Esim. 11 Insinööri on suunnitellut 51 hammasrattaan järjestelmän. Ensimmäinen ratas pyörittää toista, toinen kolmatta ja niin edelleen siten, että 51. hammasratas on yhteydessä ensimmäiseen. Voiko insinöörin järjestelmä pyöriä? Esim. 12 Marjakauppiaalta jäi litran mitta kotiin, mutta hänellä on torilla viiden litran ja kolmen litran mitat mukanaan. Miten hän mittaa litran marjoja asiakkaalle? Entä neljä litraa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 52
51 Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52
52 Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52
53 Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. 2. Suunnittele ratkaisustrategia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52
54 Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. 2. Suunnittele ratkaisustrategia. 3. Toteuta strategia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52
55 Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. 2. Suunnittele ratkaisustrategia. 3. Toteuta strategia. 4. Tutki saatua ratkaisua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52
56 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
57 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
58 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
59 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
60 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
61 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
62 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
63 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
64 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
65 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Piirrä kuva, jos mahdollista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
66 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Piirrä kuva, jos mahdollista.käytä sopivia merkintöjä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
67 Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Piirrä kuva, jos mahdollista.käytä sopivia merkintöjä.jaa ehto osiin, jos mahdollista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52
68 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
69 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
70 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
71 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
72 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
73 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. 2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkastele yksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotain erityistapausta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
74 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. 2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkastele yksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotain erityistapausta. 3. Hajota ongelma pienemmiksi osaongelmiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
75 Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. 2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkastele yksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotain erityistapausta. 3. Hajota ongelma pienemmiksi osaongelmiksi. 4. Tee suunnitelma ongelman ratkaisemiseksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52
76 Suunnitelman toteutus Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainen välivaihe. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 52
77 Suunnitelman toteutus Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainen välivaihe. Nähdäänkö selvästi, että välivaiheet ovat kunnossa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 52
78 Suunnitelman toteutus Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainen välivaihe. Nähdäänkö selvästi, että välivaiheet ovat kunnossa? Voidaanko osoittaa, että ne ovat oikein? Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 52
79 Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52
80 Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52
81 Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52
82 Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn? Voidaanko tulos päätellä jotenkin toisin? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52
83 Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn? Voidaanko tulos päätellä jotenkin toisin? Voidaanko käyttämääsi menetelmää käyttää jonkin muun ongelman ratkaisuun? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52
84 Esimerkkejä Esim. 13 Tarkastellaan sateisen ja sateettoman päivän esiintymistä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että sateeton tarkoittaa aurinkoista ja että s s, a s, s a ja a a tarkoittavat todennäköisyyksiä s s on todennäköisyys(tn.), että sadepäivän jälkeen on sadepäivä; a s on tn., että sadepäivän jälkeen on aurinkoinen päivä; s a on tn., että aurinkoisen päivän jälkeen on sadepäivä; a a on tn., että aurinkoisen päivän jälkeen on aurinkoinen pv. (a) Osoita, että s s s a = a a a s. (b) Sanotaan, että sadepäivä seuraa sadepäivää todennäköisemmin kuin sateetonta päivää. Mitä edellinen tarkalleen ottaen tarkoittaa todennäköisyyksin ilmaistuna? Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 52
85 Esimerkkejä Esim. 14 Perustele geometrisesti binomin neliön kaavat (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 kaikilla a,b > 0, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 kaikilla a,b > 0, geometrisesti. Pätevätkö tulokset kaikilla a,b R? Jos pätee, niin miten perustelet ne? Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 52
86 Esimerkkejä Osoitetaan, että 4 = 5. Lisätään yhtälöön puolittain 81 4 = ( 9 2) 2, jolloin = = Käyttämällä binomin neliön kaavaa saadaan ( 9) 2 ( 9) 2. 4 = Ottamalla edellisestä puolittain neliöjuuret saadaan Missä vika? = = 5!. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 52
87 Esimerkkejä Esim. 15 Määrää toisen asteen yhtälölle ax 2 + bx + c = 0 ratkaisukaava toteuttamalla seuraavaa ratkaisustrategiaa Tarkastele aluksi tapausta a = 0 ja ratkaise se. Koska tapaus a = 0 on ratkaistu, tarkastellaan loppuosassa tapausta a 0. Oletetaan ensin, että b = 0, ja ratkaistaan tämä tapaus. Mieti miten tapaus a,b 0 voidaan palauttaa edelliseen tapaukseen? (Vihje: käytä neliöimismenettelyä). Kun suoritat edellä mainitut kohdat, perustele kussakin kohdassa tarkasti millä parametrien a,b ja c ehdoilla yhtälö on ratkeava. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 52
88 Esimerkkejä Esim. 16 Osoita, että kaikista suorakulmioista, joiden piiri on vakio L, suurin on neliö. Mikä yhteys edellisellä ongelmalla on aritmeettis-geometriseen epäyhtälöön? Kyseinen epäyhtälö on x 1 + x 2 + +x n n n x 1 x 2 x n kaikilla n = 1,2,... ja x 1,x 2,...,x n 0. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos x 1 = x 2 = = x n. Osoita aritmeettis-geometrista epäyhtälöä käyttäen, että suorakulmaisista särmiöistä, joiden pinnan ala on vakio S, tilavuudeltaan suurin on kuutio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 52
89 Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52
90 Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukolle käytetään merkintää Z, joka on Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52
91 Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukolle käytetään merkintää Z, joka on Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. Rationaalilukujen joukolle käytetään merkintää Q ja se koostuu muotoa m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, olevista luvuista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52
92 Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukolle käytetään merkintää Z, joka on Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. Rationaalilukujen joukolle käytetään merkintää Q ja se koostuu muotoa m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, olevista luvuista. Lopulta päädytään reaalilukujen joukkoon R, jota voidaan ajatella lukusuorana. Jokainen lukusuoran piste vastaa tiettyä reaalilukua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52
93 Lukujoukoista Usein positiivisille ja negatiivisille konaisluvuille käytetään omaa merkintää, Z + = {1,2,...}, Z = { 1, 2,...}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 52
94 Lukujoukoista Usein positiivisille ja negatiivisille konaisluvuille käytetään omaa merkintää, Z + = {1,2,...}, Z = { 1, 2,...}. Jokainen luonnollinen luku on myös kokonaisluku, jokainen kokonaisluku on rationaaliluku ja jokainen rationaaliluku on reaaliluku. Sellaisia reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, sanotaan irrationaaliluvuiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 52
95 Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52
96 Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52
97 Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52
98 Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen luku p 0, että n = m+p. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52
99 Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen luku p 0, että n = m+p. Järjestyksellä tarkoitetaan, että m n jos ja vain jos m = n tai m < n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52
100 Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen luku p 0, että n = m+p. Järjestyksellä tarkoitetaan, että m n jos ja vain jos m = n tai m < n. Esim. 17 Osoita, että 5 > 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52
101 Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52
102 Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt. Yhteenlaskulle pätee m+n = n+ m (vaihdantalaki) Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52
103 Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt. Yhteenlaskulle pätee m+n = n+ m (vaihdantalaki); (m+n)+p = m+(n+p) (liitäntälaki). Myös kertolaskulla on samat ominaisuudet. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52
104 Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt. Yhteenlaskulle pätee m+n = n+ m (vaihdantalaki); (m+n)+p = m+(n+p) (liitäntälaki). Myös kertolaskulla on samat ominaisuudet. Lisäksi laskutoimituksille pätee m (n+p) = m n+m p (osittelulaki). Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52
105 Laskutoimitusten ominaisuudet Yhteen- ja kertolaskulle pätevät seuraavat supistussäännöt: m = n jos ja vain jos m+p = n+p kaikilla luonnollisilla luvuilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 52
106 Laskutoimitusten ominaisuudet Yhteen- ja kertolaskulle pätevät seuraavat supistussäännöt: m = n jos ja vain jos m+p = n+p kaikilla luonnollisilla luvuilla. jos m = n, niin p m = p n kaikilla luonnollisilla luvuilla p. Kääntäen, jos p 0, niin ehdosta p m = p n seuraa, että m = n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 52
107 Esimerkkejä Esim. 18 Miksi voidaan kirjoittaa a+b+ c merkintöjen (a+b)+c tai a+(b+c) sijaan? Näytä miten vaihdanta- ja liitäntälakia käyttäen voidaan nopeasti laskea summa 3 +( ). Hyödynnä laskutoimitusten ominaisuuksia summan laskemiseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 52
108 Esimerkkejä Esim. 18 Miksi voidaan kirjoittaa a+b+ c merkintöjen (a+b)+c tai a+(b+c) sijaan? Näytä miten vaihdanta- ja liitäntälakia käyttäen voidaan nopeasti laskea summa 3 +( ). Hyödynnä laskutoimitusten ominaisuuksia summan laskemiseen. Esim. 19 Ratkaise N:ssä (jokainen välivaihe perustellen) yhtälöt 5(x + 6) = 30; 6(x + 2) = 6x + 12; (x + 1)(x + 2) = 5x + 5 käyttämättä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 52
109 Jaollisuus Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujen jaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudella tarkoitetaan? Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 52
110 Jaollisuus Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujen jaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudella tarkoitetaan? Määr. 1 Sanotaan, että luonnollinen luku n on jaollinen luonnollisella luvulla m 0, jos on olemassa sellainen luonnollinen luku k, että n = km. Lukua m sanotaan luvun n tekijäksi tai että m jakaa luvun n ja merkitään m n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 52
111 Jaollisuus Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujen jaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudella tarkoitetaan? Määr. 1 Sanotaan, että luonnollinen luku n on jaollinen luonnollisella luvulla m 0, jos on olemassa sellainen luonnollinen luku k, että n = km. Lukua m sanotaan luvun n tekijäksi tai että m jakaa luvun n ja merkitään m n. Esimerkiksi 2 6, sillä 6 = 3 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 52
112 Jaollisuus Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2 52, mutta 3 ei jaa lukua 52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 52
113 Jaollisuus Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2 52, mutta 3 ei jaa lukua 52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = Yleisesti pätee Lause 1 (Jakoyhtälö) Jos m,n 0 ovat luonnollisia lukuja, niin on olemassa yksikäsitteiset luvut q ja r siten, että m = q n+r ja 0 r < n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 52
114 Jaollisuus Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2 52, mutta 3 ei jaa lukua 52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = Yleisesti pätee Lause 1 (Jakoyhtälö) Jos m,n 0 ovat luonnollisia lukuja, niin on olemassa yksikäsitteiset luvut q ja r siten, että m = q n+r ja 0 r < n. Luku n on parillinen, jos se on jaollinen luvulla 2. Jos luku ei ole parillinen, niin sen sanotaan olevan pariton. Jakoyhtälön mukaan jälkimmäisessä tapauksessa n voidaan kirjoittaa muodossa n = 2k + 1 jollakin luonnollisella luvulla k. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 52
115 Alkuluvut Erityisessä asemassa ovat alkuluvut. Määr. 2 Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 52
116 Alkuluvut Erityisessä asemassa ovat alkuluvut. Määr. 2 Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja n. Miksi alkuluvut ovat erityisessä asemassa, paljastuu seuraavasta lauseesta. Lause 2 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen luonnollinen luku n 2 voidaan esittää täsmälleen yhdellä tavalla alkulukujen tulona, kun tekijöiden järjestystä ei huomioida ko. tulossa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 52
117 Alkuluvut Erityisessä asemassa ovat alkuluvut. Määr. 2 Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja n. Miksi alkuluvut ovat erityisessä asemassa, paljastuu seuraavasta lauseesta. Lause 2 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen luonnollinen luku n 2 voidaan esittää täsmälleen yhdellä tavalla alkulukujen tulona, kun tekijöiden järjestystä ei huomioida ko. tulossa. Esimerkiksi 105 voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa 105 = Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 52
118 Esimerkkejä Esim. 20 Osoita, että jaollisuudella on seuraavat ominaisuudet: Jos k a ja k b, niin k (a+b) (summan jaollisuussääntö). Jos k a ja r on luonnollinen luku, niin k (ra) (tulon jaollisuussääntö). Miten edellisistä seuraa, että jos k a ja k b, niin k (ra+sb) kaikilla luonnollisilla luvuilla r ja s? Esim. 21 Määrää lukujen 42 ja 70 tekijät. Esitä luvut 42 ja 70 alkutekijöiden tulona. Jos p 1,p 2,...,p n ovat alkulukuja, niin mitä voidaan sanoa luvun p 1 p 2 p n + 1 alku(luku)tekijöistä? Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 52
119 Esimerkkejä Esim. 22 Lukua d sanotaan lukujen m ja n yhteiseksi tekijäksi, jos d m ja d n. Määrää lukujen 182 ja 442 suurin yhteinen tekijä (a) määräämällä ko. lukujen kaikki tekijät. (b) käyttämällä aritmetiikan peruslausetta. Esim. 23 Osoita, että parittomien lukujen summa on parillinen. Osoita, että parittomien lukujen tulo on pariton. Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen (Vihje: Käytä epäsuoraa päättelyä). Olkoon n pariton luonnollinen luku. Osoita, että 8 (n 2 1). Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 52
120 Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52
121 Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Yhtälö m+x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0. Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen luku x, että m+x = 0. Lukua x sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintää x = m. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52
122 Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Yhtälö m+x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0. Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen luku x, että m+x = 0. Lukua x sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintää x = m. Tällöin lukujen m ja n erotus voidaan määritellä yhtälön n + x = m ratkaisuna ja vähennyslasku tulee määritellyksi kaikilla luvuilla m ja n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52
123 Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Yhtälö m+x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0. Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen luku x, että m+x = 0. Lukua x sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintää x = m. Tällöin lukujen m ja n erotus voidaan määritellä yhtälön n + x = m ratkaisuna ja vähennyslasku tulee määritellyksi kaikilla luvuilla m ja n. Uuden lukujoukon lukuja sanotaan kokonaisluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Z. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52
124 Kokonaisluvut Kokonaislukujen joukolla on siis jo enemmän rakennetta kuin N:llä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 52
125 Kokonaisluvut Kokonaislukujen joukolla on siis jo enemmän rakennetta kuin N:llä. Z:ssa on määritelty kolme laskutoimitusta +,, kahden sijaan ja jokaisella kokonaisluvulla on vastaluku. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 52
126 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
127 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
128 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
129 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
130 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Lukuja m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, sanotaan rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
131 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Lukuja m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, sanotaan rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q. Uudessa lukujoukossa on määritelty kolmen edellä mainitun laskutoimituksen +,, lisäksi jakolasku. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
132 Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Lukuja m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, sanotaan rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q. Uudessa lukujoukossa on määritelty kolmen edellä mainitun laskutoimituksen +,, lisäksi jakolasku. Jälleen saatiin lisää rakennetta Z:aan verrattuna, sillä jokaiselle nollasta eroavalle luvulle löytyy käänteisalkio ja saatiin uusi laskutoimitus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Vastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
a ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Ensimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Ensimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
![[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko](/thumbs/59/42897527.jpg "[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko")
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
LOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
a b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Esko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 1 / Ratkaisuehdotuksia (AK) alkavalle viikolle
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 1 / Ratkaisuehdotuksia (AK) 14.9.009 alkavalle viikolle Näissä ohjauksissa opetellaan laskusääntöjen ja epäyhtälöiden huolellista käyttöä. Ratkaisuissa
Lukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Joukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Pikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
Python-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)