Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja sen indusoima etäisyys on siis d(x,y) x y (x y,x y). (a) Annettujen vektoreiden välinen etäisyys, kun etäisyyden (ja samalla normin) indusoi tavanomainen pistetulo, on d(u,v) (u v) (u v) (4 ( 1),0 1,4 3,2 5) (4 ( 1),0 1,4 3,2 5) (5, 1,1, 3) (5, 1,1, 3) 5 2 +( 1) 2 +1 2 +( 3) 2 25+1+1+9 6. Oikotie: Reaalivektoreiden pistetulolle etäisyys voidaan esittää muodossa d(x, y) (x1 y 1 ) 2 +...+(x n y n ) 2, joka edelleen saadaan muotoon Saadaan siis d(u,v) d(x,y) x 1 y 1 2 +...+ x n y n 2. 5 2 + 1 2 + 1 2 + 3 2 25+1+1+9 6. (b) Annettujen vektoreiden välinen etäisyys, kun etäisyyden (ja samalla normin) indusoi sisätulo (x,y) x 1 y 1 + 3x 2 y 2 + 3x 3 y 3 + 2x 4 y 4, jossa x (x 1,x 2,x 3,x 4 ) ja y (y 1,y 2,y 3,y 4 ), on d(u,v) (u v,u v) ((4 ( 1),0 1,4 3,2 5),(4 ( 1),0 1,4 3,2 5)) ((5, 1,1, 3),(5, 1,1, 3)) 5 2 +3 ( 1) 2 +3 1 2 +2 ( 3) 2 25+3+3+18. 2. Olkoon u (1,1,1,1) ja v (1, i,0,1 i) vektoriavaruuden C 4 vektoreita. Annetun normin x indusoima etäisyys on siis d(x, y) x y. (a) Annettujen vektoreiden välinen etäisyys, kun etäisyyden indusoi Hermiten pistetulon x y indusoima normi x x x, on d(u,v) u v (u v) (u v) (1 1,1 ( i),1 0,1 (1 i)) (1 1,1 ( i),1 0,1 (1 i)) (0,1+i,1,i) (0,1+i,1,i) 0 0+(1+i) (1+i)+1 1+i i 0+2+1+1 2. Oikotie: Kompleksivektoreiden Hermiten pistetulolle etäisyys voidaan esittää muodossa d(x,y) x 1 y 1 2 +...+ x n y n 2. Saadaan siis d(u,v) Huomaa itseisarvot! 0 2 + 1+i 2 + 1 2 + i 2 0+2+1+1 2.
(b) Annettujen vektoreiden välinen etäisyys, kun etäisyyden indusoi normi x x 1 + 2 x 2 + x 3 +2 x 4, jossa x (x 1,x 2,x 3,x 4 ), on d(u,v) u v 1 1 + 1 ( i) + 1 0 + 1 (1 i) 0 + 1+i + 1 + i 0+2+1+1 4. 3. Kuten ohjeessa mainittiin, voidaan lauseen 1 ja huomautuksen 19 yhtälöitä soveltaa reaalivektorien x ja y välisen kulman θ määrittämiseen yleisemminkin. Yhtälöstä cosθ (x,y) x y, (1) saadaan vektorien (kumpikaan ei nollavektori) välinen kulma, kun normi on annetun sisätulon indusoima. Tämä nähtäisiin käymällä läpi monisteessa olleet tarkastelut sisätulon mukaisesti (pistetulo on siätulo). Olkoon u (1,,, 3) ja v (3,2,2, 1) vektoreita vektoriavaruudesta R 4. Ilmeisesti kumpikaan ei ole nollavektori, joten monisteen huomautus 19 soveltuu tehtävän ratkaisuun. (a) Vektoreiden u ja v välinen kulma, kun sisätulo on tavanomainen pistetulo ja normi sen indusoima, saadaan humautuksesta 19 cosθ u v u v (1,,, 3) (3,2,2, 1) (1,,, 3) (3,2,2, 1) 1 3 2 2 3 ( 1) 1 2 +() 2 +() 2 +( 3) 2 3 2 +2 2 +2 2 +( 1) 2 3 4 4+3 1+4+4+9 9+4+4+1 18 18 1 9, joten θ 1,682 (rad) tai θ 96.38. (b) Olkoon sisätulo (x,y) 4x 1 y 1 + x 2 y 2 + 2x 3 y 3 + x 4 y 4, jossa x (x 1,x 2,x 3,x 4 ) ja y (y 1,y 2,y 3,y 4 ), ja normi sen indusoima x (x,y). Tällöin vektoreiden u ja v välisen kulman kosini kaavan 1 mukaan on cosθ (u,v) u v ((1,,, 3),(3,2,2, 1)) (1,,, 3) (3,2,2, 1) 4 (1 3)+1 (() 2)+2 (() 2)+1 (( 3) ( 1)) 4 1 2 +1 () 2 +2 () 2 +1 ( 3) 2 4 3 2 +1 2 2 +2 2 2 +1 ( 1) 2 12 4 8+3 4+4+8+9 36+4+8+1 3 25 49 3 35, joten θ 1,485 (rad) tai θ 85,08. 2
Lisäys: Olkoon u (1,,2,3) kolmas vektori. Tällöin saataisiin vektorien u ja v väliselle kulmalle θ kohdan a) tilanteessa cosθ 0 ja kohdan b) tilanteessa cosθ 13 35. Siis kohdan a) sisätulolla (pistetulolla) vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mutta kohdan b) sisätulolla eivät. 4. Olkoon vektorijoukko B {x 1,x 2,...,x n } vektoriavaruuden V kanta, joka on ortogonaalinen sisätulon (x, y) suhteen. Normina on tämän sisätulon indusoima normi. Tällöin määritelmän 34 mukaan { x i 2, kun i j, (x i,x j ) (2) 0, kun i j. Koska B on kanta, niin jokainen x V voidaan lausua määritelmän 14 mukaisesti yksikäsitteisesti muodossa x c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n ja x i 2 > 0 kaikilla ß {1,...,n}. Ohjetta noudattaen saadaan yhtälön (2) ja sisätulon lineaarisuudella kullekin i {1,...,n} (x,x i ) (c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n,x i ) c 1 (x 1,x i )+c 2 (x 2,x i )+ +c n (x n,x i ) (2) c i (x i,x i ) c i x i 2. Ratkaisemalla c i saadusta yhtälöstä ( x i 2 > 0) saadaan c i (x,x i) x i 2. Lisäys: Katso tehtävän 5 ratkaisua. Jos vektorijoukko B olisi vektoriavaruuden V ortonormaali kanta, olisi { 1, kun i j, (x i,x j ) 0, kun i j, (3) joten saisimme kertoimen c i yhtälöstä c i (x,x i ). Huom! Tehtävän alkuperäisessä versiossa oli virheellisesti c i (x x i) x i 2, mutta jos sisätulona on pistetulo (tai Hermiten pistetulo), tulos olisi tuossa muodossa. 5. Olkoon B kuten tehtävässä 4 vektoriavaruuden V ortogonaalikanta sisätulon (x, y) suhteen. Määritelmän 35 jälkeisessä laskelmassa (tai kalvosetissä) esitettiin annetun vektorin x projektio x vektorille y, joka saadaan yhtälöstä x x y y 2y. Kuten tehtävän 3 ohjeessa mainittiin, voidaan projektion yhtälöä soveltaa reaalivektorin x projektion x määrittämiseen yleisemminkin. Yhtälöstä x (x,y) y }{{ 2 y (4) } skalaari saadaan vektorin x projektio x, kun normi on annetun sisätulon indusoima. 3
Koska B on kanta, niin x i 2 > 0 kaikilla ß {1,...,n}. Saadaan siis vektorin x projektioksi z i kantavektorille x i z i (x,x i) x i 2 x i. Eli vektorin x projektioksi z i kantavektorille x i on muotoa d i x i, jossa d i (x,x i) x i 2. Tehtävän 5 kertoimelle saadaan siis c i d i. Yhteenvetona voi siis sanoa, että vektorin x projektio ortogonaalin kannan vektorille x i on yhtäsuuri kuin vektorin x yksikäsitteisessä lineaarikombinaatiossa oleva vektorin x i monikerta. Lisäys: Vektorin x koordinaattivektori x B orgonaalin kannan B suhteen on siis ( (x,x1 ) x B x 1 2, (x,x 2) x 2 2,..., (x,x ) n) x n 2. 6. Olkoon x 1 (5,2, 1), x 2 (,0,1) ja x 3 (2,4, 1) avaruuden R 3 pisteitä. Pitää määrittää taso, jolla nuo pisteet sijaitsevat. Tarkistetaan ensin, että kyseinen taso on olemassa eli tarkistetaan etteivät pisteet ole samalla suoralla. Toisaalta pisteet x 1, x 2 ja x 3 ovat samalla suoralla, jos vektorit x 2 x 1 ja x 3 x 1 ovat lineaarisesti riippuvat eli x 2 x 1 c(x 3 x 1 ) jollakin skalaarilla c. Sijoittamalla arvot saadaan siis 5 c(2 5) 0 c(4) 1 ( 1) c( 1 ( 1)) c 3 c 1 2 0) Ratkaisua ei ole eli pisteet x 1, x 2 ja x 3 määrittävät jonkin tason T. Olkoon x 1 (5,2, 1), x 2 (,0,1) ja x 3 (2,4, 1) avaruuden R 3 pisteitä. (a) Määritetään ensin tasolle T parametrimuotoinen esitys. Esimerkin 8 tai kalvojen mukaan saadaan Siis parametrimuodossa T {x 1 +c 1 (x 2 x 1 )+c 2 (x 3 x 1 ) c 1,c 2 R} {(5,2, 1) +c 1 (,,2) +c 2 ( 3,2,0) c 1,c 2 R} T {(5,2, 1) +c 1 (,,2)+c 2 ( 3,2,0) c 1,c 2 R} eli paikkavektorina on x 1 (5,2, 1) ja suuntavektoreina ovat x 2 x 1 (,,2) ja x 3 x 1 ( 3,2,0). (b) Käytetään apuna edellä saatua parametrimuotoista esitystä saadaksemme normaalimuotoisen esityksen tasolle T. Esimerkin 5 tai kalvojen mukaan saadaan normaalivektoriksi ja edelleen saadaan n (x 2 x 1 ) (x 3 x 2 ) (,,2) ( 3,2,0) i j k 2 3 2 0 i 2 2 0 j 2 3 0 +k 3 2 4i 6j0k T {x R 3 (x x 1 ) (x 2 x 1 ) (x 3 x 2 ) 0} {(x,y,z) R 3 ((x,y,z) (5,2, 1)) ( 4, 6,0) 0}. 4.
Siis normaalimuodossa T {(x,y,z) R 3 ((x,y,z) (5,2, 1)) ( 4, 6,0) 0} {(x,y,z) R 3 ((x,y,z) (5,2, 1)) (2,3,10) 0} (c) koordinaattimuodossa. Esimerkin 6 tai kalvojen mukaisesti laskemalla normaalimuodon esityksen auki saadaan T {(x,y,z) R 3 ((x,y,z) (5,2, 1)) ( 4, 6,0) 0} {(x,y,z) R 3 (x,y,z) ( 4, 6,0) (5,2, 1) ( 4, 6,0) 0} {(x,y,z) R 3 4x 6y 0z (0 12+20) 0} {(x,y,z) R 3 4x 6y 0z 12}. Siis koordinaattimuodossa T {(x,y,z) R 3 4x 6y 0z 12} {(x,y,z) R 3 2x+3y +10z 6}. Pisteidenp 1 (3,10, 3) jap 2 (4, 1,0) kuuluminen tasoont voidaan parhaiten todeta sijoittamalla koordinaattimuodon lausekkeeseen 2x + 3y + 10z: p 1 : 2 3+3 10+10 ( 3) 6 p 1 T; p 2 : 2 4+3 ( 1)+10 0 5 6 p 2 T.. Olkoon x 1 (6, 3,4) ja x 2 (4,,3) avaruuden R 3 pisteitä. Nämä pisteet määrittävät yksikäsitteisen suoran, koska x 1 x 2. (a) Määritetään suoralle L parametrimuotoinen esitys. Valitsemalla p x 1 ja x x 2 x 1 voimme helposti todeta, että pisteet x 1 (parametrilla t 0) ja x 2 (parametrilla t 1) ovat suoralla Siis parametrimuodossa L {p+tx t R} {x 1 +t(x 2 x 1 ) t R} {(6, 3,4) +t(,1, 1) t R} L {(6, 3,4) +t(,1, 1) c R} eli paikkavektorina on x 1 (6, 3,4) ja suuntavektorina on x 2 x 1 (,1, 1). (b) Käytetään edellä saatua parametrimuotoa hyväksi. Koska yksikään suuntavektorin koordinaatti ei ole nolla, saadaan koordinaattimuoto kokonaan ratkaisemalla parametri t yhtälöstä (x,y,z) p+tx x 1 +t(x 2 x 1 ) (6, 3,4) +t(,1, 1) (t+6,t 3, t+4). Saadaan t x 6, t y +3 ja t z +4. Siis L {(x,y,z) R 3 x 6 y +3 z +4}. 5
Pisteiden p 1 (2, 1,2) jap 2 (6, 4,5) kuuluminen suoralle L voidaan parhaiten todeta sijoittamalla koordinaattimuodon yhtälöön x 6 y +3 z +4: p 1 : 2 6 1+3 +4 p 1 L; p 2 : 6 6 4+3 5+4 p 2 L. 8. Tarkastellaan koordinaattimuodossa annettuja tasoja T 1 : x+2y +3z 0 ja T 2 : 2x+3y z 5. Koordinaattimuodosta näemme suoraan näiden normaalivektorit: T 1 : n 1 ( 1,2,3) T 2 : n 2 (2,3, 1). Yhtälö n 1 cn 2 toteutuu vain, jos yhtälöille 1 2c, 2 3c ja 3 c löytyy ratkaisu. Tälläista ratkaisua ei ole joten n 1 jan 2 ovat riippumattomat. Täten tasot ovat erisuuntaiset ja niillä on leikkaussuora. Haetaan ne pisteet, jotka ovat molemmilla tasoilla ratkaisemalla yhtäaikaisesti molempien tasojen yhtälöt: { { { x+2y +3z 0 x+2y +3z 0 x+2y +3z 0 2 2x+3y z 5 y z 5 1 { x +5z 10 y z 5 Ratkaisut: y z 5 x y z 5z 10 z 5 Ratkaisuksi saadaan siis (x,y,z) 5 (, 1,0) + z(5,1,1). Siis suora L T 1 T 2 on parametrimuodossa L { 5 (, 1,0)+t(5,1,1) t R}. Tarkistetaan onko L L. Koska edellisessä tehtävässä saatiin suoralle L koordinaattimuotoinen esitys ja on siis helpompi todeta onko piste suoralla L, valitaan kaksi pistettä suoralta L. t 2 : p 1 1 (0, 3,2) L ; t 0: p 2 5 (, 1,0) L ; Suorat ovat samat täsmälleen silloin, kun molemmat pisteet ovat suoralla L. Pisteiden p 1 ja p 2 kuuluminen suoralle L voidaan parhaiten todeta sijoittamalla suoran L koordinaattimuodon yhtälöön x 6 y +3 z +4: p 1 : 0 6 3 +3 2 +4 p 1 L L L. Ei ollut tarpeen edes tarkistaa toista pistettä. Suorat L ja L eivät ole samat. 9. Olkoon B {p 1,p 2,p 3 } kolmen eri pisteen joukko avaruudessa R 3 ja merkitään u p 2 p 1 ja v p 3 p 1. (a) Osoita joukon pisteiden olevan samalla suoralla tarkalleen silloin, kun vektorit u ja v ovat lineaarisesti riippuvat. Kaksi eriävää pistettä p 1, p 2 määrittelevät suoran L {p 1 + cu c R}. Piste p 3 on suoralla L täsmälleen silloin, kun on olemassa kerroin c 3 R toteuttaen yhtälön p 3 p 1 +c 3 u. Edelleen yhtälöp 3 p 1 +c 3 u voidaan kirjoittaa muotoonp 3 p1 c 3 u eli c 3 u v 0. Siis lineaarisen riipuuvuuden määritelmän mukaisesti pisteet p 1, p 2 ja p 3 ovat samalla suoralla L täsmälleen silloin, kun on olemassa kerroin c 3 R toteuttaen yhtälön c 3 u v 0 (lineaarinen riippuvuus). 6
(b) Suoraan määritelmästä 14 saadaan lineaarisesti riippuville vektoreille u ja v yhtälölle c 1 u+c 2 v 0 epätriviaali ratkaisu joillakin c 1,c 2 R tarkalleen silloin, kun ne ovat riippuvat. Hieman tarkentaen, kahden nollavektorista poikkeavan vektorin tapauksessa c 1,c 2 R\{0}. Siis u c 2 c 1 v täsmälleen silloin, kun vektorit u ja v ovat lineaarisesti riippuvat. Edellisen kohdan mukaan vektoreiden u ja v välinen kulma θ on 0 tai π (riippuen suunnasta) täsmälleen silloin, kun nämä vektorit ovat lineaarisesti riippuvat. Lauseen 23 kohdan mukaan x y x y sinθ, missä θ on näiden vektoreiden välinen kulma. Täten kahdelle nollavektorista poikkeavalle vektorille u ja v, joille x > 0 ja y > 0, saadaan siis x y 0 x y 0 θ {0,π}. Edellisen kohdan mukaisesti ensin lauseen 1 mukaan saadaan vektoreille u ja v niiden väliselle kulmalle θ u v x y cos θ. Täten kahdelle nollavektorista poikkeavalle vektorille u ja v, joille x > 0 ja y > 0, saadaan siis josta edelleen saadaan cosθ u v x y, u v x y cosθ 1 θ {0,π}. 10. Olkoon V vektoriavaruus. Käydään väitteet läpi kompleksiavaruudelle. Reaaliavaruuden tapauksessa liittoluvut (kompleksikonjugaatit) eivät ole tarpeen. (a) Olkoon (x,y) vektoriavaruuden V sisätulo ja x (x,x). Käydään läpi määritelmän ehdot käyttäen sisätulon määritelmän ehtoja hyväksi: 1) 2) 3) ja (x,x) 0 x (x,x) 0 x (x,x) 0 (x,x) 0 0. ax (ax,ax) a(x,ax) a(ax, x) a 2 (x,x) a 2 (x,x) a (x,x) a x. x+y 2 (x+y,x+y) (x,x+y)+(y,x+y) (x+y,x)+(x+y,y) (x,x)+(y,x)+(x,y)+(y,y) (x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y) Lauseen 15 mukaan sisätulo toteuttaa Cauchyn Schwarzin epäyhtälön joka voidaan kirjoittaa muotoon (x,y) 2 (x,x)(y,y), (x,y) (y,x) (x,x)(y,y),
josta edelleen saadaan (x,y)+(y,x) (x,y)+(y,x) (x,y) + (y,x) 2 (x,x)(y,y). (5) Huomaa, että (x, y) +(y, x) R myös kompleksiavaruudessa. Edellisestä saadaan x+y 2 (x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y) (5) x 2 + y 2 +2 (x,x)(y,y) x 2 + y 2 +2 x y ( x + y ) 2 Normin ollessa aina epänegatiivinen seuraa edellisestä x+y x + y. Kuvaus x (x,x) on siis tosiaan normi (b) Olkoon x vektoriavaruuden V normi ja d(x,y) x y. Käydään läpi normin ehtojen avulla määritelmän ehdot: 1) d(x,y) ( x y) 0 ja d(x,y) 0 x y 0 x y 0 x y. 2) d(x,y) x y (y x) 1 y x d(y,x) 3) d(x,z) x z (x y)+(y z) x y + y z d(x,y)+d(y,z) 8