MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin.

13. lokakuuta 011 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin. Sisältö 1. Yhden muuttujan funktiot 1.1. Johdantoa 1.. Laskusääntöjä ja polynomit 4 1.3. Yhtälöt ja epäyhtälöt 6 1.4. Epäyhtälöistä 9 1.5. Funktion määritelmä ja ominaisuuksia 11 1.6. Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio 16 1.7. Eksponentti- ja logaritmifunktiot 18. Yhden muuttujan funktion differentiaalilaskentaa 1.1. Raja-arvo ja jatkuvuus 1.. Derivaatta 3.3. Korkeammat derivaatat 9.4. Funktion ääriarvot 31 3. Lukujonot ja sarjat 35 3.1. Lukujonot 35 3.. Sarjat 36 4. Taylorin polynomit ja Taylorin sarjat 38 5. Induktio 40 6. Usean muuttujan funktiot 41 6.1. Määritelmiä 41 6.. Osittaisderivaatta 43 7. Ääriarvoista ja optimointitehtävistä 45 7.1. Rajoittamaton optimointi 46 7.. Rajoitettu optimointi ja Lagrangen menetelmä 47 8. Lineaarialgebraa- ja matriisilaskentaa 50 8.1. Johdantoa 50 8.. Matriisin määritelmä, laskusääntöjä ja matriisin transpoosi 5 8.3. Determinantti ja käänteismatriisi 55 8.4. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Gauss-Jordanin menetelmällä ja Cramerin säännöllä 56 1

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1. Yhden muuttujan funktiot 1.1. Johdantoa. Matematiikassa väitteet ovat joko tosia tai epätosia, eivät molempia. Niitä merkitään tavallisesti isoilla kirjaimilla. 1.1. Esimerkki. Väitteitä: P = on reaaliluku, Q = Kohta x 0 on derivoituvan funktion maksimikohta, Z = Funktion derivaatta kohdassa x 0 on nolla, R = y = 7x + 3. Implikaatio liittyy kahteen väitteeseen, ja se merkitsee seuraavaa: Jos väite Q on tosi, niin väite Z on tosi. Näin ollen sanotaan, että Q:stä seuraa Z tai Q implikoi Z:n. Implikaatiota merkitään nuolella seuraavasti Q Z Implikaatiossa oletetaan, että Q on tosi. Jos annettaisiin Q:n olla epätosi, niin tällöinz voisi olla joko tosi tai epätosi. Jos siis halutaan osoittaa implikaatioq Z todeksi, niin Q:n täytyy olla tosi. 1.. Esimerkki. Derivoituvan funktion maksimikohdassa x 0 derivaatan arvo on nolla. Esitetään tämä ajatus kahden väitteen Q ja Z avulla: Olkoot Q = Kohta x 0 on derivoituvan funktion maksimikohta ja Z = Funktion derivaatta kohdassa x 0 on nolla kaksi väitettä. Olkoon Q lisäksi tosi. Tällöin voidaan osoittaa, että implikaatio Q Z on tosi. Väitteiden P ja Q ekvivalenssia merkitään nuolella seuraavasti P Q. Ekvivalenssi tarkoittaa, että molemmat implikaatioista P Q ja Q P ovat tosia. Todessa implikaatiossa P Q sanotaan väitteen Q olevan välttämätön ehto P:lle ja väitteen P olevan riittävä ehto Q:lle. 1.3. Esimerkki. Palataan esimerkkiin 1., jossa esitetty implikaatio on tosi. Tällöin funktion derivaatan arvo nolla kohdassa x 0 on välttämätön ehto sille, että kyseinen kohta on funktion maksimikohta. Joukko on yksinkertaisesti alkioidensa muodostama kokonaisuus. Joukkoja merkitään tavallisesti isoilla ja joukon alkioita pienillä kirjaimilla. Jos a on joukon A alkio, niin merkitään a A. Tällöin sanotaan, että a kuuluu joukkoon A tai a on joukon A alkio. Jos taas a ei ole joukon A alkio, niin merkitään a / A. Tällöin sanotaan, että a ei kuuluu joukkoon A tai a ei ole joukon A alkio. Joukon alkioilla on jokin yhteinen ominaisuus, jonka perusteella ne kuuluvat kyseiseen

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 3 joukkoon. Tämä ominaisuus voi olla esimerkiksi jokin väite. Joukko A voi sisältää muita joukkoja, esimerkiksi joukon B,jolloin merkitään B A. Tällöin sanotaan, että joukko B on joukon A osajoukko. Joukko A voisi olla esimerkiksi luvut 1,,3 ja 4 eli A = {1,,3,4} tai vaikka kokoelma ympäristötaloustieteen ensimmäisen vuoden kursseja eli esimerkiksi A = {YE1,YE19,YE,YE3,Y56}. Jos ympäristötaloustieteen kaikkia kursseja merkitään C:llä, niin on voimassa A C. Kahden joukon, A ja B, yhdistettä merkitään A B = {x x A tai x B}. Yhdisteeseen kuuluvat kaikki ne alkiot x, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B tai molempiin. Joukkojen leikkausta merkitään A B = {x x A ja x B}. Leikkaukseen kuuluvat kaikki ne alkiot x, jotka kuuluvat molempiin joukkoihin A ja B. Joukkojen yhdiste ja leikkaus voidaan määritellä myös useammalle joukolle. Joukkojen erotus on A\B = {x x A ja x / B}. Joukkojen erotukseen kuuluvat kaikki ne A:n alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon B. Yhdistettä, leikkausta ja erotusta voidaan havainnollistaa niin sanottujen Vennin diagrammien avulla: A B A B A \ B A B Lukujoukkoja ovat luonnolliset luvut N, kokonaisluvut Z, rationaaliluvut Q, reaaliluvut R ja kompleksiluvut C. Luonnollisten lukujen joukko on N = {1,,3,...}. Jos nolla otetaan mukaan, niin luonnollisten lukujen joukkoa merkitään Kokonaislukujen joukko on N 0 = {0,1,,3,...}. Z = {..., 3,, 1,0,1,,3,...} ja rationaalilukujen joukko on Korjattu Q = { m n m,n Z,n 0}.

4 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Esimerkiksi rationaalilukujen joukossa yhtälöllä x = ei ole ratkaisua. Yhtälön ratkaisu on, joka on irrationaaliluku. Reaaliluvut koostuvat rationaali- ja irrationaaliluvuista. Kompleksilukuihin palataan lyhyesti myöhemmin kurssilla Matematiikan alkeet II. Lukujoukoille pätevät seuraavat sisältyvyydet: N N 0 Z Q R C. Taloustieteen sovellusten kannalta keskeisin näistä joukoista on reaalilukujen joukko. 1.. Laskusääntöjä ja polynomit. Josx R jay R, niin niiden yhteenlasku on reaaliluku eli x+y R. Olkoot x, y, z ja w reaalilukuja. Yhteenlaskun ominaisuuksia ovat x+y = y +x, (x+y)+z = x+(y +z), 0+x = x Kahden reaaliluvun, x ja y, vähennyslasku määritellään luvun y vastaluvun y avulla summana x+( y) ja merkitään x y. Kahden reaaliluvun x ja y kertolaskua tai tuloa merkitään joko x y tai lyhyemmin xy. Kertolaskun ominaisuuksia ovat xy = yx, (xy)z = x(yz), x(y +z) = xy +xz ( x)y = (xy), 0 x = 0, 1 x = x Vähennyslasku määriteltiin yllä yhteenlaskun avulla käyttämällä vastalukua. Jakolasku sen sijaan määritellään kertolaskun avulla käyttämällä käänteislukua. Luvun x R \ {0} käänteisluku on se luku y R \ {0}, jolle pätee yhtälö xy = 1. Esimerkiksi luvun käänteisluku on 1/. Käänteislukua merkitään joko 1 x tai x 1. Lukujen x ja y jakolasku on x 1 y ja sitä merkitään joko x tai x : y. Jakolaskussa y on huomattava, ettei nollalla saa jakaa. Kerrataan lyhyesti muutamia laskusääntöjä. Olkoon y 0, m 0 ja w 0. (i) x y = mx my (ii) x y + z w = xw+zy yw (iii) x y z xw zy = w yw (iv) x y z w = xz yw (v) x y : z w = xw yz. 1.4. Esimerkki. 7 8 + 3 6 5 : 1 = 7 8 + 3 6 5 1 = 7 8 + 3 1 5 = 7 8 + 4 15 = 15 7 15 8 + 8 4 8 15 = 105+19 10 = 97 10 = 99 40.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 5 Kerrataan lyhyesti potenssin laskusäännöt. Luvun x R n:ttä potenssia merkitään symbolilla x n ja se on luku x kerrottuna itsellään n kertaa eli x n = x x... x x }{{} n kpl Potenssille pätevät seuraavat laskusäännöt. ( ) x 0 = 1, x m x n = x m+n x m n x, x = n xm n, = xn y y n x n = 1 ( n x ( y ) n, x y) n, = (x n ) m = x nm, (xy) n = x n y n x 1.5. Esimerkki. (i) (x+y) = (x+y)(x+y) = x(x+y)+y(x+y) = x +xy+yx+y = x +xy+y. (ii) (x y) = x xy +y (ii) (x+y)(x y) = x y. Tarkastellaan yhtälöä x n = a, jossa a on reaaliluku ja n positiivinen kokonaisluku. Jos n pariton, niin yhtälön ratkaisu on x = n a eli n:s juuri luvusta a. Olkoon n parillinen. Tällöin yhtälöllä (i) ei ole ratkaisua, jos a < 0. (ii) on ratkaisuna nolla, jos a = 0. (iii) on kaksi ratkaisua x = n a ja x = n a, jos a > 0. Muistutuksena kaksi laskusääntöä: (i) x 1/n = n x (ii) x m/n = ( n x) m. Astetta n N 0 oleva polynomi P(x) on (1) P(x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0, kun a n 0. Luvut a n, a n 1 ja niin edelleen ovat polynomin kertoimet. Luvut n, n 1 ja niin edelleen ilmaisevat polynomin eri termien, kuten a n x n, asteluvut. Polynomin aste on sen korkein asteluku. Esimerkiksi polynomin P(x) = 7x +x aste on kaksi. Polynomin termit ovat itsekin polynomeja ja niitä kutsutaan monomeiksi. Polynomien yhteen- ja vähennyslasku suoritetaan laskemalla samaa astetta olevat termit yhteen. 1.6. Esimerkki. Olkoot P(x) = 3x 9 + x 4 + 4 ja Q(x) = x 9 + 17x 5 + 3x 4 8 polynomeja. Niiden summa on P(x)+Q(x) = 3x 9 +x 4 +4 x 9 +17x 5 +3x 4 8 = x 9 +17x 5 +4x 4 4. Kahden monomin tulo lasketaan kertomalla kertoimet ja muuttujaosat, kuten x n 1, erikseen. Kahden polynomin P(x) ja Q(x) tulo suoritetaan käyttämällä hyödyksi tulon ominaisuuksia ja monomien tuloa.

6 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.7. Esimerkki. Olkoot P(x) = 1 x4 +x ja Q(x) = x +x+10 polynomeja. Niiden tulo on P(x)Q(x) = ( ) 1 (x x4 +x +x+10 ) = 1 x4 x + 1 x4 x+ 1 x4 10+xx +xx+x 10 = 1 x6 + 1 x5 +5x 4 +x 3 +x +10x. 1.3. Yhtälöt ja epäyhtälöt. Yhtälön yleinen muoto on r(x) = t(x), jossa r(x) ja t(x) ovat lausekkeita, jotka sisältävät muuttujan x lisäksi esimerkiksi erilaisia laskutoimituksia kuten yhteen- ja kertolaskua. 1.8. Esimerkki. Olkoot r(x) = x +(x 1) ja t(x) = 3 kaksi lauseketta. Yhtälö r(x) = t(x) tulee muotoon x +(x 1) = 3. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa niiden reaalilukujen etsimistä, jotka toteuttavat kyseisen yhtälön. Ratkaisun apuvälineinä ovat yllä mainitut laskusäännöt. Lisäksi yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai vähentää sama lauseke ilman että yhtäpitävyys rikkoutuisi. Yhtälö säilyy myös silloin, kun molemmat puolet kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla lausekkeella. Ensimmäisen asteen yhtälö on muotoa ax + b = cx + d, kun a,b,c,d R. Ensimmäisen asteen yhtälöä kutsutaan myös lineaariseksi yhtälöksi. Usein lineaarinen yhtälö kirjoitetaan lyhyemmin normaalimuodossa ax+b = 0. 1.9. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö 4x 1 = x 1. Yhtälöön voidaan siis lisätä molemmille puolille sama termi ja kertoa molemmat puolet samalla termillä ilman, että yhtälön ratkaisut muuttuisivat. Lisätään molemmille puolille 1, jolloin saamme 4x = x. Lisäämällä x molemmille puolille saamme yhtälön muotoon x = 0, joka on sama asia kuin x = 0. Huomautus: Sijoita lopuksi laskemasi ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön ja tarkista näin, että yhtälö toteutuu. Jos yhtälö ei toteudu, olet tehnyt virheen. Toisen asteen yhtälö on normaalimuodossa ax + bx + c = 0, kun a,b,c R. Tämän ratkaisukaava on () x = b± b 4ac a

Ratkaisukaavan johtaminen: x = b a ± MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 7 ax +bx+c = 0 x + b a x+ c a = 0 x + b a = c x + b ( ) b a a + = c ( ) b a a + a ( x+ b ) = c ( ) ( b a a + x+ b ) b a a = ± c a a x = b b a ± 4a 4ca x = b 4a a ± b 4ca 4a b 4ca 4a x = b± b 4ac a Toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi reaalista ratkaisua. Ratkaisussa lauseketta b 4ac kutsutaan diskriminantiksi, ja siitä riippuu ovatko ratkaisut reaalilukuja vai kompleksilukuja. Ratkaisut ovat reaalilukuja, kun b 4ac > 0 ja kompleksilukuja, kun kun b 4ac < 0. Jos b 4ac = 0, niin ratkaisuja on yksi ja se on reaalinen. Jos diskriminantti on negatiivinen, toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua. 1.10. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö x +(x 1) = 3. Sievennetään yhtälöä ensin. x +(x 1) = 3 x +(x 1)(x 1) 3 = 0 x +x x x+1 3 = 0 x x = 0. Kyseessä on toisen asteen yhtälö, joten käytetään ratkaisukaavaa. Saamme x = ± 4 4 1 ( ) x = ± 1 4 x = ± 3 4 x = 1± 3. Tässä käytettiin yllä mainittuja laskusääntöjä, esimerkiksi 1 = 3 4 = 3 4 = 3. Murtoyhtälö on muotoa P(x) = 0, jossa Q(X) 0. Tällaisen yhtälön ratkaisut Q(x) ovat yhtälön P(x) = 0 ratkaisut. 1.11. Esimerkki. Yhtälön x 4 = 0 ratkaisu on yhtälön x 4 = 0 ratkaisu eli x x =. Yhtälön x 4 = 0 toinen ratkaisu x = ei kelpaa, koska se on nimittäjän nollakohta. Juuriyhtälö sisältää juurilausekkeita, kuten x 1. Sen ratkaisemisessa tulee kiinnittää huomiota yhtälön määrittelyjoukkoon ja pyrkiä eroon juurilausekkeesta.

8 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.1. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö x 1 = x. Juurrettavan täytyy olla positiivinen, joten täytyy päteä x 1 0 eli x 1. Korotetaan yhtälön molemmat puolet toiseen, jolloin saadaan x 1 = x x 1 = x x +x 1 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, ja sen ainoa ratkaisu on x = 1. Tämä on juuriyhtälön ratkaisu, koska 1 > 1. Kerrataan vielä lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen. Yhtälöpari on { a 11 x+a 1 y = b 1 a 1 x+a y = b Yhtälössä kertoimet a 11,a 1,a 1,a ja vakiot b 1,b ovat reaalilukuja. Tällaisellä yhtälöryhmällä voi olla yksi, ei yhtään tai äärettömän monta ratkaisua. Oleellisinta on tapaus, jossa ryhmällä on yksi ratkaisu. Näin on silloin, kun a 11 a a 1 a 1 0. Tällöin yhtälöiden esittämät suorat leikkaavat toisensa. Yhtälöryhmä voidaan ratkaista sijoitus- tai eliminointimenetelmällä. Sijoitusmenettelyssä ratkaisemme toisen yhtälöistä jommankumman muuttujan suhteen, ja sijoitamme saadun lausekkeen toiseen yhtälöön kyseisen muuttujan paikalle. Nyt saatu yhtälö on vain yhden muuttujan yhtälö, joka voidaan ratkaista jäljelle jääneen muuttujan suhteen. Sijoittamalla saatu muuttujan arvo ensimmäiseen yhtälöön saamme ratkaistua myös toisen muuttujan arvon. 1.13. Esimerkki. Ratkaistaan seuraava yhtälöryhmä sijoitusmenettelyllä. { x+y = x+y = Ratkaisemme ensimmäisen yhtälön muuttujan x suhteen, jolloin saamme x = y. Sijoitamme tämän toiseen yhtälöön muuttujan x paikalle. Tällöin saamme vain muuttujasta y riippuvan yhtälön, jonka ratkaisu saadaan laskemalla ( y)+y = 4 y +y = y =. Sijoittamalla lopuksi saatu y = ensimmäiseen yhtälöön saamme muuttajan x arvoksi x = 0. Ratkaisu on siis piste (0, ). Sijoittamalla piste (0, ) yhtälöpariin huomaamme, että molemmat yhtälöt toteutuvat eli laskimme ratkaisun oikein. Eliminointimenetelmä voi kuulostaa monimutkaisemmalta, mutta se voi olla helpompi käyttää, etenkin jos yhtälöitä ja muuttujia on enemmän. Eliminointimenetelmässä yhtälöryhmä pyritään kirjoittamaan yhtenä yhden muuttujan yhtälönä.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 9 Tämä tehdään kertomalla yhtälöitä sopivilla reaaliluvuilla ja tämän jälkeen laskemalla yhtälöt puolittain yhteen. Tämän jälkeen yhden muuttujan yhtälö ratkaistaan ja saatu ratkaisu sijoitetaan jompaankumpaan alkuperäisistä yhtälöistä. Jotta vakuuttaudutaan siitä, että sijoitus- ja eliminointimenetelmä johtavat samaan lopputulokseen ratkaistaan edellinen esimerkki eliminointimenetelmällä. 1.14. Esimerkki. Aloitetaan kertomalla ensimmäinen yhtälö luvulla 1, jolloin saamme yhtälöryhmän { x y = x+y =. Seuraavaksi laskemme yhtälöt puolittain yhteen, jolloin saamme yhden muuttujan yhtälön x+y +( x y) = +( ) x x+y y = x = 0. Sijoitetaan lopuksi saatu x = 0 ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saamme muuttujan y arvoksi y =. Ratkaisu on siis piste (0,). 1.4. Epäyhtälöistä. Epäyhtälöllä x <, tarkoitetaan niitä reaalilukuja, jotka ovat pienempiä kuin kaksi. Olkoot x ja y reaalilukuja. Voimme havainnollistaa näitä lukuja ja niiden keskinäistä järjestystä lukusuoran avulla. Jos esimerkiksi x < y, niin tällöin x sijaitsee lukusuoralla y:n vasemmalla puolella. Tarkastellaan seuraavaksi hieman epäyhtälöiden ominaisuuksia. Olkoot x, y R ja a jokin kiinteä reaaliluku. Tällöin (3) (4) x < y x+a < y +a, { ax < ay, kun a > 0 x < y ax > ay, kun a < 0. Nämä säännöt pätevät myös, jos epäyhtälö < korvataan jollain muulla epäyhtälöllä, kuten, > tai. Ensimmäinen sääntö sanoo, että epäyhtälön suunta säilyy, jos molemmille puolille lisätään sama vakio. Toinen sääntö sanoo, että epäyhtälön suunta ei muutu, jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan positiivisella vakiolla. Jos taas kerrotaan negatiivisella vakiolla, niin tällöin epäyhtälön suunta muuttuu. Esimerkiksi < 3, mutta kertomalla molemmat puolet luvulla 1 saamme epäyhtälöksi > 3. Yleisemmin epäyhtälö koostuu lausekkeista ja niiden välisistä laskutoimituksista. Ratkaisussa käytetään hyväksi sääntöjä (3) ja (4). 1.15. Esimerkki. Ratkaistaan epäyhtälö 9x + 1 > 0. Epäyhtälö on yhtäpitävää 7 epäyhtälön 9x > 1 kanssa. Kerrotaan puolittain luvulla 7 1, jolloin epäyhtälön 9 suunta muuttuu säännön (4) mukaisesti. Ratkaisuksi saamme x < 1. 63

10 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.16. Esimerkki. Ratkaistaan epäyhtälö 8x + 6x + 1 > 0. Etsimme niitä muuttujan x arvoja, joilla epäyhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke on positiivinen. Ratkaisut löydämme laskemalla yhtälön 8x +6x+1 = 0 nollakohdat ja tutkimalla tilannetta esimerkiksi merkkikaavion avulla. Yhtälön 8x +6x+1 = 0 nollakohdat ovat x = 1 4 ja x = 1. Merkkikaaviosta tai muuten päättelemällä selviää, että epäyhtälön ratkaisut ovat x < 1 ja x > 1 4. Epäyhtälöiden avulla voimme määritellä mitä ovat avoimet, puoliavoimet ja suljetut välit. Olkoot x,y R. Lukujen x ja y avointa väliä merkitään ]x,y[, puoliavointa [x,y[ tai ]x,y], ja suljettua [x,y]. Nämä määritellän seuraavina joukkoina: ]x,y[ = {z R x < z < y}, [x,y[ = {z R x z < y}, ]x,y] = {z R x < z y}, [x,y] = {z R x z y}. Avoimessa välissä siis päätepisteet eivät kuulu joukkoon, puoliavoimessa toinen päätepisteistä ei kuulu joukkoon ja suljetussa välissä molemmat päätepisteet kuuluvat joukkoon. Esimerkiksi epäyhtälön x < ratkaisut muodostavat avoimen välin. Palautetaan lopuksi mieleen itseisarvon käsite. Reaaliluvun x itseisarvoa merkitään symbolein x, ja se määritellään asettamalla { x, kun x 0 x = x, kun x < 0. Jos reaalilukuja ajatellaan lukusuorana, niin luvun x itseisarvo on sen etäisyys origosta. Lausekkeen itseisarvolle pätee sama määritelmä. 1.17. Esimerkki. x+1 = { x+1, kun x+1 0 eli x 1 x 1, kun x+1 < 0 eli x < 1. Itseisarvoyhtälö on yhtälö, joka sisältää itseisarvolausekkeen tai -lausekkeita. Sen ratkaisussa tulee käyttää itseisarvon määritelmää. Lisäksi seuraavasta säännöstä on apua: r(x) = t(x) r(x) = t(x) tai r(x) = t(x), jossa r(x) ja t(x) ovat lausekkeita. 1.18. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö 6x = x käyttämällä itseisarvon määritelmää: { 6x kun 6x 0 eli x 1 6x = 3 6x+, kun 6x+ < 0 eli x < 1. 3

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 11 Olkoon x 1, jolloin 6x = x eli x =. Olkoon x < 1, jolloin 6x+ = x eli 3 5 3 x =. 7 (5) (6) (7) Itseisarvolle pätevät seuraavat säännöt: x+y x + y xy = x y x y a y a x y +a. Ensimmäistä näistä säännöistä kutsutaan kolmioepäyhtälöksi. 1.19. Esimerkki. Ratkaistaan epäyhtälö x 3. Käytetään sääntöä (7), jolloin saadaan (8) x 3 1 x 5. Epäyhtälö x 3 tarkoittaa siis niitä lukuja x R, jotka sijaitsevat lukusuoralla lukujen 1 ja 5 välillä. Toisin sanoen kyseessä ovat ne luvut, joiden etäisyys luvusta 3 on pienempi tai yhtäsuuri kuin. 1.5. Funktion määritelmä ja ominaisuuksia. 1.1. Määritelmä. Funktio eli kuvaus f joukolta X joukolle Y liittää jokaiseen joukon X alkioon x yksikäsitteisen joukon Y alkion f(x). Funktiota merkitään usein f: X Y. Lisäksi on esitettävä jokin tapa, esimerkiksi yhtälö, jolla joukkojen välinen vastaavuus voidaan ilmaista. 1 Joukkoa X kutsutaan määrittelyjoukoksi ja joukkoa Y maalijoukoksi. Funktion f arvo pisteessä x X on f(x). Esimerkiksi, jos funktio olisi määritelty kaavalla f(x) = x, niin tällöin f() = 4 ja f( ) = 4. Funktion arvojoukko koostuu kaikista funktion f arvoista f(x) eli funktion arvojoukko on {f(x) Y x X}. 1.0. Esimerkki. Tarkastellaan seuraavia kuvia, joissa on esitetty joukot A={1,, 3}, B={4,5,6}, A ={1,,3 } ja B ={4,5,6 }. Kuvissa olevat nuolet kuvaavat joukkojen välistä vastaavuutta. A B A B 1 4 1 4 f 5 5 3 6 3 6 1 Kirjaimilla, jolla funktiota merkitään ei ole niin väliä, vaan sillä mitä ne edustavat. Eli funktiota voisi hyvin merkitä f:n sijaan g:llä. Tietyt kirjaimet ovat yleistyneet tavaksi tietyissä asiayhteyksissä, esimerkiksi taloustieteessä voittofunktiota merkitään usein π:llä ja hyötyfunktiota u:llä.

1 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Ovatko vastaavuudet funktioita? Vasemmanpuoleisen kuvan vastaavuus on funktio, koska jokaista määrittelyjoukon A alkiota vastaa yksi ja vain yksi maalijoukon B alkio. Sama ei kuitenkaan päde oikeanpuoleisen kuvan vastaavuudelle, joten kyseessä ei ole funktio. Funktioita esiteltäessä on tärkeää kiinnittää erityistä huomiota määrittelyjoukkoon X. Jos määrittelyjoukkoa ei ole annettu erikseen, sen ajatellaan olevan laajin mahdollinen joukko. Otetaan esimerkkinä funktio f(x) = x, jonka määrittelyjoukkona on R ja maalijoukkona on R eli f: R R. Tämän funktion arvojoukko on [0, [. Oletetaan, että funktio on määritelty kaavalla f(x) = x 1. Tässä tapauksessa tämä yhtälö kuvaa funktiota, jos x 1. Määrittelyjoukko on siten [1, [ Tämä johtuu siitä, ettei negatiivisesta luvusta saa ottaa neliöjuurta. Funktiotyypeistä reaalifunktiot ovat taloustieteellisia sovelluksia ajatellen tärkein tyyppi. Funktio f: X Y on reaalifunktio, jos X ja Y ovat reaalilukujoukkoja eli jos sekä X R että Y R. Tavallisesti taloustieteellisissä malleissa rajoitutaan käsittelemään sellaisia funktioita, joiden määrittelyjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko eli X = {x R x 0}. Tätä joukkoa merkitään usein symbolein R +. Funktiota voidaan havainnollistaa sen kuvaajalla, jonka määrittelyä varten asetetaan X R ja Y R. 1.. Määritelmä. Funktion f : X Y kuvaaja on joukko {(x,f(x)) R R x X}. Kuvaaja koostuu siis niistä pisteistä (x, y), joille pätee y = f(x). Määritelmässä oleva R R tarkoittaa karteesista tuloa eli tässä tapauksessa tuttua -ulotteista koordinaatistoa. Tarkemmin sanottuna R R on joukko, joka koostuu järjestetyistä pareista (x,y), joille pätee x R ja y R. Kuvaajan pisteet ovat siten pisteitä tässä koordinaatistossa. Funktioiden f(x) ja g(x) väliset laskutoimitukset määritellään seuraavasti: (i) (f +g)(x) = f(x)+g(x) (ii) (f g)(x) = f(x) g(x) (iii) (fg)(x) = f(x)g(x) (iv) ( f g ) (x) = f(x) g(x). 1.1. Esimerkki. Olkoon f(x) = x+ ja g(x) = x 6. Tällöin ( ) f (x) = x+ g x 6, kun x 6 0 eli x ± 6.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 13 1.3. Määritelmä. Olkoot kertoimet a 1,...,a n R ja a n 0. Funktio f: R R on n:n asteen polynomifunktio, kun (9) f(x) = a 0 +a 1 x+a x +...+a n x n. Polynomifunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko R. Tarkastellaan lineaarista funktiota f(x) = a+bx. Lineaarinen funktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, ja sen kuvaaja on suora. Kuvaajan piirtämiseksi riittää etsiä kahden määrittelyjoukon pisteen funktion arvot ja piirtää suora niiden väliin. Valitaan nyt kaksi pistettä, esimerkiksi x = 0 ja x = 1, joiden vastaavat funktion arvot ovat y = a ja y = a + b. Nyt voimme piirtää koordinaatistoon suoran, joka kulkee pisteiden (0, a) ja (1, a + b) kautta. f(x) a+b a 1 x Olkoot x 1,x R ja x 1 < x. Olkoot lisäksi y 1 = f(x 1 ) = a+bx 1 ja y = f(x ) = a + bx. Jos ajattelemme kertoimia a ja b muuttujina, voimme ratkaista näistä kahdesta yhtälöstä kertoimen b. Ensimmäisestä yhtälöstä saamme a = y 1 bx 1, ja sijoittamalla sen toiseen yhtälöön saamme y = y 1 bx 1 +bx eli b = y y 1 x x 1. Kerroin b on siis funktion arvon muutos jaettuna muuttujan muutoksella, ja sitä kutsutaan suoran kulmakertoimeksi. Kahden pisteen avulla voi ratkaista lineaariseen funktioon liittyvän suoran yhtälön. Olkoot (x 1,y 1 ) ja (x,y ) kaksi tason pistettä. Suoran yhtälö saadaan kaavalla (miksi?): y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ), jossa y y 1 x x 1 on siis suoran kulmakerroin.

14 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.. Esimerkki. Lasketaan pisteiden (1, ) ja (, 5) kautta kulkevan suoran yhtälö. Soveltamalla annettua yhtälöä saamme, y = 5 (x 1) y = +3(x 1) y = 1+3x. 1 1.3. Esimerkki. Alla olevassa kuvassa on piirretty funktioiden f(x) = 3, f(x) = x+1 ja f(x) = x +x kuvaajat: f(x) x 1.4. Esimerkki. Ajatellaan nyt jonkin hyödykkeen kysyntää ja tarjontaa. Hyödykkeen kysyntä ja tarjonta riippuvat jonkin säännön mukaisesti hyödykkeen hinnasta. Tämä riippuvuus esitetään kysyntä- ja tarjontafunktioina. Markkinatasapainossa kysyntä ja tarjonta ovat yhtäsuuret. Oletetaan siis, että markkinat ovat tasapainossa ja kysytään mikä on hyödykkeen tasapainohinta p ja tasapainomäärä q? Tätä varten oletamme, että kysyntä- ja tarjontafunktiot ovat lineaariset eli q = a bp q = c + dp, Kysyntäfunktio Tarjontafunktio jossa a, b, c ja d ovat positiivisia reaalilukuja. Kysyntä riippuu negatiivisesti hinnasta eli mitä suurempi hinta sitä vähemmän hyödykettä kysytään. Tarjonta taas riippuu positiivisesti hinnasta eli mitä suurempi hinta sitä enemmän hyödykettä tarjotaan. Lisäksi on huomattava, että tarjontafunktio leikkaa q-akselin negatiivisella puolella. Etsimme siis markkinatasapainoa eli pistettä (p, q), joka toteuttaa molemmat yhtälöt samanaikaisesti. Ratkaistaan siis yhtälöpari { q = a bp q = c+dp.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 15 Sijoitetaan ensimmäinen yhtälö toiseen yhtälöön, jolloin saamme vain p:stä riippuvan yhtälön a bp = c+dp dp bp = c a (d+b)p = c+a p = c+a d+b. Tämä on tasapainohinta. Tasapainomäärä saadaan sijoittamalla tasapainohinta ensimmäiseen yhtälöön (voi sijoittaa myös toiseen), jolloin saamme sievennyksen kautta q = a b c+a d+b q = a(d+b) bc ba d+b q = ad bc d+b. Polynomifunktion f(x) nollakohdiksi (sama pätee muillekin funktioille) sanotaan niitä määrittelyjoukon pisteitä, joissa funktio f saa arvon nolla. Toisin sanoen nollakohdat ovat yhtälön f(x) = 0 ratkaisuja. Nollakohtien lukumäärällä ja polynomin asteella on läheinen yhteys, sillä n-asteisella polynomilla on korkeintaan n kappaletta eri reaalista nollakohtaa. 1.5. Esimerkki. Funktion f(x) = x 1 nollakohtia ovat yhtälön x 1 = 0 ratkaisut eli pisteet x = 1 ja x = 1. Funktiolla f(x) = x on vain yksi nollakohta eli x = 0. Tarkastellaan. asteen polynomifunktiota f(x) = ax +bx+c ja sen nollakohtia, jotka ovat yhtälön ax + bx + c = 0 ratkaisuja. Alla olevassa kuvassa on kolme funktiota, joista yhdellä on kaksi nollakohtaa, toisella yksi ja kolmannella ei yhtään. f(x) 3 1 3 1 1 1 3 x Rationaalifunktio määritellään polynomifunktion avulla seuraavasti: 1.4. Määritelmä. Olkoot p(x) ja q(x) kaksi polynomifunktiota. Funktiota f(x) kutsutaan rationaalifunktioksi, jos se on muotoa (10) f(x) = p(x) q(x), kun q(x) 0.

16 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Rationaalifunktion määrittelyjoukkona ovat kaikki reaaliluvut paitsi nimittäjäfunktion q(x) nollakohdat. 1.6. Esimerkki. Funktion f(x) = 3x x määrittelyjoukko on R \ {, }, koska x = 0, kun x = ja x =. Funktion monotonisuus on tärkeä ominaisuus, joka liittyy läheisesti esimerkiksi käänteisfunktioon. 1.5. Määritelmä. Olkoon f: X Y funktio ja olkoot x 1,x X. Funktio f on a) kasvava, jos x 1 x f(x 1 ) f(x ) b) vähenevä, jos x 1 x f(x 1 ) f(x ) c) aidosti kasvava, jos x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) d) aidosti vähenevä, jos x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) Funktio on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Vastaavasti funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Lineaarisen funktion tapaukessa kulmakerroin kertoo onko funktio aidosti kasvava vai aidosti vähenevä: lineaarinen funktio on aidosti kasvava, kun kulmakerroin on positiivinen ja aidosti vähenevä, kun kulmakerroin on negatiivinen. Jos kulmerroin on nolla, niin tällöin kyseessä on vakiofunktio. 1.7. Esimerkki. Funktiot f(x) = x ja f(x) = 3x + 1 ovat aidosti kasvavia, mutta funktio f(x) = x ei ole kasvava eikä vähenevä koko määrittelyjoukossaan. Funktion f(x) = x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja se on aidosti kasvava, jos x > 0, ja aidosti vähenevä, jos x < 0. Koko määrittelyjoukossaan tämä funktio ei siis kuitenkaan ole monotoninen. Onko funktio f(x) = x 3 monotoninen? 1.6. Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio. Seuraavaksi käsittelemme funktion f käänteisfunktiota, jota merkitään symbolillaf 1 (huomioi, ettei kyseessä olef potenssiin 1). Taloustieteellisten sovellusten kannalta käänteisfunktio on hyödyllinen. Joskus on esimerkiksi sopivampaa käsitellä kysyntäfunktion sijaan sen käänteiskysyntäfunktiota. 1.6. Määritelmä. Funktiolla f: X Y on käänteisfunktio f 1 : Y X, jos funktion f jokaista arvoa vastaa yksi ja vain yksi x X. Tällöin millä tahansa x X pätee (11) y = f(x) f 1 (y) = x. Määritelmän ehtoa tarvitaan, jotta käänteisfunktio on hyvin määritelty funktio. Määritelmästä huomataan, että käänteisfunktion määrittelyjoukkona on funktion f arvojoukko ja arvojoukkona funktion f määrittelyjoukko. Kuvana

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 17 f 1 X Y f Aito monotonisuus liittyy keskeisesti käänteisfunktioon, koska aidosti monotoninen funktio täyttää käänteisfunktion määritelmässä olevat ehdot, jolloin siis aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Jos siis halutaan löytää käänteisfunktio, niin tulee ensin perustella käänteisfunktion olemassaolo. Tämä onnistuu käyttämällä aidon monotonisuuden määritelmää, mutta myöhemmin voimme tehdä saman paljon helpommin käyttämällä derivaattaa. 1.8. Esimerkki. Tarkastellaan funktiota f(x) = x + 1. Näytetään, että tämä funktio on aidosti monotoninen, jolloin sillä on käänteisfunktio. Olkoon x 1,x R ja x 1 < x, jolloin x 1 x < 0 Tutkitaan erotusta f(x 1 ) f(x ) (miksi?): f(x 1 ) f(x ) = x 1 +1 x 1 = x 1 x = (x 1 x ) < 0. }{{} <0 (oletus) Tämä täyttää aidon kasvavuuden kriteerin, joten funktio on aidosti monotoninen ja sillä on siten käänteisfunktio. Olkoon nyt y = x + 1, jolloin ratkaisemalla x:n suhteen saamme x = 1(y 1), joten f 1 (y) = 1 (y 1). 1.9. Esimerkki. Tarkastellaan funktion f: ]0, [ R, f(x) = x käänteisfunktiota. Tässä olemme siis rajoittaneet funktion määrittelyjoukkoa siten, että sillä on käänteisfunktio. Ratkaisemalla yhtälö y = x muuttujan x suhteen saamme x = y 1 = y, joten funktion f käänteisfunktio on x = f 1 (y) = y. 1.30. Esimerkki. Tarkastellaan kysyntäfunktiota, joka on oletetaan lineaariseksi. Olkoon se q = 4p+. Käänteiskysyntäfunktio on p = 1q + 1. 4 Funktioita voidaan myös yhdistellä. Olkoot f: X Y ja g: Y Z kaksi funktiota ja katsotaan seuraavaa kuvaa. h X f Y g Z Kuvasta nähdään, että funktio f vie alkion x X alkiolle f(x) Y ja funktio g vie alkion y Y alkiolle g(x) Z. Yhtä hyvin voitaisiin ajatella yhdistettyä funktiota h: X Z, joka vie alkion x X alkiolle h(x) Z. Määritellään tämä funktio:

18 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.7. Määritelmä. Jos f: X Y ja g: Y Z ovat funktioita, niin niiden yhdistetty funktio g f: X Z on (1) h(x) = (g f)(x) = g(f(x)), kun x X. Yhdistetyssä funktiossa f on sisäfunktio ja g on ulkofunktio. 1.31. Esimerkki. Olkoon f(x) = x + 1 ja g(x) = x 3. Tällöin yhdistetty funktio h = g f on (g )f(x) = g(f(x)) = g(x +1) = (x +1) 3. Millainen on yhdistetty funktio f g? Yhdistetyn funktion tunnistaminen on hyödyllistä ja helpottaa esimerkiksi useiden funktioiden derivointia. 1.3. Esimerkki. Olkoon funktio h(x) = 10 x+5. Mitkä ovat tässä tapauksessa sisä- ja ulkofunktiot? 1.7. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. Aiemmin määrittelimme jo polynomifunktiot ja rationaalifunktiot. Nyt määrittelemme eksponentti- ja logaritmifunktiot, joiden lisäksi muita tärkeitä funktioita ovat trigonometriset funktiot (esimerkiksi tutut sin(x), cos(x) jne.). Meillä ei ole kuitenkaan välitöntä käyttöä trigonometrisille funktioille esimerkiksi taloustieteen perusmalleja ajatellen. Trigonometriset funktiot kerrataan mahdollisesti luennoilla. Olkoon nyt a reaaliluku, jolle pätee a > 0 ja a 1. 1.8. Määritelmä. Funktio f: R (0, ) on a-kantainen eksponenttifunktio, kun (13) f(x) = a x. a-kantainen eksponenttifunktio on siis määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja saa kaikki positiiviset arvot. Lisäksi kyseinen funktio on aidosti kasvava, kun a > 1 ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. Seuraavassa kuvassa on esitetty aidosti kasvava ja aidosti vähenevä eksponenttifunktio: 3 f(x) a > 1 1 0 < a < 1 4 3 1 1 3 x

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 19 Tärkein kantaluku on niin sanottu Neperin luku e, jonka likimääräinen arvo on.7183. Tarkka arvo saadaan raja-arvona: ( (14) e = lim 1+ 1 k. k k) 1.33. Esimerkki. Oletetaan, että tallettajan alkupääoma on A, jonka hän sijoittaa sen korkoprosentilla r. Oletetaan, että sijoitusaika on yksi vuosi. Jos korko maksetaan kerran vuodessa, niin vuoden lopussa tallettajan pääoma on A(1 + r). Jos taas korko maksetaan kahdesti vuodessa, niin tällöin pääoma vuoden lopussa on A(1+ r ). Jos korko maksetaan n kertaa vuodessa, niin tällöin pääoma on vuoden lopussa ( (15) A 1+ r ) n n Entä jos korko maksetaan jatkuvasti eli kun n lähestyy ääretöntä (merkitsemme n )? Muokataan tätä varten ylläolevaa kaavaa seuraavasti: ( (16) A 1+ r ) n ( = A 1+ r ) ( n r r ( = A 1+ r ) )n r r n n n Määritellään nyt uusi muuttuja k asettamalla k = n, jolloin saamme r ( ( (17) A 1+ 1 ) ) k r k Jos nyt annetaan k (mikä on sama kuin n ), niin saamme (18) Ae r Eli kun korko on r ja korkolaskenta on jatkuvaa, niin ensimmäisen vuoden päästä alkupääoman arvo on Ae r. 1.34. Esimerkki. Jatketaan esimerkin 1.33 tarkastelua. Entä jos sijoitusaika on pidempi, sanotaan t vuotta? Tällöin t vuoden päästä pääoman arvo V on V = Ae rt. Oletetaan, että alkupääoma on 100 euroa ja korkoprosentti on ja korkolaskenta on jatkuvaa. Tällöin sijoituksen arvo on viiden vuoden päästä V = 100e 0.0 5 110.5. Jos korko olisi maksettu kerran vuodessa jatkuvan korkolaskennan sijaan niin sijoituksen arvo viiden vuoden päästä olisi V = 100 (1+0.0) 5 110.41. Seuraavasta lauseesta selviää joitakin eksponenttifunktion ominaisuuksista: 1.1. Lause. (i) a x a y = a x+y (ii) ax = a x y a y (iii) (a x ) y = a xy (iv) (ab) x = a x b x Tässä pitäisi perustella vielä raja-arvon vieminen potenssin sisään, jotta voidaan käyttää Neperin luvun määritelmää.

0 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Eksponenttiofunktion avulla voimme määritellä logaritmifunktion. Kuten muistamme, eksponenttifunktio on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä kaikilla määrittelyjoukkonsa arvoilla. Se on siis aidosti monotoninen, ja sillä on käänteisfunktio. Määrittelemme logaritmifunktion eksponenttifunktion käänteisfunktiona. Olkoon y R positiivinen luku, jolloin yllä mainitun perusteella on olemassa yksi luku x, jolle pätee y = a x. 1.9. Määritelmä. Olkoon y = a x. Tällöin y = a log a (y) eli siis x = log a (y). Luvun y a-kantainen logaritmi on siis se luku x, johon kantaluku a on korotettava, jotta saadaan y. Tärkeimmät kantaluvut ovat 10 ja erityisesti Neperin luku e. Kun kantalukuna on e käytetään merkinnän log e (y) sijaan merkintää ln(y) ja puhutaan luonnollisesta logaritmista. Kun kantalukuna on 10, niin käytetään merkintää lg(y). Logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun a > 1 ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. Tiedämme, että eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, joten myös logartimifunktiolla on tämä sama ominaisuus. Seuraavassa kuvassa ovat funktioiden y = e x ja y = lnx kuvaajat: 3 f(x) e x 1 lnx 3 1 1 1 3 x 1.35. Esimerkki. 3 a) lg(1000) = lg(10 3 ) = 3 b) lg(1) = lg(10 0 ) = 0 c) ln(e 3 ) = 3 d) ln(e) = 1 e) ln(1) = ln(e 0 ) = 0 Esimerkistä huomaamme erityisesti sen, että kantaluvun logaritmi on yksi ja ykkösen logaritmi on nolla. Logaritmeistä on hyötyä esimerkiksi eksponenttiyhtälöiden ratkaisussa. Tätä varten tarvitaan laskusääntöjä. 1.. Lause. (i) log a (yx) = log a (y)+log a (x) (ii) log a ( y x ) = log a(y) log a (x) (iii) log a (y x ) = xlog a (y)

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1 1.36. Esimerkki. log (x 5 ) = log ()+log (x 5 ) = 1+5log (x) 1.37. Esimerkki. Ratkaistaan eksponenttiyhtälö 3 1 x 3x =. 3 1 x 3x = 3 3 x 8 x = ( ) x 1 8 x = ( ) x 8 = 3 3 3 3 Otetaan seuraavaksi yhtälöstä puolittain luonnolliset logaritmit, jolloin saadaan ( ) x ( ) ( ) ( ) 8 8 ln = ln xln = ln 3 3 3 3 Ratkaisemalla tämä x:n suhteen ja soveltamalla logaritmin laskusääntöjä saadaan ratkaisu: x = ln() ln(3) ln(8) ln(3).. Yhden muuttujan funktion differentiaalilaskentaa.1. Raja-arvo ja jatkuvuus. Raja-arvoon törmäsimme jo Neperin luvun yhteydessä yhtälössä (14) ja esimerkissä 1.33. Annetaan raja-arvolle seuraava määritelmä. Olkoot X R ja Y R. Tarkastellaan funktiota f: X Y ja pistettä x 0 X..1. Määritelmä. Funktiolla f: X Y on raja-arvo a Y kohdassa x 0 X, kun mitä tahansa lukua ǫ > 0 kohti löytyy luku δ > 0 siten että f(x) a < ǫ, kun 0 < x x 0 < δ. Raja-arvoa merkitään lim f(x) = a. x x 0 Määritelmässä oleva luku δ voi riippua sekä kohdasta x 0 että luvusta ǫ. Intuitiivisesti määritelmä sanoo, että funktion f arvot f(x) sijaitsevat mielivaltaisen lähellä lukua a, kun muuttuja x sijaitsee riittävän lähellä lukua x 0..1. Esimerkki. Olkoonf(x) = x+1 ja osoitetaan, että lim x 1 f(x) = 3. Olkoonǫ > 0 ja 0 < x 1 < δ. Nyt määritelmän mukaisesti δ tulee valita oikein. Tutkitaan tätä varten funktion ja väitetyn raja-arvon erotuksen itseisarvoa: (x+1) 3 = x = x 1 < δ. Valitaan δ = ǫ, jolloin saamme ylläolevan epäyhtälön mukaisesti (x+1) 3 < ǫ. Funktion f(x) = x+1 raja-arvo, kun x 1, on 3.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A).1. Lause. Jos funktiolla f: X Y on raja-arvo, niin se on yksikäsitteinen... Lause. Olkoot lim f(x) = a ja lim g(x) = b. Tällöin x x0 x x0 (i) lim cf(x) = ca x x0 (ii) lim(f(x)±g(x)) = a+b x x0 (iii) lim(f(x)g(x)) = ab x x0 f(x) (iv) lim x x0 g(x) = a, kun g(x) 0 ja b 0. b Raja-arvon määritelmä ei anna keinoa raja-arvon löytämiseksi. Määritelmän perusteella voi kuitenkin todistaa lauseita, joiden avulla raja-arvo voi löytyä. Esimerkiksi polynomifunktion raja-arvo löytynee seuraavan lauseen avulla:.3. Lause. Olkoon P(x) polynomifunktio. Tällöin lim x x0 P(x) = P(x 0 ). Esimerkiksi funktion f(x) = x 1 raja-arvo on 7, kun x lähestyy lukua. Yllä olevassa raja-arvon määritelmässä ei ole merkitystä kummalta puolelta pistettä x 0 lähestytään. Oletimme siis, että molemmilla puolilla pistettä x 0 on muita määrittelyjoukon X pisteitä, joita pitkin voimme lähestyä. Entä jos esimerkiksi pisteen x 0 vasemmalla puolella ei olekaan määrittelyjoukon pisteitä? Tällöin puhutaan funktion f(x) oikeanpuoleisesta raja-arvosta, jota merkitään lim f(x) = a. x x 0 + Jos taas pisteen oikealla x 0 puolella ei ole määrittelyjoukon pisteitä, niin puhutaan vasemmanpuoleisesta raja-arvosta, jota merkitään lim f(x) = a. x x 0 Jos funktiolla on raja-arvo pisteessä x 0, niin tällöin sillä on sekä oikeanpuoleinen että vasemmanpuoleinen raja-arvo ja kaikki kolme raja-arvoa ovat sama luku. Jos taas funktiolla on oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen raja-arvo ja nämä rajaarvot ovat samat, niin tällöin funktiolla on raja-arvo. Raja-arvon avulla voimme määritellä funktion jatkuvuuden. Intuitiivisesti ajatellen jatkuvan funktion kuvaaja on katkeamaton käyrä... Määritelmä. Funktio f: X Y on jatkuva kohdassa x 0, jos lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Funktio on siis jatkuva pisteessä x 0, jos sen raja-arvo pisteessä x 0 on yhtä kuin funktion arvo pisteessä x 0. Funktiota kutsutaan jatkuvaksi, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä..4. Lause. Olkoot f(x) ja g(x) jatkuvia funktioita. Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia:

(i) f(x)±g(x) (ii) f(x)g(x) (iii) f(x), kun g(x) 0. g(x).5. Lause. Seuraavat funktiot ovat jatkuvia: (i) Polynomifunktio (ii) Rationaalifunktio (iii) Eksponenttifunktio (iv) Logaritmifunktio. MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 3.6. Lause. Olkoon funktio f(x) jatkuva kohdassa x 0 ja funktio g(x) jatkuva kohdassa f(x 0 ). Tällöin yhdistettyfunktio (g f)(x) on jatkuva kohdassa x 0. Funktio on suljetulla välillä [x 1,x ] jatkuva, jos se on jatkuva avoimella välillä ]x 1,x [ ja välin päätepisteissä pätee: lim f(x) = f(x 1) ja x x 0 + lim f(x) = f(x ). x x 0.7. Lause. Suljetulla välillä jatkuva funktio saa kyseisellä valillä suurimman ja pienimmän arvonsa... Derivaatta..3. Määritelmä. Funktion f: X Y erotusosamäärä pisteessä x 0 on f(x 0 +h) f(x 0 ). h Jos asetamme x = x 0 +h, niin tällöin erotusosamäärä tulee muotoon f(x) f(x 0 ) (19). x x 0 Erotusosamäärä on funktion arvon muutoksen suhde muuttujan muutokseen. Seuraava kuva havainnollistaa tilannetta: f(x) Sekanttisuora f(x 0 +h) f(x) f(x 0 ) x 0 x 0 +h x

4 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Kuvassa on piirretty käyrä y = f(x) ja pisteiden (x 0,f(x 0 )) ja (x 0 +h,f(x 0 +h)) kautta kulkeva niin sanottu sekanttisuora. Erotusosamäärä on siten sekanttisuoran kulmakerroin..4. Määritelmä. Funktio f: X Y on derivoituva kohdassa x 0 X, jos rajaarvo f(x 0 +h) f(x 0 ) lim h 0 h on olemassa ja on äärellinen. Funktion derivaattaa kohdassa x 0 X merkitään f f(x 0 +h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Jos funktio on derivoituva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, niin silloin sanotaan, että funktio on derivoituva. Merkinnän f (x) lisäksi derivaattaa voidaan merkitä symbolein Df(x), dy df ja dx dx sekä y. Yritämme käyttää johdonmukaisesti vain yhtä merkintää eli f (x):ää. 3 Geometrisesti tulkittuna derivaatta on pisteeseen (x 0,f(x 0 )) piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin ja pisteessä x 0 derivaattaa voi ajatella esimerkiksi funktion kuvaajan appoksimointina tangenttisuoralla. Approksimaatio on hyvä pienillä h (olettaen, ettei funktion arvot muutu kovin voimakkaasti kohdan x 0 lähellä), mutta virhe kasvaa h:n kasvaessa. Funktion f(x) derivaattafunktio on f (x). Tarkastellaan funktiota f(x). Pisteen (x 0,f(x 0 )) kautta kulkevan tangenttisuoran yhtälö on muotoa y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Merkitään muutoksia muuttujien x ja y arvoissa tangenttisuoran tapauksissa symbolein dx ja dy eli dx = x x 0 ja dy = y f(x 0 ). Muutoksia dx ja dy kutsutaan differentiaaleiksi. Tangenttisuoran yhtälö tulee näiden avulla kirjoitettuna muotoon (0) dy = f (x 0 )dx. Aiemmin merkitsimme muutosta x:n arvossa myös h:lla. Huomaa, että yhtälö (0) pätee olipa dx miten suuri tahansa. Merkitään nyt muutosta funktion f arvossa y:llä eli y = f(x 0 +h) f(x 0 ). Derivaatan määritelmä tulee nyt muotoon f y (x 0 ) = lim h 0 h. 3 Tästä poiketaan kuitenkin Matematiikan alkeet II kurssin lopussa, jolloin differentiaaliyhtälöitä käsiteltäessä on kätevää merkintä derivaattaa symbolein dy dx ja y.

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 5 Jos h on pieni ja funktion arvot eivät muutu kovin voimakkaasti kohdan x 0 lähellä, niin likimäärin pätee y f (x 0 )h. Nyt voimme yhdistää tämän tiedon yhtälöön (0), jolloin saamme (1) y dy = f (x 0 )dx. Tässä y on siis muutos funktion arvossa ja dy on muutos y:n arvossa tangenttisuoralla. Tangenttisuoran tapauksessa differentiaali antaa täsmällisen arvion muutokselle muuttujassa y, mutta funktion f(x) tapauksessa ei. Mitä suurempi h, sitä huonommin dy arvioi muutosta funktion arvossa. Kuvana asia näyttää tältä: f(x) Tangenttisuora f(x 0 +h) dy y f(x 0 ) x 0 h x 0 +h x.. Esimerkki. Lasketaan funktion f(x) = x +x 5 derivaatta kohdassa x = 4. Funktion erotusosamäärä on kaavan (19) mukaisesti () x +x 5 (4 +4 5) x 4 = x +x 0 x 4 Erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy lukua 4, on = (x 4)(x+5) x 4 = x+5. Toisin sanoen f (4) = 9. limx+5 = 9. x 4 Mikä yhteys on funktion jatkuvuudella ja derivoituvuudella? Onko esimerkiksi jatkuva funktio aina derivoituva? Entä onko derivoituva funktio aina jatkuva? Derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva. Itseisarvofunktio on esimerkki jatkuvasta funktiosta, joka ei ole derivoituva. Erityisesti itseisarvofunktio ei ole derivoituva pisteessä x = 0. Kuvaajaa katsomalla

6 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Korjattu merkintää Vasemmanpuoleinen huomataan, että funktion kuvaajalla on tässä pisteessä kärki, jolloin sillä ei ole siinä pisteessä tangenttia..3. Esimerkki. Tarkastellaan funktiota f(x) = x. Itseisarvofunktio on jatkuva. Funktio ei kuitenkaan ole derivoituva pisteessä x = 0, koska f(0+h) f(0) lim = h h 0 h h = 1 f(0+h) f(0) lim = h h 0+ h h = 1. ja oikeanpuoleinen raja-arvo eivät yhdy, joten erotusosamäärällä ei ole pisteessä x = 0 raja-arvoa. Entä muut pisteet? Derivoituva funktio on siis jatkuva ja lisäksi sileä. Sileä tarkoittaa tässä sitä, ettei funktion kuvaajassa ole kulmia..8. Lause. (i) Summan ja erotuksen derivaatat (f ±g) (x) = f (x)+g (x) (ii) Tulon derivaatta (fg) (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x) (iii) Osamäärän derivaatta ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)). Ylläolevien kaavojen paikkansa pitävyys voidaan osoittaa derivaatan määritelmän ja yhdistetyn funktion derivointisäännön (ketjusääntö) avulla, joka esitetään seuraavaksi..9. Lause. Olkoon f(x) derivoituva pisteessä x 0 ja g(x) derivoituva pisteessä f(x 0 ). Tällöin yhdistetty funktio g f on derivoituva pisteessä x 0, ja sen derivaatta saadaan kaavalla (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Yhdistetyn funktion derivaatta saadaan ulko- ja sisäfunktioiden derivaattojen tulona, kun ulkofunktion derivaatta on arvioitu sisäfunktion arvolla kohdassax 0. Näistä kaavoista ei ole vielä suurta iloa käytännön derivoinnin kannalta. Miten esimerkiksi derivoidaan polynomifunktio käyttämättä raja-arvon määritelmää? Tarvitaan derivoinnin laskusääntöjä:.10. Lause. (i) Vakiofunktion f(x) = a derivaatta on f (x) = 0 (ii) Funktion af(x) derivaatta on af (x) (iii) Polynomifunktio f(x) = x n derivaatta on f (x) = nx n 1 (iv) Yleisen polynomifunktion f(x) = a 0 +a 1 x+a x +...+a n x n derivaatta on f (x) = a 1 +a x+...+na n x n 1

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 7 e) Rationaalifunktion (kun g(x) 0) derivaatta on f(x) = p(x) q(x) f (x) = p (x)g(x) p(x)g (x) (g(x)). Lisäksi pätee: jos f(x) = x r ja r on rationaaliluku, niin f (x) = rx r 1..4. Esimerkki. (i) Olkoon f(x) = 6x 3. Tällöin f (x) = 3 6x 3 1 = 18x. (ii) Olkoonf(x) = x 6 3 x3 +9. Tällöinf (x) = 6x 6 1 3 3 x3 1 = 6x 5 x. (iii) Olkoon f(x) = x +x. Tällöin f (x) = (+x) x 1 (+x) = 4 (+x). (iv) Olkoon f(x) = 3 x. Tällöin f (x) = 1 3 x1/3 1 = 1 3 x /3 = 1 1 3 3. x (v) Olkoonh(x) = (x +4) 10. Tässä ulkofunktiona ong(x) = x 10 ja sisäfunktiona on f(x) = x +4, jolloin saamme yhdistetynfunktion derivointikaavalla: korjattu h (x) = g (f(x))f (x) = 10(x +4) 9 x = 0x(x +4) 9. Aiemmasta muistamme mitä funktion monotonisuudella tarkoitetaan (katso määritelmä 1.5). Funktion monotonisuutta voidaan kuitenkin tutkia paljon helpommmin derivaatan avulla:.11. Lause. Olkoon f: X Y derivoituva koko määrittelyjoukossaan ja Z X väli. Tällöin (ii) Jos f (z) 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z kasvava. (ii) Jos f (z) 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z vähenevä. (iii) Jos f (z) > 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z aidosti kasvava. (iv) Jos f (z) < 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z aidosti vähenevä..5. Esimerkki. (i) Funktio f: ]0, [ R, f(x) = x, on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, koska f (x) = 1 > 0 kaikilla x ]0, [. x

8 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) (ii) Olkoon f(x) = ax 3 x, jossa a > 0. Funktion derivaatta on f (x) = 3ax 1. Tutkitaan sen merkkiä eri muuttujan arvoilla. Derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä 3ax 1 = 0. 1 Ne ovat ja 1. Lisäksi derivaatta saa aidosti positiivisia arvoja, kun 3a 3a x < 1 3a tai x > 1 3a. Näillä arvoilla funktio on aidosti kasvava. Derivaatta saa aidosti negatiivisia arvoja, kun 1 3a < x < 1 3a. Näillä arvoilla funktio on aidosti laskeva. Laske nyt funktion nollakohdat ja hahmottele näiden tietojan avulla funktion kuvaaja. Tarkastellaan seuraavaksi käänteisfunktion derivoimista. Oletetaan nyt, että funktiolla f(x) on käänteisfunktio f 1 (y). Seuraavan säännön perusteella voimme laskea sen derivaatan.1. Lause. Jos f(x) on derivoituva pisteessä x 0 ja f (x 0 ) 0, niin käänteisfunktio f 1 (y) on derivoituva pisteessä y 0 ja sen derivaatta löydetään kaavalla ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ). Tämä kaava helpottaa joissain tapauksissa huomattavasti käänteisfunktion derivointia. Perustellaan tätä parilla esimerkillä. Ensimmäisessä esimerkissä voimme löytää käänteisfunktion derivaatan käyttämättä käänteisfunktion derivointisääntöä..6. Esimerkki. Olkoon y = f(x) = 7x + 1. Pyrimme löytämään derivaatan (f 1 ) (y). Funktio on aidosti monotoninen, joten sillä on käänteisfunktio. Voimme ratkaista yhtälön y = 7x + 1 muuttujan x suhteen. y = 7x+1 7x = y 1 x = 1 7 y 1 3 x = 1 7 y 3 Löysimme siis käänteiskuvauksen f 1 (y) = 1 y 3, jonka voimme derivoida suoraan, 7 jolloin saamme ( ) f 1 1 (y) = 7. Seuraavassa esimerkissä on käänteisfunktion etsimisen ja derivoinnin sijaan helpompaa käyttää käänteisfunktion derivoimissääntöä..7. Esimerkki. Olkoonf(x) = x 5 +x+1. Funktio on aidosti monotoninen (Miksi?). Tehtävänä on etsiä käänteisfunktion derivaatta pisteessä y 0 = 1. Merkitään nyt y = f(x) eli y = x 5 + x + 1. Kyseessä on viidennen asteen yhtälö, joten emme yritä ratkaista muuttujaa x. Jos nyt y = 1, niin yhtälö on 1 = x 5 + x + 1. Tämä pätee, kun x = 0. Käänteisfunktion derivointisäännössä vaaditaan, että f(x) on

MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 9 derivoituva tässä pisteessä ja f (0) 0. Funktio on derivoituva kaikilla x R, joten se on derivoituva erityisesti pisteessä x = 0. Lisäksi f (x) = 5x 4 +1, joten f (0) = 1. Voimme siis soveltaa käänteisfunktion derivointisääntöä. Saamme ( f 1 ) (1) = 1 f (0) = 1. Edellisten laskusääntöjen lisäksi tärkeitä ovat myös eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivointisäännöt..13. Lause. (i) Olkoon f(x) = e x. Tällöin derivaatta on f (x) = e x (ii) Olkoon f(x) = e g(x). Tällöin derivaatta on f (x) = g (x)e g(x) (iii) Olkoon f(x) = a x. Tällöin derivaatta on f (x) = a x lna (iv) Olkoon f(x) = a g(x). Tällöin derivaatta on f (x) = g (x)a g(x) lna..8. Esimerkki. (i) Olkoon f(x) = e 3. Tällöin f (x) = 0. (ii) Olkoon f(x) = x 15 +e x e x. Tällöin f (x) = 15 x 15 1 +xe x ( 1)e x = 30x 14 +xe x +e x..14. Lause. (i) Olkoon f(x) = lnx. Tällöin derivaatta on f (x) = 1 x (ii) Olkoon f(x) = lng(x). Tällöin derivaatta on f (x) = g (x) g(x) (iii) Olkoon f(x) = log a (x). Tällöin derivaatta on f (x) = 1 alnx..9. Esimerkki. (i) Olkoon f(x) = 6ln3x. Tällöin f (x) = 6 (ii) Olkoon f(x) = xlnx. Tällöin 3 3x = 6 x. f (x) = 1 lnx +x x x = lnx + x x = lnx +..3. Korkeammat derivaatat. Tarkastellaan funktiota f: X Y ja pistettä x 0 X. Olkoon funktio derivoituva eli sen derivaatta f (x) on olemassa jokaisessa pisteessä x X. Kuten muistamme, myös funktion derivaatta f (x) on funktio..5. Määritelmä. Olkoon funktio f (x) derivoituva pisteessä x 0. Tällöin funktion f(x) toinen derivaatta on f f (x 0 +h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h

30 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Toinen derivaatta on siis funktion f (x) erotusosamäärän raja-arvo. Toinen derivaatta f (x) on ensimmäisen derivaatan tavoin funktio, ja sen olemassaolo pisteessä x 0 vaatii, että sillä on jo tässä pisteessä ensimmäinen derivaatta. Samalla tavalla jatkamalla voimme määritellä muut korkeammat derivaatat, jolloin n:ttä derivaattaa merkitään f (n) (x):llä. Esimerkiksi funktion f(x) kolmas derivaatta on f (3) (x). Muita merkintöjä ovat D n f(x) ja dn f dx n..10. Esimerkki. Lasketaan funktion f(x) = x 4 +x 3 +4 toinen derivaatta. Nyt ensimmäinen derivaatta onf (x) = 4x 3 +3x. Derivoimalla tämä toistamiseen saamme toisen derivaatan: f (x) = 3 4x + 3x = 1x +6x..11. Esimerkki. Polynomifunktio ja funktio f(x) = e x ovat äärettömän monta kertaa derivoituvia..1. Esimerkki. Lasketaan funktion f(x) = e x kaksi ensimmäistä derivaattaa. Eksponenttifunktion derivoimissäännöllä saamme f (x) = xe x. Käyttämällä tulon derivointisääntöä saamme laskettua toisen derivaatan: f (x) = e x +x xe x = e x (1+x ). Toisen derivaatan avulla voimme määritellä konveksit ja konkaavit funktiot. Konveksin funktion kuvaaja on alaspäin kupera ja konkaavin funktion kuvaaja on ylöspäin kupera: f(x) konkaavi konveksi x.6. Määritelmä. Kahdesti derivoituva funktio f: X Y on määrittelyjoukossaan (i) konveksi, jos ja vain jos jokaisella määrittelyjoukon pisteellä pätee f (x) 0 (ii) konkaavi, jos ja vain jos jokaisella määrittelyjoukon pisteellä pätee f (x) 0