MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon a k = k+1 k (k+1), k = 1,,,... lukujono. Laske lukujonosta kolme ensimmäistä termiä, ja määrää lukujonon raja-arvo, jos jono suppenee.. Tarkastellaan sarjaa k + 1 merk. k (k + 1) = a k. a) Muodosta termin a k osamurtokehitelmä laskemalla kertoimet, B, ja D yhtälöstä k + B k + k + 1 + D (k + 1) = k + 1 k (k + 1). b) Laske osasummien jonosta ( n ) n=1, n = n a k, n = 1,,,... kolme ensimmäistä termiä 1, ja. c) Muodosta lauseke termille n. d) Määrää lim n ja päättele, suppeneeko sarja a k. Jos sarja suppenee, niin mikä on sarjan n summa. 4. Olkoon a R. Tarkastellaan suppenevaa sarjaa (a) = a (k 1)(k + ). Laske sarjan summa (a) ja määrää reaaliluku a siten, että (a) = 18. 5. Tutki tarkasti perustellen seuraavien sarjojen suppenemista: k a) 7k, b) k + 1 k + k, c) k (k 4 + 1) 4, d) 4 + cos(k) k 6. 6. Määrää seuraavien potenssisarjojen suppenemissäde: 1 + 5 k a) x k, b) ( 1) k πk k! k + 1 (x k! π)k, c) k! + k xk, d) Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee? k! ln(k + ) (x + )k. 7. Olkoon a > reaaliluku. Määrää potenssisarjan a k+1 (x a)k k suppenemissäde R a. Millä reaaliluvun x arvoilla potenssisarja varmasti suppenee?
8. a) Laske potenssisarjojen avulla raja-arvo lim x x sin(x ) cosh(x) + 9 cos(x) 1. b) Olkoon a reaaliluku. Laske potenssisarjojen avulla seuraava raja-arvo: Millä reaaliluvun a arvolla L a =? 9. Hahmottele π-jaksollisen funktion x cos(ax) x cosh(ax) L a = lim. x sin(ax) sinh(ax) f(x) = (π x), kun x < π, kuvaaja ja määrää funktion Fourier-sarja (x). Laske tuloksen (π) = f(π) avulla sarjan ( 1) k+1 summalle tarkka arvo. Opastus: Osittaisintegroinnilla voidaan johtaa seuraavat kaavat: (π t) cos(kt) dt = k [(π k πk t + k t ) sin(kt) + (kt πk) cos(kt)] +, (π t) sin(kt) dt = k [( π k + πk t k t + ) cos(kt) + (kt πk) sin(kt)] +. k 1. Määrää seuraavien funktioiden määritysjoukot ja piirrä ne xy- tai xyz-koordinaatistoon: x + y a) f(x, y) = 9, b) f(x, y) = ln(x + y 1) x y ln(5 x y ), c) f(x, y, z) = x y x, d) f(x, y, z) = z y (1 x y z ) z. 11. Piirrä xyz-koordinaatistoon seuraavat pinnat: a) x + y + z =, b) z x 1 =, c) z = + x + y, d) z = x y, e) y + z = 4. Mitkä eo. pinnoista ovat kahden muuttujan funktion z = f(x, y) kuvaajia? 1. Määrää kahden muuttujan funktion z = f(u, v) = ln u + v, v > u arvoja z = 1 ja z = vastaavat tasa-arvokäyrät. Mikä on näiden tasa-arvokäyrien käyrätyyppi (esim. hyperbeli, ellipsi, jne.)? 1. Tutki, onko seuraava raja-arvo olemassa: lim (x,y) (,) x y x 4 + y. alitse lähestymistieksi origon kautta kulkevat suora y = x sekä käyrä y = x. 14. Olkoon z(x, y) = e ay cos(bx), missä a, b R ovat vakioita. Osoita, että kaikilla (x, y) R on voimassa a z x + b z y =. 15. Olkoon a > reaaliluku. Olkoon edelleen f(x, y) = x xy kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio sekä u = a ı a ȷ suuntavektori. a) Laske f(, 1). b) Määrää reaaliluku a > siten, että u f(a, 1) = 5.
16. Olkoon f(x, y) = y 4 + xy + x y kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio. Tarkastellaan tämän funktion käyttäytymistä pisteessä (, 1). a) Laske suunnattu derivaatta vektorin ı + ȷ suuntaan. b) Mikä on suunnatun derivaatan suurin arvo? c) Mihin suuntaan funktion arvot vähenevät voimakkaimmin? d) Mihin suuntaan funktion arvot muuttuvat vähiten? 17. Olkoon a reaaliluku. Olkoot edelleen f(x, y) = ax y ja g(x, y) = ax + y kahden muuttujan reaaliarvoisia funktiota sekä u = ı ȷ suuntavektori. Määrää reaaliluku a siten, että u f( 1, ) = u g( 1, ). 18. Kappale liikkuu xy-koordinaatistossa käyrää x(t) = x(t) ı+y(t) ȷ = t ı+ t ȷ pitkin, missä t kuvaa aikaa sekunneissa ja x- ja y- koordinaattien yksikkö on cm. Kappaleen lämpötila ( ) pisteessä (x, y) R on T (x, y) = e x +y. Muodostetaan yhdistetty funktio z(t) = T (x(t), y(t)). Laske ketjusäännön avulla kappaleen lämpötilan muutosnopeus ( /s) hetkellä t >. Johtopäätös? Millä ajan t hetkellä kappaleen lämpötila on suurin? Missä tason R pisteessä kappale tällöin on? 19. Olkoon f(x, y) = x +xy y +x y kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio sekä x = x(r, s) = r s, y = y(r, s) = r + s. Olkoon edelleen z(r, s) = f(x(r, s), y(r, s)) yhdistetty funktio. Käytä ketjusääntöä ja esitä osittaisderivaatat z r ja z s muuttujien r ja s avulla.. a) Määrää funktion f(x, y) = x 4xy + y + 4y kaikkien kriittisten pisteiden laatu. b) Olkoon a reaaliluku. Määrää funktion f(x, y) = 1xy xy ax kaikkien kriittisten pisteiden laatu. 1. a) Määrää Lagrangen menetelmällä funktion f(x, y, z) = 4x + 1y z suurin arvo lisäehdolla z = x + y. b) uunnitellaan suorakulmaisen särmiön muotoinen rakennus, jonka tilavuus on m. xyzkoordinaatistossa rakennuksen kärkipisteitä ovat (,, ), (a,, ), (, b, ) ja (,, c), missä a > m, b > m, c > m, ja rakennusta katsotaan positiivisen x-akselin suunnasta. Oletetaan, että sivuseinien ja takaseinän sekä lattian valmistusmateriaali pinta-alayksikköä kohti maksaa K euroa/m. Koristelujen vuoksi etuseinän valmistusmateriaali pinta-alayksikköä kohti on hinnaltaan kaksinkertainen takaseinän valmistusmateriaaliin verrattuna. Lisäksi katon valmistusmateriaali pinta-alayksikköä kohti on hinnaltaan puolitoistakertainen lattian valmistusmateriaaliin verrattuna. Määrää Lagrangen menetelmällä rakennuksen särmien pituudet a, b ja c niin, että rakennuksen materiaalikustannukset ovat mahdollisimman pienet. Laske myös näiden materiaalikustannusten pienin arvo.. Laske x 1 y a) x y dy dx, b) x 9y x dx dy. 1 x Piirrä kuvat tasoalueista, joiden yli integrointi suoritetaan.. a) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y = 4x, y = x ja x = 1 leikatessa toisensa. Laske y(x + 1) 4 d. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu suorien y = x, y = x + ja y = leikatessa toisensa. Piirrä kuva tasoalueesta sekä esitä alue muodossa = {(x, y) R c y d, g 1 (y) x g (y)}, missä c ja d ovat reaalilukuja sekä g 1 (y) ja g (y) muuttujasta y riippuvia funktioita. Laske y + y + 4 d.
4. a) Laske integrointijärjestystä vaihtamalla 1 x 4x(y + 1) 5 dy dx. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon M > reaaliluku. Osoita integrointijärjestystä vaihtamalla, että integraalin 4 M M y dx dy x + M arvo ei riipu reaaliluvusta M >. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. 5. Laske x y z xy d, missä = {(x, y, z) R 1 x 9, 1 y 6x, 1 z e x y }. 6. Laske sen kappaleen tilavuus, jota ylhäältä rajoittaa paraboloidipinta z = f(x, y) = 4 x y, alhaalta taso z = 1 sekä sivuilta tasot y =, x = ja y = x. Piirrä kuva kappaleesta. 7. a) Laske napakoordinaattien avulla 9 x e 5 x y dy dx. Piirrä kuva tasoalueesta, jonka yli integrointi suoritetaan. b) Olkoon = {(x, y) R 9 x + y 5, x, y } ympyrärenkaan osa. Laske napakoordinaattien avulla x + y (x + y ) x + y + d. 8. Kappaletta rajoittaa ylhäältä pallopinta z = 9 x y ja alhaalta taso z = sekä sivuilta lieriöpinta x + y = 4. Laske sylinterikoordinaattien avulla kappaleen tilavuus. 9. Laske sylinterikoordinaattien avulla 1 1 x x y x +y z dz dy dx. Hahmottele kuva kappaleesta, jota integrointirajat kuvaavat.. a) Olkoon kappale se osa palloa x + y + z 16, jolle x, y ja z. Laske pallokoordinaattien avulla e x +y +z x + y + z d. b) Olkoon R > reaaliluku. Olkoon edelleen kappale = {(x, y, z) R R x + y + z 4R, x, y, z }. Laske pallokoordinaattien avulla I R = Määrää luku R > siten, että I R = π 16 ln 7. z (x + y + z ) + 1 d.
1. Tutki seuraavien vektorikenttien lähteettömyys ja pyörteettömyys, kun (x, y, z) R : a) v(x, y, z) = (y + z) ı + (x + z) ȷ + (x + y) k, b) v(x, y, z) = yze xy ı + xze xy ȷ + (e xy + cos z) k.. Olkoon F (x, y, z) = P (x, y, z) ı + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k : R R vektorikenttä ja f(x, y, z) : R R funktio. Oletetaan, että funktioiden P, Q, R ja f toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Osoita, että a) vektorikenttä F on lähteetön, b) vektorikenttä f on pyörteetön.. Totea, että vektorikenttä F (x, y, z) = (yz y ) ı + (xz + z xy) ȷ + (xyz + y z ) k on konservatiivinen. Määrää potentiaalifunktio U(x, y, z). 4. a) Laske käyräintegraali xy dx x dy, kun on käyrä y = ln x pisteestä (1, ) pisteeseen (e, 1). b) Olkoon a reaaliluku. Määrää luku a siten, että F d x = 1, kun on käyrä y = ae ax pisteestä (, a) pisteeseen (1, ae a ) ja F (x, y) = (x y ) ı + y ȷ. 5. a) Laske käyräintegraali kun on käyrä x(t) = t ı + t ȷ + t k, t 1. yz dx xy dy + x dz, b) Olkoon a reaaliluku. Olkoot edelleen b ja c reaalilukuja. Laske käyräintegraali F d x, kun F (x, y, z) = ax ı+byz ȷ cxy k on vektorikenttä ja on käyrä x(t) = t ı+t ȷ+t k pisteestä (,, ) pisteeseen (1, 1, ). Jos a =, niin mikä on lukujen b ja c suhde b c, jotta F d x =. 6. Olkoon käyrä x(t) = t ı + ( sin 5 ( π t7 ) + 1) ȷ, t 1. Laske käyräintegraali (4x y 6 7x 6 y) dx + (6x 4 y 5 x 7 + ye y ) dy. 7. Laske (yz y ) dx + (xz + z xy) dy + (xyz + y z ) dz, kun on käyrä a) x(t) = cos(πt 9 ) ı + cos(πt ) ȷ + sin(πt 6 ) k, t 1, b) x(t) = cos(πt) ı + sin(πt) ȷ + 4 k, t.
8. a) Laske Greenin lauseen avulla xy dx + x y dy, kun muodostuu seuraavasti: pisteestä (, ) pisteeseen (1, 1) käyrä y = x, pisteestä (1, 1) pisteeseen ( 1, 1) suora y = 1, pisteestä ( 1, 1) pisteeseen (, ) paraabeli y = x. b) Olkoon = {(x, y) R 5 x, 5 x y 5 x } xy-tason suljettu ja rajoitettu ympyräalueen osa. Laske Greenin lauseen ja napakoordinaattien avulla (x + xy ) dx + (4x y y ) dy. 9. a) Laske pintaintegraali 4z 11 d, kun on se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = x + y +, joka jää kolmion { (x, y) R x 1, y 6x } yläpuolelle. b) Laske napakoordinaattien avulla pintaintegraali x + y 4 (5 z) d, kun on se osa kartiopintaa z = f(x, y) = 5 x + y, joka jää ympyrärenkaan osan yläpuolelle. = {(x, y) R 4 x + y 9, x, y } 4. a) Olkoon se osa kartiopintaa z = f(x, y) = x + y, joka on tasoalueen = {(x, y) R 1 x, y x} yläpuolella. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske vektorikentän vuo pinnan läpi. F (x, y, z) = y(5x z + 4y ) ı x(5x z + 4y ) ȷ + (x 4yz) k b) Laske napakoordinaattien avulla vektorikentän F (x, y, z) = (5x 7y) ı + (7x + 5y) ȷ + (14z 4) k vuo sen paraboloidipinnan z = f(x, y) = x + y + osan läpi, joka rajoittuu tasojen z = 7 ja z = 1 väliin.
41. a) Olkoon pinta se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = 9 x y, joka on kolmion = {(x, y) R y, x y} yläpuolella ja jonka ulkoinen yksikkönormaalivektori on n = (x, y, 1) 1 + 4x + 4y. Olkoon edelleen pinnan suljettu reunakäyrä. Laske käyräintegraalin (5y + z ) dx + (5x + 4z ) dy + (6xz 7yz) dz arvo tokesin lauseen avulla. b) Olkoon se xy-tason suljettu ja rajoitettu alue, joka muodostuu ympyrän kaaren y = 4 x ja suoran y = leikatessa toisensa. Olkoon edelleen pinta se osa paraboloidipintaa z = f(x, y) = x + y + 4, joka on tasoalueen yläpuolella. Pinnan suljettu reunakäyrä olkoon. Määrää pinnan ulkoinen yksikkönormaalivektori n ja laske käyräintegraalin x dx + 6xy dy + 9y dz arvo tokesin lauseen sekä napakoordinaattien avulla. 4. a) Olkoon suljettu kappale, jota ylhäältä rajoittaa pallopinta z = f(x, y) = 4 x y, sivuilta lieriöpinta x + y = 4 ja alhaalta taso z =. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F (x, y, z) = (x y ) ı + (y + x ) ȷ + (z 5xy) k vuo kappaleen pinnan läpi. Käytä sylinterikoordinaatteja! b) Olkoon suljettu kappale, jota alhaalta rajoittaa taso z = sekä ylhäältä ja sivuilta pallopinta z = f(x, y) = 9 x y. Laske divergenssilauseen avulla vektorikentän F (x, y, z) = (y + z) ı (x + z) ȷ + z k vuo kappaleen pinnan läpi. Käytä pallokoordinaatteja!
astauksia harjoitustehtäviin kevät 17 1. a) suppenee, raja-arvo = b) suppenee, raja-arvo = c) hajaantuu d) suppenee, raja-arvo = 1 4 e) suppenee, raja-arvo = f) suppenee, raja-arvo =. suppenee, raja-arvo =. a) =, B = 1, =, D = 1 c) n = 1 1 (n+1) d) sarja suppenee, sarjan summa = 1 4. (a) = a, a = ±6 5. a) hajaantuu b) hajaantuu c) suppenee d) suppenee 6. a) R =, < x < b) R = 1 π, π 1 π < x < π + 1 π c) R = 1, 1 < x < 1 d) R =, x = 7. R a = a, a + a < x < a + a 8. a) 4 15 b) a, a = 1 9. (x) = π + 4 k cos(kx), ( 1) k+1 k = π 1 1. a) {(x, y) R x + y ja y x} b) {(x, y) R 1 < x + y < } c) {(x, y, z) R z > y} d) {(x, y, z) R x + y + z 1 ja z < } 11. pinnat b), c), d) 1. v = u + e, v = u + 1, käyrätyyppi on paraabeli 1. raja-arvo ei ole olemassa 15. a) 11 ı 18 ȷ b) a = 1 11 16. a) 6 5 5 b) 5 c) ı ȷ d) ±( ı + ȷ) 17. a = 1 1 dz 18. dt = ( 1t + +t, kappale lämpenee, kun s < t <.5 s, kappale jäähtyy, kun t >.5 s, )e t lämpötila suurin, kun t =.5 s, tason piste (.5 cm,.5 cm) 19. z r = 4r 41s + 5, z s = 41r + 44s 1. a) ( 4, ) satulapiste, (4, ) paikallinen minimipiste b) (, ) ja (, 4) satulapisteitä, ( 6 a, ) paikallinen maksimipiste, kun a >,, ) paikallinen minimipiste, kun a < ( 6 a 1. a) f(4,, ) = 6 b) a = 15 m, b = 15 m, c = 5. a) 6 5 b) 1 4. a) 1 b) ln 5 4 4. a) 8857 1 b) 1 5. 6 6. 7 1 7. a) π 4 (e5 e 16 ) b) π 6 π 8. (7 5 5) π 9. 8. a) π 4 (e16 1) b) I R = π 16 ln 16R +1 ln 17 9 15 m, f( 15 m, R +1, R = 6 1. a) lähteetön, pyörteetön b) ei lähteetön, pyörteetön. U(x, y, z) = xyz xy + yz z + 4. a) 1 4 e + 4 b) käyräintegraalin arvo = 1 + ( a a 15 m, 5 )(1 ea ), a = 1 5. a) 1 6 b) a + 4b 5 c, b c = 5 8 6. U(x, y) = x 4 y 6 x 7 y + e y +, käyräintegraalin arvo = 76 + e 9 e 7. a) b) 8. a) 1 6 b) 8 1 (1 4 ln 9. a) 81 b) )π 4. a) 5 b) 14π 41. a) 16 b) n = x i y j+ k, käyräintegraalin arvo = 4x +4y +1 4. a) 16π b) 81π 15 m) = 45 5 K euroa
x y z KKOKOELM ÄLI- J LOPPUKOKEIIIN cos x = sin x = e x = cosh x = sinh x = ln(1 + x) = arc tan x = a = 1 π π x k k! = 1 + x + x! + x! +, x R ( 1) k x k (k)! ( 1) k x k+1 (k + 1)! = 1 x! + x4 4! x6 6! +, x R = x x! + x5 5! x7 7! +, x R x k (k)! = 1 + x! + x4 4! + x6 6! +, x R x k+1 (k + 1)! = x + x! + x5 5! + x7 7! +, x R 1 1 x = x k = 1 + x + x + x +, x < 1 ( 1) k x k+1 f(t) dt k + 1 ( 1) k x k+1 k + 1 = x x + x x4 4 +, x < 1 = x x + x5 5 x7 7 +, x < 1 (x) = a + [a k cos(kx) + b k sin(kx)] a k = 1 π π f(t) cos(kt) dt b k = 1 π π f(t) sin(kt) dt D(x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) [f xy (x, y)] = ρ sin θ cos φ ( = ρ sin θ sin φ (x, y, z) (ρ, θ, φ) = ρ sin θ Q P dx + Q dy = x P ) d y = ρ cos θ F (x, y, z) d = F (x, y, f(x, y)) 1 + [f x (x, y)] + [f y (x, y)] d F d x = F n d D( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) g (x)f(x) [g(x)] F n d = F d D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Dx n = nx n 1 D([f(x)] n ) = n[f(x)] n 1 f (x) De f(x) = e f(x) f (x) D ln f(x) = f (x) f(x) D arc tan x = 1 1 + x D sin x = cos x D cos x = sin x 1 x n dx = xn+1 + (n 1) n + 1 f (x)[f(x)] n dx = [f(x)]n+1 + (n 1) n + 1 f (x)e f(x) dx = e f(x) + sin x dx = cos x + dx = ln x + x f (x) dx = ln f(x) + f(x) dx = arc tan x + 1 + x cos x dx = sin x +