Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla. Vastaukset tehtävi käsitellää osi kertauslueolla, mutta kaikkii tehtävii tulee myös tukikurssi kotisivulle vastaukset. Koetehtävät ovat usei ollee harjoitustehtävie variaatioita. Harjoitustehtävät taas ovat käsitelleet pääosi) seuraavia aiheita:. Fuktiot eli kuvaukset): ijektiot, surjektiot ja bijektiot. Kääteisfuktiot. Määrittelyjoukot.. Relaatiot. 3. Iduktiotodistus. 4. Ratioaali- ja irratioaaliluvut. 5. Biomikaava. 6. Epäyhtälöt. Kolmioepäyhtälö. 7. Supremum ja imum. 8. Raja-arvot. Kuristusperiaate. 9. Jatkuvuus. Jatkuvie fuktioide omiaisuudet: e saavat suljetulla välillä maksimi ja miimi. 0. Potessifuktiot. Neperi luku e ja se esitys sarjaa.. Geometriset sarjat. Sarjoje suppeemie/hajaatumie. Majoratti/miorattiperiaate. Osamäärätesti. Itseie suppeemie.
Kaikkia äitä aihe-alueita ei tässä moisteessa käydä läpi. Aloitamme algebralla, koska usei kokeessa käy ii, että ymmärtää tehtävä idea mutta oma laskutekie osaamie ei vaa riitä. Kaikissa yllä luetelluilla aiheissa hyötyy suuresti algebra osaamisesta. Tarvittavat laskutekiikat yhtälöide ja epäyhtälöide pyörittämisee oppii kuiteki varsi opeasti. Kokeessa o siis oleellista osata. Maipuloida lausekkeita kute 7 5 + 7 6. Maipuloida epäyhtälöitä kute x <. Tämä moistee tehtävissä käytetää kaikissa jokilaista algebraa: esimerkiksi iduktiotehtävissä otetaa yleesä yhteisiä tekijöitä ja raja-arvotehtävissä usei osoittaja ja imittäjä kerrotaa jollaki luvulla. Kiiitä jokaise tehtävä kohdalla huomiota käytettyihi tekiikoihi, sillä iide osaamie o kokeessa erityise oleellista. Fuktiot Yleesä helpoimpia fuktiotehtäviä o laajimpie mahdolliste määrittelyjoukkoje etsimie. Harjoitus. Esitä seuraavie fuktioide laaji mahdollie määrittelyjoukko eli mahdollisimma suuri joukko A site, että f o fuktio A B jolleki maalijoukolle B): a) fx) = x b) fx) = /x c) fx) = x d) fx) = / x x + 5 e) fx) = x + 4 x + 4x + 4 f) fx) = x +
Ratkaisu: Tässä oleellista o muistaa, että ollalla ei saa jakaa ja että eliöjuuri ei ole määritelty egatiivisilla luvuilla. a) x o määritelty kaikilla reaaliluvuilla, jote A = R b) /x o määritelty kaikilla reaaliluvuilla paitsi ollalla, jote A = R \ {0} c) x o määritelty kaikilla ei-egatiivisilla reaaliluvuilla, jote A = R + {0} d) / x o määritelty kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla, jote A = R + e) x+5 x+4 o määritelty ku x 5 ja x 4 f) x +4x+4 x + o määritelty kaikilla reaaliluvuilla, koska x + 4x + 4 = x + ) 0 x R ja x + 0 x R. Usei tehtävää o todistaa tietty fuktio ijektioksi ja/tai surjektioksi. Jos fuktio o sekä ijektio, että surjektio, se o bijektio ja sillä o täte kääteiskuvaus. Jatkotehtävää o yleesä löytää tämä kääteiskuvaus. Harjoitus. Mitkä seuraavista fuktioista ovat ijektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole ijektio. a) fx) = x, f : R R b) fx) = x, f : R + R c) fx) = x, f : [ 3, 3] R d) fx) = x, f : R + R e) fx) = x 3, f : R R f) fx) = x /3, f : R R Ratkaisu: Se todistamie, että joki fuktio ei ole ijektio o usei helppoa: valitaa kaksi x-arvoa, joilla fuktio saa sama arvo. Se sijaa se todistamie, että joki fuktio o ijektio, o vaikeampaa. Pitää valita kaksi erisuurta x-arvoa x ja x, ja osoittaa että fuktio arvo o äissä pisteissä erisuuri. Ratkaisu: Se todistamie, että joki fuktio ei ole ijektio o usei helppoa: valitaa kaksi x-arvoa, joilla fuktio saa sama arvo. Se sijaa se todistamie, että joki fuktio o ijektio, o vaikeampaa. Pitää valita kaksi 3
erisuurta x-arvoa x ja x ja osoittaa että fuktio arvo o äissä pisteissä erisuuri. a) ei ole ijektio, sillä esimerkiksi f) = f ), vaikka. b) o ijektio. Tämä todistetaa seuraavasti: valitaa x x. Koska määrittelyjoukkoa o R +, sekä x, että x ovat positiivisia. Täte x + x 0, jote x x x x 0 x x )x + x ) 0 x x 0 x x c) ei ole ijektio samasta syystä kui a)-kohda fuktio. d) o ijektio. Tämä todistetaa seuraavasti: valitaa x x x x 0 x + x ) x x ) 0 x x 0 eli x x, sillä lausekkee x + x ) x x ) kummaki tekijä o oltava erisuuria kui olla, sillä muute koko lausekeki olisi olla. d), e) ja f) ovat ijektioita. Todistukset eteevät samaa mallii. Harjoitus 3. Mitkä seuraavista fuktioista ovat surjektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole surjektio. a) fx) = x, f : R R b) fx) = x, f : R R + c) fx) = x, f : R + R + d) fx) = x, f : R + R e) fx) = x 3, f : R R f) fx) = x /3, f : R R Ratkaisu: Fuktio o surjektio, jos jokaisella se maalijouko alkiolla y o joki alkio x lähtöjoukossa site että fx) = y. a) ei ole surjektio, sillä egatiivisilla alkiolla y ei ole alkiota x site että y = x. Se sijaa jokaisella ei-egatiivisella alkiolla y o joki alkio x eli alkio y) site että y = x. Täte b)-kohda fuktio o surjektio. Samoi c)-kohda fuktio. d)-kohda fuktio ei ole surjektio, koska sekää ei saa egatiivisia arvoja. Kohtie e ja f fuktiot ovat surjektioita. 4
Harjoitus 4. Muodosta yhdistetyt kuvaukset f g ja g f oleta, että määrittelyjoukot o rajattu site, että kyseiset kuvaukset ovat olemassa), ku: Ratkaisu: a) fx) = x 3, gx) = 5x b) fx) = x /3, gx) = x c) fx) = x + 6x +, gx) = x + d) fx) = x, gx) = /x a) f g = fgx)) = f5x) = 5x) 3 = 5x 3 g f = gfx)) = gx 3 ) = 5x 3 b) f g = fgx)) = f x) = x) /3 = x /6 g f = gfx)) = gx /3 ) = x /3 = x /6 c) f g = fgx)) = fx + ) = x + ) + 6x + ) + g f = gfx)) = gx + 6x + ) = x + 6x + ) + d) f g = fgx)) = f/x) = /x g f = gfx)) = gx) = /x Harjoitus 5. Osoita että seuraavilla fuktioilla f o kääteiskuvaus f x) todistamalla, että e ovat bijektioita eli ijektioita ja surjektioita). Etsi kyseie kääteiskuvaus. Tarkista että f f = x = f f eli että kyseiset yhdistetyt kuvaukset ovat idettisiä kuvauksia). a) fx) = x 3, f : R R b) fx) = x /3, f : R R c) fx) = /x, f : R \ {0} R d) fx) = x, f : R + R + e) fx) = x 3 + 0, f : R R Ratkaisu: Esitä tässä aioastaa kääteiskuvaukset. Bijektiivisyyde voi osoittaa todistamalla, että jokaisella y B o tasa yksi x A site, että fx) = y a)f x) = x /3 b)f x) = x 3 c)f x) = /x d)f x) = x e)f x) = x 0) /3 5
Harjoitus 6. Etsi mahdollisimma suuret reaaliakseli välit A ja B site, että fx) = x + 6x o ijektio A:ssa ja B:ssä. Ratkaisu: Ratkaistaa yhtälö y = x + 6x x: suhtee: y = x + 6x x + 6x y = 0 x = 6 ± 36 + 4y. Tällä o reaalisia ratkaisuja aioastaa, ku 36 + 4y 0 eli ku y 9. Tehtävä paraabeli fx) = x + 6x saavuttaa pohjasa kohdassa x = 3. Valitaa välit A ja B site, että x = 6 ± 36 + 4y o yksikäsitteie äillä väleillä. Ku x kuuluu välille, 3], o kyseie kuvaus yksikäsitteisesti: x = 6 36 + 4y Samoi jos x kuuluu välille 3, ), o kuvaus yksikäsitteie: x = 6 + 36 + 4y. Täte mahdollisimma laajat välit A ja B ovat : A =, 3], B = 3, ) 3 Iduktiotodistus Harjoitus 7. Todista iduktiolla, että kaikilla N Ratkaisu: + 3 + 3 4 + 4 5 + + + ) = +.. Ku =, = / eli kumpiki puoli ovat samoja, jote yhtälö pätee arvolla =. välii. Tai vastaavasti A =, 3), B = [3, ): tuo umero 3 voi kuulua kumpaa tahasa 6
. Oletetaa yhtälö todeksi arvolla. Päätellää tästä yhtälö todeksi arvolla + lisäämällä kummalleki puolelle termi ja sieve- +)+) tämällä vase puoli haluttuu muotoo: + 3 + 3 4 + 4 5 + + + ) = + + 3 + + + ) + + ) + ) = + + + ) + ) + ) + = + ) + ) = + + + ) + ) + ) = + ) + ) = + +, jote väite pätee arvolla +. Iduktio ojalla väite pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Harjoitus 8. Todista iduktiolla, että kaikilla N, + + 3 + + = + ). Ratkaisu:. Arvolla P ) o tosi, sillä yhtälö pätee tällä arvolla: vasemmalle puolelle jää ja oikealle puolelle + )/ =.. Oletetaa että yhtälö pätee arvolla. Tällöi + + 3 + + = + ). Lisätää kummalleki puolelle +, ja muokataa yhtälö oikeaa puol- 7
ta: + ) + + 3 + + + + = + + + ) + ) = + + ) + + ) = + ) + ) =, jote väite pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Harjoitus 9. Todista iduktiolla, että kaikilla N, Ratkaisu: <. Ku =, <, eli väite pätee.. Tehdää iduktio-oletus: < o tosi. Iduktioväite: + < + Eli meidä pitää päätellä oletuksesta < väite + < +. Aloitetaa muokkaamalla epäyhtälö oikea puoli haluttuu muotoo Tämä tapahtuu kertomalla kumpiki puoli kahdella: < < +. Iduktioväite o todistettu, jos voidaa päätellä, että +, koska tällöi + < + + < +. Väite + o helppo todistaa: väheetää kummaltaki puolelta ja saadaa mikä o selkeästi tosi, sillä kuuluu luoollisii lukuihi. Täte väite o todistettu. Harjoitus 0. Todista iduktiolla, että kaikilla N, + + 3 + + + ) + ) =. 6 Harjoitus. Todista iduktiolla, että kaikilla N, + + 4 + 8 + + = Harjoitus. Todista iduktiolla, että kaikilla N, 3 + 3 + 3 3 + + 3 = + ). 4 8
4 Kolmioepäyhtälö Harjoitus 3. Kolmioepäyhtälö kertoo, että a+b a + b. Todista tämä avulla, että a b a c + b c Mitä tämä tarkoittaa ituitiivisesti, ku itseisarvo tulkitaa etäisyyteä? Ratkaisu. Tässä tehtävässä o ideaa lisätä c c eli olla tuoho itseisarvo sisälle ja soveltaa kolmioepäyhtälöä; a b = a c + c b a c + c b = a c + b c Tämä voi tulkita site, että kahde pistee a ja b etäisyys a b o pieempi kui etäisyys kuljettua pistee c kautta eli a c + b c joka o siis etäisyys a:sta c:he plus etäisyys c:stä b:he. Harjoitus 4. Osoita, että a + b + c a + b + c Ratkaisu. Kolmioepäyhtälöä voi soveltaa suoraa lukuihi a + b ja c: a + b + c a + b + c. Nyt sovelletaa kolmioepäyhtälöä toise kerra: Lisäksi b b, jote a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c 5 Raja-arvoja Harjoitus 5. Laske raja-arvo x ) x 3 x Ratkaisu: Tässä käytetää kahta algebra kaavaa: a b = a b)a+b) ja a 3 b 3 = a b)a + ab + b ). Näide aktiivie osaamie kokeessa o oleellista. 9
x ) x 3 x x Harjoitus 6. Laske raja-arvo ) x 3 x )x + ) ) x )x + x + ) x x )x + ) ) x + x + ) = 3/. x x + ) x 9 ) x 8 x 3 Ratkaisu: Tämä o vähä edellistä vaikeampi: yt kaavaa a b = a b)a + b) käytetää kahtee otteesee: ) ) x 8 x 9)x + 9) x 9 x 3 x 9 x 3 ) x 3) x + 3)x + 9) x 9 x 3 ) x + 3)x + 9) x 9 Harjoitus 7. Laske raja-arvo = 6 8 = 08 x ) x 4 6 x Ratkaisu: Jällee käytetää kaavaa a b = a b)a + b) kahdesti: x ) x 4 6 x x ) x 4)x + 4) x ) x )x + )x + 4) x x ) x + )x + 4) = 3 x 0
Harjoitus 8. Laske raja-arvo + ) 3 Ratkaisu. Huomataa, että raja-arvo muistuttaa Neperi luvu e määritelmää. Muokataa lauseketta: + 3 + ) ) ) 3 = = e 3. + ) ) 3 Huomaa, että tässä raja-arvo otettii ulkofuktio gx) = x 3 sisältä. Koska tämä fuktio o jatkuva, ii raja-arvo saa ottaa tällä tavalla fuktio sisältä. Lisäksi käytettii algebra tulosta, joka mukaa x ab = x a ) b. Harjoitus 9. Laske raja-arvo + 7 ) 3 Ratkaisu. Huomataa, että jällee raja-arvo muistuttaa Neperi luvu e määritelmää: + 7 ) 3 + /7 = /7 + ) 3 ) ) 3 /7 + ) ) /7 3 7 /7 = e) 3 7 = e 8 /7 + ) ) /7 3 7 /7 + ) ) /7 3 7 /7
Huomaa, että tässä otettii jällee raja-arvo ulkofuktio sisästä. Lisäksi käytettii tietoa, joka mukaa silloi ku kasvaa rajatta eli ii myös /7 kasvaa rajatta eli /7. Harjoitus 0. Laske raja-arvo + Ratkaisu. Tässä tehtävässä imittäjä o. Kirjoitetaa lauseke siis muodossa. + Nyt osoittajassa o erotus a b. Kerrotaa yt osoittaja ja imittäjä summalla a + b, jolloi voidaa hyödytää kaavaa a b)a + b) = a b : + + ) + + ) + + ) + ) + + ) + ) + + ) + + ) + /) + ) + / + ) + / + ) = / + / + Tässä siis pyrittii löytämää yhteisiä tekijöitä imittäjästä ja osoittajasta. Tekijä saatii yhteiseksi tekijäksi. Huomaa erityisesti kuika otettii ulos eliöjuuresta. 6 Sarjoja Oleellista o osata geometriset sarjat ja mioratti- ja majorattiperiaate. Itseistä suppeemista voi joutua käyttämää. Huomaa, että etsittäessä mi-
orattisarjaa, o kyseie miorattisarja yleesä = Vastaavasti etsittäessä majorattisarjaa, o tämä sarja yleesä joki suppeeva geometrie sarja. Harjoitus. Mitkä seuraavista ovat geometrisia sarjoja? Jos kyseessä o geometrie sarja, mikä o se suhdeluku?. a) + + 3 + 4 + 5 + b) + 4 + 6 + 64 + c) + / + /4 + d) / + /4 /8 + e) x + x ) + x ) + 3 Ratkaisu: Kaikki muut paitsi a) ovat geometrisia sarjoja. Suhdeluvut: b) : 4, c) : /, d) : /, e) : /x ). Harjoitus. Mikä o geometrise sarja summa? + / + /4 + = =0 ) Ratkaisu: Geometrise sarja summa o esimmäie termi A jaettua q:lla, jossa q o suhdeluku. A = ja q = /, jote kyseie summa o / /)) = Harjoitus 3. Mikä o geometrise sarja summa? / + /4 = =0 ) Ratkaisu: A = ja q = /, jote kyseie summa o / /)) = /3 3
Harjoitus 4. Millä x: arvoilla suppeee? x + x ) + 3 x ) + 5 Ratkaisu: Kirjoitetaa lauseke esi geometrise sarja kaavamuodossa: x + x ) + 3 x ) + = ) i 5 x x ) Kyseessä o siis geometrie sarja. Geometrie sarja suppeee ku se suhdeluku o itseisarvoltaa pieempi kui yksi. Eli ku x ) < < x ) x > tai x < 0 Harjoitus 5. Esitä, kahde kokoaisluvu osamäärää. Ratkaisu:, = +/0+/00 = i=0 i=0 ) i = 0 /0 = /9/0) = 0/9 Harjoitus 6. Keksi itse geometrie sarja, joka summa o a) 0 b) e. Harjoitus 7. Suppeeeko vai hajaatuuko + = Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi: Sarja + > =. = o puolestaa harmoie sarja joka hajaatuu. Miorattiperiaattee ojalla + hajaatuu. = 4
Harjoitus 8. Suppeeeko vai hajaatuuko = 4 + Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi 4 + < 4, joka o geometrise sarja yleie termi. = 4 = /4 /4 = /3 eli kyseie sarja suppeee, jote majorattiperiaattee ojalla myös suppeee. = 4 + Harjoitus 9. Suppeeeko vai hajaatuuko =! + Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi se imittäjässä o kertoma!, mikä viittaisi että voimme ehkä verrata tätä sarjaa Tästä seuraa, että =0 =0! = e.! = e. Huomataa vielä että tehtävä sarja jokaie termi o pieempi kui tuo sarja =0 = e vastaava termi. Eli! Lisäksi =! = e, koska 0! =. 5
! + <!, = = jote sarja suppeee majorattiperiaattee ojalla. Harjoitus 30. Kehitä itse oma majorattiperiaatetehtävä ja miorattiperiaatetehtävä. Tämä o yllättävä helppoa, majorattiperiaattee tapauksessa tämä eteee seuraavasti:. Etsi sarja joka tiedä suppeeva.. Lisää imittäjää joki vakio tai väheä osoittajasta joki vakio, jolloi saat uude sarja, joka jokaie termi o pieempi kui aikaisemma suppeeva sarja vastaava termi. Miorattiperiaattee tapauksessa etsit sarja, joka haatuu ja muokkaat tästä uude sarja joka jokaie vastaava termi o suurempi kui tämä hajaatuva miorattisarja. 6