YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA suppean suhteellisuusteorian yleistys mielivaltaisiin, ei-inertiaalisiin koordinaatistoihin teoria painovoimasta lähtökohta: periaatteessa kahdenlaisia massoja F mia hidas, inertiaalinen massa GM r G F Einstein: oletetaan m G e r mg m I painava massa putoaminen ei riipu massasta GM r a G e r 1
http://arhive.nsa.uiu.edu/ painovoimaa ja kiihtyvyyttä ei voi erottaa toisistaan Einstein: elämäni onnellisin ajatus vapaassa pudotuksessa henkilö ei tunne omaa painoaan
paikallinen (hetkellinen) inertiaalijärjestelmä v(t) v(t+δt) lokaalisti ei painovoimaa vapaa pudotus v(t+nδt) gravitaatio valevoima : koordinaattiefekti 3
maan pinta gravitaatio valitsee koordinaatiston sähkömagneettiset voimat 4
voimalta näyttää - tässä koordinaatistossa ei voimia vahva ekvivalenssiperiaate: painovoima eliminoituu paikallisessa inertiaalijärjestelmässä kaikissa vuorovaikutuksissa suppea suhteellisuusteoria aina voimassa paikallisesti (hetkellisesti) 5
heuristinen tarkastelu: ekvivalenssiperiaate a la suppea suhteellisuusteoria g potentiaali h fotoni V a g x V gh V 0 V gh fotoni osuu pohjaan ajassa h/ toisaalta pohja liikku nopeudella v = gt = gh/ fotoni saapuu pohjalle ajassa t ' t t t vt gh h gh 3 V h 1 gh myös Maan gravitaatiopotentiaalissa = gravitaation aiheuttama muutos kellon käymiselle 6
KAKSOSPARADOKSI a la EKVIVALENSSIPERIAATE huomioidaan nyt kiihtyvyyden vaikutus käyttämällä ekvivalenssiperiaatetta d A B menomatkalla B:n koordinaateissa paluumatka: t t 1 t A t v A B B d v t A B jarruttaa ja kiihdyttää määränpäässä vakiokiihtyvyydellä g 1 t B 1 1 v d v B kokee kiihtyvyden g, joten A:n kello edistää tekijällä gd/ ajan Δt turn gt turn v kiihtyvyys kumoutuu! t A t B vd gd t turn gd v g vd ( 1) t B 7 OK
Jos gravitaation olemassaolo riippuu koordinaatistosta gravitaatio avaruuden ominaisuus PÄÄTELLÄÄN: Gravitaatio riippuu massasta avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta suppea suhteellisuusteoria: massa on energiaa avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta ja energiasta suppea suhteellisuusteoria: aika ja avaruus naimisissa ajan ja avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta ja energiasta 8
Yleisen suhteellisuusteorian dynaaminen aika-avaruus Aika ja avaruus eivät ole kiinteitä vaan muodostavat dynaamisen näyttämön, jonka paikalliseen muotoon ( käyristymiseen ) massa ja energia vaikuttaa Massa ja energia määräävät, miten aika-avaruuden sisäisen rakenteen tulee käyristyä Avaruus määrää, miten kappaleet liikkuvat; nämä määräävät, miten avaruus käyristyy = takaisinkytkentä 9
MITKÄ OVAT HYVÄKSYTTÄVIÄ KOORDINAATISTOJA? YLEINEN SUHTEELLISUUSPERIAATE: kaikki! Kaikki matemaattisesti säännölliset koordinaatistot ovat yhdenvertaisia Suppea suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa x x = L(v) x Lorentz-muunnos Yleinen suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa koordinaatistoissa x x = G(x) Yleinen koordinaattimuunnos 10
MITEN NIIN KAAREVA? formaalisti: d analogia d y x ylimääräistä ulottuvuutta, jonne kaareutuminen tapahtuu, ei oikeasti ole olemassa avaruuden metriset ominaisuudet ei-triviaalit avaruudella sisäinen rakenne voidaan formaalisti ilmaista käyristymisenä 11
suoraviivainen liike käyristyneessä avaruudessa näyttää käyräviivaiselta liikkeeltä suoraviivaisissa koordinaateissa geodeetti paikallisesti Minkowski suppea suhteellisuusteoria voimassa paikallisesti 1
yleinen suhteellisuusteoria painovoima = avaruuden käyristyminen Einstein 1916 massa, energia välimatkat, kellojen käynti 13
MINKOWSKI: ds dt dx dy dz kiinteä avaruus-aika YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA avaruusaika on dynaaminen ds 3 g, 0 g 00 dx 0 ( t, x) dx dx 0 g 01 dx dx 0 dx g 1 dx dx... g 33 dx 3 dx 3 yleinen mv. koordinaatisto g ( t, x) metriikka, metrinen perustensori: 4 4 matriisi tuntematon funktio, joka pitää ratkaista liikeyhtälöistä g ( t, x) g ( t, x) yleisen suhteellisuusteorian metriikka symmetrinen 10 tuntematonta funktiota 14
4-ulotteisen avaruuden aika- ja avaruusintervallien mittaukset riippuvat paikasta ja ajasta sekä massaenergiasta, joka määrittää avaruuden muodon ds g t,x dx dx t 1,x 1 15
MIKÄ MÄÄRITTÄÄ METRIIKAN liikeyhtälöt = Einsteinin kenttäyhtälöt muotoa GEOMETRIA g g [ g ] DYNAMIIKKA [ AINE, ENERGIA ] [ E, p] kenttä MITKÄ SITTEN OVAT KENTTÄYHTÄLÖT? 16
17 NEWTON r GM V V m m a F gravitaatiopotentiaali hek: r z y x z y x r GM r GM r z y x GM V jne r x z y x x z y x x r x r z y x GM V e r e e e e e e 3 3 3 3/ 1 1 ] [. ) ( 1 1 1 gravitaatio- laki OK
jos pistemäisen massan sijasta meillä on massajakauma M M ( r) ( r) V tilavuus 4r 3 3 tämä steppi edellyttää ei-triviaalia matematiikkaa vakiotiheydelle 1 3GM V V GM 4G 3 x y z r r V 4G Poissonin yhtälö ei Lorentz-kovariantti: arvo muuttuu siirryttäessä koordinaatistosta toiseen 18
Miten siis yleistetään? 1 t? vrt. aaltoyhtälö ei riitä: Poissonin yhtälön oikea puoli ei sekään ole Lorentz-kovariantti ' M V / Lorentz-kontraktio liikkeen suunnassa v=0 v0 yleistys on monimutkainen! (ja vei Einsteinilta 9 vuotta löytää) 19
V T G Einsteinin tensori metriikan funktio energia-impulssitensori riippuu aineen ominaisuuksista 8 G 4 G T Einsteinin yhtälö tunnetaan kun aine tunnetaan. kertaluvun differentiaaliyhtälö metriikan komponenteille g 10 yhtälöä ratkaistaan metriikka g (t,x) kun aine tunnetaan MASSAENERGIA MÄÄRÄÄ AVARUUDEN GEOMETRIAN 0
ESIMERKKI ideaalikaasu = lämpötasapainossa oleva kaasu paine p, energiatiheys esim varhainen maailmankaikkeus energia-impulssitensori tunnetaan myös massaenergia (E=m ) Einsteinin yhtälöt ovat G G G 00 ii 8G 4 8G p i 4 0 1,,3 statistinen fysiikka tilanyhtälö esim relativistinen (v ~ ) kaasu p 1 3 1
kun v << G 8 T V G 4 Einstein Poisson OK G 4 Massa ja energia käyristävät avaruutta. Mutta entä kun ollaan kaukana massoista? g = Minkowski + pieni häiriö = + h Einsteinin yhtälöt aaltoyhtälö 1 t h 0 pienet avaruusajan häiriöt etenevät aaltoina, joiden nopeus on valon nopeus = gravitaatioaallot kuljettavat energiaa
epäsuora havaitseminen staattinen tähti staattinen avaruusaika sopiva liike väreitä avaruusaikaan kuva: NASA kaksoistähti 3
Kaksoispulsari PSR 1913+16 (1973) Hulse & Taylor: Nobel 1993 Taylor, J.H., Fowler, L.A. and Weisberg, J.M. 1979, Nature 77, 437 4
ASYMMETRISET ILMIÖT GRAVITAATIOAALTOJA törmäykset: neutronitähdet, mustat aukot supernovaräjähdykset galaksiräjähdykset jne ohimenevä metristen ominaisuuksien muutos: kellojen käynti, pituusmittaus valonsäde gravitaatioaalto avaruusaika paikallisesti Minkowski (esim. maapallolla sijaitsevan mittalaitteen ympäristössä voidaan periaatteessa havaita maapallolla 5
avaruusaika on jäykkää pieni efekti kahden valkoisen kääpiön muodostama systeemi n. 150 valovuoden etäisyydellä gravitaatioaaltoja, jotka muuttavat etäisyyksiä tekijällä 10-10 m miten mitata? esimerkki: peili gravitaatioaalto interferenssikuvio muuttuu kun valonsäteen kulkuaika muuttuu 6
LIGO Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory, USA ~4 km laitetta: Washington ja Louisiana, etäisyys 3000 km 7
gravitaatioaalto havaittu: vuoden 016 suuri uutinen Kahden mustan aukon syhtyminen 1.3 mrd valovuoden etäisyydellä M 1 = 36 M sun, M = 9 M sun M = 6 M sun gravitaatioaaltoina säteiltiin pois E = 3 M sun signaali: 0. s teho: 4 10 49 W = 50 havaittavan universumin tähdet 8
9
30
LISA Laser Interferometer Spae Antenna NASA+ESA http://lisa.nasa.gov/ 3 satelliittia lentää muodostelmassa, etäisyys ~5 miljoonaa km laukaisu 030? 31