MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt

MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt Antti Rasila 2016

Vektorit Pysty- eli sarakevektori v = ( v1 v 2 ), missä v 1, v 2 ovat v:n komponentit. Yhteenlasku ( ) ( ) ( ) v1 w1 v1 + w v =, w = ; v + w = 1 v 2 w 2 v 2 + w 2 Esim. v = ( ) 1, w = 2 ( ) 3 ; v + w = 4 ( ) 1 + 3 = 2 + 4 ( ) 4. 6 Matriisilaskenta 2/6

Vektorit Vektorin kertominen skalaarilla: ( ) 2v1 2v = ; w = 2v 2 ( w1 w 2 Näin saadaan vektorien vähennyslasku v w = v + ( 1)w. Huomaa, että v v = v + ( 1)v = 0, missä 0 on vektori, jonka kaikki komponentit ovat nollia. Esim. v = ( ) 1, w = 2 ( ) 3 ; 2v w = 4 ) ( ) 2 1 3 = 2 2 4 ( ) 1. 0 Matriisilaskenta 3/6

Lineaariyhdistelyt Vektoreiden v ja w lineaariyhdistely on lauseke muotoa cv + dw, missä c ja d ovat skalaareja. Olkoon joukko x = {x 1,..., x m } (vektoreita) ja vastaavasti a = {a 1,..., a m }, m 1 (skalaareja). Eräs lineaariyhdistely on tällöin y = m a j x j. j=1 Matriisilaskenta 4/6

Vektorit lukiossa ja tällä kurssilla Matriisilaskun vektorit eroavat ns. fysikaalisista vektoreista, koska origo on aina kiinnitetty ja sitä esittää jo edellä nähty nollavektori. Geometria: Vektorin komponenttien lukumäärä on sen dimensio. Koulugeometria käsittelee vektoreita, joiden komponenttien lukumäärä on kaksi tai kolme, mutta osoittautuu, että on mielekästä tarkastella myös korkeampia dimensioita. Matriisilaskenta 5/6

Lineaariyhdistelyt Olkoot u, v, w avaruuden vektoreita. Lineaariyhdistelyillä a cu b cu + dv c cu + dv + ew on geometriset tulkinnat, kun tarkastellaan kaikkien lineaariyhdistelyiden joukkoa. Saadaan a) suora, b) taso, c) avaruus (3D). Matriisilaskenta 6/6

Matriisilaskenta Luento 2: Vektorien sisätulo, pituus ja yhtälöryhmät Antti Rasila 2016

Piste- eli sisätulo 1/2 Vektoreiden v = v 1 w 1 + v 2 w 2. ( v1 v 2 ) ja w = Jos sovitaan, että vektori i = kirjoittaa ( ) v1 v = = v 1 i + v 2 j. v 2 ( w1 w 2 ) ( ) 1 ja j = 0 sisätulo on luku ( ) 0, niin voidaan 1 Matriisilaskenta 2/9

Piste- eli sisätulo 2/2 Tällöin sisätulo voidaan merkitä tutusti Dimensiossa n: Esim. v = ( ) 1, w = 3 v w = v 1 w 1 + v 2 w 2. v w = n v j w j. j=1 ( ) 2 ; v w = 1 2 + 3 4 = 14. 4 Matriisilaskenta 3/9

Vektorin pituus eli normi 1/2 Vektorin v pituus v määritellään sisätulon avulla: v = v v. Yksikkövektorin u pituus on yksi, tällöin u u = 1. Vektorin v suuntainen yksikkövektori on v v. Esim. ( ) 1 v = ; v = v v = 1 1 + 3 3 = 10, 3 v v = 1 ( ) 1. 10 3 Matriisilaskenta 4/9

Vektorin pituus eli normi 2/2 Yksikköympyrä tasossa u i = cos θ u j = sin θ Matriisilaskenta 5/9

Vektoreiden välinen kulma 1/2 Vektoreiden kohtisuoruus Kaksi vektoria v ja w ovat keskenään kohtisuorassa, jos niiden sisätulo on nolla, eli v w = 0. Kosinikaava v w v w = cos θ Kosinikaavan avulla saadaan kaksi epäyhtälöä: Schwarzin epäyhtälö: v w v w Kolmioepäyhtälö: v + w v + w Matriisilaskenta 6/9

Vektoreiden välinen kulma 2/2 Todistus (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v v + 2v w + w w = v 2 + 2v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2. Matriisilaskenta 7/9

Yhtälöpari: esimerkki Tarkastellaan lineaarista yhtälöparia { 4x1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 5 Ratkaistaan yhtälöpari käyttämällä yhteenlaskumenetelmää. Kerrotaan alempi yhtälö 2:lla ja lasketaan yhtälöt yhteen: { 4x1 2x 2 = 2 2x 1 + 2x 2 = 10 Matriisilaskenta 8/9

Esimerkki jatkuu Saadaan 6x 1 = 12 x 1 = 2. Sijoittamalla tämä arvo alempaan yhtälöön saadaan 2 + x 2 = 5 x 2 = 3. Yhtälöparin ratkaisu on siis ( ) ( ) x1 2 =. 3 x 2 Huomaa, että kumpikin esimerkin yhtälö kuvaa suoraa tasossa R 2, ja yhtälöparin ratkaisu (x 1, x 2 ) on suorien leikkauspiste. Yleisemmin, yhtälöparilla voi olla joko 0 (kaksi samansuuntaista suoraa), 1 (kaksi leikkaavaa suoraa) tai äärettömän monta (päällekkäiset suorat) ratkaisua. Matriisilaskenta 9/9

Matriisilaskenta Luento 3 : Matriisi, lineaarinen riippumattomuus ja yhtälöryhmät matriisimuodossa Antti Rasila 2016

Matriisi Aiemmin on jo havaittu, että avaruus tulee viritettyä kolmella vektorilla, eli kolmen vektorin kaikki lineaariyhdistelyt tuottavat kaikki avaruuden pisteet eli vektorit. Huomaa, että ilmeisesti jotain on vaadittava valituilta vektoreilta! Matriisilaskenta 2/1

Matriisi - esimerkki Olkoon 1 0 0 u = 1, v = 1, w = 0, 0 1 1 jolloin lineaariyhdistelyt ovat muotoa cu + dv + ew: 1 0 0 c c 1 + d 1 + e 0 = d c. 0 1 1 e d Kirjoitetaan laskutoimitus matriisimuotoon Ax, missä A on vektoreiden u, v, w muodostama matriisi ja x on vektori, jonka komponentit ovat skalaarit c, d, e. Matriisilaskenta 3/1

Matriisi-vektoritulo Matriisi-vektoritulo c Ax = (u v w) d = cu + dv + ew. e Matriisilaskenta 4/1

Matriisi-vektoritulo: esimerkki Edellinen esimerkki 1 0 0 c c 1 1 0 d = d c 0 1 1 e e d Vaihtoehtoinen laskutoimitus: 1 0 0 c (1, 0, 0) (c, d, e) c 1 1 0 d = ( 1, 1, 0) (c, d, e) = d c 0 1 1 e (0, 1, 1) (c, d, e) e d -rivien ja vektorin sisätulot. Matriisilaskenta 5/1

Lineaarinen riippumattomuus ja riippuvuus Lineaarinen riippumattomuus Olkoot x 1,..., x m vektoreita ja a 1,..., a m tuntemattomia skalaareja. Vektorit x j ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälön m a j x j = 0 j=1 ainoa ratkaisu on a 1 =... = a m = 0. Jos muita ratkaisuja on olemassa, ovat vektorit lineaarisesti riippuvia. Tulkinta: Jos A:n sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia, niin Ax = 0 x = 0. A on säännöllinen. Muutoin A on singulaarinen. Matriisilaskenta 6/1

Yhtälöpari matriisimuodossa Edellisen luennon yhtälöpari voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa Ax = b, missä ( ) ( ) ( ) 4 2 x1 2 A =, x =, ja b =, 1 1 5 x 2 x 2 eli ( ) ( ) 4 2 x1 = 1 1 ( ) 2. 5 Matriisilaskenta 7/1

Yhtälöryhmä Vastaavasti 3:n muuttujan yhtälöryhmä x + 2y + 3z = 6 2x + 5y + 2z = 4 6x 3y + z = 2 voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Ax = b seuraavasti 1 2 3 x 6 2 5 2 y = 4. 6 3 1 z 2 Matriisilaskenta 8/1

Yhtälöryhmien geometria Geometriassa: { 4 2y = 2 x + y = 5 x + 2y + 3z = 6 2x + 5y + 2z = 4 6x 3y + z = 2 ; Kahden suoran leikkaus yhdessä pisteessä ; Kolmen tason leikkaus yhdessä pisteessä Yhtälöryhmillä on siis mitä ilmeisimmin joko nolla, yksi tai äärettömän monta ratkaisua. Toinen tulkinta ratkaisulle: Kerroinmatriisin sarakkaiden lineaariyhdistely, missä skalaarit on etsittävä. Huomaa, että ratkaisujen mahdolliset lukumäärät ovat samat! Matriisilaskenta 9/1

Identiteettikuvaus Maailman helpoin tehtävä: Ix = b; 1 0 0 x b 1 0 1 0 y = b 2. 0 0 1 z b 3 Matriisi I on identiteettikuvaus, pätee Ix = x kaikille x. Matriisilaskenta 10/1

Kolmiomatriisit Alakolmiomatriisi: Yläkolmiomatriisi: ( ) ( ) 1 0 x = 1 1 y ( ) ( ) 1 1 x 0 2 y = ( ) 1 ; 2 ( ) 0. 2 Matriisilaskenta 11/1

Matriisilaskenta Luento 4: Eliminaatio matriiseilla Antti Rasila 2016

Gaussin eliminaatio Havaintoja: { x 2y = 1 3x + 2y = 11 ; ( ) ( ) 1 2 x 3 2 y Yhtälöiden järjestyksellä ei ole väliä. = ( ) 1 11 Yhtälön kertominen puolittain tai niiden yhteenlasku ei muuta ratkaisua. (Tavoite): Gaussin eliminaatio Laaditaan algoritmi, joka saattaa alkuperäisen tehtävän yläkolmiomuotoon. Matriisilaskenta 2/1

Rivioperaatio 1/4 Kerrotaan eliminoitavan tuntemattoman riviä skalaarilla ja lasketaan kaksi yhtälöä yhteen. Skalaari valitaan siten, että summeeratussa yhtälössä eliminoitavan tuntemattoman kerroin on nolla. ( 1 2 ) 1 3 2 11 3 + ( 1 2 ) 1 0 8 8 Matriisilaskenta 3/1

Rivioperaatio 2/4 Ylläoleva merkintä tarkoittaa: 3(x 2y) + 3x + 2y = 3 1 + 11 8y = 8 Ensimmäinen tuntematon eli x ei ole enää mukana yhtälössä eli se on eliminoitu. Luku 1 on ns. tukialkio (engl. pivot). Haluamme korvata luvun 3 nollalla, joten skalaariksi valitaan 3 1. Matriisilaskenta 4/1

Rivioperaatio 3/4 2 4 2 x 2 4 9 3 y = 8 2 3 7 z 10 2 4 2 2 2 4 9 3 8 + 2 3 7 10 + 2 4 2 2 0 1 1 4 0 0 4 8 2 4 2 2 0 1 1 4 0 1 5 12 x = 1 y = 2 z = 2 1 + Matriisilaskenta 5/1

Rivioperaatio 4/4 Huomaa, että tukialkiot voi lukea yläkolmiomatriisin lävistäjältä! Alkuperäinen tehtävä Ax = b on saatettu Gaussin algoritmilla muotoon Ux = c. Matriisilaskenta 6/1

Yleinen tapaus: Yhdensuuntaiset suorat ( 1 2 ) 1 3 6 11 Huom! 0 ei voi olla tukialkio. 3 + ( 1 2 ) 1 0 0 8 Viimeinen yhtälö on epätosi, yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Matriisilaskenta 7/1

Yleinen tapaus: Päällekkäiset suorat ( 1 2 ) 1 3 6 3 3 + ( 1 2 ) 1 0 0 0 Viimeinen yhtälö on tosi, y:n voi valita vapaasti. Matriisilaskenta 8/1

Yleinen tapaus: Järjestyksen vaihto ( ) 0 2 4 3 2 5 ( 3 2 ) 5 0 2 4 Matriisilaskenta 9/1

Matrisiin ja vektorin tulosta Matriisivektoritulo saa kaksi muotoa: n Ax = c, c = x i a i (Sarakkaiden lineaariyhdistely) m 1 c i = i=1 n α ij x j j=1 (rivin i ja vektorin sisätulo) ( ) ( ) ( ) α11 α 2 2 : 12 x1 α11 x = 1 + α 12 x 2 α 21 α 22 x 2 α 21 x 1 + α 22 x 2 ( ) ( ) α11 α12 = x 1 + x α 2. 21 α 22 Matriisilaskenta 10/1

Matriisien tulo A m n Vaihtoehtoisesti: B = (Ab 1 Ab 2... Ab p ) = C n p m p C = (γ ij), γ ij = m p n α ik β kj. k=1 Lause: Matriisien tulo on assosiatiivinen A(BC) = (AB)C, mutta ei vaihdannainen AB BA (yleisesti). Huomaa! (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 (yleisesti). Matriisilaskenta 11/1

Permutaatiomatriisi Esim. 1 0 0 P 23 = 0 0 1 ; 0 1 0 1 1 P 23 2 = 3 3 2 P 23 vaihtaa oikeanpuoleisen matriisin rivit 2 ja 3 tulossa P 23 A. Matriisilaskenta 12/1

Matriisilaskenta Luento 5: Matriisien laskulait Antti Rasila 2016

Yhteenlasku Vaihdannaisuus: Osittelulaki: Liitännäisyys: A + B = B + A c(a + B) = ca + cb A + (B + C) = (A + B) + C Matriisilaskenta 2/1

Tulo (ei yleensä vaihdannainen) Vasen osittelulaki: C(A + B) = CA + CB Oikea osittelulaki: (A + B)C = AC + BC Liitännäisyys: A(BC) = (AB)C Matriisilaskenta 3/1

Tulon eksponenttilait neliömatriiseille Neliömatriiseille A on voimassa matriisien tulon eksponenttilait: m m A p = AA... A }{{} p kpl A p A q = A p+q (A p ) q = A pq Matriisilaskenta 4/1

Matriisilaskenta Luento 6: Käänteismatriisi Antti Rasila 2016

Käänteismatriisin määritelmä Määritelmä: Matriisi A n n on säännöllinen, jos on olemassa matriisi A 1 s.e. A 1 A = I. Matriisilaskenta 2/1

Havaintoja 1/3 Havaintoja: i A 1 on olemassa, jos ja vain jos eliminaatiossa löytyy n tukialkiota. ii A 1 on yksikäsitteinen. iii Jos A on säännöllinen, yhtälöryhmän Ax = b ratkaisu on yksikäsitteinen x = A 1 b. Matriisilaskenta 3/1

Havaintoja 2/3 iv Jos on olemassa x 0 s.e. Ax = 0, niin A ei ole säännöllinen v ( ) 1 a b = c d Huomaa! ad bc 0. 1 ad bc ( d ) b c a Matriisilaskenta 4/1

Havaintoja 3/3 vi Lävistäjä- eli diagonaalimatriisin käänteismatriisi on olemassa, jos lävistäjäalkiot ovat erisuuria kuin nolla. d 1 0 d 2 A =... = diag(d 1,..., d n ) 0 d n 1 d 1 0 1 A 1 d = 2.... 0 1 d n Matriisilaskenta 5/1

Tulon käänteismatriisi Tulon käänteismatriisi: (AB) 1 = B 1 A 1 (AB)(AB) 1 = ABB 1 A 1 = I. Matriisilaskenta 6/1

Matriisilaskenta Luento 7: Gaussin-Jordanin menetelmä Antti Rasila 2016

Gaussin-Jordanin menetelmä 1/5 Idea: Etsi X s.e. A X = I. Sarakkeittan n n n n n n A(x 1... x n ) = (e 1... e n ), missä e i :t ovat luonnolliset kantavektorit. Havainto: Eliminaatio ratkaisee n yhtälöryhmää yhtä aikaa! Edellisen nojalla X = A 1, jos olemassa. Matriisilaskenta 2/7

Gaussin-Jordanin menetelmä 2/5 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 2 + 2 1 0 1 0 0 3 0 2 1 1 2 1 0. 0 0 4 3 2 1 0 1 0 0 3 0 2 1 1 2 1 0 0 1 2 0 0 1 1 3 2 3 1 Jordan: Vaihdetaan eliminaation suuntaa! 2 3 + Matriisilaskenta 3/7

Gaussin-Jordanin menetelmä 3/5 Siinä missä eliminaatio alaspäin eliminoi tuntemattomia, eliminaatio ylöspäin sijoittaa tuntemattomien arvoja edellisiin yhtälöihin. Kaksi vaihtoehtoa: a Jaetaan vasemmalle lävistäjälle identiteetti, ja sen jälkeen eliminoidaan ylöspäin. b Ensin ylöspäin eliminointi, sitten normeeraus. Kirjassa valittu b): Jatketaan esimerkkiä: Matriisilaskenta 4/7

Gaussin-Jordanin menetelmä 4/5 2 1 0 1 0 0 3 0 2 1 1 2 1 0 + 4 1 2 3 0 0 3 3 3 1 4 3 1 2 0 0 2 1 2 1 0 3 3 3 3 2 0 4 2 4 2 3 4 1 2 0 0 3 3 3 1 3 4 1 0 0 3 1 1 4 2 4 0 1 0 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 3 4 2 4 + 2 3 Matriisilaskenta 5/7

Gaussin-Jordanin menetelmä 5/5 Saatiin siis 1 0 0 I = 0 1 0 ; A 1 = 0 0 1 3 1 4 2 1 2 1 1 1 4 2 1 4 1 2 3 4 Matriisilaskenta 6/7

Terminologiaa i A on symmetrinen: A = (α ij ), α ij = α ji ; A 1 on symmetrinen. ii A on tridiagonaalimatriisi (kolme lävistäjää). Huomaa! A 1 ei ole tridiagonaalimatriisi. iii Tukialkioiden tulo 2 3 2 4 3 = 4 0. Luku 4 on A:n determinantti. A 1 = 1 3 2 1 2 4 2. 4 1 2 3 Matriisilaskenta 7/7

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016

Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein pyritään esittämään matriisi A kahden tai usemman jotakin yksinkertaista muotoa olevan matriisin tulona. Tällaista esitystä kutsutaan matriisihajotelmaksi. Useimmat suorat (ei-iteratiiviset) menetelmät perustuvat hajotelmien käyttöön. Matriisilaskenta 2/15

Matriisihajotelmat 2/2 Hajotelma helpottaa matriisiyhtälön ratkaisemista ja saattaa myös antaa käyttökelpoista tietoa itse matriisista. Matriisihajotelmia on monia erilaisia, koska eri tilanteissa tarvitaan eri hajotelmia. Matriisihajotelmia ei yleensä kannata laskea käsin, mutta niitä löytyy valmiiksi implementoituna eri laskentaohjelmistoista ja -kirjastoista. Matriisilaskenta 3/15

LU-hajotelma Tarkastellaan yhtälöryhmän Ax = y ratkaisemista, kun A R n n on yläkolmiomatriisi, eli a jk = 0, kun j > k. Tällöin siis matriisiyhtälöä Ax = y vastaa yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = y 1, a 22 x 2 +... + a 2n x n = y 2,... a nn x n = y n. Tällöin tuntemattomat x 1,..., x n voidaan ratkaista takaisinsijoituksella. Matriisilaskenta 4/15

Esimerkki Olkoot Tällöin 1 2 1 0 A = 0 4 2, y = 16 0 0 2 4 Ax = y x 1 2x 2 + x 3 = 0, 4x 2 + 2x 3 = 16, 2x 3 = 4. Saadaan x 3 = 2, eli x 2 = 1 4 (16 2x 3) = 5, ja x 1 = 2x 2 x 3 = 12. Ratkaisu on siis x = (12, 5, 2). Matriisilaskenta 5/15

LU-hajotelma ja matriisiyhtälön ratkaiseminen 1/3 Edellisen esimerkin menettelyä voidaan soveltaa yleisesti: x n = y n a nn, ja x j = 1 a jj ( y j n k=j+1 a jk x j ). Matriisiyhtälön ratkaisemisen kannalta on siis edullista, jos matriisi A saadaan muutettua yläkolmiomuotoon (tai alakolmiomuotoon). Matriisilaskenta 6/15

LU-hajotelma ja matriisiyhtälön ratkaiseminen 2/3 Tästä päädytään LU-hajotelmaan: Jos A R n n, niin etsitään sellaiset matriisit L, U R n n, että 1) L on alakolmio- ja U on yläkolmiomatriisi, ja 2) A = LU. Matriisilaskenta 7/15

LU-hajotelma ja matriisiyhtälön ratkaiseminen 3/3 Tällöin yhtälö Ax = y voidaan ratkaista ratkaisemalla kaksi kolmiomatriisiyhtälöä { Lz = y, eli Ax = LUx = Lz = y. Ux = z, Molemmat yhtälöt voidaan ratkaista takaisinsijoituksella: Ensin ratkaistaan z yhtälöstä Lz = y ja sitten x yhtälöstä Ux = z. Seuraavaksi tutkitaan miten hajotelma A = LU voidaan löytää nk. Doolittlen algoritmia käyttäen. Matriisilaskenta 8/15

LU-hajotelman laskeminen 1/2 Selvitetään aluksi tuntemattomien määrä. Matriisit L ja U ovat l 11 0 0 u 11 u 12 u 1n l 21 l 22 0 0 u 22 u 2n L =.... U =...... l n1 l n2 l nn, 0 0 u nn. Siten matriisiin L liittyvien tuntemattomien määrä on n(n + 1)/2 ja samoin matriisiin U liittyvien. Yhteensä tehtävässä siis on n 2 + n tuntematonta. Koska matriisissa A on vain n 2 alkiota, voidaan L:n tai U:n alkioista n kappaletta valita vapaasti. Matriisilaskenta 9/15

LU-hajotelman laskeminen 2/2 Kiinnitetään jomman kumman diagonaalialkiot ykkösiksi. Jos l 11 =... = l nn = 1, niin saadaan Doolittlen algoritmi, ja jos u 11 =... = u nn = 1, saadaan Croutin algoritmi. Huom. Jos valitaan l 11 =... = l nn = 1, niin det(l) = 1. Lisäksi, A on kääntyvä, jos ja vain jos det(a) 0 eli det(u) 0. Siten U on kääntyvä ja siis U:n diagonaalialkiot ovat nollasta poikkeavia. Matriisilaskenta 10/15

Esimerkki: Doolittlen menetelmä 1/2 Muodostetaan matriisin A LU-hajotelma Doolittlen menetelmällä, kun 3 5 2 1 0 0 u 11 u 12 u 13 A = 0 8 2 = l 21 1 0 0 u 22 u 23. 6 2 8 l 31 l 32 1 0 0 u 33 Ensimmäisellä rivillä saadaan heti u 11 = 3, u 12 = 5 ja u 13 = 2. Toisella rivillä l 21 u 11 = 0, joten l 21 = 0 (koska u 11 0). Edelleen, l 21 u 12 + u 22 = 8, joten u 22 = 8 (koska l 21 = 0). Saadaan myös l 21 u 13 + u 23 = 2, ja siis u 23 = 2 (koska l 21 = 0). Samaan tapaan kolmannella rivillä l 31 u 11 = 6 ja siis l 31 = 2 (koska u 11 = 3). Matriisilaskenta 11/15

Esimerkki: Doolittlen menetelmä 2/2 Koska l 31 = 2, u 12 = 5 ja u 22 = 8, saadaan yhtälöstä l 31 u 12 + l 32 u 22 = 2 ratkaistua l 32 = 1. Lopuksi sijoittamalla saadut arvot yhtälöön l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 = 8 saadaan u 33 = 6. Saadaan siis esitys 1 0 0 3 5 2 A = LU = 0 1 0 2 1 1 0 8 2 0 0 6. Yleinen algoritmi toimii samaan tapaan, eli ratkaistaan A:n alkioista muodostuvat yhtälöt järjestyksessä a 11, a 12,..., a 1n, a 21,..., a nn. Matriisilaskenta 12/15

Huomautuksia 1/2 Algoritmi katkeaa, jos U:n diagonaalille ilmestyy nollia. LU-hajotelmaa voidaan käyttää myös ei-kääntyville matriiseille. Ei-neliömatriisin A R m n LU-hajotelmassa 1 0 0 l 21 1 0 L =..... Rm m l m1 l m2 1 on alakolmiomatriisi. Matriisilaskenta 13/15

Huomautuksia 2/2 Yläkolmiomatriisi on muotoa u 11 u 12 u 13 u 1n 0 u 22 u 23 u 2n U =. 0 0... Rm n. 0 0 u mm u mn Matriisilaskenta 14/15

Esimerkki Kaikilla matriiseilla ei ole LU-hajotelmaa. Yritetään muodostaa hajotelma matriisille: ) ( a 0 A = ( 0 1 1 0 Tällöin ad = 0 ja siten a = 0 tai d = 0. = b c ) ( d e 0 f ). Lisäksi ae = 1, joten a 0, ja bd = 1, joten d 0. Nämä kolme ehtoa eivät voi olla samaan aikaan voimassa. Hajotelma voidaan kuitenkin löytää vaihtamalla rivien järjestystä. Matriisilaskenta 15/15

Matriisilaskenta Luento 9: Kompleksiluvut Antti Rasila 2016

Kompleksiluvut: määritelmä Kompleksiluku on z = x + iy, missä imaginaariyksikkö i toteuttaa yhtälön i 2 = 1 ja x, y ovat reaalisia. Re(z) = x on z:n reaaliosa. Im(z) = y on z:n imaginaariosa. Esim. Kompleksiluvun 4 8i reaaliosa on 4 ja imaginaariosa 8. Matriisilaskenta 2/16

Perusominaisuuksia Kompleksiluvut z = a + ib ja w = c + id ovat yhtäsuuret täsmälleen silloin, kun a = c ja b = d. Erityisesti kompleksiluku z = a + ib on nolla täsmälleen silloin, kun a = 0 ja b = 0. Vertailuoperaatiot <, eivät ole määriteltyjä kompleksiluvuille. Matriisilaskenta 3/16

Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoot z = a + ib ja w = c + id kompleksilukuja. Tällöin laskutoimitukset saadaan seuraavasti. Summa: z + w = (a + c) + i(b + d). Erotus: Tulo: z w = (a c) + i(b d). zw = (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). Osamäärä: z w = a + ib c + id c id c id = ( ac + bd c 2 + d 2 ) + i ( bc ad c 2 + d 2 ). Matriisilaskenta 4/16

Esimerkki Olkoon z = 3 + 4i, w = 1 5i. z + w = 4 i, z w = 2 + 9i, zw = 3 1 + 4 5 + i(4 1 3 5) = 23 11i, ( ) ( ) z w = 3 1 4 5 4 1+3 5 + i = 17 1 2 +5 2 1 2 +5 2 26 + 19 26 i. Matriisilaskenta 5/16

Imaginääriyksikön potenssit i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1,... 1 i = i, 1 i = 1, 1 2 i = i,... 3 Matriisilaskenta 6/16

Reaaliluvut ja kompleksiluvut Jos z = a + 0i, niin z on reaaliluku. Kaikki tähän mennessä annetut kaavat ovat tosia myös reaaliluvuille. Jos imaginaariosa on nolla, kaavat palautuvat tunnetuiksi reaalilukujen ominaisuuksiksi. Matriisilaskenta 7/16

Kompleksilukujen algebraa Vaihdannaisuus: z + w = w + z, zw = wz. Liitännäisyys: (z + w) + u = z + (w + u), (zw)u = z(wu). Osittelulaki: z(w + u) = zw + zu. Matriisilaskenta 8/16

Kompleksikonjugaatti eli liittoluku Kompleksiluvun z = x + iy kompleksikonjugaatti eli liittoluku z määritellään z = x iy. Liittoluvun geometrinen tulkinta. Matriisilaskenta 9/16

Liittoluvun laskusääntöjä z + w = z + w, z w = z w, z + z = 2 re(z), zw = z w. z/w = z/ w. z z = i2 im(z). re(z) = z + z 2 z z, im(z) =. 2i z = z. Matriisilaskenta 10/16

Seuraus 1 Reaalikertoimiselle kompleksimuuttujan polynomille pätee P(z) = P( z). Todistus: Lasketaan P(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n P(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n = ā 0 +ā 1 z+ā 2 z 2 +...+ā n z n. Koska a k on reaalinen, ā k = a k kaikilla k = 0,..., n, saadaan P( z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n = ā 0 + ā 1 z + ā 2 z 2 +... + ā n z n = P(z). Matriisilaskenta 11/16

Seuraus 2 Reaalikertoimisen polynomin nollakohta on joko reaalinen tai kompleksisessa tapauksessa liittolukupari. Todistus: Olkoon z = x + iy reaalikertoimisen polynomin P kompleksinen nollakohta. Edellisen nojalla saadaan 0 = 0 = P(z) = P( z), joten myös z on P:n nollakohta. Matriisilaskenta 12/16

Kompleksitaso (Caspar Wessel 1797, Jean Argand 1806) Moduli eli itseisarvo: r z = x 2 + y 2 = z z. Argumentti eli vaihekulma: θ arg z = arctan y x. Matriisilaskenta 13/16

Modulin ominaisuuksia: Koska kompleksiluvun moduli on (positiivinen) reaaliluku, vertailuoperaatiot <,, >, ovat määriteltyjä. Kerto ja jakolasku: Kolmioepäyhtälö: zw = z w, z w = z w. z + w z + w. Matriisilaskenta 14/16

Argumentin päähaara Argumentin arvot ovat välillä Yleisesti: π < θ arg z +π. arg z = θ + 2nπ, missä θ on päähaaran arvo ja n on mikä tahansa kokonaisluku. Matriisilaskenta 15/16

Yhteen- ja vähennyslaskun geometrinen tulkinta Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku vastaavat vektorien laskutoimituksia. Matriisilaskenta 16/16

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016

Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun esitys polaarimuodossa: z = r(cos θ + i sin θ). Matriisilaskenta 2/16

Eulerin kaava Eksponenttifunktiolle ja trigonometrisille funktioille ovat voimassa seuraavat sarjaesitykset: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... + x n n! +... (1) sin x = x x 3 3! + x 5 5!... + ( 1)k x 2k+1 (2k + 1)! +... (2) cos x = 1 x 2 2! + x 4 4!... + ( 1)k x 2k (2k)! +... (3) Matriisilaskenta 3/16

Eulerin kaava, jatkoa Jos hyväksytään annetut sarjaesitykset, niin: e ix = 1 + ix + (ix)2 2! = 1 + ix + i2 x 2 + (ix)3 3! +... + i3 x 3 +... 2! 3! = 1 x 2 2! + x 4 ( 4! +... + i x x 3 = cos(x) + i sin(x). Saadaan Eulerin kaava: 3! + x 5 5!... ) e iθ = cos θ + i sin θ. (4) Matriisilaskenta 4/16

Seurauksia, identiteetit trigonometrisille funktioille 1/2 Koska e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos(θ) i sin(θ). Saadaan seuraavat kaavat: cos θ = eiθ + e iθ, sin θ = eiθ e iθ. 2 2i (5) Matriisilaskenta 5/16

Seurauksia, identiteetit trigonometrisille funktioille 2/2 Yleisesti kompleksiluvulle z = x + iy voidaan kirjoittaa cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ). Edelleen, voidaan myös määritellä tan z = sin z cos z, cos z cot z = sin z. Matriisilaskenta 6/16

Kertolaskun geometrinen tulkinta Sovelletaan Eulerin kaavaa kompleksilukujen kertolaskuun: w = z 1 z 2 = r 1 e iθ1 r 2 e iθ 2 = (r 1 r 2 )e i(θ 1+θ 2 ). Kompleksilukujen kertolaskussa: Modulit kerrotaan: z 1 z 2 = z 1 z 2. Argumentit lasketaan yhteen: arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Matriisilaskenta 7/16

Identiteettejä eksponenttifunktiolle e iθ = cos θ + i sin θ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1. Siis e iθ = 1. (6) Koska e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y), saadaan e z = e x, arg(e z ) = y, (7) e i2π = 1, e iπ/2 = i, e iπ = 1 ja e iπ/2 = i. (8) e z+i2π = e z e i2π = e z. (9) Matriisilaskenta 8/16

De Moivren kaava Lasketaan esitys kompleksiluvun kokonaislukupotenssille: z n = (re iθ ) n = r n e i(nθ) = r n (cos nθ + i sin nθ). Erityisesti, jos r = 1, saadaan: Lause (De Moivre) (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. (10) Matriisilaskenta 9/16

Kompleksiluvun juuret De Moivren kaava on erityisen hyödyllinen etsittäessä kompleksiluvun z 0 0, n:nsiä juuria. Jos z n = z 0, voidaan kirjoittaa z = re iθ ja z 0 = r 0 e iθ 0, ja saadaan eli r n e inθ = r 0 e iθ 0, r = n r 0 ja nθ = θ 0 + 2kπ, missä r = n r 0 on positiivisen reaaliluvun r 0 n:s juuri. Matriisilaskenta 10/16

Kompleksiluvun juuret, jatkoa Kaikki luvun z n:net juuret saadaan siis kaavasta n z0 e i(θ0+2kπ)/n, (11) missä k on mikä tahansa kokonaisluku. Havaitaan myös, että jokainen k = 0, 1,..., n 1 antaa eri arvon, mutta muut k:n arvot vain toistavat jonkun edellisistä, koska e 2πik = 1. Siten kompleksiluvulla z 0 0 on täsmälleen n erillistä n:ttä juurta. Kaavasta (11) havaitaan myös, että kaikki juurilla on sama itseisarvo n z 0, ja argumentit ovat tasavälisiä. Siksi kaikki juuret sijaitsevat origokeskisen ympyrän, jonka säde on n z 0 kehällä. Matriisilaskenta 11/16

Kompleksiluvun juuret, jatkoa Olemme osoittaneet: Lause Jos z = re iθ 0, yhtälöllä w n = z on täsmälleen n erillistä ratkaisua, jotka saadaan kaavasta w k = n re i(θ+2kπ)/n, (12) missä k = 0, 1,..., n 1, juuri ja θ = arg z. n r on luvun r = z positiivinen n:äs Matriisilaskenta 12/16

Ykkösen juuret Esimerkki Ykkösen n:net juuret saadaan kaavasta ω k = e i2kπ/n, k = 0, 1,..., n 1. (13) Kuva: Ykkösen n:net juuret, kun n = 3, 4 ja 8. Matriisilaskenta 13/16

Ykkösen juuret, jatkoa Jos asetetaan ω = e 2πi/n, niin kaikki ykkösen n:nnet juuret ovat 1, ω, ω 2, ω 3,..., ω n 1. Jos ω 1, saadaan ω n = 1, eli Saadaan: 0 = ω n 1 = (ω 1)(1 + ω + ω 2 +... + ω n 1 ). 1 + ω + ω 2 +... + ω n 1 = 0 (ω = e i2π/n ). Matriisilaskenta 14/16

Kompleksiset matriisit 1/2 Matriisilaskennassa avaruuden C n alkioita käsitellään sarakevektoreina (pystyvektoreina) v = (v 1, v 2,..., v n ) = Tällöin lineaarikuvaukset ovat aina muotoa v 1. v n C n. Av = (a 11 v 1 +... + a 1n v n,..., a m1 v 1 +... + a mn v n ) a 11 v 1 +... + a 1n v n a 11 a 1n v 1 =. =.... a m1 v 1 +... + a mn v n a m1 a mn v n Matriisilaskenta 15/16

Kompleksiset matriisit 2/2 Edellisessä käytettiin aikaisemmilta luennoilta tuttua matriisituloa. Käytännössä siis lineaarikuvaukset A: C n C m ja matriisit A C m n voidaan samastaa keskenään. Tällöin kuvausten A: C n C p ja B: C p C m yhdistetty kuvaus B A: C n C m vastaa matriisituloa BA C m n. Matriisiyhtälö Av = w vastaa lineaarista yhtälöryhmää a 11 v 1 +... + a 1n v n = w 1,.. a m1 v 1 +... + a mn v n = w m. Matriisilaskenta 16/16

Matriisilaskenta Luento 11: Transpoosi Antti Rasila 2016

Transpoosi Transpoosi vaihtaa matriisin rivit ja sarakkeet keskenään, eli (A T ) ij = A ji. Esim. 1 2 3 1 4 7 A = 4 5 6 ; A T = 2 5 8. 7 8 9 3 6 9 Matriisilaskenta 2/10

Transpoosin laskulait Laskulait (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (A 1 ) T = (A T ) 1. Huomaa! A:n transpoosi on säännöllinen, jos ja vain jos A on säännöllinen. Matriisilaskenta 3/10

Sisätulo ja symmetria Sisätulolle pätee: v w = v T w. Sovitaan v T w = c 1 nn 1 (skalaari). 1 1 Symmetrinen matriisi: A T = A, eli α ij = α ji. Matriisin hajotelma: A = LDU ja siis A T = U T D T L T. Jos A on symmetrinen, saadaan identiteetit L = U T, D = D T, U = L T, eli A = LDL T. Symmetrisen matriisin hajotelma on symmetrinen! Matriisilaskenta 4/10

Konjugoitu transpoosi Kompleksisille matriiseille A C m n transpoosia luonnollisempi on konjugoitu transpoosi Toisin sanoen a 11 a 1n.. a m1 a mn A C n m, a ij = ā ji. = ā 11 ā m1... ā 1n ā mn Matriisilaskenta 5/10

Kompleksinen sisätulo Erityisesti vektorien u, v C n sisätulo on u, v = ū 1 v 1 +... + ū n v n = (ū 1 ū n ). = u v. v 1 v n Matriisilaskenta 6/10

Hermiittinen matriisi 1/2 Neliömatriisi A C n n on hermiittinen, jos A = A. Reaalinen matriisi A R n n on symmetrinen, jos A T = A. Yleisesti matriisille A C n n pätee u, Av = u Av = (A u) v = A u, v. Lisäksi sisätulolle pätee u, v = n u j v j = j=1 n v j u j = v, u. j=1 Matriisilaskenta 7/10

Hermiittinen matriisi 2/2 Hermiittiselle matriisille A C n n, A = A saadaan siis u, Au = Au, u = u, Au. Toisin sanoen, pätee u, Au R. Matriisilaskenta 8/10

Permutaatiot Permutaatiomatriisin rivit ovat I:n rivit toisessa järjestyksessä. Käänteispermutaatio on permutaatio eli P 1 on permutaatio. Lisäksi: P 1 = P T. Matriisit, joiden käänteismatriisit ovat niiden itsensä transpooseja, ovat ortgonaalisia. Matriisilaskenta 9/10

Hajotelma PA=LU PA = LU: LU-hajotelman yhteydessä vaikenimme tilanteista, joissa rivien vaihto on tarpeen. 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 2 7 9 2 7 9 + 0 3 7 1 0 0 1 2 1 0 1 0 LU = 0 1 0 0 1 1 = PA, P = 1 0 0. 2 3 1 0 0 4 0 0 1 Hajotelma PA = LU on olemassa kaikille säännöllisille matriiseille. 3 + Matriisilaskenta 10/10

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016

Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton osajoukko, niin on olemassa vektorit v k+1,..., v k+m V siten, että {v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v k+m } on V :n kanta. Erityisesti pätee: Jos dim(v ) = n ja {v 1,..., v n } V on lineaarisesti riippumaton, niin se on V :n kanta. Kantojen tärkein ominaisuus on seuraava: Jos B = {b 1, b 2,..., b n } on vektoriavaruuden V kanta, niin jokainen vektori v V voidaan esittää muodossa v = c 1 b 1 + c 2 b 2 + + c n b n täsmälleen yhdellä tavalla. Matriisilaskenta 2/11

Kannanvaihto 1/4 Tarkastellaan tilannetta, jossa tunnetaan vektorin esitys kannassa B = {b 1, b 2,..., b n } ja halutaan vaihtaa toiseen kantaan U = {u 1, u 2,..., u n }. Lasketaan, miten uudet koordinaatit saadaan lausuttua vanhojen avulla. Merkitään vektorin v koordinaatteja näissä kannoissa [v] B = (β 1,..., β n ) ja [v] U = (η 1,..., η n ). Oletetaan, että vanhat kantavektorit b j on lausuttu uusien kantavektoreiden u i avulla n b j = s ij u i, j = 1,..., n. (1) i=1 Matriisilaskenta 3/11

Kannanvaihto 2/4 Tällöin saadaan v = n η i u i = i=1 n β j b j = j=1 n j=1 β j n s ij u i = i=1 n ( n ) s ij β j u i. i=1 j=1 Koska vektorin koordinaatit (kannassa U ) ovat yksikäsitteiset, on oltava n η i = s ij β j, i = 1,..., n. (2) j=1 Matriisilaskenta 4/11

Kannanvaihto 3/4 Merkitään S = s 11... s 1n... s n1... s nn Tällöin koordinaattien välinen yhtälö (2) voidaan kirjoittaa [v] U = S [v] B. (3) Siten uudet koordinaatit saadaan matriisilla S kertomalla vanhoista, kun S :n sarakkeina on vanhojen kantavektoreiden koordinaattivektorit uudessa kannassa. Matriisilaskenta 5/11

Kannanvaihto 4/4 Matriisia S kutsutaan kannanvaihtomatriisiksi ja se siis välittää yhtälön (3) mukaisesti koordinaattimuunnoksen. Kannanvaihtomatriisi on aina kääntyvä, ja vanhat koordinaatit saadaan uusista kaavalla [v] B = S 1 [v] U. Matriisilaskenta 6/11

Ortogonaalisuus ja ortonormaalius 1/2 Oletetaan, että v 1, v 2 V ovat vektoreita ja niiden sisätulo on määritelty. Tällöin vektoreita v 1, v 2 sanotaan keskenään ortogonaalisiksi (kohtisuoriksi), jos pätee v 1, v 2 = 0. Vastaavasti vektoreja v 1,..., v n V sanotaan ortogonaalisiksi, jos v i, v j = 0 aina kun i j. Vektoreja v 1,..., v n V sanotaan ortonormaaleiksi, jos { 0, i j, v i, v j = 1, i = j. Matriisilaskenta 7/11

Ortogonaalisuus ja ortonormaalius 2/2 Ortonormaalius siis tarkoittaa sitä, että vektorit ovat keskenään kohtisuorassa ja lisäksi jokaisen niistä normi (pituus) on 1. Huom. Ortogonaaliset (ja ortonormaalit) vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Matriisilaskenta 8/11

Ortonormaali kanta 1/2 Seuraavaksi pohditaan, miten mistä tahansa lineaarisesti riippumattomasta vektorijonosta B = {v 1, v 2,..., v n } saadaan ortonormaali. Huom. Vektorijono B on vektoriavaruuden V = span B kanta. Vektoriavaruuden ortonormaali kanta on mahdollisimman siisti, ts. se on yleensä helpoin käsitellä sekä laskujen että teoreettisten tulosten kannalta. Matriisilaskenta 9/11

Ortonormaali kanta 2/2 Ortonormaalin kannan löytämiseen on seuraava erittäin hyödyllinen algoritmi, jota kutsutaan Gram-Schmidtin ortogonalisoimiseksi. Algoritmissa vektoreista B = {v 1, v 2,..., v n } siis muodostetaan ortonormaali kanta U = {u 1, u 2,..., u n } avaruudelle V. Matriisilaskenta 10/11

Gram-Schmidtin ortogonalisointialgoritmi 1. Valitaan aluksi u 1 := v 1 / v 1. Saadaan avaruuden span{v 1 } ortonormaali kanta. 2. Jatketaan rekursiivisesti: Kun {u 1,..., u k } on vektoriavaruuden span{v 1,..., v k } ortonormaali kanta, voidaan valita w k+1 := v k+1 v k+1, u 1 u 1 v k+1, u 2 u 2... v k+1, u k u k. Nyt w k+1, u j = v k+1, u j v k+1, u j u j, u j = 0 kaikilla j = 1,..., k, koska u i, u j = 0 aina kun i j, ja u j, u j = 1. Voidaan siis valita u k+1 := w k+1 / w k+1. 3. Toistetaan edellistä askelta, kunnes on käyty läpi kaikki vektorit {v 1, v 2,..., v n }. Näin saadaan ortonormaali kanta. Matriisilaskenta 11/11

Matriisilaskenta Luento 13:Cholesky-hajotelma Antti Rasila 2016

Positiividefiniitti matriisi Hermiittinen matriisi A C n n on positiividefiniitti, jos u, Au > 0 kaikilla u C n \ {0}. Symmetrinen matriisi A R n n on positiividefiniitti, jos u T Au = u, Au > 0 kaikilla u R n \ {0}. Huom. Jos Au = 0 saadaan u, Au = 0, eli u = 0, kun A on positiividefiniitti. Siten positiividefiniitille matriisille A C n n pätee aina N(A) = 0. Dimensiolauseen nojalla dim R(A) = n, eli A on kääntyvä (on olemassa käänteismatriisi A 1 ). Matriisilaskenta 2/6

Cholesky-hajotelma Olkoon A C n n hermiittinen ja positiividefiniitti. Tällöin voidaan muodostaa hermiittinen LU-hajotelma eli Cholesky-hajotelma A = U U, missä U on yläkolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat positiivisia. Jos A R n n, niin myös U R n n. Huom. Tällainen hajotelma on olemassa vain hermiittisille ja positiividefiniiteille matriiseille. Matriisin positiividefiniittisyyttä voidaan tutkia yrittämällä muodostaa Cholesky-hajotelma. Matriisilaskenta 3/6

Esimerkki 1/2 Yritetään muodostaa Cholesky-hajotelma A = U U matriisille 4 2 14 ū 11 u 11 u 12 u 13 A = 2 17 5 = ū 12 ū 22 u 22 u 23 14 5 83 ū 13 ū 23 ū 33 u 33 Ensimmäiseltä riviltä saadaan 4 = u 11 2, valitaan positiivinen ratkaisu u 11 = 2. Saadaan myös ū 11 u 12 = 2, eli u 12 = 1. Edelleen ū 11 u 13 = 14, joten u 13 = 7. Matriisilaskenta 4/6

Esimerkki 2/2 Vastaavasti toisesta rivistä saadaan u 12 2 + u 22 2 = 17, joten u 22 2 = 16. Valitaan u 22 = 4. Lisäksi ū 12 u 13 + ū 22 u 23 = 5, ja siis u 23 = 3. Kolmannelta riviltä saadaan yhtälö u 13 2 + u 23 2 + u 33 2 = 83, eli u 33 2 = 25. Valitaan u 33 = 5. Saadaan siis 2 1 7 U = 0 4 3. 0 0 5 Matriisilaskenta 5/6

Huomautuksia Cholesky-hajotelman laskeminen vaatii noin puolet LU-hajotelman laskemisessa vaadittavasta työstä. Yleisesti algoritmi voidaan kirjoittaa muodossa k 1 u kk = akk u lk 2, u kj = 1 ( a kj u kk l=1 k 1 ū lk u lk ), j > k. l=1 Juuren alla oleva luku on aina positiivinen, jos matriisi A on positiividefiniitti. Muuten algoritmi katkeaa. Matriisilaskenta 6/6

Matriisilaskenta Luento 14: Determinantti Antti Rasila 2016

Determinantti Determinantti on pinta-ala, tilavuus tai yleistetty tilavuus. Determinantti on reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty vain neliömatriiseille. Formaaleja määritelmiä on lukuisia, joista yksi on jo tuttu: Det(A) = A = tukialkioiden tulo = det A. Matriisilaskenta 2/10

Determinantin ominaisuuksia 1/2 1. det I = 1. 2. Rivinvaihto vaihtaa determinantin merkin. a b c d = ad bc = c d a b. 3. Determinantti on lineaarinen rivin suhteen: ta tb c d = t a b c d, a + a b + b c d = a b c d + a b c d. Nämä ominaisuudet riittävät formaaliin määritelmään. Matriisilaskenta 3/10

Determinantin ominaisuuksia 2/2 4. Jos kaksi riveistä on yhtäsuuria, on det A = 0. 5. Rivioperaatio ei muuta determinantin arvoa. 6. Rivi nollia nollaa determinantin. 7. Kolmiomatriisin determinantti on lävistäjien tulo. 8. Singulaarisen matriisin determinantti on nolla. 9. AB = A B. 10. det A T = det A. Matriisilaskenta 4/10

Ominaisuuden 9 todistus 1/3 Väite: AB = A B. Todistus: i) Oletetaan, että B 0. Tutkitaan lukua D(A) = AB B. Jos D(A):lla on determinantin ominaisuudet 1, 2 ja 3, on D(A) = det A. 1. A = I D(A) = B B = 1. 2. Jos A:n kaksi riviä vaihdetaan keskenään, samat rivit vaihtuvat tulossa AB. D(A) vaihtaa merkkiä aina, kun A vaihtaa. Matriisilaskenta 5/10

Ominaisuuden 9 todistus 2/3 3. A:n ensimmäisen rivin skaalaus skaalaa AB:n ensimmäisen rivin samalla luvulla. Jos A:n ensimmäinen rivi on kahden rivin summa, niin tulo AB voidaan kirjoittaa siten, että sen ensimmäinen rivi on kahden rivin summa (sisätulovariantti). AB hajoaa kahteen osaan, jotka jaetaan B :llä. Ts. A = a 11 a 12... a 1n.... a n1 a nn ; B = (b ij ). Jos a 1j = ã 1j + â 1j, niin a 1j b j1 = ã 1j b j1 + â 1j b j1. Käytetään ominaisuutta 3) ja osaväite seuraa. Kaikki ehdot täyttyvät, joten D(A) = A. Matriisilaskenta 6/10

Ominaisuuden 9 todistus 3/3 ii) B = 0; AB on singulaarinen, jos B on. Tällöin siis AB = A B = 0. Matriisilaskenta 7/10

Sarrus n sääntö a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. Matriisilaskenta 8/10

Yleinen kaava 1 Määritelmä 1: det A = det(p)α 1α α 2β α nω, missä P n n permutaatiomatriisi, P = (α, β, ω). Toisaalta: a 11 a 12 a 13 a 11 a 21 a 22 a 23 = a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 32 a 33 + a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 a 13 + a 21 a 22 a 31 a 32 Matriisilaskenta 9/10

Yleinen kaava 2 Määritelmä 2: det A = α i1 C i1 + α i2 C i2 + + α in C in, missä liittotekijä C ij = ( 1) i+j M ij ; M ij on (n 1) (n 1)-matriisi, joka muodostetaan poistamalla A:n i:s rivi ja j:s sarake. Matriisilaskenta 10/10

Matriisilaskenta Luento 15: Vektoritulo Antti Rasila 2016

Ristitulo eli vektoritulo 1/2 Määritelmä: Olkoot a ja b kaksi avaruuden vektoria. Niiden vektoritulo eli ristitulo on vektori a b, joka määritellään seuraavilla ehdoilla: 1. a b = a b sin (a, b), 2. a b a, a b b, 3. Vektorit a, b, a b muodostavat oikeakätisen systeemin. Jos a = 0 tai b = 0, asetetaan a b = 0. Matriisilaskenta 2/6

Ristitulo eli vektoritulo 2/2 Lause: a = α 1 i + α 2 j + α 3 k, b = β 1 i + β 2 j + β 3 k; i j k a b = α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3. Matriisilaskenta 3/6

Skalaarikolmitulo Skalaarikolmitulo [a, b, c] = a (b c) = (a b) c α 1 α 2 α 3 = β 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3. Pätee: [a, b, c] = [c, a, b] = [b, c, a]. Matriisilaskenta 4/6

Pinta-ala, tilavuus Lause: Vektoreiden a ja b virittämän suunnikkaan ala on a b. Vektoreiden a, b, c virittämän suuntaissärmiön tilavuus on [a, b, c]. Matriisilaskenta 5/6

Pinta-ala, tilavuus: Todistus Suunikkaan ala: kanta korkeus, siis b a sin ϕ = a b. Suuntaissärmiön tilavuus: pohja korkeus a b c cos ψ = a b n 0 c = a b a b a b c = a b c = [a, b, c]. Matriisilaskenta 6/6

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä vastaava ominaisvektori, jos Av = λv, v 0. Intuitiivisesti ominaisvektori on vektori, jonka suunta ei muutu kuvauksessa v Av. Myös vektorin v skalaarikerrannaiset αv C n, α C \ {0} ovat ominaisarvoon λ liittyviä ominaisvektoreita, koska A(αv) = αav = αλv = λ(αv). Matriisilaskenta 2/12

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 2/5 Kompleksiluku α C on matriisin A C n n ominaisarvo, jos ja vain jos yhtälöllä (A λi)v = 0 on ei-triviaali ratkaisu v C n \ {0}. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että λ C on matriisin A karakteristisen polynomin nollakohta. P A (λ) := det(a λi) (1) Matriisilaskenta 3/12

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 3/5 Algebran peruslauseen mukaan P A = ( 1) n (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ k ) m k, (2) missä λ 1,..., λ k ovat matriisin ominaisarvot. Lukuihin m j := m λj liittyen saadaan seuraava määritelmä. Matriisilaskenta 4/12

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 4/5 Määritelmä Yhtälössä (2) esiintyvät luvut m 1,..., m k ovat ominaisarvojen λ 1,..., λ k C algebralliset kertaluvut, ja E j := E λj (A) := {v C n : Av = λ j v} on ominaisarvoon λ j liittyvä ominaisavaruus. Luku g j := g λj := dim ( E j (A) ) on ominaisarvon λ j geometrinen kertaluku. Matriisilaskenta 5/12

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5/5 Lisäksi määritellään: Määritelmä Matriisin A C n n spektri on sen ominaisarvojen joukko σ(a) := { λ C : Av = λv jollakin v C n \ {0} } Saadaan seuraava tulos: Lause Matriisin A C n n eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Matriisilaskenta 6/12

Todistus 1/2 Olkoot Av j = λ j v j, j = 1,..., k, k n, missä λ j λ p, kun j p. Tehdään vastaoletus: v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin yksi vektoreista voidaan esittää toisten lineaarikombinaationa. Olkoon l pienin indeksi, jolle v l+1 voidaan esitää muodossa Nyt saadaan c 1 v 1 +... + c l v k = v l+1 joillekin c 1,..., c l C. (3) Av l+1 = A(c 1 v 1 +... + c l v l ) = c 1 Av 1 +... + c l Av l. Vektorit v j ovat A:n ominaisvektoreita, ja siten c 1 λ 1 v 1 +... + c l λ l v l = λ l+1 v l+1. Matriisilaskenta 7/12

Todistus 2/2 Vähennetään tästä yhtälö (3) kerrottuna luvulla λ l+1. Saadaan c 1 (λ 1 λ l+1 )v 1 +... + c l (λ l λ l+1 )v l = 0. Indeksin l valinnan perusteella vektorit v 1,..., v l ovat lineaarisesti riippumattomia. Siten c 1 (λ 1 λ l+1 ) =... = c l (λ l λ l+1 ) = 0. Koska λ j λ p, kun p j, saadaan edelleen c 1 =... = c l = 0, eli v l+1 = 0. Tämä on ristiriita, koska vektorin v l+1 piti olla ominaisvektori. Matriisilaskenta 8/12

Hermiittisen matriisin ominaisarvot Lause Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Todistus. Olk. A hermiittinen, λ sen ominaisarvo ja v vastaava ominaisvektori. Tällöin λ v 2 = λ v, v = λv, v = Av, v = v, A v = v, Av = v, λv = λ v 2. Siten λ = λ, eli λ R. Matriisilaskenta 9/12

Esimerkki 1/3 ( ) 1 3 Lasketaan matriisin A = ominaisarvot ja -vektorit. 3 3 Muodostetaan karakteristinen polynomi: P A = det(a λi) = 1 λ 3 3 3 λ = (1 λ)(3 λ) 9 = 3 λ 3λ + λ 2 9 = λ 2 4λ 6. Ratkaistaan nollakohdat P A (λ) = 0. Saadaan λ = 4 ± 4 2 + 24 2 = 2 ± 10 =: λ ±. Matriisilaskenta 10/12

Esimerkki 2/3 Seuraavaksi ratkaistaan ominaisvektorit yhtälöstä Av = λ ± v, eli (A 2 ± 10I)v = 0. Saadaan siis yhtälöt ( ) ( ) 1 10 3 3 1 v1 = 10 v 2 ( ) 0. 0 Gaussin eliminoinneilla matriisi saadaan muotoon ( ) ( ) 1 10 3 3 1 1 10 3 10 0 0 ( ) 1 10 3. 0 0 Matriisilaskenta 11/12

Esimerkki 3/3 Ominaisarvoa λ + = 2 + 10 vastaava ominaisvektori v + voidaan ratkaista yhtälöstä (1 + 10)v 1 + 3v 2 = 0. ( ) 3 Esimerkiksi voidaan valita vektori v + = 1 +. 10 Samaan tapaan ominaisarvoon λ = 2 10 liittyvät ominaisvektorit voidaan ratkaista yhtälöstä (1 10)v 1 + 3v 2 = 0. Tässä tapauksessa voidaan siis valita vektori ( ) 3 v = 1. 10 Matriisilaskenta 12/12

Matriisilaskenta Luento 17: Diagonalisointi Antti Rasila 2016

Matriisin diagonalisointi 1/3 Jos matriisilla A C n n on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria v 1,..., v n C n, Av j = λ j v j, niin yhtälössä A ( v 1 v n ) = ( Av1 Av n ) = ( λ1 v 1 λ n v n ) = ( λ 1 0 ) v 1 v. n.... 0 λ n esiintyvä matriisi V = ( v 1 v n ) C n n on kääntyvä. Matriisilaskenta 2/12

Matriisin diagonalisointi 2/3 Toisin sanoen, AV = VΛ eli A = VΛV 1, missä V = ( λ 1 0 ) v 1 v n, Λ =...... 0 λ n Myös käänteinen tulos pätee: Jos tällainen hajotelma on olemassa, niin matriisin V sarakevektorit ovat matriisin A ominaisvektorit ja diagonaalimatriisin Λ diagonaalialkiot niitä vastaavat ominaisarvot. Kyseisen hajotelman etsimistä kutsutaan matriisin A diagonalisoimikseksi. Jos hajotelma on olemassa, matriisia A kutsutaan diagonalisoituvaksi. Matriisilaskenta 3/12

Matriisin diagonalisointi 3/3 Matriisin A C n n diagonalisoituvuus on yhtäpitävää sen kanssa, että A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Tämä on edelleen yhtäpitävää sen kanssa, että ominaisarvojen λ j geometriset ja algrebralliset kertaluvut ovat samat kaikilla λ j σ(a) eli m λj = g λj. Huom. Aina pätee m λj g λj. Matriisilaskenta 4/12

Esimerkki 1/3 Diagonalisoidaan matriisi A = ( ) 1 0. 6 1 Etsitään ominaisarvot yhtälöstä P A (λ) = det(a λi) = 1 λ 0 6 1 λ = (1 λ)( 1 λ) 0 = (1 λ)(1 + λ) = 0. Saadaan λ 1 = 1 ja λ 2 = 1. Etsitään seuraavaksi ominaisvektorit. Yhtälö Av 1 = λ 1 v 1, eli (A λ 1 I)v 1 = 0 Matriisilaskenta 5/12

Esimerkki 2/3 voidaan kirjoittaa ( ) ( ) 1 1 0 v 1 1 = 6 1 1 v 2 1 ( ) 0. 0 Siten 6v 1 1 2v 2 1 = 0, ja ratkaisuksi käy esim. v 1 = (1, 3). Vastaavasti yhtälöstä Av 2 = λ 2 v 2, eli (A λ 2 I)v 2 = 0 saadaan (1 ) ( ) ( 1) 0 v 1 2 = 6 1 ( 1) v 2 2 ( ) 0. 0 Matriisilaskenta 6/12

Esimerkki 3/3 Nyt { 2v 1 2 = 0, 6v 1 2 = 0, joten { v 1 2 = 0, v2 2 = mielivaltainen. Valitaan esim. v 2 = (0, 1). Saadaan V = ( ( ) ) 1 0 v 1 v 2 =, joten V 1 = 3 1 Edelleen, ( ) 1 0 A = = 6 1 ( ) ( 1 0 1 0 3 1 0 1 ( ) 1 0. 3 1 ) ( ) 1 0 = VΛV 1. 3 1 Matriisilaskenta 7/12

Huomautuksia Diagonalisointia käyttäen voidaan kätevästi laskea matriisin A potensseja: A 2 = (VΛV 1 ) 2 = VΛV 1 VΛV 1 = VΛ 2 V 1, ja yleisesti A n = VΛ n V 1, missä n λ 1 0 λ n 1 0 λ n =..... =...... 0 λ n 0 λ n n Jos diagonalisoituvalla matriisilla on k-kertainen ominaisarvo, eli m λk = k > 1 jollakin λ j, niin on olemassa k sitä vastaavaa lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Matriisilaskenta 8/12

Esimerkki 1/3 Diagonalisoidaan matriisi (välivaiheet harj. teht.) 2 2 1 A = 1 3 1. 1 2 2 Kuten edellä, ominaisarvoiksi saadaan λ 1 = 5 ja λ 2 = λ 3 = 1. Siten m 5 = 1 ja m 1 = 2. On siis löydettävä kaksi ominaisarvoon λ = 1 liittyvää lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, joille Av = 1 v. Matriisilaskenta 9/12

Esimerkki 2/3 Päädytään matriisiin 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0. 0 0 0 Siten vektorit v 2 = (1, 0, 1) ja v 3 = (2, 1, 0) käyvät. Ominaisarvoa 5 vastaa ominaisvektori v 3 = (1, 1, 1). Saadaan 1 1 2 V = 1 0 1. 1 1 0 Matriisilaskenta 10/12

Esimerkki 3/3 Tästä voidaan edelleen laskea V 1 = 1 4 1 4 1 4 1 2 1 1 2 4 1 2 3 4 1 4. Hajotelmaksi A = VΛV 1 saadaan siis 2 2 1 1 1 2 5 0 0 1 3 1 = 1 0 1 0 1 0 1 2 2 1 1 0 0 0 1 1 4 1 4 1 4 1 2 1 1 2 4 1 2 3 4 1 4. Matriisilaskenta 11/12

Esimerkki Kaikki matriisit eivät ole diagonalisoituvia. Esimerkiksi matriisin ( ) 3 1 A = 1 5 kaksinkertaista ominaisarvoa λ 1 = λ 2 = 4 vastaavat vain muotoa ( ) 1 v = α, α C. 1 olevat ominaisvektorit. Siten sillä ei ole kahta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Matriisilaskenta 12/12

Matriisilaskenta Luento 18: Similaarisuus Antti Rasila 2016

Similaarisuus 1/3 Määritelmä Matriisit A C n n ja B C n n ovat similaariset, jos A = VBV 1 jollakin V C n n. Tällöin merkitään A B. Intuitiivisesti matriisien similaarisuus tarkoittaa, että ne ovat kannanvaihtoa vaille samat. Matriisia V voi myös ajatella eräänlaisena normalisointina. Tämän tapaisia määritelmiä esiintyy monissa matemaattisissa teorioissa. Matriisilaskenta 2/1

Similaarisuus 2/3 Similaarisuus on ekvivalenssirelaatio, toisin sanoen pätee: 1. A A. 2. Jos A B, niin B A. 3. Jos A B ja B C, niin A C. Matriisi V voidaan tulkita kannanvaihtona seuraavasti: Olkoon V = ( v 1 v n ) C n n kääntyvä. Tällöin vektorit {v 1,..., v n } ovat lineaarisesti riippumattomia ja siis avaruuden C n kanta. Nyt jokainen x C n voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa x = c 1 v 1 +... + c n v n. Matriisilaskenta 3/1

Similaarisuus 3/3 Tällöin pätee x 1. = c 1 v 1 +... + c n v n = ( ) v 1 v n. x n eli x = Vc. Matriisin A määräämä lineaarikuvaus voidaan esittää kannassa {v 1,..., v n } seuraavasti: Ax = V(V 1 AV)c, c 1 c n, missä (V 1 AV)c ovat vektorin Ax koordinaatit kannassa {v 1,..., v n }. Matriisilaskenta 4/1

Lause Jos A B, niin niillä on samat ominaisarvot. Todistus. Matriisin A karakteristiselle polynomille P A (λ) = det(a λi) = det(vbv 1 λvv 1 ) = det ( V(B λi)v 1) = det(v) det(b λi) det(v 1 ) = det(b λi) = P B (λ), koska det(v) det(v 1 ) = det(vv 1 ) = det(i) = 1 Koska matriisin ominaisarvot ovat sen karakteristisen polynomin nollakohdat, saadaan σ(a) = σ(b). Matriisilaskenta 5/1

Matriisilaskenta Luento 19: Schurin hajotelma Antti Rasila 2016

Schurin hajotelma 1/3 Diagonalisoinnin ideana on saattaa matriisi similariteettimuunnoksella A = VBV 1 mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon eli diagonaalimatriisiksi. Menettely ei kuitenkaan ole aina ongelmatonta: Diagonalisointi ei ole aina mahdollista, koska hajotelmassa esiintyvä matriisi B ei ole aina diagonaalimatriisi. Lopuksi joudutaan laskemaan käänteismatriisi V 1. Hajotelman laskeminen on kuitenkin helppoa, jos matriisi U C n n on unitaarinen eli U = U 1. Matriisilaskenta 2/7

Schurin hajotelma 2/3 Koska u 1 I = UU = ( ) u 1 u n. u n = matriisi on unitaarinen täsmälleen silloin, kun sen sarakevektorit ovat ortonormaaleja. u 1, u 1 u 1, u n....., u n, u 1 u n, u n Matriisilaskenta 3/7

Schurin hajotelma 3/3 Yleisessä tapauksessa voidana etsiä hajotelma, jossa on esiintyy diagonaalimatriisin sijasta yläkolmiomatriisi. Lause (Schurin hajotelma) Jokaiselle A C n n on olemassa yläkolmiomatriisi T C n n ja unitaarinen matriisi U C n n siten, että A = UTU. Matriisilaskenta 4/7

Todistus 1/4 Olk. λ jokin matriisin A C n n ominaisarvo. Valitaan ortonormaalit kannat {q 1,..., q k } ja {q k+1,..., q n } avaruuksille E λ (A) ja E λ (A). Matriisilaskenta 5/7

Todistus 2/4 Saadaan A ( q 1 q n ) = ( λq1 λq k Aq k+1 Aq n ) λ 0 q 1, Aq k+1 q 1, Aq n = (. )......... q 1 q n 0 λ q k, Aq k+1 q k, Aq n.... 0 0 q n, Aq k+1 q n, Aq n Matriisilaskenta 6/7

Todistus 3/4 Toisin sanoen ( ) λi B1 A = Q 1 Q 0 A 1, 1 missä I C k k, B 1 C k (n k) ja A 1 C (n k) (n k). Toistetaan samat operaatiot matriisille A 1, jolloin saadaan ( ) µi B2 A 1 = Q 2 Q 0 A 2, µ σ(a). 2 Nyt λi ( B 1 ) A = Q 1 µi B2 0 Q 2 0 A 2 Q 2 Q 1 Matriisilaskenta 7/7

Todistus 4/4 λi Q 2 B 1Q 2 = Q 1 Q 2 0 µi B 2 Q 2 Q 1. 0 0 A 2 Samaan tapaan voidaan jatkaa matriisin alanurkkaan saakka, jolloin päädytään hajotelmaan A = Q 1 Q l TQ l Q 1 = QTQ, missä T on yläkolmiomatriisi ja Q on unitaarinen. Matriisilaskenta 8/7

Matriisilaskenta Luento 20: Unitaarinen diagonalisointi Antti Rasila 2016

Unitaarinen diagonalisointi Määritelmä Matriisi A C n n on normaali, jos A A = AA. Hermiittinen matriisi on normaali, koska A A = AA = AA. Unitaarinen matriisi on normaali, koska U U = I = UU. Lause Matriisi A on normaali jos ja vain jos se on unitaarisesti diagonalisoituva, eli se voidaan esittää muodossa A = UΛU jollakin unitaarisella U ja diagonaalisella Λ. Matriisilaskenta 2/7

Todistus 1/2 Olkoon A = UTU Schurin hajotelma matriisille A. Matriisin A normaalisuus on yhtäpitävää sen kanssa, että AA = AA. Siten ja siis (UTU ) (UTU ) = (UTU )(UTU ), UT U UTU = UTU UT U. Koska U on unitaarinen, UU = I = U U, ja saadaan UT TU = UTT U. Matriisilaskenta 3/7

Todistus 2/2 Kertomalla puolittain matriiseilla U ja U, saadaan T T = TT. (1) Yläkolmiomatriisi, jolle (1) pätee on diagonaalimatriisi, joten väite on todistettu. Seuraus. Normaalin matriisin eri ominaisarvoja vastaavat normeeratut ominaisvektorit ovat ortonormaaleja. Samaa ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit voidaan ortonormalisoida Gram-Schmidt -algoritmilla. Matriisilaskenta 4/7

Esimerkki 1/3 Osoitetaan, että matriisi A = ( 0 ) 1 1 0 on normaali ja diagonalisoidaan se unitaarisesti. Lasketaan A A = ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 1 0 = ( ) 1 0. 0 1 Matriisilaskenta 5/7

Esimerkki 2/3 Edelleen, AA = ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 1 0 = ( ) 1 0, 0 1 eli sama tulos kuin edellä joten A on normaali. Etsitään matriisin A ominaisarvot: det(a λi) = λ 1 1 λ = λ2 + 1 = (λ i)(λ + i), eli λ ± = ±i. Matriisilaskenta 6/7

Esimerkki 3/3 Ratkaistaan yhtälöt Ax = λ ± x. Saadaan ( ) ( ) i 1 i 1, 1 i 0 0 eli ix 1 + x 2 = 0. Valitaan v ± = 1 ( ) 1. 2 ±i Siten A = ( ) 0 1 = 1 0 ( 1 2 1 2 i 2 i 2 = UΛU. ) (i 0 0 i ) ( 1 2 1 2 i 2 i 2 ) Matriisilaskenta 7/7