TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010
Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla f 1 min
Optimaalisuus Mitkä pisteet ovat optimaalisia? Miten ne löydetään?
Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla f 1 min
Pareto-optimaalisuus (PO) Matemaattinen määritelmä: Toisin sanoen: piste on Pareto-optimaalinen, jos ei ole toista sallittua pistettä, joka antaa vähintään yhtä hyvät arvot kaikille objektifunktioille ja ainakin yhdelle paremman Huomaa: Kaikki Pareto-optimaaliset pisteet ovat matemaattisesti yhtä hyviä
Miten valita paras PO-ratkaisu? Kaikki PO-ratkaisut matemaattisesti yhtä hyviä vrt. esim. tason vektorien järjestäminen PO-ratkaisuja mahdollisesti äärettömän monta Tarvitaan lisätietoa liittyen tehtävään, jota ollaan ratkaisemassa
Päätöksentekijä Decision maker (DM) Henkilö (tai henkilöt), joka on asiantuntija ratkaistavan tehtävän alalla Kykenee antamaan tietoa tavoitteisiin liittyvistä paremmuussuhteista kykenee esim. vertailemaan PO-ratkaisuja Ei tarvitse olla ammattilainen optimoinnin alalla Auttaa parhaan PO-ratkaisun (kompromissin) löytämisessä
Pareto-optimaalinen joukko f 2 Koostuu kaikista tehtävän PO-ratkaisuista Esitetään objektiavaruudessa Esim. k=2 PO-joukko on 2-ulotteisen avaruuden osajoukko f 2 f 2 f 1 diskreetti lineaarinen epälineaarinen f 1 f 1
Heikko Pareto-optimaalisuus Jotain tavoitetta voidaan parantaa huonontamatta muita PO-piste on myös heikosti PO PO-pisteet parempia, mutta heikosti PO-pisteitä helpompi tuottaa f 2 Heikosti PO-pisteitä f 1
PO-joukon vaihteluvälit Objektifunktion arvojen vaihteluvälit PO-joukossa antavat tietoa olemassaolevista ratkaisuista Ihanteellinen objektivektori (parhaimmat arvot) kertoo miten hyviä arvoja voidaan saavuttaa Nadir-objektivektori (huonoimmat arvot) kertoo miten huonoja arvoja voidaan joutua hyväksymään Hyödyllistä tietoa päätöksenteossa Käytetään apuna myös joissain menetelmissä
Ihanteellinen objektivektori Koostuu yksittäisten objektifunktioiden parhaimmista arvoista PO-joukossa minimoitaessa pienimmät arvot Löydetään optimoimalla jokaista objektifunktiota erikseen k objektifunktiota k optimointia Ihanteellinen objektivektori ei ole sallittu!
Ihanteellinen objektivektori f 2 min Z = f(s) z * z 2 * z 1 * f 1 min
Nadir-objektivektori Koostuu yksittäisten objektifunktioiden huonoimmista arvoista PO-joukossa minimoitaessa suurimmat arvot Ei kyetä laskemaan tarkasti, joudutaan approksimoimaan Huom. k=2 voidaan laskea tarkasti Esim. käyttäen arvotaulukkoa
Arvotaulukko (pay-off table) Saadaan laskemalla kaikkien objektifunktioiden arvot pisteissä, jotka saatiin laskettaessa z* i:nnellä rivillä on objektifunktioiden arvot pisteessä, jossa f i saavutti optimin diagonaalilla z* z i nad = i:nnen sarakkeen huonoin arvo Voi antaa joko optimistisen tai pessimistisen arvion (riippuu tehtävästä)
Nadir-objektivektori f 2 min z 2 nad Z = f(s) z nad z 2 * z 1 * z 1 nad f 1 min
Referenssipiste Referenssipiste = objektiavaruuden piste, joka sisältää tavoiteltavat arvot objektifunktioille Referenssipisteen komponentteja kutsutaan tavoitetasoiksi Eräs tapa päätöksentekijälle antaa preferenssitietoa (intuitiivinen) Hyödynnetään myös joissain monitavoiteoptimoinnin menetelmissä
Erikoistapaus: 2 tavoitetta Pareto-optimaalisen joukon voi esittää visuaalisesti (jos saatavilla) Jos toista halutaan parantaa, niin toinen f 2 min huononee Käyrältä voidaan valita haluttu ratkaisu Hyvin yleinen tilanne käytännön sovelluksissa f 1 min
Tehtävän skalarisointi Usein monitavoiteoptimoinnissa ideana on muuttaa monitavoitteinen tehtävä yksitavoitteiseksi voidaan hyödyntää yksitavoitteisen optimoinnin menetelmiä Puhutaan tehtävän skalarisoinnista Voidaan tehdä hyvin tai huonosti esimerkkejä myöhemmin
Hyvän menetelmän ominaisuuksia Skalarisointiin perustuvat menetelmät tuottavat yleensä yhden ratkaisun kerrallaan Hyvällä menetelmällä on seuraavat ominaisuudet tuottaa (heikosti) Pareto-optimaalisia ratkaisuja pystyy löytämään jokaisen Pareto-optimaalisen ratkaisun (sopivilla menetelmän parametreilla)
Lähestymistavat Monitavoiteoptimointiin on lukuisia menetelmiä Monitavoiteoptimoinnin menetelmät voidaan luokitella päätöksentekijän roolin mukaan menetelmät, joissa päätöksentekijää ei tarvita Pareto-optimaalisten pisteiden määräämismenetelmät paremmuussuhteiden ennaltamääräämiseen perustuvat menetelmät interaktiiviset menetelmät
Menetelmät, joissa DM:ää ei tarvita DM ei käytettävissä (esim. online-optimointi) Preferenssitietoa ei saatavilla Lasketaan jokin PO ratkaisu Ei ota huomioon ratkaistavan tehtävän luonnetta Nopeita menetelmiä yksi ratkaisu riittää, ei kommunikointia DM:n kanssa
Globaalin tavoitteen menetelmä Minimoidaan etäisyys ihanteelliseen kriteerivektoriin Etäisyyttä voidaan mitata monella tavalla, esim. L p -metriikalla, 1 p Ratkaistaan yksitavoitteinen optimointitehtävä
Globaalin tavoitteen menetelmä
Globaalin tavoitteen menetelmä Kun p=, niin kyseessä on ns. minmaxmetriikka epäsileä optimointitehtävä Jos p <, niin saatu ratkaisu on PO Jos p =, niin ratkaisu on heikosti PO