Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division

Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52

Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä: Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52

Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä: Jos oletukset ovat tosia, niin johtopäätös on tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52

Mitä matematiikka on? Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistä peruskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisesti johdettuja lauseita (teoreemoja). Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä: Jos oletukset ovat tosia, niin johtopäätös on tosi. Matematiikka onkin ainutlaatuista, sillä vain siinä ei ole merkittäviä korjauksia, vaan ainoastaan laajennuksia. Esimerkiksi Pythagoraan lause on edelleen voimassa eikä sitä tarvitse korjata (vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtonin liikelakeihin ja painovoimateoriaan). Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52

Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52

Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52

Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.syy: Jokainen määritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itse määritelmässä käytetään. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52

Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.syy: Jokainen määritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itse määritelmässä käytetään. Samoin mitään lauseita ei voida todistaa, ellei joitakin lauseita oteta perustotuuksiksi (aksiomeiksi), joista muuta lauseet johdetaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52

Mitä matematiikka on? Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekä lauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, mutta samalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti. On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voida määritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi, joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.syy: Jokainen määritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itse määritelmässä käytetään. Samoin mitään lauseita ei voida todistaa, ellei joitakin lauseita oteta perustotuuksiksi (aksiomeiksi), joista muuta lauseet johdetaan. Luonnollista kieltä lyhyempään ja selkeämpään esitykseen päästään ottamalla käyttöön lyhennysmerkintöjä eli symboleja matemaattisille käsitteille. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 52

Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52

Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. Suora kulkee pisteen kautta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52

Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. Suora kulkee pisteen kautta. Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora on aksiomi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52

Esimerkki Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.) Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. Suora kulkee pisteen kautta. Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora on aksiomi. Pythagoraan lause voidaan johtaa loogisesti aksiomeista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 52

Esimerkkejä Esim. 1 Mitä vikaa on seuraavissa käsitteiden puu ja metsä määritelmissä? Puu on kasvi, joka kasvaa metsässä. Metsä on paikka, jossa kasvaa puita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 52

Esimerkkejä Esim. 1 Mitä vikaa on seuraavissa käsitteiden puu ja metsä määritelmissä? Puu on kasvi, joka kasvaa metsässä. Metsä on paikka, jossa kasvaa puita. Esim. 2 Tarkastellaan luvun 2 määrittelyä. Määritellään, että luku 2 on kaikkien sellaisten joukkojen ominaisuus, joissa on 2 alkiota. Mikä vika tässä määritelmässä on? Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. 2. Jukka on ihminen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. 2. Jukka on ihminen. 3. Siispä Jukka pitää matematiikasta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisesta päättelystä 1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia. 2. Sokrates on ihminen. 3. Siispä Sokrates on kuolevainen. Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös. Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös on tosi. Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen: 1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta. 2. Jukka on ihminen. 3. Siispä Jukka pitää matematiikasta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 52

Matemaattisesta päättelystä Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A B (lue: A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:tä väitteeksi. Nuolta sanotaan implikaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 52

Matemaattisesta päättelystä Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A B (lue: A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:tä väitteeksi. Nuolta sanotaan implikaatioksi. Lause A B kirjoitetaan usein muodossa Jos A (on totta), niin B (on totta). Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 52

Matemaattisesta päättelystä Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A B (lue: A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:tä väitteeksi. Nuolta sanotaan implikaatioksi. Lause A B kirjoitetaan usein muodossa Jos A (on totta), niin B (on totta). Edellistä muotoa oleva lause todistetaan siten, että oletetaan A:n olevan totta. Tämän jälkeen suoritetaan ongelmasta riippuen erinäinen määrä samaa tyyppiä olevia päätelmiä, merkitään A 1 A 2. Jos viimeisessä päätelmässä voidaan perustella muotoa A k B oleva lause, voidaan päätellä, että B on totta ja siten lause A B pitää paikkansa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 52

Matemaattisesta päättelystä Usein oletukset voivat olla muotoa A B (lue: A ja B), joka on totta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 52

Matemaattisesta päättelystä Usein oletukset voivat olla muotoa A B (lue: A ja B), joka on totta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta. Oletus voi olla myös muotoa A B (lue: A tai B), joka on totta täsmälleen silloin, kun ainakin toinen A:sta ja B:stä on totta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 52

Matemaattisesta päättelystä Usein oletukset voivat olla muotoa A B (lue: A ja B), joka on totta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta. Oletus voi olla myös muotoa A B (lue: A tai B), joka on totta täsmälleen silloin, kun ainakin toinen A:sta ja B:stä on totta. Huomautus 1 Huomaa, että matematiikan tai poikkeaa luonnollisessa kielessä käytetyn tai:n merkityksestä. Matematiikassa ilmaisussa A B jompi kumpi A tai B on totta tai molemmat ovat totta, kun taas luonnollisessa kielessä tai voi olla myös merkityksessä joko...tai. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 52

Esimerkki Esim. 3 Esimerkiksi hississä törmää ilmaisuun Hissiin mahtuu 8 henkilöä tai 640 kiloa. Ei varmaankaan kannata mennä kokeilemaan mitä tapahtuu, jos hissiin pannaan 8 henkilön lisäksi 640 kiloa. Toisaalta esiintyy ilmaisuja Hakijalta edellytetään filosofian maisterin tai diplomi-insinöörin tutkintoa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 52

Matemaattisesta päättelystä Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B ei olekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöön merkintä A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleen silloin, kun A ei ole totta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 52

Matemaattisesta päättelystä Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B ei olekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöön merkintä A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleen silloin, kun A ei ole totta. Lause voi olla myös muotoa A B (lue: A jos ja vain jos B), mikä tarkoittaa, että joko molemmat A ja B ovat totta tai että A on epätosi ja B on epätosi. Tällöin sanotaan, että A ja B ovat yhtäpitävät. Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 52

Matemaattisesta päättelystä Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B ei olekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöön merkintä A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleen silloin, kun A ei ole totta. Lause voi olla myös muotoa A B (lue: A jos ja vain jos B), mikä tarkoittaa, että joko molemmat A ja B ovat totta tai että A on epätosi ja B on epätosi. Tällöin sanotaan, että A ja B ovat yhtäpitävät. Tyyppiä A B oleva lause todistetaan siten, että A:n totuudesta seuraa B:n totuus (A B) ja että B:n totuudesta seuraa A:n totuus (B A). Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 52

Esimerkkejä Esim. 4 Osoita, että negaatiolle pätee (A B) A B; (A B) A B. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 52

Esimerkkejä Esim. 4 Osoita, että negaatiolle pätee (A B) A B; (A B) A B. Huomautus 2 Huomaa, että esimerkiksi toisen kohdan mukaan A ei ole totta ja B ei ole totta on yhtäpitävää sen kanssa, että väite (A tai B) ei ole totta. Arkikielessä tämä kuulostaa ehkä kummalliselta, jonka vuoksi lyhennysmerkintöjen käyttö on suotavaa ja ne selkeyttävät tilannetta. Samasta syystä jälkimmäisen väitteen ympärille on kirjoitettu sulut. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 52

Esimerkkejä Esim. 5 Muodosta negaatiot seuraaville väitteille Minä valehtelen. Kaikilla naisilla on vaaleat hiukset. Hauki on kala ja Musti on koira. Minä olen paavi tai sinä olet paavi. On olemassa x R siten, että x 2 2x + 1 = 0. On olemassa x R siten, että x 2 2x + 2 = 0. Ovatko edelliset väitteet totta vai ei? Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 52

Esimerkkejä Esim. 6 Eräällä kaukaisella saarella asuu kahdenlaisia ihmisiä, rehtejä ja retkuja. Rehdit kertovat aina totuuden, mutta retkut valehtelevat aina. Eräänä päivänä saaren kolme henkilöä A, B ja C kohtaavat. A sanoo: Olemme kaikki retkuja. B sanoo: Vain yksi meistä on rehti. Mitä A, B ja C ovat? Kaupasta on varastettu viikon kassa ja rikollinen tai rikolliset pakenivat autolla. Kolme tunnettua rikollista A, B ja C pidätettiin ja kuulusteluissa he totesivat seuraavaa: (a) Vain A, B ja C olivat yhteydessä ryöstöön. (b) C tekee keikkansa aina A:n ja mahdollisesti joidenkin muiden kanssa, mutta ei B:n kanssa. (c) B ei osaa ajaa autoa. Onko A syytön? Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 52

Suora päättely Päättelyä Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi sanotaan suoraksi päättelyksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 52

Suora päättely Päättelyä Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi sanotaan suoraksi päättelyksi. Sama voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa (A (A B)) B. Nimitys suora ei suinkaan tarkoita sitä, että välttämättä B seuraisi suoraan ilman välivaiheita A:sta. Nimitys johtuu siitä, että lähdetään oletuksesta liikkeelle ja päädytään erinäisten välivaiheiden jälkeen väitteeseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 52

Suora päättely Päättelyä Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi sanotaan suoraksi päättelyksi. Sama voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa (A (A B)) B. Nimitys suora ei suinkaan tarkoita sitä, että välttämättä B seuraisi suoraan ilman välivaiheita A:sta. Nimitys johtuu siitä, että lähdetään oletuksesta liikkeelle ja päädytään erinäisten välivaiheiden jälkeen väitteeseen. Esim. 7 Osoita, että jos x + 2 = 5, niin x 2 + 4x + 4 = 25. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 52

Epäsuora päättely Matematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistä käyttää epäsuoraa päättelyä: Jos A on totta ja B:stä seuraa A, niin B on tosi, joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa (A ( B A)) B. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 52

Epäsuora päättely Matematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistä käyttää epäsuoraa päättelyä: Jos A on totta ja B:stä seuraa A, niin B on tosi, joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa (A ( B A)) B. Nimitys epäsuora johtuu siitä, että väitteelle B tehdään vastaoletus: B on tosi, ja osoitetaan, että edellisestä seuraa, että A on tosi. Edellinen on kuitenkin mahdotonta oletuksen A on tosi vuoksi, joten päädyttiin ristiriitaan ja näin ollen B:n täytyy olla tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 52

Epäsuora päättely Matematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistä käyttää epäsuoraa päättelyä: Jos A on totta ja B:stä seuraa A, niin B on tosi, joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa (A ( B A)) B. Nimitys epäsuora johtuu siitä, että väitteelle B tehdään vastaoletus: B on tosi, ja osoitetaan, että edellisestä seuraa, että A on tosi. Edellinen on kuitenkin mahdotonta oletuksen A on tosi vuoksi, joten päädyttiin ristiriitaan ja näin ollen B:n täytyy olla tosi. Esim. 8 Osoita lause x 2 x 2 2x 0 epäsuoralla päättelyllä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 52

Esimerkkejä Esim. 9 Oletetaan, että seuraavat väitteet ovat tosia. 1. 2 on transkendenttiluku. 2. Mikään transkendenttiluku ei ole algebrallinen luku. 3. Jokainen rationaaliluku on algebrallinen luku. 4. Jokainen kokonaisluku on rationaaliluku. Onko tällöin väite 2 ei ole kokonaisluku tosi? Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 52

Esimerkkejä Esim. 9 Oletetaan, että seuraavat väitteet ovat tosia. 1. 2 on transkendenttiluku. 2. Mikään transkendenttiluku ei ole algebrallinen luku. 3. Jokainen rationaaliluku on algebrallinen luku. 4. Jokainen kokonaisluku on rationaaliluku. Onko tällöin väite 2 ei ole kokonaisluku tosi? Esim. 10 Oletetaan, että A on tosi ja että B A ja B C. Osoita, että C on tosi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 52

Esimerkkejä Esim. 11 Insinööri on suunnitellut 51 hammasrattaan järjestelmän. Ensimmäinen ratas pyörittää toista, toinen kolmatta ja niin edelleen siten, että 51. hammasratas on yhteydessä ensimmäiseen. Voiko insinöörin järjestelmä pyöriä? Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 52

Esimerkkejä Esim. 11 Insinööri on suunnitellut 51 hammasrattaan järjestelmän. Ensimmäinen ratas pyörittää toista, toinen kolmatta ja niin edelleen siten, että 51. hammasratas on yhteydessä ensimmäiseen. Voiko insinöörin järjestelmä pyöriä? Esim. 12 Marjakauppiaalta jäi litran mitta kotiin, mutta hänellä on torilla viiden litran ja kolmen litran mitat mukanaan. Miten hän mittaa litran marjoja asiakkaalle? Entä neljä litraa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 52

Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52

Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52

Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. 2. Suunnittele ratkaisustrategia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52

Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. 2. Suunnittele ratkaisustrategia. 3. Toteuta strategia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52

Matemaattinen ongelmanratkaisu Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaa seuraavia ohjeita: 1. Ymmärrä ongelma. 2. Suunnittele ratkaisustrategia. 3. Toteuta strategia. 4. Tutki saatua ratkaisua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Piirrä kuva, jos mahdollista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Piirrä kuva, jos mahdollista.käytä sopivia merkintöjä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ongelman ymmärtäminen Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitä varten on hyvä kysyä (a) Mikä on tuntematon? (b) Mitä tunnetaan (mikä on data)? (c) Mikä on ehto? (d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet? Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävä tuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko se ylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen? Piirrä kuva, jos mahdollista.käytä sopivia merkintöjä.jaa ehto osiin, jos mahdollista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. 2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkastele yksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotain erityistapausta. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. 2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkastele yksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotain erityistapausta. 3. Hajota ongelma pienemmiksi osaongelmiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Ratkaisustrategia Ratkaisustrategiaa varten on syytä miettiä Oletko nähnyt ongelmaa ennen? Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa? Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmia käyttää? 1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.edellistä varten saatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntä yhteyttä ei löydy. 2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkastele yksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotain erityistapausta. 3. Hajota ongelma pienemmiksi osaongelmiksi. 4. Tee suunnitelma ongelman ratkaisemiseksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 52

Suunnitelman toteutus Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainen välivaihe. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 52

Suunnitelman toteutus Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainen välivaihe. Nähdäänkö selvästi, että välivaiheet ovat kunnossa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 52

Suunnitelman toteutus Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainen välivaihe. Nähdäänkö selvästi, että välivaiheet ovat kunnossa? Voidaanko osoittaa, että ne ovat oikein? Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 52

Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52

Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52

Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52

Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn? Voidaanko tulos päätellä jotenkin toisin? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52

Ratkaisun tarkastelu Tutki saamaasi ratkaisua. Voitko tarkistaa tuloksen? Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn? Voidaanko tulos päätellä jotenkin toisin? Voidaanko käyttämääsi menetelmää käyttää jonkin muun ongelman ratkaisuun? Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 52

Esimerkkejä Esim. 13 Tarkastellaan sateisen ja sateettoman päivän esiintymistä. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että sateeton tarkoittaa aurinkoista ja että s s, a s, s a ja a a tarkoittavat todennäköisyyksiä s s on todennäköisyys(tn.), että sadepäivän jälkeen on sadepäivä; a s on tn., että sadepäivän jälkeen on aurinkoinen päivä; s a on tn., että aurinkoisen päivän jälkeen on sadepäivä; a a on tn., että aurinkoisen päivän jälkeen on aurinkoinen pv. (a) Osoita, että s s s a = a a a s. (b) Sanotaan, että sadepäivä seuraa sadepäivää todennäköisemmin kuin sateetonta päivää. Mitä edellinen tarkalleen ottaen tarkoittaa todennäköisyyksin ilmaistuna? Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 52

Esimerkkejä Esim. 14 Perustele geometrisesti binomin neliön kaavat (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 kaikilla a,b > 0, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 kaikilla a,b > 0, geometrisesti. Pätevätkö tulokset kaikilla a,b R? Jos pätee, niin miten perustelet ne? Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 52

Esimerkkejä Osoitetaan, että 4 = 5. Lisätään yhtälöön puolittain 81 4 = ( 9 2) 2, jolloin 16 2 4 9 2 = 25 2 5 9 2 16 2 4 9 2 + 81 4 = 25 2 5 9 2 + 81 4. Käyttämällä binomin neliön kaavaa saadaan ( 9) 2 ( 9) 2. 4 = 5 2 2 Ottamalla edellisestä puolittain neliöjuuret saadaan Missä vika? 4 9 2 = 5 9 2 4 = 5!. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 52

Esimerkkejä Esim. 15 Määrää toisen asteen yhtälölle ax 2 + bx + c = 0 ratkaisukaava toteuttamalla seuraavaa ratkaisustrategiaa Tarkastele aluksi tapausta a = 0 ja ratkaise se. Koska tapaus a = 0 on ratkaistu, tarkastellaan loppuosassa tapausta a 0. Oletetaan ensin, että b = 0, ja ratkaistaan tämä tapaus. Mieti miten tapaus a,b 0 voidaan palauttaa edelliseen tapaukseen? (Vihje: käytä neliöimismenettelyä). Kun suoritat edellä mainitut kohdat, perustele kussakin kohdassa tarkasti millä parametrien a,b ja c ehdoilla yhtälö on ratkeava. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 52

Esimerkkejä Esim. 16 Osoita, että kaikista suorakulmioista, joiden piiri on vakio L, suurin on neliö. Mikä yhteys edellisellä ongelmalla on aritmeettis-geometriseen epäyhtälöön? Kyseinen epäyhtälö on x 1 + x 2 + +x n n n x 1 x 2 x n kaikilla n = 1,2,... ja x 1,x 2,...,x n 0. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos x 1 = x 2 = = x n. Osoita aritmeettis-geometrista epäyhtälöä käyttäen, että suorakulmaisista särmiöistä, joiden pinnan ala on vakio S, tilavuudeltaan suurin on kuutio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 52

Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52

Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukolle käytetään merkintää Z, joka on Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52

Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukolle käytetään merkintää Z, joka on Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. Rationaalilukujen joukolle käytetään merkintää Q ja se koostuu muotoa m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, olevista luvuista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52

Lukujoukoista Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäisellä luokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujen joukolle käytetään merkintää N, joka on N = {0,1,2,...}. Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukolle käytetään merkintää Z, joka on Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. Rationaalilukujen joukolle käytetään merkintää Q ja se koostuu muotoa m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, olevista luvuista. Lopulta päädytään reaalilukujen joukkoon R, jota voidaan ajatella lukusuorana. Jokainen lukusuoran piste vastaa tiettyä reaalilukua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 52

Lukujoukoista Usein positiivisille ja negatiivisille konaisluvuille käytetään omaa merkintää, Z + = {1,2,...}, Z = { 1, 2,...}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 52

Lukujoukoista Usein positiivisille ja negatiivisille konaisluvuille käytetään omaa merkintää, Z + = {1,2,...}, Z = { 1, 2,...}. Jokainen luonnollinen luku on myös kokonaisluku, jokainen kokonaisluku on rationaaliluku ja jokainen rationaaliluku on reaaliluku. Sellaisia reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, sanotaan irrationaaliluvuiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 52

Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52

Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52

Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52

Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen luku p 0, että n = m+p. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52

Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen luku p 0, että n = m+p. Järjestyksellä tarkoitetaan, että m n jos ja vain jos m = n tai m < n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52

Lukujoukkojen ominaisuuksista Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujen lukujoukkojen ominaisuuksia. Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku ( ). Lukua m+n sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m n lukujen m ja n tuloksi. Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen luku p 0, että n = m+p. Järjestyksellä tarkoitetaan, että m n jos ja vain jos m = n tai m < n. Esim. 17 Osoita, että 5 > 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 52

Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52

Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt. Yhteenlaskulle pätee m+n = n+ m (vaihdantalaki) Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52

Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt. Yhteenlaskulle pätee m+n = n+ m (vaihdantalaki); (m+n)+p = m+(n+p) (liitäntälaki). Myös kertolaskulla on samat ominaisuudet. Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52

Luonnollisten lukujen laskutoimitukset Myös lukujen vähennyslasku ( ) voidaan määritellä tietyin varauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niin luonnollista lukua p, jolle m+ p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja merkitään p = n m. Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt. Yhteenlaskulle pätee m+n = n+ m (vaihdantalaki); (m+n)+p = m+(n+p) (liitäntälaki). Myös kertolaskulla on samat ominaisuudet. Lisäksi laskutoimituksille pätee m (n+p) = m n+m p (osittelulaki). Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 52

Laskutoimitusten ominaisuudet Yhteen- ja kertolaskulle pätevät seuraavat supistussäännöt: m = n jos ja vain jos m+p = n+p kaikilla luonnollisilla luvuilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 52

Laskutoimitusten ominaisuudet Yhteen- ja kertolaskulle pätevät seuraavat supistussäännöt: m = n jos ja vain jos m+p = n+p kaikilla luonnollisilla luvuilla. jos m = n, niin p m = p n kaikilla luonnollisilla luvuilla p. Kääntäen, jos p 0, niin ehdosta p m = p n seuraa, että m = n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 52

Esimerkkejä Esim. 18 Miksi voidaan kirjoittaa a+b+ c merkintöjen (a+b)+c tai a+(b+c) sijaan? Näytä miten vaihdanta- ja liitäntälakia käyttäen voidaan nopeasti laskea summa 3 +(85 + 97). Hyödynnä laskutoimitusten ominaisuuksia summan 5+6+5+3+4 laskemiseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 52

Esimerkkejä Esim. 18 Miksi voidaan kirjoittaa a+b+ c merkintöjen (a+b)+c tai a+(b+c) sijaan? Näytä miten vaihdanta- ja liitäntälakia käyttäen voidaan nopeasti laskea summa 3 +(85 + 97). Hyödynnä laskutoimitusten ominaisuuksia summan 5+6+5+3+4 laskemiseen. Esim. 19 Ratkaise N:ssä (jokainen välivaihe perustellen) yhtälöt 5(x + 6) = 30; 6(x + 2) = 6x + 12; (x + 1)(x + 2) = 5x + 5 käyttämättä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 52

Jaollisuus Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujen jaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudella tarkoitetaan? Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 52

Jaollisuus Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujen jaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudella tarkoitetaan? Määr. 1 Sanotaan, että luonnollinen luku n on jaollinen luonnollisella luvulla m 0, jos on olemassa sellainen luonnollinen luku k, että n = km. Lukua m sanotaan luvun n tekijäksi tai että m jakaa luvun n ja merkitään m n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 52

Jaollisuus Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujen jaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudella tarkoitetaan? Määr. 1 Sanotaan, että luonnollinen luku n on jaollinen luonnollisella luvulla m 0, jos on olemassa sellainen luonnollinen luku k, että n = km. Lukua m sanotaan luvun n tekijäksi tai että m jakaa luvun n ja merkitään m n. Esimerkiksi 2 6, sillä 6 = 3 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 52

Jaollisuus Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2 52, mutta 3 ei jaa lukua 52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = 17 3 + 1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 52

Jaollisuus Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2 52, mutta 3 ei jaa lukua 52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = 17 3 + 1.Yleisesti pätee Lause 1 (Jakoyhtälö) Jos m,n 0 ovat luonnollisia lukuja, niin on olemassa yksikäsitteiset luvut q ja r siten, että m = q n+r ja 0 r < n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 52

Jaollisuus Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2 52, mutta 3 ei jaa lukua 52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = 17 3 + 1.Yleisesti pätee Lause 1 (Jakoyhtälö) Jos m,n 0 ovat luonnollisia lukuja, niin on olemassa yksikäsitteiset luvut q ja r siten, että m = q n+r ja 0 r < n. Luku n on parillinen, jos se on jaollinen luvulla 2. Jos luku ei ole parillinen, niin sen sanotaan olevan pariton. Jakoyhtälön mukaan jälkimmäisessä tapauksessa n voidaan kirjoittaa muodossa n = 2k + 1 jollakin luonnollisella luvulla k. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 52

Alkuluvut Erityisessä asemassa ovat alkuluvut. Määr. 2 Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 52

Alkuluvut Erityisessä asemassa ovat alkuluvut. Määr. 2 Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja n. Miksi alkuluvut ovat erityisessä asemassa, paljastuu seuraavasta lauseesta. Lause 2 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen luonnollinen luku n 2 voidaan esittää täsmälleen yhdellä tavalla alkulukujen tulona, kun tekijöiden järjestystä ei huomioida ko. tulossa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 52

Alkuluvut Erityisessä asemassa ovat alkuluvut. Määr. 2 Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja n. Miksi alkuluvut ovat erityisessä asemassa, paljastuu seuraavasta lauseesta. Lause 2 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen luonnollinen luku n 2 voidaan esittää täsmälleen yhdellä tavalla alkulukujen tulona, kun tekijöiden järjestystä ei huomioida ko. tulossa. Esimerkiksi 105 voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa 105 = 3 5 7. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 52

Esimerkkejä Esim. 20 Osoita, että jaollisuudella on seuraavat ominaisuudet: Jos k a ja k b, niin k (a+b) (summan jaollisuussääntö). Jos k a ja r on luonnollinen luku, niin k (ra) (tulon jaollisuussääntö). Miten edellisistä seuraa, että jos k a ja k b, niin k (ra+sb) kaikilla luonnollisilla luvuilla r ja s? Esim. 21 Määrää lukujen 42 ja 70 tekijät. Esitä luvut 42 ja 70 alkutekijöiden tulona. Jos p 1,p 2,...,p n ovat alkulukuja, niin mitä voidaan sanoa luvun p 1 p 2 p n + 1 alku(luku)tekijöistä? Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 52

Esimerkkejä Esim. 22 Lukua d sanotaan lukujen m ja n yhteiseksi tekijäksi, jos d m ja d n. Määrää lukujen 182 ja 442 suurin yhteinen tekijä (a) määräämällä ko. lukujen kaikki tekijät. (b) käyttämällä aritmetiikan peruslausetta. Esim. 23 Osoita, että parittomien lukujen summa on parillinen. Osoita, että parittomien lukujen tulo on pariton. Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen (Vihje: Käytä epäsuoraa päättelyä). Olkoon n pariton luonnollinen luku. Osoita, että 8 (n 2 1). Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 52

Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52

Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Yhtälö m+x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0. Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen luku x, että m+x = 0. Lukua x sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintää x = m. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52

Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Yhtälö m+x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0. Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen luku x, että m+x = 0. Lukua x sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintää x = m. Tällöin lukujen m ja n erotus voidaan määritellä yhtälön n + x = m ratkaisuna ja vähennyslasku tulee määritellyksi kaikilla luvuilla m ja n. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52

Kokonaisluvut Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotus voidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko. rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotus tulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuu lisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut. Yhtälö m+x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0. Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukua m kohti on olemassa sellainen luku x, että m+x = 0. Lukua x sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintää x = m. Tällöin lukujen m ja n erotus voidaan määritellä yhtälön n + x = m ratkaisuna ja vähennyslasku tulee määritellyksi kaikilla luvuilla m ja n. Uuden lukujoukon lukuja sanotaan kokonaisluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Z. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 52

Kokonaisluvut Kokonaislukujen joukolla on siis jo enemmän rakennetta kuin N:llä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 52

Kokonaisluvut Kokonaislukujen joukolla on siis jo enemmän rakennetta kuin N:llä. Z:ssa on määritelty kolme laskutoimitusta +,, kahden sijaan ja jokaisella kokonaisluvulla on vastaluku. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Lukuja m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, sanotaan rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Lukuja m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, sanotaan rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q. Uudessa lukujoukossa on määritelty kolmen edellä mainitun laskutoimituksen +,, lisäksi jakolasku. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52

Rationaaliluvut Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymällä N:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa. Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1, jolloin x = ±1. Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisu kaikilla luvuilla b ja a 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m n ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, jos b = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi. Lukuja m n, missä m,n ovat kokonaislukuja ja n 0, sanotaan rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q. Uudessa lukujoukossa on määritelty kolmen edellä mainitun laskutoimituksen +,, lisäksi jakolasku. Jälleen saatiin lisää rakennetta Z:aan verrattuna, sillä jokaiselle nollasta eroavalle luvulle löytyy käänteisalkio ja saatiin uusi laskutoimitus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 52