DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa Täten esimerkiksi termi Tu u u u y T u tarkoittaa järjestelmän ulostuloa, kun sisäänmeno on Lineaarinen järjestelmä on sekä additiivinen että homogeeninen Mahdollisimman selväsanainen kuvaus lineaarisuuden määritelmästä voisi olla jotakin seuraavanlaista Additiivisuusehdolle on vaikea keksiä erityisen selväsanaista kuvausta Kyse on siitä, että jos sisäänmeno tuottaa ulostulon a, ja jos sisäänmeno tuottaa ulostulon b, additiivisen järjestelmän sisäänmeno + tuottaa ulostulon a + b Homogeenisuusehto tarkoittaa sitä, että sisäänmenon kertominen tietyllä vakiolla aiheuttaa sen, että myös ulostulo tulee kerrotuksi tällä samalla vakiolla Eli jos esimerkiksi sisäänmeno tuplataan, homogeenisessa järjestelmässä myös ulostulo tuplaantuu Lineaarisuuden käsitettä käytetään usein virheellisesti suoran yhtälöä noudattavan käyttäytymisen synonyyminä Näin ei siis saisi tehdä Jos järjestelmällä on vain yksi sisäänmeno ja yksi ulostulo, eli jos järjestelmän ulostulon ja sisäänmenon välinen riippuvuus on kuvattavissa yksittäisellä käyrällä, lineaarisella järjestelmällä tämä käyrä on on origon kautta kulkeva suora Tehtävä Kuten edellä kerrottiin, lineaarisuuden määritelmässä esiintyvä termi T{x} tarkoittaa järjestelmän ulostuloa, kun sisäänmenona on x Jotta lineaarisuuden määritelmää voidaan käyttää järjestelmän lineaarisuuden selvittämisessä, tarkasteltavan järjestelmän ulostulo on ensin pystyttävä lausumaan järjestelmän sisäänmenon avulla (a) Ulostulo on järjestelmän (a) lausekkeessa jo valmiiksi ratkaistuna, joten lineaarisuuden määritelmää voidaan soveltaa suoraan annettuun lausekkeeseen Järjestelmä (a) on toisin sanoen sellainen, jonka ulostuloksi tulee järjestelmän sisäänmeno viitosella kerrottuna Tarkastellaan, onko tällainen järjestelmä lineaarinen Selvitetään ensin additiivisuus: 5 5 5 T u u u u u u T u T u Täten järjestelmä (a) on additiivinen
Selvitetään sitten homogeenisuus: 5 5 T au au a u at u Täten järjestelmä (a) on myös homogeeninen Järjestelmä (a) on additiivinen ja homogeeninen, joten järjestelmä (a) on lineaarinen (b) Jotta voidaan tarkastella järjestelmän (b) lineaarisuutta, järjestelmää kuvaavasta yhtälöstä on ensin ratkaistava ulostulo y: y u 4 y u 8 Lineaarisuutta voitaisiin tässäkin tarkastella erikseen additiivisuus- ja homogeenisuusehdon avulla, mutta käytetään nyt nämä ehdot yhdistävää lineaarisuuden määritelmän lauseketta T u u T u T u, jossa u ja u ovat järjestelmän sisäänmenoja, ja ja ovat vakioita Kirjoitetaan erikseen auki lineaarisuuden määritelmän lausekkeen vasen ja oikea puoli ja katsotaan, saadaanko ne yhtäsuuriksi Lineaarisuuden määritelmän vasemmasta puolesta saadaan: T u u u u 8u u 8 Vastaavasti lineaarisuuden määritelmän oikeasta puolesta saadaan: 8 8 8 T u T u u u u u Huomataan, että lineaarisuuden määritelmän vasenta ja oikeaa puolta ei saada yhtäsuurksi, joten järjestelmä (b) ei ole lineaarinen (c) Ulostulo on järjestelmää (c) kuvaavassa yhtälössä jo valmiiksi ratkaistuna, joten lineaarisuuden määritelmää voidaan soveltaa suoraan Kirjoitetaan auki lineaarisuuden määritelmän vasen puoli: sin sin cos cos sin T u u u u u u u u
Kirjoitetaan auki lineaarisuuden määritelmän oikea puoli: sin sin T u T u u u Lineaarisuuden määritelmän vasemmasta ja oikeasta puolesta ei saada yhtäsuuria, joten järjestelmä (c) ei ole lineaarinen Tehtävä Jotta järjestelmän lineaarisuutta pystytään tarkastelemaan, on ensin muodostettava yhteys järjestelmän sisäänmenon ja ulostulon välille Tällä kertaa tuo yhteys saadaan kondensaattorin virta-jännite-yhtälöstä, jonka mukaan du i c c, jossa u c on kondensaattorin jännite, kapasitanssi ja i c kondensaattorin virta Nyt siis i c on sisäänmeno ja u c ulostulo Eli yllä olevassa lausekkeessa sisäänmeno on lausuttu ulostulon avulla Lineaarisuuden tarkastelua varten järjestelmän ulostulo pitää kuitenkin lausua sisäänmenon avulla, joten ratkaistaan u c : du c ic uc ic U Tässä U edustaa matemaattisesti integroimisvakioa ja fysikaalisesti kondensaattorin yli olevaa jännitettä integroinnin alkuhetkellä Nyt ulostulo u c on lausuttu sisäänmenon i c avulla, ja voidaan tarkastella järjestelmän lineaarisuutta Kirjoitetaan ensin auki lineaarisuuden määritelmän vasen puoli: T{i c + i c } = ic ic U ic ic Kirjoitetaan sitten auki lineaarisuuden määritelmän oikea puoli: T{i c } + T{i c } = i c U ic ic U i c U Huomataan, että lineaarisuuden ehto toteutuu ehdolla U = 0 V Tämä tarkoittaa siis sitä, että alunperin varaamaton kondensaattori on lineaarinen järjestelmä Mutta jos kondensaattorien levyjen välillä on nollasta poikkeava jännite tarkastelun alkuhetkellä, järjestelmä on epälineaarinen U 3
Tehtävä 3 Kirjoitetaan lauseke järjestelmän ulostulon ja sisäänmenon välille Ulostulo on vastuksen teho p(t), ja sisäänmeno on lähdejännite u(t), joka on tässä tapauksessa samalla vastuksen pt utit yli oleva jännite: Ulostulo on nyt lausuttu sisäänmenon avulla, mutta lineaarisuuden määritelmää ei voida vielä käyttää, koska yhtälössä on ylimääräinen muuttuja, eli kytkennän virta i(t) Siitä on siis päästävä eroon Kun virta lausutaan u(t) avulla, saadaan: p t u t u t u t Nyt järjestelmän lineaarisuutta voidaan tarkastellaan lineaarisuuden määritelmän avulla Kirjoitetaan auki lineaarisuuden määritelmän vasen puoli: u u u uu u T u u Kirjoitetaan auki lineaarisuuden määritelmän oikea puoli: u u TuTu Huomataan, että järjestelmä ei ole lineaarinen Tehtävä 4 Lähdetään muodostamaan yhtälöä ulostulon U ja sisäänmenon J välille Merkitään oikean haaran kokonaisresistanssia muuttujalla apu ja lausutaan virta I virranjaon avulla: apu apu I J J apu apu apu Jännitteeksi U saadaan nyt U I, joten ulostulon U ja sisäänmenon J välillä on riippuvuus U J J apu 3 4 4
Huomaa, että hankalahkosta lausekkeesta huolimatta ulostulon ja sisäänmenon välinen riippuvuus on muotoa U aj, jossa a on vakio, sillä kaikki resistanssit ovat vakioita Täten järjestelmä on samaa muotoa kuin tehtävässä (a), eli kyseessä on lineaarinen järjestelmä Lineaarisuuden määritelmän vasemmasta puolesta saadaan J J a J J T, ja oikeasta puolesta tulee J TJ aj aj a J J T Järjestelmä on lineaarinen Tehtävä 5 Koska siis {, 3, 5} {, -, -3, 3}, niin {0, 0,, 3, 5} {0, 0,, -, -3, 3} Edellinen voidaan kirjoittaa sillä perusteella, että systeemi on aikainvariantti Konkreettisesti tämä tarkoittaa sitä, että systeemi käynnistetään kahta diskreettiä ajanhetkeä myöhemmin Edelleen lineaarisuuden homogeenisuusehdon perusteella voidaan kirjoittaa (kerrotaan sekä sisäänmeno että ulostulo samalla skalaarilla ): {, 6, 0} {, -4, -6, 6} Kuten edellä, aikainvarianttisuuden perusteella voidaan kirjoittaa {0, 0, 0, 0, 0, 0,, 6, 0} {0, 0, 0, 0, 0, 0,, -4, -6, 6} Nyt uusi sisäänmenolukujono voidaan kirjoittaa kahden lukujonon summana, ts {0, 0,, 3, 5, 0,, 6, 0} {0, 0,, 3, 5} + {0, 0, 0, 0, 0, 0,, 6, 0} Koska systeemi on lineaarinen, additiivisuusehto (eli yhteenlaskuperiaate) on voimassa Täten ulostuloksi saadaan edellisiä sisäänmenolukujonoja vastaavien ulostulolukujonojen summa, ts {0, 0,, -, -3, 3} + {0, 0, 0, 0, 0, 0,, -4, -6, 6} {0, 0,, -, -3, 3,, -4, -6, 6} 5