Hyperbolisen geometrian analyyttisiä malleja

Hyperbolisen geometrian analyyttisiä malleja Petri Kymäläinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 014

Tiivistelmä: P. Kymäläinen, Hyperbolisen geometrian analyyttisiä malleja engl. Analytic Models of Hyperbolic Geometry), matematiikan pro gradu -tutkielma, 3. s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, syksy 014. Tässä tutkielmassa esitellään viisi erilaista Riemannin monistoa, jotka toimivat hyperbolisen geometrian analyyttisinä malleina. Geometria voidaan karkeasti jakaa kahteen eri tapaukseen, euklidiseen ja epäeuklidiseen. Euklidisessa geometriassa pätee Eukleideen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma. Näin ei kuitenkaan ole laita hyperbolisessa geometriassa, joka luokitellaan epäeuklidiseksi geometriaksi. Analyyttisellä geometrialla taas tarkoitetaan koordinaatistoon sidottua geometriaa. Tässä tapauksessa nämä geometrian mallit ovat topologisia -ulotteisia pintoja euklidisessa avaruudessa R 3. Lisäksi tutkielman malleissa hyödynnetään näille pinnoille määriteltyä sileää differentiaalirakennetta, jolloin voidaan käyttää mallista nimitystä sileä monisto. Riemannin monistossa on määritelty -kovariantti tensorikenttä, Riemannin metriikka, jonka avulla voidaan selvittää geodeesi eli sileä polku, jonka kuva monistolla on kahden pisteen välinen lyhin reitti eli geometrinen jana. Myös sellaiset geometriset oliot kuin suora ja kulma määritellään Riemannin metriikan avulla. Tutkielmassa johdetaan keino geodeesien laskemiseksi geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän σ k + Γ k ij σ) σ i σ j 0 i,j=1 avulla. Tämän yhtälöryhmän ratkaisuna hahmotellaan suorat yhdessä hyperbolisen geometrian mallissa, Poincarén puolitasossa H, g H ). Lopuksi tutkielmassa esitellään metriikan siirto, joka on keino muodostaa alkuperäisen mallin kaltaisia uusia hyperbolisen geometrian malleja sopivien diffeomorfismien avulla. Tätä menetelmää käytetään neljän muun Riemannin moniston muodostamiseen. Avainsanoja: differentiaaligeometria, geodeesi, geometria, metriikka, monisto. i

Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Differentiaaligeometrian perusteita 1.1. Sileä monisto M n, A) 1.. Tangenttiavaruus T p M 3 1.3. Differentiaali 7 1.4. Kotangenttiavaruus Tp M 7 1.5. Tensorialgebra Tr k T M) 8 Luku. Geodeesi Riemannin monistolla 11.1. Riemannin monisto M, g) 11.. Moniston M lineaarinen konnektio 13.3. Geodeettinen differentiaaliyhtälöryhmä 15 Luku 3. Poincarén puolitaso H, g H ) 17 3.1. Geodeesit Poincarén puolitasossa 18 Luku 4. Muita hyperbolisen geometrian malleja 4.1. Metriikan siirto 4.. Poincarén kiekko D, g D ) 4.3. Puolipallomalli J, g J ) 3 4.4. Kleinin ja Beltramin kiekko D, g K ) 4 4.5. Hyperboloidimalli L, g L ) 6 Liite A. Kuvia 8 Liite B. Merkintöjä 31 Kirjallisuutta 3 ii

Johdanto Geometrian analyyttisellä mallilla tarkoitetaan sellaista metristä avaruutta G, d), missä G on yhdesti yhtenäinen joukko ts. ei sisällä reikiä ) ja d : G G R metriikka, jolla voidaan mitata joukon pisteiden välisiä etäisyyksiä. Esimerkiksi perinteinen euklidinen tasogeometria voidaan mallintaa metrisellä avaruudella R, d E ), missä tavanomainen euklidinen metriikka määritellään d E : R R R : x 1, y 1 ) x, y ) x 1 x ) + y 1 y ). Tässä geometrisessa mallissa kahta pistettä yhdistävä jana näyttää tavanomaisella suoralla viivaimella piirretyltä janalta. Tämä jana voidaan jatkaa suoraksi samaa viivainta käyttämällä. Kyseessä on siis euklidisen geometrian malli, joka toteuttaa ns. paralleeliaksiooman, joka voidaan muotoilla näin: Jokaisella suoralla l ja pisteellä P, joka ei ole suoralla l, on olemassa samassa tasossa täsmälleen yksi suora m pisteen P kautta siten, että suorat l ja m eivät leikkaa eli ovat yhdensuuntaisia) [[], s. 61]. Tätä aksioomaa pidettiin pitkään selviönä. Tämän tutkielman aikana tullaan kuitenkin rakentamaan useita malleja, joissa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Paralleeliaksiooman negaatiohan kuuluu, että pisteen P kautta kulkevia suoran l kanssa samassa tasossa yhdensuuntaisia suoria joko ei ole olemassa ts. kaikki suorat leikkaavat jossain pisteessä) tai niitä on vähintään kaksi. Mikäli jälkimmäinen ehto on tosi, kyseessä on hyperbolisen geometrian malli. Geometrian analyyttisiä malleja voisi lähteä tutkimaan suoraan edellä kuvaillun kaltaisina topologisina avaruuksina, mutta jatkon kannalta on edullista lisätä hieman rakennetta. Differentiaalirakenteen luominen mahdollistaa uusien mallien rakentamisen jonkun tunnetun mallin pohjalta. Perustietoina lukijan oletetaan perehtyneen differentiaalilaskennan perusteisiin sekä sellaisiin topologian peruskäsitteisiin kuten joukon avoimuus topologian tai metriikan) suhteen sekä kuvausten jatkuvuus. 1

LUKU 1 Differentiaaligeometrian perusteita Differentiaaligeometria voidaan hyvin laajasti määritellä geometriaksi, joka hyödyntää differentiaali- ja integraalilaskentaa. Newtonin ja Leibnizin päivistä lähtien on differentiaalilaskentaa sovellettu analyyttiseen geometriaan, mutta melkoisen sysäyksen tutkimukselle antoi saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss 1777-1855), joka käytti selvästi analyysin termejä geometrian tutkimuksessa. Hän kehitti differentiaaligeometrian termejä kuten polun kaarevuus ja kaarevuussäde. Itse asiassa Gauss oli ensimmäisiä matemaatikoita, jotka osoittivat, että epäeuklidisia ts. muiden Eukleideen aksioomien paitsi paralleeliaksiooman täyttäviä) ristiriidattomia geometrioita on olemassa! [[1], s. 505, 506, 519-5] Differentiaaligeometrialle on ajan myötä löytynyt niin monia sovelluksia luonnontieteissä, että siitä on muodostunut epäilemättä tärkein modernin geometrian tutkimusala. Siksi tutkielmassa rajaudutaan hyvin suppeaan differentiaaligeometrian osaalueeseen, Riemannin monistojen teoriaan. Tästäkin teoriasta poimitaan vain tutkielman tavoitteen kannalta tärkeimmät tulokset, joiden avulla pystytään mallintamaan hyperbolista geometriaa kaksiulotteisilla Riemannin monistoilla. Tämän luvun tarkoituksena on määritellä tarpeelliset differentiaaligeometrian peruskäsitteet. Käsitteiden määrittely tapahtuu hyvin abstraktilla tasolla, joten todellista geometrista intuitiota aiheeseen saadaan vasta myöhemmissä luvuissa. Tutkielman lukujen 1 ja merkinnät ja todistusten ideat perustuvat Enrico Le Donnen Jyväskylän yliopistossa syksyllä 013 pitämien kurssien luentomuistiinpanoihin [4] ja [5] sekä kirjoihin [6] ja [7]. 1.1. Sileä monisto M n, A) Määritelmä 1.1. Euklidisessa mielessä jatkuva kuvaus f : R n R m on sileä, f C, jos komponenttikuvausten f i kaikki osittaisderivaatat k 1+k +...+k n f i x k 1 1, x k,..., x kn n ovat olemassa ja jatkuvia. kaikilla i {1,,..., m} ja kaikilla k 1, k... k n N Määritelmä 1.. Olkoon n N. Topologinen avaruus M n on monisto, jos se on Hausdorff-avaruus, sen topologialla on olemassa numeroituva kanta ja sen jokaisella pisteellä p M n on olemassa ympäristö U M n siten, että kuvaus ϕ : U R n on homeomorfismi ts. jatkuva bijektio, jolla on jatkuva käänteiskuvaus) avoimien joukkojen U ja ϕu) välillä. Homeomorfismia ϕ kutsutaan koordinaattikuvaukseksi ja paria U, ϕ) koordinaattisysteemiksi. Lukua n kutsutaan moniston dimensioksi.

1.. TANGENTTIAVARUUS T pm 3 Määritelmä 1.3. Olkoon M n monisto. Koordinaattisysteemien kokoelma A := {U α, ϕ α ) : α A)} numeroituvalla indeksijoukolla A on moniston M n sileä atlas jos i) M n = α A U α ja ii) yhdistetty kuvaus ϕ α ϕ 1 β : ϕ β U α U β ) ϕ α U α U β ) on sileä kaikilla α, β A, joilla U α U β. Jos moniston M sileä atlas A ei sisälly mihinkään aidosti mahtavampaan sileään atlakseen, eli atlas on maksimaalinen, kutsutaan sitä moniston M sileäksi differentiaalirakenteeksi ja tällöin paria M n, A) kutsutaan sileäksi monistoksi. Tästä lähtien merkitään sileää monistoa lyhyesti M := M n, A), kun moniston dimension ja differentiaalirakenteen suhteen ei ole epäselvyyttä. Yksi esimerkki sileästä monistosta on euklidinen avaruus R n, jonka sileä differentiaalirakenne koostuu yhdestä koordinaattisysteemistä R n, id). Toinen esimerkki on yksikköpallo S := {x 1, x, x 3 ) R 3 : x 1 + x + x 3 = 1}, joka pystytään esittämään tasossa R tai kompleksitasossa C) vähintään kahden kartan, ns. stereografisen projektion, avulla. Tämän todistamiseksi riittää osoittaa, että käytettävät stereografiset projektiot ovat sileitä homeomorfismeja, mikä puolestaan seuraa siitä, että stereografinen projektio on konformikuvaus [[3], s. 7-75]. 1.. Tangenttiavaruus T p M Differentiaaligeometriassa tehdään usein ero termien kuvaus ja funktio ts. reaaliarvoinen kuvaus) välille. Syy tähän nähdään pian. Määritelmä 1.4. Olkoot M n 1, A 1 ) ja M m, A ) sileitä monistoja. Kuvaus f : M n 1 R on sileä funktio, f C M n 1 ), jos kaikilla U, ϕ) A 1 yhdistetty kuvaus f ϕ 1 : ϕu) R on sileä euklidisessa mielessä. Vastaavasti kuvaus F : M1 n M m on sileä kuvaus, F C M1 n, M m ), jos kaikilla U 1, ϕ 1 ) A 1, U, ϕ ) A yhdistetty kuvaus on sileä euklidisessa mielessä. ϕ F ϕ 1 1 : ϕ 1 U 1 ) R m Lyhyesti tiivistettynä sileällä kuvauksella tarkoitetaan differentiaaligeometriassa kuvausta monistolta monistolle. Tällöinhän, jos valitaan M = R ja varustetaan se tavanomaisella euklidisella differentiaalirakenteella, nämä kaksi määritelmää ovat yhtenevät. Lisäksi kahden sileän kuvauksen F 1 ja F yhdiste F F 1 on sileä kuvaus aina kun se on määritelty. Palataan sileisiin kuvauksiin myöhemmin tutkielmassa. Nyt tarkoituksena on selventää, mitä tarkoittaa tangenttivektori eli lineaarinen derivaatio sileiden funktioiden muodostamassa algebrassa.

1.. TANGENTTIAVARUUS T pm 4 Määritelmä 1.5. Olkoon M sileä monisto, p M ja olkoot U 1, U pisteen p ympäristöjä. Sileät funktiot f i : U i R kaikilla i {1, } ovat ekvivalentteja pisteessä p, f 1 p f, jos on olemassa ympäristö V p, jolle V U 1 U ja f 1 V = f V. Merkitään edellä määritellyn ekvivalenssirelaation muodostamaa ekvivalenssiluokkaa f := [f] p = {g : U R : f p g}. Merkitään ekvivalenssiluokkien kokoelmaa C p) := {f : f C U) ja p U} ja määritellään tähän joukkoon vektoriavaruuden laskutoimitukset + :C p) C p) C p) : f, g) [f + g] p, :R C p) C p) : λ, f) [λf] p. Määritellään lisäksi kertolasku pisteessä p siten, että kaikilla f, g C p) pätee f g)p) := fp) gp). Nyt joukko C p) muodostaa algebran ts. vektoriavaruuden, jossa on myös bilineaarinen kertolasku), sillä kaikilla f, g C p) ja a, b R Joukko af + bg = a[f] p + b[g] p = [af] p + [bg] p = [af + bg] p C p) ja af bg)p) = ab[f] p p) [g] p p)) = abfp) gp)). C p) 0 := {f C p) : fp) = fp) = 0} on algebran C p) ideaali, sillä kaikilla f C p) ja g C p) 0 pätee f g)p) = fp) 0 = 0 ja g f)p) = 0 fp) = 0. Määritelmä 1.6. Tangettivektori ν pisteessä p M on lineaarinen derivaatio ν : C p) R, ts. toteuttaa kaikilla f, g C p) ja λ R lineaarisuusehdon 1) ja Leibnizin säännön ): 1) : νf + λg) = νf) + λνg), ) : νf g) = fp)νg) + gp)νf). Sileän moniston M tangenttiavaruus pisteessä p M on T p M := {ν : ν tangenttivektori pisteessä p M}. Tangenttivektorin lineaarisuusehdosta seuraa, että myös tangenttiavaruudet kaikissa moniston pisteissä ovat vektoriavaruuksia. Todistetaan seuraavaksi tärkeä lause, jonka mukaan dimt p M n ) = dimm n ) = n kaikilla p M. Tämän lauseen todistamiseksi on tarpeen valmistaa muutamia aputuloksia: Lemma 1.7. Olkoon M sileä monisto, p M ja U pisteen p ympäristö. Jos sileä funktio f : U R on vakiofunktio, niin kaikille tangenttivektoreille ν T p M pätee νf) = 0.

1.. TANGENTTIAVARUUS T pm 5 Todistus. Olkoon sileä funktio g : U R vakiofunktio gp) = 1. Tällöin kaikilla p U pätee g g)p) = gp) gp) = 1 1 = 1 = gp). Leibnizin sääntöä soveltamalla saadaan νg) = νg g) = gp)νg) + gp)νg) = νg), mistä seuraa νg) = 0. Toisaalta, koska funktio f on oletuksen mukaan vakio, niin lineaarisuuden nojalla νf) = νf g) = f νg) = f 0 = 0. Lemma 1.8. Olkoon U R n avoin ja konveksi, f C k jollain k ja olkoot p, q U. Tällöin fq) = fp)+ q i p i ) f 1 f p)+ q i p i )q j p j ) 1 t) p+tq p))dt. x 1 x i x j j=1 Todistus. Todistus perustuu Taylorin kaavaan [[6], s. 46-48; [9], s. 17-0]. Seuraavassa lemmassa käytetty merkintä C p) 0/ ) C p) 0 ) tarkoittaa kaikkia lineaarikuvauksia L : C p) 0 R, joille kerl) span{f g : f, g C p) 0 }. Lemma 1.9. Olkoon M sileä monisto. Kaikilla p M vektoriavaruudet T p M ja C p) 0/ ) C p) 0 ) ovat isomorfisia. Todistus. Merkitään lyhyesti algebraa A := C p) ja sen ideaalia I := C p) 0. Koska aliavaruudelle I pätee I = I I I A I, niin myös tekijäavaruus I/ I on vektoriavaruus. Olkoon tangenttivektori ν T p M eli ν : A R. Tällöin kaikilla f, g I seuraa Leibnizin säännöstä νf g) = fp)νg) + gp)νf) = 0 νg) + 0 νf) = 0. Tangenttivektorin rajoittuma ν I : I R siis häviää aliavaruudessa I. Näin ollen tangenttivektori ν on lineaarikuvaus tekijäavaruudessa I/ ) I, ts. ν I. / ) /I Toisaalta, olkoon nyt lineaarikuvaus L I, I eli L I) siten, että kerl) I. Määritellään ν L : A R siten, että kaikilla f A Tällöin ν L on derivaatio, sillä ν L f g) = Lf g fp) gp)) ν L f) := Lf fp)). 1) = Lf fp))g gp)) + fp)g gp)) + gp)f fp))) ) = L0 + fp)g gp)) + gp)f fp))) = fp)lg gp)) + gp)lf fp)) = fp)ν L g) + gp)ν L f), missä yhtäsuuruuden 1) kohdalla on lisätty termit 0 = fp)g fp)g), 0 = gp)f gp)f) ja 0 = fp)gp) fp)gp)) 0

1.. TANGENTTIAVARUUS T pm 6 ja yhtäsuuruus ) seuraa siitä, että f fp))g gp)) / I. Näin ) ollen ν L T p M ja kuvaus L ν L on siis isomorfismi vektoriavaruuksien I I ja Tp M välillä. Lause 1.10. Olkoon M sileä monisto, jolle dimm) = n. Tällöin kaikilla p M pätee dimt p M) = n. Todistus. Merkitään I := C p) / 0. ) Edellisen lemman perusteella voidaan päätellä, että koska vektoriavaruudet I I ja Tp M ovat isomorfisia kaikilla p M, niin tällöin dimensioille pätee kaikilla p M ) dimt p M) = dim I ) ) /I = dim I /I. Valitaan piste p M, sen ympäristö U ja koordinaattikuvaus ϕ : U R n, jolle pätee ϕp) = 0 ja jonka kuva ϕu) on konveksi. Lauseen todistamiseksi riittää siis osoittaa, että koordinaattikuvauksen ϕ komponenttifunktioden joukko {ϕ i } n C p) muodostaa kannan tekijäavaruuteen I/ I. Osoitetaan aluksi, että kaikilla i {1..., n} funktiot ϕ i virittävät vektoriavaruuden I/ I. Olkoon f I. Koska ϕu) R n on avoin ja konveksi, voidaan hyödyntää edellä mainittua differentiaalilaskennan lemmaa yhdisteeseen f ϕ 1 C ϕu)). Kaikille x ϕu) pätee euklidisen avaruuden R n kannassa {x 1,..., x n } siis f ϕ 1 x) = f ϕ 1 0) + x i f ϕ 1 ) x i 0) + 1 x i x j 1 t) f ϕ 1 ) txdt. x i x j Ensimmäinen termi oikealla puolella häviää, sillä oletuksen mukaan pätee f ϕ 1 0) = fp) = 0. Lyhennetään merkintöjä asettamalla a i := f ϕ 1 ) x i 0) R ja h ϕ 1 := 1 1 t) f ϕ 1 ) 0 x i x j txdt, missä h C, jolloin f = a i x i ϕ) + x i ϕ)x j ϕ)h f = f = a i ϕ i + j=1 ϕ i ϕ j h j=1 a i ϕ i mod I, sillä ϕ i ϕ j h I kaikilla i, j {1,..., n}. Näin ollen komponenttifunktioiden joukko {ϕ i } n virittää vektoriavaruuden I/ I. Osoitetaan vielä, että funktiot ϕ i ovat lineaarisesti riippumattomia. Oletetaan, että n a iϕ i I joillakin a i R. Tällöin pätee myös n a ix i C 0)) euklidisen avaruuden R n kannassa {x 1,..., x n }. Tällöin kaikilla j {1,..., n} on a i x i = 0, x j j=1 0

1.4. KOTANGENTTIAVARUUS T p M 7 mistä seuraa, että a i = 0 kaikilla i {1,..., n}. Näin ollen komponenttifunktiot ϕ i ovat lineaarisesti riippumattomia. Nyt tiedetään, että jokaiselle n-ulotteisen sileän moniston M pisteelle p löytyy ympäristö U p ja koordinaattikuvaus ϕ = ϕ 1,..., ϕ n ) : U R n, joka indusoi lineaarisesti riippumattoman kannan { 1 ) p..., n ) p } vektoriavaruuteen T p M siten, että kaikilla f C p) ja i {1,..., n} kantavektorit i ) p : T p M R määräytyvät kaavalla: i ) p f) := f ϕ 1 ) ϕp)). x i Jokainen tangenttiavaruuden T p M vektori voidaan siis aina esittää koordinaattikuvauksen indusoimassa kannassa. Toisin ilmaistuna kaikille koordinaattikuvauksen ϕ komponenttikuvauksille ϕ j C p) pätee: i ) p ϕ j ) = ϕ j ϕ 1 ) ϕp)) = x j ϕp)) = δ ij, x i x i jolloin mielivaltaiselle tangenttivektorille ν T p M löytyy summaesitys ) νϕ j ) = νϕ i ) δ ij = νϕ i ) i ) p ϕ j ). Kun merkitään kertoimia ν i := νϕ i ) R, saadaan ν = ν i i ) p. 1.3. Differentiaali Määritelmä 1.11. Olkoot M ja N sileitä monistoja, F : M N sileä kuvaus ja p M. Lineaarista kuvausta df p : T p M T F p) N, jolle pätee kaikilla ν T p M ja f C F p)) df p ν)f) = νf F ), kutsutaan kuvauksen F differentiaaliksi pisteessä p. Koska reaaliakselilla R on vain yksi koordinaatti ϕx) = x = id R x), on kuvaus ν νid R ) isomorfismi tangenttiavaruuden T p R ja euklidisen avaruuden R välillä. Tällöin sileän funktion f : M R tapauksessa havaitaan, että kaikilla ν T p M df p ν) = df p ν)id R ) = νid R f) = νf) eli differentiaali df p ν) on itse asiassa tangenttivektori ν T fp) R. 1.4. Kotangenttiavaruus T p M Määritelmä 1.1. Moniston tangenttiavaruuden duaalivektoriavaruus, kotangenttiavaruus T p M) =: Tp M pisteessä p M on duaaliavaruuden määritelmän mukaan: Tp M = {ω : T p M R : ω lineaarimuoto}, missä lineaarimuodolla tarkoitetaan sellaista jatkuvaa funktiota, kotangenttivektoria, jolle pätee kaikilla ν 1, ν T p M ja kaikilla λ 1, λ R: ωλ 1 ν 1 + λ ν ) = λ 1 ων 1 ) + λ ων ) R.

1.5. TENSORIALGEBRA T k r T M) 8 Olkoon ϕ koordinaattikuvaus, jolla indusoidaan kanta { i ) p } n tangenttiavaruuteen T p M. Merkitään tällöin kotangenttiavaruuden T p M kantaa koordinaattikuvauksen ϕ differentiaaleina {dϕ i ) p : T p M R} n siten, että kaikilla i, j {1,..., n} pätee dϕ i ) p j ) p ) = j ) p ϕ i ) = δ ij. Kaikille mielivaltaisille kotangenttivektoreille ω Tp M löytyy siis summaesitys koordinaattikuvauksen ϕ indusoimassa kannassa: ω = ω i dϕ i ) p missä ω i R, kaikilla i {1,..., n}. Lineaarialgebraan perehtynyt lukija saattaa tässä vaiheessa piirtää mielessään kuvan n n -matriisista, jossa on n kappaletta sarake- ja rivivektoreita. Samaan tapaan differentiaaligeometriassa voidaan ajatella tangenttivektoreita rivivektoreina ja kotangenttivektoreita sarakevektoreina. Tästä lähtien on hyödyllistä pitää mielessä, että kaikki tutkielmassa käytettävät sileät monistot M ovat joko yhdesti yhtenäisiä ja avoimia pintoja vektoriavaruudessa R 3 ja ne voidaan esittää yhden koordinaattikuvauksen avulla ϕ : M R tai yhdesti yhtenäisiä ja avoimia tason R joukkoja, joihin liitettävä koordinaattikuvaus on identtinen kuvaus ϕ : M R : x 1, x ) x 1, x ). Kotangenttiavaruuden kantavektoreita merkitään tutummin euklidisen vektoriavaruuden kannassa dϕ i ) p = dx i ) p. 1.5. Tensorialgebra T k r T M) Sileän moniston M tangenttiavaruudet ja niitä vastaavat duaaliavaruudet ovat hyvin määriteltyjä jokaisessa pisteessä erikseen. Tämän luvun tarkoitus on yhdistää nämä kaikki vektoriavaruudet tensorialgebraksi. Tangenttiavaruudet voidaan paloittain yhdistää seuraavasti: Määritelmä 1.13. Olkoon M sileä monisto. Tangenttiavaruuksien sekä näiden duaaliavaruuksien erillisiä yhdisteitä T M := T p M = {p, ν) kaikilla p M ja ν T p M} ja p M T M := p M T p M = {p, ω) kaikilla p M ja ω T p M} kutsutaan tangentti- ja kotangenttikimpuiksi, kun niihin liitetään surjektiiviset projektiokuvaukset vastaavassa järjestyksessä: π :T M M : p, ν) p, π :T M M : p, ω) p. Kelvolliselta projektiokuvaukselta vaaditaan kaksi ehtoa. Ensiksi kaikilla p M pätee alkukuville π 1 p) = T p M ja π ) 1 p) = T p M. Toiseksi kaikilla p M on olemassa ympäristö U, jossa on määritelty diffeomorfismit eli sileät homeomorfismit) X : π 1 U) U R n X : π ) 1 U) U R n

1.5. TENSORIALGEBRA T k r T M) 9 joille pätee π 1 X = π ja π 1 X = π ja joille kaikilla q U kuvauksen rajoittumat ovat isomorfismeja. X TqM : T qm {q} R n X T q M : T q M {q} R n Määritelmä 1.14. Tangenttikimpun leikkaus on sileä kuvaus V : M T M, jolle pätee π V = Id M, ja sitä kutsutaan myös tangenttikimpun TM vektorikentäksi. Tangenttikimpun T M kaikkien leikkausten kokoelmaa merkitään ΓT M) := {V : V tangenttikimpun T M vektorikenttä}. Tangenttikimppun T M leikkaus V on määritelmän mukaan sileä kuvaus, toisin sanoen kuvaus kahden moniston välillä. Tämän vuoksi on sopivaa tarkistaa, että joukko T M on todella sileä monisto. Lause 1.15. Olkoon M sileä monisto. Tällöin myös tangenttikimppu T M on sileä monisto. Todistus. Kiinnitetään piste p M. Olkoon U α p ympäristö, jossa on määritelty koordinaattikuvaus ϕ α : U α R n. Koska jokaista pistettä q U α vastaa yksikäsitteinen tangenttiavaruus T q M, on kuvaus ϕ α : π 1 U α ) = T q M R n R n : q, ν) ϕ α q), dϕ α ) q ν)) q U α homeomorfismi ympäristöjen π 1 U α ) ja ϕ α π 1 U α )) välillä. Toisin sanoen numeroituvalla indeksijoukolla A kokoelma {π 1 U α ), ϕ α )} α A muodostaa atlaksen ja sitä kautta differentiaalirakenteen tangenttikimpulle T M, jolloin T M on määritelmän mukaan sileä monisto. Tällöin myös on sopivaa kutsua leikkausta V : M T M sileäksi kuvaukseksi. Määritelmä 1.16. Olkoot V 1,..., V n vektoriavaruuksia ja V1,..., Vn niitä vastaavat duaalivektoriavaruudet. Tällöin vektoriavaruuden V 1... V n tensoritulo V 1... V n on määritelty kokoelmaksi multilineaarisia funktioita V 1... V n := {T n : V 1... V n R : T n multilineaarinen}. Koska V ) ja V ovat isomorfiset, saadaan vastaavasti V 1... V n := {T n : V 1... V n R : T n multilineaarinen}. Yleisesti multilineaarinen funktio tarkoittaa sellaista funktiota L : V 1... V n R, missä kaikille vektoreille ν i, υ i V i ja skalaareille λ i R, i {1,... n}, pätee Lν i + λ i υ i ) = Lν i ) + λ i Lυ i ). Olkoot k, r {1,... n}. Tällöin vektoriavaruus V 1... V k V1... Vr yhdessä multilineaarisen tulon V 1... V k V1... Vr kanssa muodostaa k, r)- tensorialgebran. Multilineaarista funktiota Tr k : V1... Vk V 1... V r R kutsutaan nimellä k-kontravariantti-r-kovariantti tensori, tai lyhyesti k, r)-tensori.

1.5. TENSORIALGEBRA T k r T M) 10 Tangenttiavaruuden T p M k, r)-tensorien joukkoa merkitään T k r T p M) := {T k r : T p M) k T p M) r R : T k r multilineaarinen}. Yhdessä tensoritulon T p M) k Tp M) r kanssa pari Tr k T p M), ) on määritelmän mukainen k, r)-tensorialgebra. Lisäksi tämä pistekohtainen tangenttiavaruuden tensorialgebra voidaan koota koko moniston M käsittäväksi tangenttikimpun tensorialgebraksi T k r T M) := p M T k r T p M), johon liitetään kimpun määritelmän toteuttava surjektiivinen projektiokuvaus Π : T k r T M) M : p, T k r T p M)) p ja sitä vastaava leikkaus, k, r)-tensorikenttä Σ : M T k r T M) siten, että Π Σ = Id M.

LUKU Geodeesi Riemannin monistolla Edellisessä luvussa määriteltiin differentiaaligeometrian termejä hyvin yleisellä tasolla. On aiheellista kysyä, miten tämä kaikki liittyy intuitiivisesti ymmärrettävään geometriaan. Eihän tähän mennessä ole esitelty muita geometrisia olioita kuin piste p jossain sileäksi monistoksi kutsutussa avaruudessa M. Tämän luvun tarkoituksena onkin luoda geometrisesti mielekäs ja ymmärrettävä tulkinta edellisessä luvussa määritellyille sileälle monistolle ja sen tangenttikimpun tensorialgebralle..1. Riemannin monisto M, g) Tutkielman johdannossa viitattiin metriseen sisätuloavaruuteen, jolla mallinnetaan perinteistä euklidista tasogeometriaa. Lineaarialgebrassa reaaliarvoista euklidista sisätuloa voidaan merkitä x, y := x i y i kaikille x, y R n, jolloin sisätulo täyttää kaikilla x, y, z R n ja kaikilla λ R symmetrisyyden, lineaarisuuden ja positiividefiniittisyyden ehdot: x, y = y, x, λx, y = λ x, y, x + y, z = x, z + y, z ja x, x 0, missä yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos x = 0. Differentiaaligeometriassa Riemannin metriikka on analoginen lineaarialgebrassa määritellyn sisätulon kanssa. On syytä painottaa tässä vaiheessa sitä, että topologiassa metrisen avaruuden metriikalla tarkoitetaan eri asiaa kuin differentiaaligeometrian Riemannin metriikalla. Näiden kahden eri metriikan välinen yhteys käy kuitenkin pian ilmi. Määritelmä.1. Olkoon M sileä monisto. Tällöin -kovariantti tensorikenttä g : M T 0 T M) on Riemannin metriikka, jos kaikilla p M tensori g p T 0 T p M) on symmetrinen : g p ν 1, ν ) = g p ν, ν 1 ) positiividefiniitti : g p ν, ν) > 0 kaikilla ν 1, ν T p M ja kaikilla ν T p M\{0}. Riemannin metriikka voidaan ilmaista koordinaattikuvauksen ϕ indusoimassa kannassa: g = g ij dϕ i ) dϕ j ) =: g ij dϕ i dϕ j, i,j=1 11 i,j=1

.1. RIEMANNIN MONISTO M, g) 1 missä kertoimet g ij C M) muodostavat n n-matriisin. Merkitään myös kerroinfunktioita g ij C M), joille g ij g jk = δ ik. Riemannin metriikan lineaarisuus toki seuraa suoraan tensorien määritelmän multilineaarisuudesta. Riemannin metriikalla g varustettua sileää monistoa M kutsutaan Riemannin monistoksi ja merkitään parina M, g). Oikeastaan nyt on määritelty tarpeeksi rakennetta, jotta päästään käsiksi lineaarialgebrasta tuttuihin sisätuloavaruuden käsitteisiin. Merkitään jatkossa lyhyesti Riemannin monistoa M := M, g), kun Riemannin metriikasta ei ole epäselvyyttä. Tällöin vektorikentän V ΓT M) normi eli pituus Riemannin metriikan g suhteen ympäristössä U M on V := gv, V ) eli pisteittäin ajateltuna vektorin V p) =: V p T p M normi kaikilla p U on V p = g p V p, V p ). Vektorikenttää V, jolle V = 1 jossain ympäristössä U M, kutsutaan lokaalisti normaaliksi ja tällöin myös vektoreille pätee V p = 1 kaikilla p U. Kaikilla p M ja ν, υ T p M\{0} vektoreiden ν ja υ välinen kulma on ν, υ) := arccos gp ν, υ) ν υ Mikäli g p ν, υ) = 0 eli ν, υ) = π, sanotaan, että vektorit ν ja υ ovat ortogonaalisia eli kohtisuorassa toisiaan vasten. Myös kahta vektorikenttää V, W ΓT M) kutsutaan lokaalisti ortogonaalisiksi, jos kaikilla p U M pätee g p V p, W p ) = 0. Ympäristössä π 1 U) T M normaalien ja parittain ortogonaalisten vektorikenttien joukkoa {E 1,..., E n } kutsutaan moniston M tangenttikimpun lokaaliksi ortonormaaliksi kehykseksi. Riemannin metriikan avulla päästään käsiksi sellaisiin itse moniston geometrisiin olioihin kuin jana ja suora. Olkoon I = [a, b] R suljettu väli ja σ : I M sileä polku. Merkitään lyhyesti σ C I, M). Muistutuksena todettakoon, että sileä polku on siis differentiaaligeometrisessa mielessä sileä kuvaus monistolta U R monistolle M, missä U := a ε, b + ε) on avoin väli jollain ε > 0. Tällöin polku σt) on siis differentoituva kaikilla t [a, b], jolloin tangenttiavaruuden T σt) M tangenttivektorille σ t) pätee kaikilla f C σt)): on σ t)f) = df σ) t). dt Määritelmä.. Polun σ C I, M) pituus Riemannin metriikan g suhteen L σ := I dσt) dt ). b dt = g σt) σ t), σ t))dt. Olkoot p, q M kaksi Riemannin moniston pistettä. Merkitään sileän polun σ : [0, 1] M kuvan eli käyrän σ[0, 1]) päätepisteitä σ0) =: p ja σ1) =: q. a

.. MONISTON M LINEAARINEN KONNEKTIO 13 Tällöin pisteiden p ja q välisen Riemannin etäisyyden määrää funktio d : M M R : p, q) inf{l σ : σ C [0, 1], M) jolle σ0) = p, σ1) = q}. Kirjan lemmassa [[7], s. 94-95] osoitetaan, että jokainen yhtenäinen Riemannin monisto varustettuna edellä määritellyllä Riemannin etäisyydellä on metrinen avaruus, jonka indusoitu topologia on sama kuin Riemannin moniston topologia. Geometrisessa mielessä pisteiden p ja q välisellä janalla tarkoitetaan sellaisen sileän polun σ C [0, 1], M) kuvaa, jolle polun pituus L σ valitun Riemannin metriikan g suhteen on Riemannin etäisyys dp, q). Janan jatkaminen suoraksi tarkoittaa siis analyyttisessä mielessä sitä, että laajennetaan tällaisen polun määrittelyväli [0, 1] koko reaaliakseliksi R. Geometrinen intuitiivinen käsitys suorista tulee siis Riemannin metriikan kautta. Nyt herää kuitenkin merkittäviä kysymyksiä. Milloin polun pituus saavuttaa minimin? Voiko janaa vastaavan polun jotenkin laskea? Voidaanko ylipäänsä olla varmoja, että kaikilla Riemannin monistoilla on olemassa yksikäsitteinen jana kahden mielivaltaisen pisteen välillä? Näihin kysymyksiin on useita lähestymistapoja. Aluksi on syytä todeta, että kaikilla Riemannin monistoilla janat eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkiksi tutkielman ensimmäisessä luvussa mainittu yksikköpallo voidaan varustaa Riemannin metriikalla, joka tekee janoista isoympyrän kaarenpätkiä. Tällöin pallon jokaisen pisteparin välinen Riemannin etäisyys on olemassa, mutta napapisteiden tapauksessa Riemannin etäisyyden määritelmän täyttävä sileä polku ei suinkaan ole yksikäsitteinen. Tässä tutkielmassa käsitellään sellaisia Riemannin monistoja, joissa janat ovat yksikäsitteisiä ja janaa vastaavat polut valitun Riemannin metriikan suhteen voidaan selvittää geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisuna... Moniston M lineaarinen konnektio Ajatellaanpa sileää polkua σ : I M ja vektorikenttää V ΓT M), jolle pätee σ = π V. Miten vektorikentän V projisoiman polun σ pisteiden tangenttivektoreita voidaan verrata toisiinsa, kun ne kaikki ovat eri tangenttiavaruuksien alkioita? Tämä onnistuu, kun osataan derivoida koko vektorikenttää. Määritelmä.3. Olkoon M sileä monisto. Sileä kuvaus : ΓT M) ΓT M) ΓT M) : V, W ) V W on lineaarinen konnektio monistolla M, mikäli on C M)-lineaarinen vektorikentän V suhteen, R-lineaarinen vektorikentän W suhteen ja Leibnizin sääntö toteutuu. Toisin sanoen kaikilla V, V 1, V, W, W 1, W ΓT M), kaikilla f, g C M) ja kaikilla λ R pätee C M)-lineaarisuus : fv1 +gv W = f V1 W + g V W R-lineaarisuus : V λw 1 + W ) = λ V W 1 + V W Leibnizin sääntö : V fw ) = f V W + V f)w. Sanotaan, että V W on vektorikentän W kovariantti derivaatta vektorikentän V suhteen. Olkoon nyt U M n moniston ympäristö ja olkoon {E 1,, E n } kimpun T M lokaali ortonormaali kehys ympäristössä U. Tällöin lineaarinen konnektio monistolla

.. MONISTON M LINEAARINEN KONNEKTIO 14 M voidaan esittää koordinaateissa siten, että kaikilla i, j {1,, n} Ei E j = Γ k ije k, k=1 missä funktioita Γ k ij C M) kutsutaan Christoffelin symboleiksi. Olkoot V, W ΓT M), jotka voidaan esittää muodossa V = V i E i kertoimilla V i R ja W = W i E i kertoimilla W i R. Vektorikentän V kovariantti derivaatta vektorikentän W suhteen voidaan ilmaista kehyksen {E 1..., E n } koordinaateissa Christoffelin symbolien avulla: V W = V W j E j = V = = = j=1 W j E j + j=1 V W j E j + j=1 V W k E k + k=1 V W k + k=1 W j i V ie i E j j=1 V i W j Ei E j i,j=1 i,j,k=1 V i W j Γ k ije k V i W j Γ k ij)e k. Mikäli Christoffelin symboleille pätee Γ k ij = Γ k ji kaikilla indekseillä i, j, k, sanotaan lineaarista konnektiota symmetriseksi. Määritelmä.4. Olkoon M sileä monisto, π : T M M tangenttikimpun projektiokuvaus, σ C I, M) sileä polku ja lineaarinen konnektio monistolla M. Vektorikenttää V ΓT M), jolle pätee π V = σ, kutsutaan vektorikentäksi polulla σ. Tällöin siis kaikilla t I vektori V t) T σt) M. Näiden vektorikenttien muodostamaa vektoriavaruutta merkitään i,j=1 V ecσ) := {V ΓT M) : π V = σ}. Operaattoria D : V ecσ) V ecσ) : V σ V kutsutaan kovariantiksi derivaataksi polulla σ, jos sille pätee kaikilla V, W V ecσ), f C I) ja λ R R-lineaarisuus : DλV + W ) = λdv ) + DW ) tulosääntö : DfV ) = d fv + fdv. dt Jos Riemannin moniston M, g) metriikalle g pätee kaikilla sileillä poluilla σ C I, M) ja kaikilla vektorikentillä V, W V ecσ): d gv, W ) = gdv, W ) + gv, DW ), dt

.3. GEODEETTINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄ 15 niin sanotaan, että lineaarinen konnektio on yhteensopiva Riemannin metriikan g kanssa. Yksi erittäin vahva differentiaaligeometrian lause engl. Fundamental Lemma of Riemannian Geometry ) osoittaa, että kaikilla Riemannin monistoilla M, g) on olemassa täsmälleen yksi symmetrinen ja Riemannin metriikan g kanssa yhteensopiva lineaarinen konnektio [[7], s. 65-70]. Tämän Riemannin konnektion tai Levi-Civita -konnektion) Christoffelin symbolit voidaan laskea euklidisen avaruuden R n ortonormaalissa kannassa {x 1,..., x n } kaavalla: Γ k ij = 1 l=1 g kl x i g lj + g il ) g ij..1) x j x l.3. Geodeettinen differentiaaliyhtälöryhmä Kuvitellaan kappaletta, jonka paikan monistolla M ajan t I suhteen ilmaisee sileä polku σ C I, M). Tätä mielikuvaa hyödyntämällä polulla σ liukuvan kappaleen nopeutta kuvaa vektorikenttä σ V ecσ) ja kovariantti derivaatta Dσ = σ σ voidaan tulkita kappaleen kiihtyvyytenä johonkin moniston suuntaan. Näin ollen klassisen Newtonin mekaniikan mielessä tuntuu luonnolliselta, että jos kappaleella ei missään pisteessä ole kiihtyvyyttä mihinkään moniston suuntaan eli kuljetaan vakionopeudella ν 0), niin kappale liikkuu pitkin lyhintä reittiä päätepisteiden välillä. Nyt voidaankin antaa tarkka määritelmä geodeesille. Määritelmä.5. Olkoot M, g) Riemannin monisto ja Riemannin konnektio, joka on symmetrinen ja yhteensopiva Riemannin metriikan g kanssa. Tällöin sileä polku σ C I, M) on geodeesi konnektion suhteen) jos Dσ t)) = 0 kaikilla t I. Geodeesin määritelmä siis riippuu sileän polun σ C I, M) parametrisoinnista sekä tietysti lineaarisesta konnektiosta, joka Riemannin moniston tapauksessa on yksikäsitteinen. Seuraava lause kertoo, että kun kiinnitetään jokin polun kuvapiste monistolla M ja määritellään tangenttivektori tuossa pisteessä, voidaan geodeesin parametrisointi laskea. Lause.6. Olkoon M, g) Riemannin monisto, Riemannin konnektio monistolla M ja I R suljettu väli siten, että 0 I. Valitaan lisäksi piste p M ja ν T p M. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen geodeesi σ C I, M), jolle hetkellä 0 I pätee σ0) = p ja σ 0) = ν. Todistus. Moniston M ortonormaaleissa koordinaateissa x 1,..., x n ) ajatellen mielivaltaisen sileän polun σ C I, M) tangenttivektorikenttä σ voidaan ilmoittaa komponenttien σ k := x k σ avulla σ = k=1 dσ k dt k σ). Merkitään jatkossa polun komponenttien derivaattaa ajan suhteen lyhyesti σ k := dσ k dt ja σ k := d σ k, jolloin kaikilla t I pätee tangenttivektoreille dt σ t) = k=1 dσ k dt t) k = σ k t) k. k=1

.3. GEODEETTINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄ 16 Koordinaateissa x 1,..., x n ) ilmaistuna geodeesille σ pätee kaikilla t I Dσ t)) = D σ k k σ)t) 1) = ) = 3) = k=1 k=1 k=1 σ k t) k σ)t) + σ k t) D k σ)t) σ k t) k σt)) + σ k t) σ t) k )σt)) σ k t) + k=1 = 0, ) Γ k ij σ) σ i t) σ j t) k σt)) i,j=1 missä 1) seuraa operaattorin D tulosäännöstä, ) kovariantin derivaatan määritelmästä ja 3) Christoffelin symbolien määritelmästä. Näin ollen tangenttivektorikentälle σ pätee ehto Dσ 0 jos ja vain jos kaikilla k {1,..., n} pätee ns. geodeettinen differentiaaliyhtälöryhmä σ k + Γ k ij σ) σ i σ j 0..) i,j=1 Tämä geodeettinen differentiaaliyhtälöryhmä on siis toisen kertaluvun tavallinen homogeeninen differentiaaliyhtälöryhmä komponenttifunktioiden σ k suhteen. Geodeettisella differentiaaliyhtälöllä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu alkuarvoilla σ0) = p ja σ 0) = ν. Tämän ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys seuraa differentiaaliyhtälöiden teoriasta [[7], s. 58,59]. Kirjassa [[7], 6] esitellään kiinnostava kaksiosainen tulos, joka koskee geodeeseja Riemannin monistolla. Ensimmäiseksi voidaan osoittaa, että jokainen geodeesi on lokaalisti etäisyyden minimoiva, eli jos polku σ C [0, 1], M) on geodeesi pisteiden σ0) = p ja σ1) = q välillä, niin tällöin L σ = dp, q). Toiseksi, jos polku σ C [0, 1], M) on etäisyyden minimoiva ja parametrisoitu vakionopeuden mukaan, eli σt) = c jollain c > 0 kaikilla t [0, 1], niin tällöin se on myös geodeesi. Erityisesti näistä kahdesta edellinen lause osoittaa, että geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän avulla voidaan laskea janaa vastaavan polun parametrisointi. Tutkielman hyperbolisen geometrian malleissa kaikki janat ovat myös yksikäsitteisiä. Seuraavassa luvussa tullaan hahmottelemaan geodeesit yhdessä hyperbolisen geometrian mallissa.

LUKU 3 Poincarén puolitaso H, g H ) Nyt käytössä on tarpeeksi työkaluja hyperbolisen geometrian mallin rakentamiseen. Muistutuksena todettakoon, että tavoitteena on siis luoda sellainen tasogeometrian malli, jossa euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Määritellään aluksi joukko H := {x 1, x ) R : x > 0} sekä -kovariantti tensorikenttä g H p = x 1, x ) H pätee tensorille : T H T H R siten, että kaikilla pisteillä g H x 1, x ) := 1 x dx 1 + dx ). 3.1) Lause 3.1. Pari H, g H ) muodostaa Riemannin moniston. Todistus. Mikään ei estä määrittelemästä sileää monistoa yhden koordinaattikuvauksen avulla, jos se on mahdollista. Koska joukko H on avoin, voidaan mielivaltaiselle pisteelle p H valita ympäristöksi U := H, jolloin identtinen kuvaus ϕ : U R : x 1, x ) x 1, x ) on sileä homeomorfismi ympäristöjen U ja ϕu) välillä eli sopiva koordinaattikuvaus, jonka määrittelyjoukko peittää koko avaruuden H. Näin ollen H on sileä monisto. Merkitään euklidisen avaruuden R ortonormaalia kantaa {x 1, x }. Olkoot V, W ΓT H) kaksi mielivaltaista vektorikenttää. Kuten ensimmäisessä luvussa todettiin, nämä vektorikentät voidaan esittää koordinaattikuvauksen ϕ indusoimassa kannassa { 1, }, missä 1 = ϕ 1 ) x 1 ϕ) = x 1 = ϕ 1 ) x ϕ) = x. Näin ollen on olemassa kertoimet V 1, V, W 1, W : H R siten, että vektorikentille V, W ΓT H) pätee V =V 1 1 + V W =W 1 1 + W. Koordinaattikuvaus ϕ indusoi myös kovektorikentille V ΩT H) kannan {dϕ 1, dϕ }, joka nyt identtisen kuvauksen tapauksessa voidaan ilmaista vektoriavaruuden R ortonormaaleissa koordinaateissa {dx 1, dx }. Tällöin kaikilla i {1, } on ) dx i V ) = dx i V k k = V k dx i k ) = V k δ ki = V i. k=1 k=1 k=1 17

3.1. GEODEESIT POINCARÉN PUOLITASOSSA 18 Tarkistetaan tensorikentän g H symmetrisyys. Kaikilla p = x 1, x ) H on g H V, W )x 1, x ) = 1 x dx 1 + dx )V p), W p)) = 1 x dx 1 V p), W p)) + dx V p), W p)) ) = 1 dx x 1 V p))dx 1 W p)) + dx V p))dx W p))) = 1 V x 1 p))w 1 p)) + V p))w p))) = 1 W x 1 p))v 1 p)) + W p))v p))) = 1 dx x 1 W p))dx 1 V p)) + dx W p))dx V p))) = 1 dx x 1 W p), V p)) + dx W p), V p)) ) = 1 x dx 1 + dx )W p), V p)) = g H W, V )x 1, x ). Tensorikentän g H positiividefiniittisyys havaitaan helposti, sillä kaikki kertoimet ovat neliöityjä: g H V, V )x 1, x ) = 1 x V1 p) + V p) ) > 0. Tensorikenttä g H toteuttaa Riemannin metriikan ehdot, joten pari H, g H ) on Riemannin monisto. Riemannin monistoa H, g H ) kutsutaan Poincarén puolitasoksi, hyperboliseksi tasoksi taikka Bolyain ja Lobatševskin pinnaksi, riippuen asiayhteydestä. Miltä näyttävät geodeesit Poincarén puolitasossa? 3.1. Geodeesit Poincarén puolitasossa Olkoon nyt pari H, g H =: g) edellä määritelty Riemannin monisto ja Riemannin konnektio tuolla monistolla. Ensimmäinen askel kohti geodeesien ratkaisemista on selvittää Riemannin moniston Christoffelin symbolit. Poincarén puolitason Riemannin metriikka g voidaan esittää kaikilla p = x 1, x ) H muodossa: g = g ij dx i dx j, i,j=1

3.1. GEODEESIT POINCARÉN PUOLITASOSSA 19 missä sileät kerroinfunktiot g ij, g ij C H) ja ovat Riemannin metriikan g H määritelmän 3.1) mukaan g 11 = g = 1, x g 11 = g = x, g 1 = g 1 = g 1 = g 1 = 0. Lasketaan Riemannin konnektion Christoffelin symbolit kaavalla.1): Γ 1 11 = 1 g 11 1 g 11 + 1 g 11 1 g 11 ) + g 1 1 g 1 + 1 g 1 g 11 ) ) = 1 x 0 + 0 0) + 0 0 + 0 + )) = 0, x 3 Γ 1 1 = 1 g 11 1 g 1 + g 11 1 g 1 ) + g 1 1 g + g 1 g 1 ) ) = 1 x 0 ) ) 0 + 0 0 + 0 0) = 1 = Γ 1 x 3 x 1, g 11 g 1 + g 1 1 g ) + g 1 g + g g ) ) Γ 1 = 1 = 1 x 0 + 0 0) + 0 + )) = 0, x 3 x 3 x 3 Γ 11 = 1 g 1 1 g 11 + 1 g 11 1 g 11 ) + g 1 g 1 + 1 g 1 g 11 ) ) = 1 0 0 + 0 0) + x 0 + 0 + )) = 1, x 3 x g 1 1 g 1 + g 11 1 g 1 ) + g 1 g + g 1 g 1 ) ) Γ 1 = 1 = 1 0 0 ) ) 0 + x x 3 0 + 0 0) = 0 = Γ 1, Γ = 1 g 1 g 1 + g 1 1 g ) + g g + g g ) ) = 1 0 0 + 0 0) + x + )) = 1. x 3 x 3 x 3 x Täten identtisesti nollasta poikkeavat Christoffelin symbolit ovat: Γ 1 1 = Γ 1 1 = Γ = 1 x ja Γ 11 = 1 x. Tavoitteena on selvittää se sileä polku σ = σ 1, σ ) : [0, 1] H, joka toteuttaa geodeettisen yhtälöryhmän.) alkuarvoilla: σ0) = x 1, x ) ja σ 0) = σ 1 0), σ 0)). Sijoitetaan lasketut Christoffelin symbolit geodeettiseen yhtälöryhmään, jolloin saadaan Poincarén puolitason tapauksessa identiteetit:

3.1. GEODEESIT POINCARÉN PUOLITASOSSA 0 σ 1 σ σ 1 σ 0, σ + 1 σ 1 ) 1 σ ) 0. σ σ 3.) On hyödyllistä käsitellä kaksi tapausta, kuten lähteessä [8]. Oletetaan aluksi että geodeesilla ei ole vaakasuoraa nopeuden komponenttia missään pisteessä, eli σ 1 t) = 0 kaikilla t [0, 1], jolloin geodeesin ensimmäinen koordinaatti seuraa suoraan alkuarvosta σ 1 x 1. Geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän jälkimmäisestä identiteetistä jää jäljelle σ σ ) σ 0 σ σ σ ) 0. Tätä identiteettiä käyttämällä saadaan ) d σ = σ σ σ ) dt σ σ 0 σ ) = 0 σ a jollain a R σ σ aσ 0 jollain a R, jonka ratkaisu on σ t) = e at t 0) joillain polun σ parametrisoinnista riippuvilla vakioilla a, t 0 R. Kun σ 1 0, niin geodeesit Poincarén puolitasossa ovat siis muotoa σ : [0, 1] H : t x 1, e at t 0) ). Kun määrittelyväli laajennetaan koko reaaliakseliksi, saadaan aikaan x -akselin suuntainen avoin puolisuora olettaen, että vertikaalinen alkunopeus σ 0) 0, jolloin a 0). Tarkastellaan seuraavaksi tapaus σ 1 t) 0 kaikilla t [0, 1]. Sovelletaan geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän identiteettejä σ σ 1 σ 1 σ 0 ja σ σ + σ 1 ) σ ) 0 seuraavassa havainnossa:

3.1. GEODEESIT POINCARÉN PUOLITASOSSA 1 1) d dt ) σ σ = σ ) σ 1 + σ σ σ 1σ σ σ 1 σ 1 σ 1 ) = σ 1 σ ) + σ 1 σ σ σ 1 σ σ σ 1 ) = σ 1 σ ) + σ 1 σ σ σ 1 σ σ + σ 1) 3 σ 1 ) 3 + σ 1 σ ) σ 1 σ ) σ 1 ) σ 1 ) σ 1 ) = σ 1σ σ + σ 1 ) σ ) ) σ σ σ 1 σ 1 σ ) σ 1 ) 3 σ 1 ) 0 0 σ 1) 3 = σ σ 1 ) 1 σ σ σ 1 + a, jollain a R σ 1 σ 1 σ 1 + σ σ a σ 1, jollain a R ) 1 σ 1) + 1 σ ) aσ 1 + b, joillain a, b R, missä kohdissa 1) ja ) on integroitu puolittain. Järjestämällä polun σ komponentit järjestykseen σ 1 a) + σ ) a + b =: r, havaitaan, että geodeesit, joilla σ 1 t) 0 kaikilla t [0, 1], ovat a, 0)-keskiksen ja r-säteisen ympyrän kaaria, kunhan polun parametrisoinnista riippuville vakioille a, b pätee a + b > 0. Tällöin, jos geodeesin määrittelyväli laajennetaan koko reaaliakseliksi, saadaan aikaan avoin puoliympyrä ks. liitteen kuva A.1). Kaikki liitteen A kuvissa havainnollistetut hyperbolisen geometrian mallit tuovat esille tilanteen, jossa on kolme suoraa. Kaksi suoraa leikkaavat toisiaan ja kolmas suora on yhdensuuntainen kahden edellisen kanssa. Euklidisessa geometriassa tällainen tilanne olisi mahdoton, sillä yksi monista parralleeliaksiooman vaihtoehtoisista määritelmistä toteaa, että jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia kolmannen suoran kanssa, niin nämä edelliset suorat ovat myös keskenään yhdensuuntaisia. Todellisuudessa hyperbolisen geometrian tapauksessa suoran ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirtää samassa tasossa ääretömmän monta suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia ensimmäisen annetun suoran kanssa.

LUKU 4 Muita hyperbolisen geometrian malleja 4.1. Metriikan siirto Olkoot M ja N kaksi sileää monistoa. Mikäli on olemassa diffeomorfismi F : M N, niin tätä kuvausta voidaan käyttää tensorien liikuttamiseen monistolta toiselle. Vektoreiden tapauksessa havaittiin jo, että diffeomorfismin F : M N differentiaali siirtää vektorin ν T p M vektoriksi df ) p ν) T F p) N. Tätä operaatiota kutsutaan vektorien työntämiseksi ja usein merkitään df ) p =: F : T p M T F p) N. Mikäli M, g 1 ) ja N, g ) ovat kaksi Riemannin monistoa, myös Riemannin metriikan pisteittäinen liikuttaminen onnistuu diffeomorfismin F : M N avulla. Merkitään kaikilla p M g 1 ) p = g df ) p = g F ) p =: F g ) p, missä merkintää F : T F p) N) T p M) kutsutaan metriikan siirroksi. Määritelmä 4.1. Olkoot M, g 1 ) ja N, g ) kaksi Riemannin monistoa. Jos Riemannin metriikoille g 1 ja g pätee g 1 = f g jollain kerroinfunktiolla f C M), sanotaan, että metriikat ovat konformiset toisiinsa nähden. Mikäli on olemassa diffeomorfismi F : M N siten, että F g = f g 1 jollain kerroinfunktiolla f C M), niin Riemannin monistot M ja N ovat konformisesti ekvivalentit. Mikäli on olemassa diffeomorfismi F : M N siten, että F g = g 1, niin Riemannin monistot M ja N ovat isometriset ja kuvausta F kutsutaan isometriaksi. Metriikan siirto isometrian avulla on yksi tapa muodostaa uusia hyperbolisen geometrian malleja jo tunnetusta mallista [[3], 7]. Erityisesti sellaiset hyperboliset geometrian mallit, joiden Riemannin metriikka on konforminen perinteisen euklidisen avaruuden R n Riemannin metriikan g E = n dx i kanssa ovat hyödyllisiä, sillä niissä kahden sileän polun välinen kulman suuruus säilyy isometrian kautta joka pisteessä. Katsotaanpa esimerkkejä joistakin tunnetuista hyperbolisen geometrian malleista. 4.. Poincarén kiekko D, g D ) Poincarén puolitaso H, g H ) on siis yksi tasossa oleva hyperbolisen geometrian malli. Uuden mallin luomiseksi on helpointa ehkä aluksi miettiä jokin avoin joukko tasossa. Yksi tällainen joukko on avoin yksikkökiekko eli tai ilmaistuna kompleksitasossa C D = {x 1, x ) R : x 1 + x < 1}, D = {z C : z < 1}.

4.3. PUOLIPALLOMALLI J, g J ) 3 Tässä tapauksessa kompleksilukumerkintä helpottaa tulevia laskutoimituksia. Eräs kompleksianalyysistä tuttu konformikuvaus, joka kuvaa avoimen yksikkökiekon avoimeksi puolitasoksi, on muotoa F α : D H : z i z + i z i. Tämä on analyyttinen bijektio, siispä sopiva diffeomorfismi. Tällöin Riemannin metriikka g D voidaan laskea metriikan siirtona: g D z) = F αg H z) = g H df α z)) dfαz) dz = ImF α z)) d z z i) = ) d z = z +1 z i 4 z i 4 1 z ) z i 4 d z z i 1 4 4 = z i 4 1 z ) d z 4 = 1 x 1 x ) dx 1 + dx ). Tässä hyperbolisessa geometrian mallissa D, g D ), ns. Poincarén kiekossa, yksikkökiekon halkaisijat ja kohtisuorassa yksikköympyrää leikkaavat ympyränkaaret ovat suoria ks. liitteen kuva A.). Yksi tapa havaita tämä liittyy siihen tosiasiaan, että molemmat Riemannin metriikat g H ja g D ovat konformisia euklidisen tason Riemannin metriikan g E kanssa. Tällöin kaikki suorat kulmat myös näyttävät aidosti suorilta kulmilta näissä geometrian malleissa. Määritellään puolipallopinta 4.3. Puolipallomalli J, g J ) J = {x 1, x, x 3 ) R 3 : x 1 + x + x 3 = 1, x 3 > 0} ja diffeomorfismi, joka kuvaa puolipallon J puolitasoksi H: ) x F β : J H : x 1, x, x 3 ) x 1 + 1, x 3. x 1 + 1 Merkitään aluksi kuvauksen F β komponentteja y 1 := x x 1 + 1 ja y := x 3 x 1 + 1.

Tällöin pätee differentiaaleille: 4.4. KLEININ JA BELTRAMIN KIEKKO D, g K ) 4 dy 1 = x x 1 + 1) dx 1 + x 1 + 1) dx dy = x 3 x 1 + 1) dx 1 + x 1 + 1) dx 3. Lisäksi puolipallon J määritelmästä havaitaan laskujen kannalta hyödylliset relaatiot: 1 x 1 = x + x 3, 0 = d0 = dx 1 + x + x 3 1) = x 1 dx 1 + x dx + x 3 dx 3 ) x 1 dx 1 = x dx + x 3 dx 3 ). Riemannin metriikka g J voidaan laskea metriikan siirtona: g J x 1, x, x 3 ) := F β g H x 1, x, x 3 ) = g H df β x 1, x, x 3 )) = 1 y dy 1 + dy ) = 1 x 3 x 1 +1 ) x x 1 + 1) dx 1 + ) x 1 + 1 dx + x 3 x 1 + 1) dx 1 + ) ) x 1 + 1 dx 3 x 1 = + 1) 1 4 x dx 1 4 x 3 x 1 + 1) x 1 + 1) x dx 1 dx + dx + x 3dx 1 x 1 + 1 x 1 + 1) x 3dx 1 dx 3 x 1 + 1 = 1 ) x + x 3 dx x 3 x 1 + 1) 1 x ) dx + x 3 dx 3 ) dx 1 + dx + dx 3 x 1 + 1 1) = 1 ) 1 x 1 dx x 3 x 1 + 1) 1 + x ) 1 x 1 + 1 dx 1 + dx + dx 3 = 1 1 x x 3 1 1 x 1 + 1) + x ) 1 dx 1 + dx + dx 3 x 1 + 1 + dx 3 )) = 1 x 3 ) dx 1 + dx + dx 3, missä yhtäsuuruuden 1) kohdalla on käytetty edellämainittuja apurelaatioita. Tässä hyperbolisen geometrian mallissa J, g J ) suorat ovat puolipallopinnan J ja x 1, x )- tasoa kohtisuorien tasojen leikkausjoukkoja ks. liitteen kuva A.3). Malli J, g J ) toimii hyvänä apuvälineenä, kun määritellään vielä kaksi muuta hyperbolisen geometrian mallia. 4.4. Kleinin ja Beltramin kiekko D, g K ) Tason avoimessa yksikkökiekossa D on toki olemassa muitakin Riemannin metriikoita kuin Poincarén kiekon Riemannin metriikka g D, vaikkakin tällöin täytyy luopua konformisuudesta euklidisen tason Riemannin metriikan g E suhteen. Yksi historiallisesti merkittävä hyperbolisen geometrian malli D, g K ) on nimeltään Kleinin ja

4.4. KLEININ JA BELTRAMIN KIEKKO D, g K ) 5 Beltramin kiekko. Felix Klein 1849 195) ja Eugenio Beltrami 1835 1900) kehittelivät muitakin epäeuklidisen geometrian malleja jo ennen Jules Henri Poincaréta 1854 191), mutta tässä tutkielmassa pyritään säilyttämään ne nimitykset, jotka ovat olleet yleisesti käytössä. Kleinin ja Beltramin kiekko saadaan aikaan, kun litistetään puolipallo J yksikkökiekoksi D. Vastaavasti tämän projektion käänteiskuvaus on nostokuvaus: F γ : D J : x 1, x ) ) x 1, x, 1 x 1 x. Merkitään aluksi kuvauksen F γ komponentteja y 1 := x 1, y := x ja y 3 := Tällöin pätee komponenttien differentiaaleille: dy 1 = dx 1, dy = dx, dy 3) = d1 x 1 x ) 1 x 1 x. y 3 dy 3 = x 1 dx 1 + x dx ) dy 3 = x 1dx 1 + x dx ) y 3 dy 3 = x 1dx 1 + x dx ). 1 x 1 x Riemannin metriikka g K voidaan laskea metriikan siirtona: g K x 1, x ) = F γ g J x 1, x ) = g J df γ x 1, x )) = 1 y 3 dy 1 + dy + dy 3) = 1 1 x 1 x dx 1 + dx + x 1dx 1 + x dx ) 1 x 1 x ) ) = dx 1 + dx + x 1dx 1 + x dx ). 1 x 1 x 1 x 1 x ) Tämä Riemannin metriikka g K ei valitettavasti sievene helpompaan muotoon, joten se ei ole konforminen euklidisen Riemannin metriikan kanssa. Ainoa piste, jossa konformisuus ja kulmien suuruus säilyy läpi isometrian on origo. Kleinin ja Beltramin kiekossa D, g K ) kaikki suorat ovat euklidisten suorien rajoittumia joukkoon D ks. liitteen kuva A.4).

4.5. HYPERBOLOIDIMALLI L, g L ) 6 4.5. Hyperboloidimalli L, g L ) Viimeinen tutkielmassa tarkasteltava malli on nimeltään hyperboloidimalli tai Minkowskin malli, L, g L ). Hermann Minkowski 1864 1909) tarkasteli geometriaa yleisellä tasolla n monistolla, mutta tässä tutkielmassa riittää tarkastella kaksiulotteista pintaa, joka voidaan määritellä L := {x 1, x, x 3 ) R 3 : x 1 + x x 3 = 1, x 3 > 0}. Tämän ns. hyperboloidipinnan L ja puolipallon J välillä on olemassa diffeomorfismi F δ := L J : x 1, x, x 3 ) x1, x, 1 ). x 3 x 3 x 3 Merkitään kuvauksen F δ komponenttifunktioita y 1 := x 1 x 3, y := x x 3 ja y 3 := 1 x 3. Tällöin komponenttifunktioiden differentiaalit ovat: dy 1 = 1 dx 1 x 1 dx x 3 x 3 = 1 dx 1 x 1 dx 3 ), 3 x 3 x 3 dy = 1 dx x dx x 3 x 3 = 1 dx x dx 3 ), 3 x 3 x 3 dy 3 = 1 = 1 1 ). x 3 x 3 x 3 Hyperboloidipinnan määritelmä antaa kaksi laskujen kannalta tärkeää apurelaatiota: x 3 = x 1 + x + 1 ja dx 3) = dx 1 + x + 1) x 3 dx 3 = x 1 dx 1 + x dx ) x 3 dx 3 = x 1 dx 1 + x dx.

4.5. HYPERBOLOIDIMALLI L, g L ) 7 Riemannin metriikka g L voidaan laskea metriikan siirtona: g L x 1, x, x 3 ) = F δ g J x 1, x, x 3 ) = g J df δ x 1, x, x 3 )) = 1 dy y3 1 + dy + dy3) = 1 1 x 3 1 x 3 dx 1 x ) 1 dx 3 + x 3 1 x dx x ) dx 3 + 3 x 3 ) ) 1 1x3 x dx 3 3 = dx 1 x 1dx 1 dx 3 + x 1dx 3 + dx x 3 x x dx dx 3 + x dx 3 + dx 3 3 x 3 x 3 x 3 = dx 1 + dx + 1 x 3 x 1 x 3 dx 1 dx 3 + x 1dx 3 x x 3 dx dx 3 + x dx 3 + dx 3) = dx 1 + dx + 1 x 3 x 1 + x + 1)dx 3 x 3 dx 3 x 1 dx 1 + x dx )) 1) = dx 1 + dx + 1 x 3 x 3dx 3 x 3 dx 3 x 3 dx 3 )) = dx 1 + dx dx 3, missä yhtäsuuruuden 1) kohdalla on käytetty edellämainittuja apurelaatioita. Hyperboloidimallissa suorat ovat hyperboloidipinnan L ja origon kautta kulkevien tasojen leikkausjoukkoja ks. liitteen kuva A.5).

LIITE A Kuvia Kuva A.1. Suorat Poincarén puolitasossa H, g H ). 8

A. KUVIA Kuva A.. Suorat Poincare n kiekossa D, gd ). Kuva A.3. Suorat puolipallomallissa J, gj ). 9

A. KUVIA Kuva A.4. Suorat Kleinin ja Beltramin kiekossa D, gk ). Kuva A.5. Suorat hyperboloidimallissa L, gl ). 30