Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.. a) Ratkaise yhtälö ( ) ( ) + 4 - - = 0. Laske lukujen 4 ja 6 5 käänteislukujen keskiarvo a- 6a c) Sievennä lauseke. a + 4 - - = 0Û + 8- + 9= 0, a) Hyvä alku, esim. ( ) ( ) c) josta = 7 4 5 + Keskiarvo on 6, josta vastaukseksi ( a) a 6a a a 6a Hyvä alku, esim. = TAI a a a a a a TAI supistettu jotain oikein, esim. muotoon tai - 6 a a Vastaus a a)-c) Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu ratkaisussa MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0. a) Millä muuttujan arvoilla 4 + 7 on suurempi kuin? Ratkaise yhtälö + 4 = - 49. c) Suora kulkee origon ja pisteen (,) kautta. Kulkeeko se myös pisteen ( 48,75) kautta? a) 4 + 7> -Û 5>- 5 > Ratkaistu yhtälönä ja saatu = TAI saatu oikea vastaus ilman perusteluja ma + 4 = -49Û + 4+ 49 = 0 4 ± 4 4 49-4 = = = 7 Suoran kulmakerroin on k = ja 7 75 suoran yhtälö y = TAI toinen kulmakerroin on k = tai k = 46 48 Joku järkevä perustelu, esim. piste ( 48,75) ei toteuta yhtälöä, koska 48 = 7 75, joten suora ei kulje pisteen kautta. c) a)- Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu ratkaisussa. a) Laske derivaatta f (), kun f ( ) ( ) = + - 5. Ratkaise yhtälö 5 = 5 f = + 5 = +, = + a) () ( ) 5 joten f ( ) f ( ) = + = 4 5 TAI = 5 5 = 5 5 = 5 ( ) ( ) lg 5 = lg 5 lg 5 = lg 5 jokin järkevä välivaihe, esim. =, josta = (tai = 0, 5 ) Laskinratkaisu sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu ratkaisussa MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 4. Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää,90, Sannan jäädessä 8,0 ja matkan loppusumma on,50. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan? Alkuosan hinta on,90, keskiosan 8,0,90 = 6,0 ja loppuosan,50 8,0 = 5,0. Alpo maksaa,90 = 7,0 Sanna maksaa 7,0 + 6,0 = 0,45 Pauli maksaa 0,45 + 5,0 = 5,75 5. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 9 m ja 6 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma a maanpinnan tasosta katsottuna? 50 - Hyvä alku, esim. tanα = ja tana = TAI yhdenmuotoiset kolmiot 9 6 50 - josta = (tai muu vastaava) 9 6 Û950-9 = 6 65 = 950 = 0 MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 6. Tennispalloja myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa, johon mahtuu neljä palloa tiiviisti päällekkäin pakattuna. Tennispallon halkaisija on 6,68 cm. Kuinka monta prosenttia pakkauksen tilavuudesta pallot täyttävät? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. <http://www.fruugo.fi/wilson-tour-davis-cup-official-tennis-balls--dozen/p- 4>. Luettu 5..0. 6,68 Hyvä aloitus, esim. pallojen säde on r = =, 4 (cm) TAI lieriön korkeus h = 4 6,68 = 6, 7 (cm) 4 Pallojen tilavuus on yhteensä V p = 4 π,4 ( = 64,9...cm ) V l = πr h = π,4 4 6,68 = 96,48...cm Pakkauksen tilavuus ( ) V p 64,9... Tilavuuksien suhde = = 0,666... Vl 96,48... Vastaus 67 % 7. Mitä arvoja funktio f ( ) = + - 0+ 5 saa välillä [ ] 0,? Derivaatta on f () = 6 + 4 0 f () = 0 Û 6 + 4-0= 0, 5 josta ratkaisukaavalla (tai laskimella) = tai =, joista = kuuluu välille [ 0,]. Lasketaan arvot f () 0 = 5, f () = ja f () = 9 Funktion pienin arvo on ja suurin arvo on 9, -,9. joten funktion saa arvot väliltä [ ] MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu 4 / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 8. Vuonna 005 yksityishenkilöiden maksuhäiriöiden lukumäärä Suomessa oli 4 500, ja vuonna 0 se oli 460 500. a) Kuinka monta prosenttia maksuhäiriöiden lukumäärä kasvoi tällä aikavälillä? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. Vuonna 0 ministeriö asetti tavoitteeksi vähentää maksuhäiriöiden määrän neljässä vuodessa takaisin vuoden 005 tasolle. Kuinka monta prosenttia määrä vähenee vuodessa, kun vuotuinen vähenemisprosentti on sama? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. <http://www.asiakastieto.fi/asiakastieto/tilastot/maksuhairiot/>. Luettu 5..0 a) Hyvä alku esim. lukumäärä kasvoi 460500-4500 = 08000 TAI 460500 4500 =,45680... Kasvua =,45680... - =,45680... 4500 Vastaus 46 % Yhtälö 460500 q 4 = 4500, 4 4500 josta saadaan q = = 0,89... 460500 ja q = 4 0,89... = 0,7.... 0,7... = 0,666... eli vastaus on 6,7 % MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu 5 / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 9. Neliön piiri on yhtä pitkä kuin ympyrän kehä. a) Kuinka monta prosenttia neliön pinta ala on pienempi kuin ympyrän pinta ala? Kuinka monta prosenttia ympyrän pinta ala on suurempi kuin neliön pinta ala? Anna vastaukset prosentin kymmenesosan tarkkuudella. a) Jos neliön sivu on a, niin sen piiri on 4a ja ala A n = a. Tällöin ympyrän halkaisija on 4a p ja säde a r = π æaö 4a Ympyrän ala on Ay = pr = p ç = è p ø p A a π n Alojen suhde = = = 0,78598... A 4a y 4 π 0,78598... = 0,460..., joten neliön ala on,5 % pienempi A A y n 4a = π a 4 = =,79..., joten ympyrän ala on 7, % suurempi. π Piirille annettu lukuarvo ma 4 0 Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä a) silmälukujen summa on vähintään kahdeksan? silmälukujen summa on suurempi kuin niiden tulo? Alkeistapauksista muodostuu 6 6 ruudukko Ruudukon perusteella suotuisia tapauksia ovat (,6), (,5), (,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,4), (6,5) ja (6,6). 5 5 Kysytty todennäköisyys on = 0, 4 6 Yksi alkeistapaus puuttuu - Ruudukon perusteella suotuisia tapauksia ovat (,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (4,), (5,) ja (6,). Kysytty todennäköisyys on ( 0,). 6 Yksi alkeistapaus puuttuu - MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu 6 / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0. a) Lukujonossa ( a n) on a = ja a = 5. Määritä jonon sadan ensimmäisen termin summa, kun jono on a) aritmeettinen geometrinen. Anna tämän kohdan vastaus miljoonan tarkkuudella. Kahden peräkkäisen termin erotus on d = =, 5 5 08 joten a 00 = a + 99d = + 99 =. 5 5 08 + Summa on 00 5 = 80. 6 Suhdeluku q = 5 = =,, 5 ( ) joten summa on 00, ( = 887975,... ), 6 Vastaus 88 0. Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 5 millilitraa ja keskihajonta on,5 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa? Jos X noudattaa normaalijakaumaa N ( 5;,5), niin normitettu X - 5 satunnaismuuttuja Z = noudattaa normaalijakaumaa N ( 0,)., 5 Normitettu arvo 50-5 =-, 6, 5 P X < 50 = P Z <-,6 =F -,6 (idea riittää, oikeita merkintöjä ei vaadita) ( ) ( ) ( ) (,6) = -F» - 0,945 = 0,0548 (TAI 5,5 % TAI jollain muulla järkevällä tarkkuudella) TAI Ratkaistu jotenkin järkevästi perustellen kuvan avulla ma 6 (Tehtävä on mahdollista ratkaista tietyillä laskimilla suoraan ilman normitusta. Laskinta voi hyödyntää tehtävän ratkaisussa, jos se perustellaan jotenkin. Opettajille huom: valtakunnallisesti laskinratkaisuja tuskin esiintyy, tai niitä on erittäin vähän.) MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu 7 / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0. Mikropiirin transistoreiden lukumäärä N= N(t) on kasvanut alla olevan kuvan mukaisesti. Ajanhetkellä t = 0 (vuosi 97) lukumäärä oli 00, ja hetkellä t = 40 (vuosi 0) se oli 600 000 000. Lukumäärä noudattaa mallia N(t) = N(0) e at. a) Määritä vakion a kaksidesimaalinen likiarvo näiden tietojen perusteella. Perustele a kohdan avulla niin sanottu Mooren laki, jonka mukaan transistoreiden lukumäärä kaksinkertaistuu noin kahden vuoden välein. a) Yhtälöstä 00 9 40,6 0 a 6 saadaan e = =,0447... 0 00 6 ln(,0447... 0 ) ja edelleen a = = 0,484... 0, 5 40 at Lukumäärä kaksinkertaistuu ajassa t, jos e =. ln ln Tästä saadaan t = = =,989..., 0, joten Mooren laki pätee. a 0,484... 40a 9 e =,6 0 MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu 8 / 9
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 4. Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat,0 kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat 98 000 euroa. Koteloita myydään aluksi 7,99 eurolla, mutta viimeiset 5 % myydään varaston tyhjentämiseksi 4,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta. a) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän avulla lausuttuna. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän avulla lausuttuna. c) Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla? a) Jos valmistusmäärä on, niin kokonaiskustannukset ovat,0 + 98000. Tuotto on 0,75 7,99 + 0,5 4,00 = 6,995, joten voitto on 6,995- (,0+ 98000 ) = 4,695-98000. (sieventämätön muoto kelpaa) c) Kustannukset saadaan katettua, kun 4,695-98000 ³ 0 98000 = 0884,8.... 4,695 Koteloita täytyy valmistaa vähintään 0 885 kappaletta. Pyöristetty vastaus 0884 tai 0880 tai 0900 tai 000-0 5. Alla on funktion f () = Asin( b) kuvaaja välillä [ 70,70 ] Î -. Määritä kuvaajan perusteella a) vakion A arvo vakion b arvo c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L > 0 ja f ( + L) = f () kaikilla. a) Kuvaajan perusteella funktion Asin ( b) maksimiarvo on noin, joten koska funktion sin ( b) maksimiarvo on, niin A. Funktion jakso on kaksinkertainen sin () :n jaksoon verrattuna, TAI Kuvaajan perusteella funktion Asin ( b) ensimmäinen positiivinen maksimikohta on 80. Sen vuoksi b 80 90, joten b 0, 5 c) Kuvaajan perusteella L 70. MFKA / MAOL-Palvelu Pisteytys Lyhyt matematiikka kevät 0 Sivu 9 / 9