Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö u 3u 4 = 0 (u 4)(u + ) = 0 u 4 = 0 tai u + = 0 u = 4 Sijoitetaan u = x, saadaan Vastaus: x = ± x = 4 tai x = x = ± u = ei ratkaisua
E Jokaisen pisteen täytyy toteuttaa paraabelin y = ax + bx + c yhtälö. a ( ) + b ( ) + c = a 0 + b 0 + c = 5 a + b + c = 3 a b + c = c = 5 4a + b + c = 3 () () (3) Sijoitetaan () yhtälöihin () ja (3). { a b + 5 = 4a + b + 5 = 3 { a b = 7 4a + b = 8 { a b = 4 (4) 4a + b = 8 6a = 6 : 6 a = Sijoitetaan a = yhtälöön (4). b = 7 b = 6 ( ) b = 6 Kysytty summa a + b + c = 6 + 5 = 0 Vastaus: Lausekkeen a + b + c arvo on 0. E3 Opiskelijan täytyy siis arvata oikein vähintään viiteen tehtävään viidestätoista. Merkitään n = 5 on tehtävien määrä k on oikein arvattujen vastausten määrä p = on todennäköisyys vastata oikein yhteen tehtävään q = on todennäköisyys vastata väärin yhteen tehtävään
Kysytty todennäköisyys on P (k 5) = P (k 5) = P (k < 5) vastatapahtuman tn. = P (k = 0 tai k = tai k = tai k = 3 tai k = 4) = [ P (k = 0) + P (k = ) + P (k = ) + P (k = 3) + P (k = 4) ] Sovelletaan binomitodennäköisyyden kaavaan ( ) n k p k q n k, saadaan [ (5 ) ( 0 ( 5 ( ) ( P (k 5) = 0 ) ) + 5 ( 4 ( ) ( ) ) + 5 ( ) + ( ) ( 5 3 ( ( ) ( 3 ) ) + 5 4 ( ) ] 4 ) = ( [ 5 (5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ] 0 + 5 + 5 + 5 3 + 5 4 = 0,94076... Vastaus: Opiskelija läpäisee testin todennäköisyydellä 0,94. E4 Jono (a n ) on aritmeettinen, joten ) 3 a n+ a n = d, d R Tutkitaan kahden peräkkäisen jäsenen suhdetta jonossa (b n ). b n+ b n = 3an+ 3 an = 3 a n+ a n = 3 d Peräkkäisten jäsenten suhde on n:stä riippumaton vakio 3 d, joten jono (b n ) on geometrinen. Kaikki jonon (b n ) jäsenet ovat positiivisia, koska b n = 3 an > 0. Lukujono (b n ) on aidosti vähenevä, jos b n+ < b n. Tutkitaan milloin epäyhtälö on voimassa. b n+ < b n b n+ : b n < Sij. b n+ = 3 d b n b n 3 d < ln() ln 3 d < ln d ln 3 < 0 : ln 3, ln 3, > 0 d < 0
Vastaus: Jono (b n ) on aidosti vähenevä, kun (a n ) on aidosti vähenevä, eli kun jonon (a n ) peräkkäisten jäsenten erotus d < 0. E5 Suoran täytyy olla laskeva, jotta kolmio muodostuisi, eli k < 0. y-akselin leikkauspiste on (0, B). Määritetään x-akselin leikkauspiste. 0 = kx 0 + B kx 0 = B : ( k) x 0 = B k Kolmion sivujen pituudet ovat x 0 ja B, joten kolmion ala on A = x 0B = ( B ) B = B k k () Suora kulkee pisteen (a, b) kautta, joten y b = k(x a) y = kx ak + b Suoran yhtälön vakio B on siis B = ak + b. Sijoitetaan tämä yhtälöön (), saadaan ( ak + b) A(k) = k = a k abk + b k = a k + ab b k
Tehtävänä on etsiä funktion A(k) pienin arvo välillä k ], 0[. Derivaatan nollakohdat A (k) = a + 0 b ( ) k = a + b k a + b k = 0 k a k + b = 0 a k = b : ( a ) k = b a k = ± b a Vain negatiivinen nollakohta on tarkasteluvälillä. Tutkitaan derivaatan merkkiä nollakohdan eri puolilla kohdissa b ja b a a A ( ) b a = a + ( b b ) a Kulkukaavio = a + b a 4 b = a + 8 a = 3 8 a < 0 A ( ) b a = a + ( b b ) a = a + b 4a b = a + a = 3 a > 0
Pienin arvo löytyy kohdasta b. Pinta-ala on tällöin a A ( b a ( ) = a b ) + ab ( a b b ) a = ab + ab + b a b = ab + ab + ab = ab Vastaus: Kolmion pienin mahdollinen pinta-ala on ab. E6 Tutkitaan jakojäännöstä Jakojäännöksen täytyy olla nolla, jotta P (x) on jaollinen binomilla x. a = 0 a = Kun a =, voidaan P (x) jakaa tekijöihin P (x) = (x )(x 3 x 4x ). Ratkaistaan yhtälö P (x) = 0 (x )(x 3 x 4x ) = 0
Tulon nollasäännön mukaan x = 0 x = : x = tai x 3 x 4x = 0 Merkitään q(x) = x 3 x 4x. Jaetaan q(x) tekijöihin, jotta yhtälö voidaan ratkaista. Huomataan, että q( ) = ( ) 3 ( ) 4 ( ) = 0, joten q(x):llä on nollakohta x = ja siten polynomilla q(x) on tekijälauseen mukaan tekijä x +. (Huomautus lukijalle: nollakohta keksittiin kokeilemalla laskimella lukuja,, ja. Näitä lukuja lähdettiin kokeilemaan, koska q:n vakiotermi on ja vakiotermi on aina juurien tulo.) Edelleen Jakolaskun perusteella saadaan q(x) = (x + )(x x ) Yhtälö q(x) = 0 tulee muotoon (x + )(x x ) = 0
Tulon nollasäännön mukaan x + = 0 x = tai x x = 0 x = ( ) ± ( ) 4 ( ) x = ± x = ± 3 x = ± 3 Vastaus: Oltava a =, jotta P (x) on jaollinen binomilla x. Tällä a:n arvolla yhtälön P (x) = 0 juuret ovat x =, x = 3, x = ja x = + 3. E7 a) f(x) = ax, kun x x, + x kun x > Polynomifunktio ax on jatkuva, kun x <. Rationaalifunktio on jatkuva, kun x >, sillä sen nimittäjä + x > 0 kaikilla x:n reaaliarvoilla. Funktio f on jatkuva kohdassa x =, jos lim f(x) = x lim x Lasketaan toispuoleiset raja-arvot. lim f(x), ja x + () f(x) = f(). () lim f(x) x x ax = a ( ) = a. (3)
x lim f(x) x + x + x = + = (4) Sijoitetaan (3) ja (4) yhtälöön (), saadaan a = Nyt lim f(x) = x = ( ) = f( ), joten ehdot () ja () täyttyvät. Vastaus: f on kaikkialla jatkuva, kun a =. b) f(x) = x, kun x x, + x kun x > Kun x <, niin funktio f on polynomifunktio x, joten se on derivoituva. Kun x >, niin f on derivoituva rationaalifunktio. Ehto sille, että f on derivoituva myös kohdassa x = on f ( ) = f +( ).
Lasketaan toispuoleiset derivaatat. f ( ) f(x) f( ) x x ( ) x ( ) x x + f +( ) = x (x ) x + (x ) (x + ) x x + (x ) x = ( ) =. f(x) f( ) lim x + x ( ) x x x x x x + x ( ) + ( ) x + ) x + x +x) x + x x ( + x ) x ( + x ) (x + ) x + (x )( x + ) ( + x ) ( x + ) x x ( + x ) = ( + ( ) ) =. Tällöin f ( ) f +( ), joten funktio f(x) ei ole kaikkialla derivoituva.
c) x (x lim f(x) x x + x x = 0 + =. x + *E8 a) Tylppäkulmaisessa kolmiossa yksi kulma on suurempi kuin 90. b) Kolmion CDE suurin kulma on E ja se voi olla joko terävä, suora tai tylppä kulma. Piirretään kolmion ympärille suorakulmio ABCD. Määritetään kolmion CDE pinta-alan lauseke pituuksien h ja a avulla. Suorakulmion AEF D pinta-ala on A = a h. Suorakulmion EBCF pinta-ala on A = a h. Kolmion DEF pinta-ala on A 3 = A = a h. Kolmion CEF pinta-ala on A 4 = A = a h.
Kolmion CDE pinta-ala on A = A 3 + A 4 A = a h + a h A = a h + a h A = (a + a )h A = ah Johdetaan seuraavaksi pinta-alan kaava tapauksessa, jossa korkeusjana on suorakulmaisen kolmion kateetti. Jos kolmio ABD on suorakulmainen ja A = 90, niin kateetit ovat sivut AB ja AD. Suorakulmion ABCD pinta-ala on tällöin A = ah ja kolmion ABD pinta-ala A = A A = ah Johdetaan edellisiä tuloksia hyväksi käyttäen pinta-ala vielä siinä tapauksessa, jossa korkeusjana tulee kohtisuorasti kannan jatkeelle.
Kolmion kanta a = a a. Kolmion ADE pinta-ala on Kolmion BCD pinta-ala on Suorakulmion ABCD pinta-ala on A = a h A = a h A s = a h Kolmion BDE pinta-ala A saadaan vähentämällä suorakulmion ABCD pinta-alasta kolmioiden ADE ja BCD alat, eli A = A s (A + A ) ( a h A = a h + a ) h A = a h a h A = (a a ) h Sij. a a = a A = ah c) Täytyy tutkia kaksi tapausta
Tapaus Tapaus Kolmion ABD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = ah. Kolmion BCD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = bh. Puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala on molemmissa tapauksissa A = A + A A = ah + bh ah + bh A = A = (a + b)h