Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo 28 1

Johdanto Tutkielmassa tutustutaan dihedraaliseen ryhmään kahdella eri tavalla lähestyen. Ensimmäisessä luvussa esitellään ryhmiin liittyviä määritelmiä, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa kerrataan ryhmän ja aliryhmän määritelmät, sekä ryhmien ominaisuuksia. Lausetta 1.5 käytetään useammassa todistuksessa myöhemmin tutkielmassa. Luvun päälähteenä on käytetty luentomonistetta [1] sekä muistiinpanoja kyseiseltä kurssilta. Toisessa luvussa esitellään permutaatioihin liittyviä määritelmiä ja merkintöjä sekä symmetrinen ryhmä ja sen kertaluku. Luvun lopussa esitellään symmetrinen ryhmä S 3. Luvun päälähteenä on käytetty luentomonistetta [2]. Luvussa kolme edetään symmetrioiden kautta symmetriaryhmään. Symmetriaryhmää havainnollistetaan esimerkein. Luvun lopussa esitellään ensimmäisen kerran dihedraalinen ryhmä perustuen säännöllisten monikulmioiden symmetrioihin. Luvun lähteenä on käytetty teosta [3]. Luvun neljä alussa määritellään siirtoja säännölliselle monikulmiolle. Näille siirroille esitellään muutamia ominaisuuksia. Tämän jälkeen luvussa esitellään ryhmä, jolla on tietynlaisia ominaisuuksia. Tämän ryhmän avulla päästään taas dihedraaliseen ryhmään. Luvun lähteenä on käytetty teosta [4]. 2

1 Ryhmä Tässä luvussa esitellään ryhmiin liittyviä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Määritelmä 1.1. Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b on joukon S binäärinen operaatio eli a b S aina, kun a, b S. Lisäksi binäärinen operaatio ( ) on 1. kommutatiivinen eli vaihdannainen joukossa S, jos a b = b a aina, kun a, b S; 2. assosiatiivinen eli liitännäinen, jos a (b c) = (a b) c aina, kun a, b, c S. Määritelmä 1.2. Olkoot G ei-tyhjä joukko ja ( ) joukon G binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat kolme ehtoa toteutuvat: 1. operaatio ( ) on assosiatiivinen eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G; 2. joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Alkiota e kutsutaan ykkös eli neutraalialkioksi; 3. kaikilla a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Määritelmä 1.3. Olkoon (G, ) ryhmä. Jos a b = b a aina, kun a, b G eli operaatio ( ) on kommutatiivinen, niin sanotaan, että (G, ) on Abelin ryhmä eli kommutatiivinen ryhmä. Määritelmä 1.4. Olkoot (G, ) ryhmä ja H ryhmän (G, ) ei-tyhjä osajoukko. Jos (H, ) on ryhmä, niin sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi ja merkitään H G. 3

Lause 1.5 (Aliryhmäkriteeri). Olkoot (G, ) ryhmä ja H ryhmän (G, ) eityhjä osajoukko. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. jos a, b H, niin a b H; 2. jos a H, niin a 1 H. Todistus. Oletetaan ensin, että H G eli H on ryhmän G aliryhmä. Tällöin H on ryhmä, joten ehdot 1 ja 2 toteutuvat. Oletetaan seuraavaksi, että ehdot 1 ja 2 ovat voimassa. Ehdosta 1 seuraa, että kyseessä on binäärinen operaatio joukossa H. Koska operaatio ( ) on assosiatiivinen joukossa G ja H G, niin operaatio ( ) on assosiatiivinen myös joukossa H. Jos alkio a H, niin ehdon 2 nojalla myös a 1 H. Ehdon 1 nojalla a a 1 = e H. Siis joukko H on ryhmä ja H G. Määritelmä 1.6. Olkoon (G, ) ryhmä. Ryhmän (G, ) alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja merkitään G. Määritelmä 1.7. Olkoot (G, ) ja (J, ) ryhmiä. Kuvausta f : G J sanotaan ryhmähomomorf ismiksi ryhmältä G ryhmälle J, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Määritelmä 1.8. Kuvaus f : A B on 1. surjektio, jos R f = {f(x) x A} = B eli kuvauksen f arvojoukko on koko joukko B; 2. injektio, jos x 1, x 2 A ja x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Eli joukon A eri alkioilla on aina eri kuvapisteet; 3. bijektio, jos f on surjektio ja injektio. 4

Määritelmä 1.9. Ryhmät (G, ) ja (J, ) ovat isomorfiset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektio f : G J, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G eli kuvaus f on bijektiivinen homomorfismi. Tällöin merkitään G = J ja sanotaan, että kuvaus f on ryhmäisomorf ismi. 5

2 Symmetrinen ryhmä Tässä luvussa esitellään permutaatioihin ja symmetriseen ryhmään liittyviä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Ensimmäinen määritelmä on esitelty jo edellisessä luvussa, mutta se toistetaan tässä sen tärkeyden vuoksi. Määritelmä 2.1. Kuvaus f : A B on 1. surjektio, jos R f = {f(x) x A} = B eli kuvauksen f arvojoukko on koko joukko B; 2. injektio, jos x 1, x 2 A ja x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Eli joukon A eri alkioilla on aina eri kuvapisteet; 3. bijektio, jos f on surjektio ja injektio. Määritelmä 2.2. Olkoon f : A B bijektio. Kuvauksen f käänteiskuvaus f 1 : B A liittää jokaiseen alkioon y B sen alkukuvan x A eli x = f 1 (y) y = f(x). Lause 2.3. Käänteiskuvaus on myös bijektio. Todistus. Osoitetaan, että bijektiivisen kuvauksen f : A B käänteiskuvaus f 1 on olemassa ja se on bijektio. Olkoon alkiot x A ja y B ja olkoon f 1 (y) = x jos ja vain jos f(x) = y. Osoitetaan, että f 1 on kuvaus B A. Nyt koska kuvaus f on surjektio, niin jokaista alkiota y B kohti on olemassa sellainen alkukuva x A, että f(x) = y. Nyt kuvaus f on myös injektio, jolloin jokaiselle alkiolle y B on olemassa täsmälleen yksi alkukuva x A. Näin ollen f 1 on kuvaus B A. Osoitetaan seuraavaksi, että kuvaus f 1 on bijektio. Olkoon alkio x A mielivaltainen ja olkoon f(x) = y. Tällöin f 1 (y) = x ja y B eli f 1 on 6

surjektio B A. Olkoon f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ) joillakin y 1, y 2 B. Tällöin f(f 1 (y 1 )) = f(f 1 (y 2 )) eli y 1 = y 2, joten f 1 on injektio. Täten f 1 : B A on bijektio. Määritelmä 2.4. Olkoon X ei-tyhjä joukko. Jos α : X X on bijektio, niin α on permutaatio joukon X suhteen. Lause 2.5. Olkoon S X ei-tyhjän joukon X kaikkien permutaatioiden joukko. Jos ( ) on kuvausten yhdistämisoperaatio, niin (S X, ) on ryhmä. Todistus. Olkoon kuvaukset α ja β joukon S X alkioita eli α : X X on bijektio ja β : X X on bijektio. Tällöin kuvaus α β on kahden bijektion yhdisteenä bijektio. Nyt α β : X X, joten α β S X ja ( ) on binäärinen operaatio joukossa S X. Kuvausten yhdistämisoperaatio on assosiatiivinen eli (α β) γ = α (β γ), aina kun α, β, γ S X. Olkoon I identiteettikuvaus. Nyt I : X X on bijektio eli I S X. Kaikilla kuvauksilla α S X pätee I α = α = α I. Näin ollen identiteettikuvaus I on neutraalialkio joukossa S X. Koska kuvaus α : X X on bijektio, sillä on olemassa käänteiskuvaus α 1 : X X, joka on bijektio. Siis α 1 S X. Lisäksi α α 1 = α 1 α = I. Näin ollen kuvaus α 1 on kuvauksen α käänteisalkio. 7

Määritelmä 2.6. Olkoon i k X, missä k = 1,..., n ja olkoon α S X permutaatio, jolla α(i 1 ) = i 2, α(i 2 ) = i 3,..., α(i r 1 ) = i r, α(i r ) = i 1 ja α säilyttää muut joukon X alkiot. Tällöin merkitään α = i 1 i 2... i r 1 i r = (i 1 i 2... i r 1 i r ) i 2 i 3... i r i 1 ja sanotaan, että α on r sylki. Olkoon joukot X = {1, 2, 3,..., n} ja Y = {a 1, a 2, a 3,..., a n } eli X = Y. Tällöin on olemassa permutaatioryhmät S X ja S Y. Koska joukoissa X ja Y on yhtä monta alkiota, löydetään kaikille ryhmän S X permutaatioille vastaavat permutaatiot ryhmästä S Y. Näissä permutaatioissa vain permutoitavat alkiot on nimetty eri tavoin. Ryhmät S X ja S Y ovat siis rakenneyhtäläiset. Näin ollen permutaatioryhmät S X ja S Y voidaan samaistaa. Määritelmä 2.7. Olkoon joukko X, jonka alkioiden lukumäärä on n eli X = n. Merkitään (S X, ) = (S n, ) ja sanotaan, että (S n, ) on astetta n oleva symmetrinen ryhmä. Lause 2.8. Symmetrisen ryhmän S n S n = n!. kertaluku on n-kertoma. Merkitään Todistus. Olkoon kuvaus α S n. Tällöin α(1) = k, missä 1 k n eli k voidaan valita n eri tavalla. Koska kuvaus α on bijektio, voidaan α(2) valita (n 1) eri tavalla ja α(3) voidaan valita (n 2) eri tavalla. Näin jatkamalla kuvaus α(n 1) voidaan valita kahdella eri tavalla ja α(n) voidaan valita vain yhdellä tavalla. Näin ollen ryhmän S n kertaluku S n = n (n 1) (n 2) 2 1 = n!. 8

Esimerkki 2.9. Symmetrisen ryhmän S 3 alkiot ovat I = (1), (1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1 3) ja (1 2). Ryhmän S 3 ryhmätaulu: I (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3) (1 2) I I (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) I (1 2) (2 3) (1 3) (1 3 2) (1 3 2) I (1 2 3) (1 3) (1 2) (2 3) (2 3) (2 3) (1 3) (1 2) I (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 3 2) I (1 2 3) (1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1 2 3) (1 3 2) I Symmetrinen ryhmä S 3 ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi (1 2 3) (2 3) = (1 2) mutta (2 3) (1 2 3) = (1 3). Ryhmä S 3 ei siis ole Abelin ryhmä. 9

3 Symmetriaryhmä Tässä luvussa esitellään symmetriaryhmä (Ω). Ryhmää havainnollistetaan useilla esimerkeillä. Luvun lopussa esitellään myös dihedraalinen ryhmä D 2n. Määritelmä 3.1. Bijektiivinen kuvaus ϕ : R 2 R 2 on siirto, jos se säilyttää etäisyyden. Tällöin kaikilla pisteillä P = (a, b) R 2 ja Q = (c, d) R 2 ϕ(p ) ϕ(q) = P Q, missä P Q = (a c) 2 + (b d) 2. Lause 3.2. Olkoon M kaikkien tason R 2 siirtojen joukko ja olkoon ( ) kuvausten yhdistämisoperaatio. Tällöin (M, ) on ryhmä. Todistus. Olkoon ϕ ja ϕ siirtoja eli ϕ, ϕ M. Tällöin kaikille pisteille P, Q R 2 pätee (ϕ ϕ )(P ) (ϕ ϕ )(Q) = ϕ(ϕ (P )) ϕ(ϕ (Q)) = ϕ (P ) ϕ (Q) = P Q. Lisäksi ϕ ϕ on kahden bijektion yhdisteenä bijektio. Näin ollen ϕ ϕ M ja ( ) on binäärinen operaatio joukossa M. Kuvausten yhdistämisoperaatio on assosiatiivinen eli (ϕ 1 ϕ 2 ) ϕ 3 = ϕ 1 (ϕ 2 ϕ 3 ) aina, kun ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 M. Olkoon I identiteettikuvaus eli I(P ) = P kaikilla P R 2. Tällöin I(P ) I(Q) = P Q. 10

Esimerkki 3.5. Siirrot säilyttävät eräitä geometrisia kuvioita. 1. Olkoon kuvaus ϕ siirto ja olkoon P Q jana, jonka päätepisteet ovat P ja Q. Tällöin ϕ(p Q) on jana, jonka päätepisteet ovat ϕ(p ) ja ϕ(q). 2. Olkoon Ω monikulmio, jonka kärkipisteet ovat v 1, v 2,..., v n. Tällöin ϕ(ω) on monikulmio, jonka kärkipisteet ovat ϕ(v 1 ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v n ). Määritelmä 3.6. Monikulmion Ω R 2 symmetriaryhmä (Ω) on kaikkien sellaisten siirtojen ϕ joukko, joille pätee ϕ(ω) = Ω. Joukon (Ω) alkioita sanotaan kuvion Ω symmetrioiksi. Lause 3.7. Symmetriaryhmä (Ω) on ryhmä. Todistus. Selvästi (Ω) M. Lisäksi (Ω), sillä identiteettikuvaus I (Ω). 1. Olkoon ϕ 1, ϕ 2 (Ω) eli ϕ 1 (Ω) = Ω ja ϕ 2 (Ω) = Ω. Tällöin (ϕ 1 ϕ 2 )(Ω) = ϕ 1 (ϕ 2 (Ω)) = ϕ 1 (Ω) = Ω. Siis myös ϕ 1 ϕ 2 (Ω). 2. Siirto ϕ (Ω) on määritelmän 3.1 nojalla bijektio, joten käänteiskuvaus ϕ 1 on olemassa. Nyt ϕ 1 (Ω) = ϕ 1 (ϕ(ω)) = (ϕ 1 ϕ)(ω) = I(Ω) = Ω, joten ϕ 1 (Ω). Lauseen 1.5 nojalla (Ω) M eli (Ω) on ryhmä. Esimerkki 3.8. Olkoon kolmio, jonka kärkipisteet ovat P, Q ja U sekä olkoon ϕ siirto. Tällöin ϕ( ) on kolmio, jonka kärkipisteet ovat ϕ(p ), ϕ(q) ja ϕ(u). Jos ϕ( ) =, niin sanotaan, että siirto ϕ permutoi kärkipisteitä P, Q ja U. Olkoon kolmion keskipiste O. 13

Todistus. Kierto R n vastaa 360 kiertoa origon O ympäri, jolloin kaikki kärkipisteet kuvautuvat takaisin itselleen. Tämä vastaa identiteettikuvausta I. Peilaus A 2 vastaa peilausta kaksi kertaa halkaisijan suhteen, jolloin kaikki kärkipisteet kuvautuvat takaisin itselleen ja A 2 = A 0 = I. Permutaatioiden avulla merkitään 1 R = 2 3... (n 1) n ja A = 1 2 3... n. 2 3 4... n 1 1 n (n 1)... 2 Tällöin 1 RA = 2 3... (n 1) n 1 2 3... n 2 3 4... n 1 1 n (n 1)... 2 = 1 2 3... n 2 1 n... 3 ja 1 AR 1 = 2 3... (n 1) n 1 2 3... n 1 n (n 1)... 3 2 n 1 2... (n 1). = 1 2 3... n 2 1 n... 3 Siis RA = AR 1. Seuraus 4.3. Säännölliselle n-kulmiolle on voimassa R k A = AR k. Todistus. Nyt R, A (π n ), joten lauseen 4.2 ja ryhmän (π n ) assosiatiivisuuden nojalla R k A = R }.{{.. R} A = R }.{{.. R} AR 1 =... = AR k. k k 1 20

Lause 4.4. Olkoon (G, ) ryhmä, jossa on alkiot r ja a joille on voimassa yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1. Tällöin ryhmässä G on 2n alkiota muodossa r k a d, missä 0 k < n ja d = 0 tai d = 1. Alkioiden kertolaskusääntö on tällöin r k+h a f, kun d = 0 3. (r k a d )(r h a f ) = r k h a d+f, kun d = 1. Todistus. Yhtälöstä 2 saadaan ryhmän G assosiatiivisuuden nojalla r h a = r }.{{.. r} a = r }.{{.. r} ar 1 =... = ar h. h h 1 Kertomalla puolittain vasemmalta alkiolla r h ja oikealta alkiolla r h saadaan ar h = r h a. Osoitetaan tämän yhtälön avulla kertolaskusääntö 3. Olkoon ensin d = 0. Tällöin a d = e ja (r k a d )(r h a f ) = r k r h a f = r k+h a f. Olkoon seuraavaksi d = 1. Tällöin a d = a ja (r k a d )(r h a f ) = r k (a d r h )a f = r k (r h a d )a f = r k h a d+f. Osoitetaan seuraavaksi, että ryhmän G muodossa r k a d olevien alkioiden lukumäärä on 2n. Nyt k voidaan valita n eri tavalla ja d voidaan valita kahdella eri tavalla. Siis alkioiden r k lukumäärä on n ja alkioiden a d lukumäärä on kaksi. Näiden tuloja on n 2 = 2n kappaletta. Osoitetaan vielä, että ryhmän (G, ) 2n alkiota muotoa r k a d ovat erillisiä. Olkoon r k a d = r h a f, missä h k. Kertomalla puolittain vasemmalta alkiolla r h ja oikealta alkiolla a f, saadaan r k h a d f = e. 21

Merkitään k h = x ja d f = y. Osoitetaan, että jos r x a y = e, niin r x = e ja a y = e. Olkoon ensin y = 0. Tällöin r x a 0 = r x e = r x = e. Olkoon seuraavaksi y = ±1. Koska a 2 = e, niin a y = a. Tällöin r x a 1 = e jos ja vain jos r x a = e eli r x = a ja r x a 1 = e jos ja vain jos r x = a. Tällöin ra = rr x = r x r = ar. Yhtälöstä 2 saadaan ra = ar 1. Täytyy siis olla r = r 1 eli r 2 = e. Tämä on ristiriidassa yhtälön 1 kanssa. Täytyy siis olla y = 0 eli d f = 0. Tällöin siis r x = r k h = e. Yhtälöstä 1 seuraa, että jos 0 h k < n ja jos r k h = e, niin täytyy olla k h = 0 eli k = h. Vastaavasti jos d f = 0, niin d = f. Näin ollen yhtälö r k a d = r h a f on tosi vain, kun k = h ja d = f. Lause 4.5. Olkoon (G, ) ryhmä, jossa on alkiot r ja a joille on voimassa yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1. Tällöin joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} muodostaa ryhmän kertolaskun suhteen. Todistus. Osoitetaan, että muodostuva joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} on ryhmän G aliryhmä. Selvästi joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} G. Osoitetaan ensin, että ( ) on binäärinen operaatio joukossa D. Olkoon alkiot r k a d, r h a f D ja olkoon ensin d = 0. Tällöin lauseen 4.4 22

kertolaskusäännön 3 mukaisesti (r k a d )(r h a f ) = r k+h a f. Jos k + h n, niin r k+h a f = r k+h n a f D. Olkoon seuraavaksi d = 1. Tällöin lauseen 4.4 kertolaskusäännön 3 mukaisesti (r k a d )(r h a f ) = r k h a d+f. Jos k h < 0, niin r k h a d+f = r k h+n a d+f D. Näin ollen ( ) on binäärinen operaatio joukossa D. Osoitetaan seuraavaksi, että alkiolla r k a d D on olemassa käänteisalkio (r k a d ) 1 D. Nyt (r k a d ) 1 = (a d ) 1 (r k ) 1 = a d r k = a d er k = a d r n r k = a d r n k. Olkoon ensin d = 0. Tällöin (r k a d ) 1 = a d r n k = a 0 r n k = r n k = r n k a 0 D. Olkoon seuraavaksi d = 1. Tällöin (r k a d ) 1 = a d r n k = a 1 r n k = ar n k = r (n k) a = r n (n k) a = r k a D. r n k a 0, kun d = 0 Siis alkion r k a d käänteisalkio (r k a d ) 1 = r k a 1, kun d = 1. Lauseen 1.5 nojalla joukko D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} varustettuna kertolaskulla on ryhmän G aliryhmä ja siten ryhmä. Lause 4.6. Jokaista kokonaislukua n > 2 kohti on olemassa ryhmä D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1}, jonka kertaluku on 2n ja jonka alkioilla r ja a on voimassa yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1. Ryhmä on yksikäsitteinen. 23

Todistus. Määritelmässä 4.1 on esitelty symmetriaryhmän (π n ) alkiot R ja A, joilla on lauseen 4.2 mukaisesti ominaisuudet R n = I = A 2 ja RA = AR 1. Nyt identiteettikuvaus I on symmetriaryhmän (π n ) neutraalialkio, joten alkiot R, A (π n ) toteuttavat lauseen 4.4 ehdot 1 ja 2. Näin ollen lauseen 4.4 ehdot toteuttavia ryhmiä ja siten myös alkioita r ja a on olemassa. Olkoon nyt r ja a lauseen 4.4 ehdot 1. ja 2. toteuttavia alkioita. Nyt lauseen 4.5 nojalla on olemassa ryhmä D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1}, jonka alkiot r ja a toteuttavat lauseen 4.4 ehdot 1 ja 2. Lauseen 4.4 todistuksessa on osoitettu, että tällaisen ryhmän kertaluku on 2n. Näin ollen väitteen mukainen ryhmä D on olemassa. Osoitetaan vielä, että ryhmä on yksikäsitteinen. Olkoon ryhmät D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1} ja E = {s k b d 0 k < n, d = 0, 1}, jotka toteuttavat ehdot 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e, s n = b 2 = e ja s k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja b e; 2. ra = ar 1 ja sb = bs 1. Osoitetaan, että ryhmät D ja E ovat isomorfiset eli D = E. Määritellään kuvaus F : D E siten, että F (r k a d ) = s k b d. Osoitetaan, että kuvaus F on bijektio. Olkoon alkio s k b d E. Tällöin F (r k a d ) = s k b d, missä r k a d D. Näin ollen kuvaus F antaa alkukuvan jokaiselle joukon E alkiolle joukosta D eli kuvaus F on surjektio. Olkoon alkiot r k a d, r h a f D sellaiset, että h k ja F (r k a d ) = F (r h a f ) eli s k b d = s h b f. Kertomalla puolittain vasemmalta alkiolla s h ja oikealta alkiolla b f, saadaan s k h b d f = e. Merkitään k h = x ja d f = y. Osoitetaan, että jos s x b y = e, niin s x = e ja b y = e. Olkoon ensin y = 0. Tällöin s x b 0 = s x e = s x = e. Olkoon seuraavaksi y = ±1. Koska b 2 = e, niin 24

b y = b. Tällöin s x b 1 = e jos ja vain jos s x b = e eli s x = b ja s x b 1 = e jos ja vain jos s x = a. Tällöin sb = ss x = s x s = bs. Yhtälöstä 2 saadaan sb = bs 1. Täytyy siis olla s = s 1 eli s 2 = e. Tämä on ristiriidassa yhtälön 1 kanssa. Täytyy siis olla y = 0 eli d f = 0. Tällöin siis s x = s k h = e. Yhtälöstä 1 seuraa, että jos 0 h k < n ja jos s k h = e, niin täytyy olla k h = 0 eli k = h. Vastaavasti jos d f = 0, niin d = f. Näin ollen yhtälö s k b d = s h b f on tosi vain, kun k = h ja d = f. Tällöin myös alkiot r k a d, r h a f D ovat samat. Siis kuvaus f on injektio. Näin ollen kuvaus F : D E on bijektio. Osoitetaan vielä, että kuvaus F on homomorfismi. Olkoon ensin d = 0. Nyt lauseen 4.4 kertolaskusäännön 3 nojalla F ((r k a d )(r h a f )) = F (r k+h a f ) = s k+h b f ja F (r k a d )F (r h a f ) = (s k b d )(s h b f ) = s k+h b f. Olkoon sitten d = 1. Nyt lauseen 4.4 kertolaskusäännön 3 nojalla F ((r k a d )(r h a f )) = F (r k h a d+f ) = s k h b d+f ja F (r k a d )F (r h a f ) = (s k b d )(s h b f ) = s k h b d+f. Siis kuvaus F : D E on homomorfismi. Näin ollen kuvaus F : D E on isomorfismi ja siten D = E eli ryhmä on yksikäsitteinen. 25

Määritelmä 4.7. Ryhmää D = {r k a d 0 k < n, d = 0, 1}, jonka alkiot r ja a toteuttavat yhtälöt 1. r n = a 2 = e ja r k e, kun 0 < k < n, missä n Z, n > 2 ja a e; 2. ra = ar 1, sanotaan dihedraaliseksi ryhmäksi, jossa on 2n alkiota ja merkitään D 2n. Esimerkki 4.8. Symmetrisen ryhmän S 3 alkiot ovat I = (1), (1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1 3) ja (1 2). Olkoon alkiot (1 2 3) = r ja (2 3) = a. Nyt r 1 = r I, r 2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2) I ja r 3 = (1 2 3)(1 3 2) = I. Lisäksi a 2 = (2 3)(2 3) = I. Siis määritelmän 4.7 ehto 1 on voimassa. Nyt ra = (1 2 3)(2 3) = (1 2) ja ar 1 = (2 3)(1 3 2) = (1 2), joten määritelmän 4.7 ehto 2 on voimassa. Muut symmetrisen ryhmän S 3 alkiot saadaan seuraavasti: I = (1) = r 0 a 0, (1 2 3) = r 1 a 0, (1 3 2) = r 2 a 0, (2 3) = r 0 a 1, (1 2) = r 1 a 1 ja (1 3) = r 2 a 1. Voidaan tehdä ryhmälle S 3 ryhmätaulu: r 0 a 0 r 1 a 0 r 2 a 0 r 0 a 1 r 1 a 1 r 2 a 1 r 0 a 0 r 0 a 0 r 1 a 0 r 2 a 0 r 0 a 1 r 1 a 1 r 2 a 1 r 1 a 0 r 1 a 0 r 2 a 0 r 0 a 0 r 1 a 1 r 2 a 1 r 0 a 1 r 2 a 0 r 2 a 0 r 0 a 0 r 1 a 0 r 2 a 1 r 0 a 1 r 1 a 1 r 0 a 1 r 0 a 1 r 2 a 1 r 1 a 1 r 0 a 0 r 2 a 0 r 1 a 0 r 1 a 1 r 1 a 1 r 0 a 1 r 2 a 1 r 1 a 0 r 0 a 0 r 2 a 0 r 2 a 1 r 2 a 1 r 1 a 1 r 0 a 1 r 2 a 0 r 1 a 0 r 0 a 0 Nyt symmetrinen ryhmä S 3 vastaa määritelmän 4.7 mukaista dihedraalista ryhmää D 6. Täten siis D 6 = S3. Esimerkki 4.9. Olkoon π 3 tasasivuinen kolmio, jonka keskipiste on origossa O. Kolmion kierto myötäpäivään 120 origon ympäri on kierto R ja peilaus 26

Lähdeluettelo [1] M. Niemenmaa, K. Myllylä, J-M. Tirilä: Algebra I -luentomoniste, Oulun Yliopisto, 2010. [2] M. Niemenmaa, J. Kauppi: Algebra II -luentomoniste, Oulun Yliopisto, 2008. [3] J. J. Rotman: A First Course in Abstract Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, 1996. [4] R. A. Dean: Elements of Abstract Algebra. John Wiley & Sons, New York, 1966. 28