Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio v w v =k w jollakink R\{0}. Osoita, että on ekvivalenssirelaatio. Mitkä ovat sen ekvivalenssiluokat? Ratkaisu: 1) Olkoon (x 1,y 1 ) reaalilukupari. Nytx 1 = 1 x 1 jay 1 = 1 y 1, joten (x 1,y 1 ) (x 1,y 1 ). Relaatio on siis refleksiivinen. 2) Oletetaan, että (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ). Nyt on olemassak R\{0}, jolle pätee x 1 =kx 2 jay 1 =ky 2. Huomataan, että tällöinx 2 =k 1 x 1 jay 2 =k 1 y 1, joten (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ). Relaatio on siis symmetrinen. 3) Oletetaan, että (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) ja (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ). Tällöin on olemassa k R\{0}, jolle päteex 1 =kx 2 jay 1 =ky 2. Lisäksi on olemassam R\{0}, jolle päteex 2 =mx 3 jay 2 =my 3. Nytx 1 =kmx 3 jay 1 =kmy 3, joten tiedämme, että (x 1,y 1 ) (x 3,y 3 ). Relaatio on siis transitiivinen. Siten kyseessä on ekvivalenssirelaatio. Etsitään vielä ekvivalenssiluokat. Parin (x, y) ekvivalenssiluokka on joukko [(x,y)] ={(x,y ) R R x =kx jay =ky jollakink R\{0}} ={(kx,ky) k R\{0}}. Jos (x,y) = (0, 0), ei joukossa ole muita alkioita kuin pari (0, 0) itse. Muussa tapauksessa ekvivalenssiluokan alkiot muodostavat reaalitason suoran, joka kulkee origon ja pisteen (x, y) kautta. Tästä suorasta on poistettu origo. Esimerkiksi alkion (1, 0) ekvivalenssiluokassa ovat kaikki muotoa (k, 0) olevat parit, missäk R\{0}. Niiden joukko onx-akseli, josta on poistettu origo. Alkion (1, 1) ekvivalenssiluokassa taas ovat kaikki muotoa (k, k) olevat parit, missä k R\{0}. Niiden joukko muodostaa origon kautta kulkevan suoran, jonka kulmakerroin on 1. (Origo on poistettu tästäkin suorasta.) 2. a) Määritä aliryhmäna ={(1), (123), (132)} oikeat sivuluokat ryhmässäs 3. Ovatko ne samat kuin vasemmat sivuluokat?
b) Määritä aliryhmän B ={(1), (23)} vasemmat ja oikeat sivuluokat ryhmässäs 3. Ovatko ne samat? Ratkaisu: a) Oikeat sivuluokat ovat muotoaaσ, missäσ S 3. Tiedetään, että oikeat sivuluokat muodostavat joukons 3 osituksen ja mikä tahansa sivuluokan Aσ alkio voidaan valita edustamaan kyseistä sivuluokkaa. Neutraalialkion (1) edustama sivuluokka A(1) on aliryhmä A itse. Tiedämme, että kaikki aliryhmän A alkiot edustavat samaa sivuluokkaa, eikä niitä siis tarvitse tutkia. Valitaan sitten alkio aliryhmän A ulkopuolelta. Olkoon tuo alkio vaikkapa (12). Huomataan, että A(12) ={(1)(12), (123)(12), (132)(12)} ={(12), (13), (23)}. Näin löydetyissä kahdessa sivuluokassa ovat kaikki ryhmän alkiot, joten sivuluokkia ei ole enempää. Siten oikeiden sivuluokkien joukko on {A,A(123)} ={A,{(12), (13), (23)}}. Tämä on sama joukko kuin luennoilla määritetty vasempien sivuluokkien joukko. b) Aliryhmä B on yksi sivuluokista. Valitaan jokin alkio, joka ei ole sivuluokassa B. Olkoon tuo alkio vaikkapa (123). Huomataan, että (123)B ={(123), (12)}. Valitaan sitten alkio, joka ei ole sivuluokassa B tai (123)B. Olkoon tuo alkio vaikkapa (132). Huomataan, että (132)B ={(132), (13)}. Koska näissä kolmessa sivuluokassa ovat kaikki ryhmän alkiot, ei sivuluokkia ole enempää. Siten S 3 /B ={B, (123)B, (132)B}. Tutkitaan seuraavaksi aliryhmän B oikeita sivuluokkia. Yksi niistä on aliryhmäb itse. Toinen sivuluokka onb(123) ={(123), (13)} ja kolmasb(132) = {(132), (12)}. Huomataan, että oikeat sivuluokat eivät ole samat kuin vasemmat. Niitä on kuitenkin yhtä paljon. 3. Totea, että 20Z on ryhmän (4Z, +) aliryhmä. Määritä aliryhmän 20Z vasemmat sivuluokat. Ovatko sivuluokat 36 + 20Z ja 52 + 20Z samat? Ratkaisu: Tiedetään, että 20Z on ryhmä yhteenlaskun suhteen. Koska 20Z on ryhmän 4Z osajoukko, on 20Z myös sen aliryhmä. Vasemmat sivuluokat ovat muotoaa 4k + 20Z, missäk Z. Ryhdytään ensin
listaamaan epänegatiivisten lukujen edustamia sivuluokkia: 0 + 20Z = 20Z (koska 0 20Z) 4 + 20Z 8 + 20Z 12 + 20Z 16 + 20Z 20 + 20Z = 20Z (koska 20 20Z) 24 + 20Z = 4 + 20Z (koska 24 = 4 + 20 4 + 20Z). Vaikuttaa siltä, että sivuluokkia ei tällä tavoin löydetä lisää. Negatiivisten lukujen sivuluokat taas näyttävät seuraavilta: 4 + 20Z = 16 + 20Z (koska 4 = 16 20 16 + 20Z) 8 + 20Z = 12 + 20Z (koska 8 = 12 20 12 + 20Z) 12 + 20Z = 8 + 20Z (koska 12 = 8 20 8 + 20Z) ja niin edelleen. Tälläkään tavoin ei tunnu löytyvät uusia sivuluokkia. Vaikuttaa siltä, että sivuluokkia on viisi: 20Z, 4 + 20Z, 8 + 20Z, 12 + 20Z ja 16 + 20Z. Osoitetaan tämä vielä huolellisesti. Ensinnäkään mitkään edellä listatuista viidestä sivuluokasta eivät ole keskenään samoja. On vielä näytettävä, että mikä tahansa sivuluokka 4k + 20Z on itse asiassa jokin listatuista sivuluokista. Olkoonk Z. Jakoyhtälön nojalla on olemassa sellaisetq,r Z, että 4k = 20q +r, missä 0 r<20. Tästä seuraa, että 4k r + 20Z, joten 4k + 20Z =r + 20Z. Lukurvoidaan siis valita edustamaan sivuluokkaa 4k +20Z. Lisäksi jakoyhtälöstä nähdään, että luvunron oltava jaollinen neljällä. Lukua 20 pienempiä neljällä jaollisia luonnollisia lukuja on täsmälleen viisi: 0, 4, 8, 12 ja 16. Näin olemme osoittaneet, että sivuluokka 4k + 20Z on jokin edellä listatuista sivuluokista. Siten sivuluokkia on täsmälleen viisi. Sivuluokat 36+20Z ja 52+20Z ovat samat jos ja vain jos 36 52 20Z. Koska 36 + 52 = 16/ 20Z, eivät sivuluokat ole samat. 4. Oletetaan, ettägon ryhmä jah sen aliryhmä. Olkoota,b G. Osoita, että a)ah =H jos ja vain josa H b)a bh jos ja vain josah =bh. Ratkaisu: Merkitään luentomateriaalissa esiteltyä vasempiin sivuluokkiin liittyvää ekvivalenssirelaatiota symbolilla. Tiedetään, että sivuluokat ovat tämän ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkia. Alkion g G ekvivalenssiluokka on sivuluuokka gh.
a) Oletetaan, että ah = H. Alkio a kuuluu omaan ekvivalenssiluokkaansa, joka onah. Koska oletimme, ettäah =H, niina H. Oletetaan sitten, ettäa H. Aliryhmä H on yksi sivuluokista, joten se on relaation ekvivalenssiluokka. Koska a H, täytyy sivuluokan H olla alkion a ekvivalenssiluokka. Alkion a ekvivalenssiluokan taas tiedetään olevan ah. Siten ah = H. b) Oletetaan, ettäa bh. Nyt alkioaon alkionbekvivalenssiluokassa, joten alkioiden a ja b ekvivalenssiluokat ovat samat. Siten ah = bh. Oletetaan sitten, ettäah =bh. SivuluokkaaH on alkionaekvivalenssiluokka, jotena ah. Sitena bh ja väite on todistettu. Huomaa, että kohta a) saadaan suoraan kohdasta b) korvaamalla alkio b neutraalialkiolla e. 5. Tutkitaan ryhmäns 3 aliryhmääa ={(1), (123), (132)} ja määritellään sen vasempien sivuluokkien joukossas 3 /A laskutoimitus seuraavalla tavalla. Jos ga,ha S 3 /A, niin ga ha = (gh)a. Määritä parin (S 3 /A, ) laskutoimitustaulu. RyhmääS 3 voidaan ajatella kolmion symmetriaryhmänä. Osaatko havainnollistaa sivuluokkia ja niiden laskutoimitusta kiertojen ja peilausten avulla? Huomio: Koska sivuluokat voidaan kirjoittaa monessa eri muodossa edustajiensa avulla, pitäisi ensin varmistaa, että laskutoimitus voidaan todellakin määritellä yllä esitetyllä tavalla. Asiaan palataan myöhemmin ja toistaiseksi voit olettaa, että määritteleminen onnistuu. Ratkaisu: Sivuluokkien joukossas 3 /A on kaksi alkiota,a=(1)a ja (12)A = {(12), (13), (23)}. Ryhdytään määrittämään sen laskutoimitustaulua. Alkoiden tulot näyttävät seuraavilta: (1)A (1)A = (1)(1)A = (1)A (1)A (12)A = (1)(12)A = (12)A (12)A (1)A = (12)(1)A = (12)A (12)A (12)A = (12)(12)A = (1)A =A. Nyt laskutoimitustaulu näyttää seuraavalta: A (12)A A A (12)A (12)A (12)A A Luentomateriaalin luvun 1.4 perusteella tiedämme, että sivuluokan A alkioita voidaan ajatella kolmion kiertoina ja sivuluokan (12)A alkioita peilauksina. RyhmänS 3 kertotaulusta nähdään, että kahden kierron tulo on aina kierto
ja kahden peilauksen tulo on myöskin aina kierto. Kierron ja peilauksen tulo (kummin päin tahansa laskettuna) taas on peilaus. Yllä määritetty laskutoimitustaulu kertoo saman asian. Jos kiertojen joukkoa kertoo itsellään, on tuloksena kiertojen joukko. Jos taas kerrotaan peilausten joukkoa itsellään, on tulos kiertojen joukko. Kiertojen joukon tulo peilausten joukon kanssa on peilausten joukko laskettiin tulo sitten kummin päin tahansa. Huomaa, että vasempien sivuluokkien joukko varustettuna yllä esitetyllä laskutoimituksella muodostaa ryhmän. 6. Tiedetään, että kaikki syklisen ryhmän (Z, +) aliryhmät ovat syklisiä. Olkoot n jamkokonaislukuja. Osoita, että ryhmän n,m virittäjä on syt(n,m). Perustele vastauksesi huolellisesti. Ratkaisu: Tehtävässä on oletettava, ettän 0jam 0, sillä muuten suurin yhteinen tekijä ei ole määritelty. Merkitäänd=syt(n,m). Osoitetaan ensin, että n,m d. Koskadon lukujennjamjakaja, on olemassa kokonaisluvutajab, joille päteen =ad ja m =bd. Aliryhmässä d ovat kaikki muotoakd olevat alkiot, missäk Z, joten on selvää, ettän,m d. Aliryhmä n,m on kuitenkin pienin aliryhmä, joka sisältää alkiotnjam. Siten n,m d. Osoitetaan sitten, että d n,m. Lauseen 2.2.4 nojalla on olemassa kokonaisluvutxjay, joille päteed =xn +ym. Koska alkiotnjamovat aliryhmän n, m alkioita, täytyy myös alkoiden n ja m monikertojen sisältyä aliryhmään n,m. Sitenxn,ym n,m. Myös näiden monikertojen summad=xn+ym kuuluu aliryhmään n,m. Aliryhmä d on kuitenkin pienin aliryhmä, joka sisältää alkiondja siten d n,m.