Propositio- ja predikaattilogiikka, ylimääräisiä harjoitustehtäviä Aloitetaan tämä kurssi ylimääräisillä lisätehtävillä. Nämä tehtävät ovat nimensä mukaisesti ylimääräisiä eli niitä ei käsitellä demoissa eikä ratkaisuja julkaista, vaan tehtävät on tarkoitettu ihan vain yleisesti mietittäviksi. Osa näistä on melko vaikeita, osa helpompia varsinkin tuossa jäljempänä olevat rehti-retkutehtävät ovat aika yksinkertaisia. Näitä ylimääräisiä tehtäviä tulee esiintymään myöhemminkin. Varsinaiset demoissa käsiteltävät tehtävät erottaa numeroinnista: niiden tunnuksena on kaksinumeroinen koodi, esim. 4.3, kun taas ylimääräisten tehtävien koodi on esim. Y3. Aloitetaan alakoululaisille muotoillulla tehtävällä. Y1. Alakoulun opettaja on valinnut kaksi kokonaislukua x ja y, 2 x, y 100, ja antanut kahdelle oppilaalle, Maijalle ja Matille, luvut xy ja x + y, Maijalle luvun xy ja Matille luvun x + y. Maija ja Matti tapaavat. Maija sanoo: Tiedän luvun xy, mutta en osaa päätellä lukuja x ja y. Matti vastaa: Tiesin tuon. Tähän Maija: Nyt tiedän luvut x ja y. Matti ilmoittaa: Niin minäkin. Mitkä ovat luvut x ja y? Tämä on kohtalaisen vaikea ratkaistava, joten lupaan ensimmäiselle oikean ratkaisun esittäjälle pari hyvityspistettä tenttiin. Ohje: On ensinnäkin hämmästyttävää, että näin vähäisestä informaatiosta voi ulkopuolinen tarkkailija todellakin päätellä kyseiset luvut. Lähtökohta on tietenkin se, että Maija ja Matti ovat salamannopeita ja täydellisiä päättelijöitä sekä täysin rehellisiä lausunnoissaan. Lisäksi he tietävät, että 2 x, y 100 sekä sen, että toiselle on kerrottu lukujen summa ja toiselle tulo. Tässä on tietenkin alunperin valtava määrä vaihtoehtoja, mutta Maijan ensimmäinen lausunto poistaa joitakin. Ei voi esimerkiksi olla x = y = 100, sillä tulosta 10000 ja tiedosta 2 x, y 100 voi päätellä kyseiset luvut. Vastaavasti ei voi olla x = y = 2 tai x = 2, y = 3. Matin vastaus Tiesin tuon poistaa sitten suuren määrän summavaihtoehtoja. Matin saama summa on siis sellainen, että siitä voi päätellä, että Maija ei voi päätellä lukuja x ja y. Esimerkiksi edelläkerrotuista syistä johtuen summa ei siis voi olla esimerkiksi 200, 4 tai 5, mutta moni muukaan summa ei tule kyseeseen. Itse asiassa on vain kymmenen eri summaa, jotka Matin lausunnon jälkeen ovat mahdollisia. Itse luvuille x ja y vaihtoehtoja on tietysti useampia. Maijan toinen kommentti poistaa näistä osan, ja lopullisen niitin antaa Matin viimeinen ilmoitus, jonka jälkeen jäljelle jää vain yksi vaihtoehto. Jos alakoulutehtävät tuntuvat liian lapsellisilta, siirrytään pelien kiehtovaan maailmaan: 1
Y2. Tarkastellaan seuraavanlaista lautapeliä: pelilauta muodostuu ruudukosta, jossa viivan yläpuolella on viisi riviä ja alapuolella periaatteessa ääretön määrä rivejä myöskään sarakkeiden määrää ei ole rajoitettu. Pelaaja asettaa haluamansa määrän nappuloita viivan alapuolella oleviin ruutuihin haluamallaan tavalla kuitenkin korkeintaan yhden kuhunkin. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 5 4 3 2 1 Esimerkki mahdollisesta aloitusasemasta Pelaaja voi siirtää nappuloitaan vaaka- tai pystysuoraan (ei vinottain) syömällä oman, viereisessä ruudussa olevan nappulansa, mikäli sen takana oleva ruutu on tyhjä. Siirto tapahtuu siis näin (vaakasuora esimerkki): o ennen o jälkeen o Pelaajan tavoitteena on saada jokin nappula tasolle 5 eli viidennelle riville viivan yläpuolelle, ks. esimerkkikuva yllä. Pelaaja voi siis vapaasti valita aloitusaseman kuten myös käytettävien nappuloiden määrän. Tehtävänä on nyt laskea kullekin tasolle 1-5 pääsemiseksi tarvittavien nappuloiden vähimmäismäärä. Osoita, että tasolle 1 pääsemiseen tämä määrä on 2, tasolle 2 määrä on 4 ja tasolle 3 määrä on 8. Osoita edelleen, että tasolle 4 pääsemiseksi tarvitaan ainakin 19 nappulaa. Montako nappulaa tarvitaan tavoitteeseen eli viidennelle riville pääsyyn? Y3. Minä valehtelen nyt. Miten kommentoit? Tämä on nimeltään valehtelijan paradoksi. Y4. Periaatteessa kaikki mahdolliset joukot voidaan jakaa kahteen luokkaan: niihin jotka sisältävät itsensä alkiona ja niihin, jotka eivät sisällä itseään alkiona. Olkoon M niiden joukkojen joukko, jotka eivät sisällä itseään alkiona, 2
ts. M = {A A on joukko ja A A}. Selvästihän M on ainakin epätyhjä. Nyt kysymys kuuluu, että sisältääkö M itsensä alkiona, ts. onko M M vai M M? Tämä on Russellin paradoksi. Asiaan tulee selvyys aksiomaattisen joukko-opin kurssilla, joka toivottavasti luennoidaan lähitulevaisuudessa. Y5. Jotkut numeroilla 0, 1,... 9 vahvistetussa suomen kielen aakkostossa ja kieliopissa järkevät (äärellisen pituiset) lauseet määrittelevät yksikäsitteisesti jonkun reaaliluvun. Esimerkkinä vaikkapa lause Reaaliluku, jonka kokonaisosa on 2 ja n:s desimaali on 1, jos n on parillinen ja 0, jos n on pariton. määrittelee luvun 2.10101... = 208 99. Tarkastellaan nyt kaikkien tällaisten suomen kielisten ilmausten joukkoa M, joka on ilmeisesti ääretön. Suomen kielen aakkosto on kuitenkin äärellinen, joten M voidaan järjestää aakkosjärjestykseen niin, että ensin järjestetään ilmauksen pituuden mukaan (lyhimmät ensin) ja sitten aakkosten mukaan kuten puhelinluettelossa. Näin M:n alkiot tulevat järjestykseen ja ne voidaan numeroida juoksevasti edellä rakennetun aakkosjärjestyksen mukaan: M = {m 1, m 2, m 3,...}. Olkoon r n se (yksikäsitteinen) reaaliluku, jota ilmaus m n tarkoittaa. Esitetään kukin r n desimaaliesityksenä. Tarkastellaan seuraavaa suomen kielistä ilmausta: Reaaliluku, jonka kokonaisosa on 2 ja n:s desimaali on 1, jos r n :n n:s desimaali ei ole 1 ja 2, jos r n :n n:s desimaali on 1. Tämä ilmaus määrittelee yksikäsitteisen reaaliluvun x, joten se on joukon M alkio siis jokin alkioista m n ja siten x = r n jollekin n. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska x:n ja r n :n n:s desimaali eroavat toisistaan riittävästi. Mitenkäs tämän selität? Ongelma on nimeltään Richardin paradoksi. Y.6 Jyväskylä on Helsingin pohjoispuolella. Oulu on Jyväskylän pohjoispuolella. Siispä Oulu on Helsingin pohjoispuolella. Oikein vai väärin päätelty? Y.7 If this is December, then last month was November. If last month was November, then six months ago it was June. If six months ago it was June, then eleven months ago it was January. If next month will be January, then this is December. Last month was November. Therefore, this is December. Oikein vai väärin päätelty? 3
Tehtävissä Y.8-24 muukalainen M vierailee saarella ja tapaa siellä alkuasukkaat A, B ja C. Saaren asukkaat ovat kaikki joko rehtejä, jotka puhuvat aina totta tai retkuja, jotka valehtelevat aina. Tehtävät on tarkoitus ratkoa ihan pelkällä maalaisjärjellä; mitään varsinaisen (propositio)logiikan virityksiä tai hienouksia ei tarvita. Y.8 Tullessaan tapaamispaikkaan M kysyy vastaantulijalta: Oletko sinä rehti vai retku? Vastaantulija sanoo olevansa retku. Minkä johtopäätöksen tästä voi vetää? Entä jos vastaantulija sanookin: Minä olen retku tai kaksi plus kaksi on viisi.? Y.9 M kysyy A:lta: Oletko sinä rehti vai retku? A vastaa niin epäselvästi, että M ei ymmärrä, joten hän kysyy B:ltä: Mitä A sanoi? B vastaa: A sanoi olevansa retku. C puuttuu puheeseen ja sanoo: Älä usko B:tä, hän valehtelee! Mitä ovat B ja C? Entä A? Y.10 M kysyy A:lta: Oletko sinä rehti vai retku? A vastaa niin epäselvästi, että M ei ymmärrä, joten hän kysyy B:ltä: Mitä A sanoi? B vastaa: A sanoi, että joukossamme on täsmälleen yksi rehti. C puuttuu puheeseen ja sanoo: Älä usko B:tä, hän valehtelee! Mitä ovat B ja C? Entä A? Y.11 A sanoo: Joko minä olen retku tai B on retku. Mitä ovat A ja B? Y.12 A sanoo: Joko minä olen retku tai B on rehti. Mitä ovat A ja B? Y.13 A sanoo: Minä olen retku ja B on rehti. Mitä ovat A ja B? Y.14 A sanoo: Me (siis A, B ja C) olemme kaikki retkuja. B väittää kuitenkin: Täsmälleen yksi meistä on rehti. Mitä ovat A, B ja C? Y.15 A sanoo: Me olemme kaikki retkuja. B väittää kuitenkin: Täsmälleen yksi meistä on retku. Mitä ovat A, B ja C? Seuraavissa kahdessa tehtävässä sanotaan, että X ja Y ovat samaa tyyppiä, jos he molemmat ovat rehtejä tai molemmat ovat retkuja. Y.16 A sanoo: B on retku. B jatkaa: A ja C ovat samaa tyyppiä. Mikä C on? Y.17 B sanoo: A ja C ovat samaa tyyppiä. M kysyy C:ltä: Ovatko A ja B samaa tyyppiä? Mitä C vastaa? 4
Seuraavissa tehtävissä tutustutaan loogiseen ehtolauseeseen, joka on tyyppiä Jos X, niin Y. ( ) Jos sekä X että Y ovat tosia väittämiä (eli teesejä), niin on intuitiivisesti selvää, että myös teesi ( ) on tosi: Jos Y pätee, niin se pätee myös silloin kun X pätee. Vastaavasti, jos Y pätee, niin se pätee myös silloin kun X ei päde, joten teesi ( ) pätee, jos X on epätosi ja Y tosi. Jos taas X on tosi ja Y epätosi, niin ( ) on selvästi epätosi. Ongelmallisin tilanne syntyy silloin, kun molemmat teeseistä X ja Y ovat epätosia. Onko silloin ( ) tosi vai epätosi? Tästä voi olla erimielisyyttä, mutta yleisesti silloin teesiä ( ) pidetään totena. Sovitaan näin, jolloin teesin ( ) totuusarvot (T=tosi, E=epätosi) määräytyvät seuraavan taulukon mukaisesti X Y jos X, niin Y T T T T E E E T T E E T Palataan rehtien ja retkujen saarelle ja tavataan siellä taas alkuasukkaat A, B ja C. Y.18 A esittää seuraavat väitteet: 1) Olen velkaa B:lle. 2) Jos olen velkaa B:lle, olen velkaa myös C:lle. Onko A rehti vai retku? Y.19 A sanoo: Jos minä olen rehti, niin myös B on rehti. Mitä ovat A ja B? Y.20 A sanoo: Jos minä olen rehti, niin syön hattuni. Onko A:n syötävä hattunsa? Y.21 A sanoo: Jos minä olen rehti, niin kaksi plus kaksi on neljä. Onko A rehti vai retku? Y.22 A sanoo: Jos minä olen rehti, niin kaksi plus kaksi on viisi. Mitä tästä voi päätellä? Y.23 A sanoo: Jos B on rehti, niin minä olen retku. Mitä ovat A ja B? Y.24 A sanoo: B on rehti. B jatkaa: Jos A on rehti, niin C:kin on. Mitä ovat A, B ja C? 5
6
Propositio- ja predikaattilogiikka, 1. demot 18.9.2015 1.1 Tarkastellaan luonnollisten lukujen joukkoa N = {0, 1, 2, 3,...}. Nolla eli 0 on siis ensimmäinen luonnollinen luku. By definition jokaisella luonnollisella luvulla n on yksikäsitteinen ns. seuraaja s(n) N. Kymmenjärjestelmässä on tapana merkitä s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3, s(3) = 4 ja niin edelleen. Luonnollisten lukujen n ja m yhteenlasku n + m määritellään rekursiivisesti m:n suhteen (kiinteälle, mielivaltaiselle n) seuraavasti: Ensin sovitaan, että n + 0 = n ja n + 1 = s(n). Sitten, jos m 1 ja n + m N on jo määritelty, sovitaan, että n + (m + 1) = s(n + m). Tämä on toimiva määritelmä, joka tuottaa seuraajan yksikäsitteisyyden perusteella hyvin määritellyn yhteenlaskufunktion kaikille n N, vrt. rekursioperiaatteen määritelmä luentomonisteen sivulla 9 ja siihen liittyvät huomautukset sivuilla 10-12. Kun yhteenlasku on onnistuneesti määritelty, voidaan sen avulla määritellä myös kertolasku n m kiinteälle (mutta mielivaltaiselle) n. Tämäkin määritelmä on rekursiivinen m:n suhteen: ensin sovitaan, että n 0 = 0 ja jos n m N on jo määritelty, sovitaan, että n (m + 1) = (n m) + n. Tämäkin on hyvä määritelmä, ja näin kertolaskukin saadaan määriteltyä. Ja sitten itse tehtävään: a) Osoita, että 2 + 2 = 4. b) Osoita, että 2 2 = 4. 1.2 a) Osoita, että luonnollisten lukujen yhteenlasku on assosiatiivinen, ts. kaikille n, m, k N pätee b) Osoita, että kaikille n N pätee c) Osoita, että kaikille n N pätee (n + m) + k = n + (m + k). 0 + n = n. 1 + n = n + 1. 7
d) Osoita, että yhteenlasku on kommutatiivinen, ts. kaikille n, m N pätee Ohje: Induktiollahan nämä menevät. n + m = m + n. Y.25 Osoita, että luonnollisten lukujen kertolasku on myös assosiatiivinen ja kommutatiivinen. 1.3 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 1.2.1, ts. tutki ovatko propositiokielen sanat kaavoja. a) [[[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f], b) [[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f] tai c) [[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f] 1.4 Todista lemma 2.1, ts. osoita, että jokaisessa propositiokielen kaavassa on yhtä monta nuolta sekä vasenta ja oikeaa sulkumerkkiä. 1.5 a) Lemma 2.1 antaa hyvän kriteerin tarkistaa, milloin jokin sana ei ole kaava. Tätähän voi soveltaa esimerkiksi tehtävään 1.3. Toisaalta, vaikka lemman 2.1 vaatimus jollekin sanalle täyttyisi, se ei takaa, että kyseessä todellakin olisi kaava. Osoita esimerkiksi, että sana ei ole kaava. [[p 1 p 2 p 3 ]] b) a)-kohdan ratkaisemiseksi tarvitset jonkin lemman 2.1 kriteeristä poikkeavan kaavakriteerin K, jota a)-kohdan sana ei toteuta. Keksi tämän kriteerin lisäksi vielä jokin muu kriteeri K, joka kaavan täytyy toteuttaa. Anna sitten (ei-triviaali) esimerkki sanasta, joka toteuttaa lemman 2.1 kriteerin lisäksi kriteerin K mutta ei kriteeriä K, eikä sen vuoksi voi olla kaava. 1.6 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävät 2.1.4 ja 2.1.5, ts. osoita, että minkään kaavan aito alkupää ei voi olla kaava ja mieti, voiko kaavan loppupää olla kaava. 1.7 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävät 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8 ja ja 2.1.9, ts. jos A ja B ovat kaavoja, niin osoita, että myös A, A B, A B A B ja 8
ovat kaavoja. 1.8 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 2.1.10, ts. kirjoita auki ilman mitään lyhennysmerkintöjä kaava p 1 p 2. 1.9 Konstruoi päättelyjono teoreemoille missä A on mielivaltainen kaava. a) f, b) A A ja c) [A A], Ohje: Pura lyhennysmerkinnät auki ja käytä päättelylausetta. a)- ja b)-kohdat ovat hyvin helppoja, c)-kohdassa kannattaa soveltaa b)-kohtaa. Muista perustella, miksi konstruoimasi jono on todellakin päättelyjono, vrt. määritelmä 2.2. 1.10 Lähtökohtaisesti lyhennysmerkintä A B näyttää epäsymmetriseltä A:n ja B:n suhteen. Tässä tehtävässä osoitetaan, että tämä on vain näennäistä. a) Osoita, että [A B] [B A], missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja. b) Osoita, että [A B] [B A], missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja. Ohje a)-kohtaan: Pura lyhennysmerkintä auki, käytä päättelylausetta ja lausetta 2.15. b)-kohdassa käytä a)-kohtaa ja menettele samaan tapaan kuin lauseen 2.18 todistuksessa. 1.11 Osoita, että myös lyhennysmerkintä A B symmetrinen A:n ja B:n suhteen todistamalla, että [A B] [B A], missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja. Y.26 Osoita, että yhden aakkosen f muodostama kaava ei ole teoreema. Voiko yhden aakkosen kaava p i olla teoreema? 9
Propositio- ja predikaattilogiikka, 2. demot 25.9.2015 Tehtävissä 2.1-3 tarkoitus on perustella väitteet syntaktisesti eli päättelyjonojen avulla. Väitetyt teoreemathan on helppo nähdä teoreemoiksi toteamalla ne valideiksi ja käyttämällä täydellisyyslausetta, mutta nyt pitäisi harjoitella päättelyä, koska sitä taitoa tarvitaan predikaattikielten yhteydessä. 2.1 Todista lause 2.19, ts. osoita, että A [B A B], missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja. 2.2 Osoita, että a) A [A B], b) [A B] [B A] ja c) [A B] A, missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja. 2.3 Osoita, että a) A [A B], b) B [A B], c) [A B] A ja d) [A B] B, missä A ja B ovat mielivaltaisia kaavoja. 2.4 Osoita, että propositiokielen päättelylauseelle pätee myös käänteinen tulos, ts. jos A ja B ovat kaavoja siten, että A B on teoreema, niin pätee A B. Y.27 Olkoon A propositiokielen kaava, joka ei ole teoreema. Onko tällöin välttämättä kaava A teoreema? Y.28 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 2.1.41, ts. todista, että ekvivalenssin sijoitussääntö pätee. Käännä propositiokielelle seuraavat englanninkieliset päättelyt, vrt. luentomonisteen esimerkkiin sivuilla 30-31. Jos päättely on mielestäsi pätevää, esitä myös jokin propositiokielinen päättelyjono, joka todistaa päättelyn päteväksi. Jos päättely on mielestäsi epäpätevää, perustele eheys- ja päättelylauseen avulla 10
(vrt. luentomonisteen esimerkki ss. 44-45), miksi päättely ei toimi. 2.5 If prices are high, then wages are high. Prices are high or there are price controls. Also, if there are price controls, then there is not an inflation. However, there is an inflation. Therefore, wages are high. 2.6 If either wages or prices are raised, there will be inflation. If there is inflation, then either Congress must regulate it or the people will suffer. If the people suffer, Congressmen will be unpopular. Congress will not regulate inflation, and Congressmen will not be unpopular. Therefore, wages will not rise. 2.7 If there are no government subsidies of agriculture, then there are government controls of agriculture. If there are government controls of agriculture, there is not an agricultural depression. There is either an agricultural depression or overproduction. As a matter of fact, there is no overproduction. Therefore, there are government subsidies of agriculture. 2.8 If Algernon is in jail, then he is not a nuisance to his family. If he is not in jail, then he is not a disgrace. If he is not a disgrace, then he is in the army. If he is drunk, he is a nuisance to his family. Therefore, he is either in the army or not drunk. 2.9 If Algernon is a nuisance, then he is not in jail. If he is in jail, then he is not in the army. Therefore, he is either not in the army or not a nuisance. 11
Propositio- ja predikaattilogiikka, 3. demot 2.10.2015 3.1 Olkoot A ja B propositiokielisiä kaavoja, jotka eivät ole valideja. Mitä voit sanoa kaavojen A, A B, A B, A B ja A B validisuudesta? Ovatko nämä siis ei koskaan/joskus/aina valideja? Perustele mahdolliset joskus -vastauksesi konkreettisilla esimerkeillä. Muunlaiset vastaukset tulee perustella myös. 3.2 Osoita totuustaulujen avulla, että lauseiden 2.10-19 teoreemat ovat valideja. 3.3 Olkoot A ja A 1, A 2,..., A n propositiokielisiä kaavoja ja oletetaan, että A n [A n 1 [A n 2 [... A 3 [A 2 [A 1 A]]...]]]. Osoita, että A 1, A 2,..., A n A. Ohje: Induktio. Huomaa, että tämä on käänteinen tulos päättelylauseen versiolle 2. Vertaa myös tehtävään 2.4. Käännä propositiokielelle seuraavat englanninkieliset päättelyt. Perustele, miksi päättely on oikein tai väärin. 3.4 Either John and Henry are the same age, or John is older than Henry. If John and Henry are the same age, then Elizabeth and John are not the same age. If John is older than Henry, then John is older than Mary. Therefore, either Elizabeth and John are not the same age or John is older than Mary. 3.5 Marianne believed that Colonel Brandon was too old to marry. If Marianne s conduct was always consistent with her beliefs, and if she believed that Colonel Brandon was too old to marry, then she did not marry Colonel Brandon. But Marianne married Colonel Brandon. Therefore, Marianne s conduct was not always consistent with her beliefs. 3.6 If this is December, then last month was November. If last month was November, then six months ago it was June. If six months ago it was June, then eleven months ago it was January. If next month will be January, then this is December. Last month was November. Therefore, this is December. 3.7 If Mary is a true friend, then John is telling the truth. If John is telling the truth, then Helen is not a true friend. If Helen is not a true friend, then Helen is not telling the truth. If Helen is not telling the truth, then Mary is a true friend. But if Mary is a true friend, then Helen is not a true friend. Therefore, Helen is not telling the truth. 3.8 If hedonism is not correct, the eroticism is not virtuous. If eroticism is virtuous, then either duty is not the highest virtue or the supreme duty is the 12
pursuit of pleasure. But the supreme duty is not the pursuit of pleasure. Therefore, either duty is not the highest virtue or hedonism is not correct. 3.9 Olkoon A = {A 1, A 2,..., A n } joukko propositiokielisiä kaavoja. Sanotaan, että joukko A on ristiriitainen, jos pätee A 1, A 2,..., A n f. (1) Muussa tapauksessa joukko A on ristiriidaton eli konsistentti. Jos päättelyn oletukset ovat ristiriitaiset, niistä voidaan päätellä mitä tahansa, vertaa lauseen 2.10 jälkeiseen huomautukseen. Ristiriitaisen oletusjoukon esittäminen on siis loogiselta kannalta mieletöntä, vaikkakin tätä arkipäättelyssä valitettavan usein tapaa. Joukon A ristiriitaisuus voidaan todistaa esimerkiksi suorittamalla päättely (1). Osoita toisaalta, että joukko A on konsistentti jos ja vain jos on olemassa jokin tulkintafunktio t siten, että t(a i ) = 1 kaikille i = 1,..., n. Tämähän tarkoittaa intuitiivisesti sitä, että jossakin maailmantilanteessa (jota annettu tulkintafunktio kuvaa) konsistentit oletukset saadaan voimaan. Ristiriitaiset oletukset eivät siis toteudu koskaan, missään maailmantilanteessa. Käännä propositiokielelle seuraavat englanninkieliset päättelyt. Perustele, miksi päättely on oikein tai väärin. Y.29 If, and only if, Roger has entered into the contract, and the contract is legal, and Roger has not performed the contract, Jones will win the lawsuit. If Roger has not accepted Jones offer, Roger has not entered into the contract. The fact is that Roger has not accepted Jones offer. Therefore, Jones will not win the lawsuit. Y.30 If Brown entered into the contract, or if Brown received substantial benefits from acts performed by Smith, Brown will not win the lawsuit. If Brown revoked his offer before Smith accepted it, Brown did not enter into the contract. The fact is that Brown did not revoke his offer before Smith accepted it. Therefore, Brown will not win the lawsuit. Y.31 If Brown did not enter into the contract, or if Brown performed the contract, Smith will not win the lawsuit. If Brown failed to deliver the goods on the due date, Brown did not perform the contract. The fact is that Brown did enter into the contract and failed to deliver the goods on the due date. Therefore, Smith will win the lawsuit. 13
Propositio- ja predikaattilogiikka, 4. demot 9.10.2015 Jos kaava L(x) imitoi teesiä henkilö x on loogikko ja kaava K(x) teesiä henkilö x ei osaa solmia kengännauhojaan, niin intuitiivisesti ajatellen sekä kaava x [L(x) K(x)] että kaava x[l(x) K(x)] imitoivat teesiä yksikään loogikko ei osaa solmia kengännauhojaan. Jotta teoria vastaisi intuitiota, pitäisi näiden kaavojen olla ekvivalentteja. Näin onkin. Tämä näkyy tehtävästä 4.1. Tehtävissä 4.1 4.5 A on mielivaltainen predikaattikielinen kaava sekä x ja y mielivaltaisia muuttujasymboleja. 4.1 Todista teoreema x A xa. 4.2 Todista teoreemat a) x A xa ja b) xa x A. 4.3 Todista teoreema xa x A. 4.4 Todista teoreema xa xa. 4.5 Lauseen 3.12 nojalla kaava xa A on aina teoreema, mutta onko kaava A xa välttämättä teoreema? Vertaa tehtävään 4.4. 4.6 Todista teoreema y xa x ya. Tehtävään 4.6 liittyen mieti jonkinlainen (epämääräinen) intuitiivinen selitys sille, miksi kaava x ya y xa ei ole teoreema. Tämän väitteen tarkka todistus saadaan vasta predikaattikielten semantiikan avulla. Vastaava tilannehan on propositiokielessä: kaava voidaan (yleensä) osoittaa ei-teoreemaksi osoittamalla että se on ei-validi ja käyttämällä kielen eheyslausetta. Tehtävissä 4.7 4.10 on tarkoitus kääntää annetut englanninkieliset päättelyt sopivalle predikaattikielelle ja mikäli päättely on pätevää, todistaa se päteväksi. Koska näissä päättelyissä esiintyy nimettyjä yksilöitä, ne pitää nimetä myös predikaattikielessä, esimerkiksi niin, että v 1 = Adams ja v 2 = Mary. Huomaa myös, että tehtävässä 4.9 tarvitaan kaksipaikkaista predikaattisymbolia, esimerkiksi D(x, y) = x dates y. Oletuspäättelyjonoja kirjoittaessasi ole tarkkana kiellettyjen kvantifiointien suhteen. 4.7 Anyone who works in the factory is either a union man or in a managerial position. Adams is not a union man, and he is not in a managerial position. Therefore, Adams does not work in the factory. 4.8 Every member of the policy committee is either a Republican or a De- 14
mocrat. Some members of the policy committee are wealthy. Adams is not a Democrat, but he is wealthy. Therefore, if Adams is a member of the policy committee, he is a Republican. 4.9 Adams is a boy who does not own a car. Mary dates only boys who own cars. Therefore, Mary does not date Adams. 4.10 If anyone likes Aquinas, then he does not like Kant. Everyone either likes Kant or likes Russell. Someone does not like Russell. Therefore someone does not like Aquinas. Y.32 Ratkaise luentomonisteen harjoitustehtävä 3.1.9 osoittamalla, että propositiokielisellä teoreemalla A on päättelyjono, jossa esiintyvät vain samat propositiokirjaimet kuin kaavassa A. Jonkinlaisen päättelyjonon olemassaolohan seuraa välittömästi siitä, että kyseessä on teoreema, mutta millä perusteella esiintyvien propositiokirjainten määrää voidaan rajoittaa? 15
Propositio- ja predikaattilogiikka, 5. demot 16.10.2015 Tehtävissä 5.1 ja 5.2 P 1 ja P 2 ovat jonkin predikaattikielen yksipaikkaisia predikaattisymboleja, x on muuttuja, m kielen malli ja t m siihen liittyvä totuusarvofunktio. 5.1 Osoita, että a) t m ( xp 1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) = N, b) t m ( x P 1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) =, c) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) m(p 2 ), d) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) m(p 2 ) = N, e) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) = m(p 2 ) = N ja f) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) = m(p 2 ). 5.2 Osoita, että a) t m ( xp 1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ), b) t m ( x P 1 (x)) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) N, c) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) \ m(p 2 ) N, d) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) m(p 2 ), e) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos m(p 1 ) m(p 2 ) ja f) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 jos ja vain jos (m(p 1 ) m(p 2 )) \ (m(p 1 ) m(p 2 )) N. Y.33 Tässä P 1 ja P 2 ovat jonkin predikaattikielen yksipaikkaisia predikaattisymboleja, x y muuttujia, m kielen malli ja t m siihen liittyvä totuusarvofunktio. Tehtävänä on miettiä joukkojen m(p 1 ) ja m(p 2 ) välille jokin joukkoopillinen ehto, joka tehtävien 5.1 ja 5.2 tavoin karakterisoi annetun semanttisen ehdon. a) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (y)]) = 1 jos ja vain jos..., b) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (y)]) = 1 jos ja vain jos..., c) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (y)]) = 1 jos ja vain jos... ja d) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (y)]) = 1 jos ja vain jos... Y.34 Tässä P 1 ja P 2 ovat jonkin predikaattikielen predikaattisymboleja, P 1 yksipaikkainen ja P 2 kaksipaikkainen, x y muuttujia, m kielen malli ja t m siihen liittyvä totuusarvofunktio. Tehtävänä on miettiä joukkojen m(p 1 ) ja m(p 2 ) välille jokin joukko-opillinen ehto, joka tehtävien 5.1 ja 5.2 tavoin karakterisoi an- 16
netun semanttisen ehdon. Huomaa, että tässä m(p 1 ) ja m(p 2 ) ovat eri dimensiossa, joten joudut käyttämään joko projektioita N 2 N tai upotuskuvauksia N N 2. a) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos..., b) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos..., c) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos..., d) t m ( x y[p 1 (x) P 2 (x, y)]) = 1 jos ja vain jos..., e) t m ( x y[p 2 (x, y) P 1 (x)]) = 1 jos ja vain jos..., f) t m ( x y[p 2 (x, y) P 1 (x)]) = 1 jos ja vain jos..., g) t m ( x y[p 2 (x, y) P 1 (x)]) = 1 jos ja vain jos... ja h) t m ( x y[p 2 (x, y) P 1 (x)]) = 1 jos ja vain jos... 5.3 Olkoon m jonkin predikaattikielen malli, t m siihen liittyvä totuusarvofunktio ja A, B mielivaltaisia kaavoja. Osoita, että a) t m (A A) = 1, b) t m (A B) = 1 jos ja vain jos t m (A) = 1 = t m (B) ja c) t m (A A) = 0. Huomaa, että näissä kaavat A ja B eivät välttämättä ole suljettuja. Vertaa lauseeseen 3.27 ja sen jälkeiseen varoittavaan huomautukseen. Vertaa myös tehtävään 5.1. 5.4 Päteekö tehtävän 5.3 b)-kohdan vastine -konnektiiville eli väite t m (A B) = 1 jos ja vain jos t m (A) = 1 tai t m (B) = 1 jompaan kumpaan suuntaan, ts. onko joko t m (A B) = 1 t m (A) = 1 tai t m (B) = 1 tai t m (A B) = 1 t m (A) = 1 tai t m (B) = 1? Tehtävissä 5.5 5.8 on tarkoitus kääntää annetut englanninkieliset päättelyt sopivalle predikaattikielelle ja mikäli päättely on pätevää, todistaa se päteväksi. Muussa tapauksessa tarkoitus on osoittaa päättely- ja eheyslauseiden nojalla päättely epäpäteväksi. 5.5 For every x and y either x is at least as heavy as y or y is at least as heavy as x. Therefore, x is at least as heavy as itself. 5.6 If one man is the father of a second, then the second is not father of the first. Therefore, no man is his own father. 17
5.7 Ptah is an Egyptian god, and he is the father of all Egyptian gods. Therefore he is the father of himself. 5.8 All men are animals. All men are mortal. Therefore all animals are mortal. 18
Propositio- ja predikaattilogiikka, 6. demot 23.10.2015 6.1 Olkoon A predikaattikielinen kaava ja x, y muuttujia. Osoita esimerkillä, että kaava x ya y xa ei välttämättä ole teoreema. Vertaa tehtävään 4.5 ja erityisesti sen jatko-osaan. 6.2 a) Osoita, että tyyppiä (Ax4) oleva kaava ei välttämättä ole validi (eikä siis myöskään eheyslauseen nojalla teoreema) ilman siihen liittyvää lisäoletusta sijoitus S x a (A) ei sido. b) Osoita, että tyyppiä (Ax5) oleva kaava ei välttämättä ole validi (eikä siis myöskään eheyslauseen nojalla teoreema) ilman siihen liittyvää lisäoletusta x ei esiinny vapaana A:ssa. 6.3 Olkoot C ja D predikaattikielisiä kaavoja. Oletetaan, että teesi jos C on teoreema, niin myös D on teoreema (1) pätee. Oletetaan lisäksi, että ollaan rakentamassa oletuspäättelyjonoa (A n ) (jollekin väitteelle, joistakin oletuksista), johon on saatu C johonkin kohtaan, eli A n = C jollekin n. Voidaanko tähän päättelyjonoon seuraavaksi lisätä kaava A n+1 = D teesin (1) perusteella? Oikeasti päättelyjonon sääntöjen mukaan tähän pitäisi kirjoittaa näin:. A n = C A n+1 = C D teesi (1) (?) A n+2 = D modus ponens. Tämä saattaa vaikuttaa pikkumaiselta pilkunviilaukselta, mutta ei ole sitä. Kysymys on nimittäin siitä, että saadaanko teesin (1) perusteella teoreema C D, (2) jolloin sitä voisi käyttää yllä olevan päättelyjonon kohdassa A n+1, ja silloin kaikki olisi hyvin edellyttäen tietysti, että teoreeman (2) todistuksessa ei käytetä kiellettyjä kvantifikaatioita. Vastaus on, että ei saada. Silloin kyseinen oletuspäättelyjonoviritelmä on virheellinen. Muuttuuko tilanne jotenkin, jos kyseessä onkin teoreemapäättelyjono? Keksi esimerkki kaavoista C ja D, joille teesi (1) pätee, mutta kaava (2) ei ole teoreema. Tähän löytyy vastausesimerkki tehtävästä 6.4, mutta helpompiakin esimerkkejä on olemassa ja niitä tässä tehtävässä etsitään. 19
6.4 Olkoon tehtävässä 6.3 C = A B ja D = xa xb joillekin kaavoille A ja B. Osoita, että tätä tyyppiä olevat kaavat toteuttavat aina teesin (1). Varo kiellettyjä kvantifikaatioita, joista ei kylläkään ole mitään tietoa. Tämä johtaa siihen, että päättelylausetta ei kannattane tässä käyttää, vaan on turvauduttava suoraan teoreemapäättelyyn, jossa saa vapaasti kvantifioida. Keksi toisaalta esimerkki kaavoista A ja B, joille kaava C D eli ei ole teoreema. [A B] [ xa xb] Tehtävissä 6.5 6.8 on tarkoitus kääntää annetut englanninkieliset päättelyt sopivalle predikaattikielelle ja mikäli päättely on pätevää, todistaa se päteväksi. Muussa tapauksessa tarkoitus on osoittaa päättely- ja eheyslauseiden nojalla päättely epäpäteväksi. 6.5 All mathematicians are autistic. Some autistic people are clever. Therefore some mathematicians are clever. 6.6 No red-haired women use backpack, but some red-haired women use boots. Therefore, some women use boots and not backpack. 6.7 Some racists are ignorant. Some Finns are ignorant. Therefore some racists are Finns or some Finns are racists. 6.8 Keuruu is north of Lahti. Tornio is north of Keuruu. Therefore Tornio is north of Lahti. Luentomonisteen huomatuksessa 3.9 todettiin, että oletusten lisääminen päättelyihin on ongelmallista samoin kuin teoreemojen käyttäminen, koska kvantifiointia oletuksissa mahdollisesti esiintyvien vapaiden muuttujien suhteen tulee välttää. Kuten 3.9:ssä mainitaan, tämä on osoitus määritelmän 3.5 heikkoudesta. Ongelmat poistuvat, kun oletuspäättelyn määritelmän 3.5 ehtoihin 1) 4) lisätään ehto 5), joka kuuluu näin: 5) B i on muotoa B i = xs y x(c) yc, missä C on jokin kaava sekä x ja y muuttujasymboleja siten, että y esiintyy vapaana ainakin yhdessä oletuksessa O j ja x ei esiinny lainkaan kaavassa C. Huomaa, että ehdon 5) kaava on teoreema, mikä seuraa lauseesta 3.18. Tällä ylimääräisellä päättelysäännöllä pystytään kiertämään kielletyt kvantifioinnit lisättävissä oletuksissa tai käytettävissä teoreemoissa vaihtamalla hankalan muuttujan nimi toiseksi. Tämä todistetaan tehtävissä Y.36 ja Y.37. On kuitenkin huomattava, että tällä uudella säännöllä ei kuitenkaan voi kiertää si- 20
tä ehdotonta perusperiaatetta, että itse oletuspäättelyssä ei koskaan saa kvantifioida oletuksissa vapaana esiintyvän muuttujan suhteen. Tämä uusi vaihtoehto 5) koskee siis vain päättelyitä, joissa on oletuksia teoreemojen päättelyjonoihin ei puututa. Käytetään merkintää O 1,..., O n 5) A, mikäli A voidaan päätellä oletuksista O 1,..., O n päättelyjonolla, jossa on sallittu myös vaihtoehto 5). Y.35 Osoita, että päättelylauseen 1. versio pätee muodossa jos A 5) B, niin A B ja että päättelylauseen 2. versio pätee muodossa jos A 1,..., A n 5) B, niin A 1,..., A n 1 5) A n B. Huomaa, että nämä päättelylauseen versiot ovat (huomattavasti) kovempia (ja vaikeammin todistettavia) tuloksia kuin alkuperäiset päättelylauseet, koska uusi oletuspäättelysäännöstö on laveampi ja siten oletuspäättelyitä on helpompi muodostaa eli esimerkiksi 1. version uusi metaoletus jos A 5) B on heikompi kuin metaoletus jos A B. Samaan lopputulokseen näistä kuitenkin päästään eli teoreemaan A B. Y.36 Olkoon B teoreema ja olkoot C 1,..., C m mielivaltaisia kaavoja. Osoita, että C 1,..., C m 5) B. Huomautus. Merkintä 5) määriteltiin edellä. Tämä tehtävä Y.36 kertoo, että teoreemoja voi tuoda vapaasti oletuspäättelyyn, kunhan käytetään oletuspäättelysäännöstöä, jossa on mukana vaihtoehto 5). Tämä seuraa siitä, että jos B on teoreema, niin se voidaan yllä olevan mukaan (oletus-)päätellä myös käsiteltävän päättelyn oletuksista lähtien näin siis vaikka B:n alkuperäisessä todistuksessa olisi mukana oletuspäättelyssä C 1,..., C m B luvattomia kvantifiointeja. Tämä tieto helpottaa tavattomasti oletuspäättelyitä, koska ei tarvitse enää huolehtia käytettävien teoreemojen käyttökelpoisuudesta. 5) Y.37 Olkoon A 1,..., A n B ja olkoot C 1,..., C m mielivaltaisia kaavoja. Osoita, että 5) A 1,..., A n, C 1,..., C m B. Huomautus. Tehtävä Y.37 siis sanoo, että oletuspäättelyn oletuksia voi rajattomasti lisätä, kunhan taas käytetään oletuspäättelysäännöstöä, jossa on mukana 21
vaihtoehto 5). Ilman tätä vaihtoehtoa oletusten lisääminen on ongelmallista, sillä jos tavalliselle päättelylle A 1,..., A n B on saatu oletuspäättelyjono, niin tämä ei enää olekaan oletuspäättelyjono päättelylle A 1,..., A n, C 1,..., C m B, jos siinä on satuttu kvantifioimaan jossakin C i :ssä vapaana esiintyvän muuttujan suhteen. Tämäkin ongelma siis poistuu tällä uudella oletuspäättelysäännöstöllä. 22
Propositio- ja predikaattilogiikka, 7. demot 30.10.2015 Kuten vaikkapa tämän kierroksen tehtävistä käy ilmi, päättelyjonon löytäminen intuitiivisesti oikealta vaikuttavalle oletuspäättelylle saattaa olla varsin visainen pulma, jos sekä oletuksissa että johtopäätöksessä on x-alkuinen kaava. Tehtävän 7.2 aputulos auttaa useassa tilanteessa. Senkin todistus on melko hankala, joten tehtävässä 7.1 on muotoiltu toinen aputulos, joka auttaa 7.2:n ratkaisussa. 7.1 Olkoot A 1,..., A n, A ja B kaavoja siten, että on olemassa päättely A 1,..., A n, A B. Olkoon lisäksi x muuttujasymboli, joka ei esiinny vapaana kaavoissa A 1,..., A n. Oletetaan, että B on suljettu kaava huomaa ero tehtävän 7.2 vastaavaan oletukseen. Osoita, että tällöin on olemassa päättely A 1,..., A n, xa B. 7.2 Olkoot A 1,..., A n, A ja B kaavoja siten, että on olemassa päättely A 1,..., A n, A B. Olkoon lisäksi x muuttujasymboli, joka ei esiinny vapaana kaavoissa A 1,..., A n. Oletetaan, että xb on suljettu kaava. Osoita, että on olemassa päättely A 1,..., A n, xa xb. Tarkastellaan seuraavia englanninkielisiä päättelyjä, joista osa on oikein, osa väärin. Etsi oikeat ja väärät, anna oikeille päättelyjono sekä perustele (kunnolla) miksi väärät päättelyt ovat mielestäsi väärin. 7.3 Some foolish people drink whisky. Some students do not drink whisky. Therefore, some students are not foolish. 7.4 No intelligent person who drinks to excess also eats to excess. Some prudent persons eat to excess. Therefore, some prudent persons are not intelligent. 7.5 Some scientific subjects are not interesting, but all scientific subjects are edifying. Therefore, some edifying things are not interesting. 7.6 All boxers are strong. Some policemen are strong. Therefore, some policemen are boxers. 7.7 All boxers are strong. Some policemen are not strong. Therefore, some policemen are not boxers. 23
7.8 Some of Aristotle s followers like all of Aquinas followers. None of Aristotle s followers like any idealist. Therefore none of Aquinas followers are idealists. Y.37 Todista tehtävien 7.3 7.8 oikeat päättelyt oikeiksi soveltaen huomautusta 3.49. Vertaa myös luentomonisteen harjoitustehtävään 3.3.54. Y.38 Osoita, että ekvivalenssin sijoitussääntö (vrt. tehtävä Y.28) pätee myös predikaattikielissä. Y.39 Tehtävien 2.4 ja 3.3 mukaan päättelylauseelle pätee propositiokielessä myös käänteinen versio. Päteekö vastaava käänteinen tulos myös predikaattikielissä? 24