Ilpo Halonn 2005 Luonnhdinoja logiikasa 4 Johdaus logiikkaan Ilpo Halonn Syksy 2005 ilpo.halonn@hlsinki.fi Filosofian laios Humanisinn idkuna whn you hav liminad h impossibl, whavr rmains, howvr improbabl, mus b h ruh - Shrlock Holms (Sir rhur Conan Doyl, Th Sign of Four) [ kun ol liminoinu kaikn sn mikä on mahdoona, äyyy s mikä jää jäljll olla ouus olipa s kuinka päodnnäköisä ahansa ] 2 Luonnhdinoja logiikasa 4 Tauologioia 1 Vr. dllinn kra: Kaikkin osin lmnaarilausidn ilmoiaminn kuvaa maailman äydllissi (4.26). Ludwig Wignsin: Tracaus Logico-Philosophicus, 1921 3 Suraava lulo sisälää usin siinyviä ärkiä auologioia ja niidn nimiyksiä. P, Q ja R ova miä ahansa lausia. 1. P P kolmannn poissuljun laki 2. (P P) (killyn) risiriidan laki 3. P P kaksoisngaaion laki 4. (P P) P 5. (P P) P 6. P (P Q) disjunkion uoni 7. (P Q) P konjunkion poiso 8. (P Q) ( Q P) vaihdanalaki 4 Tauologioia 2 Tauologioia 3 9. (P Q) ( Q P) vaihdanalaki 10.(P Q) (Q P) vaihdanalaki 11.(P Q) ( Q P) konraposiio 12.((P Q) R) (P (Q R)) liiänälaki 13.((P Q) R) (P (Q R)) liiänälaki 14.(P (Q R)) ((P Q) (P R)) osilulaki 15.(P (Q R)) ((P Q) (P R)) osilulaki 16. (P Q) ( P Q) D Morganin laki 17. (P Q) ( P Q) D Morganin laki 17.P P 18.P (Q P) 19.((P Q) (Q R)) (P R) hypoinn syllogismi 20.((P Q) R) (P (Q R)) 21.(P (Q R)) ((P Q) R) 22.(P (P Q)) Q implikaaion poiso, modus ponns 17.( Q (P Q)) P) modus ollns 5 6 1
Ilpo Halonn 2005 Tauologioia 4 25.( P (P Q)) Q modus ollndo ponns 26.(P (Q Q)) P päsuora odisus 27.(Q Q) P x falso quodlib 28.((P Q) (P R) (Q R)) R 29.(P Q) ((P Q) (Q P)) konnkiivin välisiä suhia 30.(P Q) ( P Q) konnkiivin välisiä suhia Tauologioia 5 31.(P Q) (P Q) konnkiivin välisiä suhia 32.(P Q) ( (P Q) (Q -P)) konnkiivin välisiä suhia 33.(P Q) ( P Q) konnkiivin välisiä suhia 7 8 2.3.4 Lausjoukon risiriiaisuus Tarkasllaan lausjoukkoa {,, }: Risiriiainn lausjoukko Nähdään, ä lausjoukon kaikki jäsn ivä ol millään ouusarvojaklulla (siis millään ouusaulukon rivillä) yhäaikaa osia. Tällöin lausjoukko on risiriiainn. Lausjoukko on risiriidaon, joss löyyy ouusarvojaklu, jolla kaikki lausjoukon jäsn ova osia. Muun lausjoukko on risiriiainn. 9 10 Risiriidaon lausjoukko Esim. Tarkasllaan lausjoukkoa {,, }: Lausjoukko on siis risiriidaon, koska oislla rivillä sn kaikki jäsn ova osia. 11 2.3.5 Looginn suraaminn Tukiaan suraavaa aulukkoa: C C C 12 2
Ilpo Halonn 2005 Looginn suraaminn 2 Kaikilla niillä rivillä, joilla laus ja C ova molmma osia, myös laus C on osi. Vaikka mm jossain ilanssa iäisikään lausidn ja C ouusarvoja, niin on hdooman varmaa, ä jos laus ja C ova molmma osia, niin myös laus C on osi. Looginn suraaminn 3 Edllinn arkaslu anaa aihn suraavaan määrilmään: Laus P suraa loogissi lausisa Q 1,..., Q n, joss P on osi kaikilla niillä ouusaulukon rivillä, joilla kaikki laus Q 1,..., Q n ova osia. Määrilmä kannaaa muisaa suraavassa muodossa: Laus P suraa loogissi lausisa Q 1,..., Q n, joss ouusaulukossa i ol yhään sllaisa riviä, jolla kaikki laus Q 1,..., Q n ova osia mua P päosi. 13 14 Looginn suraaminn 4 Lausia Q 1,..., Q n sanoaan prmissiksi (oluksiksi) ja lausa P johopääöksksi (surauksksi). Jos laus P suraa loogissi prmissisä Q 1,..., Q n, niin mrkiään Q 1,..., Q n P. Looginn suraaminn 5 Esim. 1. Osoia:,. 15 16 Looginn suraaminn 6 Molmma prmissi ova osia vain nsimmäisllä rivillä, mua sillä rivillä on myös johopääös osi. Siis johopääös suraa loogissi prmissisä. Tällöin sanoaan myös, ä päälmä on pävä. Looginn suraaminn 7 Esim. 2. Onko suraava päälmä pävä?, 17 18 3
Ilpo Halonn 2005 Looginn suraaminn 8 Kolmannlla rivillä molmma prmissi ova osia, mua johopääös päosi. Siis:,. Looginn suraaminn 9 Esim. 3.Tarkasllaan lausa (( ) ) (vr. sim. 1): ( ) Koko laus 19 20 Looginn suraaminn 10 Looginn suraaminn voidaan lauslogiikassa määrillä auologisuudn avulla: Laus P suraa loogissi lausisa Q 1,..., Q n, joss laus (Q 1... Q n ) P on auologia. Siis: Q 1,..., Q n P joss (Q 1... Q n ) P). Looginn suraaminn 11 Edllisn rikoisapaus: P Q joss P Q, li laus Q suraa loogissi laussa P joss laus P Q on auologia. (Vr. dllä: P Q joss P Q). 21 22 Looginn suraaminn 12 Huom! Edllissä määrilmäsä suraa, ä risiriiaissa lausjoukosa suraa loogissi mikä ahansa laus. Siis jos ouusaulukossa i ol yhään sllaisa riviä, jolla kaikki prmissi ova osia, suraa johopääös loogissi prmissisä. Täsä lisää harjoiuksissa. 2.3.6 Mallisa Logiikassa mallilla arkoiaan ylnsä mahdollisa maailmaa sllaisa odllisuudn osaa, kuvilua maailmaa ai kuvillun maailman osaa, josa formaalisn kiln ilmaisu puhuva. Mikä ahansa joukko aomilausia on lauskalkyylin malli. Mallja ova sim. M 1 = {,, C, D} M 2 = {, E} M 3 = 23 24 4
Ilpo Halonn 2005 Mallisa 2 Niiä ja vain niiä aomilausia pidään osina mallissa M, joka kuuluva malliin M. Esim. Laus on osi mallissa M 1, mua päosi mallissa M 2 ja M 3. Mrkinä M P arkoiaa, ä laus P on osi mallissa M, ja mrkinä M P arkoiaa, ä laus P on päosi mallissa M. Esim. Laus ( C) on päosi mallissa M = {, }. Miksi? Suraavaksi 2.4 Looginn päälminn 25 26 5