5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme nyt välitä yhtälömme alkuperästä, mutta taivaastahan se tietysti tipahti. x = 5 Käytän nyt kuvaa nimien antamiseen. x on tuntematon Yhtäsuuruusmerkki x = 5 Vasen puoli eli vp Oikea puoli eli op Yhtälössämme esiintyvää kirjainta x sanomme (tämän) yhtälön tuntemattomaksi. Kirjaimen x tilalla voisi olla jokin muukin aakkoston loppupään kirjain kuten y tai z tai p, q, r, s, t, u, v. Tehtävämme on selvittää tuntemattoman arvo. Se juuri on yhtälön tarkoitus. Aloitetaan tämän ongelman lähestyminen antamalla x:lle eri lukuarvoja ja laskemalla sitten yhtälön vasemman puolen arvoja. Tehdään taulukko. Taulukossa annan muuttujalle eli tuntemattomalle kokonaislukuarvot 4 ja lasken näitä vastaavat yhtälön vasemman puolen arvot. Kiinnitetään huomiota x:n arvoon, jota vastaava lausekkeen (polynomin) x arvo on 5. Tämä on sama kuin alkuperäisen yhtälön oikea puoli. Täten olemme löytäneet yhtälön x = 5 ratkaisun: koska x:n arvolla yhtälön vasen puoli on sama kuin sen oikea puoli, on yhtälön x = 5 ratkaisu. x 4 x 5 7 Yleensä tällaisen taulukon laatiminen ja yhtälön ratkaisun etsiminen sen avulla on aivan liian työlästä. Tietokoneen voi toki ohjelmoida etsimään ratkaisua. Tätä keinoa myös käytetään, jos muuta keinoa ei ole. Meidän tehtävämme on nyt kuitenkin lähteä etsimään muita keinoja ratkaista yhtälö. Myöhemmissä kursseissa palataan lyhyesti muihin kuin näihin nyt tutkittaviin analyyttisiin yhtälönratkaisumenetelmiin. Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisumenetelmiä Viittasin alussa vaakaan ja sen pitämiseen tasapainossa. Tähän periaatteeseen nojaavat kaikki seuraavassa esitettävät menetelmät, joilla yhtälöä käsitellään. (7)
5. Ensimmäisen asteen ytälö Palataan edellä esiintyneeseen yhtälöön x = 5. Ratkaistaan tämä. Ratkaiseminen tarkoittaa sitä, että etsitään sellainen arvo x:lle, että yhtälön vasen puoli on sama kuin yhtälön oikea puoli, kun tämä x:n arvo sijoitetaan. Mekaanisten ratkaisumenetelmien kannalta tämä merkitsee sitä, että x on saatava yhtälön vasemmalle puolelle yksin ja kaikki muu oikealle. Jos vaa an molempiin kuppeihin lisätään yhtä paljon tavaraa, vaaka pysyy tasapainossa, jos se alun perin on tasapainossa. Samoin yhtälön vasen ja oikea puoli pysyvät keskenään samoina, jos molempiin puoliin lisätään sama luku. Molemmat puolet kyllä muuttuvat, mutta yhtä paljon samaan suuntaan. Lisätään siis yksi yhtälön molemmille puolille: Jos x = 5, niin x + = 5+. Sievennetään: x + = 5+ jos ja vain jos x = 6. Tavallinen terve järki sanoo, että jos x:n kaksinkertainen arvo on 6, niin x =. Tähän tulokseen tullaan myös jakamalla viimeinen yhtälö kahdella. Tämähän on luvallista, koska taas yhtälön molempia puolia muutetaan samalla kertoimella samaan suuntaan. Merkitään: x 6 x = 6: = x = Huomaa pystyviiva, jonka oikealla puolella on merkintä :. Tämä tarkoittaa, että yhtälön molemmat puolet jaetaan kahdella. Merkin voi lukea esimerkiksi jos niin, eli x = 6 x = voidaan lukea jos x = 6 niin x =. Sinun ei tarvitse osata kirjoittaa merkkejä ja, riittää, kun osaat lukea niitä. Mainittujen merkkien käyttöä ohjaavat erittäin tarkat säännöt. Merkki luetaan jos ja vain jos. Älä koskaan sekoita yhtäsuuruusmerkkiä ja näitä merkkejä keskenään. Lasketaan nyt esimerkkejä. Kerätään niitten avulla sääntöjä, joiden avulla yhtälöä voi käsitellä. Ennen niitä on todettava kuitenkin, että yhtälöä ei saa jakaa eikä kertoa nollalla! Nollalla kertominen tuottaa yhtälön 0 = 0 joka on kyllä tosi, mutta ei hyödytä meitä. Nollalla jakaminen puolestaan räjäyttää yhtälön! Varo sitä! Luvun jakamista nollalla ei voi määritellä järkevästi. (7)
5. Ensimmäisen asteen ytälö Missä tilanteessa sitten saattaa tulla kiusaus jakaa tai kertoa nollalla? Esimerkiksi sellaisessa tilanteessa, missä tekee mieli jakaa esimerkiksi x:llä eikä ole mitään syytä olettaa, että x ei voi olla nolla. Silloin tapaus, jossa x voi olla nolla, on käsiteltävä erikseen. Tästä lisää esimerkeissä. Esimerkki 5.. x = 6. Lisätään ensin yhtälön molemmille puolille: x = 6 + x + = 6 + x = 8 Kaksi kolmasosaa x:ää on siis 8. Jaetaan yhtälö kahdella, että saadaan tietää, kuinka paljon yksi kolmasosa x:ää on: x = 8: x = 4 Yksi kolmasosa x:ää on siis 4. Ilmeisesti koko x on sitten kolme kertaa niin paljon: x = 4 x =. Saimme siis tuloksen, jonka mukaan x =. Tarkistetaan se. Sijoitetaan x yhtälön vasemmalle puolelle ja verrataan tulosta alkuperäisen yhtälön oikeaan puoleen: Kun x =, niin vp = x = = 8 = 6. Täten vp = op. Mitä Esimerkissä 5.. oikein tapahtui? Lyhyesti sanoen yhtälön antama x:n ehto purettiin: Kun vasemmalla puolella oli, niin yhtälöön lisättiin. Kun yhtälön vasemmalla x:n kertoimena puolella oli, niin yhtälö jaettiin kahdella ja kerrottiin kolmella eli kerrottiin :lla, mikä kertominen on sama asia kuin :lla jakaminen. Siis kun yhtälön vasemmalla puolella on jokin termi, jonka edessä on miinusmerkki, niin mainittu termi lisätään. Kun x:llä on kertoimena luku, niin tällä luvulla jaetaan. Näin jatketaan kunnes yhtälö on ratkaistu. (7)
5. Ensimmäisen asteen ytälö Jos yhtälön ax + b = c kerroin a olisi nolla, niin yhtälö kutistuisi muotoon b = c. Tämä olisi pelkkä väite, joka ei välttämättä olisi edes tosi. Eikä ainakaan olisi mitään ratkaisemista. Yhtälö ax + b = c voidaan purkaa seuraavalla tavalla. Oletetaan, että a 0. Silloin c b ax + b = c b ax = c b: a x = a Saimme siis kaavan: c b ax + b = c x = a Tätä kaavaa ei kannata muistaa. Sen sijaan kannattaa ja täytyy muistaa menetelmä, jolla se saatiin. Yhtälö ax + b = c voidaan sieventää muotoon ax + b c = 0. Erotus b c on joku luku, jota voidaan merkitä vaikkapa kirjaimella d. Nyt voimme kirjoittaa yhtälömme muotoon ax + d = 0. Yhtälöä, joka voidaan sieventää muotoon ax + d = 0, sanotaan ensimmäisen asteen yhtälöksi. Tilanteessa, jossa tässä yhtälössä esiintyvä a on nolla, ei ole mieltä. Siksi oletetaan, että a 0. Esimerkki 5.5. 5x + 4 = x 4 5x = x 4 x = 4: 4 x = Esimerkki 5.. x + 0x = 8 + x x 0x = 8 + 0x = 0:0 x = Tarkastellaan nyt muita tapoja käsitellä nimittäjiä. Käytännön tilanne ja oma maku yhdessä neuvovat, mitä tapaa milloinkin pitäisi soveltaa. Esimerkki 5..4 x x = 4 ) x x = x 4 0 x = 6 6 6 0 = 9x = 0 x = 9 Esimerkki 5..5 x x + x x + + = 6 6 + 6 = 8 x 4 + x + 6 = 8 5x = 6 x = 5 ( x ) + ( x + ) = 8 4(7)
5. Ensimmäisen asteen ytälö Esimerkkien 4 ja 5 ero on siinä, että esimerkissä 4 termejä siirretään puolelta toiselle kun taas esimerkin 5 yhtälö kerrotaan heti nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla eli pyj:llä. Esimerkki 5..6 Ratkaise yhtälö ( ) + ( x ) = x + Ratkaisu ( x) + ( x ) x. = x + x + x = x + 6 x + 6x = x + + = x + x = x = x = Vastaus: x =. Pyj eli pienin yhteinen jaettava etsitään seuraavalla tavalla ) Oletetaan, että sinulla on joukko kokonaislukuja, joiden pyj pitäisi löytää. ) Jaa kohdan ) luvut alkutekijöihin. ) Tee luettelo kaikista äskeisessä alkutekijöihinjaossa esiintyvistä (alku)luvuista. 4) Tutki, kuinka monta kertaa kukin luku esiintyy tekijänä kussakin luvussa, joista pyj haetaan. 5) Laajenna kohdan ) luetteloa kohdan 4) avulla: Ota kohdan ) luettelon jokainen luku vuorotellen ja tee kohdan 4) avulla (uusi) luettelo, jossa on kunkin luvun suurimman esiintymän koko. Liitä siis yhteen luku ja sen suurimman esiintymän koko. 6) Muodosta tulo, jossa jokainen kohdan ) (tai kohdan 5)) luettelon luku esiintyy sille kohdassa 5) ilmoitetun määrän kertoja. 7) Kohdassa 6) konstruoitu luku on etsitty pyj. Otetaan nyt esille sellainen tilanne, missä tarvitaan kahta suoran yhtälöä. Esimerkki 5..7 Ratkaise yhtälö 0,5 x +,5 = 5, 75x. Ratkaisu 0,5 x +,5 = 5,75x 0,5 x +,75x = 5,5,5x =,5 x = 5. Vastaus: x = 5. 5(7)
5. Ensimmäisen asteen ytälö Esimerkki 5..8 Auni lähtee kaupalta kävellen kohti kaupunkia. Hän kulkee nopeudella 5 km/h. Aaro lähtee puolestaan samalla hetkellä kotoa kohti kaupunkia. Hän kulkee polkupyörällä ja hänen nopeutensa on 5 km/h. Matka kotoa kaupunkiin on 5 kilometriä pitempi kuin kaupalta. Kuinka kauan kestää, että Aaro saa Aunin kiinni? Kuinka kaukana kotoa he kohtaavat? Ratkaisu Valitaan koordinaatisto siten, että origo on kotona ja etäisyyttä kotiin merkitän kirjaimella y. Silloin Auni lähtee pisteestä (0;5), koska hän on jo kaupalla eli viisi kilometriä kotoa kaupungin suuntaan. Hänen kulkuaan kuvaa yhtälö y = 5 x + 5. Aaron kulkua kuvaa yhtälö y = 5x. Näissä yhtälöissä x on aika ja ajan yksikkönä on tunti. Matkan y yksikkönä on kilometri. Pariskuntamme kohtaa, kun etäisyys kotoa eli y on molemmilla sama. Näin saamme yhtälön 5 x + 5 = 5x, josta saadaan x = 0,5. He siis kohtaavat puolen tunnin kuluttua. Matkaa kotiin on tällöin 5 0, 5 + 5 = 7, 5 = 5 0, 5 kilometriä. Vastaus: Auni ja Aaro kohtaavat puolen tunnin kuluttua 7,5 kilometrin päässä kotoa. Piirretään vielä esimerkki 8:aan liittyvä kuva. 6(7)
5. Ensimmäisen asteen ytälö Käsitellään vielä tämän kappaleen kaksi tapausta, joita voisi luonnehtia esimerkiksi toteamalla, että ne ovat patologisia. Niihin saatat kuitenkin ihan hyvin törmätä. Aloitetaan esimerkeillä. Esimerkki 5..9 Ratkaistaan yhtälö ( 6 x) + x = ( + x) 6 x + x = 6 + x 6 + x = 6 + x 6 = 6 tulos, että 6=6, on varmasti tosi. Kun vielä tuntematon x häipyi, tämä tulos on voimassa riippumatta siitä, mikä arvo x:lle annetaan.. Tämä Esimerkki 9 esittelee tilanteen, jossa alkuperäinen yhtälö on aina voimassa. Tällaisessa tilanteessa tuntematon häviää aina, kun yhtälöä ratkaistaan. Yhtälö, joka on tosi muuttujan arvosta riippumatta on identtisesti tosi. Otetaan nyt esimerkki, jossa yhtälö ei ratkea millään tuntemattoman arvolla. Toisin sanoen, tutkitaan yhtälöä, jolla ei ole ratkaisua. Sellainen yhtälö on puolestaan identtisesti epätosi. Esimerkki 5..0 Ratkaistaan yhtälö ( x ) + = + x + x = + x =. Tässäkin tapauksessa tuntematon eliminoitui, mutta nyt saatiin väärä tulos: kaksi ei ole sama kuin kolme. Tämä merkitsee sitä, että yhtälö ei ratkea millään x:n arvolla. Ei siis kerta kaikkiaan ole olemassa sellaista lukua x, että ( x) + = + x. Äskeinen tulos voidaan lukea myös jos ( x) + = + x kuitenkin, niin lähtökohta eli yhtälö ( x) + = + x niin =. Koska ilmeisesti on väärä. Miksi lupasin, että ratkaistaan vaikka tiesin, että ratkaisua ei ole? Siksi, että ratkaisu oli Ei ratkaisua. Määritellään nyt identtinen yhtälö. Yhtälö, joka on identtisesti tosi tai identtisesti epätosi, on identtinen yhtälö Esimerkin 0 kaltainen logiikka on tavallinen, kun osoitetaan jokin väite vääräksi. Ajatellaan vaikkapa, että meille on esitetty väite (a + b) = a + b aina, kun a ja b ovat reaalilukuja. Jos tämä väite olisi tosi, se olisi tosi myös, kun valitaan a = ja b =. Lasketaan väitteen yhtälön vasen puoli ja oikea puoli ja vertaillaan tuloksia keskenään. (a + b) = ( + ) = 4. a + b = + =. Jos siis olisi totta, että (a + b) = a + b aina, kun a ja b ovat reaalilukuja, niin saataisiin tulos, että 4 =, mikä on mahdotonta. Tästä vedetään johtopäätös, että ainakaan koko alkuperäinen väite ei ole tosi. Voi kuitenkin olla mahdollista löytää jotkin tietyt luvut a ja b, joilla yhtälö toteutuu. Etsi sellaiset! Huomaa, että a:lla on paljonkin mahdollisuuksia Tällaisesta menettelystä käytetään nimitystä reductio ad absurdum. Sille on ominaista, että osoitetaan, että jos väite niin mahdottomuus. Toisin sanoen, jos esitetty väite olisi tosi, niin myös jokin sellainen väite olisi tosi, mikä selvästi ei pidä paikkaansa. 7(7)