Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä ääsee x km. Tällöin litralla etanolia ääsisi x km, 3 jos auto toimisi uhtaalla etanolilla. Bensiiniä litrassa olttoainetta E05 on 95 D 9 0 litraa ja etanolia 5 D litraa. Saamme yhtälön 0 9 x C 3 x D 0; josta saadaan ratkaistua x D 0 9 C D 0 : 9 5 3 6 Olkoon y kysytty 0 km kulutus olttoainetta E. Tällöin josta saadaan ratkaisuksi 9 y x C y 3 x D 0; y D 0 x 9 C D 9 5 6 9 3 30 D 30 9 59 6 D 5 9 : Polttoaineiden E05 ja E energiasisältöjen suhde on 5 9 = D. Vastaava hintasuhde 5 on suuremi, 65 D 5 D, joten on kalliimaa ajaa E05:llä. 60 60 3 Arvosteluohje: Kummastakin yhtälöstä 3 istettä; ensimmäisen yhtälön ratkaisusta. ja toisen. Toisesta kysymyksestä yhteensä 3 istettä:. suhteiden muodostamisesta,. niiden oikeasta sieventämisesta ja. oikeasta äätelmästä. Jos ratkaisu ensimmäiseen kysymykseen on oikeaa suuruusluokkaa mutta väärin ja toinen kysymys ratkaistu oikein väärällä luvulla, voidaan toisesta osasta antaa täydet 3 istettä, ellei väärän luvun käyttö oleellisesti helota ratkaisua. Toinen ratkaisu: Merkitään kirjaimella a bensiinin energiasisältöä litraa kohden. Tällöin kymmenestä litrasta olttoainetta E05 saatava energiasisältö on 95 0 a C 5 0 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan olttoaineen E energiasisältö on 90 0 x a C 0 x 3 a; missä x on tarvittava litramäärä. Näiden energiasisältöjen täytyy olla yhtä suuret, mistä saadaan yhtälö, josta x voidaan ratkaista (a suistuu ois). Kun tiedetään olttoaineiden hinnat litraa kohti ja kulutus sadalle kilometrille, voidaan laskea olttoainekulut sadalle kilometrille kertolaskuilla. Käytettäessä olttoainetta E05 kulut ovat
;65 D 6;50 euroa ja käytettäessä olttoainetta E ne ovat 5 9 mistä on helo nähdä, että olttoaineen E käyttö on edullisemaa. ;60 D 6 9 euroa, Arvosteluohje: Yhtälöstä voidaan antaa 6. ja sen ratkaisusta 3. Jos bensiinin energiasisältö litraa kohti (merkittu a:lla) ei ole mukana eli tehtävää ei ole ratkaistu yleisessä taauksessa, vähennetään istettä. Toisen kysymyksen ratkaisussa voidaan antaa oikein lasketuista kuluista./olttoaine ja. oikeasta äätelmästä. Kolmas ratkaisu tehtävän ensimmäiseen kysymykseen: Polttoaineen E05 energiasisältö suhteessa bensiinin energiasisältöön on 95 C 5 D 95 ja olttoaineen E suhteellinen energiasisältö 90 C D 90. Tästä saadaan laskettua olttoaineiden E05 ja E energiasisältöjen 0 0 3 300 0 0 3 300 suhde 95 95 ja edelleen olttoaineen E kulutus D 5. 90 90 9 Arvosteluohje: Kaksi istettä kunkin suhteen määrittämisestä ja johdonmukaisesta käyttämisestä. Suhteen käänteisluvun käytöstä voidaan vastaavasti sakottaa kaksi istettä. Tämän lisäksi annetaan kolme istettä oikeista laskutoimituksista. (Huom. Todellisuudessa etanolin rosenttimäärät ovat enimmäisarvoja. Energiasuhde =3 on likiarvo. Ks. lisätietoja www.motiva.fi.). a) On oltava x > 3, jotta x 3 on määritelty ja 0. Kertomalla uolittain luvulla x 3, joka on ositiivinen, eäyhtälö saadaan muotoon x C x 3 < x. Koska x on ositiivinen, kun x > 3, eäyhtälö voidaan korottaa uolittain neliöön, jolloin se saadaan yhtäitävään muotoon.x C/.x 3/ D x x 6 <.x / D x x C. Lisäämällä uolittain x C x tästä saadaan eäyhtälö 6 < x C, jonka ratkaisu on x < 7. Alkueräisen eäyhtälön ratkaisuksi saadaan siis 3 < x < 7. [Jos ratkaisuksi ilmoitetaan x < 7, vaikka ehto x > 3 olisikin todettu, vähennetään.] Toinen taa: Todetaan ehto x > 3, kuten yllä. Siirtämällä kaikki termit vasemmalle uolelle ja laventamalla samannimisiksi saadaan alkueräinen eäyhtälö muotoon x C x 3.x / x 3 < 0: Koska nimittäjä x 3 on ositiivinen, tämä saadaan yhtäitävän muotoon x C x 3.x / < 0, ja edelleen muotoon x C x 3 <.x /. Lou menee kuten ensimmäisessä ratkaisutavassa. b) Todetaan aluksi, että ja jx j D jx C j D Jaetaan tarkastelu vastaaviin taauksiin: ( x ; kun x, x C ; kun x <, ( x C ; kun x, x ; kun x <. () Oletetaan ensin, että x <. Tällöin eäyhtälö saa muodon x C < x, josta lisäämällä uolittain x saadaan ratkaisuksi x <.
() Oletetaan sitten, että x <. Tällöin eäyhtälö saa muodon x C < x C, josta lisäämällä uolittain x saadaan 0 < 3x, jonka ratkaisu on x > 0. (3) Oletetaan louksi, että x. Tällöin eäyhtälö saa muodon x < xc, josta lisäämällä uolittain x saadaan ratkaisuksi x >. Yhdistämällä taaukset (), () ja (3) nähdään, että alkueräinen eäyhtälö ätee, kun x < tai x > 0. Toinen taa: Koska molemmat uolet ovat ei-negatiivisia, eäyhtälö voidaan korottaa uolittain neliöön, jolloin saadaan jx j D x x C < jx C j D 4x C 4x C. Siirtämällä kaikki termit samalle uolelle tämä saadaan muotoon 3x C 6x > 0. Ottamalla x yhteiseksi tekijäksi ja jakamalla 3:lla tämä saadaan edelleen muotoon x.x C/ > 0. Polynomin x.x C/ nollakohdat ovat ja 0, ja merkkitarkastelu antaa ratkaisuksi x < tai x > 0. 3. Nyt F.x/ D 4x. x / dx D.4x 4x 3 / dx D x x 4 C C: [6.; vain toinen yhteenlaskettavista on integroitu oikein: 3.] Lisäehto on F./ D 3 [3.], josta saadaan F./ D CC D 3 ja edelleen C D. Siis F.x/ D x x 4 C. Toinen mahdollisuus on integroida suoraan F.x/ D 4x. x / dx D. x / C C: [6.; integraalifunktiossa ieni virhe (esim. merkkivirhe): 3.] Lisäehto on F./ D 3 [3.], josta saadaan F./ D 0 C C D 3 ja edelleen C D 3. Siis F.x/ D 3. x / (D 3 C x x 4 D C x x 4 ). [Kummassakin ratkaisutavassa louosan suorituksesta on mahdollista saada oikein suoritettuna 6 istettä, vaikka integraalifunktion määrittämisessä olisi taahtunut virhe (edellyttäen, että saatu integraalifunktio on järjellinen ja louosa tehdään kyseistä integraalifunktiota käyttäen).] 4. Jos c ;, niin ja kulmakertoimet ovat Integrointivakio uuttuu :. Integrointivakio uuttuu :. l W y D c C x C 3c c C ; l W y D c 7 c x 5 ; c k D c C ; k D c 7 : c 3
Siis suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos Jos c D, niin k k D c C c 7 D c 7 c D.c C /.c / 7 c D c c c D 9 c D 3: l W y D 3 x C ; l W x D : [. (./ratkaisu)] Silloin l on y-akselin suuntainen, mutta l ei ole x-akselin suuntainen, joten suorat eivät ole kohtisuorassa. Jos c D, niin Suorat eivät ole kohtisuorassa. Toinen taa: Suuntavektorit ovat l W x D 3; l W y D 3 x C 5 3 : Ns D.c C /N{ C N ; Ns D.c /N{ C.c 7/ N : [6.] Suorat ovat kohtisuorassa silloin ja vain silloin, kun Ns Ns D 0 [.].c C /.c / C.c 7/ D 0 [.] c c C c 7 D 0 c D 9 c D 3: [. (./ratkaisu)] 5. Olkoon A i (i D ; ) taahtuma, että i. nostettava ara on voittoara, ja N A i sen komlementtitaahtuma. Olkoon K nostettavien voittoarojen lukumäärä. Tällöin P.K D 0/ D P. AN \ AN / D / P. AN / P. AN j AN / D 7 9 D P.K D / / D P.A \ N A / C P. N A \ A / D 9 C 9 D 9 D 6 P.K D / D P.A \ A / D 9 D Merkkivirhe suuntavektoreissa./vektori 4
missä kohdassa / on sovellettu yleistä todennäköisyyksien kertolaskusääntöä ja kohdassa / erillisten taahtumien yhteenlaskusääntöä. Toinen ratkaisu: Käytetään klassisen todennäköisyyden kaavaa P.A/ D n.a/=n.e/; missä n.a/ on suotuisten alkeistaahtumien ja n.e/ kaikkien alkeistaahtumien lukumäärä. Määritetään aluksi todennäköisyys, ettei yksikään ara voita. Kaksi araa voidaan valita kaikestaan eri tavalla, joten n.e/ D. Kaksi voitotonta araa voidaan valita eri tavalla, joten n.a/ D ja siis. 7/=. / P.K D 0/ D D. 9/=. / D Määritetään seuraavaksi todennäköisyys, että yksi ara voittaa. Koska yksi voitollinen ara voidaan valita tavalla ja yksi voitoton tavalla, tuloeriaatteen mukaan n.a/ D. Saamme P.K D / D D. 9/=. / D 6 Kaksi voitollista araa voidaan valita vain yhdellä tavalla, joten P.K D / D D. 9/=. / D Olkoon X nostettettavien arojen yhteenlaskettu arvo. Sen odotusarvo on E.X/ D X kd0 P.K D k/.k/ D 45 0 C 6 45 C 0 D 4: 45 Toinen taa laskea odotusarvo: Olkoon X i i:nnen nostettavan arvan arvo. Tällöin E.X i / D 0 C D, kun i D ;. Odotusarvon summakaavan erusteella E.X/ D E.X C X / D E.X / C E.X / D D 4: (Huom. Tämä ratkaisu edellyttää odotusarvon summakaavaa, joka ei kuulune lukiokurssin ydinainekseen.) Arvosteluohje: Kustakin kolmesta todennäköisyydestä 3 istettä, samoin odotusarvosta. Oikea kaava., oikea sijoitus kaavaan. ja oikea loutulos. Kaavan uuttumisesta ei sakoteta, jos laskulauseke on muuten oikein. 5