MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen normaalijakauma esille uudelleen. Aloitetaan binomitodennäköisyydellä. Binomitodennäköisyydestä Olemme laskeneet esimerkkejä, joissa on heitetty noppaa, milloin kerran, milloin kolme kertaa tai kolikkoa, milloin kahdeksan kertaa, milloin jotain muuta. Koetta, joka koostuu useaan kertaan samanlaisena toistettavasta, toisistaan riippumattomasta osasta kuten kolikon heittäminen, sanotaan toistokokeeksi. Esimerkki 37 Palataan vielä Esimerkin 9 koripalloilijoihin. Heitä oli kolme, A, B ja C ja he heittävät vapaaheiton ohi todennäköisyyksillä vastaavasti 5%, 10% ja 15%. Tarkastellaan nyt koripalloilija C:tä. Millä todennäköisyydellä hän onnistuu a) kahdella neljästä heitosta b) kolmella neljästä heitosta c) kaikilla neljällä heitolla? Koska yhden heiton epäonnistumisen todennäköisyys on 0,15, niin sen onnistumisen todennäköisyys on 0,85. Kun pelaaja C heittää neljä heittoa, yksittäisen heiton onnistuminen tai epäonnistuminen ei vaikuta muitten heittojen mahdollisuuksiin. Jokainen heitto on siis erillinen tapahtuma verrattuna muihin heittoihin. Täten TN(onnistuu, onnistuu, epäonnistuu, epäonnistuu) = 0,85 0,85 0,15 0,15 = 0,016565. 4 a) Kaksi heittoa voidaan valita neljästä = 6 eri tavalla. Nämä tapaukset erottaa toisistaan tai - konnektiivi. Koska heitot ovat erilliset, niin kahdella tapahtumalla nimeltä heitto (!) ei ole 4 yhtään yhteistä alkiota. Täten TN(onnistuu jollakin kuudesta tavasta) = 0,85 0,85 0,15 0,15 = 0,0975375. Vastaus: Kaksi heittoa neljästä onnistuu todennäköisyydellä 0,097. 4 b) Kolme heittoa voidaan valita neljästä = 4 eri tavalla. Päättelemällä kuten a) kohdassa 3 4 saadaan TN(onnistuu jollakin neljästä tavasta) = 0,85 0,85 0,85 0,15 = 0,368475. 3 Vastaus: Kolme heittoa neljästä onnistuu todennäköisyydellä 0,368. 4 c) = 1. Päättelemällä vielä kerran kuten a) kohdassa saadaan TN(onnistuu kaikilla neljällä 4 4 heitolla) = 0,85 0,85 0,85 0,85 = 4 0,85 = 0,50065. 4 Vastaus: Kaikki neljä heittoa onnistuvat todennäköisyydellä 0,5. 1(8)
Esimerkin 37 päättely voidaan yleistää toistokokeisiin, joissa kullakin toistettavalla osakokeella on sama onnistumisen todennäköisyys. Merkitään onnistumisen todennäköisyyttä kirjaimella p ja epäonnistumisen todennäköisyyttä kirjaimella q, jolloin p + q = 1. Koska k tapausta voidaan valita n:stä vaihtoehdosta eri tavalla ja koska kukin tapaus on muista riippumaton, niin todennäköisyys sille, että n kokeen sarjasta toistokokeesta k tapahtuu, on k n k k n k p ( 1 p) = p q. Tätä sanotaan binomitodennäköisyydeksi. Binomitodennäköisyys: Jos kunkin osakokeen onnistumisen todennäköisyys on p, niin n:n toistokokeen sarjasta onnistuu k koetta todennäköisyydellä p k n k k n k ( 1 p) = p q, kun vielä merkitään: p + q = 1 Esimerkki 38 Heitetään kolikkoa 10 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan 6 klaavaa? Sovelletaan binomitodennäköisyyden kaavaa. Nyt kaavan p = 1, n = 10 ja k = 6. Sijoitetaan kaavaan: p k k q n 10 1 = 6 6 1 4 = 105 51 = 0,05. Esimerkki 39 Heitetään noppaa kahdeksan kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan kuutonen kolme kertaa? Käytetään binomitodennäköisyyden kaavaa taas. Nyt kaavan p = 6 1, 1 p = 6 5, n = 8 ja k = 3. 3 5 8 1 5 1875 Kaavaan sijoittamalla saadaan nyt: = = 0,1. 3 6 6 0995 Vastaus: Kun noppaa heitetään kahdeksan kertaa, kolme kuutosta saadaan todennäköisyydellä 0,1. Huomaa, että Esimerkissä 39 nopanheitosta tehtiin edellä olevan määritelmän mukainen toistokoe tarkastelemalla asiaa näkökulmasta tuleeko kuutonen vai ei. (8)
n Binomitodennäköisyys, kun k=n/ 0,500 4 0,375 6 0,313 8 0,73 10 0,46 1 0,6 14 0,09 16 0,196 18 0,185 0 0,176 Binomijakaumasta Luvussa 3 - Tunnusluvut tutkimme frekvenssijakaumia. Ne ovat taulukoita, joissa luetellaan koetulokset ja niitten toetutuneet tai ennustetut lukumäärät. Todennäköisyysjakaumat puolestaan luetteloivat todennäköisyyksiä. Binomijakaumalla tarkoitetaan binomitodennäköisyyden jakaumaa. Binomijakauma on esimerkki diskreeteistä eli epäjatkuvista jakaumista. Koska binomitodennäköisyys on toistokokeen todennäköisyys, binomijakauma taulukoi toistokokeitten todennäköisyyksiä. Tarkastellaan binomijakaumaa esimerkin valossa. Esimerkki 40 Valitaan toistokokeeksi kolikon heittäminen. Lasketaan todennäköisyyttä, että heittotuloksista puolet on kruunia ja puolet klaavoja, kun kolikkoa heitetään erilaisia määriä. Laaditaan tuloksista taulukko. Mitä isomman taulukon sinä laadit itse, sitä enemmän hyödyt tietokoneen käyttämisestä tässä esimerkissä. Varsinkin diagrammin laatiminen kannattaa tehdä tietokoneella. Millaisia lukuarvoja odotat ennakkoon? Tarvitsemme binomitodennäköisyyden kaavaa nyt muodossa 1 n n 1 n n 1 = n n, n missä n =, 4, 6,, koska nythän k =. Ohessa on taulukko ja diagrammi n:n arvoon 0 saakka eli 10 tapausta. 3(8)
Todennäköisyys kr=kl 0,600 0,500 0,400 TN 0,300 0,00 0,100 0,000 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Parametri n Varmemmaksi vakuudeksi liitän mukaan vielä diagrammin, johon on laskettu binomitodennäköisyyksiä aina n:n arvoon 350 saakka. Se ei ole paljon. Haluat ehkä itse laskea pitemmälle. 4(8)
Kr = Kl kun n kasvaa 350 0,600 0,500 0,400 0,300 0,00 0,100 0,000 18 34 50 66 8 98 114 130 146 16 178 194 10 6 4 58 74 90 306 3 338 Normaalijakauma ja todennäköisyys Palataan normaalijakaumaan nyt todennäköisyyden näkökulmasta. Luvussa 3 käytimme keskiarvon symbolina x :aa ja keskihajonnan symbolina s :ää. Toinen paljon käytetty mahdollisuus merkitä näitä jakauman tunnuslukuja ovat µ keskiarvon symbolina ja σ keskihajonnan merkkinä. Koska varsinkin jatkuvien jakaumien tapauksessa, jollainen normaalijakaumakin on, käytetään keskiarvon sijasta termiä odotusarvo ja siitä merkintää µ, otetaan se nyt käyttöön tässä luvussa. Voit hyvin kutsua µ :tä odotusarvoksi, mutta ajatella sitä edelleen keskiarvona. Luvussa 3 käsiteltiin myös jakauman normittamiseen liittyviä asioita. Märitellään nyt sen merkintä ja kerätään muitakin keskeisiä merkintöjä tähän kappaleeseen. Olkoon x satunnaismuuttuja. Jos satunnaismuuttujan x kuvaaja on normaalijakauman eli Gaussin käyrän muotoinen, se on 5(8)
normaalisti jakautunut, kuten totesimme jo luvussa 3. Jos x:n odotusarvo on µ ja keskihajonta on σ, niin merkitään x ~ N ( 17 ; 13, ) Tämä merkintä luetaan (satunnaismuuttuja) x on normaalisti jakautunut keskiarvona µ ja keskihajontana σ tai x on normaalisti jakautunut parametreina µ ja σ. Esimerkki 41 Jos hippihyppiäisten pituudet ovat normaalisti jakautuneet parametreina sitä merkitään σ µ = 17cm, = 1,3 cm, niin ( 17 ; 13, ) x ~ N. Satunnaismuuttuja x voidaan normittaa (katso lukua 3), jolloin tätä uutta, normitettua satunnaismuuttujaa merkitään usein kirjaimella z. Normittaminen tapahtuu muunnoksella z = x x s jolloin z:n yhtälö on ( x) 1 x µ 1 σ z = e. σ π 6(8)
Tällöin satunnaismuuttuja z on normaalisti jakautunut parametreina 0 ja 1, mikä tarkoittaa yksinkertaisesti vain sitä, että z:n kanssa voidaan käyttää normaalijakauman parametreina 0 ja 1 taulukoita. Esimerkit valaissevat asiaa. Esimerkki 4 Millä todennäköisyydellä hippihyppiäisen pituus on yli 19 cm? Katso Esimerkkiä 41. x 17 1,3 Jos siis x ~ N( 17;1,3 ), niin z = ~ N( 0;1 ). Huomaa, että tämä kaava voidaan tulkita esimerkiksi niin, että ensin vähennetään x:stä pois keskiarvon epästandardi osuus ja sitten lasketaan, kuinka monta keskihajontaa erotus on. Luetaan taulukkokirjaa kuten luvun 3 Esimerkissä 16 neuvottiin eli haetaan sieltä normitettua 19cm 17cm keskiarvoa = 1, 5385. Se on 0,938. Tämä luku on todennäköisyys sille, että 1,3cm hippihyppiäisen pituus on pienempi tai yhtä suuri kuin noin 19 cm. Se on siis vähennettävä ykkösestä: 1 0,938 = 0,618. Laskimella ja laskentaohjelmalla saat tarkemman arvon, mutta sillä ei ole mitään merkitystä. Kyseessähän on vain tilastollinen arvio. Vastaus: Hippihyppiäisen pituus on yli 19 cm todennäköisyydellä 0,6. Esimerkki 43 Luvun 3 Esimerkki 16:n päättely antaa myös vastauksen kysymykseen Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu hippihyppiäinen on pitempi kuin 18,0 cm. Mainitussa esimerkissä huomattiin välituloksessa, että hippihyppiäisistä,06% on pitempiä kuin kunnioitettavat 18 cm. Tämä on tismalleen sama asia kuin todennäköisyys sille, että hippihyppiäisen pituus ylittää 18 cm! Kertaa myös luvun 3 Esimerkit 17 ja 18. Esimerkki 44 Jogurttipurkin sisällön määrä on normaalisti jakautunut parametreina 00 ml ja 5 ml. Millä todennäköisyydellä ostamasi purkillinen sisältää jogurttia 00 ml 08 ml? Odotusarvon määritelmän mukaan puolet purkeista sisältää jogurttia enemmän kuin 00 ml. 08ml 00ml Haetaan taulukosta lukua = 1, 6 vastaava lukuarvo. Se on 0,945. Tämä on siis 5ml todennäköisyys sille, että purkissa on korkeintaan 08 ml jogurttia. sisällän määrä on siis 00 millilitran ja 08 millilitran välissä todennäköisyydellä 0,945 0,5000 = 0,445. Esimerkki 45 Laske satunnaismuuttujan odotusarvo, jos todennäköisyys sille, että satunnainen mittaus ylittää arvon 6 cm, on 7,4% ja jos keskihajonta on 1 cm. 7(8)
6 cm µ Määritelmän mukaan pituutta 6 cm vastaa normitettu mitta. Koska 7,4% mittauksista 1cm ylittää 6 cm, on 6 cm alittavia mittauksia 100%-yks 7,4%-yks = 7,6%. Haetaan taulukosta, mitä lukua tämä todennäköisyys vastaa. Se on noin 0,600. Koska tämä on normitettu arvo, niin 6cm µ saadaan yhtälö = + 0, 600, josta µ = 5,4cm. 1cm Vastaus: Odotusarvo on kymmenen tuumaa. Kirjallisuusviitteet 1 Tieteiden Kuningatar. Matematiikan historia osa I - II. Carl Boyer, Art House 1994, suomentanut Kimmo Pietiläinen. 8(8)