Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14
Hieman kertausta Esimerkki Muutetaan yksi nanometri millimetriksi. Ensiksi nanometri mikrometriksi: 1 nm = 1/1000 µm = 10 3 µm Sitten mikrometri millimetriksi: 10 3 /1000 mm = 10 6 mm. Yksi nanometri (nm) on siis 10 6 millimetriä (mm). Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 2 / 14
Laskun vaiheet I Fysiikassa suureiden väliset riippuvuudet ilmoitetaan suureyhtälöinä. Esimerkiksi matkan s, nopeuden v ja ajan t välinen yhteys voidaan ilmoittaa muodossa s = vt. Kun suurreyhtälöitä ratkaistaan, tulos pitää antaa epätarkimman eli vähiten merkitseviä numeroita sisältävän suureen mukaan. Yhtälöön sijoitetaan sekä lukuarvo että yksikkö. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 3 / 14
Laskun vaiheet II Esimerkki John Doe ajoi polkupyörällä 3 km:n matkan aikaan 1 637 sekuntia. Mikä oli J. Doe:n keskinopeus? RATKAISU: Kirjataan ensiksi suureet ylös. s = 3 km = 3 000 m. (Yksi merkitsevä numero) t = 1637 s. (4 merkitsevää numeroa) Keskinopeus v k halutaan laskea. Merkitään v k tuntemattomaksi eli v k =?. Keskinopeus saadaan kaavasta v k = s t. Sijoitetaan suureet kaavaan: v k = 3000m 1637s = 1,833 m s. Matkassa on yksi merkitsevä numero ja ajassa 4 merkitsevää numeroa. Matka on siis ilmoitettu epätarkemmin. Pyöristetään tulos yhden merkitsevän numeron tarkkuudella eli 1,833 m/s 2 m/s. John Doe:n keskinopeus oli 2 m s. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 4 / 14
Laskun vaiheet III Esimerkki Maan massa on 5,974 10 24 kg ja Kuun massa on 7,348 10 22 kg. Kuinka monta prosenttia Maan massa on Maa-Kuu-systeemin kokonaismassasta? RATKAISU: Kirjataan ensiksi suureet: m maa = 5,974 10 24 kg; m kuu = 7,348 10 22 kg Halutaan laskea Maan massan prosentuaalinen suhde Maan ja Kuun yhdistettyyn massaan. Prosentuaalinen suhde saadaan: m MAA m MAA +m KUU 100% Sijoitetaan lukuarvot: m MAA m MAA +m KUU 100% = 5,974 10 24 kg 5,974 10 24 kg+7,348 10 22 kg 100% = 98,7849 % 98,78 % Maan massa on 98,78 % Maa-Kuu-systeemin kokonaismassasta. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 5 / 14
Laskun vaiheet IV HUOMIO! VAIN LOPPUTULOS PYÖRISTETÄÄN. SUUREITA EI SAA PYÖRISTÄÄ LASKUN AIKANA. Vastaus tulee AINA ilmoittaa lähtöarvojen tarkkuuden antamalla tarkkuudella. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 6 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta I Fysiikassa mallit ovat yksinkertaistuksia tutkittavasta kohteesta. Malli laaditaan mittaustiedon ja ennalta tunnetun tiedon perusteella. Esimerkki Fysiikan opettajasi antoi tehtäväksi mitata miten hiekan ja veden massa muttuu tilavuuden suhteen. Mittasit viidellä eri tilavuudella hiekan ja veden massan ja sait alla olevat taulukot. Tilavuus(dm 3 ) Hiekan massa (g) Veden massa (g) 0,0 0,0 0,0 50 72 51 100 136 97 150 214 155 200 286 202 Tulokset saatuasi piirsit niistä kuvaajan Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 7 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta II 300 250 Vesi Hiekka 200 massa [g] 150 100 50 0 0 50 100 150 200 tilavuus [cm 3 ] Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 8 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta III Kuvaajasta huomasit, että hiekan massa kasvaa selvästi nopeammin kuin veden. Mietit, että pystyisitkö löytämään näille kahdella suureelle yhdistävän tekijän? Silloin mieleesi palautui matematiikan tunti, jossa käsiteltiin polynomeja. Kuvaavasta huomaat selvästi, että voisit sijoittaa yhtälöön 1. asteen polynomin. Kaivat esille muistiinpanosi ja 1. asteen polynomin määritelmän: y = ax + b, missä a ja b ovat vakioita. Huomaat heti, että pisteet kulkevat origon kautta. Näin voit huolettaa olettaa b:n nollaksi eli y = ax. Sinua on aina sekoittanut, että notaatiot ovat erilaiset fysiikassa kuin matematiikassa. Päädyt siis vaihtamaan notaatiot: m = av. Sovitat suorat kuvaajaan. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 9 / 14
Mallit kuvaat todellisuutta IV 300 250 Vesi Hiekka 200 massa [g] 150 100 50 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 tilavuus [cm 3 ] Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 10 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta V Sait kaksi eri suoran yhtälöä: m vesi = av ja m hiekka = bv, missä a ja b on tuntemattomia vakioita. Haluat selvittää tuntemattomat vakiot a:n ja b:n. Huomaat, että vakiot ovat suoran kulmakertoimet. Näin ollen määräämällä kulmakertoimet vakioiden arvot tietoosi. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 11 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta VI 300 250 Vesi Hiekka 200 massa [g] 150 100 50 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 tilavuus [cm 3 ] Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 12 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta VII Muistat, että (Delta) kreikkalaisista aakkosista kuvaa muutosta. Tilavuuden muutokseksi saat molemmille: V = V 2 - V 1 = 200 cm 3-0 cm 3 = 200 cm 3. Lähdet määrittämään aluksi vakioita a vedelle. Arvioit hieman massan arvoja kuvaajasta ja alat laskemaan a = m vesi V = m 2 m 1 V = 200g 0g = 1 g 200cm 3 cm 3 Teet samalla tavalla hiekan b vakiolle: b = m hiekka V = m 2 m 1 V = 280g 0g = 1,4 g 200cm 3 cm 3 Tämän jälkeen mieleesi muistuikin, että tiheys kertoo massan ja tilavuuden suhteen ja tiheyden yksikkö oli ρ (rhoo). Onnistuit määrittämään veden ja hiekan tiheydet mittauspisteistä sovittamalla niihin graafisen mallin - tässä tapauksessa suoran. ρ vesi = 1 g ja ρ cm 3 hiekka = 1,4 g. cm 3 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 13 / 14
Mallit kuvaavat todellisuutta VI Mallit ovat yksinkertaistuksia tutkittavasta kohteesta ja mallit pätevät tietyissä olosuhteissa ja tietyllä tarkkuudella. Mallien ns. pätevyysalue. Jos tarkasteltavat suureet ovat suoraan verrannollisia, matemaattisen mallin kuvaaja on suora esim. m = ρv. Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 14 / 14