Isometriset kuvaukset

Isometriset kuvaukset Pro Gradu -tutkielma Esa Silomaa 2124751 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014

Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 4 1.1 Ryhmä............................... 4 1.2 Aliryhmä............................. 6 1.3 Permutaatioryhmä........................ 6 1.4 Symmetrinen ryhmä....................... 10 1.5 Euklidinen tasogeometria..................... 10 2 Isometristen kuvausten ryhmä suoralla 12 2.1 Isometria suoralla......................... 12 2.2 Kaksi suoran pistettä määrittelee isometrian.......... 14 3 Isometristen kuvausten ryhmä Euklidisessa tasossa 16 3.1 Isometria Euklidisessa tasossa.................. 16 3.2 Isometrinen siirto Euklidisessa tasossa............. 18 3.3 Isometrinen kierto Euklidisessa tasossa............. 20 3.4 Isometrinen peilaus tason koordinaattiakseleiden suhteen... 23 3.5 Kolme tason pistettä määrittelee isometrian.......... 26 3.6 Mielivaltaiset isometriset kuvaukset Euklidisessa tasossa... 34 4 Euklidisen tason osajoukkojen isometriset kuvaukset 44 4.1 Isometria Euklidisen tason osajoukossa............. 44 4.2 Isometristen kuvausten ryhmän kertaluku............ 46 5 Dihedraaliryhmät 48 5.1 Säännöllisten monikulmioiden isometriset kuvaukset...... 48 5.2 Dihedraaliryhmän kertaluku................... 51 Lähdeluettelo 55 1

Johdanto Tässä opinnäytetyössä tutkitaan permutaatioryhmiin kuuluvia isometrisia kuvauksia, jotka ovat joukon sisäisiä bijektiivisiä kuvauksia eli permutaatioita. Isometriset kuvaukset säilyttävät kuvattavan joukon alkioiden väliset etäisyydet. Isometrisissa kuvauksissa joukon alkiot joko siirtyvät, kiertyvät, peilautuvat tai kuvautuvat edellä mainittujen kuvausten yhdistelmillä saman joukon alkioiksi. Ensiksi tutkielmassa perehdytään ryhmäteorian peruskäsitteisiin ja -merkintöihin siinä laajuudessa, kuin niitä tarvitaan isometristen kuvausten määrittelemiseksi lukusuoralla ja tasossa. Isometristen kuvausten joukkojen käsittely perustuu pääsääntöisesti ryhmäteorian permutaatio- ja aliryhmäkäsitteisiin. Isometrian tarkastelussa tutkitaan kuvattavan joukon alkioiden välisiä etäisyyksiä ja niiden säilymistä kuvauksissa. Isometrisia kuvauksia tutkitaan aluksi lukusuoralla. Tarkoituksena on tutustuttaa lukija isometrinenkuvaus -käsitteeseen. Isometriset kuvaukset lukusuoralla kiteytyvät lauseessa: mikäli isometrisilla kuvauksilla on sama vaikutus kahteen suoran pisteeseen, niin silloin isometriset kuvaukset ovat samat. Isometrisia kuvauksia tasossa on käsitelty laajemmassa kontekstissa, kuin isometrisia kuvauksia lukusuoralla. Tason isometrisia kuvauksia ovat tason pisteiden siirto, kierto origon ympäri, peilaus koordinaattiakselin suhteen sekä niiden yhdistelmät. Erilaisten isometristen kuvausten samanlaista vaikutusta tason pisteisiin tutkitaan yhdistettyjen isometristen kuvausten kautta. Tutkielmassa käsitellään myös tason pisteiden mielivaltaisia siirtoja ja kiertoja tason mielivaltaisten pisteiden ympäri sekä peilauksia tason kahden mielivaltaisen pisteen määrittelemän suoran suhteen. Osajoukkojen isometrisia kuvauksia käytetään fysiikan ja kemian rakenne- 2

mallien kanssa työskenneltäessä. Matematiikassa ehkä yleisimmin tunnettu tason osajoukkojen isometristen kuvausten joukko on säännöllisten monikulmioiden Dihedraaliryhmät. Tässä työssä on tutkittu tason osajoukkojen isometrisia kuvauksia. Saatuja tuloksia on käytetty hyväksi säännöllisten n- kulmaisten monikulmioiden dihedraalisten kuvausten tutkimiseen. Dihedraaliset kuvaukset ovat säännöllisten monikulmioiden kärkipisteiden välisiä isometrisia kuvauksia. 3

1 Perusteita Tässä luvussa esitetään ryhmäteorian peruskäsitteitä ja -merkintöjä siinä laajuudessa kuin niitä tarvitaan Isometristen kuvausten ja -ryhmien määrittelemiseksi. Ensiksi käydään läpi mitä ominaisuuksia kuvausten joukolta vaaditaan, jotta se on ryhmä ja kuinka ryhmäksi todistus voidaan tehdä. Seuraavaksi esitetään mitä ominaisuuksia ryhmän osajoukolta vaaditaan, että se on aliryhmä. Permutaatioryhmän kohdalla käsitellään joukon sisäisten bijektiivisten kuvausten muodostamia ryhmiä. Symmetrinen ryhmä luvussa käsitellään permutaatioryhmien jäsenten lukumäärää eli kertalukua. Lopuksi esitetään tässä opinnäytetyössä käytetty Euklidinen taso ja siihen liittyvät määritelmät. 1.1 Ryhmä Määritelmä 1.1. Olkoon S epätyhjä joukko, S ja kuvaus : S S S, (a, b) a b on joukon S binäärinen operaatio. Näin ollen, jos ( ) on binäärinen operaatio, niin a b S aina, kun a, b S. Lisäksi binäärinen operaatio ( ) on kommutatiivinen joukossa S, jos a b = b a kaikilla a, b S ja assosiatiivinen, jos a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c S. Määritelmä 1.2. Pari (S, ) on ryhmä, kun joukko S ja kuvaus ( ) on joukon S binäärinen operaatio, sekä seuraavat kolmea ehtoa toteutuvat: 1. Pari (S, ) on puoliryhmä, eli ( ) on joukon S assosiatiivinen binäärinen operaatio eli a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c S. 2. Joukossa S on neutraalialkio e S siten, että a e = e a = a kaikilla a S. 3. Jokaisella joukon S alkiolla a S on käänteisalkio a 1 S, siten 4

että, alkion ja sen käänteisalkion välinen binäärinen operaatio tuottaa neutraalialkion eli a a 1 = a 1 a = e. Määritelmä 1.3. Ryhmä (S, ) on Abelin ryhmä, jos binäärinen operaatio ( ) joukossa S on kommutatiivinen eli a b = b a kaikilla a, b S. Huomautus 1.4. Jatkossa selkeissä tapauksissa ryhmää (S, ) merkitään S ja operaatiota a b merkitään ab. Ryhmän S alkioiden lukumäärää eli ryhmän kertalukua merkitään S. Lause 1.5. Olkoot S ryhmä ja a, b S. Tällöin 1. Ryhmän S neutraalialkio e on yksikäsitteinen. 2. Jokaisella alkiolla a S on yksikäsitteinen käänteisalkio a 1 S. 3. Yhtälöllä aσ = b on yksikäsitteinen ratkaisu σ S. 4. Yhtälöllä τa = b on yksikäsitteinen ratkaisu τ S. Huomautus 1.6. Ryhmä määritetään seuraavasti: 1. Valitaan epätyhjä joukko S, S. 2. Määritetään binäärinen operaatio ( ) joukossa S. 3. Varmistetaan, että pari (S, ) sisältää neutraalialkion e S. 4. Tarkistetaan, että pari (S, ) on puoliryhmä eli sisältää assosiatiivisen binäärisen operaation ( ). Siis a (b c) = (a b) c kaikilla a, b, c S. 5. Todennetaan, että jokaisella joukon S alkiolla a on käänteisalkio a 1 joukossa S. Siis a a 1 = a 1 a = e kaikilla a S. 5

1.2 Aliryhmä Määritelmä 1.7. Olkoon (G, ) ryhmä ja H ryhmän G epätyhjä osajoukko, H G, H. Jos pari (H, ) on ryhmä, niin H on ryhmän G aliryhmä, (H, ) (G, ), eli H G. Lause 1.8. (1. Aliryhmäkriteeri) Olkoon G ryhmä ja epätyhjä joukko H ryhmän G osajoukko, H sekä H G, niin joukko H on ryhmän G aliryhmä, H G, jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. a, b H ab H; 2. a H a 1 H. Lause 1.9. (2. Aliryhmäkriteeri) Olkoon G ryhmä ja epätyhjä joukko H ryhmän G osajoukko, H sekä H G, niin joukko H on ryhmän G aliryhmä, H G, jos ja vain jos seuraava ehto on voimassa: 3. a, b H ab 1 H. Lause 1.10. (3. Aliryhmäkriteeri) Olkoon G on ryhmä ja joukko H ryhmän G äärellinen ja ei tyhjä osajoukko, H G, sekä H, niin H on ryhmän G aliryhmä. H G, jos ja vain jos ab H aina, kun a, b H. 1.3 Permutaatioryhmä Määritelmä 1.11. Injektio on kuvaus, joka kuvaa jokaisen lähtöjoukon eri alkion erilliseksi maalijoukon alkioksi. Surjektio on kuvaus, jossa jokaista maalijoukon alkiota vastaa alkukuvana ainakin yksi lähtöjoukon alkio. Kuvaus, joka on sekä injektio, että surjektio on bijektio. Bijektiivisessa kuvauksessa jokaista lähtöjoukon alkiota vastaa yksi maalijoukon alkio ja jokaista maalijoukon alkiota vastaa yksi lähtöjoukon alkio. Määritelmä 1.12. Olkoon X epätyhjä joukko, X. Bijektiiviset kuvaukset joukossa X, µ : X X, ovat joukon X permutaatioita. 6

Huomautus 1.13. Mikä tahansa äärellisen joukon X permutaatio on esitettävissä permutaatiomatriisina. Tarkastellaan esimerkkinä bijektiivisiä kuvauksia ι, τ : X X, joukossa X = {a, b, c}. Jos ι kuvaa joukon X alkiot itsellensä ja τ kuvaa joukossa X alkion a alkioksi b, alkion b alkioksi c ja alkion c alkioksi a, niin kuvausten ι ja τ permutaatiomatriisit ovat ( ) ( ) a b c a b c ι = ja τ =. a b c b c a Mikäli kuvaukset σ ja γ ovat joukon X kuvauksia, niin niiden yhdistetty kuvaus (σ γ) joukossa X, määritellään siten, että yhdistetyssä kuvauksessa (σ γ) joukon X alkion x kuva on x(σ γ) = (xσ)γ. Yhdistetty kuvaus (σ γ) esitetään yleensä muodossa (σγ). Lause 1.14. Epätyhjän joukon X, X, kaikkien sisäisten kuvausten µ joukko M x, µ M x, on puoliryhmä varustettuna neutraalialkiolla. Todistus. Jos kuvaukset µ ja γ ovat joukon X sisäisten kuvausten joukon M x alkioita, µ, γ M x, niin kuvausten yhdistämisoperaatio ( ) on binäärinen operaatio joukossa M x, sillä sisäisten kuvausten µ ja γ yhdistetty kuvaus µ γ on myös joukon X sisäinen kuvaus, µ γ M x. Olkoon µ, γ, ρ joukon X sisäisiä kuvauksia ja x joukon X mielivaltainen alkio, µ, γ, ρ M x ja x X. Jos kaksi yhdistettyä kuvausta µ(γρ) ja (µγ)ρ ovat samoja, µ(γρ) = (µγ)ρ, niin ne vaikuttavat samalla tavalla joukon X kaikkiin alkioihin x X. Nyt x(µ(γρ)) = (xµ)(γρ) = ((xµ)γ)ρ = (x(µγ))ρ = x((µγ)ρ). Täten yhdistetyt kuvaukset ovat assosiatiivisia joukossa M x ja sisäisten kuvausten joukko M x muodostaa puoliryhmän. Olkoon ι identiteettikuvaus joukossa X, eli xι = x kaikilla x X. Nyt jos kuvaus µ on joukon X sisäinen kuvaus, µ M x, niin x(ιµ) = (xι)µ = xµ = (xµ)ι = x(µι) kaikilla x X. Siis kuvaukset ιµ = µ = µι ovat samat eli identiteettikuvaus ι on joukon M x neutraalialkio. 7

Nyt M x on puoliryhmä varustettuna neutraalialkiolla ι. Jos kuvauksella µ puoliryhmässä M x on käänteiskuvaus, niin käänteiskuvauksia on vain yksi. Mikäli γ on kuvauksen µ käänteiskuvaus, niin myös käänteiskuvaus kuuluu puoliryhmään M x. Tässä tapauksessa, yhdistetyt kuvaukset µγ = ι = γµ ovat puoliryhmän M x identiteettikuvauksia ι M x. Kuvaukset γ ja µ ovat siis toistensa käänteiskuvauksia. Kuvauksen µ käänteiskuvauksesta käytetään merkintää µ 1. Lause 1.15. Joukon M x kuvauksella µ M x on käänteiskuvaus µ 1 M x vain ja ainoastaan jos kuvaus on bijektio. Todistus. Jos kuvauksella µ on käänteiskuvaus γ, niin kaikille x X pitää paikkansa, että x = xι = x(γµ) = (xγ)µ ja kuva xγ on joukon X alkio, xγ X, ja siten alkion x alkukuva kuvauksessa µ. Kuvaus µ on siis surjektio. Olkoon xµ = yµ, jolloin kuvat (xµ)γ = (yµ)γ ovat samat. Näin ollen joukon X alkiot x ja y ovat samat ja kuvaus µ on injektio. Siis jos kuvauksella µ on käänteiskuvaus, niin kuvaus µ on surjektio, että injektio ja täten bijektio. Oletetaan, että kuvaus µ on bijektio sekä yµ = x. Olkoon kuvaus γ sellainen, että se kuvaa joukon X mielivaltaisen alkion x X alkukuvakseen y X eli xγ = y. Nyt kuvauksen γ määritelmän mukaisesti y(µγ) = (yµ)γ = xγ = y, joten yhdistetty kuvaus µγ on identiteettikuvaus, µγ = ι, ja kuvaus γ on yksikäsitteinen, sillä kuvaus µ on bijektio. Koska kuvaus µ on surjektio, niin jokaisella x X pitää olla alkukuva ȳ X siten, että ȳµ = x. Tällöin x(γµ) = (ȳµ)(γµ) = ((ȳµ)γ)µ = (ȳ(µγ))µ = (ȳι)µ = ȳµ = x joten γ on käänteiskuvaus kuvaukselle µ. Huomautus 1.16. Bijektiivinen kuvaus σ äärellisessä joukossa X = {a 1,..., a n }, σ : X X, voidaan esittää permutaatiomatriisina seuraavasti: ( ) a1... a n σ =. a 1 σ... a n σ 8

Lause 1.17. Pari (S x, ) on ryhmä, kun S x on joukon X kaikkien bijektiivisten kuvausten eli permutaatioiden joukko, ja ( ) on joukon S x kuvausten yhdistämisoperaatio. Todistus. Jos kuvaukset µ ja γ ovat joukon X bijektiivisten kuvausten joukon S x alkioita, µ, γ S x, niin kuvausten yhdistämisoperaatio ( ) on binäärinen operaatio joukossa S x, (µ γ) S x, sillä bijektiivisten kuvausten yhdistetty kuvaus on myös bijektio joukossa X. Olkoon ι identiteettikuvaus joukossa X eli xι = x kaikilla x X. Identiteettikuvaus ι on siten bijektiivisten kuvausten joukon S x neutraalialkio, sillä µ ι = ι µ = µ kaikilla µ S x ja identitettikuvaus on bijektio joukossa X. Koska X on epätyhjä joukko, X, ja identiteettikuvaus ι kuuluu bijektiivisten kuvausten joukkoon S x, ι S x, niin joukko S x on epätyhjä, S x. Bijektiivisten kuvausten yhdistämisoperaatio on assosiatiivinen, eli (µ γ) ρ = µ (γ ρ) kaikilla µ, γ, ρ S x. Joukko S x on siis puoliryhmä. Jos kuvaus µ kuuluu bijektiivisten kuvausten joukkoon S x, µ S x, niin kuvaus µ on bijektio, jolloin myös käänteiskuvaus µ 1 on olemassa. Bijektiivisten kuvausten µ ja µ 1 yhdistetty kuvaus on identiteettikuvaus eli µ µ 1 = µ 1 µ = ι. Käänteiskuvaus µ 1 on siis käänteisalkio kuvaukselle µ bijektiivisten kuvausten joukossa S x, sillä käänteiskuvaus µ 1 on myös bijektio joukossa X. Joukon X permutaatioiden joukko S x on siis ryhmä. Määritelmä 1.18. Permutaatioryhmän S x muodostavat epätyhjän joukon X, X, kaikkien sisäisten kuvausten joukon M x bijektiiviset kuvaukset eli permutaatiot. 9

1.4 Symmetrinen ryhmä Määritelmä 1.19. Permutaatioryhmä S x on Symmetrinen ryhmä ja joukon X kaikkien sisäisten kuvausten joukon M x osajoukko, S x M x. Huomautus 1.20. Symmetrisen ryhmän S x alkioita kutsutaan joukon X permutaatioiksi tai vain permutaatioiksi. Määritelmä 1.21. Äärellisen n alkiosta koostuvan joukon X = {1, 2,..., n} symmetristä ryhmää S x kutsutaan astetta n olevaksi symmetriseksi ryhmäksi S n, S x = S n. Lause 1.22. Olkoon joukon X alkioiden lukumäärä X = n. Tällöin astetta n olevan symmetrisen ryhmän S n kertaluku S n = n!. Todistus. Kuvaukset σ symmetrisessä ryhmässä S n ovat bijektioita, σ S n, joten joukon X = {1, 2,..., n} eri alkiot eivät voi kuvautua samoiksi joukon X alkioiksi. Joukon X ensimmäinen alkio 1 voi kuvautua yhdeksi joukon X alkioksi 1σ, joten mahdollisia kuvauksia on n kappaletta. Vastaavasti joukon toinen alkio 2 voi kuvautua enään vain (n 1) joukon X alkioksi 2σ ja kolmas alkio 3 voi kuvautua vain (n 2) joukon X alkioksi 3σ jne... Kaikkien mahdollisten bijektiivisten kuvausten lukumäärä joukossa X on siis n (n 1)(n 2) 2 1 = n!. Astetta n olevan symmetrisen ryhmän S n alkioiden lukumäärä eli ryhmän kertaluku S n = n!. 1.5 Euklidinen tasogeometria Määritelmä 1.23. Oletetaan, että luvut a ja b kuuluvat reaalilukuihin, a, b R ja luku a on pienempi kuin luku b, a < b tällöin avoin väli ]a, b[ määritellään siten, että ]a, b[= {x x R, a < x < b}. Määritelmä 1.24. Oletetaan, että luvut a ja b kuuluvat reaalilukuihin, a, b R ja luku a on pienempi kuin luku b, a < b tällöin suljettu väli [a, b] määritellään siten, että [a, b] = {x x R, a x b}. 10

Määritelmä 1.25. Yleisesti, mitkä tahansa kaksi reaalilukua, a, b R, voivat muodostaa järjestetyn parin (a, b). Parit ovat samat, (a, b) = (c, d) jos ja vain jos parin alkiot ovat samat, a = c ja b = d. Parin alkioiden jäjestyksellä on merkitys, (a, b) (b, a). Analyyttisessä geometriassa pari (0, 0) ilmaisee origon paikan tasossa. Määritelmä 1.26. Euklidisen tason E pisteet p määritellään siten, että R 2 = {p p = (x, y), kaikilla x, y R}. Nyt tasossa R 2 pisteiden (x, y) ja (x 1, y 1 ) välinen etäisyys d määritellään siten, että d = (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2. Huomautus 1.27. Määritelty taso R 2 ei ole normaali Euklidisen tason esitys. Tässä yhteydessä taso R 2 tulkitaan Euklidisen tason E koordinaattipisteiden joukkona. Määritelmä 1.28. Origokeskeinen ympyrä, jonka säde on r, määritellään tasossa R 2 joukkona {p p = (x, y) R 2, x 2 + y 2 = r 2 }. Määritelmä 1.29. Origokeskeinen kiekko, jonka säde on r, määritellään tasossa R 2 joukkona {p p = (x, y) R 2, x 2 + y 2 r 2 }. Lause 1.30. Joukot S ja T ovat samoja, jos ja vain jos, joukot ovat toistensa osajoukkoja, S T ja T S. Todistus. Kun joukko S T ja joukko T S, niin jokainen joukon S alkio kuluu joukkoon T ja jokainen joukon T alkio kuuluu joukkoon S. 11

2 Isometristen kuvausten ryhmä suoralla Tässä luvussa esitellään isometria käsite lukusuoran avulla. Isometriset kuvaukset ovat joukon sisäisiä bijektiivisia kuvauksia, jotka säilyttävät kuvattavien alkioiden väliset etäisyydet. Isometristen kuvausten muodostama joukko on myös kuvattavan joukon symmetrisen ryhmän aliryhmä. Lopuksi todistetaan: mikäli isometrisilla kuvauksilla on sama vaikutus kahteen suoran pisteeseen, niin silloin isometriset kuvaukset ovat samat. 2.1 Isometria suoralla Reaalilukujen joukko R tulkitaan tässä yhteydessä lukusuoraksi. Isometriset kuvaukset ovat reaalilukujoukon R symmetrisen ryhmän S R kuvauksia, jotka säilyttävät kuvattavan joukon mielivaltaisten alkioiden a, b R väliset etäisyydet d = a b samana. Reaalilukujen a ja b väliselle etäisyydelle d = a b käytetään merkintää d(a, b). Määritelmä 2.1. Reaalilukujoukon R isometrisia kuvauksia kutsutaan reaalilukujoukon R isometrioiksi. Isometrioiden muodostamaa joukkoa merkitään I(R). Määritelmä 2.2. Symmetrisen ryhmän S R kuvaus σ S R on isometria, jos ja vain jos reaalilukujoukon mielivaltaisten alkioiden a ja b välinen etäisyys d = a b säilyy kuvauksessa σ eli d(aσ, bσ) = d(a, b) kaikille a, b R. Olkoon a ja b mielivaltaisia reaalilukujoukon R jäseniä, a, b R, ja niiden välinen etäisyys d(a, b) = a b. Olkoon c reaaliluku, c R, ja σ symmetrisen ryhmän S R sellainen kuvaus, σ S R, että xσ = x + c kaikilla x R. Siis pisteiden a ja b välinen etäisyys kuvauksessa σ on d(aσ, bσ) = d(a + c, b + c) = (a + c) (b + c) = a b = d(a, b). Kuvaus σ säilyttää reaalilukujoukon R mielivaltaisten alkioiden a ja b välisen etäisyyden ja on siten isometria. 12

Olkoon n reaaliluku siten, että n R \ {1} ja kuvaus τ S R sellainen, että xτ = nx kaikilla x R. Siis pisteiden a ja b välinen etäisyys kuvauksessa τ on d(aτ, bτ) = d(na, nb) = (na) (nb) = n(a b) = n a b d(a, b). Nyt kuvaus τ ei säilytä reaalilukujoukon R mielivaltaisten alkioiden a ja b välistä etäisyyttä, joten kuvaus τ S R ei ole isometria. Lause 2.3. Reaalilukujoukon R isometristen kuvausten joukko I(R) on symmetrisen ryhmän S R aliryhmä, I(R) S R. Todistus. Olkoon I(R) symmetrisen ryhmän S R isometristen kuvausten joukko. Symmetrisen ryhmän S R neutraalialkio on identiteettikuvaus ι S R, joka kuvaa mielivaltaiset reaaliluvut a, b R siten, että niiden välinen etäisyys säilyy, d(aι, bι) = d(a, b). Näin ollen symmetrisen ryhmän S R identiteettikuvaus ι on isometria, ι I(R). Täten isometristen kuvausten joukko on epätyhjä, I(R). Selvästi isometristen kuvausten joukko I(R) on symmetrisen ryhmän S R osajoukko, I(R) S R. Jos kuvaus σ on isometria, σ I(R), niin se kuuluu symmetriseen ryhmään S R, jolloin bijektiivisena kuvauksena sillä on käänteiskuvaus σ 1. Täten isometrinen kuvaus σ ja sen käänteiskuvaus σ 1 kuuluvat symmetriseen ryhmään S R, σ, σ 1 S R. Oletetaan, että a ja b ovat reaalilukuja, a, b R, ja kuvaus σ on isometria reaalilukujoukossa R, σ I(R). Tällöin d(aσ 1, bσ 1 ) = d((aσ 1 )σ, (bσ 1 )σ) = d(a(σ 1 σ), b(σ 1 σ)) = d(aι, bι) = d(a, b). Näin ollen reaalilukujen a ja b välinen etäisyys säilyy myös kuvauksen σ käänteiskuvauksessa σ 1, joten käänteiskuvaus σ 1 on isometria, σ 1 I(R). 13

Jos oletetaan, että kuvaukset σ ja τ ovat isometrioita, σ, τ I(R), niin silloin myös niiden käänteiskuvaukset σ 1 ja τ 1 ovat isometrioita eli σ 1, τ 1 I(R). Jolloin d(a(στ 1 ), b(στ 1 )) = d((aσ)τ 1, (bσ)τ 1 ) = d(aσ, bσ) = d(a, b). Yhdistetty kuvaus στ 1 on siis myös isometria, στ 1 I(R) kaikilla σ, τ I(R). Näin ollen isometristen kuvausten joukko I(R) on symmetrisen ryhmän S R aliryhmä lauseen 1.9 mukaisesti, I(R) S R. Määritelmä 2.4. Isometristen kuvausten joukkoa I(R) kutsutaan isometriseksi ryhmäksi reaalilukujen joukossa R. 2.2 Kaksi suoran pistettä määrittelee isometrian Lause 2.5. Jos reaalilukujoukon R isometrisilla kuvauksilla σ, τ I(R) on sama vaikutus kahteen eri reaalilukuun a, b R ja a b, eli aσ = aτ ja bσ = bτ, niin silloin isometriset kuvaukset σ ja τ ovat samat eli σ = τ. Todistus. Olkoon a ja b eri reaalilukuja, a, b R ja a b, sekä c mielivaltainen reaaliluku, c R. Olkoon kuvaukset σ ja τ isometrioita σ, τ I(R), niin silloin reaalilukupisteiden c ja a välinen etäisyys d(c, a) = c a = d(cσ, aσ) = cσ aσ = d(cτ, aτ) = cτ aτ. Kuvattujen reaalilukupisteiden cσ ja aσ välinen etäisyys voidaan siten esittää muodossa (cσ aσ) = ±(cτ aτ). Nyt tehdään oletus, että σ ja τ kuvaavat reaaliluvun a samalla tavalla, aσ = aτ, mutta reaaliluvun c eritavalla, cσ cτ. Mikäli kuvapisteiden cσ ja aσ välinen erotus määritellään (cσ aσ) = +(cτ aτ), 14

niin saadaan, että (cσ cτ) = (aσ aτ) = 0. Saatu tulos cσ = cτ on alkuoletuksen cσ cτ vastainen ja siten ristiriita. Tästä seuraa, että kuvapisteiden cσ ja aσ erotuksen täytyy olla (cσ aσ) = (cτ aτ) = ( cτ + aτ), jolloin lauseke uudelleen järjestelemällä saadaan, että (cσ + cτ) = (aσ + aτ) = 2(aσ) = 2(aτ), koska kuvapisteet aσ ja aτ ovat samat, aσ = aτ. Samalla tavalla voidaan laskea pisteiden c ja b etäisyys isometrisilla kuvauksilla σ ja τ, kun cσ cτ ja bσ = bτ. Tällöin saadaan, että (cσ + cτ) = 2(bσ) = 2(bτ). Koska reaalilukujen cσ ja cτ summa on 2(aσ) sekä 2(bσ), cσ + cτ = 2(aσ) = 2(bσ), niin reaaliluvut aσ ja bσ ovat samoja, aσ = bσ. Koska kuvaukset σ ja τ ovat alkuoletuksen mukaisesti isometrioita, σ, τ I(R), niin ne ovat myös bijektiivisia kuvauksia eli permutaatioita. Tästä seuraa, että myös reaaliluvut a ja b ovat samoja eli a = b. Saatu tulos, että reaaliluvut a ja b ovat samoja, a = b, on vastoin alkuoletusta, jonka mukaan reaaliluvut a ja b ovat eri lukuja, a b. Täten päädytään lopputulokseen, että reaalilukujen cσ ja cτ täytyy olla samat, cσ = cτ. Nyt c on mielivaltainen reaaliluku, joten bijektiiviset kuvaukset σ, τ ovat samoja eli σ = τ. 15

3 Isometristen kuvausten ryhmä Euklidisessa tasossa Tässä luvussa käsitellään isometrisia kuvauksia määritelmän 1.26 mukaisessa Euklidisessa tasossa E. Ensiksi esitetään Euklidisen tason isometristen kuvausten ominaisuuksia ryhmänä. Seuraavaksi tutustutaan erilaisiin yksittäisiin isometrisiin kuvauksiin Euklidisessa tasossa: siirtoihin, kiertoihin ja peilauksiin. Sitten todistetaan, että jokainen Euklidisen tason isometria on esitettävissä siirtona, kiertona origon ympäri, peilauksena koordinaattiakselin suhteen tai niiden erilaisina yhdistelminä. Mikäli isometrisilla kuvauksilla on sama vaikutus Euklidisen tason kolmeen pisteeseen, jotka eivät ole samalla suoralla, niin silloin isometriset kuvaukset ovat samat. Lopuksi todistetaan, että Euklidisen tason pisteitä voidaan kiertää isometrisella kuvauksella tason mielivaltaisen pisteen ympäri sekä Euklidisen tason pisteitä voidaan peilata isometrisella kuvauksella tason kahden mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan suoran suhteen. 3.1 Isometria Euklidisessa tasossa Määritelmä 3.1. Olkoon A = (x A, y A ) ja B = (x B, y B ) Euklidisen tason E pisteitä. Pisteiden A ja B välinen etäisyys on d = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2. Euklidisen tason pisteiden A ja B välistä etäisyyttä merkitään d(a, B). Määritelmä 3.2. Olkoon σ Euklidisen tason E symmetrisen ryhmän S E kuvaus, σ S E. Kuvaus σ on isometria, σ I(E), jos Euklidisesta tasosta mielivaltaisesti valittujen pisteiden A ja B välinen etäisyys d säilyy kuvauksessa σ eli d(aσ, Bσ) = d(a, B). Lause 3.3. Isometristen kuvausten joukko I(E) Euklidisessa tasossa E on symmetrisen ryhmän S E aliryhmä, I(E) S E. 16

Todistus. Olkoon I(E) symmetrisen ryhmän S E isometristen kuvausten joukko. Symmetrisen ryhmän S E neutraalialkio on identiteettikuvaus ι S E, joka kuvaa mielivaltaiset Euklidisen tason E pisteet A, B E siten, että Aι = A ja Bι = B, jolloin niiden välinen etäisyys säilyy, d(aι, Bι) = d(a, B). Näin ollen symmetrisen ryhmän S E identiteettikuvaus ι on isometria, ι I(E). Täten isometristen kuvausten joukko on epätyhjä, I(E). Selvästi isometristen kuvausten joukko I(E) on symmetrisen ryhmän S E osajoukko, I(E) S E. Jos kuvaus σ on isometria, σ I(E), niin se kuuluu symmetriseen ryhmään S E, jolloin bijektiivisena kuvauksena sillä on käänteiskuvaus σ 1. Täten isometrinen kuvaus σ ja sen käänteiskuvaus σ 1 kuuluvat symmetriseen ryhmään S E eli σ, σ 1 S E. Oletetaan, että A ja B ovat Euklidisen tason pisteitä, A, B E, ja kuvaus σ on isometria Euklidisessa tasossa E, σ I(E). Tällöin d(aσ 1, Bσ 1 ) = d((aσ 1 )σ, (Bσ 1 )σ) = d(a(σ 1 σ), B(σ 1 σ)) = d(aι, Bι) = d(a, B). Näin ollen Euklidisen tason E pisteiden A ja B välinen etäisyys säilyy myös kuvauksen σ käänteiskuvauksessa σ 1, joten käänteiskuvaus σ 1 on isometria, σ 1 I(E). Jos oletetaan, että kuvaukset σ ja τ ovat isometrioita Euklidisessa tasossa E, σ, τ I(E), niin silloin myös niiden käänteiskuvaukset σ 1 ja τ 1 ovat Euklidisen tason isometrioita eli σ 1, τ 1 I(E). Jolloin d(a(στ 1 ), B(στ 1 )) = d((aσ)τ 1, (Bσ)τ 1 ) = d(aσ, Bσ) = d(a, B). Yhdistetty kuvaus στ 1 on siis Euklidisen tason isometria, στ 1 I(E) kaikilla σ, τ I(E). 17

Näin ollen isometristen kuvausten joukko I(E) on symmetrisen ryhmän S E aliryhmä lauseen 1.9 mukaisesti, I(E) S E. Määritelmä 3.4. Euklidisen tason E isometristen kuvausten joukkoa I(E) kutsutaan isometriseksi ryhmäksi Euklidisessa tasossa E. 3.2 Isometrinen siirto Euklidisessa tasossa Määritelmä 3.5. Olkoon kuvaus τ a,b Euklidisen tason E pisteiden siirto tason sisällä. Tällöin Euklidisen tason piste (x, y) kuvautuu siirrossa τ a,b siten, että (x, y)τ a,b = (x + a, y + b). Lause 3.6. Euklidisen tason E pisteiden (x, y) E mielivaltainen siirto τ a,b on isometria, τ a,b I(E). Todistus. Todistetaan ensin, että Euklidisen tason E siirto on injektio. Olkoon kuvaus τ a,b siirto Euklidisessa tasossa E. Olkoon Euklidisen tason pisteiden (x, y) ja (x, y ) kuvapisteet samoja siirrolla τ a,b eli Näin ollen joten jolloin eli (x, y)τ a,b = (x, y )τ a,b. (x + a, y + b) = (x + a, y + b), x + a = x + a ja y + b = y + b, x = x ja y = y (x, y) = (x, y ). Näin ollen, jos siirto τ a,b vaikuttaa samalla tavalla molempiin kuvattaviin Euklidisen tason pisteisiin, niin myös pisteiden (x, y) ja (x, y ) pitää olla samoja eli (x, y) = (x, y ). Siirto τ a,b on siis injektio Euklidisessa tasossa E. 18

Seuraavaksi todistetaan, että Euklidisen tason E siirto on surjektio. Olkoon (x a, y b) Euklidisen tason E piste, (x a, y b) E, niin silloin siirrossa τ a,b kuvapiste on (x a, y b)τ a,b = (x a + a, y b + b) = (x, y). Näin ollen mielivaltaiselle pisteelle (x, y) E löytyy alkukuva (x a, y b) E siirrossa τ a,b. Siirto τ a,b I(E) on siis surjektio Euklidisessa tasossa E. Koska siirto τ a,b I(E) on injektio ja surjektio, niin se on bijektio ja kuuluu Euklidisen tason E symmetriseen ryhmään S E eli τ a,b S E. Nyt todistetaan, että bijektiivinen siirto τ a,b säilyttää Euklidisen tason E alkioiden välisen etäisyyden eli on isometria. Olkoot A = (x A, y A ) ja B = (x B, y B ) Euklidisen tason E mielivaltaisia pisteitä, niin silloin niiden välinen etäisyys siirrossa τ a,b on d(aτ a,b, Bτ a,b ) = ((x A + a) (x B + a)) 2 + ((y A + b) (y B + b)) 2 = (x A x B + a a) 2 + (y A y B + b b)) 2 = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = d(a, B). Koska mielivaltaisesti valittujen Euklidisen tason pisteiden välinen etäisyys säilyy bijektiivisessa siirrossa τ a,b, niin siirto τ a,b on Euklidisen tason isometria, τ a,b I(E). Lause 3.7. Isometrisen siirron τ a,b käänteiskuvaus (τ a,b ) 1 on Euklidisen tason pisteiden (x, y) E siirto vastakkaiseen suuntaan eli (τ a,b ) 1 = τ a, b. Todistus. Olkoon siirto τ a,b isometria, τ a,b I(E). Tällöin yhdistetty kuvaus τ a,b τ a, b siirtää Euklidisen tason E pistettä (x, y) seuraavasti: (x, y)τ a,b τ a, b = (x + a, y + b)τ a, b = (x + a a, y + b b) = (x, y). 19

Siirtojen τ a,b ja τ a, b yhdistetty kuvaus on siis Euklidisen tason E identiteettikuvaus, τ a,b τ a, b = ι. Näin ollen siirrot τ a,b ja τ a, b ovat toistensa käänteiskuvauksia, joten siirron τ a,b käänteiskuvaus (τ a,b ) 1 on Euklidisen tason pisteen (x, y) E siirto vastakkaiseen suuntaan. Siirron τ a,b käänteiskuvaus on siis (τ a,b ) 1 = τ a, b. 3.3 Isometrinen kierto Euklidisessa tasossa Määritelmä 3.8. Olkoon kuvaus ρ θ Euklidisen tason E pisteiden kierto origon ympäri vastapäivään kulman θ verran. Tällöin Euklidisen tason E mielivaltainen piste (x, y) kuvautuu kierrossa ρ θ siten, että (x, y)ρ θ = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ). Lause 3.9. Euklidisen tason E kierto ρ θ vastapäivään mielivaltaisella kiertokulmalla θ on isometria, ρ θ I(E). Todistus. Todistetaan ensin, että Euklidisen tason E pisteiden kierto ρ θ on injektio. Olkoon Euklidisen tason E pisteiden (x, y) ja (x, y ) kuvapisteet samoja kierrolla ρ θ, (x, y)ρ θ = (x, y )ρ θ, niin silloin pitää paikkansa, että x cos θ y sin θ = x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ = x sin θ + y cos θ. (1) Kertomalla yhtälön (1) erotuslauseke termillä cos θ ja summalauseke termillä sin θ, sekä laskemalla tulokset yhteen, saadaan yhtälö x(cos 2 θ + sin 2 θ) + ( y cos θ sin θ + y cos θ sin θ) = x (cos 2 θ + sin 2 θ) + ( y cos θ sin θ + y cos θ sin θ), joka on sievennettynä muotoa x(cos 2 θ + sin 2 θ) = x (cos 2 θ + sin 2 θ). Koska cos 2 θ + sin 2 θ = 1, niin Euklidisen tason pisteiden x-koordinaatit ovat samoja eli x = x. Vastaavasti kertomalla yhtälön (1) erotuslauseke termillä 20

sin θ ja summalauseke termillä cos θ, sekä laskemalla tulokset yhteen saadaan, että Euklidisen tason pisteiden y-koordinaatit ovat samoja eli y = y. Täten pisteet (x, y) ja (x, y ) ovat samoja, kun kierto ρ θ vaikuttaa samalla tavalla molempiin kuvattaviin Euklidisen tason pisteisiin eli (x, y) = (x, y ). Kierto ρ θ on siis injektio Euklidisessa tasossa E. Seuraavaksi todistetaan, että Euklidisen tason E kierto on surjektio. Oletetaan, että on löydettävissä mielivaltaisen Euklidisen tason pisteen (x, y) E kierrossa ρ θ piste (a, b) E siten, että (x, y)ρ θ = (a, b). Tällöin seuraavalle yhtälöparille on olemassa ratkaisu: x cos θ y sin θ = a, x sin θ + y cos θ = b. (2) Kertomalla yhtälön (2) erotuslauseke termillä cos θ ja summalauseke termillä sin θ, sekä laskemalla tulokset yhteen saadaan, että x(cos 2 θ + sin 2 θ) = a cos θ + b sin θ. Koska cos 2 θ + sin 2 θ = 1, niin kuvattavan Euklidisen tason pisteen x-koordinaatti on muotoa x = a cos θ + b sin θ. Vastaavasti kertomalla yhtälön (2) erotuslauseke termillä sin θ ja summalauseke termillä cos θ, sekä laskemalla tulokset yhteen saadaan, että kuvattavan pisteen y-koordinaatti on muotoa y = b cos θ a sin θ. Näin ollen mielivaltaiselle Euklidisen tason E pisteelle (a, b) E löytyy alkukuva (x, y) = (a cos θ + b sin θ, b cos θ a sin θ) E kierrossa ρ θ. Kierto ρ θ on siis surjektio Euklidisessa tasossa E. Koska kierto ρ θ on injektio ja surjektio, niin se on bijektio ja kuuluu Euklidisen tason E symmetriseen ryhmään S E, ρ θ S E. Nyt todistetaan, että bijektiivinen kierto ρ θ säilyttää Euklidisen tason E alkioiden välisen etäisyyden eli kierto ρ θ on isometria. Olkoot A = (x A, y A ) 21

ja B = (x B, y B ) tason E mielivaltaisia pisteitä, jolloin niiden välinen etäisyys kierrossa ρ θ on d(aρ θ, Bρ θ ) = [(x A cos θ y A sin θ) (x B cos θ y B sin θ)] 2 +[(x A sin θ + y A cos θ) (x B sin θ + y B cos θ)] 2 = [x A cos θ x B cos θ y A sin θ + y B sin θ] 2 +[(y A cos θ y B cos θ + x A sin θ x B sin θ] 2 = [(x A x B ) cos θ (y A y B ) sin θ] 2 +[(y A y B ) cos θ + (x A x B ) sin θ] 2 = [(x A x B ) 2 cos 2 θ 2(x A x B ) cos θ(y A y B ) sin θ + (y A y B ) 2 sin 2 θ] +[(y A y B ) 2 cos 2 θ + 2(y A y B ) cos θ(x A x B ) sin θ + (x A x B ) 2 sin 2 θ] = (x A x B ) 2 cos 2 θ + (x A x B ) 2 sin 2 θ +(y A y B ) 2 cos 2 θ + (y A y B ) 2 sin 2 θ +2(x A x B )(y A y B ) cos θ sin θ 2(x A x B )(y A y B ) cos θ sin θ = (x A x B ) 2 [cos 2 θ + sin 2 θ] + (y A y B ) 2 [cos 2 θ + sin 2 θ] = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = d(a, B). Koska mielivaltaisesti valittujen Euklidisen tason pisteiden välinen etäisyys säilyy bijektiivisessa kierrossa ρ θ, niin kierto ρ θ on Euklidisen tason E isometria, ρ θ I(E). Lause 3.10. Euklidisen tason isometrisen kierron ρ θ käänteiskuvaus ρ θ 1 on kierto myötäpäivään kulman θ verran eli ρ θ 1 = ρ θ. Todistus. Olkoon kierto ρ θ isometria, ρ θ I(E). Tällöin yhdistetty kuvaus 22

ρ θ ρ θ kiertää Euklidisen tason E pistettä (x, y) seuraavasti: (x, y)ρ θ ρ θ = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ)ρ θ = [(x cos θ y sin θ) cos( θ) (x sin θ + y cos θ) sin( θ), (x cos θ y sin θ) sin( θ) + (x sin θ + y cos θ) cos( θ)] = [x cos θ cos( θ) y sin θ cos( θ) x sin θ sin( θ) y cos θ sin( θ), x cos θ sin( θ) y sin θ sin( θ) + x sin θ cos( θ) + y cos θ cos( θ)] = [x cos θ cos θ y sin θ cos θ + x sin θ sin θ + y cos θ sin θ, x cos θ sin θ + y sin θ sin θ + x sin θ cos θ + y cos θ cos θ] = [x cos θ cos θ + x sin θ sin θ + y cos θ sin θ y cos θ sin θ, y cos θ cos θ + y sin θ sin θ + x cos θ sin θ x cos θ sin θ] = [x(cos 2 θ + sin 2 θ), y(cos 2 θ + sin 2 θ)] = (x, y). Kiertojen ρ θ ja ρ θ yhdistetty kuvaus on siis Euklidisen tason E identiteettikuvaus, ρ θ ρ θ = ι. Näin ollen kierrot ρ θ ja ρ θ ovat toistensa käänteiskuvauksia, joten käänteiskuvaus ρ 1 θ on Euklidisen tason pisteen (x, y) E kierto myötäpäivään kulman θ verran eli ρ 1 θ = ρ θ. 3.4 Isometrinen peilaus tason koordinaattiakseleiden suhteen Määritelmä 3.11. Olkoon kuvaus σ y Euklidisen tason E pisteiden peilaus tason x-koordinaattiakselin suhteen ja kuvaus σ x tason pisteiden peilaus tason y-koordinaattiakselin suhteen. Tällöin Euklidisen tason piste (x, y) kuvautuu peilauksissa σ y ja σ x siten, että (x, y)σ y = (x, y), (x, y)σ x = ( x, y). Lause 3.12. Euklidisen tason E peilaukset σ y ja σ x koordinaattiakselien suhteen ovat isometrioita, σ y, σ x I(E). 23

Todistus. Todistetaan ensin, että Euklidisen tason E peilaus on injektio. Olkoon kuvaus σ y peilaus Euklidisessa tasossa E x-koordinaattiakselin suhteen ja tason pisteiden (x, y) ja (x, y ) kuvapisteet samoja peilauksessa σ y eli Siis joten (x, y)σ y = (x, y )σ y. (x, y) = (x, y ), x = x ja y = y. Näin ollen, kun peilaus σ y vaikuttaa samalla tavalla molempiin kuvattaviin Euklidisen tason pisteisiin, niin myös pisteiden (x, y) ja (x, y ) pitää olla samoja eli (x, y) = (x, y ). Peilaus σ y on siis injektio Euklidisessa tasossa E. Seuraavaksi todistetaan, että Euklidisen tason E peilaus on surjektio. Olkoon (x, y) Euklidisen tason E piste, (x, y) E, niin silloin peilauksessa σ y kuvapiste on (x, y)σ y = (x, ( y)) = (x, y). Näin ollen mielivaltaiselle pisteelle (x, y) E löytyy alkukuva (x, y) E peilauksessa σ y. Peilaus σ y on siis surjektio Euklidisessa tasossa E. Peilaus σ y on siis injektio ja surjektio, joten se on bijektio ja kuuluu Euklidisen tason E symmetriseen ryhmään S E eli σ y S E. Nyt todistetaan, että bijektiivinen peilaus σ y säilyttää Euklidisen tason E alkioiden välisen etäisyyden eli peilaus σ y on isometria. Olkoot A = (x A, y A ) ja B = (x B, y B ) Euklidisen tason E mielivaltaisia pisteitä, niin silloin niiden 24

välinen etäisyys peilauksessa σ y on d(aσ y, Bσ y ) = [x A x B ] 2 + [( y A ) ( y B )] 2 = [x A x B ] 2 + [( y A ) 2 2( y A )( y B ) + ( y B ) 2 ] = (x A x B ) 2 + (ya 2 2y Ay B + yb 2 ) = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = d(a, B). Koska mielivaltaisesti valittujen Euklidisen tason pisteiden välinen etäisyys säilyy bijektiivisessa peilauksessa σ y, niin peilaus σ y on Euklidisen tason E isometria, σ y I(E). Peilaus σ x Euklidisen tason y-koordinaattiakselin suhteen todistetaan isometriaksi samalla tavalla. Lause 3.13. Yhdistetyt kuvaukset σy 2 ja σx 2 ovat Euklidisen tason E identiteettikuvauksia eli σy 2 = ι ja σx 2 = ι. Näin ollen kuvaukset σ y ja σ x ovat itsensä käänteiskuvauksia. Todistus. Mielivaltaisen Euklidisen tason E pisteen A = (x A, y A ) E peilaus yhdistetyllä kuvauksella σ y σ y x-koordinaattiakselin suhteen on (x A, y A )σ y σ y = (x A, y A )σ y = (x A, y A ). Vastaavasti mielivaltaisen Euklidisen tason E pisteen A = (x A, y A ) E peilaus yhdistetyllä kuvauksella σ x σ x y-koordinaattiakselin suhteen on (x A, y A )σ x σ x = ( x A, y A )σ x = (x A, y A ). Yhdistetyt kuvaukset σ 2 y ja σ 2 x ovat siis Euklidisen tason E identiteettikuvauksia, σ 2 y = ι ja σ 2 x = ι. Näin ollen peilaukset σ y ja σ x ovat itsensä käänteiskuvauksia eli σ 1 y = σ y ja σ 1 x = σ x. 25

3.5 Kolme tason pistettä määrittelee isometrian Lause 3.14. Olkoon kuvaus σ Euklidisen tason E isometria, σ I(E), ja A, B sekä C Euklidisen tason E pisteitä, A, B, C E. Isometria σ kuvaa Euklidisen tason pisteet A, B ja C siten, että Aσ = A, Bσ = B ja Cσ = C. Jos pisteet A, B ja C eivät ole samalla suoralla, niin silloin niiden muodostama kolmio ABC on yhtenevä kuvapisteiden A, B ja C muodostaman kolmion A B C kanssa. Todistus. Olkoon kuvaus σ isometria Euklidisessa tasossa E, σ I(E). Nyt Euklidisen tason E pisteiden A, B ja C, A, B, C E, väliset etäisyydet eivät muutu isometrisessa kuvauksessa σ. Näin ollen pisteiden A, B ja C sekä kuvapisteiden A, B ja C muodostamien kolmioiden sivujen pituudet voidaan ilmoittaa kolmioiden kärkipisteiden välisinä etäisyyksinä d(a, B) = d(aσ, Bσ) = d(a, B ), d(a, C) = d(aσ, Cσ) = d(a, C ), d(b, C) = d(bσ, Cσ) = d(b, C ). Koska pisteiden A, B ja C sekä kuvapisteiden A, B ja C muodostamien kolmioiden sivujen pituudet ovat samat, niin kolmiot ABC ja A B C ovat yhtenevät. Lause 3.15. Olkoot kuvaukset σ ja τ Euklidisen tason E isometrioita, σ, τ I(E). Jos isometrisilla kuvauksilla σ ja τ on sama vaikutus Euklidisessa tasossa E olevan kolmion kärkipisteisiin A, B ja C eli Aσ = Aτ, Bσ = Bτ ja Cσ = Cτ, niin isometriset kuvaukset σ ja τ ovat samat, σ = τ. 26

Todistus. Olkoon D mielivaltainen piste Euklidisessa tasossa E, D E. Nyt pisteen D etäisyys Euklidisessa tasossa E olevan kolmion ABC, A, B, C E, kärkipisteisiin voidaan esittää seuraavasti: d(d, A) = a, d(d, B) = b ja d(d, C) = c. Olkoon σ ja τ Euklidisen tason E isometrisia kuvauksia, σ, τ I(E). Oletetaan, että isometriset kuvaukset σ ja τ kuvaavat Euklidisen tason E kolmion ABC kärkipisteet samoiksi kuvapisteiksi. Näin ollen Euklidisessa tasossa E olevan kolmion ABC kärkipisteiden kuvat isometrisilla kuvauksilla σ ja τ ovat samoja eli Aσ = Aτ = A, Bσ = Bτ = B ja Cσ = Cτ = C. Nyt Euklidisen tason E pisteen D etäisyys kolmion ABC kärkipisteistä on sama kuin sen kuvan Dσ etäisyys kuvakolmion A B C kärkipisteistä eli d(d, A) = d(dσ, A ) = a, d(d, B) = d(dσ, B ) = b, d(d, C) = d(dσ, C ) = c. Samalla tavalla kuvapisteen Dτ etäisyys kuvakolmion A B C kärkipisteistä on sama kuin sen alkukuvan D etäisyys kolmion ABC kärkipisteistä eli d(d, A) = d(dτ, A ) = a, d(d, B) = d(dτ, B ) = b, d(d, C) = d(dτ, C ) = c. Seuraavaksi todistetaan Euklidisen tason E pisteen D kuvautuminen samaksi kuvapisteeksi isometrisilla kuvauksilla σ ja τ eli Dσ = Dτ. Olkoon kolmen ympyrän O 1, O 2 ja O 3 keskipisteet kuvakolmion A B C kärkipisteitä ja säteet kärkipisteiden etäisyyksiä kuvapisteistä Dσ ja Dτ. O 1 : keskipiste = A ja säde = a, O 2 : keskipiste = B ja säde = b, O 3 : keskipiste = C ja säde = c. 27

Nyt oletetaan, että isometriset kuvaukset σ ja τ kuvaavat Euklidisen tason E pisteen D eri tavalla eli Dσ Dτ. Koska kaksi ympyrää voivat leikata toisensa enintään kahdessa pisteessä, niin voidaan katsoa, että kuvapisteet Dσ ja Dτ ovat ympyröiden O 1 ja O 2 määräämät kaksi leikkauspistettä Euklidisessa tasossa E. Tällöin on selvää, että myös kolmas ympyrä O 3 leikkaa ympyrät O 1 ja O 2 samoissa pisteissä Dσ ja Dτ, sillä ympyröiden leikkauspisteiden Dσ ja Dτ etäisyydet kuvapisteistä A, B sekä C ovat samat. Oletetaan, että ympyrän O 2 keskipiste B sijaitsee pisteiden A ja C välissä, mutta ei samalla suoralla pisteiden A ja C kanssa. Tällöin ympyröiden O 1, O 2 ja O 3 keskipisteiden ja niiden leikkauspisteiden Dσ ja Dτ väliset etäisyydet ovat samoja, d(dσ, A ) = d(dτ, A ), d(dσ, B ) = d(dτ, B ), d(dσ, C ) = d(dτ, C ), joten jana A B on kohtisuorassa janan DσDτ kanssa. Samoin jana C B on kohtisuorassa janaan DσDτ nähden. Pisteet A, B ja C ovat siis samalla suoralla. Saatu tulos on ristiriidassa alkuoletuksen kanssa, että pisteet A, B, C ja A, B, C eivät ole samalla suoralla ja muodostavat kolmiot ABC ja A B C. Isometriset kuvaukset σ ja τ siis kuvaavat pisteen D samaksi kuvapisteeksi, Dσ = Dτ. Näin ollen kuvaukset σ ja τ ovat samat eli σ = τ. Lause 3.16. Euklidisen tason E jokainen isometria on esitettävissä siirtona, kiertona, peilauksena tai niiden erilaisina yhdistelminä. Todistus. Olkoot A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) Euklidisen tason E pisteitä ja kuvaus σ I(E) isometria. Näin ollen pisteitä A, B ja C voidaan käsitellä Euklidisessa tasossa E olevan kolmion kärkipisteinä, ABC. 28

1. Oletetaan, että kuvaus σ kuvaa Euklidisen tason E pisteen A E, siten, että Aσ = (0, 0)σ = (a, b). Tällöin on löydettävissä isometrinen siirto τ a, b I(E) siten, että yhdistetyllä isometrisella kuvauksella στ a, b Euklidisen tason E piste A kuvautuu itselleen, Aστ a, b = (a, b)τ a, b = (a a, b b) = (0, 0) = A. 2. Olkoon yhdistetty isometrinen kuvaus στ a, b sellainen, että se kuvaa Euklidisen tason E pisteen B siten, että Bστ a, b = (1, 0)στ a, b = B. Euklidisen tason E pisteiden A ja B välisen etäisyyden pitää säilyä yhdistetyssä isometrisessa kuvauksessa στ a, b. Nyt Euklidisen tason E pisteiden A ja B välinen etäisyys on d(a, B) = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = (0 1) 2 + (0 0) 2 = 1, joten kuvapisteiden Aστ a, b = A ja Bστ a, b = B välinen etäisyys on myös 1 eli d(a, B ) = d(aστ a, b, Bστ a, b ) = d(a, B) = 1. Koska Euklidisessa tasossa E pisteen B ja sen kuvapisteen B etäisyys pisteestä A on 1, niin pisteiden B ja B etäisyyttä pisteestä A voidaan tutkia Euklidisessa tasossa E yksikköympyrän avulla. Näin ollen kuvapisteen B = (c, d) esitysmuodoksi voidaan valita B = (cos θ, sin θ), sillä pisteiden A ja B välinen etäisyys koordinaattipisteiden avulla esitettynä on d(a, B ) = (0 c) 2 + (0 d) 2 = c 2 + d 2 = 1. 29

Tutkimalla Euklidisen tason kuvapisteen B kiertoa kulman θ verran isometrisella kierrolla ρ θ I(E), saadaan B ρ θ = (cos θ, sin θ)ρ θ = (cos θ cos( θ) sin θ sin( θ), cos θ sin( θ) + sin θ cos( θ)) = (cos θ cos θ + sin θ sin θ, cos θ sin θ + sin θ cos θ) = (cos 2 θ + sin 2 θ, 0) = (1, 0) = B. Näin ollen Euklidisen tason E kuvapisteen B isometrinen kierto ρ θ palauttaa alkukuvapisteen B. Samalla tavalla kuvapisteen A isometrinen kierto ρ θ palauttaa alkukuvapisteen A, Aρ θ = (0, 0)ρ θ = (0 cos( θ) 0 sin( θ), 0 sin( θ) + 0 cos( θ)) = (0, 0) = A. 3. Euklidisessa tasossa E olevan kolmion ABC kärkipisteiden A, B ja C välisten etäisyyksien pitää säilyä myös isometristen kuvausten σ,τ a, b ja ρ θ yhdistetyssä kuvauksessa στ a, b ρ θ eli στ a, b ρ θ I(E). Nyt Euklidisen tason E kolmion ABC kärkipisteiden A ja C sekä B ja C väliset etäisyydet ovat d(a, C) = (x A x C ) 2 + (y A y C ) 2 = (0 0) 2 + (0 1) 2 = 1, d(b, C) = (x B x C ) 2 + (y B y C ) 2 = (1 0) 2 + (0 1) 2 = 2. Yhdistetyllä kuvauksella στ a, b ρ θ kolmion ABC kärkipisteiden kuvapisteet ovat Aστ a, b ρ θ = A, Bστ a, b ρ θ = B, (3) Cστ a, b ρ θ = C, joten kolmion ABC kärkipisteiden kuvapisteiden A, B ja C väliset 30

etäisyydet voidaan esittää seuraavasti: d(a, C ) = d(aστ a, b ρ θ, Cστ a, b ρ θ ) = d(a, C) = 1, d(b, C ) = d(bστ a, b ρ θ, Cστ a, b ρ θ ) = d(b, C) = 2. Yhdistetty kuvaus στ a, b ρ θ Euklidisen tason E isometriana säilyttää kolmion kärkipisteiden kuvapisteiden välisen etäisyyden, joten kuvapisteen C = Cστ a, b ρ θ pitää olla (0, 1) tai (0, 1). Nyt valitaan Euklidisen tason E isometrinen kuvaus µ, µ I(E), siten, että (1) Kuvaus µ on identiteettikuvaus ι Euklidisessa tasossa E, µ = ι, jos Euklidisen tason E kolmion ABC kärkipisteen C kuvapiste C on (0, 1) eli C = (0, 1) = C. (2) Kuvaus µ on isometrinen peilaus σ y x-koordinaattiakselin suhteen Euklidisessa tasossa E, µ = σ y, jos Euklidisen tason E kolmion ABC kärkipisteen C kuvapiste C on (0, 1) eli C = (0, 1). Näin ollen on olemassa yhdistetty isometrinen kuvaus σψ = στ a, b ρ θ µ, σψ I(E), joka kuvaa Euklidisessa tasossa E olevan kolmion ABC kärkipisteet A, B ja C seuraavasti: Aσψ = A, Bσψ = B, Cσψ = C. Myös Euklidisen tason E identiteettikuvaus ι kuvaa Euklidisessa tasossa E olevan kolmion ABC kärkipisteet itselleen, eli Aι = A, Bι = B, Cι = C. Nyt voidaan lauseen 3.15 perusteella sanoa, että Euklidisen tason E isometrinen yhdistetty kuvaus σψ = στ a, b ρ θ µ ja identiteettikuvaus 31

ι ovat samat, σψ = ι. Yhdistetty isometrinen kuvaus σψ on siis Euklidisen tason E identiteettikuvaus ι eli σψ = ι. Näin ollen isometrinen kuvaus σ ja yhdistetty kuvaus ψ ovat toistensa käänteiskuvauksia eli σ 1 = ψ ja ψ 1 = σ. Isometrisen kuvauksen ψ = τ a, b ρ θ µ käänteiskuvaus ψ 1 on ψ 1 = (µ) 1 (ρ θ ) 1 (τ a, b ) 1. Kuvauksen µ käänteiskuvaus molemmissa tapauksissa (1) ja (2) on kuvaus itse eli µ. Kohdassa (1) identiteettikuvauksen µ = ι käänteiskuvaus µ 1 on identiteettikuvaus µ 1 = ι. Kohdassa (2) peilauksen σ y käänteiskuvaus σ 1 y on peilaus σ y itse, σ 1 y = σ y, lauseen 3.13 mukaisesti. Myötäpäivään kierron ρ θ käänteiskuvaus ρ 1 θ on kierto ρ θ vastapäivään, ρ 1 θ = ρ θ, lause 3.10. Siirron τ a, b käänteiskuvaus τ 1 a, b on siirto τ a,b vastakkaiseen suuntaan, τ 1 a, b = τ a,b, lause 3.7. Yhdistetyn kuvauksen ψ = τ a, b ρ θ µ käänteiskuvaus ψ 1 on siis ψ 1 = µρ θ τ a,b. Seuraavaksi osoitetaan, että kuvaukset ψ 1 ja σ ovat samat. Tarkastellaan ensin yhtälöryhmän (3) ensimmäistä yhtälöä 32

Aστ a, b ρ θ = A. Kuvaamalla tätä yhtälöä isometrialla ρ θ saadaan Aστ a, b = Aρ θ. Ottamalla tästä puolittain kuvaus τ a,b saadaan Aσ = Aρ θ τ a,b. Nyt Aµ = A, joten eli Aσ = Aµρ θ τ a,b Aσ = Aψ 1. Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöryhmän (3) toista yhtälöä Bστ a, b ρ θ = B. Kuvaamalla tätä yhtälöä isometrialla ρ θ saadaan Bστ a, b = Bρ θ. Ottamalla tästä puolittain kuvaus τ a,b saadaan Nyt joten Bσ = Bρ θ τ a,b. Bµ = B, eli Bσ = Bµρ θ τ a,b Bσ = Bψ 1. Tarkastellaan lopuksi yhtälöryhmän (3) viimeistä yhtälöä 33

Cστ a, b ρ θ = C. Kuvaamalla tätä yhtälöä isometrialla ρ θ saadaan Cστ a, b = C ρ θ. Ottamalla tästä puolittain kuvaus τ a,b saadaan Cσ = C ρ θ τ a,b. Nyt Cµ = C, joten eli Cσ = Cµρ θ τ a,b Cσ = Cψ 1. Näin ollen, isometriset kuvaukset ψ 1 ja σ vaikuttavat samalla tavalla kolmeen Euklidisen tason E pisteeseen A, B ja C, jotka eivät ole samalla suoralla. Kuvaukset ψ 1 ja σ ovat siis samat, lauseen 3.15 mukaisesti, joten jokainen yksittäinen isometrinen kuvaus voidaan esittää siirron, kierron ja peilauksen yhdistelmänä. 3.6 Mielivaltaiset isometriset kuvaukset Euklidisessa tasossa Seuraavaksi osoitetaan, että kaikki Euklidisen tason E mielivaltaiset siirrot, kierrot ja peilaukset ovat Euklidisen tason E isometrioita. Ensiksi tarkastellaan Euklidisen tason E mielivaltaisen pisteen (x, y) E siirtoa. Euklidisen tason E mielivaltaisen pisteen (x, y) siirto τ a,b on osoitettu isometriaksi lauseessa 3.6. Euklidisen tason E pisteen (x, y) kuvaus isometrisella siirrolla τ a,b I(E) on (x, y)τ a,b = (x + a, y + b) 34

ja kuvapiste (x + a, y + b) on Euklidisen tason E piste, (x + a, y + b) E. Seuraavaksi tarkastellaan Euklidisen tason E mielivaltaisen pisteen (x, y) E kiertoa. Euklidisen tason E mielivaltainen kierto ρ θ origon ympäri on osoitettu isometriaksi lauseessa 3.9. Euklidisen tason pisteen (x, y) kuvaus isometrisella kierrolla ρ θ, ρ θ I(E), origon ympäri kulman θ verran on (x, y)ρ θ = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ) ja kuvapiste (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ) on Euklidisen tason E piste, (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ) E. Määritelmä 3.17. Kuvaus ρ θ(a,b) on Euklidisen tason E kierto tason mielivaltaisen pisteen (a, b) ympäri, (a, b) E. Tällöin Euklidisen tason piste (x, y) kuvautuu kierrossa ρ θ(a,b) siten, että (x, y)ρ θ(a,b) = (a + (x a) cos θ (y b) sin θ, b + (x a) sin θ + (y b) cos θ). Lause 3.18. Euklidisen tason E kierto ρ θ(a,b) tason mielivaltaisen pisteen (a, b) E ympäri kulman θ verran on isometria, ρ θ(a,b) I(E). Todistus. Tämä lause todistetaan samalla tavalla kuin Euklidisen tason E kierto ρ θ origon, koordinattipisteen (0, 0), ympäri on todistettu isometriaksi lauseessa 3.9. Ensiksi todistetaan, että Euklidisen tason E kierto on injektio. Olkoon Euklidisen tason E pisteiden (x, y) ja (x, y ) kuvapisteet samoja kierrolla ρ θ(a,b) eli (x, y)ρ θ(a,b) = (x, y )ρ θ(a,b), niin silloin pitää paikkansa, että a + (x a) cos θ (y b) sin θ = a + (x a) cos θ (y b) sin θ, b + (x a) sin θ + (y b) cos θ = b + (x a) sin θ + (y b) cos θ. (4) Kertomalla yhtälöparin (4) erotuslauseke termillä cos θ ja summalauseke termillä sin θ, sekä laskemalla tulokset yhteen, saadaan yhtälö, joka on sievennettynä muotoa 35

eli (x a)(cos 2 θ + sin 2 θ) = (x a)(cos 2 θ + sin 2 θ) (x a) = (x a). Näin ollen Euklidisen tason pisteiden x-koordinaatit ovat samoja eli x = x. Vastaavasti kertomalla yhtälöparin (4) erotuslauseke termillä sin θ ja summalauseke termillä cos θ, sekä laskemalla tulokset yhteen saadaan, että Euklidisen tason pisteiden y-koordinaatit ovat samoja eli y = y. Täten pisteet (x, y) ja (x, y ) ovat samoja, kun kierto ρ θ(a,b) vaikuttaa samalla tavalla molempiin kuvattaviin Euklidisen tason pisteisiin eli (x, y) = (x, y ). Kierto ρ θ(a,b) on siis injektio Euklidisessa tasossa E. Seuraavaksi todistetaan, että Euklidisen tason E kierto ρ θ(a,b) pisteen (a, b) ympäri on surjektio. Oletetaan, että on löydettävissä mielivaltaisen Euklidisen tason pisteen (x, y) E kierrossa ρ θ(a,b) pisteen (a, b) ympäri piste (i, j) E siten, että (x, y)ρ θ(a,b) = (i, j). Tällöin seuraavalle yhtälöparille on olemassa ratkaisu: a + (x a) cos θ (y b) sin θ = i, b + (x a) sin θ + (y b) cos θ = j. (5) Kertomalla yhtälöparin (5) erotuslauseke termillä cos θ ja summalauseke termillä sin θ, sekä laskemalla tulokset yhteen saadaan, että (x a)(cos 2 θ + sin 2 θ) = (i a) cos θ + (j b) sin θ. Koska cos 2 θ + sin 2 θ = 1, niin kuvattavan Euklidisen tason pisteen x-koordinaatti on muotoa x = a + (i a) cos θ + (j b) sin θ. Vastaavasti kertomalla yhtälöparin (5) erotuslauseke termillä sin θ ja summalauseke termillä cos θ, sekä laskemalla tulokset yhteen saadaan, että kuvattavan pisteen y- koordinaatti on muotoa y = b + (j b) cos θ (i a) sin θ. 36

Näin ollen Euklidisen tason E mielivaltaiselle pisteelle (i, j) E löytyy alkukuva (x, y) = (a+(i a) cos θ+(j b) sin θ, b+(j b) cos θ (i a) sin θ) E kierrossa ρ θ(a,b). Kierto ρ θ(a,b) on siis surjektio Euklidisessa tasossa E. Koska kierto ρ θ(a,b) on injektio ja surjektio, niin se on bijektio ja kuuluu Euklidisen tason E symmetriseen ryhmään S E, ρ θ(a,b) S E. Olkoot A = (x A, y A ) ja B = (x B, y B ) Euklidisen tason E mielivaltaisia pisteitä, jolloin niiden välinen etäisyys kierrossa ρ θ(a,b) pisteen (a, b) ympäri on d(aρ θ(a,b), Bρ θ(a,b) ) = [(a + (x A a) cos θ (y A b) sin θ) (a + (x B a) cos θ (y B b) sin θ)] 2 +[(b + (x A a) sin θ + (y A b) cos θ) (b + (x B a) sin θ + (y B b) cos θ)] 2 = ((x A a) (x B a)) 2 [cos 2 θ + sin 2 θ] +((y A b) (y B b)) 2 [cos 2 θ + sin 2 θ] = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 = d(a, B). Koska mielivaltaisesti valittujen Euklidisen tason pisteiden välinen etäisyys säilyy bijektiivisessä kierrossa ρ θ(a,b), niin kierto ρ θ(a,b) on Euklidisen tason E isometria, ρ θ(a,b) I(E). Huomautus 3.19. Nyt ρ θ(a,b) = τ a, b ρ θ τ a,b, jolloin ρ θ(a,b) on myös isometrioiden yhdistettynä kuvauksena isometria. Seuraavaksi esitetään ajatusmalli, kuinka Euklidisen tason E pisteen (x, y) kierto mielivaltaisen tason pisteen (a, b) ympäri voidaan suorittaa. Perusajatuksena on Euklidisen tason E origon siirto ja tähän mennessä määriteltyjen Euklidisen tason E isometristen kuvauksien hyödyntäminen. 37