MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

Samankaltaiset tiedostot
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Pisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

Matematiikan pohjatietokurssi

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

k14 Laske Laudatur ClassPadilla - Lyhyt matematiikka, kevät 2014 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

4. Kertausosa. 1. a) 12

Tekijä Pitkä matematiikka

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Matemaatiikan historia Ratkaisut 6 / 2011

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

5 Rationaalifunktion kulku

5 Differentiaalilaskentaa

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Ratkaisuja, Tehtävät

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

Tehtävien ratkaisut

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka

LASKE LAUDATUR CLASSWIZ- LASKIMELLA

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Transkriptio:

0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on kätett (smbolist laskinta, sen on kätävä ilmi suorituksesta. Analsointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos leensä riittää täsiin pisteisiin rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, htälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi.

0..0. = = 0 ( ) = 0 = 0 = = 0 = = = 0 ja sijoitus ratkaisukaavaan, esim: ± 0 =, ± 0 josta = = Jaettu puolittain :llä ja saatu vain juuri ma b) Ratkaisuksi saatu vain = 0, esim. kokeilemalla. ma a b Suora sijoitus: = a b Saatu oikea vastaus: = = a b ( a b)( a+ b) Jaettu osoittaja tekijöihin: = a b a b Supistettu, sijoitettu ja saatu: a+ b= + = c) Vastaukseksi hväkstään mös 6 Nimittäjien poisto: = = ( ), josta oikea vastaus = = Laskinratkaisut hväkstään kohdissa -c)

0..0. -akselilla = 0. Tällöin 0 5 =, josta = 5 joten leikkauspiste on ( ) 0, 5 Suoran htälö muokattu esim. muotoon = 5 5 josta päätelt leikkauspisteeksi ( 0, 5) = 8 = =, b) 8 josta = =,89...,89 Likiarvossa tarkkuusvirhe ja/tai tarkka arvo ei näkvissä Kätett laskinta ja saatu tarkaksi arvoksi = 0 c) = 6 = 8 Koska 8 =, saadaan =. TAI logaritmeilla, esim: = 6 = 8 lg = lg8, lg8 josta oikea vastaus = = lg Laskinratkaisut hväkstään kohdissa -c)

0..0. b) Olkoot hpotenuusa c sekä terävät kulmat α ja β. c = 5,0 + 8,0 = 89,0 = 9,9... 9,. Vastaus 9, cm (tai 9 mm) 5 8 tanα = α =,005... Toinen terävä kulma on siten β 90 58 + 5 Nimittäjien poisto: = ( + ) = 5( ), josta + = 5 5 = 7 7 7 ja edelleen =, jolloin = TAI ratkaisemalla suoraan suhde : Supistus: + ( + 5 5 = = + = 5 5 = 7 7 = Ratkaistu htälöparilla + = 5 = tai kokeilemalla eri lukuarvoilla. ma. Olkoon kuution särmä aluksi a, jolloin tilavuus V = ( = 8a Vu a Uusi tilavuus Vu = a. Vertailu: = = = 0,5 V 8a 8 = 0,875, joten tilavuus on pienentnt 87,5 %. b) Kuution pinta-ala A = 6( = a. Au 6a Uusi pinta-ala Au = 6a. Vertailu: = = = 0,5 A a = 0,75, joten pinta-ala on pienentnt 75 %. Laskettu kokonaan numeerisesti, esim: Särmän pituus aluksi ja lopuksi ma

0..0 5. mansikkamehua (l) kuohuviiniä (l) hteensä (l) sekoitus,,8,0 sekoitus 0 seos,,8 +,0 + tai lähtötiedot muuten esitettinä Ehto: 0, (,0 + ) =,, josta,0 + = 6 =,0. Kuohuviiniä on siis lisättävä,0 l. Saatu laskettua, että mehua on, l ja kuohuviiniä,8 l Mehun osuus boolista (b) lisäksen jälkeen 0,b =, Boolia lisäksen jälkeen b = 6,0 l Kuohuviiniä siis lisättävä,0 litraa (tai litra 6. Häkissä on k kaniinia ja f fasaania. Saatu htälö k+ f = 5 k + f = 5 Saatu htälöpari: k + f = 9 k = Yhtälöpari ratkaistu oikein ja saatu. f = (Laskinratkaisu sallitaan) Vastaus: Kaniineja on ja fasaaneja. Kokeilemalla ratkaistu ma 7. Tukin halkaisija r = 0 cm, joten sen säde r = 0 cm. Vaijerin kunkin suoran osan pituus = r. Kaarevat osat ovat mprän kaaria, joiden keskuskulma = 60 TAI todettu, että niiden hteispituus = koko mprän kehän pituus. Vaijerin kokonaispituus on siten 6 r+ π r = 0 + 0π = 8,88... 8 (cm) Ratkaistu kuusikulmion avulla ja saatu väärä vastaus, esim. 80 cm ma Likiarvossa tarkkuusvirhe 5

0..0 8. Saatu muutamia ensimmäisiä vaiheita, 00, 00, 900 Kseessä on geometrinen lukujono, jolle q = n 00 ( ) Geometrinen summa, n 00 ( ) 9 joka littää Suomen talousarvion, kun > 5, 0. 9 Tällöin >,08 0 +, (tai muu vastaava sievennett muoto) 9 lg(,08 0 + ) josta n > = 8,9.... Ylits tapahtuu siis 9 vaiheen lg jälkeen. Taulukoimalla kaikki vaiheet 9. vaiheeseen asti oikein ma 6 Ratkaistu ilman epähtälömerkkejä 0 9. Mahdollisia setelijonoja on 6 erilaista: (5,5,0,0), (5,0,5,0,), (5,0,0,5), (0,0,5,5), (0,5,0,5) ja (0,5,5,0). Näistä vain ensimmäistä ovat suotuisia. Kstt todennäköiss on siten =. 6 Kaikki tapahtumat kpl (jotenkin perustellen) Suotuisia tapahtumia 8 kpl (jotenkin perustellen) Kstt todennäköiss on siten 8 =. Todennäköisksien avulla P(5, 5, 0, 0) = P(5, 0, 5, 0) = Summa + = 6

0..0 0. Funktio derivoitu f ( ) = a ja laskettu derivaatan nollakohta f ( ) = a = 0, joka toteutuu, kun =. Perusteltu jotenkin, että pienin arvo saavutetaan derivaatan f ( ) nollakohdassa. f = 8 = 0, josta saatu a =. Pienin arvo, kun ( ) a a b) Ehto voi toteutua vain silloin, kun b < 0, jolloin funktion g ( ) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lisäksi funktion g ( ) nollakohtien on oltava ja. Sijoittamalla :n arvot saadaan b + 6 = 0, josta b =, ja b + = 0, josta mös b =. a. Sijoitetaan kaavaan = ja a = 9. Saadaan 9 = + = =,666666666 Jatkamalla samalla periaatteella saadaan =,6675890... =,999756... 5 =,0869875... 6 =,080055... 7 =,080088... 8 =,080088... 7 Vastaus on siten n = 7.. Kaavasta T b) Koska = lg p ratkaistuna todennäköiss p = 0 T.,8 p alko = 0 = 0,00058..., ptapaturma = 0 = 0,00098... > palko, p loukk = 0,, 6 niin loukkaantuneiden lukumäärä = 0 5, 0 = 07,6... 00 Vastauksessa väärä tarkkuus 7

0..0. Kärän tangentin kulmakerroin on suurin derivaatan maksimipisteessä eli kohdassa, jossa = 0. = + + = + + = 6+ = 0 =. Merkkikaavio osoittaa, että kseessä on maksimikohta. Tällöin 9 ( ) = 7. Kstt piste on siten 9 (, 7). Laskettu derivaatan nollakohdat = 0. ± 0 + + = 0 ja nollakohdat = Perustellusti laskettu keskiarvo ja saatu Tällöin 9 ( ) = 7. Kstt piste on siten 9 (, 7). = ja htälö 9 = 0 7 ( ), eli = 0 tai 90 7 = 0. b) Tangentin kulmakerroin on ( ) 0 7. Malli: = a( 0) + b (0) = b= 607 7 a = 569,5 Ehdot:, josta (08) = a+ b= 6989 b = 607 7 b = 6077 a = 569,5 b) Asukasluku vuonna 00 on (00) = 569,5 (00 0) + 6077 = 6975 Erotus 6975 6077 = 89908 90000 (asukast c) Kuvaajaksi piirrett suora = 569,5( 0) + 6077 = 569,5 070975,5 välille 0 00 Piirrett suora tunnettujen pisteiden kautta Suoraa jatkettu määritsvälin ulkopuolelle 8

0..0 5. tanγ = γ = 5 ( + n 80, n Z) Välille 0 γ 60 b) Kuviosta: tan α =, tan β =. + 5 Kaavalla: tan( α + β) = = 6 =, 5 6 joten α + β = 5 = γ TAI tan( α + β) = = tanγ Laskettu kulmat α ja β ja saatu likiarvojen avulla tan( α + β) 9