Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on kaikkiin suuntiin rajoittamattomasti ulottuva tasainen pinta. T Tasogeometriassa kuviot ovat kaikki samassa tasossa. Avaruusgeometriassa näin ei tarvitse olla. 1
Esimerkki: Lasketaan kuution avaruuslävistäjän ja pohjan välinen kulma. Tee tehtävä 177 tai 183. 2
Määritelmä: Monitahokas on kappale, jonka pinta koostuu monikulmioista. avaruuslävistäjä särmä kärki tahko Määritelmä: Monitahokas on säännöllinen eli Platonin kappale, jos sen tahkot ovat keskenään yhteneviä säännöllisiä monikulmioita. Lause: Platonin kappaleita on vain viisi: säännölliset neli, kuusi, kahdeksan, kaksitoista ja kaksikymmentahokkaat. 3
Tilavuuden yksikkömuunnoksissa suhdeluku on 1000 1 dm 3 = 1000 cm 3 1 dm 3 = 1 L 13,2 dm 3 = cm 3 = mm 3 1,2 mm 3 = cm 3 = dm 3 15,6 ml = L 0,52 L = = mm 3 4
Määritelmä: Kaksi avaruuskappaletta ovat yhdenmuotoisia, jos vastinjanojen suhde on vakio. Tämä vakio on nimeltään mittakaava. Merkintä: k. Esimerkki: Suurennetaan kuutio mittakaavassa k. Lasketaan suurennoksen ja alkuperäisen alojen ja tilavuuksien suhteet. 5
Lause: Yhdenmuotoisten kappaleiden alojen suhde on k 2 ja tilavuuksien suhde k 3. Esimerkki: Kheopsin pyramidi oli valmistuttuaan 146,5 m korkea ja siinä oli 2,6 10 6 m 3 kiveä. Kuinka monta litraa kipsiä kuluu pienoismalliin, jonka korkeus on 40 cm? 6
Tee tehtävät 188, 192, 196. Kotitehtävät: (1) Muunna litroiksi (a) 14,5 ml, (b) 0,059 m 3, (c) 125 mm 3. (2) Kirjan tehtävä 189. (3) Kirjan tehtävä 180. (4) Kirjan tehtävä 193. 7
Esimerkki: Kuinka monta litraa öljyä mahtuu tynnyriin? 50 cm 90 cm 8
Lieriö Erilaisia lieriöitä: suora ympyrälieriö vino ympyrälieriö suorakulmainen särmiö kolmiopohjainen (eli kolmisivuinen) vino särmiö 9
Lieriöihin liittyviä käsitteitä: pohjat korkeusjana vaippa sivujana 10
Lieriön määritelmä: Ks. tarkka määritelmä kirjasta s. 74. Lieriön tunnusmerkkejä: Lieriössä 1) täytyy olla kaksi pohjaa ja 2) pohjan suuntaisen poikkileikkauskuvion on aina oltava yhtenevä pohjan kanssa. (Tämä ei silti riitä lieriön määritelmäksi!) 11
Lieriöihin liittyviä pinta ala ja tilavuuskaavoja: lieriön tilavuus: V = pohjan ala korkeus = Ah ympyrälieriön tilavuus: V = πr 2 h suoran ympyrälieriön vaipan ala: A v = 2πrh 12
Esimerkki: Suoran ympyrälieriön tilavuus on 3,2 l. Laske lieriön korkeus, kun pohjan halkaisija on 24 cm. Tee tunnilla tehtävät 201, 203, 209, 217, 220. Kotitehtävät: 202, 205, 212. 13
Kartio Erilaisia kartioita: suora ympyräkartio vino ympyräkartio kolmisivuinen pyramidi säännöllinen nelisivuinen pyramidi epäsäännöllinen nelisivuinen pyramidi 14
Kartioihin liittyviä käsitteitä: sivujana kärki korkeusjana vaippa pohja 15
Määritelmä: Ks. tarkka määritelmä kirjasta s. 80. Kartion tunnusmerkkejä: Kartiolla aina 1) on pohja ja kärki ja 2) pohjan suuntaiset poikkileikkaukset ovat yhdenmuotoisia pohjan kanssa. (Tämä ei silti riitä kartion määritelmäksi!) 16
Kartioihin liittyviä kaavoja: tilavuus: V = 1 3 Ah ympyräkartion tilavuus: V = 1 3 π r 2 h suoran ympyräkartion vaipan ala: A v = π rs Kartion tilavuuskaava johdetaan helpoiten integraalilaskennan avulla (kurssi MAA10). Tee tehtävät 222, 227. 17
Johdetaan vaipan alan kaava suorille ympyräkartioille: Osoitettava, että A v = πrs. 18
Tee tehtävät 228, 233. 19
Esimerkki: Lasketaan säännöllisen tetraedrin tilavuus. 20
Kotitehtävät: 223, 224, 231. 21
Pallo Määritelmä: Pallopinta koostuu pisteistä, jotka ovat kiinteällä etäisyydellä (= säde) tietystä kiinteästä pisteestä (= keskipiste). Pallo on pallopinnan rajaama kappale. Palloon liittyviä kaavoja: pinta ala: A = 4π r 2 4 tilavuus: V = 3 π r 3 22
Esimerkki: Pallon ala on 1,0 m 2. Lasketaan sen tilavuus. A = 4π r 2 V = 4 3 π r 3 23
Tee tunnilla tehtävät 238, 240, 245. Kotitehtävät: 239, 241, 246. 24
25