Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus: Vastaus jakoytälönä on 6 5 4 + = ( ) + + 4 8 6. 5
74. Jaetaan polynomi 5 binomilla +. 5 7+ 5 + 5 + 0 5 5 7 ± ± 7 5 5 ± 5 5 56 Vastaus: Jakojäännös on 56. 4 75. Jaetaan polynomi 4 binomilla. 4 8 6 4 + 0 + 0 4 4 ± ± 4 4 ± 4 8 4 8 ± 8 6 4 6 Vastaus: Jakojäännös on 4. 6 54
76. Polynomin 4 f( ) = + jako tekijöiin [ ] f( ) = + = ( ) = ( )( + ) = ( ) ( + ) 4 Polynomin nollakodat f( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 tai + = 0 = = Vastaus: Polynomin nollakodat ovat = ja =. Polynomin jako tekijöiin on f( ) = ( ) ( + ). 77. Polynomi f Nollakodat f( ) = 0 + 4 6= 0 ( ) = + 4 6 Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 6 kaikki tekijät: ±, ±, ±, ± 6 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret sievennettynä ±, ±, ±, ± 6, ±, ± bn Kokeillaan = : + 4 6= + 4 6= 5 0 7 7 = : 4 6 6 6 0 + = + + = 4 4 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi + on jaollinen binomilla +, joka voidaan saattaa muotoon +. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa. + + 4 6 4 6 ± ± 6 0 7 6 Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 55
+ 4 6= 0 (+ )( ) = 0 + = 0 tai = 0 = = =± Vastaus: Polynomin jako tekijöiin on f( ) = (+ )( + )( ).. Jatkuvuuslauseita 78. Funktio f() = + on jatkuva välillä ja derivoituva välillä < <. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. Välin päätepisteet Funktion f() = + arvot välin päätepisteissä. f( ) = ( ) ( ) + = f() = + = Derivaatan nollakodat Funktio f() = + Derivaatta f () = 6 6 Derivaatan nollakodat f () = 0 6 6 = 0 6( ) = 0 6 = 0 tai = 0 = 0 = Välin päätepiste Funktion f() = + arvot derivaatan nollakodissa f(0) = 0 0 + = Vastaus: Funktion suurin arvo välillä on ja pienin. + 79. Funktio f( ) =,, on jatkuva välillä [0, 5] ja derivoituva välillä ] [ + 0,5. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 56
Välin päätepisteet + Funktion f( ) = arvot välin päätepisteissä + 0 + f (0) = = 0+ 5 + f (5) = = 4 5+ Derivaatan nollakodat + Funktio f( ) = + ( + ) ( + ) + Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Derivaatan nollakodat f () = 0 + 0 = ( + ) + = 0 ± 4 ( ) = 6 = = Ei Käy + 6 = = + + Funktion f() = f( ) = arvo derivaatan nollakodassa f () = = + + Vastaus: Funktion suurin arvo välillä [0,5] on 4 ja pienin. 80. Funktio f( ) = + + ( + ) ( + ) Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Tutkitaan funktiota g ( ) =.Funktio g ( ) = on jatkuva välillä [0, 9] ja ( + ) ( + ) derivoituva välillä ] [ 0,9. Nimittäjän nollakota on =. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 57
Välin päätepisteet Funktion g ( ) = arvot välin päätepisteissä ( + ) g(0) = = (0 + ) g(9) = = (9 + ) 50 Derivaatan nollakodat Funktio g ( ) = = ( + ) ( + ) 4 Derivaatta g () = ( )( + ) = ( + ) Derivaatan nollakodat f () = 0 4 = 0 ( + ) 4= 0 Ei nollakotia Vastaus: Funktion derivaatan suurin arvo välillä [0,9] on ja pienin. 50 8. a)ytälö tan = + tan = 0 π π π Tutkitaan funktiota f() = tan, + n π eli + n 6 π Funktiolla on välillä [0,] kota = 0,55987756, jossa sitä ei ole määritelty. 6 Derivaatta f () = 0, joten funktio f() on kasvava. cos f(0) = tan 0 0 = < 0 f(0,5) = tan ( 0,5) 0,5 =,6 > 0 Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin [0; 0,5] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä ]0; 0,5[. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. b) Ytälö ln = e 00 ln e + 00 = 0 Tutkitaan funktiota f() = ln e + 00 Funktio on jatkuva ja derivoituva, kun > 0. Derivaatta f () = e = e 58
Derivaatan nollakodat f () = 0 e = 0 = e e = e = 0 Nollakotien ratkaisu ei onnistu analyyttisesti. 0,00 0,00 Koska f (0,00) = e = 000 e > 0 ja f () = e = e < 0, 0,00 derivaatalla on välillä ] 0, [ ainakin yksi nollakota. Tutkitaan derivaattafunktion f () = e = e kulkua. Derivaatan derivaatta f () = e = 9e < 0, sillä > 0 ja e > 0, kun > 0. Täten derivaatta f () on aidosti väenevä, joten sillä on korkeintaan yksi nollakota välillä 0,. ] [ Kotien ja perusteella derivaatalla on täsmälleen yksi nollakota välillä ] 0, [. Koska derivaatta saa aluksi positiivisia arvoja ja sitten negatiivisia arvoja, on itse funktio aluksi kasvava ja sitten väenevä. Lasketaan funktion arvoja 000 0 000 000 000 000 0 f 0 = ln 0 e + 00 = ln0 e + 00 000 0 = 000 ln0 e + 00 0 < 0 f() = ln e + 00 8 > 0 000 Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin 0, päätepisteissä ovat 000 erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä 0,. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. Vastaus: Ytälöllä a) on juuri b) on juuri välillä [0,]. 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = ln on ainakin yksi nollakota. Funktio f() = ln on jatkuva, kun > 0. f() = ln = < 0 f(0) = 0 ln 0 5,69 > 0 Koska funktion arvot välin [;5,69] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ] ; 5, 69 [ ainakin yksi nollakota. 59
8. Osoitetaan, että funktiolla f() = 5 + + 8 on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = 5 + + 8 on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = 5 0 + 0 + 8 = 8 > 0 f( ) = 5 ( ) + ( ) + 8 = 8 < 0 Koska funktion arvot välin [,0] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon,0 ainakin yksi nollakota. lauseen perusteella välillä ] [ Funktio f() = 5 + + 8 on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = 5 + 0 + > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = + 0 + 8 on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() =5 + + 8 on täsmälleen yksi nollakota.. Absoluuttinen ja suteellinen vire 84. Lukujen a ja b likiarvojen a, ja b,789 summan ja erotuksen osamäärä a+ b, +, 789 = = 4,49... 4, a b,,789 Vastaus: Lukujen summan ja erotuksen osamäärä on 4,. 85. Luvun 7 = asemasta käytetään likiarvoa 0,0. 400 7 0,0 a) Luvun suteellinen vire 400 7 400 = 0,4... 4% 7 400 0,0 7 0, 0 b) Lausekkeen suteellinen vire 400 7 400 7 400 Vastaus: Suteellinen vire on a) 4 % b) 5 %. = 0,457... 5% 60
86. Määritä tulon ab suteellinen vire, kun Luvut a =,4 ± 0, ja b = 0,7 ± 0, Δ( ab) Δa Δb 0, 0, Tulon ab suteellinen vire + + 0,57... < 6% ab a b, 4 0, 7 Vastaus: Tulon ab suteellinen vire 6 %. 4. Funktion nollakotien ratkaiseminen numeerisesti 87. Funktion f() = ln + 5 0 nollakota puolitusmenetelmällä f() Nollakota välillä,00000 5,00000,00000 0,695 ], [,50000,0945 ], 5; [,75000 0,6908 ], 75; [,87500 0,006 ], 75;,875 [,850 0,479 ], 85;,875 [,8475 0,6945 ],8475;,875[,8598 0,0888 ],8598;,875[,8679 0,096 ],8679;,875[ Nollakota on välillä ],8679;,875 [, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,87. Vastaus: Nollakota on,87. 88. Ytälö = = 0 Tutkitaan funktiota f() = Funktion yksi nollakota on = 0. Funktion f() = nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b),00000000,00000000,0854,550506 0,4456,00000000,0854,576 0,4456 0,70060,0854,576,077 0,70060 0,0540866,576,077,46666 0,0540866 0,0040407,077,46666,47804 0,0040407 0,0000806,46666,47804,47796 0,0000806 0,000000,47804,47796,47796 0,000000 0,00000000 6
Nollakota on välillä ], 47804;, 47796[, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,47. Vastaus: Ytälön ratkaisu on,47. 89. a) Funktio f() = 5 Kiintopisteet f() = 5 = 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 tai = 6 b) Funktio g() = Kiintopisteet g() = = = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = = ± Vastaus: Funktion kiintopisteet ovat a) 0 ja 6 b), 0 ja. 90. Funktio f() = e Kiintopisteet f() = 0 e = 0 = e Iterointifunktio g() = e Alkuarvo 0 = 4 Nollakota kiintopistemenetelmällä n n f( n ) 0 4,00000000,986846,986846,949965,949965,94766,94766,9475575 4,9475575,94756 5,94756,947509 6,947509,9475090 7,9475090,9475090 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,9475090, joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9475. Vastaus: Nollakota on,9475. 6
9. Funktio f() = ln = ( ) ln Derivaatta f () = ( ) = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n ) n ln n+ = n = n f '( ) n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n n n n + 0,00000000,59677,59677,758986,758986,799559,799559,799556 4,799556,799556 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,799556, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,7996. Vastaus: Nollakota on,7996. 9. Ytälö 7 = + 7 = 0 Tutkitaan funktiota f() = 7 Derivaatta f () = 7 6 Newtonin menetelmän iteroimiskaava 7 f( n) n n n+ = n = n 6 f '( n ) 7n n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0,00000000,40000000,40000000,68705,68705,0544457,0544457,9578 4,9578,90905 5,90905,908988 6,908988,908988 6
Likiarvojen jono suppenee koti lukua,908988, joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9090. Vastaus: Ytälön juuri on,9090. 9. Luku = 4 on ytälön = 4 eli 4 = 0 ratkaisu. Funktio f() = 4 Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n 4 n+ = n = n f '( n ) n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0,000000000,000000000,000000000,666666667,666666667,59,59,587409696 4,587409696,5874005 5,5874005,5874005 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,5874005, joten seitsemän desimaalin tarkkuudella se on =,58740. Vastaus: Luvun 4 likiarvo seitsemän desimaalin tarkkuudella on,58740. 5. Numeerinen derivointi 94. Funktio f() = Kota 0 = 4 e ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = Taulukoidaan arvot E + () E () 0, 6,056875 7,900489 0,0,64457745 0,508985 0,00 0,9886 0,8576 0,000 0,8769960 0,869770 0,0000 0,87507884 0,87746765 Vastaus: Taulukossa 64 ( )
95. Funktio f() = ln (sin ) Kota 0 = Etenevää erotusosamäärä Takeneva erotusosamäärä Taulukoidaan arvot ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e f '( 0 ) E+ ( ) = = f '( ) E ( ) 0 f( ) f( ) e e 0 0 = = ( ) E + () Vire E () Vire 0, 0,57455950 0,06786666 0,59550068 0,046589548 0,00 0,6486776 0,00070589 0,6459444 0,0004987 0,0000 0,64085555 0,00000706 0,6408760 0,000004986 0,000000 0,6409546 0,000000070 0,6409565 0,00000005 Vastaus: Taulukossa 96. Funktio f() = Kota 0 = Keskeisdifferenssi Taulukoidaan arvot f '( ) K( ) 0 0 0 = = + f( + ) f( ) ( + ) ( ) Vastaus: Taulukossa e 97. Funktio f() = ln Kota 0 = K() 0, 0,0990405 0,0 0,08497849 0,00 0,08488945 0,000 0,08488856 0,0000 0,08488855 ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = f ( 0 + ) f( 0 ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = 65 ( )
Taulukoidaan arvot E + () E () K(),059655 7,6489005 4,604778 0,,76659,0886,754977 0,0,79768886,6759857,756087 0,00,746589,79505,7545077 0,000,76070664,74804,75450489 0,0000,75549,7588456,7545047 Vastaus: Taulukossa 8 98. a) Lauseke f( ) = Taulukoidaan likiarvot. n = + 0 n f(),,6,00,00600 5,0000,00006 7,000000,0000006 9,00000000 b) Olkoon funktio f() = Tällöin f() = = 8 Funktio f() = on derivoituvaa Raja arvo 8 f( ) f() lim f( ) = lim = lim = f '() Funktion derivaatta f () = Derivaatan arvo f () = = Vastaus: a) Taulukossa b) Raja-arvo on lim f ( ) =. 6. Pinta-alan numeerinen määrittäminen 99. Funktion f() = kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,] käyttäen keskipistesääntöä, kun n = 4. 5 7 4 + + = = 4 8 4 8 4 8 4 8 64 [ ( ) ]+ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 0, 67875 66
Suteellinen vire 0,67875 00% 0,78% Vastaus: 0,67875 ja 0,78 % 00. Sekä puolisuunnikassäännön että Simpsonin säännön avulla viiden desimaalin tarkkuudella avulla käyrän y = ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,], ja a) n = 4 b) n = 0. a) Puolisuunnikassäännöllä f() = n = 4 0 = = 4 4 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + f( ) +... + f( n ) + f( n)] = ( + 0, 975 + 0, 75 + 0, 475 + 0) 4 =0,6565 Simpsonin säännöllä f() = n = 4 0 = = 4 4 67
f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) +... + 4 f( n ) + f( n)] = 4 ( + 4 0,975 + 0,75 + 4 0, 475 + 0) = 0,66666... b) f() = n = 0 0 = = 0 0 f() = Puolisuunnikassääntö Simpsonin sääntö 0,00000 0, 0,99000 0,99000 4 0,99 0, 0,96000 0,96000 0,96 0, 0,9000 0,9000 4 0,9 0,4 0,84000 0,84000 0,84 0,5 0,75000 0,75000 4 0,75 0,6 0,64000 0,64000 0,64 0,7 0,5000 0,5000 4 0,5 0,8 0,6000 0,6000 0,6 0,9 0,9000 0,9000 4 0,9,0 0,00000 0 0 yt. 6,65000 0,0000 Puolisuunnikassäännöllä A = 6,65000=0,66500 0 68
Simpsonin säännöllä A = 0 0,0 = 0,66667 Huomataan, että Simpsonin säännöllä saadaan tarkka arvo. Vastaus: a) Puolisuunnikassäännöllä 0,6565 ja Simpsonin säännöllä 0,66667 b) Puolisuunnikassäännöllä 0,66500 ja Simpsonin säännöllä 0,66667 0. Funktion f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pintaalan likiarvo välillä [0,] käyttäen puolisuunnikassääntöä. n = 5 0 = = 5 5 f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) 0 0 5,0490 5 0,99548 5 0,80 4 5 0,54644 0 A= [ f( 0) + f( ) +... + f( n ) + f( n)] = ( 0 +,0490 + 0, 99548 + 0,80+ 0, 54644 + 0) 5 0,6999 Vastaus: 0,6999 0. Käyrän y = + e ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-alan likiarvo, kun ja n = 4. Puolisuunnikassäännöllä f() = + e n = 4 69
( ) = = 0,75 4 f() = + e -,788-0,5,684 0,5 0,75,5,96 8,55 A= [ f( 0) + f( ) +... + f( n ) + f( n)] = 0, 75 (, 788 +, 684 + 0, 75+, 96 + 8,55) 6,874777 Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6,874777 6, 8, 6% 6, Simpsonin säännöllä A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) +... + 4 f( n ) + f( n)] 0,75 = (,788 + 4,684 + 0,75 + 4,96 + 8,55) 6,700 Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, 700 6, 0,066% 6, Vastaus: 6,874777 (vire 8,6 %) ja 6,700 (vire 0,066 %) 7. Approksimointi 0. Funktion f() = f() = f () = 6 f () = 4, kodassa = Taylorin polynomi asteluvulla ja n. 70
4! f () = 5 f (n) ( )! () = ( ) n n + n + f ''( ) f '''( ) P ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + )!! 6 4! = ( + ) + ( + ) ( + ) 4 5 ( )!( )!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = f ''( ) f ( ) n Pn ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) +... + ( + )! n! 6 4! ( n + )! = ( + ) + ( + ) ( + ) +... + ( + ) 4 5 n+ ( )!( )!( ) n!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) +... + ( n+ )( + ) Vastaus: + (+) + (+) + 4 (+) ja + (+) + (+) + 4 (+) +...+ (n + ) (+) n n ( n) n 04. Funktion f() = +, kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. f() = + f () = + f () = (+ ) f () = 5 (+ ) f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! = + + 5 + 0!! = + + Vastaus: + + 7
05. Funktion f() = f() = f () = ( ) f () = 4 ( ) f () = 5 5 8 ( ) 7 f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! 5 = + + +! 4! 8 5 = + + + 8 6 5 Vastaus: + + + 8 6, kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. 06. Funktion f() = e Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = e f () = e e f () = e (e e ) = e + e f () = e + e e = e e f (4) () = e (e e ) = 4e + e f (n) () = n + n ( ) ne + ( ) e Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = 0 ( n) f ''(0) f (0) n Pn ( ) = f(0) + f '(0) + +... +! n! n+ n + 0 0 ( ) n + ( ) 0 = 0 + ( 0) + + +... +!! n! n+ n = + +... + ( )! ( n )! 4 n+ n Vastaus: + +... + ( )!! ( n )! n 7
07. a) Funktion f() = ( + ) k Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = ( + ) k f '() = k( + ) k f ''() = k(k )( + ) k... f (n) () = k(k )(k )...(k n+)( + ) k n ( n) f ''(0) f (0) Pn ( ) = f(0) + f '(0) + +... +! n! k k k n k k kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k + + +... +!! n! kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k + + +... +!! n! b) Taylorin polynomin asteluku, kun k = 6 ja vire kodassa = 0, on pienempi kuin 0 4. Funktion f() = ( + ) 6 (n + ):nnen derivaatan lauseke f (n) 6 () = (6 n+ )!( + ) n f (n + ) 5 () = (6 n)!( + ) n Taylorin polynomin vire arvolla = 0, n ( n+ ) f () t n+ Rn+ ( ) = ( a) = 0, ; a = 0;0 < t < ( n + )! ( n+ ) f () t = (0, 0) f ( t ) = (6 n )!( + t ) ( n + )! 5 n (6 n)!( + t) = 0, ( n + )! n+ ( n+ ) 5 n n+ R n+ 5 n (6 n)!( + t) n+ = 0, 0 < t < 0, ( n + )! 5 n (6 n)!( + 0) < 0, ( n + )! (6 n)! = 0, ( n + )! n+ n+ Edon mukaan R n+ < 0 (6 n)! 0, < 0 ( n + )! 4 n+ 4 Taulukoidaan lausekkeen (6 n)! 0, ( n + )! n+ arvoja, kun n kasvaa. 7
n n n+ (6 )! 0, ( n + )! 0,00400000 0,0000500 4 0,0000007 5 0,00000000 Huomataan, että kun asteluku n on, on vire pienempi kuin 0 4. kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n Vastaus: a) + k + + +... + b)!! n! asteluku n on väintään. Harjoituskoe 4. a) Suoritetaan jakolasku ( + ):( + ) jakokulmassa. 4 + + 4 + ± ± 4 4 Vastaus jakoytälönä ( + ) = ( )( + ) + 4 b) Funktio f( ) = 5 + 5 lauseke ensimmäisen asteen tekijöiin. Nollakodat f( ) = 0 5 + 5= 0 Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 5 kaikki tekijät: ±, ± 5 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret b sievennettynä 5 ±, ± 5, ±, ± n Kokeillaan = : 5 + 5= 5 + 5= 0 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi jaollinen binomilla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa. 5 5 + on 74
5 5 + 5 ± ± 5 + 5 ± 5 5 0 Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 5 + 5= 0 ( )( 5) = 0 = 0 tai 5 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 5) = = 64 = = 6 + 64 5 = = 6 Funktion jako tekijöiin on f( ) = ( + )( )( 5). Vastaus: a) 4 ( ) ( )( ) 4 + = + + b) f( ) = ( + )( )( 5). a) Ytälö = ln + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln, > 0 Funktio f( ) = + ln on jatkuva, kun > 0. f () = + ln = > 0 f (9) = 9 + ln 9 = + ln 9 > 0 Koska funktion arvot välin [,9] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], 9 [ ainakin yksi nollakota. Funktio Derivaatta f () = f( ) = + ln = + ln on derivoituva, kun > 0. ) + + = + = > 0, kun > 0. 75
Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f( ) = + ln on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f( ) = + ln on täsmälleen yksi nollakota, joten ytälöllä = ln on täsmälleen yksi juuri. b) Ratkaistaan ytälö + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln + Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n + ln n n+ = n = n f '( n ) n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0,00000000,874907,874907,87796,87796,87767,87767,87767 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,87767, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,88. Newtonin menetelmässä määrätään funktion kuvaajalle tangentti alkuarvon osoittamaan kotaan. Tämän jälkeen lasketaan tangentin ja akselin leikkauspiste, jota käytetään uutena alkuarvona. Tätä toistetaan kunnes nollakota on saatu määrättyä vaadittavalla tarkkuudella. Vastaus: Ytälön juuri on,88.. Funktio f( ) = Muuttujan arvo =,45 Pyöristetty arvo,5 Absoluuttinen vire,45,5 = 0,04875 < 0,0, 45,5 Suteellinen vire = 0,009...,%, 45 Vastaus: Absoluuttinen vire on 0,0 ja suteellinen vire, %. 76
4. Kappaleen putoamista tutkittaessa saatiin seuraavanlaiset tulokset: Aika (s) Matka (m) 0 0 0, 0,6 0, 0, 0, 0,40 0,4 0,80 0,5, a) Piirretään koordinaatistoon kuvaaja matka ajan funktiona.,4, matka (m) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 aika (s) Määritetään taulukon avulla. asteen malli riippuvuuden välille. Toisen asteen polynomifunktio y = a + b + c Kuvaaja kulkee pisteiden (0,0), (0,; 0,) ja (0,4; 0,80) kautta. 0= a 0 + b 0+ c 0, = a 0, + b 0, + c 0,8 = a 0, 4 + b 0, 4 + c 0 = c 0, = 0,04a+ 0, b+ c 0,8 = 0,6a+ 0, 4b+ c Sijoitetaan ylimmän ytälön c = 0 muiin ytälöiin. 0,04a+ 0, b = 0, 0,6a+ 0, 4b = 0,8 Ylemmästä ytälöstä saadaan a = 5,5 5b. Sijoitetaan alempaan ytälöön. 0,6(5,5 5b) + 0,4b = 0,8 0,4b = 0,04 :( 0,4) b = 0, Lasketaan a: a = 5,5 5b = 5,5 5 0, = 4,75 Toisen asteen malli riippuvuuden välille on y = 4,75 + 0, b) Hetkellinen nopeus y () = 9,5 + 0, Hetkellinen nopeus, kun aikaa on kulunut alusta 0,0 s: y (0,0) = 9,5 0, + 0, =,05 Nopeus graafisesti 77
y,, y = 4,75 + 0, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, y =,05 0,0475 0, 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0,4 0,45 0,5 0,55 Tangentti kulkee pisteiden (0,05; 0) ja (0,5; 0,48) kautta. 0, 48 0 Nopeus on tangentin kulmakerroin k t =, 0,5 0, 45 Vastaus: a) Toisen asteen malli on y = 4,75 + 0,. b) Nopeus on, m/s. 5. Lasketaan Taylorin polynomia käyttäen luvun e kaksidesimaalinen likiarvo. Funktio f() = e Taylorin polynomi kodassa = a f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo f() = e f (0) = e 0 = f () = e f (0) = f () = e f (0) = 4 f () = e f (0) = 5 f (4) () = e f (4) (0) = Taylorin polynomi, kun a = 0 f() = f(0) + f (0)( 0) +! f (0) ( 0) +! f (0) ( 0) + 4! f (4) ( 0)( 0) 4 + = f(0) + f (0) +! f (0) +! f (0) + 4! f (4) ( 0) 4 + = + +! +! + 4! 4 + 78
Funktion arvo, kun = e = f() = + +! +! + 4! 4 + Taulukoidaan arvoja Termi Arvo 0, 4 0,666666667 5 0,66666667 6 0,088888889 7 0,059685 8 0,0064906 9 0,004095 0 0,000887 Termien summa 7,88994709 Vastaus: Kaksidesimaalinen likiarvo on 7,9. 6. a) Jodetaan Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( ) = 0 0 f '( 0 ). Oletetaan, että funktio f on jatkuva ja derivoituva nollakodan läeisyydessä. Määritettäessä funktion f nollakotaa Newtonin menetelmällä aloitetaan läellä nollakotaa olevasta alkuarvosta = 0. Määritetään tään kotaan käyrälle y = f() tangentti ja lasketaan tangentin ja -akselin leikkauspiste =. Valitaan tämä uudeksi alkukodaksi ja määritetään käyrälle y = f() tään kotaan tangentti, jonka leikkauspiste -akselin kanssa lasketaan. Näin jatkamalla saadaan funktion nollakodan likiarvo yvin nopeasti laskettua. Newtonin menetelmässä on tärkeää, että iteroinnin alkuarvo on riittävän läellä nollakotaa. Varsinkin jaksollisten funktioiden tapauksessa voi käydä niin, että aluttua nollakotaa ei löydetä vaan päädytään joonkin muuun nollakotaan. 79
y y = f() 0 Määritetään funktion f() nollakota. Valitaan kota = 0. Käyrän y = f() kotaan = 0 piirretyn tangentin ytälö y y 0 = k t ( 0 ) y 0 = f( 0 ), k t = f ( 0 ) y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y = 0 tangentin ytälöön. y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) y = 0 f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) = 0 f ( 0 )( 0 ) = f( 0 ) : f ( 0 ) 0 f( 0 ) 0 = f '( 0 ) f ( 0 ) = 0 f '( 0 ) Valitaan saatu kota uudeksi alkukodaksi 0 ja toistetaan edellä olevat toimenpiteet. f( 0 ) Tällä tavalla saadaan aina seuraava nollakodan likiarvo kaavalla = 0 f '( ). b) Määritä Newtonin menetelmää käyttäen funktion f( ) = ln+ e nollakota neljän desimaalin tarkkuudella. Funktio f( ) = ln+ e Derivaatta f () = e + + e = Newtonin menetelmän iteroimiskaava n f( n) lnn + e n+ = n = n f '( ) n n e n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = 0 80
n n n + 0,00000000 0,9755707 0,9755707 0,60995 0,60995 0,69778 0,69778 0,69874 4 0,69874 0,698744 5 0,698744 0,698744 Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0,698744, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on = 0,699. Vastaus: Nollakota on 0,699. 7. Funktio f ( ) = + e Derivaatta keskeisdifferenssiä käyttäen kolmen desimaalin tarkkuudella Funktio f() = + Kota 0 = Keskeisdifferenssi f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) + e ( ) + e f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K() 0,,90069 0,0,89649 0,00,89687 0,000,89687 Vastaus: Taulukosta nädään, että likiarvo on,896. ( + ) ( ) 8. Pinta-ala Simpsonin säännöllä käyttäen neljää jakoväliä. Simpsonin säännöllä Funktio f( ) = Nollakodat f() = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± Kuvaaja 8
y 4 f() = 5 4 4 5 4 Jakovälit n = 4 0 Jakovälin pituus = = 4 4 Pinta-ala välillä [,0] f() = 0 4 0,85 0,75 4 0,475 0 0 A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) +... + 4 f( n ) + f( n)] = 4 (0 + 4 0,85 + 0,75 + 4 0, 475 + 0) = 0, 5 Symmetrian perusteella ala on 0,5 = 0,5 Vastaus: Ala on 0,5. 8
Harjoituskoe. Funktio f() = ln( + ) Taylorin polynomi f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + 4! f (4) (a)( a) 4 + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo Termi f() = ln( + ) f (0) = ln(0 + ) = 0 0 f () = = ( + ) f (0) = + 0+ = f () = ( + ) = f (0) = ( + ) (0 + ) = 4 f () = ( + ) = f (0) = = ( + ) (0 + ) 5 f (4) 4 6 () = 6( + ) = f (4) 6 (0) = = 6 4 4 ( + ) (0 + ) 4 Vastaus: Taylorin polynomin viisi ensimmäistä termiä kodassa = 0 ovat 0,,, ja 4. 4. a) Luvut a =,6 ± 0,00 ja b =, ± 0,. Lausekkeen a + b arvo a + b =,6 +, = 4,6 Lausekkeen a + b pienin arvo a + b =,59 +,8 =,959 Vire 4,6,959 = 0,0 Lausekkeen a + b suurin arvo a + b =,6 +,4 = 4,56 Vire 4,56 4,6 = 0,0 Lausekkeen a + b arvo virerajoineen a + b = 4, ± 0, Lausekkeen ab arvo ab =,6, = 4,58 Lausekkeen ab pienin arvo ab =,59,8 =,886 Vire 4,58,886 = 0,659 Lausekkeen ab suurin arvo ab =,6,4 = 5,9 Vire 5,9 4,58 = 0,65 Lausekkeen ab arvo virerajoineen ab = 4,5 ± 0,7 b) Funktio + f( ) = 8
Suteellinen vire 5 +,+ f ( 5) f (,) 5, = = 0,0064...,% f ( 5) 5 + 5 Vastaus: a) a + b = 4, ± 0, ja ab = 4,5 ± 0,7 b), %. Jaetaan polynomi 5 + 9 jaetaan trinomilla + jakokulmassa. + 6 5 + + 9 5 4 ± 4 4 4 ± Vastaus: Jakojäännös on 4 + 9. + ± ± 9 6 + 0 9 ± 6 6± 8 4 + 9 4. Ytälö + 4 + 6 = 0 Vakiotermin 6 tekijät ±, ±, ±, ±6 Korkeimman asteen termin tekijät ± Madolliset rationaalilukunollakodat ±, ±, ±, ±6 Sijoittamalla =, saadaan + 4 + 6 = 0, joten on polynomin f() tekijä. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa. + 5 + 6 + 4 + 6 ± 5 5 ± 5 6 6 6 ± 6 0 Ratkaistaan nollakodat + 4 + 6 = 0 ( )( + 5 + 6) = 0 = 0 tai + 5 + 6 = 0 = + 84
5 5 4 6 ± = 5 = = 5+ = = Vastaus: Juuret ovat, ja. ln 5. Funktio f() = Kota 0 = f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) ( ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K(),764606 0,0000,068498689 0,00000000,06849895 0,050847 Vastaus: Taulukossa ln( + ) ln( ) 6. Käyrä y = + 4 Käyrän ja ja -akselin leikkauspisteet y = 0 + 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 tai = 4 Käyrän ja ja -akselin väliin jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla jakamalla väli kadeksaan osaan. Pinta-ala A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) +... + 4 f( n ) + f( n)] n 0 4 0 Välin leveys = = = 0,5 n 8 Taulukoidaan arvot. f() Summan termit 0,0 0,00 0,00 0,5,75 7,00,0,00 6,00,5,75 5,00,0 4,00 8,00,5,75 5,00,0,00 6,00,5,75 7,00 4,0 0,00 0,00 Yteensä 64 85
Pinta-ala 0,5 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) +... + 4 f( n ) + f( n)] = 64 0,7 Vastaus: Pinta-ala on 0,7. 7. Osoitetaan, että ytälöllä + = on täsmälleen yksi juuri. Ytälö + = + = 0 Tutkitaan funktiota f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = 0 + 0 = < 0 f() = + = > 0 Koska funktion arvot välin [0,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ]0,[ ainakin yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = + 0 + > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = + on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktion f() = + nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b) 0,00000000,00000000 0,50000000,00000000,00000000,00000000 0,50000000 0,66664,00000000 0,7500000 0,50000000 0,66664 0,690056 0,7500000 0,05959 0,66664 0,690056 0,68004 0,05959 0,08664 0,690056 0,68004 0,68578 0,08664 0,000765 0,68004 0,68578 0,68780 0,000765 0,00000485 0,68578 0,68780 0,68780 0,00000485 0,00000000 Nollakota on välillä ] 0,68578; 0,68780 [, joten neljän desimaalin tarkkuudella se on = 0,68. Vastaus: Ytälön juuri on 0,68. 86
8. Ytälö 0 0 + 0 = 0 Tutkitaan funktiota f() = 0 0 + 0 f() = 0 0 + 0 y Derivaatta f () = 0 40 + 0 Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) 0n 0n + 0n n+ = n = n f '( n ) 0n 40n + 0 Alkuarvo 0 = 0,5 Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0 0,500000000 0,600000000 0,600000000 0,587500000 0,587500000 0,5879446 0,5879446 0,5879448 4 0,5879448 0,5879448 Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0,5879448, joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on = 0,58794. Vastaus: Ytälön keskimmäinen juuri on 0,58794. 87
Harjoituskoe. 5 + 4 + 4 8 5 5 4 + 4 4 ± ± 4 4 4 8 8 ± 8 6 6 4 6 Vastaus: + 4 8+ +. + 6 = 0 Rymitellään ( ) ( ) = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± = Vastaus: ± tai. aika (t) matka (m),8,87,4 5,66 7,99 9,,44,8 5,9 7 4,6 9 88
5 0 5 y =,609 0,49 0,555 R = 0,994 0 5 0 0 4 5. asteen malli mopon kulkeman ajan (s) ja matkan (m) riippuvuuden välillä f() =,609 0,49 0,555 Mopon kulkema matka sekunnin kuluttua lädöstä. f() =,609 0,49 0,555,6 (m) Vastaus: f() =,609 0,49 0,555 ja,6 m 4. f() = 4 f '() = 4 f ''() = f '''() = 4 f (4) () = 4 f (5) () = 0 f( ) = ( ) 4 = f '( ) = 4 ( ) = 4 f ''( ) = ( ) = f '''( ) = 4 ( )= 4 f (4) ( ) = 4 f (5) ( ) = 0 Monomi 4 Taylorin polynomin avulla binomin + kasvavien potenssien lausekkeena. Koska 5. ja sitä suuremmat derivaatat saavat arvon nolla, riittää muodostaa 4. asteen Taylorin polynomi kodassa =. (4) f ''( ) f '''( ) f ( ) 4 P4 ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! 4 4 4 = 4( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! 4 = 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) Vastaus: 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) 4 89
5. Luvun likiarvo viiden desimaalin tarkkuudella Newtonin menetelmää käyttäen. n+ = n n n Vastaus:,599 f ( ) n f '( ),0000000,,,68889 4,68889,5995 5,5995,599 6,599,5990 7,5990,5990 n 6. Funktion f() = ( + ) derivaatan likiarvo keskeisdifferenssiä käyttäen kodassa = muutoksen arvoilla ; 0,000 0; 0,000 000 00 ja 0,000 000 000 00. f ( 0 + ) f( 0 ) Derivaatan likiarvo f '( 0 ) = Taulukoidaan derivaatan likiarvoja. d f () 0,000000000000 809,99787459000 0,000000000000 7500,549908000 0,000000000000 7500,565545000 0,000000000000 750,5444596000 7. Käyrän y = + ja -akselin väliin välillä [0,4] jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla, kun n = 8. f() = + n = 8 4 0 = = 8 f() = + 0 0,5,06066,444,5,0965,5 4,07777 5,950,5 6,68 4 8,0658 90
A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) +... + 4 f( n ) + f( n)] = ( + 4, 06066 +, 444 + 4, 0965 + + 4 4, 07777 + 5, 950 + 4 6, 68 + 8, 0658),9887 Likiarvon suteellinen vire, kun tietokoneella saatu tulos on,989., 989,9887 0, 0 %, 989 Vastaus:,9887 ja 0,0 % 8. ) f() = 5 9 + f (0) = f () = f () = 9 Koska funktio on jatkuva ja se vaitaa välillä [0,] merkkinsä kertaa, on tällä välillä väintään nollakotaa. ) f '() = 5 ln5 9 5 ln5 9 = 0 9 5 = ln 5 9 ln = ln 5 =, 454... ln 5 Kulkukaavio f () f (),454 min f '(0)< 0 f '() > 0 Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti väenevä, kun <,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti kasvava, kun >,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kodista ) ja ) seuraa, että funktiolla f() = 5 9 + on tasan nollakotaa. Määritetään pienemmän nollakodan likiarvo sekanttimenetelmää käyttäen kaden desimaalin tarkkuudella. 9