Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Samankaltaiset tiedostot
KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN A-01 Mekaniikka, osa 1

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Dissipatiiviset voimat

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

FYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

Aaltoliike ajan suhteen:

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Värähtelevä jousisysteemi

Theory Finnish (Finland)

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Sinin muotoinen signaali

Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

Luento 15: Mekaaniset aallot

Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta 2

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 9: Potentiaalienergia

W el = W = 1 2 kx2 1

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

HARJOITUS 4 1. (E 5.29):

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).

KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI

Luento 14: Periodinen liike, osa 2

Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

dt 2. Nämä voimat siis kumoavat toisensa, jolloin saadaan differentiaaliyhtälö

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe , malliratkaisut

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe , malliratkaisut

FYS03: Aaltoliike. kurssin muistiinpanot. Rami Nuotio

Harjoitustehtävien vastaukset

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet:

Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.

Jani-Matti Hätinen Työn pvm assistentti Stefan Eriksson

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa

Luento 11: Potentiaalienergia

1 Oikean painoisen kuulan valinta

nopeammin. Havaitaan, että kussakin tapauksessa kuvaaja (t, ϕ)-koordinaatistossa on nouseva suora.

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Luento 18: Kertausluento

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Integrointi ja sovellukset

Tietoliikennesignaalit & spektri

Työ ja kineettinen energia

Harjoitus 5 -- Ratkaisut

havainnollistaa Dopplerin ilmiötä ja interferenssin aiheuttamaa huojuntailmiötä

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Termodynamiikan mukaan ideaalikaasujen molaaristen lämpökapasiteettien erotus on yleinen kaasuvakio R

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 07: Yhden vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Massakeskipiste Kosketusvoimat

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Transkriptio:

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä. Massaan kiinnitetty kynä piirtää käyrää, joka esittää poikkeamaa ajan funktiona kuten videossa http://www.youtube.com/watch?v=t7frgxc9sbi Tuloksena saadaan alla olevat kuvat. Määritä a) liikkeen amplitudi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), b) liikkeen periodi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), c) liikkeen kulmataajuus (sama jokaisessa kolmessa kuvassa), d) liikkeen vaihekulma (eri jokaisessa kuvassa). e) Kirjoita alimmalle liikkeelle yhtälö x = Asin(ωt +φ), johon sijoitat vakioiden arvot. Oleta, että liike on vaimentumatonta.

T 6.2 (pakollinen): Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Mikä on suurin poikkeama tasapainoasemasta? b) Montako edestakaista värähdystä tapahtuu sekunnissa? c) Mikä on liikkeen taajuus? d) Mikä on poikkeama ajanhetkellä t = 0? T 6.3 (pakollinen): Harmonisen värähtelijän liikettä kuvataan yhtälöllä x = Asin( t + ). Määritä harmonisen värähtelijän nopeus ajan funktiona ja kiihtyvyys ajan funktiona. T 6.4: Kappale, jonka massa on 3,0 kg, on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on 22 N/m. Kappaletta poikkeutetaan 320 mm tasapainoasemastaan (jossa x = 0) eräällä ajanhetkellä t = 0 ja vapautetaan levosta. a) Mikä on liikkeen periodi? b) Mikä on syntyvän harmonisen liikkeen maksimikiihtyvyys? T 6.5: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Mikä on kappaleen poikkeama, kun t = 0,125 s? b) Mikä on kappaleen nopeus, kun t = 0,125 s? c) Mikä on kappaleen kiihtyvyys, kun t = 0,125 s? T 6.6: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin 2 (rad/s) t + /4. a) Milloin poikkeama on nolla? b) Milloin nopeus on nolla? c) Milloin kiihtyvyys on nolla? T 6.7: Kappale, jonka massa on 0,20 kg, liikkuu nopeudella 5,0 m/s pitkin vaakasuoraa kitkatonta pintaa kohti massatonta vaakasuoraa jousta, joka on tasapainoasemassaan. Massa tarttuu kiinni jouseen, joka puristuu kokoon 0,50 m. a) Mikä on jousivakio k? b) Millä taajuudella jousi alkaa värähdellä? c) Mikä on massa-jousisysteemin kokonaisenergia? T 6.8: Yksinkertaista eli matemaattista heiluria (langan pituus 0,240 m) poikkeutetaan tasapainoasemasta 3,50 o ja sen jälkeen vapautetaan. a) Mikä on syntyvän heilahdusliikkeen jaksonaika? b) Mikä on syntyvän heilahdusliikkeen taajuus? c) Jos tätä samaa heiluria poikkeutetaan aluksi 1,75 o, mikä on nyt syntyvän heilahdusliikkeen jaksonaika? T 6.9 (pakollinen): Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona: x = A sin(ωt + φ). Yhtälöä ei tarvitse ratkaista, mutta selvitä pääpiirteittäin (esimerkiksi Fysiikan matematiikan kurssilla oppimasi perusteella), miten kyseinen differentiaaliyhtälö ratkaistaan. b) Mitä yllä olevassa lausekkeessa tarkoittavat A, ω ja φ? c) Miten lasketaan värähdysliikkeen periodi? d) Mikä on kyseisen värähtelijän hetkellinen potentiaalienergia ja kokonaisenergia.

T 6.10 (pakollinen): Kappale, jonka massa on m, liikkuu harmonisen voiman F = - kx vaikutuksen alaisena. Lisätään systeemiin liikettä hidastava voima, joka riippuu kappaleen nopeudesta seuraavalla tavalla: F = - bv a) Kirjoita differentiaaliyhtälö, josta saa ratkaisuna kappaleen poikkeaman tasapainoasemasta ajan funktiona. Yhtälöä ei tarvitse ratkaista. b) Differentiaaliyhtälön ratkaisu on: x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ) Mitä tässä yhtälössä tarkoittavat A, b, m, ω ja φ? c) Milloin vaimennettu värähtelijä on ylivaimennettu? Mitä se käytännössä tarkoittaa? d) Jos piirtäisit tehtävän vaimentumattoman ja vaimennetun värähtelijän kuvaajan, miten ne eroaisivat toisistaan? Oleta, että m, k ja φ ovat samoja molemmille värähtelijöille. T 6.11 (pakollinen): Koejärjestely on muuten samanlainen kuin tehtävässä T 6.1., mutta nyt kappaleeseen vaikuttaa hidastava voima. Kappale on esimerkiksi upotettu nesteeseen. Asiaa havainnollistaa videossa http://www.youtube.com/watch?v=zqkj3gyvs0y vasemmanpuoleisin kuva tai video http://fi.wikipedia.org/wiki/tiedosto:damped_spring.gif Alla olevassa kuvassa on esitetty kappaleen poikkeama ajan funktiona. Määritä vakion b/2m arvo, jos liikettä kuvataan yhtälöllä x = Ae -(b/2m)t sin(ωt + φ).

T 6.12 (bonustehtävä): Vaimenemattoman värähtelijän jaksonaika on 12.0 s. Vaimenevan värähtelijän kulmataajuus on 97 % vaimenemattoman värähtelijän kulmataajuudesta. a) Mikä on peräkkäisten maksimien amplitudien suhde? b) Missä ajassa värähtelijän amplitudi pienenee puoleen? Jakso 6: Vastaukset T 6.4: a) 2,32 s, b) 2,35 m/s 2 T 6.5: a) 0,10 m, b) 0, c) -3,95 m/s 2 T 6.6: a) -0,125 s [+ (n/2)t] b) 0,125 s [+ (n/2)t] c) -0,125 s [+ (n/2)t] T 6.7: a) 20 N/m, b) 1,6 Hz, c) 2,5 J T 6.8: a) 0,983 s, b) 1,02 Hz, c) 0,983 s T 6.11: noin 0,05 s -1 HUOM! Vastausta muutettu. T 6.12: a) 0,21, b) 5,45 s