Kompleksianalyysi I 801385A 2011
i Esipuhe Tämän luentomonisteen ensimmäisen version kirjoitti Tero Knuutinen Jorma Arhippaisen kevään 2007 luentojen pohjalta. Uudistetun painoksen on toimittanut Markus Harju vuoden 2011 kesäkurssia varten.
Kompleksianalyysi I ii
Sisältö 1 Kompleksilukujen kunta 1 1.1 Kompleksilukujen kunta......................... 2 1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo........................ 4 1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys................ 6 1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa................ 8 1.5 Kompleksitason topologiaa........................ 9 1.6 Jonoista.................................. 12 1.7 Sarjat................................... 14 2 Kompleksimuuttujan funktioista 17 2.1 Kompleksiarvoiset funktiot........................ 17 2.2 Funktion raja-arvo............................ 20 2.3 Jatkuvuus................................. 21 2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta)............... 24 2.5 Cauchyn Riemannin yhtälöt....................... 26 2.6 Eräitä funktioita............................. 29 2.6.1 Polynomifunktiot......................... 29 2.6.2 Rationaalifunktiot........................ 29 2.6.3 Juurifunktiot........................... 30 2.6.4 Eksponenttifunktio........................ 30 2.6.5 Logaritmi............................. 31 2.6.6 Trigonometriset funktiot..................... 32 2.6.7 Hyperboliset funktiot....................... 34 2.6.8 Yleistetty potenssifunktio.................... 35 2.7 L Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle............... 35 3 Käyräintegraali C:ssä 37 3.1 Kompleksitason käyristä......................... 37 3.2 Käyräintegraali.............................. 40 Hakemisto 45 iii
Luku 1 Kompleksilukujen kunta Lukujoukkoja merkitään seuraavasti: N = {0,1,2,...} (luonnolliset luvut) Z = {..., 1,0,1,...} (kokonaisluvut) Q = { m : m,n Z,n 0} (rationaaliluvut) n R = {x = k=l a k10 k : l Z,a k {0,1,...,9}} (reaaliluvut) Määritelmä 1.1 (Kunta). Olkoon K joukko, jossa on määritelty laskutoimitukset + (yhteenlasku) ja (kertolasku 1 ) seuraavina kuvauksina: + : K K K, K K (a,b) a+b K : K K K, K K (a,b) a b K Sanotaan, että (K,+, ) on kunta, jos seuraavat aksioomat ovat voimassa: K1 (a+b)+c = a+(b+c) kaikilla a,b,c K. K2 Joukossa K on nolla-alkio 0, jolle pätee a+0 = 0+a = a kaikilla a K. K3 Jos a K, niin on olemassa vasta-alkio a K, jolle pätee a + ( a) = ( a)+a = 0. K4 a+b = b+a kaikilla a,b K. K5 (ab)c = a(bc) kaikilla a,b,c K. K6 Joukossa K on ykkösalkio 1, jolle pätee a 1 = 1 a = a kaikilla a K. K7 Jos a K ja a 0, niin on olemassa a 1 K, jolle a a 1 = a 1 a = 1. Tässä 1 on ykkösalkio. Alkiota a 1 sanotaan alkion a käänteisalkioksi. 1 Usein käytetään lyhennysmerkintää a b = ab 1
Kompleksianalyysi I 2 K8 a b = b a kaikilla a,b K. K9 a (b+c) = (a b)+(a c) kaikilla a,b,c K. 1.1 Kompleksilukujen kunta Tarkastellaan joukkoa R 2 = R R = {(x,y) : x,y R}, missä (x,y) on järjestetty reaalilukujen pari, jolle pätee (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) jos ja vain jos x 1 = x 2,y 1 = y 2. Voidaan tulkita R R 2, kun alkio x R samaistetaan alkion (x,0) R 2 kanssa. Näin ajatellen R 2 on R:n laajennus joukkona. Määritellään laskutoimitukset+ja joukossar 2 seuraavasti: jos(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) R 2, niin 1) (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) R 2 2) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +x 2 y 1 ) R 2. Huomautus. Laskutoimitukset + ja ovat reaalilukujen tavanomaisten yhteen ja kertolaskun laajennuksia joukkoon R 2. Merkitään i = (0,1) R 2. Jos (x,y) R 2, niin (x,y) = (x,0)+(0,y) = (x,0)+(0,1)(y,0) = (x,0)+i(y,0) = x+iy. Täten voidaan samaistaen kirjoittaa R 2 = {(x,y) : x,y R} = {x+iy : x,y R} = C. Huomautus. Joukon R 2 kertolaskun määritelmän nojalla i 2 = (0,1) (0,1) = (0 1,0) = ( 1,0) eli i 2 = 1. Alkiota i kutsutaan imaginääriyksiköksi. Määritelmä 1.2 (Joukko C). Jos x + iy C,x,y R ja i on imaginääriyksikkö, jolle pätee i 2 = 1, niin merkitään z = x+iy. Jos z k = x k +iy k C,k = 1,2, niin laskutoimitukset (1) ja (2) tulevat muotoon: 1) z 1 +z 2 = (x 1 +iy 1 )+(x 2 +iy 2 ) = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ) 2) z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ).
3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Luvun z C reaaliosaa merkitään x = Re(z) R ja imaginääriosaa y = Im(z) R. Kompleksiluvut z 1 ja z 2 ovat samat, merkitään z 1 = z 2, jos Re(z 1 ) = Re(z 2 ) ja Im(z 1 ) = Im(z 2 ). Lause 1.3. (C, +, ) on kunta. Todistus. Käydään läpi kunta-aksioomat. K1 Selvä. K2 Nolla-alkio on 0 = 0+i0. K3 Jos z = x+iy C, niin ( z) = ( x)+i( y) C. K4 Selvä. K5 Jos z k C,k = 1,2,3, niin (z 1 z 2 )z 3 = [x 1 x 2 y 1 y 2 +i(x 1 y 2 +x 2 y 1 )](x 3 +iy 3 ) K6 Ykkösalkio on 1 = (1,0) = 1+i0. = [(x 1 x 2 y 1 y 2 )x 3 (x 1 y 2 +x 2 y 1 )y 3 ] +i[(x 1 x 2 y 1 y 2 )y 3 +(x 1 y 2 +x 2 y 1 )x 3 ] = [x 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 3 y 1 y 2 x 3 y 1 x 2 y 3 ] +i[x 1 x 2 y 3 +x 1 y 2 x 3 +y 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ] = [x 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 ) y 1 (y 2 x 3 +x 2 y 3 )] +i[x 1 (x 2 y 3 +y 2 x 3 )+y 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 )] = (x 1 +iy 1 )[(x 2 x 3 y 2 y 3 )+i(x 2 y 3 +x 3 y 2 )] = z 1 (z 2 z 3 ). K7 Jos z = x+iy C ja z 0 = 0+i0, niin x 0 tai y 0. Asettamalla ( ) z 1 x y = x 2 +y +i C 2 x 2 +y 2 nähdään, että [ z 1 z = K8 z 1 z 2 = z 2 z 1. x x 2 +y 2 +i K9 z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3. ( )] y (x+iy) = = 1 = zz 1. x 2 +y 2 Täten joukko C varustettuna laskutoimituksilla + ja on kunta.
Kompleksianalyysi I 4 1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo TunnetustiR 2 voidaan kuvataxy-koordinaatiston avulla tasona. SamaistuksellaR 2 C myös C voidaan esittää koordinaatiston avulla. y R 2 Im C (x,y) z = x+iy x Re Määritelmä 1.4. Luvun z = x + iy C itseisarvo on z = x 2 +y 2 R, joka vastaa pisteen (x,y) etäisyyttä origosta. Itseisarvo R:ssä antaa metriikan R:ään, eli lukujen x ja y etäisyyden d(x, y) = x y. Vastaavasti itseisarvo C:ssä määrää metriikan d(z 1,z 2 ) = z 1 z 2. Merkitään d C = metriikka C:ssä d C R = d R = metriikka R:ssä. Kunta(C, +, ) on näin myös kunnan(r, +, ) metrinen (topologinen) kuntalaajennus. Itseisarvolle pätee seuraavat ominaisuudet: 1) z 1 z 2 = z 1 z 2. 2) z 1 = z 1 z 2, z 2 0. z 2 3) Re(z) Re(z) z ja Im(z) Im(z) z. 4) z 1 +z 2 z 1 + z 2 (kolmioepäyhtälö). Määritelmä 1.5. Luvun z = x+iy C liittoluku on z = x iy C. Liittoluvulle pätee mm. seuraavat ominaisuudet: 1) i = i. 2) zz = zz = x 2 +y 2 = z 2. 3) Jos z = z, niin z R.
5 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 4) z = z kaikille z C. Jos z = x+iy 0, niin edellä tavattu käänteisalkio voidaan laskea laventamalla liittoluvulla eli Lisää ominaisuuksia: 1) z = z kaikilla z C. 2) z 1 +z 2 = z 1 +z 2. 3) z 1 z 2 = z 1 z 2. 4) ( ) 1 = 1 z z. 5) z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 2, z 2 0. z 1 = 1 z = z zz = z x 2 +y 2 = 6) z +z = 2Re(z) ja z z = i2im(z). x x 2 +y iy 2 x 2 +y 2. Määritelmä 1.6. Jos z 0 C ja ε > 0, niin z 0 -keskinen, ε-säteinen kompleksitason ympyrä on S ε (z 0 ) = {z C : z z 0 = ε}. Huomautus. 1) Jos z 1,z 2 S 1 (0), niin z 1 z 2 S 1 (0). 2) Jos z 1 S 1 (0), niin 1 z 1 S 1 (0). Esimerkki 1.7. Olkoon z 1 = 3+4i ja z 2 = 2+3i. Tällöin a) z 1 +z 2 = 3+2+(4+3)i = 5+7i b) z 1 z 2 = (3+4i)(2+3i) = 6 12+(9+8)i = 6+17i c) 1 z 2 = z 2 z 2 2 = 2 3i 4+9 = 2 13 3 13 i d) z 1 = z 1z 2 = (3+4i)(2 3i) z 2 z 2 z 2 13 = (6+12)+( 9+8)i 13 = 18 13 i 13.
Kompleksianalyysi I 6 1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys Olkoon z C,z 0,z = x + iy. Merkitään r = z = x 2 +y 2 (z:n moduuli) ja olkoon θ positiivisen reaaliakselin ja z:n väliin jäävä kulma. Kulma θ voidaan rajoittaa välille 0 θ < 2π. Tällöin z = x+iy = r(cosθ+isinθ) on luvun z (yksikäsitteinen) napakoordinaattiesitys. Kulmaa θ sanotaan luvun z argumentiksi ja sitä merkitään θ = arg z. y r θ z = x+iy x Kulman θ määrääminen voidaan jakaa seuraaviin tapauksiin: Tapaus y = 0 ja x 0: Jos x > 0, niin θ = 0. Jos x < 0, niin θ = π. Tapaus x = 0 ja y 0: Jos y > 0, niin θ = π 2. Jos y < 0, niin θ = 3π 2. Jos taas x,y 0, niin { x = rcosθ Tällöin y = rsinθ. tanθ = y x = rsinθ rcosθ = sinθ cosθ
7 Luku 1. Kompleksilukujen kunta eli θ = arctan y +nπ, n Z, x jossa kertoimen n valinta riippuu lukujen x ja y merkistä eli siitä, mihin tason neljännekseen z kuuluu: 1 Jos x,y > 0, niin n = 0 2 Jos x < 0,y > 0, niin n = 1 2 1 3 Jos x,y < 0, niin n = 1 4 Jos x > 0,y < 0, niin n = 2 3 4 Esimerkki 1.8. 1) Jos z = 2, niin r = 2 = 2 ja θ = 0. 2) Jos z = 2i, niin r = 2i = 2 ja θ = 3π 2. 3) Jos z = 1+i, niin r = 2 ja θ = π 4. Tulo napakoordinaattiesityksessä Olkoon z 1 = r 1 (cosθ 1 + isinθ 1 ) ja z 2 = r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 ). Tällöin z 1 z 2 = r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 )r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 ) = r 1 r 2 (cosθ 1 cosθ 2 sinθ 1 sinθ 2 )+i(cosθ 1 sinθ 2 +cosθ 2 sinθ 1 ) = r 1 r 2 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )). Tästä seuraa, että jos z = r(cosθ +isinθ), niin ns. De Moivren kaava pätee. z n = r n (cos(nθ)+isin(nθ)), n = 1,2,3,... Esimerkki 1.9. Edellisen kaavan avulla voidaan mm. ratkaista yhtälö z 3 = 1.
Kompleksianalyysi I 8 Kirjoitetaan z = r(cosθ+isinθ) ja pyritään määräämään r ja θ. De Moivren kaavan nojalla z 3 = r 3 (cos3θ+isin3θ) = 1 = cos0+isin0, missä myös luku 1 on kirjoitettu napakoordinaateissa. Ottamalla itseisarvot puolittain saadaan r 3 = 1, joten r = 1. Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia keskenään saadaan jaksollisuus huomioiden 3θ = 0+k2π, k Z eli θ = θ k = k2π/3. Täten yhtälön ratkaisut ovat (r = 1) eli ja z k = cosθ k +isinθ k z 0 = cos0+isin0 = 1, z 1 = cos 2π 3 +isin 2π 3 = 1 2 + 3 2 i z 2 = cos 4π 3 +isin 4π 3 = 1 2 3 2 i. Muilla arvoilla k saadaan jaksollisesti samoja ratkaisuja. 1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa Tunnetusti tason R 2 suora voidaan aina esittää muodossa L = {r R 2 : r = r 0 +tv,t R}, missär 0 onl:n kiinteä piste jav R 2,v 0 on virittäjävektori. Vastaavasti pisteiden P 1 ja P 2 välinen jana on [P 1,P 2 ] = {r R 2 : r = OP 1 +t(op 2 OP 1 ),t [0,1]}, missä O = (0,0) on origo. Avaruudessa R 2 suora voidaan ilmaista myös muodossa L = {(x,y) R 2 : ax+by = d}, missä (a,b) (0,0). Vastaavasti kompleksitasossa C suora on L = {z C : z = z 0 +tw,t R}, missä z 0 L on kiinteä piste ja w C,w 0 on virittäjävektori.
9 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Jos z 1,z 2 C,z 1 z 2, niin niiden välinen (suunnattu) jana on Suoran L normaalimuoto on missä a,b,d R ja a 2 +b 2 > 0. Jos z = x+iy eli niin [z 1,z 2 ] = {z C : z = z 1 +t(z 2 z 1 ),t [0,1]}. L = {x+iy : ax+by = d}, x = z +z 2 missä γ = 2d R ja α = a+ib C. z z,y =, 2i L = {z C : a z +z +b z z = d} 2 2i = {z C : az +az biz +biz = 2d} = {z C : (a ib)z +(a+ib)z = 2d} = {z C : αz +αz = γ}, 1.5 Kompleksitason topologiaa Määritelmä 1.10. Olkoon z 0 C annettu ja r R,r > 0. 1) z 0 -keskinen, r-säteinen avoin kiekko on joukko (vrt. ympyrä). 2) Vastaavasti suljettu kiekko on D r (z 0 ) = {z C : z z 0 < r} D r (z 0 ) = {z C : z z 0 r}. 3) Punkteerattu kiekko on D r(z 0 ) = D r (z 0 )\{z 0 }. Määritelmä 1.11. Olkoon A C. Sanotaan, että A on avoin jos joko 1) A = tai 2) jokaista z A kohti on olemassa sellainen r > 0, että D r (z) A.
Kompleksianalyysi I 10 Määritelmä 1.12. Olkoon A C. Sanotaan, että A on suljettu, jos sen komplementti A c = C\A on avoin. Huomautus. 1) C ja ovat sekä avoimia ja suljettuja joukkoja. 2) Avoin kiekko on avoin joukko. Todistus. 1) C on selvästi avoin, ja lisäksi sen komplementti on määritelmän mukaan avoin, joten C on myös suljettu. Samoin on suljettu, koska sen komplementti C on avoin. 2) Olkoon D r (z 0 ) avoin kiekko ja z D r (z 0 ) sen mielivaltainen piste. Valitaan δ = r z z 0 > 0, ja otetaan toinen avoin kiekko D δ (z). Jos w D δ (z), niin w z < δ. Siten w z 0 w z + z z 0 < δ + z z 0 = r z z 0 + z z 0 = r. Siis w D r (z 0 ). Täten D δ (z) D r (z 0 ) ja D r (z 0 ) on avoin. Huomautus. Olkoon I jokin indeksijoukko. 1) Jos A i C,i I ovat avoimia, niin A i on avoin. 2) Jos A 1,A 2,A 3,...,A n C ovat avoimia, niin n A i on avoin. i I i=1 3) Jos A i C,i I ovat suljettuja, niin A i on suljettu. 4) Jos A 1,A 2,A 3,...,A n ovat suljettuja, niin n A i on suljettu. i I i=1
11 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Määritelmä 1.13. Olkoon A C. Jos z A, niin z on joukon A sisäpiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että D r (z) A. Kaikkia joukon A sisäpisteitä merkitään A tai Int(A). Voidaan osoittaa, että A = {V : V on avoin jav A}. Huomautus. A A aina. Lisäksi A on avoin, jos A = A. Määritelmä 1.14. Piste z C on joukon A ulkopiste, jos se on komplementin A c sisäpiste. Kaikkia joukon A ulkopisteitä merkitään Ext(A). Määritelmä 1.15. Piste z C on joukon A reunapiste, jos se ei ole joukon A sisäpiste eikä ulkopiste. Kaikkia joukon A reunapisteitä merkitään (A). Määritelmä 1.16. Joukon A C sulkeuma on Joukko Ā on aina suljettu. Huomautus. Voidaan osoittaa, että Ā = cl(a) = A (A) = A (A). cl(a) = {E : E suljettu,a E}. Täten A cl(a) ja A = cl(a) jos ja vain jos A suljettu. Määritelmä 1.17 (Tiheä osajoukko). Jos A C on suljettu ja B A, niin B on tiheä joukossa A, jos cl(b) = A. Huomautus. Jos A = D r (z 0 ), niin A = D r (z 0 ) cl(a) = A (A) = {z C : z z 0 = r} = S r (z 0 ) Ext(A) = {z C : z z 0 > r}. Määritelmä 1.18 (Kasaantumispiste). Piste z C on joukon A kasaantumispiste, jos pisteen z jokainen r-ympäristö (avoin kiekko) sisältää z:sta eroavia A:n pisteitä eli D r(z) A kaikilla r > 0. Merkitään A = A:n kasaantumispisteiden joukko.
Kompleksianalyysi I 12 Voidaan osoittaa että cl(a) = A A. Esimerkki 1.19. Jos A = {1, 1 2, 1 3,..., 1 n,...}, niin A = {0}. Määritelmä 1.20. Joukko A C on rajoitettu, jos on olemassa sellainen M > 0, että z M kaikille z A. Määritelmä 1.21. Jos joukko on suljettu ja rajoitettu, niin sen sanotaan olevan kompakti. Määritelmä 1.22 (Polkuyhtenäisyys). Joukko A C on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää joukkoon A sisältyvällä murtoviivalla. Määritelmä 1.23 (Konveksi joukko). Joukko A C on konveksi, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää janalla, joka sisältyy joukkoon A. 1.6 Jonoista Funktiota f : N C sanotaan kompleksilukujen jonoksi. Yleensä merkitään tai f(n) = a n n = 0,1,2,... (a n ) n=0 = {a 0,a 1,a 2,...}. Jono voidaan usein määritellä rekursiivisesti, esim. missä a = vakio ja z 0 on annettu. z n+1 = z 2 n +a, Määritelmä 1.24 (Suppeneminen). Olkoon (a n ) n N kompleksilukujono. Jono (a n ) suppenee kohti pistettä a, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa N = N(ε) N, jolle eli a n D ε (a) aina, kun n N. a n a < ε Jonoille C:ssä pätevät samanlaiset tulokset kuin reaalijonoille. Olkoot lim a n = a ja n missä (a n ),(b n ) C ja a,b C. Tällöin lim b n = b, n
13 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 1) raja-arvo a on yksikäsitteinen 2) lim n (a n +b n ) = a+b 3) lim n (a n b n ) = ab a n 4) lim = a n b n b, kun b 0 5) Jos a n = x n +iy n missä x n,y n R ja lim n a n = a = x+iy, niin Näin on, koska lim x n = x ja n lim y n = y. n y n y, x n x a n a 0. 6) Jos a n = a n (cosθ n +isinθ n ) ja a = a (cosθ+isinθ), niin lim a n = a ja n lim θ n = θ (mod 2π). n Määritelmä 1.25 (Cauchyn jono). Jono (a n ) C on Cauchyn jono, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassas sellainen N = N(ε) > 0, että aina, kun m,n > N. a m a n < ε Esimerkki 1.26. Osoitetaan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. Olkoon Kolmioepäyhtälön nojalla lim a n = a. n a m a n = (a m a) (a n a) a m a + a n a. Koska jono a n suppenee, niin on olemassa sellaiset N 1,N 2, että a m a < ε ja a n a < ε 2 2 kun m > N 1 ja n > N 2. Valitaan N = max{n 1,N 2 }, jolloin eli a n on Cauchyn jono. a m a n < ε, m,n > N Tunnetusti jokainen (reaalinen) Cauchyn jono (a n ) R suppenee, toisin sanoen on olemassa lim n a n = a. Jokainen Cauchyn jono suppenee myös C:ssä. Olkoon A C epätyhjä. Tällöin a cl(a) jos ja vain jos on olemassa jono (a n ) A jolle lim n a n = a.
Kompleksianalyysi I 14 1.7 Sarjat Olkoon (a n ) C jono. Merkitään S n = n a k. k=1 Tällöin saadaan osasummien jono (S n ) C. Jos on olemassa, niin sanotaan, että sarja lim S n = S n n=1 suppenee. Lisäksi tällöin S = n=1 a n. Jos lim S n ei ole olemassa, niin sanotaan, n että sarja hajaantuu. Kompleksilukujen sarjoille pätevät samat ominaisuudet kuin R:ssä: 1) Jos sarja n=1 a n suppenee, niin lim n a n = 0. Osoitetaan tämä. Olkoon Koska a n = S n S n 1, niin a n S = lim n S n. lim a n = lim(s n S n 1 ) = S S = 0. n n 2) Jos k=1 a k suppenee ja a k = x k +iy k,(x k ),(y k ) R, niin sarjat k=1 x k ja k=1 y k suppenevat. 3) Jos sarja k=1 a k suppenee (itseinen suppeneminen), niin sarja suppenee. k=1 a k
15 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Esimerkki 1.27 (Geometrinen sarja). Jos z < 1, niin k=0 zk suppenee. Koska z k = z k < 1, niin k=0 zk suppenee. Nyt joten Puolittain vähentämällä saadaan eli Jos z < 1, niin S n = 1+z + +z n, zs n = z + +z n +z n+1. (1 z)s n = 1 z n+1 S n = 1 zn+1 1 z. lim S 1 z n+1 n = lim n n 1 z Esimerkki 1.28. Tarkastellaan sarjaa Tiedetään, että sarja suppenee kaikilla x R ja Siten sarja k=0 e x = k=0 k=0 z k k!. x k k! k=0 z k k! x k k!. = 1 1 z. suppenee (itseinen suppeneminen) kaikilla z C, joten k=0 suppenee kaikilla z C. Määritellään nyt e z = z k k! k=0 z k k!.
Kompleksianalyysi I 16 Sijoittamalla z = iy,y R saadaan e iy = = (iy) k k=0 k=0 k! ( 1) k y2k = 1+iy y2 2! iy3 + y4 3! 4! + (2k)! +i ( 1) k y 2k+1 = cosy +isiny, (2k +1)! k=0 sillä Siten eli i 2k = ( 1) k,i 2k+1 = ( 1) k i k = 0,1,2,... e iy 2 = cos 2 y +sin 2 y = 1 e iy = 1 kaikilla y R. Näin ollen luvun z 0 napakoordinaattiesitys voidaan kirjoittaa muodossa z = z (cosθ +isinθ) = z e iθ, θ [0,2π). Huomautus. Jos z C, niin e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny). Näistä keskimmäisen yhtäsuuruuden todistus sivuutetaan. Muut ovat edeltä tuttuja.
Luku 2 Kompleksimuuttujan funktioista 2.1 Kompleksiarvoiset funktiot Määritelmä 2.1. Olkoon A C, A. Vastaavuutta, joka liittää jokaiseen lukuun z A yksikäsitteisen luvun w C sanotaan funktioksi A C. Tällöin merkitään w := f(z) ja A on funktion f määritysjoukko, merkitään A = M(f). Arvojoukkoa merkitään A(f) = {f(z) : z A} = f(a). Määritelmä 2.2 (Toinen tapa määritellä funktio). Funktio f : A C on joukon A C osajoukko f, jolle pätee: 1) (z,w) f pätee kaikilla z A ja jollain w C 2) Jos (z,w 1 ),(z,w 2 ) f, niin w 1 = w 2, eli kohdan 1 alkio w on yksikäsitteinen. Jos (z,w) f, niin merkitään w = f(z). Useimmiten funktio f määritellään tietyn säännön f(z) avulla. Ellei toisin mainita, niin M(f) = {z C : Lausekef(z) on määritelty}. Määritelmä 2.3. Jos f : A C on funktio ja E A, niin funktion f rajoittuma joukkoon E on funktio f E, jolle pätee kaikilla z E. Siten M(f E ) = E. Funktion kuvaaja (graafi) on joukko (f E )(z) = f(z) {(z,f(z)) C 2 : z M(f) C}. 17
Kompleksianalyysi I 18 Usein tutkitaan jonkin osajoukon B M(f) kuvajoukkoa. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisen funktion lauseke f(z) voidaan (ainakin periaatteessa) esittää seuraavassa muodossa: Jos z = x+iy M(f), niin on olemassa sellaiset muuttujien x,y R reaaliarvoiset funktiot u ja v, että f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y). Esimerkki 2.4. 1) Jos f(z) = z, niin u(x,y) = x ja v(x,y) = y. 2) Jos f(z) = z 2, niin u(x,y) = x 2 y 2 ja v(x,y) = 2xy. 3) Jos niin 4) Jos u(x,y) = f(z) = 1 z = z z 2, x y x 2 +y2, v(x,y) = ja M(u) = M(v) = R 2 \{0}. x 2 +y 2 f(z) = e z = k=0 niin u(x,y) = e x cosy ja v(x,y) = e x siny. z k k! = ex+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny) Määritelmä 2.5. Olkoot f ja g : A C funktioita. Asetetaan 1) (f +g)(z) = f(z)+g(z),z A, (summafunktio) 2) (fg)(z) = f(z)g(z),z A, (tulofunktio) 3) (f/g)(z) = f(z)/g(z),z A,g(z) 0 (osamääräfunktio) ja 4) (f g)(z) = f(g(z)),z A (yhdistetty funktio). Määritelmä 2.6. Olkoot A,B C,A,B ja f : A B. Tällöin funktio f on 1) surjektio A B, jos jokainen w B on muotoa w = f(z) jollain z A eli f(a) = {f(z) : z A} = B. 2) injektio, jos ehdosta f(z 1 ) = f(z 2 ),z 1,z 2 A seuraa z 1 = z 2. 3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio.
19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Määritelmä 2.7 (Käänteisfunktio). Jos f : A B bijektio ja w = f(z) jollain z A, niin luku z on yksikäsitteinen (injektiivisyys) ja jokainen w B on muotoa w = f(z),z A (surjektiivisuus). Nyt voidaan määritellä funktio f 1 : B A asettamalla f 1 (w) = z kun w = f(z),z A. ja Käänteisfunktion määritelmästä seuraa, että f 1 (f(z)) = z kaikillaz A f(f 1 (z)) = z kaikillaz B. Huomautus. Myös f 1 on bijektio ja (f 1 ) 1 = f ja M(f 1 ) = A(f). Määritelmä 2.8 (Sektori). Olkoon ϕ 1,ϕ 2 [0,2π[, missä 0 < ϕ 1 ϕ 2 < 2π. Joukkoa S[ϕ 1,ϕ 2 ] = {z C : z = r(cosϕ+isinϕ), ϕ 1 ϕ ϕ 2,r 0} sanotaan suljetuksi sektoriksi. Vastaavasti joukkoa S]ϕ 1,ϕ 2 [= {z C : z = r(cosϕ+isinϕ), ϕ 1 < ϕ < ϕ 2,r 0} sanotaan avoimeksi sektoriksi. Huomaa, että S[0,2π[= C. Esimerkki 2.9. Funktion f(z) = 2z + i, z C käänteisfunktio on f 1 (z) = z i 2. Esimerkki 2.10. Olkoon f(z) = z 2,z C. Tällöin f on surjektio C C. Todistus. Jos w = 0, niin valitaan z = 0, jolloin f(z) = f(0) = 0 2 = w. Jos w 0, niin w = r(cosϕ+isinϕ),ϕ [0,2π[, joten valitsemalla z = ( r cos ϕ 2 +isin ϕ ) 2 nähdään, että f(z) = z 2 = r 2 ( cos 2ϕ 2 +isin 2ϕ 2 ) = w. Funktio f ei kuitenkaan ole injektio, sillä jos z 0 niin f( z) = ( z) 2 = z 2 = f(z), mutta z z. Huomautus. Jos funktio f ei ole bijektio, voidaan tutkia sen rajoittumaa joukkoon E M(f). Edellisessä esimerkissä funktio f olisi bijektio, jos E = S[0,π[.
Kompleksianalyysi I 20 2.2 Funktion raja-arvo Määritelmä 2.11. Olkoon f kompleksiarvoinen funktio ja z 0 C sellainen, että D r(z 0 ) M(f) jollain r > 0. Sanotaan, että luku a C on funktion f raja-arvo pisteessä z 0, merkitään lim z z 0 f(z) = a, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa luku δ = δ(ε,z 0 ), jolle f(z) a < ε aina, kun 0 < z z 0 < δ. Toisin sanoen f(z) D ε (a) aina, kun z D δ (z 0). Esimerkki 2.12. Tarkastellaan vakiofunktiota f(z) = a,a C. Olkoon z 0 C ja ε > 0. Nyt f(z) a = a a = 0 < ε aina, kun 0 < z z 0 < δ ja δ > 0 on mikä tahansa. Siis lim z z0 f(z) = a aina, kun z 0 C. Esimerkki 2.13. Tarkastellaan funktiota f(z) = z 2,z C. Osoitetaan, että Todistus. Olkoon ε > 0. Lasketaan ensin lim f(z) = z 2 z z 0 0. f(z) z 2 0 = z 2 z 2 0 = (z +z 0 )(z z 0 ) = z +z 0 z z 0. Riittää olettaa, että 0 < z z 0 < 1. Tällöin joten z +z 0 = (z z 0 )+2z 0 z z 0 +2 z 0 < 1+2 z 0, f(z) f(z 0 ) < (1+2 z 0 ) z z 0. ε Valitaan δ = min{1, } 1. Jos 0 < z z 1+2 z 0 0 < δ, niin f(z) z0 2 ε < (1+2 z 0 ) z z 0 < (1+2 z 0 ) 1+2 z 0 = ε. Esimerkki 2.14. Tarkastellaan funktion f(z) = z2 +1 z i, z i raja-arvoa, kun z i. Jos z i, niin kun z i. z 2 +1 z i = (z +i)(z i) z i = z +i i+i = 2i
21 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Kuten reaalifunktioille, myös kompleksifunktioille pätee seuraavat ominaisuudet. Lause 2.15. Jos lim z z0 f(z) = a ja lim z z0 g(z) = b, niin 1) a on yksikäsitteinen. 2) lim z z0 (f(z)±g(z)) = a±b. 3) lim z z0 f(z)g(z) = ab. f(z) 4) lim z z0 g(z) = a b jos b 0. 5) Jos f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y),z 0 = x 0 +iy 0 ja a = α+iβ, niin jos ja vain jos lim f(z) = a z z 0 lim u(x,y) = α ja lim (x,y) (x 0,y 0 ) v(x,y) = β. (x,y) (x 0,y 0 ) 6) lim z z0 f(z) = a. 7) lim z z0 f(z) = a. Määritelmä 2.16 (Yleinen määritelmä raja-arvolle; vertaa toispuoleiseen raja-arvoon R:ssä.). Olkoot A,B C,A,B ja f : A B. Olkoon z 0 cl(a) = A A. Sanotaan, että luku a on funktion f raja-arvo pisteessä z 0, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 jolle f(z) a < ε aina, kun 0 < z z 0 < δ,z A. Toisin sanoen f(d δ (z 0) A) D ε (a) B. 2.3 Jatkuvuus Määritelmä 2.17. Olkoonf määritelty joukossad r (z 0 ). Sanotaan, ettäf on jatkuva pisteessä z 0, jos lim z z 0 f(z) = f(z 0 ). Siis f on jatkuva pisteessä z 0, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ = δ(z 0,ε) > 0, jolle f(z) f(z 0 ) < ε aina, kun z z 0 < δ. Toisin sanoen f(d δ (z 0 )) D ε (f(z 0 )). Jos A M(f), niin f on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva kaikissa joukon A pisteissä.
Kompleksianalyysi I 22 Yleisemmin: Jos z 0 cl(a), niin f on jatkuva z 0 :ssa, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ > 0, jolle f(z) f(z 0 ) < ε aina, kun z A ja, kun z z 0 < δ. Toisin sanoen z A D δ (z 0 ). Esimerkki 2.18. Vakiofunktio f(z) = a, z C on jatkuva koko kompleksitasossa. Esimerkki 2.19. Funktio f(z) = z, z C on jatkuva koko kompleksitasossa. Esimerkki 2.20. Funktio f(z) = 1,z C\{0} on jatkuva joukossa C\{0}. z Todistus. Olkoon ε > 0 ja z C\{0}. Nyt 1 z 1 z 0 = z 0 z z z 0 = z z 0 z z 0. Koska z 0 0, niin z 0 > 0. Rajoitutaan joukkoon z z 0 < 1 2 z 0. Kolmioepäyhtälön nojalla z z 0 z z 0 < 1 2 z 0 eli Siten 1 2 z 0 < z z 0 < 1 2 z 0. z > z 0 1 2 z 0 = 1 2 z 0 eli eli 1 z < 2 z 0 1 z z 0 < 2 z 0 2. Valitaan δ = min{ z 0, z 0 2 ε} > 0. Jos nyt z z 2 2 0 < δ, niin 1 z 1 z 0 = 1 z z 0 z z 0 < 2 z 0 2 z z 0 < 2 z 0 2 z 0 2 2 ε = ε. Täten f on jatkuva pisteessä z 0. Lause 2.21. Oletetaan, että f ja g ovat jatkuvia pisteessä z 0 (tai joukossa A). Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä z 0 (joukossa A): 1) f ±g 2) fg
23 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista 3) f g, kun g(z 0) 0 (tai g(z) 0 kaikilla z A) 4) f, kun määritellään f(z) = f(z), z M(f) 5) f Huomautus. Jos A C on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin kohdan 5 nojalla f on jatkuva A:ssa. Siten f saavuttaa suurimman ja pienimmän (itseis)arvonsa A:ssa. Jatkuvuuden kanssa yhtäpitäviä ehtoja ovat: 1) f on jatkuva pisteessä z 0 M(f), jos ja vain jos jokaiselle jonolle (z n ) M(f) jolle z n z 0 pätee f(z n ) f(z 0 ). Seuraus: f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos f(cl(a)) cl(f(a)). 2) f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle V C on voimassa, että f 1 (V) on avoin A:ssa. Lause 2.22. Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä z 0 ja g on jatkuva pisteessä f(z 0 ). Tällöin g f on jatkuva pisteessä z 0. Esimerkki 2.23. Tunnetusti f(z) = z 2,z S[0,π[ on bijektio S[0,π[ C. Siten f 1 (z) = z, z C on olemassa. Nyt f(z) = z 2 on jatkuva C:ssä. Tarkastellaan funktion f 1 (z) jatkuvuutta tilanteessa Im( z) > 0. Olkoot w = z = a+ib,b > 0 (z mielivaltainen), ja w 0 = z 0 = a 0 +ib 0,b 0 > 0. Tällöin w 2 = z,w 2 0 = z 0 ja z z 0 = w 2 w 2 0 = (w+w 0 )(w w 0 ) = w +w 0 w w 0 b+b 0 z z 0 > b 0 z z 0. Siten z z 0 < 1 b 0 z z 0 eli z on jatkuva alueessa Im( z) > 0. Määritelmä 2.24 (Tasainen jatkuvuus). Olkoon A M(f). Sanotaan, että funktio f on tasaisesti jatkuva joukossa A, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ = δ(ε) > 0, että f(z) f(z 0 ) < ε aina, kun z,z 0 A ja z z 0 < δ. Voidaan osoittaa: Jos A on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin f on tasaisesti jatkuva joukossa A:ssa.
Kompleksianalyysi I 24 Esimerkki 2.25. Osoitetaan, että funktio f(z) = z 2 on tasaisesti jatkuva joukossa A = D 1 (0). Olkoon ε > 0. Nyt f(z) f(z 0 ) = z 2 z 2 0 = z +z 0 z z 0. Olkoon z,z 0 D 1 (0) eli z < 1, z 0 < 1. Tällöin z +z 0 z + z 0 < 1+1 = 2 eli f(z) f(z 0 ) < 2 z z 0. Valitaan δ = ε 2. Jos nyt z,z 0 A ja z z 0 < δ, niin f(z) f(z 0 ) < 2 ε 2 = ε. 2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) Määritelmä 2.26. Olkoot A C,A ja z 0 A. Funktiolla f : A C on derivaatta pisteessä z 0 ja merkitään derivaattaa f (z 0 ), jos raja-arvo f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = f (z 0 ) on olemassa. Merkitsemällä z z 0 = h C voidaan ehto kirjoittaa myös muodossa f f(z 0 +h) f(z 0 ) (z 0 ) = lim. h 0 h Jos on olemassa sellainen δ > 0, että f (z) on olemassa kaikissa pisteissä z D δ (z 0 ), niin f on analyyttinen pisteessä z 0. Huomautus. Koska yllä z 0 A, niin on olemassa sellainen r > 0, että D r (z 0 ) A. Siten z 0 +h A, jos h on tarpeeksi pieni. Esimerkki 2.27. Vakiofunktion f(z) = a,z C derivaatta on f (z) = 0 kaikilla z C. Tämä seuraa siitä, että f(z +h) f(z) lim h 0 h = lim h 0 a a h Esimerkki 2.28. Funktion f(z) = z, z C derivaatta on f (z) = lim h 0 f(z +h) f(z) h 0 = lim h 0 h = 0. = lim h 0 z +h z h = 1.
25 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Esimerkki 2.29. Olkoon f(z) = z,z C. Jos z 0 C, niin Koska lim h 0 h h f(z 0 +h) f(z 0 ) h = z 0 +h z 0 h = z 0 +h z 0 h ei ole olemassa, niin f ei ole derivoituva! = h h. Lause 2.30. Jos f on analyyttinen joukossa A M(f),A = A, niin tällöin f on jatkuva A:ssa. Todistus. Jos z 0 A, niin f(z) f(z 0 ) lim(f(z) f(z 0 )) = lim (z z 0 ) = f (z 0 ) 0 = 0. z z 0 z z0 z z 0 Huomautus. Jos funktio on jatkuva, niin se ei silti välttämättä ole derivoituva. Esimerkki 2.31. Funktio f(z) = z,z C on jatkuva C:ssä, mutta ei ole derivoituva. Lause 2.32. Olkoon f funktio, jolle f (z) on olemassa ja f (z) 0. Jos f:n käänteisfunktio on määritelty ja jatkuva eräässä pisteen w = f(z) δ-ympäristössä, niin silloin (f 1 ) (w) on olemassa, ja (f 1 ) (w) = Todistus. Koska f (z) on olemassa, niin 1 1 f (f 1 (w)) = 1 f (z). f(z +h) f(z) = f (z)h+hε(h), missä ε(h) 0, kun h 0. Jos w = f(z) eli z = f 1 (w) ja k on tarpeeksi pieni, niin w+k D δ (w). Tällöin, jos f 1 (w +k) = z +h, niin w+k = f(z +h). Siten k = f(z +h) w = f(z +h) f(z) 0, kun h 0, ja edelleen f 1 (w+k) f 1 (w) = z käänteisfunktion jatkuvuuden nojalla. Siis f 1 (w +k) f 1 (w) k kun h 0. = h f(z +h) f(z) = 1 f (z) = 1 f (f 1 (w)) 1 Tässä on ensin kirjoitettu ε(h) := (f(z +h) f(z))/h f (z). h f (z)h+hε(h) = 1 f (z)+ε(h)
Kompleksianalyysi I 26 Myös yhdistettyä funktiota f g koskeva ketjusääntö on voimassa. Esimerkki 2.33. Funktion f(z) = (f g) (z) = f (g(z))g (z) ( ) 2 z 1 f (z) = 3 z +1 ( ) 2 z 1 = 3 z +1 ( ) 3 z 1 derivaatta on ketjusäännön nojalla z +1 1 (z +1) 1 (z 1) (z +1) 2 2 1)2 = 6(z (z +1) 2 (z +1) 4. Huomautus. Vaikka f ja g eivät kumpikaan olisi derivoituvia pisteessä z 0, niin f g voi silti olla derivoituva pisteessä z 0. Esimerkki 2.34. Funktiot f(z) = g(z) = z eivät ole derivoituvia missään pisteessä, mutta (f g)(z) = z = z on derivoituva koko kompleksitasossa. 2.5 Cauchyn Riemannin yhtälöt Olkoon f : A C, jolle f = u+iv. Jos f (z),z A on olemassa, niin raja-arvo f(z +h) f(z) lim h 0 h on olemassa ja se on f (z),z A. Palautetaan mieleen joukkojen samaistus C M(f) = A = {x+iy : x+iy A} = {(x,y) R 2 : x+iy A}. Koska raja-arvo on (olemassa ollessaan) yksikäsitteinen, niin f (z) = lim h 0 f(z +h) f(z) h on sama riippumatta reitistä, jota pitkin kompleksiluku h lähestyy origoa.
27 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Tarkastellaan tapausta, kun h 0 reaaliakselia pitkin eli h = h + i0,h R. Olkoon z = x+iy A. Tällöin f f(z +h) f(z) (z) = lim h 0 h h R = lim h 0 h R f(x+h+iy) f(x+iy) = lim h 0 h h R [u(x+h,y)+iv(x+h,y)] u(x,y) iv(x,y) ( u(x+h,y) u(x,y) = lim h 0 h h R = u x (x,y)+iv x (x,y). h +i v(x+h,y) v(x,y) h Siis f (z) = u x (x,y)+iv x (x,y),z = x+iy eli lyhyemmin f = u x +iv x. Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, missä h 0 imaginääriakselia pitkin eli h = ik,k R. Olkoon z = x+iy A. Tällöin f(z +h) f(z) lim h 0 h h=ik u(x,y +k)+iv(x,y +k) u(x,y) iv(x,y) = lim k 0 ik ( ) 1 u(x,y +k) u(x,y) v(x,y +k) v(x,y) = lim +i k 0 i k k = 1 i [u y(x,y)+iv y (x,y)] = v y (x,y) iu y (x,y). Siis f (z) = v y (x,y) iu y (x,y) eli f = v y iu y. Nämä ovat samat eli f = u x +iv x = v y iu y, jos ) { ux = v y v x = u y A:ssa. Nämä ovat niin sanotut Cauchyn Riemannin yhtälöt. Olemme siis todistaneet seuraavan tuloksen. Lause 2.35. Olkoon f on analyyttinen alueessa A C,A ja f = u+iv. Tällöin u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt A:ssa. Tämä tulos pätee myös kääntäen seuraavassa muodossa. Lause 2.36. Oletetaan, että funktiot u,v : A R,A R 2,A = A ovat jatkuvasti derivoituvia, toisin sanoen u x,u y,v x,v y, ovat olemassa ja jatkuvia. Tällöin, jos u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt, niin f (z) on olemassa kaikilla z = x+iy A. Lisäksi f = u x +iv x.
Kompleksianalyysi I 28 Todistus. Koska u : A R on derivoituva pisteessä (x, y) A, niin u(x+k,y +l) = u(x,y)+u x (x,y)k +u y (x,y)l+ h ε 1 (h), missä h = (k,l) C, h = k 2 +l 2. Vastaavasti, v(x+k,y +l) = v(x,y)+v x (x,y)k +v y (x,y)l+ h ε 2 (h). Merkitään h = k + il. Olkoon z = x + iy A ja valitaan h niin, että z + h A. Tällöin f(z +h) f(z) = u(x+k,y +l)+iv(x+k,y +l) u(x,y) iv(x,y) = u(x+k,y +l) u(x,y)+i(v(x+k,y +l) v(x,y)) = u x (x,y)k +u y (x,y)l +i(v x (x,y)k +v y (x,y)l)+ h ε 1 (h)+i h ε 2 (h), missä ε 1 (h),ε 2 (h) 0, kun h = (k,l) (0,0). Merkitään ε 1 (h)+iε 2 (h) = ε(h) C. Koska funktiot u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt, niin Siten Nyt f(z +h) f(z) = u x (x,y)k v x (x,y)l+i(v x (x,y)k +u x (x,y)l)+ h ε(h) = (u x (x,y)+iv x (x,y))(k +il)+ h ε(h). f(z +h) f(z) h h h ε(h) = h h ε 1(h)+iε 2 (h) = = u x (x,y)+iv x (x,y)+ h h ε(h). ε 2 1(h)+ε 2 2(h). Koska ε 1 (h) 0 ja ε 2 (h) 0, niin ε 2 1(h) 0 ja ε 2 2(h) 0. Siten ε 2 1(h)+ε 2 2(h) 0, kun h 0. Näin ollen raja-arvo on olemassa. f(z +h) f(z) lim h 0 h = u x (x,y)+iv x (x,y) = f (z) Esimerkki 2.37. Olkoon f(z) = z 2,z C,z = x+iy. Tällöin f(x+iy) = x 2 y 2 + i2xy,(x,y) R 2. Tässä u(x,y) = x 2 y 2 ja v(x,y) = 2xy.
29 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Siten { u x (x,y) = 2x v y (x,y) = 2x ja { u y (x,y) = 2y v x (x,y) = 2y. Siis Cauchyn Riemannin yhtälöt toteutuvat. Lisäksi f (z) = u x (x,y) + iv x (x,y) = 2x+i2y = 2z. Huomautus (Laplacen yhtälö). Jos f = u + iv ja f on analyyttinen joukossa A C ja funktioilla u ja v on kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ja ne ovat jatkuvia, niin u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt A:ssa eli { u x = v y u y = v x. Tällöin u xx = v yx = v xy = u yy eli u xx +u yy = 0 joukossa A. Tämä on niin sanottu Laplacen yhtälö. Sanotaan, että u on harmoninen funktio. Vastaavasti myös v xx + v yy = 0 joukossa A. Huomautus. Jos C 1 ja C 2 ovat vakioita, niin yhtälöt u(x,y) = C 1 ja v(x,y) = C 2 määräävät R 2 :n käyrät. Nämä käyrät leikkaavat toisiaan kohtisuorasti. 2.6 Eräitä funktioita 2.6.1 Polynomifunktiot Funktiota p(z) = a 0 +a 1 z + +a n z n, z C, a 0,...,a n C sanotaan polynomiksi. Jos a n 0, niin polynomin p aste on n. Jos p(z 0 ) = 0, niin p(z) = (z z 0 )p 1 (z), missä p 1 on astetta n 1 oleva polynomi. 2.6.2 Rationaalifunktiot Funktiota r(z) = p 1(z) p 2 (z), z C,p 2(z) 0, missä p 1 ja p 2 ovat polynomeja sanotaan rationaalifunktioksi.
Kompleksianalyysi I 30 2.6.3 Juurifunktiot Olkoonf(z) = z m,z C,m = 2,3,4,... jas k = S[k 2π m,(k+1)2π [,k = 0,1,2,...,m m 1. Josw = z m jaw = r(cos(ϕ+k2π)+isin(ϕ+k2π)),ϕ [0,2π[, niin (vrt. Esimerkki 2.10) m ( w = m r cos ( ) ( ϕ+k2π ϕ+k2π +isin m m )), k = 0,1,2,...,m 1. Näin saadaan eri ratkaisu jokaisella k:n arvolla. Jos k = 0, saadaan pääarvo. Yleisesti voidaan asettaa: f k = f Sk, f 1 k : C S k, f k (S k ) = C ja 2.6.4 Eksponenttifunktio f 1 k (w) = m w S k. 1) Eksponenttifunktio voidaan määritellä jollakin seuraavista tavoista: f(z) = e z = k=0 z k ( k! = lim 1+ z n = e n n) x (cosy +isiny). 2) Jos z R, niin e z = e x+iy = e x (cos0 + isin0) = e x eli e z laajentaa tutun funktion e x käsitettä. 3) e z = e x (cosy +isiny) = e x cosy +isiny = e x > 0. Siten 0 / A(e z ). 4) Koska e z = e x+iy = e x e iy, niin tutusti 5) e z = e z kaikilla z C. e z 1 e z 2 = e x 1+x 2 e i(y 1+y 2 ) = e z 1+z 2. 6) Koska cos(y +k2π) = cosy ja sin(y +k2π) = siny kaikilla y R, niin e z+ik2π = e x+i(y+2kπ) = e x (cosy +isiny) = e z, z C,k Z. Siis e z on jaksollinen ja sen jakso on i2π. Erityisesti e z ei ole injektio C C. Osoitetaan, että f(c) = C\{0}, kun f(z) = e z. Osoitetaan, että f(t[0, 2π[) = C\{0}, missä T[0,2π[= {x+iy C : x,y R,0 y < 2π}
31 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista on jaksovyö. Yleisesti merkitään T k = T[2kπ,2(k +1)π[= {x+iy C : x,y R,2kπ y < 2(k +1)π}. Olkoon w C,w 0. Kirjoitetaan w = r(cosϕ+isinϕ), r > 0,0 ϕ < 2π. Jos nyt e z = e x e iy = w, niin e x = r ja ϕ = y +k2π. Jos siis z = lnr +iϕ, niin e z = w. Jokaiselta jaksovyöltä löytyy siis yksi sellainen z, että e z = w eli A(e z ) = C\{0}. Siis eksponenttifunktio saa kaikki muut kompleksiarvot paitsi nollan. 2.6.5 Logaritmi Tarkastellaan funktiota g = f T0, kun f(z) = e z. Edellä olevan nojalla g(t 0 ) = C\{0}. Lisäksi g on bijektio T 0 C\{0}, joten g 1 : C\{0} T 0 on olemassa. Tarkastellaan tätä käänteisfunktiota g 1. Olkoon f(z) = e z,z T 0,z = f 1 (w) eli w = e z. Tällöin asetetaan (vrt. edellä) missä w = w (cosϕ+isinϕ). Siis f 1 (w) = ln w +iϕ, f 1 (z) = ln z +iargz = Logz ja tätä sanotaan (luonnollisen) logaritmin päähaaraksi. Yleisesti, jos f k = f Tk,f k : T k C\{0}, niin f 1 k (z) = ln z +iargz +i2kπ = logz. Tämä on ns. k-haara. Tällaisia haaroja on ääretön määrä eli logz on monihaarainen funktio. Tarkastellaan vielä logaritmin derivaattaa. Jos f(z) = Logz ja g(z) = e z,z T 0, niin f = g 1 ja Lauseen 2.32 nojalla (g 1 ) 1 (z) = g (g 1 (z)) = 1 g(g 1 (z)) = 1 z, z 0. Siis f (z) = 1 z. Yleisesti: jos f(z) = logz = Logz + i2kπ, niin f (z) = 1 z. Kaikki (reaali)logaritmin laskusäännöt eivät kuitenkaan päde moniarvoisuuden takia.
Kompleksianalyysi I 32 2.6.6 Trigonometriset funktiot Koska e ix = cosx+isinx ja e ix = cosx isinx, niin ja cosx = eix +e ix 2 sinx = eix e ix 2i kaikilla x R. Asetetaan nyt määritelmät: R R cosz = eiz +e iz, z C 2 Edelleen: Ominaisuuksia: sinz = eiz e iz, z C. 2i tanz = sinz, cosz 0, cosz cotz = cosz, sinz 0. sinz 1) Jos z C, niin ( ) e sin 2 z +cos 2 iz e iz 2 e z = +( iz +e iz 2i 2 ) 2 = 1 4i 2(ei2z 2 1+e i2z )+ 1 4 (ei2z +2 1+e i2z ) = 1 (2+2) = 1. 4 2) sin(z 1 +z 2 ) = sinz 1 cosz 2 +cosz 1 sinz 2. 3) cos(z 1 +z 2 ) = cosz 1 cosz 2 sinz 1 sinz 2. 4) Sinin nollakohdat määrätään ratkaisemalla yhtälö eli sinz = eiz e iz 2i e iz e iz = 0. = 0
33 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Laventamalla tämä saadaan muotoon eli e 2iz 1 e iz = 0 e 2iz = 1 = e i(0+k2π), k Z. Täten 2z = k2π eli nollakohdat ovat z = kπ, k Z. Vastaavasti, jos ja vain jos z = π +kπ,k Z. 2 5) sin( z) = sinz ja cos( z) = cosz. 6) sinz = sinz ja cosz = cosz. cosz = eiz +e iz 2 7) Määrätään joukot {cosiy : y R} ja {siniy : y R}. Jos y R on mielivaltainen, niin cosiy = ei(iy) +e i(iy) = e y +e y = coshy. 2 2 Siten {cosiy : y R} = [1, [. Vastaavasti siniy = ei(iy) e i(iy) 2i = 0 = i ( ) ( ) e y e y e y e y = i = isinhy, i 2 2 joten {siniy : y R} = {iy y R} = Imaginääriakseli. 8) Derivaatat. Jos niin f (z) = ieiz ( i)e iz 2i Vastaavalla tavalla nähdään, että Funktion derivaatta on f (z) = f(z) = sinz = eiz e iz, 2i = eiz +e iz 2 d (cosz) = sinz, z C. dz f(z) = tanz = sinz cosz coszcosz ( sinz)sinz cos 2 z = cosz, z C. z π 2 +kπ = 1 cos 2 z = 1+tan2 z.
Kompleksianalyysi I 34 9) Käänteisfunktiot. Olkoon f(z) = sinz ja z = f 1 (w) = arcsinw. Siis Yhtäpitävästi eli w = sinz = eiz e iz. 2i 2iw = e iz e iz = e iz 1 e iz (e iz ) 2 2iwe iz 1 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla Siten eli e iz = 2iw + 4i 2 w 2 +4 2 = 2iw+2 1 w 2 2 iz = log(iw+ 1 w 2 ) z = 1 i log(iw+ 1 w 2 ), = iw + 1 w 2. missä logz = Logz +i2kπ. Siis f 1 (w) = arcsinw = ilog(iw+ 1 w 2 ). Tämä(kin) funktio on äärettömän morihaarainen funktio. Päähaaraksi sovitaan usein se haara, jolle arcsin0 = 0. Derivaatta on d dz (arcsinz) = 1 ( d i dz log(iz + 1 z )) 2 = 1 ( 1 )( i iz + 1 ) i+ 1 z 2 2 1 z ( 2z) 2 = 1 ( 1 )( i i iz + 1 z2 z ) 1 z 2 1 z 2 1 =, z ±1. 1 z 2 2.6.7 Hyperboliset funktiot Asetetaan sinhz = ez e z ja coshz = ez +e z, z C. 2 2 Esimerkki 2.38. 1) cosh 2 z sinh 2 z = 1.
35 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista 2) sinh(z 1 +z 2 ) = sinhz 1 coshz 2 +coshz 1 sinhz 2. Huomautus. Jos z C, niin määritelmien mukaan 1) sin(iz) = isinhz 2) cos(iz) = coshz. 2.6.8 Yleistetty potenssifunktio Jos a C on vakio, niin asetetaan z a = e alogz, kun z 0. Tässä logz = Logz +ik2π, missä edelleen Logz = ln z +iargz. Logaritmin vuoksi myös potenssifunktio on monihaarainen (moniarvoinen). Esimerkki 2.39. Lasketaan i i. Koska i = 1 (cos π 2 +isin π 2 ), niin Logi = ln i +iπ 2 = iπ/2. Siten i i = e ilogi = e i(logi+i2kπ) = e i(iπ 2 +i2kπ) = e π 2 k2π = e π 2 +k2π,k Z. 2.7 L Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle Lause 2.40. Oletetaan, että f ja g ovat analyyttisiä pisteessä z 0 ja f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0. Tällöin f(z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z). Todistus. Koska f ja g ovat analyyttisiä z 0 :ssa, niin (kuten aiemmin) ja f(z) = f(z 0 )+f (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 1 (z) g(z) = g(z 0 )+g (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 2 (z), missä ε 1 (z) 0 ja ε 2 (z) 0, kun z z 0. Siten f(z) g(z) = f(z 0)+f (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 1 (z) g(z 0 )+g (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 2 (z) = f (z 0 )+ε 1 (z) g (z 0 )+ε 2 (z) f (z 0 ) g (z 0 ), kun z z 0.
Kompleksianalyysi I 36
Luku 3 Käyräintegraali C:ssä 3.1 Kompleksitason käyristä Määritelmä 3.1. Olkoot x, y : [a, b] R (yhden reaalimuuttujan) funktioita. Tällöin joukko γ = {z C : z(t) = x(t)+iy(t), t [a,b]} on kompleksitason C suunnistettu käyrä. Luku z(a) on käyrän γ alkupiste, z(b) loppupiste ja [a, b] on käyrän parametriväli. Tämä on γ:n parametrimuotoinen esitys, eikä se ole yksikäsitteinen. Esimerkki 3.2. Olkoon käyrä parabelin osa γ = {z : z(t) = t+it 2,t [0,1]}. Tällöin γ:n alkupiste on z(0) = 0+i0 = 0 ja γ:n loppupiste z(1) = 1+i. Esimerkki 3.3. Käyrillä ja γ 1 = {z : z(t) = t+it 2,t [0,1]} γ 2 = {z : z(t) = t 2 +it 4,t [0,1]} on täsmälleen samat pisteet ja sama suunnistus. Tätä merkitään γ 1 = γ 2. Jos käyrillä γ 1 ja γ 2 on samat pisteet, mutta eri suunta, niin merkitään Olkoon γ 1 = γ 2. γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t [a,b]}. Tällöin käyrä γ voidaan esimerkiksi esittää muodossa γ = {z( t) : t [ b, a]}, jolloin käyrän γ alkupiste on z( ( b)) = z(b) = γ:n päätepiste. Vastaavasti käyrän γ päätepiste on z( ( a)) = z(a) = γ:n alkupiste. 37
Kompleksianalyysi I 38 Huomautus. Parametriväli [a, b] voidaan valita miksi tahansa väliksi [c, d] seuraavan päättelyn mukaan. Olkoon h : [c, d] [a, b] aidosti kasvava bijektio, {z(t) : t [a,b]} = γ ja {h(t) : t [c,d]} = [a,b]. Jos γ 1 = {z(h(t)) : t [c,d]}, niin γ 1 = γ. Jos puolestaam h : [c, d] [a, b] on aidosti vähenevä, niin {z(h(t)) : t [c,d]} = γ. Esimerkki 3.4. Olkoon h : [0,1] [0,1],h(t) = t 2 (kasvava) bijektio. Tällöin {z(h(t)) : t [0,1]} = {z(t) : t [0,1]}. Esimerkki 3.5. Jos h : [0,1] [0,1],h(t) = 1 t on (vähenevä) bijektio, niin {z(h(t)) : t [0,1]} = {z(t) : t [0,1]}. Huomautus. Pisteiden z 1,z 2 C välistä (suunnistettua) janaa merkitään γ [z1,z 2 ] = [z 1,z 2 ] = {z C : z = z 1 +t(z 2 z 1 ),t [0,1]}. Tällöin γ [z1,z 2 ] = {z C : z = z 1 +(1 t)(z 2 z 1 ),t [0,1]}. Määritelmä 3.6. Käyrä γ = {z(t) : t [a, b]} on sulkeutuva, jos z(a) = z(b). Esimerkki 3.7. Ympyrä γ = {z : z = r} = S r (0) voidaan esitää käyränä, kun z(t) = r(cost+isint)) = re it,t [0,2π] taiz(t) = re i2πt,t [0,1]. Yleisemmin,z 0 -keskinen r-säteinen ympyrä voidaan esittää käyränä γ = {z(t) : z = z 0 +re it,t [0,2π]} = S r (z 0 ). Käyrien yhdistäminen Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, joille γ 1 :sen loppupiste kuin γ 2 :sen alkupiste (suunnistus olemassa). Yhdistetty käyrä γ = γ 1 γ 2 voidaan parametrisoida esimerkiksi seuraavasti: Jos γ 1 = {z 1 (t) : t [0,1]}
39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä z(t) z 0 r Kuva 3.1: Ympyrän parametrisointi γ 1 γ 2 Kuva 3.2: Käyrien yhdistäminen ja γ 2 = {z 2 (t) : t [0,1]}, niin asettamalla h 1 (t) = 2t, t [0, 1 2 ], ja h 2 (t) = 2t 1, t [ 1 2,1] voidaan kirjoittaa missä z(t) = γ = {z(t) : t [0,1]}, { z 1 (h 1 (t)),t [0, 1 2 [ z 2 (h 2 (t)),t [ 1 2,1]. Tämä voidaan yleistää useammille käyrille eli γ = γ 1 γ 2 γ n.
Kompleksianalyysi I 40 Käyrän tangentti Jos niin derivaatta pisteessä z(t) on γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t [a,b]}, z (t) = x (t)+iy (t), jos x (t) ja y (t) ovat olemassa välillä t ]a,b[ ja toispuoleiset raja-arvot x +(a),x (b) sekä y +(a),y (b) ovat olemassa. Huomautus. Tärkeitä käyriä ovat: janat z 1,z 2 C,z 1 z 2 : [z 1,z 2 ] = {z : z(t) = z 1 +t(z 2 z 1 ),t [0,1]} ympyrät z 0 C,r R,r > 0: {z : z(t) = z 0 +re it,t [0,2π]} tai {z : z(t) = z 0 +re i2πt,t [0,1]}. Huomautus. Jos käyrä γ on sulkeutuva eikä leikkaa itseään, niin γ on niin sanottu Jordan käyrä. 3.2 Käyräintegraali Olkoon f funktio A C ja A C alue eli avoin ja polkuyhtenäinen joukko. Olkoon γ = {z(t) : t [a,b]} alueessa A sijaitseva säännöllinen käyrä. Oletetaan, että z (t) on olemassa välillä ]a,b[ ja toispuoleisena päätepisteissä, sekä z (t) 0 ja jatkuva. Oletetaan, että f on jatkuva käyrällä γ. Olkoon P = {a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b} välin [a,b] jako. Merkitään z k = z(t k ),t k P,k = 0,1,2,...,n. Yhdistämällä peräkkäiset pisteet z k 1 ja z k,k = 1,2,...,n janoilla saadaan murtoviiva. Tarkastellaan summalauseketta S P (f,{ξ k }) = n f(ξ k )(z k z k 1 ), k=1
41 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä missä ξ k = z(u k ) ja u k on jokin piste välillä [t k 1,t k ]. Nyt Väliarvolauseen nojalla ja z k z k 1 = (x(t k ) x(t k 1 ))+i(y(t k ) y(t k 1 )). missä r k,s k ]t k 1,t k [. Summalauseke tulee siten muotoon S P (f,{ξ k }) = x(t k ) x(t k 1 ) = x (r k )(t k t k 1 ) y(t k ) y(t k 1 ) = y (s k )(t k t k 1 ), n f(ξ k )(x (r k )+iy (s k ))(t k t k 1 ). k=1 Tämä summalauseke vastaa funktion f(z(t))z (t) Riemannin summaa yli välin [a,b] jaolla P. Merkitään h = max i t i t i 1 ja asetetaan lim S P(f,{ξ k }) = h 0 b Jos edellä f = u+iv,u,v : A R 2 R 2, niin γ f(z)dz = b a b = = a γ a f(z(t))z (t)dt = (u+iv)(x (t)+iy (t))dt b γ f(z)dz. [ux (t)dt vy (t)dt]+i [uy (t)dt+vx (t)dt] a (udx vdy)+i (udy +vdx). Esimerkki 3.8. Olkoon f(z) = z 2 ja γ jana [0,1+i]. Janan esitys käyränä on γ = {z : z(t) = 0+i0+t(1+i 0),t [0,1]} = {z : z(t) = t(1+i),t [0,1]}. Nyt x(t) = t ja y(t) = t sekä dz = (x (t)+iy (t))dt = (1+i)dt. Siten γ f(z)dz = = 1 0 1 0 f(z(t))z (t)dt = 2it 2 (1+i)dt = 1 0 1 0 γ [t(1+i)] 2 (1+i)dt = 1 (i2t 2 2t 2 )dt = 2 3 i 2 3. 0 (t 2 t 2 +2itt)(1+i)dt
Kompleksianalyysi I 42 Eräitä ominaisuuksia 1) (f(z)+g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz γ γ γ 2) 3) missä a C on vakio. γ γ af(z)dz = a f(z)dz, γ f(z)dz = f(z)dz γ Lause 3.9. Olkoon γ 1 = {z : z(t),t [a,b]} ja γ 2 = {z : z(h(s)),s [c,d]}, missä h : [c,d] [a,b] on jatkuvasti derivoituva, aidosti kasvava ja h (t) > 0. Tällöin f(z)dz = f(z)dz. γ 1 γ 2 Todistus. Nyt dz = d(z(h(s))) = z (h(s))h (s)ds, t = h(s),dt = h (s)ds. Siten d f(z)dz = f(z(h(s)))dz = f(z(h(s)))z (h(s))h (s)ds γ 2 γ 2 c b = f(z(t))z (t)dt = f(z)dz. a γ 1 Huomautus (Yhdistetyn käyrän integraali). Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, ja γ 1 :n loppupiste = γ 2 :n alkupiste. Jos yhdistetyn käyrän γ = γ 1 γ 2 integraali on olemassa, niin f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. γ γ 1 γ 2 γ 1 γ 2 Yleisemmin, jos γ = γ 1 γ 2 γ n, missä kukin γ i on säännöllinen, niin f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + + f(z)dz. γ γ 1 γ 2 γ n
43 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä Esimerkki 3.10. Olkoon f(z) = z, γ 1 = {z : z(t) = t+it 2,t [0,1]}, γ 2 = [1+i,0] = {z : z(t) = (1 t)+i(1 t),t [0,1]} ja γ = γ 1 γ 2. Integraali yli käyrän γ 1 on γ 1 zdz = 1 Vastaavasti integraali yli käyrän γ 2 on 0 (t it 2 )(1+i2t)dt = = 1+ i 3. 1 zdt = ((1 t) i(1 t))( 1 i)dt γ 2 0 [ 1 1 ] = (1+i) (1 t)dt i (1 t)dt 0 0 ( ) 1 = (1+i) 2 i1 = 1 2 2 (1+i)(1 i) = 1 2 = 1. 2 Siten integraali yli yhdistetyn käyrän γ on ( zdz = 1+ i ) +1 = 2+ i 3 3. γ Lause 3.11. Jos γ on paloittain säännöllinen käyrä ja jos f on jatkuva funktio, jolle f(z) M kaikilla z γ,m > 0 vakio, niin f(z)dz f(z) dz ML γ, missä L γ = b a x (t) 2 +y (t) 2 dt on käyrän γ pituus. γ γ Määritelmä 3.12. Olkoon A C alue ja f : A C jatkuva funktio. Jos on olemassa funktio F : A C, jolle F (z) = f(z) kaikilla z A, niin sanotaan, että F on funktion f integraalifunktio A:ssa. Huomautus. 1) Reaalitapauksesta tiedetään, että jos g : [a,b] R,g (t) = 0 kaikilla t ]a, b[, niin g(x) = g(a) = vakio kaikilla x [a, b]. 2) Olkoon f : A C,A alue, f (z) = 0 kaikilla z A. Tällöin f(z) = vakio kaikilla z A.
Kompleksianalyysi I 44 Todistus. Jos f (z) = 0 ja f = u+iv, niin u x (x,y) = v y (x,y) = 0 = u y (x,y) = v x (x,y) = 0. Täten u ja v ovat edellisen kohdan nojalla vakioita eli f on vakio. 3) Integraalifunktion määritelmä ei kerro kuinka se määrätään. Usein (alkeisfunktioiden tapauksessa) se kuitenkin löytyy kokeilemalla. Esimerkiksi, jos f(z) = 2z, niin tutusti F(z) = z 2. Integraalifunktion (mahdollinen) olemassaolo tarjoaa seuraavan lauseen kautta toisen tavan laskea käyräintegraaleja (vrt. reaalitapaukseen). Lause 3.13. Olkoon funktiolla f on integraalifunktio F alueessa A ja olkoon γ = {z(t) : t [a,b]} paloittain säännöllinen käyrä alueessa A. Tällöin f(z)dz = F(z(b)) F(z(a)). Todistus. Olkoon z = z(t) γ,t [a,b]. Koska niin γ f(z)dz = b a γ d dt (F(z(t))) = F (z(t))z (t) = f(z(t))z (t), f(z(t))z (t)dt = b a d(f(z(t))) = b af(z(t)) = F(z(b)) F(z(a)). Huomautus. Yllä olevan integraalin arvo ei riipu γ:sta muuten kuin päätepisteiden kautta. Jos erityisesti γ on sulkeutuva, niin integraali on 0. Esimerkki 3.14. Lasketaan vielä Esimerkin 3.8 integraali käyttämällä Lausetta 3.13. Nyt f(z) = z 2 ja siten F(z) = z 3 /3. Täten γ f(z)dz = F(1+i) F(0) = (1+i)3 3 eli todellakin saatiin sama arvo kuin edellä. = 1+3i+3i2 +i 3 3 = 2i 2 3
Hakemisto alue, 40 analyyttinen funktio, 24 argumentti, 6 arvojoukko, 17 avoin joukko, 9 avoin kiekko, 9 avoin sektori, 19 bijektio, 18 Cauchyn jono, 13 Cauchyn Riemannin yhtälöt, 27 De Moivren kaava, 7 derivaatta, 24 funktion kuvaaja, 17 funktion rajoittuma, 17 harmoninen funktio, 29 imaginääriosa, 3 imaginääriyksikko, 2 index, 17 injektio, 18 integraalifunktio, 43 itseinen suppeneminen, 14 itseisarvo, 4 jaksovyö, 31 jana, 38 jatkuva funktio, 21 jono, 12 jonon suppeneminen, 12 Jordan käyrä, 40 kasaantumispiste, 11 ketjusääntö, 26 kompakti joukko, 12 konveksi joukko, 12 kunta, 1 käyrän alkupiste, 37 käyrän loppupiste, 37 käyrän pituus, 43 käänteisfunktio, 19 liittoluku, 4 logaritmin päähaara, 31 monihaarainen funktio, 31 määritysjoukko, 17 napakoordinaattiesitys, 6 neljännes, 7 parametriväli, 37 polkuyhtenäinen, 12 polynomi, 29 polynomin aste, 29 punkteerattu kiekko, 9 pääarvo, 30 raja-arvo, 20 rajoitettu joukko, 12 rationaalifunktio, 29 reaaliosa, 3 reunapiste, 11 sarja, 14 sarjan hajaantuminen, 14 sarjan suppeneminen, 14 45
Kompleksianalyysi I 46 sisäpiste, 11 suljettu joukko, 10 suljettu kiekko, 9 suljettu sektori, 19 sulkeuma, 11 sulkeutuva käyrä, 38 suora, 8 surjektio, 18 suunnistettu käyrä, 37 tasainen jatkuvuus, 23 tiheä osajoukko, 11 ulkopiste, 11 virittäjävektori, 8 ympyrä, 5