Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen. b) Kolmio ei ole tasakylkinen. Kolmio on suorakulmainen, jos sen sivujen pituuksille pätee a + b c, missä c on kolmion pisimmän sivun pituus. 6 + 8 36 + 64 00 9 8 8 00 Kolmio ei ole suorakulmainen. c) Kolmiossa on kaksi yhtä suurta kulmaa, joten kolmio on tasakylkinen. Kolmion kolmas kulma on 80 45 45 90. Kolmio on myös suorakulmainen.
3. Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen. Piirretään kuva. Merkitään toista osaa kirjaimella x, jolloin toisen osan pituus on 5 x. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Kulmanpuolittaja jakaa siis sivun, jonka pituus on 5 suhteessa 8:. x 8 5 - x x 8(5 -x ) x 0-8x x+ 8x 0 0x 0 : 0 x 6 Osien pituudet ovat 6 ja 5 6 9.
4. Jatketaan kuvan 6 :n kulman oikean kyljen suuntaista puolisuoraa ja täydennetään kuvaan kulmat b ja g. Kulma b on samankohtainen kulman 6 kanssa ja koska suorat m ja n ovat yhdensuuntaiset, on myös b 6. Kulman b vieruskulman suuruus on 80 6 8. Kuvan kolmion kolmas kulma g on tällöin g 80 8 4 38. Kulma g on kulman a vieruskulma. a 80 38 4
5. a) V A 664 48 pohja h 3 3 b) Vaippa koostuu neljästä tasakylkisestä kolmiosta, joiden kanta on yhtä pitkä kuin pyramidin pohjaneliön sivun pituus, eli 6. Koska pyramidin korkeusjana on kohtisuorassa pohjaa vastaan, muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka toisen kateetin pituus on puolet pohjasärmän pituudesta. Tasakylkisen kolmion korkeus x voidaan ratkaista tämän suorakulmaisen kolmion avulla Pythagoraan lauseella. x 4 + 3 x 5 x 5 (tai x 5) Vaipan pinta-ala on A 4 6 5 60.
6. Piirretään kuva. Osoitetaan, että alkuperäinen pala DEC ja kolmion muotoinen osa ABC ovat yhdenmuotoisia. Kolmioissa DEC ja ABC on yhteinen kulma C. Kulmat D ja A ovat samankohtaiset ja janat DE ja AB yhdensuuntaiset, joten kulmat D ja A ovat yhtä suuret. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk). CD DE CA AB CD 90 50 50 60 3 CD 90 50 3 50 50 75 60 Koska kolmio ABC on tasakylkinen, on myös kolmio DEC tasakylkinen. Tällöin CE CD 75. Alkuperäisen palan sivujen pituudet ovat 75 cm, 75 cm ja 90 cm.
7. Kolmion kolmannen kulman suuruus on 80 75 60 45. Ratkaistaan sivun x pituus sinilauseen avulla. x 4 sin 45 sin 45 sin 60 x 4 sin 45 sin 60 x 4 4 8 3 3 6 4 6 3 6) 4 8 6 3 6 8. Piirretään mallikuva ja merkitään kulmanpuolittajien leikkauspistettä kirjaimella P. Kolmion kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Piste P jakaa kolmion BCD sivun BD suhteessa CB:CD, eli BP CB. PD CD Piste P jakaa kolmion ABD sivun BD suhteessa AB:AD, eli BP AB. PD AD Merkitään suhteet BP PD CB AB CD AD CB AD CD AB AB CD AD CB yhtä suuriksi.
9. Piirretään kuva poikkileikkauksesta. Merkitään kappaleiden pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Kartion korkeus on sama kuin puolipallon säde, eli pohjaympyrän säde r. 3 Kartion tilavuus on V kartio p r r p r. 3 3 3 3 3 Puolipallon tilavuus on V 4 puolipallo p r p r ( p r ) Vkartio. 3 3 3 Lieriön korkeus on sama kuin puolipallon säde, eli pohjaympyrän säde r. 3 3 Lieriön tilavuus on V lieriö p r r p r 3( p r ) 3 Vkartio. 3 Tilavuuksien suhde on ::3. 0. Piirretään kuva. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan kolmion korkeusjanan pituus suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. a ( ) h + a h a - a 4 3 h a 4 h 3 a (tai h- 3 a) Tasasivuisen kolmion pinta-ala on 3 a 3. A a h a a 4
APUVÄLINEET SALLITTU. a) Piirretään kuva. Koska neliön lävistäjät puolittavat toisensa, ympyrän keskipiste on neliön lävistäjien leikkauspisteessä. Neliö muodostuu neljästä yhtenevästä tasakylkisestä kolmiosta, joiden kylkien pituus on 0 cm ja huippukulma 360 90. 4 A 4 0,0 0,0 sin90 00,0 (cm ) Neliön pinta-ala on 00,0 cm. b) Ympyrän keskipiste on kuusikulmion lävistäjien leikkauspisteessä. Kuusikulmio muodostuu kuudesta yhtenevästä tasakylkisestä kolmiosta, joiden kylkien pituudet ovat 0,0 cm ja huippukulma on 360 60. 6 A 6 0,0 0,0 sin60 50 3 59,8...» 60 (cm ) Kuusikulmion pinta-ala on 60 cm.
. Säiliön pääty on ympyrä, jonka säde on 35 cm. 3 Säiliön tilavuus on V π35 40 538783,4...(cm) Turvakaukalon leveys on sama kuin päädyn halkaisija, 70 cm ja pituus sama kuin säiliön pituus, 40 cm. Merkitään kaukalon korkeutta kirjaimella h. 70 40 h 538783,4... 9800h 538783,4... : 9800 h 54,97... h» 55 (cm) Kaukalon tulee olla 55 cm korkea. 3. Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste. Piirretään kuva. Koska kolmio on tasasivuinen, on kulmanpuolittajien leikkauspiste samalla myös korkeusjanojen ja mediaanien leikkauspiste. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r ja kolmion sivua kirjaimella a.
Kulmanpuolittaja AD jakaa kolmion ABF sivun FB viereisten sivujen AF ja AB suhteessa. r a b a r b b r Ratkaistaan säde r kolmion sivun pituuden a avulla Pythagoraan lauseella. r + ( a) b r + ( a) ( r) r - 4r - a 4-3 r - a : (-3) 4 r a r a (tai r - a) Lasketaan ympyrän pinta-ala. A ympyrä p r p a p a Lasketaan kolmion pinta-ala. A 3 3 kolmio a a sin60 a a 4 p Aympyrä Pinta-alojen suhde on a p 0,604...» 60%. Akolmio 3 4 a 3 3 Ympyrän pinta-ala on 60 % kolmion pinta-alasta.
4. Jotta kolmion pinta-ala voidaan laskea, tarvitaan kolmion toisen sivun pituus. Täydennetään kuvaan kolmas kulma a ja toinen sivu x. Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmas kulma on a 80 60 40 80. Ratkaistaan sivun pituus x sinilauseen avulla. x sin 40 sin 40 sin80 x sin 40 sin80 x 7,83... x» 7,8 (m) Lasketaan kolmion pinta-ala. 7,83... sin 60 40,69... 4(m ) A» Kolmion pinta-ala on 4 m. 5. Yhdenmuotoisten kappaleiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A iso pieni ( ) 00 6,777... 75 9 Isomman kartion pinta on 78 % suurempi kuin pienemmän.
6. Määritetään tynnyrin korkeus h, kun tilavuus on 0 l 0 dm 3 0 000 cm 3. V p 8 h p 8 h 0 000 : p 8 0 000 h p 8 h 89,3... h» 89 (cm) Piirretään kuva pohjaympyrästä. Koska pohjaympyrän halkaisija on 56 cm, on säde 8 cm. Lasketaan sen segmentin pinta-ala, jonka tynnyrissä oleva vesi peittää tynnyrin päädystä. a 8 cm 3 cm 5 cm Lasketaan sektorin keskuskulman puolikkaan, kulman a, suuruus. cosa 5 8 a 57,6... Keskuskulma on a 5,. Segmentin pinta-ala on sektorin pinta-ala, josta vähennetään kolmion pinta-ala. A A - A segmentti sektori kolmio 5,... p 8-8 8 sin5,... 360 433,6... (cm ) Veden tilavuus on 3 V Asegmentti h 433, 6... 89,3... 3873, 6...» 39 000 (cm ). Tynnyrissä olevan veden tilavuus on 39 litraa.
7. Täydennetään kuvaan veneiden välinen etäisyys x, etäisyys AV a ja kulma e. Koska kolmion kulmien summa on 80, e 80 b g 80 4 0 9. Ratkaistaan sivun pituus a sinilauseella. a 80 sin g sin e a 80 sin0 sin0 sin 9 a 80 sin0 sin 9 a 55,06... Täydennetään lisäksi kuvaan etäisyys AV b ja kulma µ.
Ratkaistaan sivun pituus b sinilauseella. Kulma µ 80 a (g d) 80 6 (0 8 ) 5. b 80 sin( g - d ) sin µ b 80 sin 9 sin 9 sin 5 b 80 sin 9 sin 5 b 9,77... Ratkaistaan sivun x pituus kosinilauseella. x a + b ab cos(a b) x 55,06 + 9,77 55,06 9,77 cos(6 4 ) x 9985,8 x 73, (tai x 73, ) x 70 (m) Veneiden välinen etäisyys on 70 m.
8. Piirretään mallikuva. Tarkastellaan ensin lävistäjää AC. Koska lävistäjä AC puolittaa kulmat A ja C, on BAC CAD ja DCA ACB. Koska kolmioissa ABC ja ACD on kaksi yhtä suurta kulmaa, ovat ne yhdenmuotoiset (kk). Koska kolmioilla on lisäksi yhteinen sivu AC, ovat kolmiot yhtenevät (ksk). Yhtenevien kolmioiden vastinsivut ovat yhtä pitkät, eli AB AD ja CD CB. Tarkastellaan nelikulmion toista lävistäjää BD. Koska lävistäjä BD puolittaa kulmat D ja B, on DBA CBD ja ADB BDC. Koska kolmioissa ABD ja BCD on kaksi yhtä suurta kulmaa, ovat ne yhdenmuotoiset (kk). Koska kolmioilla on lisäksi yhteinen sivu DB ovat kolmiot yhtenevä (ksk). Yhtenevien kolmioiden vastinsivut ovat yhtä pitkät, joten AB CB ja AD CD. Nelikulmiolle on siis voimassa AB CB CD AD. Nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.
9. a) Ympyröiden keskipisteet ovat tasasivuisen kolmion kärkipistessä. Kolmion sivu pituus on. Ympäripiirretyn ympyrän m keskipiste on tasasivuisen kolmion korkeusjanojen (mediaanien, kulmanpuolittajien) leikkaus-pisteessä ja se kulkee korkeusjanan suuntaisen suoran ja pienen ympyrän leikkauspisteen kautta. b) Kolmion korkeusjana on kohtisuorassa sivua vastaan. Koska tasasivuisen kolmion korkeusjana on samalla myös kulmanpuolittaja, muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka toinen kateetti on pituudeltaan, hypotenuusa a ja toinen terävä kulma 30.
Ratkaistaan hypotenuusan pituus a. cos30 a a cos30 a 3 3 Ympyrän m säteen tarkka arvo on + a + 3. 3
0. Piirretään kuva dynaamisen matematiikan ohjelmalla ja tutkitaan asiaa erilaisilla kuusikulmioilla. Kulmien summa näyttäisi olevan 360. Tutkitaan kuusikulmiota BCDEFG. Piste A on ympyrän keskipiste. Kulma a on kaarta DEB vastaava kehäkulma. Samaa kaarta vastaava keskuskulma on kulma DAB. Näin ollen DAB a. Kulma b on kaarta DCF vastaava kehäkulma, joten FAD b. Kulma g on kaarta FEB vastaava kehäkulma, joten BAF g. Ympyrästä saadaan, että DAB + FAD + BAF 360 70 a + g + b 70 (a + b + g) 70 : a + b + g 360 Tulos pätee riippumatta siitä, miten kuusikulmion kulmat on valittu.