Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27
Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27
Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic motion) eli värähtelyä (oscillation) Keskitytään harmoniseen (harmonic) värähtelyyn Kappaleella stabiili tasapainoasema Tasapainoaseman ympärillä palauttava voima Kun kappaletta poikkeutetaan, voima pyrkii palauttamaan sen Kappaleella kineettistä energiaa ohittaa tasapainoaseman Voima tekee työtä kappaleen liikettä vastaan ja hidastaa sitä, kunnes liikesuunta vaihtuu Värähdysliike tasapainoaseman ympärillä x 0
Käsitteet Amplitudi (amplitude) A Siirtymän maksimiarvo Jaksonaika (period) T Yhteen värähdykseen kulunut aika Taajuus (frequency) f Värähdysten lukumäärä aikayksikössä f = 1 T Kulmataajuus (angular frequency) ω ω = 2πf
Käsitteitä Vaimennettu (damped) värähtely Jos kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi häviöllinen voima, värähdysliikkeen energia pienenee ajan funktiona Pakkovärähtely (forced/driven oscillation) Kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi ajan suhteen periodinen voima, joka pakottaa kappaleen värähtelemään omalla taajuudellaan Näistä tarkemmin seuraavalla luennolla 5 / 27
Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 6 / 27
Harmoninen värähtely Matemaattisesti yksinkertaisin värähtely Palauttava voima suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta Esim jousi F = kx = ma = m d 2 x dt 2 = d 2 x dt 2 + k m x = 0 Tämän toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on k > 0 = x = A cos ωt + B sin ωt Ratkaisussa kaksi vakiota A ja B, joiden määräämiseen tarvitaan kaksi alkuehtoa, esim tieto sijainnista ja nopeudesta jollain ajanhetkellä
Harmoninen värähtely Yhtälö voidaan esittää myös muodossa x = A cos(ωt + φ), koska A cos(ωt + φ) = A cos φ cos ωt A sin φ sin ωt = A cos ωt + B sin ωt Värähtelijän nopeus Kiihtyvyys Sijoitetaan liikeyhtälöön a = dv dt v = dx dt = Aω sin(ωt + φ) = Aω 2 cos(ωt + φ) = ω 2 x ω 2 x + k m x = 0 = ω = k m
Harmoninen värähtely Kulmanopeus ω määräytyy massasta ja jousivakiosta Lähtövaihe φ määräytyy kappaleen sijainnista kun t = 0 9 / 27
Amplitudin ja lähtövaiheen määritys Määritellään lähtövaihe ja amplitudi annetuista alkuarvoista Esim. annettu kappaleen siirtymä ja nopeus kun t = 0 x(t = 0) = x 0 = A cos φ Kun yhtälöt jaetaan keskenään, saadaan v(t = 0) = v 0 = ωa sin φ [ v 0 = ω tan φ = φ = arctan v ] 0 x 0 ωx 0 10 / 27
Amplitudin ja lähtövaiheen määritys Vastaavasti saadaan liikkeen amplitudi potenssiin korotuksella yhteenlaskemalla saadaan v 2 0 ω 2 = A2 sin 2 φ x 2 0 = A 2 cos 2 φ x 2 0 + v 2 0 ω 2 = A2 ( sin 2 φ + cos 2 φ ) = A 2 11 / 27
Harmonisen värähtelijän energia Harmonisen värähtelijän mekaaninen energia vakio jos ei ulkoisia voimia E = 1 2 mv 2 + 1 2 kx 2 = vakio Kohdassa x = A nopeus v = 0 = K = 0 E = 1 2 ka2 Toisaalta tasapainoasemassa x = 0 = U = 0 E = 1 2 mv 2 max 12 / 27
Harmonisen värähtelijän energia Sijoitetaan värähtelijän paikan ja nopeuden lausekkeet E = 1 2 m[ ωa sin (ωt + φ)]2 + 1 2 k[a cos (ωt + φ)]2 = 1 2 ka2[ sin 2 (ωt + φ) + cos 2 (ωt + φ) ] = missä k = mω 2 1 2 ka2
Nopeus paikan funktiona Kun amplitudi (tai kokonaisenergia) tunnetaan, saadaan energian säilymisyhtälöstä esimerkiksi nopeus paikan funktiona 1 2 mv 2 + 1 2 kx2 = 1 2 ka2 = v 2 = k m ( A 2 x 2) = ω 2 ( A 2 x 2) = v = ±ω A 2 x 2 14 / 27
Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 15 / 27
Jousi pystysuorassa
Pystysuora värähtely Pystysuoran jousen pituus vapaasti riippuvana on l Kun jousen varaan ripustettu massa m venyy jousi matkan l Systeemi on tällöin tasapainossa eli nettovoima on nolla F = k l mg = 0 = k l = mg Tasapainoasemassa x = 0 Poikkeutetaan massa etäisyydelle x tasapainoaseman yläpuolelle F = k ( l x) mg = kx Poikkeutetaan massa etäisyydelle x tasapainoaseman yläpuolelle F = k ( l x) mg = kx Vastaavasti etäisyydellä x voimien summa on kx
Pystysuoran värähtelyn kulmataajuus Tasapainoasemasta poikkeutettu massa harmonisessa värähdysliikkeessä Erona vaakasuoraan liikkeeseen: jousi jo tasapainoasemassaan venynyt k ω = m Jos massa jousen päällä, painuu jousi kasaan tasapainoasemassaan Massan liike on silti harmonista värähtelyä kulmataajuudella k ω = m 18 / 27
Kiertoheiluri Kiertoheiluria kierrettäessä siihen kohdistuu poikkeutuskulmaan verrannollinen vääntömomentti τ = κθ Verrannollisuusvakio κ on vääntöjousivakio (torsion constant) Kappaleen pyörimisliikkeen liikeyhtälö missä dl dt = τ L = Iω = I dθ dt
Kiertoheilurin kulmataajuus Kiertoheilurin liikeyhtälö on siis dl dt = I d 2 dt 2 θ = τ = κθ d 2 θ dt 2 + κ I θ = 0 Samanmuotoinen yhtälö kuin jousen tapauksessa Kiertoheilurin liikeyhtälön ratkaisu ja kulmataajuus θ = θ 0 cos (ωt + φ) ja ω = κ I 20 / 27
Matemaattinen heiluri Kappale heilahtelee massattoman langan varassa Maan vetovoiman aiheuttama palauttava voima on F T = mg sin θ mgθ Kappaleen tangentiaalikiihtyvyys on liikeyhtälö a T = Lα = L d 2 θ dt 2 ma T = ml d 2 θ dt 2 = F T = mgθ (kulma θ pieni) θ F t m g F r d 2 θ g
Matemaattisen heilurin kulmataajuus Harmonisen värähtelyn yhtälö, jossa värähtelykulmataajuus g ω = L Taajuus riippuu vain langan pituudesta, ei kappaleen massasta Yhtälö approksimaatio, mutta toimii hyvin jopa 15 heilahteluille virhe < 0.5% Yksinkertaista heiluria voidaan käyttää g:n mittaamiseen tai kellona
Fysikaalinen heiluri Fysikaalisella heilurilla (physical pendulum) on äärellinen koko Jäykkä kappale heilahtelee jonkin pisteensä O ympäri Painovoiman vaikutus redusoituu massakeskipisteeseen, jolloin painovoiman aiheuttama vääntömomentti O:n suhteen on τ = d w τ = mgd sin θˆk
Fysikaalisen heilurin liikeyhtälö Kun kulma θ pieni, vääntömomentti on Kappaleen liikeyhtälö on tällöin dl dt τ mgdθ = diω dt d 2 θ dt + mgd θ = 2 0 I mgd ω = I I on hitausmomentti heilahdusakselin suhteen = I d 2 θ = τ mgdθ = dt2
Lokaalit minimit ja niiden approksimointi paraabelilla Luonnossa monet voimat eivät riipu lineaarisesti siirtymästä Pienet siirtymät voidaan approksimoida harmonisella värähtelyllä Lokaalin minimin ympäristössä kaikki funktiot voidaan kehittää Taylorin kaavan f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) +... = a ± bx ±... Ensimmäinen siirtymästä riippuva termi on lineaarinen Joissakin tapauksissa kerroin b = 0 tai b on hyvin pieni Tällöin värähtely ei ole harmonista 25 / 27
Esimerkki: van der Waals -voima van der Waals -voimakentän potentiaalienergia voidaan lausua muodossa [ (R0 ) 12 ( ) ] [ 6 ( ) 12 ( ) ] 6 R0 r r U = U 0 2 = U 0 2 r r R 0 R 0
Esimerkki jatkuu: Atomin värähtely Jos atomin etäisyys tasapainoasemasta on pieni (x R 0 ) Potenssilausekkeet voidaan kirjoittaa binomikehitelmän (1 + u) n = 1 + nu +... (u 1) avulla F = 12 U ] 0 [1 13 xr0 1 + 7 xr0 = 72 U 0 R 0 R0 2 x Atomi värähtelee lähes harmonisesti, koska F kx, missä k = 72U 0 /R 2 0. 27 / 27