ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua välittömästi seuraa päätössolmu. Osoita, että jokainen päätöspuu on ekvivalentti jonkin matalan päätöspuun kanssa. (b) Päätöspuu on binäärinen, jos jokainen solmu (päätös tai sattuma), haarautuu täsmälleen kahdeksi alipuuksi. Osoita, että jokainen päätöspuu on ekvivalentti binäärisen päätöspuun kanssa. (c) Onko jokainen päätöspuu ekvivalentti jonkin päätöspuun kanssa, joka on sekä matala että binäärinen? (d) Esitä esimerkkien 3.1 ja 3.2 päätöspuut matalina päätöspuina. Ratkaisuehdotus: (a) Puu saadaan matalaksi iteroimalla muunnoksia a n1 a n 1 a n ja a n1 ja a n a nk a n ja a nk p 1 p 1 p n 1 p n1 p n p n1 p n p nk p n p nk (b) Puu saadaan binääriseksi iteroimalla (kohtaan (a) verrattuna käänteisiä) muunnoksia a 2 a 2 a n 1 ja a n 1 a n a n 1 tai a n a n 1
p 1 p 2 p 1 p 2 p n 1 p n 1 +p n p n 1 p n p n 1 + p n p n p n 1 +p n (c) Kyllä ja ei: kyllä mikäli dummy -tyyppiset päätökset ja sattumat sallitaan, ei mikäli jokaisen päätösen ja sattuman tulee olla aito. (d) Esimerkki 3.1: Ensimmainen paatos. Onko geologin raportti suotuisa? Porataanko? Onko öljyä On (0,5) Kyllä 4.690 On (0,8) Ei (0,2) 5.890 110 Palkataan geologi 2.590 4.690 Ei (0,5) Ei Kyllä 490 On (0,1) Ei (0,9) 10 5.890 110 2.600 Ei tehda mitaan Porataan suoraan 490 Ei 2.600 On (0,45) Ei (0,55) Esimerkki 3.2 menee samalla tavalla (emme esitä puuta tässä). 10 0 5.900 100 2. Colaco Oy valmistaa kasvisuutejuomia. Colaco harkitsee uuden suklaalla maustetun kasvisuutejuoman, Chocolan, markkinointia. Colacolla on kolme vaihtoehtoa: 1. Teettää markkinointitutkimus Chocolasta, ja sitten joko markkinoida tai olla markkinoimatta Chocolaa, riippuen tutkimuksen tuloksesta. 2. Markkinoida Chocolaa. 3. Olla markkinoimatta Chocolaa. Ilman markkinointitutkimusta Colaco arvioi, että Chocolalla on 55% todennäköisyys menestyä ja 45% todennäköisyys flopata. Jos Chocola menestyy, Colaco saa 300.000C voitot. Jos taas Chocola floppaa, Colaco kärsii 100.000C tappiot. Jos markkinointitukimus antaa suotuisan 2
tuloksen, niin Chocola menestyy markkinoilla 85% todennäköisyydellä. Markkinointitutkimus antaa suotuisan tuloksen 60% todennäköisyydellä. Jos taas markkinointitutkimus antaa epäsuotuisan tuloksen, niin Chocola menestyy 10% todennäköisyydellä. Markkinointitutkimus maksaa 30.000C. Mitä Colacon tulisi tehdä? Ratkaisuehdotus: Alla tilanteeseen liittyvä (riskineutraalisti) täytetty päätöspuu. Palkkiot ovat kiloeuroissa. Suotuisa (0,6) Markkinoidaan 210 Menestys (0,85) Floppi (0,15) 270 130 Teetetään tutk. 114 210 Epäsuot. (0,4) Ei markkinoida Markkinoidaan 90 Menestys (0,1) Floppi (0,9) 30 270 130 120 Ei markkinoida Markkinoidaan suoraan 30 Ei markkinoida 120 Menestys (0,55) Floppi (0,45) 30 0 300 100 Siten Colacon kannattaa markkinoida suoraan. 3. Douppausvalvontakomitean tulee päättää testataanko Narkomaan joukkue. Douppausvalvontakomitealla on käytössä testi, joka on 90% luotettava. Douppausvalvontakomitea arvioi, että keskimäärin 5% kaikista urheilijoista douppaa. Tilanteeseen liittyy kolmenlaisia kuluja: c 1 kulu, jos joukkuetta syytetään väärin douppauksesta, c 2 kulu, jos joukkueen douppausta ei huomata, c 3 kulu yksityisyyden loukkauksesta. (a) Olkoon kulut c 1 10, c 2 5 ja c 3 1. Tuleeko douppausvalvontakomiten testata Narkomaan joukkue? (b) Osoita että jos c 1 > c 2 > c 3, niin Narkomaan joukkuetta ei tule testata. 3
Tarkastelemme tilannetta aluksi yleisesti. Mer- Ratkaisuehdotus: kitään Nyt N joukkue douppaa, T positiivinen testitulos. P(N) 0,05, P(eiN) 0,95, P(T N) 0,9, P(eiT N) 0,1, P(T ein) 0,1, P(eiT ein) 0,9. Siten, kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavojen nojalla, P(T ) P(N)P(T N) + P(eiN)P(T ein) 0,05,9 + 0,95,0,1 0,140, P(N T ) P(N)P(T N) P(T ) 0,05 0,9 0,14 0,321, P(N eit ) P(N)P(eiT N) 1 P(T ) 0,05 0,1 1 0,14 0,006. Saamme siis päätöspuun (jossa minimoidaan, ei maksimoida) Positiivinen tulos (0,14) Joukkue douppaa (0,321) c 3 Tutkitaan 0,679c 1 + c 3 Negatiivinen tulos (0,86) 0,006c 2 + c 3 Joukkue ei douppaa (0,679) c1 +c 3 Joukkue douppaa (0,006) c 2 +c 3 Joukkue ei douppaa (0,994) c3 Ei tutkita 0,05c 2 Joukkue douppaa (0,05) Joukkue ei douppaa (0,95) c 2 0 4
(Yllä 0,095c 1 + 0,005c 2 + c 3.) Johtopäätös on, että tutkitaan jos ja vain jos 0,095c 1 + 0,005c 2 + c 3 < 0,05c 2, eli vähän sievennettynä (1) 0,095c 1 + c 3 < 0,045c 2, Väite (b) nähdään nyt välittömästi kaavasta (1), ja kohdan (b) nojalla vastaus kohtaan (a) on: ei testata. 4. (a) Kuinka paljon esimerkin 3.3 sijoittaja K.:n kannattaisi korkeintaan maksaa asiantuntijalle? (b) Kuinka paljon esimerkin 3.1 öljy-yhtiön kannattaisi korkeintaan maksaa oraakkelille, joka kertoo onko paikassa P öljyä vai ei? (c) Kuinka paljon esimerkin 3.2 pankin kannattaisi korkeintaan maksaa asiakastutkimuksesta? (d) Kuinka paljon esimerkin 3.2 pankin kannattaisi korkeintaan maksaa oraakkelille, joka kertoo pystyykö asiakas maksamaan lainansa takaisin vai ei? Ratkaisuehdotus: (a) Vastaus on annettu luentomuistiinpanoissa: 242 euroa. (b) Oraakkelipuun arvo on 0,45 5.900.000 2.655.000 euroa. Alkuperäisen puun arvo on 2.600.000. Siten oraakkelille kannattaa maksaa 2.655.000 2.600.000 55.000 euroa (c) Alipuun Asiakas tutkitaan arvo on 54.272 (hinnalla 500 euroa) ja alipuun Asiakasta ei tutkita arvo on 53.760. Siten asiakastutkimuksesta kannattaa maksaa korkeintaan 54.272 + 500 53.760 1.012 euroa. (d) Oraakkelipuun arvo on 0,04 53.000 + 0,96 56.000 55.880. Siten oraakkeli-informaation arvo on 55.880 53.760 2.120. 5. Omppukone Oy valmistaa liukuhihnalla muistipiirejä kymmenen piirin sarjoissa. Omppukone arvioi, että keskimäärin 80% sarjoista sisältää 10% viallisia piirejä ja 80% sarjoista sisältää 50% viallisia piirejä. Jos hyvä sarja (siis sellainen, jossa on vain 10% viallisia piirejä) lähetetään liukuhihnalla eteenpäin se tulee maksamaan prosessointikuluin.000c. Jos huono sarja (siis sellainen, jossa on 50% viallisia piirejä) lähetetään liukuhihnalla eteenpäin se tulee maksamaan prosessointikuluina 4.000C. Omppukone voi vaihtoehtoisesti korjata sarjan hinnall.000c. Korjattu sarja on automaattisesti hyvä sarja. Lisäksi Omppukone voi halutessaan 100C hinnalla testata täsmälleen yhden piirin sarjasta. 5
(a) Mitä Omppukoneen tulee tehdä? (b) Kuinka paljon Omppukoneen kannattaa korkeintaan maksaa piirin testaamisesta? (c) Kuinka paljon Omppukoneen kannattaa maksaa oraakkelille, joka ilmoittaa jokaisesta sarjasta, onko se hyvä sarja vai huono sarja? Huomautus: Tehtävässä oletetaan, että Omppukone voi testata täsmälleen yhden piirin sarjasta. Tilanne muuttuu paljon mielenkiintoisemmaksi (eli vaikeammaksi), jos Omppukone voi testata niin monta piiriä kuin haluaa, joko samanaikaisesti tai peräkkäin. Innokas opiskelija voi halutessaan ratkaista Omppukoneen ongelman tässä laajennetussa muodossa. Ratkaisuehdotus: Tehtävän annossa on nolo virhe: tämä tehtävä siirtyy (korjattuna) seuraaviin harjoituksiin. 6