orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y} : (ê 1, ê 2, ê 3 ) {x} inertiaalinen R on vakio {x}:ssä {y}:n akselit pyörivät {x}:ssä kulmanopeudella ω. r = R + r = R x î + R y ĵ + R z ˆk + r1 ê 1 + r 2 ê 2 + r 3 ê 3 Koska {y}:n origo pidetään paikallaan d r dt = d r dt = ṙ 1ê 1 + ṙ 2 ê 2 + ṙ 3 ê 3 + r 1 ê 1 + r 2 ê 2 + r 3 ê 3 Laskettava ê i :t.
Torstai 25.9.2014 2/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Oletetaan, että {y} on karteesinen koordinaatisto, tällöin ê i ê j = δ ij ê i ê i = 1 ê i ê i = 0 ê i ê i ê 1 = αê 2 + βê 3 ê 2 = γê 1 + δê 3 ê 3 = ɛê 1 + ϕê 2 ê 1 ê 2 = 0 ê 1 ê 2 + ê 1 ê 2 = 0 ê 1 (γê 1 + δê 3 ) + (αê 2 + βê 3 ) ê 2 = γ + α = 0 =γ =α ja vastaavasti β + ɛ = 0 = δ + ϕ. Merkitään α = ω 3, β = ω 2, δ = ω 1 ja ω = ω 1 ê 1 + ω 2 ê 2 + ω 3 ê 3. ê 1 = ω 3 ê 2 ω 2 ê 3 ê 2 = ω 3 ê 1 + ω 1 ê 3 ê i = ω ê i, i = 1, 2, 3 ê 3 = ω 2 ê 1 ω 1 ê 2 Esim. ω ê 1 = ê 1 ê 2 ê 3 ω 1 ω 2 ω 3 1 0 0 = ω 3ê 2 ω 2 ê 3 = ê 1
orstai 25.9.2014 3/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Saatiin siis pyörivän koordinaatiston yksikkövektoreille: ê i = ω ê i, i = 1, 2, 3 missä ω on {y}:n kulmanopeus mitattuna {x}:ssä. ω i :t ovat inertiaalikoordinaatistossa mitatun vektorin ω komponentit pyörivän koordinaatiston kannassa: ω = ω 1 ê 1 + ω 2 ê 2 + ω 3 ê 3. d r dt = ṙ 1ê 1 + ṙ 2 ê 2 + ṙ 3 ê 3 + r 1 ê 1 + r 2 ê 2 + r 3 ê 3 3 3 = ṙ i ê i + r i ω ê i = v + ω r y koordinaatiston suureita i=1 i=1 Tulos yleistyy mille tahansa vektorille A(t): Esim. A = ω: ( ω) x = ( ω) y + ω ω = ( ω) y ( ) ( ) d A dt = d A x dt + ω A. y eli koordinaatiston {y} kulmakiihtyvyys on sama molemmissa koordinaatistoissa mitattuna.
Torstai 25.9.2014 4/17 Liikeyhtälö Lisätään edellä johdettuun tulokseen vielä origoiden välinen liike. ( d r ) ( d = ) ( ) R d r + + ω r dt x dt dt x y Lasketaan kiihtyvyys: ( d 2 r ) ( d 2 ) R dt 2 = x dt 2 + x ( d 2 ) R = dt 2 + = ( d 2 R dt 2 x ) x + [ ( ) d + ω dt y ) ( d 2 r dt 2 ( d 2 r dt 2 + ω y ) + 2 ω y ] [ ( ) ] d r + ω r dt y ( ) d r + dt y ) ( d r dt + y ( ) d ( ω r) + ω ( ω r) dt y ( ) d ω r + ω ( ω r) dt y
orstai 25.9.2014 5/17 Liikeyhtälö Newton: F ( = m r = m d 2 r dt )x 2 Kirjoitetaan seuraavaksi liikeyhtälö {y}-koordinaatistossa, jossa se on muotoa: m r = F (oikea voima) + näennäisvoimat. ( m d2 r dt 2 = F d 2 ) R m dt 2 2m ω r m ω r m ω ( ω r) x md 2 R/dt 2 : Galilei-voima, joka johtuu koordinaatistojen suhteellisesta kiihtyvyydestä 2m ω r: Coriolis-voima, tärkeä ilmakehän ja merivirtojen liikkeissä m ω r: Eulerin voima, joka johtuu pyörimisliikkeen epätasaisuudesta ( ω 0) m ω ω r: keskipakoisvoima
Torstai 25.9.2014 6/17 Lagrangen funktio pyörivässä koordinaatistossa Oletetaan nyt, että {x}:n ja {y}:n origot yhtyvät: R = 0, koordinaatistot karteesisia, hidun massa m vakio. Matriisinotaatio: x = x 1 x 2 x 3, y = y 1 y 2 y 3 Muunnosmatriisi T ortogonaalinen, elementit (T ) ij ajan funktioita: x = T y T T T = I T 1 = T T y = T T x
Torstai 25.9.2014 7/17 Lagrangen funktio pyörivässä koordinaatistossa Olkoon seuraavaksi y 0 kiinteä {y}:n piste. Kun {y} kiertyy, niin silloin x = T y 0 ẋ = T y 0 Määritellään O s.e. ẋ = O x ja kirjoitetaan O = T Ω T T : ẋ = T Ω T T x = T Ω T } T {{ T } y 0 =I = T }{{ Ω } y 0 = T Koska T = T Ω Ω = T T T T T ẋ = Ω y 0 Ω kulmanopeusmatriisi 1 1 T T ẋ on {y}:ssä kiinteän pisteen nopeus {x}:ssä mitattuna ja {y}:n kannassa annettuna.
Torstai 25.9.2014 8/17 Lagrangen funktio pyörivässä koordinaatistossa Määriteltiin ortogonaalinen koordinaatistomuunnosta ja kulmanopeusmatriisi Ω = T T T. Kulmanopeusmatriisin ominaisuuksia: x = T y ; T T T = I Ω on antisymmetrinen: Ω = Ω T Todistus: Ω + Ω T = T T T + (T T T ) T = T T T + T T T = d ( ) T T T = İ = 0 dt Ω T Ω = (T T T ) T (T T T ) = T T T T T =I T = T T T
orstai 25.9.2014 9/17 Lagrangen funktio pyörivässä koordinaatistossa Lagrangen funktio {x}:ssä: L = 1 2 mẋt ẋ U(x), missä ẋ = T y + T ẏ. Entäs {y}:ssä? ẋ T ẋ = ( T y + T ẏ) T ( T y + T ẏ) = (y T T T + ẏ T T T ) ( T y + T ẏ) ẏ = y T T T T y + y T T } T {{ T } Ω T Ω } Ω {{ T } (ẏ T Ω y) T + ẏ T T T T y + ẏ T T } T {{ T } ẏ Ω I = ẏ T ẏ + 2ẏ T Ω y + (Ω y) T (Ω y) Joten Lagrangen funktioksi {y}:ssä tulee: L = 1 2 mẏt ẏ + mẏ T Ω y + 1 2 m(ω y)t (Ω y) U(T y)
orstai 25.9.2014 10/17 Palataan nyt vektorinotaatioon: Ω = Lagrangen yhtälöt 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 Nyt siis Ω y = ω y mistä seuraa Merkitään gradientteja: ja ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ) L = 1 2 m y 2 + m y ( ω y) + 1 2 m( ω y)2 U ( y) U(T y) = ê 1 + ê 2 + ê 3 ; v = ê 1 + ê 2 + ê 3 y 1 y 2 y 3 ẏ 1 ẏ 2 ẏ 3 L = L( y, y) dl = ( L) d y + ( v L) d y Lasketaan suoraan differentiaali (käytä myös A ( ω d y) = ( A ω) d y jne): dl =m y d y + md y ( ω y) + m y ( ω d y) + m( ω y) ( ω d y) ( U) d y = m( ω y) ω + m y ω U d y + m y + m ω y d y L v L
Torstai 25.9.2014 11/17 Lagrangen yhtälöt L = 1 2 m y 2 + m y ( ω y) + 1 2 m( ω y)2 U( y) L = m( ω y) ω + m y ω U v L = m y + m ω y d dt ( v L) = m y + m( ω y) + m( ω y) Lagrangen yhtälöt d ( v L) L = 0: dt m y = m( ω y) 2m( ω y) m ω ( ω y) U Eulerin voima Coriolis voima keskipakoisvoima Sama tulos kuin edellä (ilman Galilein voimaa m( R)x ). Entäs miten se saadaan otettua huomioon? Vektori ( R)x on annettu t:n funktio, joten voidaan suoraan määritellä potentiaali G = +m( R)x r: G = m( R)x ja siis L = L G.
Torstai 25.9.2014 12/17 Liikeyhtälö pyörivällä maapallolla Ei-inertiaalisen koordinaatiston {y} origo kiinteässä pisteessä Maan pinnalla. Inertiaalikoordinaatiston keskipiste on Maan keskipiste ( R)x = ω R ( R)x = ω ( ω R) Kulmanopeus ({y}:ssä) ω = ( ω cos θ, 0, ω sin θ) ω 0 Ei Eulerin voimaa, koska ol. ω(t) vakio m-massaisen hidun liikeyhtälö m r = F m ω ( ω R) 2m ω r m ω ( ω r) missä F sisältää kaikki ulkoiset voimat (kuten g:n).
Torstai 25.9.2014 13/17 Liikeyhtälö pyörivällä maapallolla m r = F m ω ( ω R) 2m ω r m ω ( ω r) Oletetaan lisäksi r R keskipakoisvoima Galilein voima. Galilein voima vakio ({y}:ssä), eli voidaan absorboida se F :ään pieni korjaus luotisuoran määritelmään. Eli liikeyhtälö sievenee muotoon m r = F 2m ω r + m g missä nyt m g sisältää gravitaation (ja Galilein voiman) ja F muut ulkoiset voimat. ω = ( ω cos θ, 0, ω sin θ) g = (0, 0, g) ω r ê 1 ê 2 ê 3 = ω cos θ 0 ω sin θ ẏ 1 ẏ 2 ẏ 3 = ( ω sin θẏ 2, ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3, ω cos θẏ 2 ) mÿ 1 = F 1 + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = F 2 2m(ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3 ) mÿ 3 = F 3 mg + 2mω cos θẏ 2
Torstai 25.9.2014 14/17 Esimerkki: Foucaltin heiluri Heiluri (ei tasossa): pituus l ja massa m. Todelliset voimat: gravitaatio langan jännitys Oletukset: pieni heilahduskulma 2.krtl termit kuten y i ẏ i 0 y 3:n oskillaatiot (toista krtl) jätetään huomiotta y 3 = 0 y i /l 1, i = 1, 2 Liikeyhtälöt mÿ 1 = T 1 + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = T 2 2m(ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3 ) mÿ 3 = T 3 mg + 2mω cos θẏ 2
orstai 25.9.2014 15/17 Esimerkki: Foucaltin heiluri Liikeyhtälöt mÿ 1 = T 1 + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = T 2 2m(ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3 ) mÿ 3 = T 3 mg + 2mω cos θẏ 2 3. komponentti T 3 mg 2mω cos θẏ 2 geometria: F 1,2 = y 1,2 T y 1,2 T l l 3 y 1,2 mg l { mÿ 1 = y 1 l mg + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = y 2 l mg 2mω sin θẏ 1 Merkitsemällä heilurin kulmataajuus α = g/l saadaan { ÿ 1 + α 2 y 1 = 2ω sin θẏ 2 ÿ 2 + α 2 y 2 = 2ω sin θẏ 1
orstai 25.9.2014 16/17 Esimerkki: Foucaultin heiluri { ÿ 1 + α 2 y 1 = 2ω sin θẏ 2 ÿ 2 + α 2 y 2 = 2ω sin θẏ 1 Harmonisen oskillaattorin yhtälö, jossa nopeudelle kohtisuora pakkovoima. y 1 - ja y 2 -oskillaatiot kytkeytyneet ratkeaa parhaiten C:ssä. Otetaan summa ed. yhtälöistä s.e. kerrotaan jälkimmäinen i:llä: (ÿ 1 + iÿ 2 ) + α 2 (y 1 + iy 2 ) = 2ωi(ẏ 1 + iẏ 2 ) sin θ u(t) ü + α 2 u = 2ωi sin θ u Käytetään yritettä u = e λt λ 2 + α 2 = 2ωi sin θλ λ = iω sin θ ± ω 2 sin 2 θ α 2 ±iα iω sin θ, α ω ( u = Ae iαt + Be iαt) iω sin θt e missä vakiot A, B määräytyvät alkuarvoista.
orstai 25.9.2014 17/17 Esimerkki: Foucaultin heiluri ( y 1 + iy 2 = u = Ae iαt + Be iαt) iω sin θt e α = g/l ω θ heilurin perusheilahdustaajuus Maan pyörähdystaajuus ripustuspaikan latitudi Jos hetkellä t = 0, y 1 = y 0 ja y 2 = 0 = ẏ 1 = ẏ 2, saadaan A + B = y 0 u(0) = i [A(α ω sin θ) B(α + ω sin θ)] = 0 A B y 0 /2, α ω u = y 0 cos αt [cos(ω sin θt) i sin(ω sin θt)] Tulos on tasoheiluri, jonka heilahdustaso kiertyy (myötäpäivään) kulmataajuudella ω sin θ. Helsinki: θ = 60 9 42 sin θ 0, 8674 Tähtien mukaan määritellyssä inertiaalikoordinaatistossa ω = 15, 041 h 1 eli täysi kierros kestää 27 h 35 min 33 s. ω sin θ = 13, 047 h 1