Ei-inertiaaliset koordinaatistot
|
|
- Heidi Martta Nurminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 5 Ei-inertiaaliset koorinaatistot Tähän asti olemme tarkastelleet erilaisia ongelmia inertiaalikoorinaatistossa. Aina tämä ei kuitenkaan kä päinsä, sillä tarkastelukoorinaatisto saattaa olla kiihtvässä liikkeessä mpäristönsä suhteen. Yksi tärkeä luokka ei-inertiaalisia koorinaatistoja ovat eri tavoin pörivät koorinaatistot, joihin tässä luvussa tutustutaan lähemmin. Tämä toimii mös johantona seuraavaan lukuun, jossa puolestaan tarkastellaan pöriviä kappaleita kuten hrriä. Jos ei-inertiaalisten koorinaatistojen sielunelämään haluaa perehtä svällisemmin, suositeltava kurssi joskus tulevaisuuessa on leinen suhteellisuusteoria. 5.1 Newtonin liikehtälö liikkuvissa koorinaatistoissa Tarkastellaan kahta jäkkää karteesista koorinaatistoa, joissa molemmissa kätetään samoja pituusksiköitä. Merkitään koorinaatistoja r = r+ R 1 {} = ( 1, 2, 3 ), {} = ( 1, 2, 3 ). 3 3 P r r R Kuva 5.1. {}- ja {}-koorinaatistot. Oletetaan {} inertiaaliseksi ja tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa {}:n origo on paikallaan pisteessä R koorinaatistossa {}, mutta koorinaattiakselit pörivät jonkin {}:ssä kiinteän akselin mpäri kulmanopeuella ω. Olkoon pisteen P paikkavektori {}:ssä r ja {}:ssä r (Kuva 5.1). Tällöin r = R + r. (5.1) Merkitään {}:n kantavektoreita {i, j, k} ja {}:n kantavektoreita {e 1, e 2, e 3 }. Nt tietenkin r = R i + R j + R z k + r 1 e 1 + r 2 e 2 + r 3 e 3. (5.2) 84
2 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 85 Koska {}:n origo on paikallaan, tulee nopeueksi r t = r t = ṙ 1e 1 + ṙ 2 e 2 + ṙ 3 e 3 + r 1 ė 1 + r 2 ė 2 + r 3 ė 3. (5.3) Nt pitää laskea kantavektoreien {e i } erivaatat (tätähän tehtiin jo tason napakoorinaateissa kurssin alussa). Tarkastellaan ksinkertaisuuen vuoksi karteesista koorinaatistoa, jolloin e i e j = δ ij. Koska e i e i = 1, on voimassa e i t e i = 0 eli kantavektori on kohtisuorassa aikaerivaattaansa vastaan. Tämän perusteella voiaan kirjoittaa htälörhmä t e 1 = α e 2 + β e 3 t e 2 = γ e 1 + δ e 3 (5.4) t e 3 = ε e 1 + ϕ e 2. Koska toisaalta e 1 e 2 = 0, saaaan ehto e 1 ė 2 + ė 1 e 2 = 0, josta seuraa γ + α = 0 sekä vastaavasti β + ε = 0 ja δ + ϕ = 0. Merkitsemällä α = ω 3, β = ω 2, δ = ω 1 lläoleva htälörhmä saa muoon t e 1 = ω 3 e 2 ω 2 e 3 t e 2 = ω 3 e 1 + ω 1 e 3 (5.5) t e 3 = ω 2 e 1 ω 1 e 2. Määritellään vektori ω = ω 1 e 1 + ω 2 e 2 + ω 3 e 3. Tällöin e 1 e 2 e 3 ω e 1 = ω 1 ω 2 ω = ω 3 e 2 ω 2 e 3 = t e 1 (5.6) ja vastaavasti ristituloille muien ksikkövektoreien kanssa eli t e i = ω e i ; (i = 1, 2, 3). (5.7) ω:n tulkinta on pörivän koorinaatiston kulmanopeus. Olemme siis saaneet tuloksen r t 3 3 = ṙ i e i + r i ė i i=1 = v + i=1 3 r i ω e i i=1 ( 3 ) = v + ω r i e i i=1 = v + ω r, (5.8)
3 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 86 missä v ja ω r on laskettu koorinaatistossa {}. Toisaalta r/t on sama kuin koorinaatistossa {} laskettu r /t. Tulos pätee mille tahansa vektorille A(t) eli ( ) A = t ( ) A + ω A. (5.9) t Sovelletataan tätä tulosta kulmakiihtven määrittämiseen ( ) ( ) ( ) ω ω ω = + ω ω =. (5.10) t t t eli kulmakiihtvs on sama katsottiinpa sitä kummasta koorinaatistosta tahansa. Annetaan lopuksi koorinaatiston {} origon liikkua koorinaatiston {} suhteen, jolloin ( ) ( ) ( ) r R r = + + ω r. (5.11) t t t Jotta tästä päästäisiin sitten tarkastelemaan voimien vaikutusta, tät vielä osata antaa kiihtvs 2 r /t 2 koorinaatiston {} suureien avulla. Derivaattaoperaattori on siis eellisen perusteella muotoa ( ) ( ) = + ω, t t joten ( 2 r ) t 2 = = ( 2 ) ( ( ) ) R r t t t ( ) ( ) r + ω + t t (ω r) + ω (ω r) ( 2 ) ( R 2 ) ( ) r ω t 2 + t 2 + r + t ( ) r + 2ω + ω (ω r). (5.12) t Kirjoitetaan sitten Newtonin liikehtälö m-massaisella hiukkaselle ( 2 ) R F = m t 2 + m 2 r + m( ω r) + t2 + 2m ω ṙ + m ω (ω r), (5.13) missä oikealta puolelta on jätett erikseen merkitsemättä, että suureet on laskettu (tai mitattu) {}-koorinaatistossa. Lauseke saattaa jonkun mielestä olla havainnollisempaa kirjoittaa järjestksessä m 2 r t 2 = F m ( 2 R t 2 ) m( ω r) + 2m ω ṙ m ω (ω r). (5.14) Näissä lausekkeissa F on oikea massapisteeseen vaikuttava ulkoinen voima. Ei-inertiaalisen koorinaatiston valinta on tuonut massan hitauesta johtuvia termejä. Tarkastellaan termejä vastaavia voimia ksitellen
4 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 87 Termi m 2 R/t 2 tulee koorinaatistojen origojen suhteellisesta liikkeestä ja on tietenkin nolla, jos liike on tasaista ja suoraviivaista. Tätä kutsutaan Galilein voimaksi. Hitausvoima m ω r johtuu pörimisliikkeen epätasaisuuesta (siis pörimisnopeuen erivaatasta), ei pörimisestä itsestään. Voima tunnetaan Eulerin voimana. Vaikka maapallo ei aivan tasaisesti pörikään, voima on maapallolla häviävän pieni. Hitausvoima 2m ω ṙ tunnetaan Coriolis-voimana. Se on tärkeä esimerkiksi ilmakehän liikkeissä ja siihen palataan möhemmin. Lopulta m ω (ω r) on tuttu keskipakoisvoima, joka prkii pörivässä koorinaatistossa hlkimään kappaletta poispäin pörimisakselilta. Huom. Nämä voimat eivät ole oikeita voimia vaan nimenomaan massan hitauesta johtuvia kiihtvässä koorinaatistossa havaittavia efektejä. 5.2 Muunnos pörivään koorinaatistoon Tarkastellaan seuraavaksi kuinka Lagrangen funktio muunnetaan inertiaalikoorinaatistosta pörivään koorinaatistoon. Oletetaan ksinkertaisuuen vuoksi, että koorinaatistojen origot eivät liiku toisiinsä nähen ja että molemmat koorinaatistot ovat karteesisia. Tarkasteltava kappale oletetaan eelleen vakiomassaiseksi (m) hiukkaseksi. Hiukkasen paikkaa kummassakin koorinaatistossa merkitään pstvektoreilla. = ; = Koorinaatistojen välillä vallitsee ortogonaalinen ajasta riippuva muunnos, jota kuvataan matriisilla T, jonka elementit ovat ajan funktioita. Tällöin eli T 1 = T T. = T T T T = I (5.15) Olkoon 0 jokin koorinaatiston {} kiinteä piste, joten kun {} kiert, hiun paikka {}:stä nähtnä muuntuu kuten josta erivoimalla tulee Määritellään matriisi O siten, että = T 0, (5.16) ẋ = T 0. (5.17) ẋ = O. (5.18)
5 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 88 Nt O voiaan antaa kulmanopeusmatriisin Ω avulla O = T Ω T T. (5.19) Huom. Tämä Ω ei ole sama asia kuin luvussa 4 esiintnt iagonaalinen ominaistaajuusmatriisi, jota mös merkittiin Ω:lla! Nt ẋ = T Ω T T = T Ω T T T 0 (5.20) = T Ω 0. Kättäen tulosta (5.17) saaaan Ω:n ja koorinaatistomuunnoksen välille htes T = T Ω Ω = T T T. (5.21) Laskemalla Ω + Ω T = T T T + (T T T ) T = t (T T T ) = İ = 0, joten Ω on antismmetrinen eli Samanlainen lht lasku antaa tuloksen = T T T + T T T Ω = Ω T. (5.22) Ω T Ω = T T T. (5.23) Kirjoitetaan seuraavaksi hiukkasen Lagrangen funktio koorinaatistossa {} (muista, että pistetulo matriisinotaatiossa on vaakavektorin ja pstvektorin tulo) Kättäen tulon erivoimissääntöä saaaan L = 1 2 mẋt ẋ U(). (5.24) ẋ = T + T ẏ, (5.25) joten pienellä laskutoimituksella saaaan nopeuen neliölle lauseke ẋ T ẋ = ( T + T ẏ) T ( T + T ẏ) = ( T T + ẏ T T T ) ( T + T ẏ) = ẏ T ẏ + 2ẏ T Ω + (Ω ) T (Ω ). (5.26) Lagrangen funktio koorinaatistossa {} on siis L = 1 2 m ẏt ẏ + m ẏ T Ω m(ω )T (Ω ) U(T ). (5.27) Palataan sitten matriisinotaatiosta takaisin tavanomaiseen vektorinotaatioon. Kirjoittamalla antismmetrinen matriisi Ω muoossa 0 ω 3 ω 2 Ω = ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0
6 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 89 ja kokoamalla sen komponenteista vektori ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ) nähään välittömästi, että Ω = ω. Niinpä Lagrangen funktio voiaan kirjoittaa muotoon L = 1 2 m ẏ2 + m ẏ (ω ) m(ω )2 U (), (5.28) missä U () = U(T ). Jätetään pilkku jatkossa pois, koska sillä ei ole merkitstä muoollisen tarkastelun kannalta. Lagrangen liikehtälöt johetaan samalla reseptillä kuin ennenkin. Tällä kertaa proseuuri on kuitenkin helpompi tehä alusta loppuun vektorinotaatiossa kuin komponentti komponentilta. Merkitään seuraavassa paikan suhteen otettua graienttia kuten tavallista = = ja vastaavasti nopeusgraienttia 1 e 1 + v = ẏ 2 e e 3 Lagrangen funktion muuttujat ovat ja ẏ, joten L:n kokonaisifferentiaaliksi tulee L = m ẏ ẏ + m(ω ) (ω ) + + m ẏ (ω ) + m ẏ (ω ) U. (5.29) Kättämällä vektori-ientiteettiä A (ω = (A ω), L:stä voiaan poimia L:n graientit (HT) v L = m ẏ + m(ω ) (5.30) L = m(ẏ ω) + m(ω ) ω U. (5.31) t ( vl) = m ÿ + m( ω ) + m(ω ẏ). (5.32) Liikehtälöksi tulee m ÿ = m( ω ) 2m(ω ẏ) m ω (ω ) U, (5.33) mikä on sama htälö kuin eellä johettu Newtonin liikehtälö (5.13) ilman Galilein voimatermiä, koska koorinaatistojen origojen ei oletettu liikkuvan toisiinsa nähen. Näin rakennettu Langrangen formalismi ei ole vielä aivan eleganteimmillaan, koska liikehtälössä on uusia voimatermejä. Osoittautuu, että hitausvoimat voiaan lausua sopivasti valittujen potentiaalien avulla siten, että saamme lopulta jälleen perus-lagrangen htälöt. Määritellään ensiksi nk. Scheringin potentiaali S = m ẏ (ω ) (5.34) S = m(ω ) ẏ + m(ẏ ω) (5.35)
7 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 90 v S = m(ω ) (5.36) S = m(ẏ ω) = m(ω ẏ). (5.37) t ( vs) = m( ω ) + m(ω ẏ). (5.38) Tällöin t ( vs) S = m( ω ) + 2m(ω ẏ). (5.39) Siis Scheringin potentiaalin avulla on saatu lausutuksi Eulerin ja Corioliksen voimat muoossa, joka voiaan suoraan upottaa Lagrangen htälöön. Jäljellä on vielä keskipakotermi. Suoralla laskulla nähään (HT), että se on puolestaan Z, missä Z = 1 2 m(ω )2. (5.40) Näin meillä on siis koossa Lagrangen htälöt t ( v L) L ( L ) ẏ t L = 0, (5.41) missä Lagrangen funktio on L = L + S + Z ja L = (1/2)mẏ 2 U. Lagrangen funktioon voi lisätä mös Galilein voiman, mutta kuinka se tapahtuu, jääköön omakohtaiseksi harjoitustehtäväksi. 5.3 Liike pörivällä maapallolla Koko planeettakunnan liike on esimerkkitapaus ei-inertiaalisesta liikkeestä. Tarkasteltaessa liikettä pörivällä maapallolla Maan vuotuinen liike Auringon mpäri ja pörimisliikkeen pienet epätasaisuuet voiaan lähes aina jättää huomiotta. Maan liike Auringon mpäri kllä sinänsä aiheuttaa merkittävän keskipakoiskiihtven. Rataliikkeestä johtuva keskipakoisvoima on kuitenkin keskimääräisesti erittäin tarkkaan tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa, sillä muutenhan Maa ei psisi raallaan. Useimpien mekaniikassa tarkasteltavien ilmiöien kannalta maapallo mös pörii varsin hitaasti. Pörimisliikkeen kulmanopeus on tietenkin ω = 2π/(24 t) = 7, s 1, mikä antaa keskipakoiskiihtveksi pallon pinnalla päiväntasaajalla ω 2 r = 3, ms 2. Tämä on vain noin 0,35 % Maan vetovoiman kiihtvestä. Vaikkakin pieni, tämä efekti ei ole aivan merkitksetön, sillä se samalla litistää maapalloa napojen suunnassa. Litistminen hessä keskipakoiskiihtven kanssa aiheuttaa sen, että Maan vetovoiman kiihtvs päiväntasaajalla on noin 0,53% pienempi kuin navoilla.
8 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT Coriolis-voima Pöriminen tuo mukanaan Coriolis-voiman 2m ω v, missä v = ṙ on tarkasteltavan massan nopeus pörivässä koorinaatistossa. Kuva 5.2. Sääkartta. Jokainen sääkarttaan joskus tutustunut tietää, että ilma kiertää matalapainetta pohjoisella pallonpuoliskolla lhäältä katsottuna vastapäivään (Kuva 5.2). Eteläisellä pallonpuoliskolla liike on päinvastaiseen suuntaan. Tämä on seurausta Coriolis-voimasta. Määritelmänsä mukaisesti Coriolis-kiihtvs on suurimmillaan 2ωv (1, s 1 ) v. Tarkastellaan tästä esimerkkinä Pohjoisnavalta horisontaalisesti ammuttua kuulaa. Coriolis-kiihtvs on tällöin a c = 2ωv, joten ammus poikkeutuu raaltaan ajassa t matkan 1 2 a ct 2 = ωvt 2. Kulmapoikkeamaksi tulee puolestaan θ = ωvt2 = ωt, vt mikä on tietenkin sama kuin maapallon kiertämä kulma ajassa t. Fsikaalisesti tämä merkitsee, että koska Pohjoisnapa itse ei kierrä maapalloa, niin ammus jatkaa suoraviivaista liikettään inertiaalikoorinaatistossa. Efekti on tietenkin pienempi laukaisupaikan ollessa jossain muualla. Suurten tkinammusten tulenjohossa ja ballististen ohjusten tapauksessa Coriolis-voima on kuitenkin otettava huomioon. Mitä suuremman skaalan ilmiöstä on kse, sitä merkittävämmäksi Coriolis-efekti tulee. Se on tärkeä varsinkin suurten ilma- tai merivirtausten kuten pasaatituulten ja Golf-virran tapauksessa. Näien lähempi tarkastelu vaatii termonamiikan ja virtausmekaniikan käsitteien (paine, lämpötila, viskositeetti, jne.) mukaanottamista. ω Otettakoon tässä esimerkiksi teoreetikon iealisaatio tasossa mpränmuotoisesta matalapaineen keskuksesta (Kuva 5.3). Mikäli mikään muu voima ei tilanteessa vaikuttaisi, virtaisi ilma paineen graientti- gra p voiman vaikutuksesta kohti matalapaineen Kuva 5.3. Matalapaine. keskusta ja matalapaine tättisi. Coriolis-voima kuitenkin poikkeuttaa ilman liikettä siten, että katsottaessa pohjoisella pallonpuoliskolla lhäältä päin ilma lähtee kiertämään matalapaineen keskusta vastapäivään. Poikkeutuma jatkuu niin pitkälle, että tuulen suuntavektori on paineen graientin tasa-arvokärän suuntainen, jolloin graienttivoima, Coriolis-voima ja ilman mpräliikkeeseen liittvä keskipakoisvoima tasapainottavat toisensa. Toellisuuessa tuuliin vaikuttaa mös ilmamoleklien välinen kitka, joka tekee virtauksesta pörteistä ja aiheuttaa viskositeettia. Tämä efekti estää tuulen suuntautumisen täsin kohtisuoraan painegraienttia vastaan, joten matalapaine tätt ajan mittaan. Ja tietenkin oikea ilmakehä on kolmiulotteinen, mikä on tietenkin olennaista sille, että matalapaineita lipäänsä muoostuu. (HT: Piirrä tätä selitstä vastaavat kuvat itsellesi.)
9 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT Liikehtälö Tarkastellaan lähemmin tilannetta, jossa ainoa liike on tasainen pörimisliike maapallon etelä-pohjois-akselin mpäri. Tämä akseli kiinnittää siis inertiaalikoorinaatiston, jonka suhteen maanpinnalle kiinnitett tarkastelukoorinaatisto pörii. Oletetaan lisäksi, että etäiss inertiaalikoorinaatiston origosta (maapallon keskipiste) maanpinnalla olevan koorinaatiston origoon R on vakio. Eellisen tarkastelun perusteella R = ω (ω R). Tällöin liikehtälöksi tarkastelukoorinaatistossa tulee m 2 r = F m ω (ω R) 2m ω ṙ m ω (ω r), (5.42) t2 missä F kuvaa kaikkia ulkoisia voimia, gravitaatio mukaanlukien. Tässä tilanteessa Eulerin voima on nolla (HT: miksi?). ω 3 ω 1 ω θ R θ 3 Kuva 5.4. Maaemo. ω ṙ = 1 e 1 e 2 e 3 ω 1 ω 2 ω 3 ẏ 1 ẏ 2 ẏ 3 = Tarkastellaan esimerkiksi levossa roikkuvaa luotinuoraa ṙ = 0. Koska r R, on htälön (5.42) viimeinen termi mitätön toiseen termiin verrattuna. Toinen termi taas aiheuttaa tarkastelukoorinaatistossa tasaisen kiihtven, joten sen vaikutus on vain korjata luotisuoran suuntaa hieman Maan keskipistettä kohti osoittavasta linjasta. Sen vaikutuksen voi melko hvällä tarkkuuella jättää huomiotta. Jos luotinuora laitetaan heilumaan, lauseke ω ṙ on e 1 e 2 e 3 ω cos θ 0 ω sin θ ẏ 1 ẏ 2 ẏ 3 missä θ on origoja histävän janan ja päiväntasaajan välinen kulma. Se on siis maantieteilijöien ja geofsikoien kättämä latitui, ei pallokoorinaatistoissa tavallisesti kätett napakulma eli kolatitui, joka kasvaa navalta ekvaattorille (Kuva 5.4). Merkitään ksikkövektorin e 3 suuntaan vaikuttavaa gravitaatiovoimaa mg ja ulkoisen voiman muita komponentteja F 1, F 2, F 3. Tällöin liikehtälön komponenteiksi tulee mÿ 1 = F 1 + 2mωẏ 2 sin θ, mÿ 2 = F 2 2mω(ẏ 1 sin θ + ẏ 3 cos θ) (5.43) mÿ 3 = F 3 mg + 2mωẏ 2 cos θ. Vapaasti putoava kappale Tarkastellaan esimerkkinä vapaasti putoavaa kappaletta (eellisissä liikehtälöissä siis F i = 0). Oletetaan, että liike lähtee levosta pistees-
10 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 93 tä (0, 0, 30 ). Vapaassa puotuksessa vertikaalinen kiihtvs on paljon suurempi kuin horisontaalinen kiihtvs, joten oletetaan ẏ 1 = 0 ja ẏ 2 = 0. Liikehtälön komponenteiksi tulee ÿ 1 = 0 (5.44) ÿ 2 = 2ω cos θ ẏ 3 (5.45) ÿ 3 = g. (5.46) Koska kappaleella ei olen nopeutta eikä kiihtvttä suuntaan 1, saaaan 1 = 0. Dervioimalla htälö (5.45) ajan suhteen ja kättämällä htälöä (5.46) saaaan 3 2 t 3 = 2ω cos θ 2 3 t 2 = 2ωg cos θ eli 2 = 1 3 ωg cos θ t3. Yhtälöstä (5.46) saaaan 3 = gt2 ja merkitsemällä puotuksen korkeutta z = 30 3 = 1 2 gt2 poikkeaman lausekkeeksi tulee 2 = 23/2 3 ω g cos θ z 3/2. (5.47) Jos kappale puotetaan päiväntasaajalla 100 m korkeuelta, Coriolisvoiman aiheuttama poikkeama on vain 2,2 cm. Täten pienikin tuuli, viskositeetin epätasaisuus, ms. tekee efektin havaitsemisen vaikeaksi. Lisäämällä puotuskorkeutta poikkeama kasvaa korkeutta nopeammin, mutta niin voimistuvat ja monimutkaistuvat toisaalta tuuletkin Foucault n heiluri 1 δ 3 l T m m g 2 Kuva 5.5. Foucault n heiluri. Liikehtälöt ovat siis Paljon havainnollisempi esimerkki Coriolisvoimasta on nk. Foucault n heiluri (Kuva 5.5). Olkoon heilurin varren pituus l ja massa m. Kuten aiemmin matemaattisen heilurin tapauksessa heiluriin vaikuttavat voimat ovat gravitaatio ja langan jännits T (siis siosvoima). Mielivaltaisella heilahuskulmalla ongelma on aika hankala. Oletetaan tässä heilahuskulma pieneksi, jolloin voiaan olettaa, että koorinaattien ja koorinaattinopeuksien toista ja sitä korkeampaa kertalukua olevat termit voiaan jättää huomiotta (siis esim. termit muotoa i ẏ j ), 3 :n oskillaatiot voiaan jättää kokonaan huomiotta eli 3 = ẏ 3 = ÿ 3 = 0, ja i /l 1, kun i = 1, 2. mÿ 1 = T 1 + 2mω sin θ ẏ 2 mÿ 2 = T 2 2mω(sin θ ẏ 1 + cos θ ẏ 3 ) (5.48) mÿ 3 = T 3 mg + 2mω cos θ ẏ 2.
11 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 94 Koska ÿ 3 = 0, antaa liikehtälön 3-komponentti suoraan jännitksen Koska heilahus oletetaan pieneksi, T = mg 2mωẏ 2 cos θ. (5.49) T i i l T i l T 3 i mg (i = 1, 2). l Sijoittamalla tämä liikehtälön kahteen ensimmäiseen komponenttiin saaaan htälöpari mÿ 1 = 1 l mg + 2mωẏ 2 sin θ (5.50) mÿ 2 = 2 l mg 2mωẏ 1 sin θ. Merkitään vielä tuttua heilurin kulmataajuutta α:lla: α 2 = g/l, jolloin htälöpari voiaan kirjoittaa muoossa ÿ 1 + α 2 1 = 2ωẏ 2 sin θ (5.51) ÿ 2 + α 2 2 = 2ωẏ 1 sin θ. Nämä nättävät harmonisen oskillaattorin liikehtälöiltä, joissa on mukana pakkovoima. Pakkovoima on verrannollinen heilahusta vastaan kohtisuoraan nopeuskomponenttiin. Siten siis - ja -tason oskillaatiot ovat ktketneet toisiinsa. Ratkaistavana on olennaisesti kaksiulotteinen ongelma, joka onnistuu kätevästi siirtmällä tarkastelemaan tilannetta kompleksitasossa. Siispä kerrotaan jälkimmäinen htälö i:llä ja lasketaan htälöt puolittain hteen: (ÿ 1 + iÿ 2 ) + α 2 ( 1 + i 2 ) = 2ωi(ẏ 1 + iẏ 2 ) sin θ. (5.52) Otetaan kättöön kompleksinen muuttuja u = 1 + i 2, jolloin saaaan ifferentiaalihtälö ü + α 2 u = 2iω u sin θ. (5.53) Tämä puolestaan nättää vaimennetun oskillaattorin htälöltä, joka ratkaistaan samalla menetelmällä kuin luvussa 4 eli tekemällä muotoa e λt oleva rite. Karakteristiseksi htälöksi tulee λ 2 + 2iωλ sin θ + α 2 = 0, (5.54) jonka ratkaisu on λ = iω sin θ ± ω 2 sin 2 θ α 2 (5.55) Koska heilurin taajuus on varmastikin paljon suurempi kuin maapallon pörimisliikkeen kulmanopeus tämä ksinkertaistuu muotoon Differentiaalihtälön ratkaisu on siis λ = iω sin θ ± iα. (5.56) u = (Ae iαt + Be iαt )e iωt sin θ. (5.57) Integroimisvakiot A ja B määrätvät heilurin alkuarvoista.
12 LUKU 5. EI-INERTIAALISET KOORDINAATISTOT 95 Tässä on hvä kerrata eri smbolien merkitkset: ω on maapallon pörimisliikkeen kulmanopeus, α = g/l on perusheilurin taajuus ja θ on heilurin ripustuspaikan latitui. Merkitsemällä u 0 = Ae iαt + Be iαt voiaan kirjoittaa u 0 = C 1 cos αt + ic 2 sin αt, missä C 1 = A + B ja C 2 = A B. Tämä kuvaa ellipsiä kompleksitasossa, jota voi siis ajatella ( 1, 2 )-tasona. Ellipsin isoakseli kiertää tekijän e iωt sin θ mukaisesti. Kiertoaika riippuu siis latituista. Jean Bernar Léon Foucault ( ) rakensi pitkävartisen heilurin 1850-luvun puolivälissä Pariisin Pantheoniin ja osoitti siten kiistattomasti, että maapallo pörii ulkoisen inertiaalikoorinaatiston suhteen. Sittemmin vastaavia on ripustettu tieemuseoihin mpäri maailmaa, mm. Heurekaan. (Ylimääräinen HT: Lue Umberto Econ romaani Foucault n heiluri.) Lasketaan esimerkiksi Heurekassa olevan Foucault n heilurin kiertoaika. Helsingin latitui on Maapallon pörimisnopeus on riittävällä tarkkuuella 360 /(24 h) = 15 /h. Oikeastaan tässä pitäisi kättää inertiaalikoorinaatistona tähtiä ja tähtiajassa laskettua vuorokautta, joka on hieman kalenterivuorokautta lhempi. Tällöin kulmanopeueksi tulee /h. Helsingin latituin sini on puolestaan , joten ω sin θ /h, joten täsi kierros kestää noin 27 h 35 min 33 s. Huomautettakoon vielä lopuksi, että eellä ei ole otettu huomioon jokaiseen oikeaan heiluriin liittviä kitkavoimia. Koska Coriolis-voima on niin heikko, kovin lhttä heiluria ei ole helppo rakentaa. Maailmanennäts on Hanin ja Finchin oppikirjan mukaan noin 15 cm (lieneekö mukana Guinnesin ennätsten kirjassa).
Ei-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotLiike pyörivällä maapallolla
Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
Lisätiedot8 Suhteellinen liike (Relative motion)
8 Suhteellinen liike (Relative motion) 8.1 Inertiaalikoordinaatistot (Inertial reference of frames) Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. Jos kappaleeseen ei vaikuta ulkoisia voimia, ei kappaleen liikemäärä
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotTykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori.
Tykillä ampuminen Mallinnettaessa heittoliikettä, kuten esimerkiksi tykillä ampumista, keskeisinä vaikuttavina tekijöinä ovat painovoima sekä ilmanvastuksen aiheuttama nopeuelle vastakkaissuuntainen voima.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
Lisätiedot4. RAJOITETTU 3 KAPPALEEN ONGELMA
4. RAJOITETTU KAPPALEEN ONGELMA Yleinen kappaleen liike 8>< R = Gm R = Gm R R R R + Gm R R R R + Gm R R R R R R R R > : R = Gm R R R R + Gm R R R R kpl vektorikomponenttia 9 toisen asteen diff. htälöä
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
Lisätiedot766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
LisätiedotKertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
LisätiedotDEE Tuulivoiman perusteet
DEE-53020 Tuulivoiman perusteet Aihepiiri 2 Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtoihin vaikuttavien voimien yhteisvaikutuksista syntyvät tuulet Globaalit ilmavirtaukset 1 VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
Lisätiedotd+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen
MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotSMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET
SMG-4500 Tuulivoima Toisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtoihin vaikuttavien voimien yhteisvaikutuksista syntyvät tuulet Globaalit ilmavirtaukset 1 VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
Lisätiedot6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA. 6.1 Pyörivistä kappaleista. Vaasan yliopiston julkaisuja Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa
Vaasan yliopiston julkaisuja 93 6 PISTETULON JA RISTITULON SOVELLUKSIA Ch:DotCross :RotatingBody sec:fmomspace 6.1 Pyörivistä kappaleista 6.1.1 Voiman momentti akselin suhteen avaruudessa Seuraavassa pohdiskelussa
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotToisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö
Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotN:n kappaleen systeemi
: kappalee ssteemi Tulokset voiaa leistää : kappalee ssteemille. Tällöi missä M = Rcm = m 1 1 +m 2 2 +... +m m 1 +m 2 +... +m = 1 M m, m o ssteemi kokoaismassa. Kokoaisliikemäärä ja -kieettie eergia ovat
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotSuoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot3 Raja-arvo ja jatkuvuus
3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Matemaatiikan historia Ratkaisut 6 / 2011
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Matemaatiikan historia Ratkaisut 6 / 011 1. Osoita oikeaksi Bombellin väite, että 4 + 1 on luvun 5 + 09 kuutiojuuri. (Mikä mies olikaan Bombelli?)
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
Lisätiedot