Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat lauseet sanallisesti: a) P Q b) R (P Q) c) R Q 2. Merkitään P := Sataa vettä., Q := Sataa lunta. ja R := Ottelu perutaan.. Kirjoita seuraavat kolme lausetta loogisin symbolein: a) Jos sataa vettä tai lunta, niin ottelu perutaan. b) Ottelu perutaan, jos sataa vettä, ja ottelu perutaan, jos sataa lunta. c) Jos ottelu perutaan, niin sataa vettä tai lunta. 3. Merkitään A := Minä ajattelen. ja B := Minä olen. Kirjoita seuraavat lauseet loogisin symbolein: a) Ajattelen, siis olen. b) Olen, koska ajattelen. c) Siitä että minä ajattelen seuraa se, että minä olen. 4. Kirjoita seuraavat lauseet sanallisesti, kun A ja B ovat kuten edellisessä tehtävässä. a) A B A b) A B c) (A B) ( A B) 5. Tutki totuusarvotaulukon avulla, mitkä tehtävän 2 lauseista ovat loogisesti ekvivalentteja. 1

6. a) Määritä lauseen ( P (P Q)) (P Q) totuusarvot. b) Osoita, että lause (P Q) ( P Q) on tautologia (de Morgan II). 7. Sievennä (eli esitä mahdollisimman lyhyesti) seuraavat lauseet: a) ((P R) Q) Q b) ((P R) Q) P 8. Tutki logiikan keinoin seuraavien päättelyjen johdonmukaisuutta: a) Jos elokuva on kiinnostava, menen katsomaan sen. Elokuva ei ole kiinnostava, jos siinä on avaruusolioita. Siis menen katsomaan elokuvan, jos siinä ei ole avaruusolioita. b) Jos Olli Opiskelija käy töissä, hän ei ehdi opiskella. Jos Olli opiskelee, hän ei reputa tentissä. Olli reputti tentissä, joten hän kävi töissä. 2

Loogisen ajattelun sovellutuksia Matematiikan mestariluokka, talvi 2010 Harjoitus 1b (23.1.2010) Olkoon meillä kaksi miestä, jotka ovat joko todenpuhujia (puhuvat aina totta) tai valehtelijoita (valehtelevat aina). Emme tiedä kumpaa tyyppiä kumpikaan on, ja tiedämme että esimerkiksi kysymys Oletko sinä valehtelija? ei auttaisi asian selvittämisessä; sekä todenpuhuja että valehtelija vastaisivat siihen En ole. Yleensä tämänlaiset logiikkatehtävät ratkaistaan ankaralla ajattelulla ja ahkeralla kädenheilutuksella; mutta koska yllä on käsitelty totuusarvoja niin ratkaistaan muutama tällainen tehtävä käyttäen niitä apuna. Pienen miettimisen jälkeen on selvää että esimerkiksi kysymys Onko sinulla nenä? tai muu jonka oikean vastauksen kysyjä tietää riittää sen selvittämiseksi onko kysymykseen vastaaja todenpuhuja vai valehtelija. (Oletetaan ko. henkilöiden olevan sellaisella älyllisellä tasolla että he esim. tietävät onko heillä nenä vai ei.) Päättelystä tulee haasteellisempaa silloin, kun se täytyy tehdä suppeamman tietomäärän nojalla. Annetaan ennen varsinaisia tehtäviä esimerkki tällaisesta päättelystä. Kysymys: Kahdesta henkilöstä, nimiltään A ja B, ensimmäinen sanoo: Me olemme molemmat valehtelijoita. Onko hän todenpuhuja vai valehtelija? Entä B? Vastaus: Me olemme molemmat valehtelijoita tarkoittaa B on valehtelija ja A on valehtelija, eli ( A) ( B). Kutsutaan tätä lausetta nimellä P ; ja kirjoitetaan totuusarvotaulukko kuten alla; sarakkeet A ja B tarkoittavat lauseita A on todenpuhuja ja B on todenpuhuja. P A B A B ( A) ( B) voiko A sanoa lauseen P? T T E ei, koska se ei ole totta ja A on todenpuhuja T ei, koska se ei ole totta ja A on todenpuhuja E T T kyllä; se ei ole totta ja A on valehtelija T T T ei, koska se on totta ja A on valehtelija Nähdään että on olemassa vain yksin todenpuhujien ja valehtelijoiden yhdistelmä jossa A voi sanoa lauseen P : nimittäin se, että hän on valehtelija, mutta B on todenpuhuja: tällöin lause P ei ole totta (koska A ja B eivät ole valehtelijoita, vaan vain A on), ja sen sanominen on hänelle, valehtelijalle, mahdollista. Seuraavissa tehtävissä oletetaan toistaiseksi että henkilöt (joilla on tässä reaalimaailman approksimaatiossa nimiä kuten A, B, C ja niin edelleen nämä ovat luultavasti etunimiä) ovat aina joko todenpuhujia tai valehtelijoita. 1. Kysyt henkilöltä A onko tämä todenpuhuja vai valehtelija; valitettavasti A vastaa yksikirjaimisnimisten henkilöiden kielellä jota sinä et ymmärrä. Vastaus kuitenkin oli joko todenpuhuja tai valehtelija. B tarkkailee hämmennystäsi hetken, ja sitten sanoo: A sanoi että hän on valehtelija. Onko B todenpuhuja vai valehtelija? Entä A? A B A sanoi että hän on valehtelija onko järkeä? T T E T 3

2. Ratkaise tilanne jossa A sanoo Joko minä olen valehtelija ja B on valehtelija; tai sitten me molemmat olemme todenpuhujia! ja B sanoo Minä en ole samaa sorttia kuin A. Huomaa että A:n lause on loogisin symbolein kirjoitettuna ( A B) (A B), ja B:n lause on (A B) ( A B). Merkitään A:n väitettä P := ( A B) (A B), ja B:n väitettä Q := (A B) ( A B). Muista että tarkoittaa looginen ja ja tarkoittaa looginen tai. 1 A B A B A B A B P A B A B Q T T E T 3. Mitä voi päätellä jos A sanoo että Joko minä olen valehtelija, tai sitten B on todenpuhuja? A B A A B T T E T 4. Henkilö A sanoo Jos minä olen todenpuhuja, niin minä syön hattuni! Syökö A hattunsa? (Tämä on itse asiassa täysin validi ja ratkeava matemaattinen tehtävä. Merkitään kirjaimella P lausetta A syö hattunsa, ja muistetaan luennoista miten implikaatio ( ) käyttäytyy totuusarvotaulukossa.) A P A P voiko A sanoa lauseen A P? jos voi, syökö hän hattunsa? T T E T 5. Käsittelyssä ovat taas henkilöt A ja B. Näistä A sanoo: Jos B on todenpuhuja, niin minä olen valehtelija. (Matematiikan ulkopuolella ihmiset harvemmin puhuvat näin.) Mitä A ja B ovat? P = A B B A voiko A sanoa lauseen P? T T E T 6. Entä jos B sanoo Joko minä olen valehtelija, tai minulla ei ole nenää. (Pidetään selvänä sitä että B:llä on nenä, ja hän tietää sen.) Olkoon P lause B:llä on nenä. Onko tässä tehtävässä mitään mieltä? Jos on, niin mitä B on, vai voiko sitä päätellä annetuista tiedoista? 1 Loogisen ja tavallisen tain ero on siinä että looginen A-tai-B tarkoittaa joko A, tai B, tai sitten molemmat ; tästä juontaa vanha matemaatikoiden vitsi Augustus de Morganista autokaupassa sanomassa Ostan sinisen auton tai punaisen auton, mutta en molempia! Ei-matemaattisilla ihmisillä ei ole tällaista ongelmaa. 4

B P B B P 7. Nyt paikalle kävelee henkilö C, joka lausuu näin: Minä olen todenpuhuja, jos ja vain jos kävin juuri Kreetalla. Onko C käynyt juuri Kreetalla vai ei? (Aloita väitteillä C := C on todenpuhuja ja P := C kävi juuri Kreetalla. Tutki tautologiaa C P.) 8. Olkoon käsiteltävänä nyt kahden sijasta kolme henkilöä: A, B ja C. Oletetaan että A sanoo: B on valehtelija, ja tämän jälkeen B sanoo A ja C ovat molemmat samaa tyyppiä (so. molemmat todenpuhujia tai molemmat valehtelijoita). Kumpaa tyyppiä C on? Rakenna taulukkoon tarvittavien välivaiheiden avulla B:n lause, ja sitten käytä annettuja tietoja sen päättelyyn mitkä vaihtoehdot (eli rivit) ovat mahdollisia. A B C T T T T T T E T T E T E 9. Mutkistetaan tilannetta. Koska pelkkien aina rehellisten ja aina vilpillisten ihmisten käsittely ei ole kovin realistista, otetaan mukaan kolmas ihmisjoukko, ns. normaalit ihmiset, jotka sattumanvaraisesti joko valehtelevat tai puhuvat totta. Henkilö A sanoo Minä olen valehtelija. Minkä tyypin henkilö A on? (Nyt taulukosta ei ole suurtakaan apua, vaan kutakin A:n kolmesta mahdollisesta identiteetistä täytyy tarkastella erikseen.) Jos A on todenpuhuja (ja puhuu totta), niin... Jos A on valehtelija (ja valehtelee), niin... Jos A on normaali ja puhuu totta, niin... Jos A on normaali ja valehtelee, niin... (Jos tahtoo lisää tällaisia tehtäviä tosin ilman totuusarvotaulukoita niin Raymond Smullyan on kirjoittanut monta logiikkaongelmakokoelmaa joista ainakin yksi, Mikä tämän kirjan nimi on? on suomennettu; julkaisija on Terra Cognita ja kirjan kolmas painos on vuodelta 2008 joten se on varmaankin vielä myynnissä. Osa näistä tehtävistä pohjautuu Smullyanin kirjan tehtäviin.) 5

Vastaukset Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitukset 1a (23.1.2010) 1. a) P Q: Elokuva on kiinnostava jos ja vain jos käyn katsomassa sen. (Yhtä oikea ja samaa tarkoittava mutta paremmalta kuulostava vastaus olisi Käyn katsomassa elokuvan jos ja vain jos se on kiinnostava. mutta suomen kielen estetiikka ei ole sama kuin matematiikan estetiikka.) Tai: Käyn katsomassa tarkalleen kiinnostavat elokuvat. b) R (P Q): Jos elokuvassa on avaruusolioita, niin elokuva on kiinnostava ja käyn katsomassa sen. c) R Q: Jos elokuvassa ei ole avaruusolioita, niin en käy katsomassa sitä. 2. a) Jos sataa vettä tai lunta, niin ottelu perutaan: (P Q) R b) Ottelu perutaan, jos sataa vettä, ja ottelu perutaan, jos sataa lunta: (P R) (Q R) c) Jos ottelu perutaan, niin sataa vettä tai lunta: R (P Q) 3. Vastaus kaikkiin kolmeen on A B. 4. Vastaus kaikkiin kolmeen on Minä olen jos ja vain jos minä ajattelen. Tämän ja edellisen tehtävän opetus on se, että kielenkääntäjän työ ei aina ole helppoa, etenkin jos kielet ovat niin kaukana toisistaan kuin suomi ja matematiikka. 5. Kirjoittamalla tarpeellisen monta välivaihetta päättelyn helpottamiseksi saadaan seuraava totuusarvotaulukko: a) b) c) P Q R P Q (P Q) R P R Q R (P R) (Q R) R (P Q) T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T E T T T T T T T T E T T T T T T T T T T Taulukosta nähdään, että kohtien a) ja b) lauseet ovat loogisesti ekvivalentteja (totuusarvoiltaan samoja), mutta kohdan c) lause ei ole aivan järkeenkäyvästi ekvivalentti kummankaan muun kanssa. 6. a) Lauseen ( P (P Q)) (P Q) totuusarvot määritetään seuraavasti. Merkitään ekvivalenssin ( ) vasenta puolta eli lauseketta ( P (P Q)) kirjaimella V ja sen oikeaa puolta lauseketta (P Q) kirjaimella O. Totuusarvotaulukosta tulee seuraavan näköinen: V O V O P Q P P Q P (P Q) Q P Q (P Q) T T T T E T T T E T T T T T 6

Annetun lauseen totuusarvot kaikilla atomilauseiden P ja Q totuusarvoyhdistelmillä näkyvät taulukon viimeisestä sarakkeesta; se on tosi ainoastaan kun ne molemmat ovat epätosia. b) Osoitetaan, että lause (P Q) ( P Q) on tautologia (de Morgan II), eli että lauseke on aina tosi. Merkitään taas ekvivalenssin vasenta puolta V ja oikeaa O. Muodostetaan totuusarvotaulukko: V O V O P Q P Q (P Q) P Q P Q T T T T T T T T E T T T E T T T T T Viimeinen sarake näyttää tautologian. 7. Sievennetään. Ratkaisu. Mekaaninen ratkaisu olisi muodostaa lausekkeiden totuusarvotaulukot ja koettaa keksiä sopiva yksinkertainen lauseke, jolla on samat totuusarvot. Tämä on kuitenkin yleismenetelmäksi hyvin epävarma; sopivaa sievää muotoa voi olla hankala keksiä, jos se ei esiinny taulukossa. (Näin tehtiin tavallaan edellisen tehtävän b)-kohdassa, jossa näytettiin että tautologian vasemman puolen voi sieventää sen oikeaksi puoleksi.) Tehdään siis tässä toisin, käytetään sopivia muunnoskaavoja (ja toivotaan parasta). Kunkin ekvivalenssiuden kohdalla on annettu Lauseen 1.2.3 käytetty kohta. a) Käytetään kahdesti muunnoskaavaa 12: (P Q) P Q, sitten de Morganin kaavaa I etc: ((P R) Q) Q ( (P R) Q) Q 12 ( (P R) Q) Q 12 ((P R) Q) Q 7 Q ((P R) Q) 1 Q ( Q (P R)) 2 Q. Tehtävä 1.2.8 Luentotehtävänä 1.2.8 on todistettu, että P (P Q) P ja P (P Q) P. b) Liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta sopivasti käyttäen: ((P R) Q) P P (P (R Q)) 2 P (P (Q R)) 2 (P P ) (Q R) 4 P (Q R) P P P P Q R. 4 missä on käytetty liitännäisyyden antamaa mahdollisuutta sulkujen poistoon. 8. Tutkitaan logiikan keinoin seuraavien päättelyjen johdonmukaisuutta: a) Jos elokuva on kiinnostava, menen katsomaan sen. Elokuva ei ole kiinnostava, jos siinä on avaruusolioita. Siis menen katsomaan elokuvan, jos siinä ei ole avaruusolioita. Käytetään tehtävän 1 merkintöjä, eli: P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., 7

R := Elokuvassa on avaruusolioita.. A 1 : P Q A 2 : R P B: R Q Päättelyn (A 1 A 2 ) B totuusarvotaulukko: A 1 A 2 A 1 A 2 B (A 1 A 2 ) B P Q R P Q P R P R R Q T T T T T T T T T T T T T E T T T T E T T T T T T T E T T T T T T T T T T T T T E T T T T T Määritelmän mukaan päättely on johdonmukainen jos ja vain jos päättelylause (A 1 A 2 ) B on tautologia. Näin ei tässä ole, koska viimeisellä rivillä on epätosi. Toinen tapa tutkia oli määritelmästä johdettu oikotie : Viimeisellä rivillä on epätoivottu tilanne, premissit ovat tosia ja johtopäätös epätosi. Päättely ei siis ole johdonmukainen. b) Jos Olli Opiskelija käy töissä, hän ei ehdi opiskella. Jos Olli opiskelee, hän ei reputa tentissä. Olli reputti tentissä, joten hän kävi töissä. Merkitään P := Olli käy töissä. Q := Olli opiskelee. R := Olli repuuttaa tentissä. Tällöin päättely on muotoa A 1 : P Q A 2 : Q R A 3 : R B: P Totuusarvotaulukko näillä lausekkeille on seuraava: A 3 A 1 A 2 B P Q R Q P Q R Q R P T T T T T T E T T T T T T T T T T T T T E T T E E T T T T T E T T T Seitsemännellä rivillä premissit ovat tosia mutta johtopäätös on epätosi päättely ei ole loogista, ja Olli Opiskelijalla ei ole syytä masentua! (Jälkimmäinen ei loogisesti seuraa tehdystä päättelystä.) 8

Vastaukset Matematiikan mestariluokka, talvi 2010 Harjoitukset 1b (23.1.2010) 1. Olkoon P lause A sanoi olevansa valehtelija ; sen totuusarvon voi päätellä siitä onko näin väittänyt B valehtelija vai ei. (Tämä on tietyssä määrin asian vääntämistä rautalangasta, koska lauseilla B ja P on samat totuusarvot.) A B P onko järkeä? T T T ei voi olla; todenpuhuja ei sano itseään valehtelijaksi T tällöin A sanoi olevansa todenpuhuja; ja niin todenpuhuja sanoisi koska se on totta. E T T ei voi olla; valehtelija ei sano itseään valehtelijaksi (koska se olisi totta) E tällöin A sanoi olevansa todenpuhuja; ja niin valehtelija sanoisi koska se ei ole totta. Eli: Jäljelle jää kaksi vaihtoehtoa (2. ja 4. rivi) jotka molemmat käyvät tilanteeseen. Koska kummassakin tapauksessa B on valehtelija, tiedetään että näin on vaihtoehdosta riippumatta eli aina. Sitä mikä A on ei voi näillä tiedoilla selvittää. 2. Merkitään A:n väitettä P := ( A B) (A B), ja B:n väitettä Q := (A B) ( A B). Totuusarvotaulukosta tulee seuraavan näköinen: A B A B A B A B P A B A B Q T T E T T E T T E T E T T E T T T T T E Etsitään taulukosta sellaiset rivit jolla A:n ja P :n totuusarvot ovat samat, eli tapaukset jossa A:n todenpuhujuus/valehtelijuus ja tämän sanoman lauseen totuusarvo käyvät yhteen. Tällaisia ovat 1. ja 3. rivi. Etsitään rivit joilla B:n ja Q:n totuusarvot ovat samat; tällaisia ovat 3. ja 4. rivi. Näistä ainoa yhteinen on 3. rivi (A on valehtelija; B on todenpuhuja), joten se on ainoa todenpuhujien ja valehtelijoiden yhdistelmä joka voi loogisen mielekkäästi sanoa tehtävän lauseet, ja näin ollen tehtävän vastaus. 3. Totuusarvotaulukko: A B A A B tulos T T käy; todenpuhuja puhuu totta T E ei; todenpuhuja valehtelee E T T T ei; valehtelija puhuu totta T T ei; valehteluija puhuu totta Voi päätellä sen, että sekä A että B ovat todenpuhujia. Väite Joko minä olen valehtelija, tai sitten B on todenpuhuja on siinä mielessä perustavanlaatuisen kiero, että ei todenpuhuja eikä valehtelijakaan ikinä sano itseään valehtelijaksi todenpuhuja siksi että se olisi vale, ja valehtelija siksi että se olisi totta. 4. Totuusarvotaulukko: A P A P voiko A sanoa lauseen A P? jos voi, syökö hän hattunsa? T T T voi; syö T ei voi; (ei syö) E T T ei voi; (syö) T ei voi; (ei syö) Nähdään että ainoa tilanne jossa A voi sanoa lauseensa on se, jos hän on todenpuhuja joka syö hattunsa joten A:n on pakko syödä hattunsa. (Tämä on ns. matematiikan voimaa.) 9

5. Totuusarvotaulukko: P = A B B A voiko A sanoa lauseen P? T ei T kyllä E T T ei T ei Jäljelle jää vain se vaihtoehto, että A on todenpuhuja ja B on valehtelija. 6. Totuusarvotaulukko: B P B B P onko mieltä? T E ei! todenpuhuja ei valehtelisi T T ei! valehtelija ei puhuisi totta Jäljelle ei jää yhtään mahdollista ratkaisua näin ollen vastaus ei ole että vastausta ei voi tietää, vaan että koko tehtävä on järjetön koska todenpuhujien ja valehtelijoiden maailmassa B ei voi missään tapauksessa eikä missään olosuhteissa sanoa sitä mitä hänen on väitetty sanoneen. Vika on joko tehtävänannossa tai B:n anatomiassa. Ehkä kyseessä oli tekonenä? 7. Saadaan tällainen taulukko: C P C P päättely T T T todenpuhuja puhuu totta; C on juuri käynyt Kreetalla T mahdotonta: todenpuhuja valehtelee E valehtelija valehtelee; C on juuri käynyt Kreetalla T mahdotonta: valehtelija puhuu totta Näin ollen emme tiedä onko kyseessä rivin 1 vaiko rivin 3 tapaus, eli emme tiedä onko C todenpuhuja vaiko valehtelija; mutta hän on valinnut sanansa sen verran huolellisesti että voimme kuitenkin olla täysin loogisen varmoja siitä, että hän on käynyt Kreetalla. 2 8. Oletetaan että A sanoo: B on valehtelija, ja tämän jälkeen B sanoo väitteen P, joka on A ja C ovat molemmat todenpuhujia tai molemmat valehtelijoita. Tällöin P := (A C) ( A C). Rakennetaan aluksi seuraavanlainen taulukko: P 1 = P 2 = P = A B C A C A C A C P 1 P 2 T T T T T T T E T T T E T E E T T T E T T T T T E T T T Tätä taulukkoa voidaan sieventää unohtamalla ne rivit joilla lausekkeilla B ja P on eri totuusarvot, sillä tiedetään että B on joko todenpuhuja joka sanoo totuuden P (1. ja 6. 2 Matkakohteeksi Kreeta oli varmaan valittu siksi, että kreetalaisen filosofi Epimenideksen mukaan kaikki kreetalaiset ovat valehtelijoita. Tästä seuraa kaikenlaisia mielenkiintoisia seuraamuksia niin logiikassa kuin turismissakin. 10

rivit), tai valehtelija joka sanoo valheen P (4. ja 7. rivit). Tällöin toistaiseksi mahdollisiksi vaihtoehdoiksi (merkitty yllä) jäävät seuraavat rivit, eli seuraavat todenpuhujien ja valehtelijoiden yhdistelmät: P 1 = P 2 = P = A B C A C A C A C P 1 P 2 T T T T T E T E E T T T T T Nyt tiedetään, että A on sanonut väitteen B on valehtelija. Näin ollen joko A on todenpuhuja ja B on valehtelija (2. rivi) tai A on valehtelija ja B todenpuhuja (3. rivi). Jäljelle jäävät seuraavat kaksi vaihtoehtoa: P 1 = P 2 = P = A B C A C A C A C P 1 P 2 T E T E E T T T Annetuilla tiedoilla ei ole mahdollista päätellä kumpi vaihtoehto on kyseessä, mutta koska kummassakin jäljellejääneessä vaihtoehdossa lauseke C on epätosi, tiedetään että C on valehtelija vaihtoehdosta riippumatta. Henkilöiden A ja B todenpuhujuus/valehtelijuus jää mysteeriksi, joskin jäljellejääneistä vaihtoehdoista nähdään että toinen heistä on todenpuhuja ja toinen valehtelija. 9. Jos A sanoo olevansa valehtelija, niin päättely etenee jotenkin seuraavalla tavalla: Jos A on todenpuhuja (ja puhuu totta), niin hänen väitteensä minä olen valehtelija on totta ja hän on valehtelija; koska on selvästikin hullua, mahdotonta ja mieletöntä että hän olisi sekä todenpuhuja että valehtelija, tämä on ristiriita. Näin ollen tiedetään että A ei ole todenpuhuja. Jos A on valehtelija (ja valehtelee), niin hänen väitteensä minä olen valehtelija on valetta, eli hän ei ole valehtelija taas ristiriita; hän ei voi myöskään olla valehtelija. Jos A on normaali ja puhuu totta, niin hänen väitteensä minä olen valehtelija on totta mutta tämäkin on ristiriita sillä meidän kielenkäytössämme valehtelija ja normaali ovat erillisiä ihmistyyppejä. Jos A on normaali ja valehtelee, niin hänen väitteensä minä olen valehtelija on valetta, joten hän on joko normaali tai todenpuhuja. Tämä on täysin järkeenkäyvää; ja koska tämä on ainoa järjellinen vaihtoehto, tiedämme sekä sen että A on normaali, ja sen että hän valehtelee. 11