Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan perustyökalustoa Tässä artikkelissa kootaan tiiviiseen muotoon perustiedot kompleksiluvuista, johdatellaan eräiden kompleksisten funktioiden pariin, esitellään muutama kompleksilukujen geometrinen sovellus, analyyttisen geometrian perusobjektien ja geometristen peruskuvausten kompleksilukuversiot ja lopuksi hahmotellaan algebran peruslauseen todistus Tämä lause on implisiittisesti mukana, kun esimerkiksi polynomien jaollisuutta tarkastellaan, mutta sen todistamista on pidetty liian haastellisena koulumatematiikkaan Artikkelin lopussa on muutama tehtävä Niiden ratkaisut esitetään seuraavassa Solmun numerossa Kirjoittajaa on paikoin inspiroinut Marian Dincăn ja Marcel Chiriţăn teos Numere Complexe în Matematica de Liceu (Bukarest 1996 Perusteoriaa ja geometriaa Kompleksilukujen algebraa 1 Lukuparien joukossa R = {(x, y x R, y R} määritellään (x, y + (x, y = (x + x, y + y, (x, y(x, y = (xx yy, xy + x y Näin R :sta tulee algebrallinen kunta C, jossa yhteenlaskun neutraalialkio on (0, 0, alkion (x, y vasta-alkio on ( x, y; kertolaskun neutraalialkio on (1, 0 ja alkion (x, y (0, 0 käänteisalkio on ( x x + y, C:n alkiot ovat kompleksilukuja y x + y Kuvaus f : R C, f(x = (x, 0, on laskutoimitukset säilyttävä bijektio Näin ollen R = f(r on reaalilukujen joukon kanssa isomorfinen C:n osajoukko Merkitään (x, 0 = x ja samastetaan R ja R Täten C on R:n laajennus 3 Koska (0, 1(y, 0 = (0, y, on (x, y = (x, 0 + (0, 1(y, 0 = x + (0, 1y Merkitään (0, 1 = i Silloin (x, y = x + yi Jos z = x + yi, merkitään x = Re z, y = Im z Kertolaskun määritelmän mukaan i = (0, 1(0, 1 = ( 1, 0 = 1 Kompleksilukujen kertolasku voidaan suorittaa reaalilukujen laskutoimituksin lisäyksellä i = 1 Kompleksilukua i sanotaan imaginaariyksiköksi

Solmu 4 Kompleksiluvun z = x + yi liittoluku eli konjugaatti on z = x yi Liittoluvun muodostus noudattaa sääntöjä z 1 + z = z 1 + z, z 1 z = z 1 z Luvun z = x + yi itseisarvo eli moduli on reaaliluku z = x + y Pätee z = zz, josta seuraa mm z 1 z = z 1 z ja z 1 = z z Kompleksilukujen geometrinen esitys 5 Koska (joukkoina R ja C ovat samat, kompleksiluku z = (x, y = x + iy voidaan samastaa tason koordinaattipisteen P = (x, y tai origon O tähän koordinaattipisteeseen yhdistävän vektorin OP = x i + y j kanssa Kompleksilukujen yhteenlaskua vastaa vektorien yhteenlasku ja kertolaskua, jossa toinen tulon tekijä on reaaliluku, vektorin kertominen reaaliluvulla Joukko R on tässä mallissa x-akseli Selvästi OP = z 6 Positiivisen x-akselin ja vektorin OP välinen x- akselista positiiviseen kiertosuuntaan mitattu kulma on kompleksiluvun z argumentti arg z Koska x = Re z = z cos(arg z ja y = Im z = z sin(arg z, on z = z (cos(arg z + i sin(arg z = z (cos(arg z + nπ + i sin(arg z + nπ Nähdään heti, että arg(z = π arg z = arg z (mod π 7 Jos z 1 = z 1 (cos t 1 + i sin t 1 ja z = z (cos t + i sin t, niin z 1 z = z 1 z (cos t 1 cos t sin t 1 sin t +i(cos t 1 sin t + sin t 1 cos t = z 1 z (cos(t 1 + t + i sin(t 1 + t Tästä seuraa z 1 z = z 1 z ja arg(z 1 z = arg(z 1 + arg(z (mod π Tulos yleistyy induktiolla tuloon, jossa on mielivaltainen määrä tekijöitä Tästä seuraa erityisesti, että jos z = r(cos t + i sin t, niin z n = r n (cos nt + i sin nt, kun n N (de Moivren kaava Osamäärälle saadaan z 1 = z ( 1 z, arg z1 = arg z 1 arg z (mod π z z Kompleksiset juuret sekä eksponentti- ja logaritmifunktio 8 Jos n a on luku, jolle ( n a n = z, ja jos a = r(cos t + i sin t niin jokainen luvuista n r (cos t + kπ n + i sin t + kπ, (1 n k = 0, 1,, n 1, voi olla n a Luvut (1 ovat yhtälön z n = a ratkaisut Esimerkkejä 3 1 on joko 1, cos π 3 +i sin π 3 = 1 + 3 i tai cos 4π 3 + i sin 4π 3 3 = 1 i i on joko cos π 4 + i sin π 4 = 1 i 5π + tai cos 4 + sin 5π 4 = 1 i 9 Koska e it = k=0 (it k k! = 1 t! + t4 4! + i(t t3 3! + t5 5! = cos t + i sin t, voidaan kirjoittaa z = r(cos t + i sin t = re it (Eulerin kaava 10 Edellisen perusteella e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y Siis e z = e x = e Re z ja arg e z = y = Im z (Voidaan osoittaa, että sarjan avulla määritelty kompleksinen eksponenttifunktio toteuttaa samat laskusäännöt kuin reaalinen eksponenttifunktiokin Olkoon w = w (cos φ + i sin φ mielivaltainen kompleksiluku Yhtälö e z = w merkitsee, että e x = w eli x = ln w ja y = arg w (mod π Kompleksiluvun w logaritmilla log w on siten äärettömän monta arvoa: log w = ln w + i arg w + nπi Arvoista yksi on aina valittavissa niin, että sen imaginaariosa on välillä [0, π[ Ne logaritmin ominaisuudet, jotka ovat seurausta eksponenttifunktion laskusäännöistä, periytyvät sellaisinaan kompleksisille logaritmeille Siten mm log(w 1 w = log w 1 + log w Esimerkkejä Koska arg( 1 = π, log( 1 = iπ + nπi log(ei = 1 + iπ + nπi 11 Yleinen potenssi z w määritellään nyt lukuna e w log z Potenssilla on yleensä äärettömän monta eri arvoa Esimerkki i i = e i log i = e i(i π +nπ = e π nπ Luvun i i likiarvoja ovat siten esim 0,00000000135 (n = 3, 0,0788 (n = 0 ja 17093171649 (n = 4

Solmu 3 Kompleksitason geometriaa 1 Jos z = x + yi on kompleksitason piste, niin z = x yi on z:n symmetriapiste x-akselin suhteen, z = x yi on z:n symmetriapiste origon suhteen ja z = x + yi on z:n symmetriapiste y-akselin suhteen 13 Jos z 1 ja z ovat kompleksitason pisteitä, niin z on samalla suoralla kuin z 1 ja z, jos ja vain jos jollain reaaliluvulla k on eli z z z z 1 = k z = z kz 1 1 k ( Jos k < 0, z on pisteiden z 1 ja z välissä, jos 0 < k < 1, z on z:n ja z 1 :n välissä, ja jos 1 < k, z 1 on z:n ja z :n välissä Yhtälön ( kanssa yhtäpitäviä samalla suoralla olemisen ehtoja ovat ja z = pz 1 + qz, p, q R, p + q = 1 az + bz 1 + cz = 0, a, b, c R, a + b + c = 0, a + b + c 0 Esimerkki Janan [z 1, z ] keskipisteessä k = 1, joten keskipiste on z M = z 1 + z Jos z 3 on kolmas piste, kolmion, jonka kärjet ovat z 1, z ja z 3 painopiste on se piste, jossa jana [z 3, z M ] jakautuu suhteessa : 1; tämä piste on (k = 1 z M + 1 z G = z 3 1 + 1 = 1 (z 1 + z + z 3 = 1 3 3 (z 1 + z + z 3 14 Pisteet z 1, z, z 3 ja z 4 ovat samalla ympyrällä, jos ja vain jos joko arg z 4 z 1 = arg z 4 z 3 tai z z 1 z z 3 arg z 4 z 1 + arg z z 3 = π Tämä merkitsee, että z z 1 z 4 z 3 kaksoissuhde z 4 z 1 z z 1 z z 3 z 4 z 3 = z 4 z 1 z z 1 : z 4 z 3 z z 3 on reaalinen Jos suhde on reaalinen, pisteet z 1, z, z 3 ja z 4 ovat samalla ympyrällä tai samalla suoralla Jos pisteet eivät ole samalla suoralla ja kaksoissuhde on negatiivinen, nelikulmio z 1 z z 3 z 4 on kupera ja sen ympäri voidaan piirtää ympyrä 15 Olkoon z 1 z z n kupera positiivisesti suunnistettu monikulmio kompleksitasossa Merkitään z n+1 = z 1 Osoitetaan, että monikulmion pinta-ala on ( S = 1 n Im z k+1 z k Tämä nähdään seuraavasti: Ensinnäkin jokaiselle kompleksiluvulle z on z z k + z z k+1 = z z k + z z k+1, joten edellisen yhtälön lauseke on aina reaalinen Tästä seuraa ( n Im (z k+1 + z(z k + z ( n ( = Im z k+1 z k + Im z z k + z z k+1 ( n + Im(n z = Im z k+1 z k Koska pinta-alaksi väitetyn summan arvo ei muutu,kun jokaiseen z k :hon lisätään z, voidaan monikulmio siirtää niin, että origo on sen sisäpuolella Jos nyt z k = r k (cos t k + i sin t k, on Im(z k+1 z k = r k+1 r k sin(t k+1 t k eli kaksi kertaa sen kolmion ala, jonka kärjet ovat O, z k ja z k+1 Koska koko monikulmion ala saadaan laskemalla yhteen kaikkien kolmioiden Oz k z k+1 alat, väite seuraa 16 Samoin suunnistetut kolmiot A 1 A A 3 ja B 1 B B 3 ovat yhdenmuotoiset, jos (esim A 1 A A 1 A 3 = B 1B B 1 B 3 ja A A 1 A 3 = B 1 B B 3 Jos pistettä A i (B i vastaa kompleksiluku a i (b i, niin yhdenmuotoisuusehdoista edellinen sanoo, että kompleksiluvuilla a a 1 ja b b 1 on sama moduli, a 3 a 1 b 3 b 1 jälkimmäinen, että niillä on sama argumentti Yhdenmuotoisuus vallitsee siis, jos (ja elleivät kolmiot surkastu, vain jos a a 1 = b b 1 (3 a 3 a 1 b 3 b 1 Jos kolmiot ovat vastakkaisesti suunnistetut, saadaan pari samoin suunnistettuja kolmioita peilaamalla toinen kolmio x-akselin yli Yhdenmuotoisuusehto on tässä tapauksessa a a 1 a 3 a 1 = b b 1 b 3 b 1

4 Solmu Yhtälö (3 voidaan kirjoittaa symmetriseen muotoon 1 1 1 det a 1 a a 3 b 1 b b 3 = 0 [Oletamme kolmirivisten determinanttien perusominaisuudet tunnetuiksi; ne eivät riipu siitä, ovatko determinantin alkiot reaalisia vai kompleksisia] 0 Suoran z+z+c = 0 eli (+x+i( y+c = 0 kulmakerroin on k = + i( = i + (5 Jos suoran ja x akselin välinen kulma on φ, niin k = tan φ = sin φ Yhtälöstä (5 voidaan ratkaista cos φ 17 Jos kolmio A 1 A A 3 on yhdenmuotoinen kolmion A A 3 A 1 kanssa, se on tasasivuinen Edellisin merkinnöin tämä toteutuu, kun det 1 1 1 a 1 a a 3 a a 3 a 1 = 0 ja edelleen = cos φ + i sin φ cos φ i sin φ = eiφ e iφ = eφi, φ = i ( log Edellinen yhtälö on yhtäpitävä yhtälön a 1 + a + a 3 = a 1 a + a a 3 + a 3 a 1 kanssa ja edelleen yhtälön kanssa (a 1 a + (a a 3 + (a 3 a 1 = 0 Analyyttisen geometrian yhtälöiden kompleksimuotoja 18 Yhtälöparit ja z = x + iy, z = x iy x = 1 (z + z, y = 1 i (z z = i (z z ovat yhtäpitävät Tätä tietoa hyväksi käyttäen relaatiot f(x, y = 0 voidaan muuntaa relaatioiksi φ(z, z = 0 19 Suoran yhtälö ax + by + c = 0 muuntuu muotoon a bi (z +z (z z+c = 1 ((a biz +(a+ibz+c = 0 eli z + z + c = 0, (4 missä c on reaaliluku Jos suora kulkee pisteen z 0 kautta, on oltava c = z 0 z 0 Suoran yhtälö on siis (z z 0 + (z z 0 = 0 Jos z, z 1 ja z eivät ole samalla suoralla, ne muodostavat kolmion, joka ei ole (suoraan yhdenmuotoinen sen kolmion kanssa, jonka kärjet ovat z, z 1 ja z Edellä kolmioiden yhdenmuotoisuudesta tehty tarkastelu merkitsee, että pisteet ovat samalla suoralla, jos ja vain jos det 1 1 1 z z 1 z z z 1 z = 0 Kahden eri suoran z + z + a = 0 ja βz + βz + b = 0 väliseksi kulmaksi saadaan φ 1 φ = i ( log i ( log β = i ( β β log β Tästä saadaan suorien yhdensuuntaisuudelle ehto β = β eli β β = 0 ja kohtisuoruudelle β = β eli + β β = 0 Ehto toteutuu esim jos β = i 1 Pisteen z 0 kautta kulkevan ja suoraa (4 vastaan kohtisuoran suoran yhtälöksi saadaan edellisestä Yhtälöparista (z z 0 (z z 0 = 0 { z z = z0 z 0, z + z = c saadaan pisteen z 0 kohtisuoraksi projektioksi suoralla (4 z 1 = z 0 z 0 c Pisteen z 0 etäisyys suorasta (4 on z 0 z 1 = z 0 z 0 + z 0 + c = z 0 + z 0 + c

Solmu 5 Pisteen z 0 kautta kulkeva kompleksiluvun w esittämän vektorin suuntaisen suoran pisteissä z on z z 0 = tw, missä t on reaaliluku Tämä merkitsee, että pisteissä toteutuu yhtälö eli z z 0 w = z z 0 w wz wz + wz 0 wz 0 = 0 Kun tätä verrataan yhtälöön (4 (jossa c on reaalinen!, saadaan = iw 3 Ympyrän x +y +ax+by+c = 0 yhtälöksi saadaan kuten kohdassa 19 zz + z + z + c = 0, (6 missä = 1 (a ib Jos ympyrän keskipiste on µ ja säde r, niin ympyrän yhtälö on myös (z µ(z µ = r Siis = µ ja c = µ r Pisteen z 0 potenssi ympyrän (6 suhteen on z 0 µ r = z 0 z 0 + z 0 + z 0 + c Tavalliset geometriset transformaatiot kompleksitasossa 4 Jos T : C C on jokin kompleksitason transformaatio, niin merkitään T (z = z, T (z k = z k jne Tason siirto on kuvaus T (z = z + w 5 Tason kierto origon ympäri kulman φ verran vastapäivään on T (z = e iφ z Kierto pisteen w ympäri on T (z = w + e iφ (z w = e iφ z + w(e iφ 1 Olkoon a = 1, a 1 ja T (z = az + b Silloin T (z = az + b (a 1, a 1 b joten T on kierto pisteen ympäri Kahden kierron a 1 yhdistäminen on kierto tai siirto: jos T 1 (z = a 1 z + b 1, T (z = a z + b ovat kiertoja, niin T (T 1 (z = (a a 1 z + a b 1 + b, missä a 1 a = 1 6 Kuvaus T (z = z on peilaus x-akselin yli Origon kautta kulkeva suora l: z + z = 0, on kohdan mukaan vektorin w = i suuntainen Transformaatio T (z = w(wz = w z = z koostuu kierrosta, jolla suora l kääntyy x-akseliksi, peilauksesta x-akselin yli ja kierrosta, jolla x-akseli palautuu suoraksi l Transformaatio on siis peilaus suorassa l Yleinen suora z + z + c = 0 leikkaa x-akselin pisteessä c Näin ollen peilaus tässä suorassa on + T (z = ( z + c + c + 7 Origokeskinen homotetia, jossa homotetiasuhde on k R, on T (z = kz Homotetia, jonka homotetiakeskus on w, on T (z = w + k(z w = kz + (1 kw 8 Olkoon a = a e iφ C mielivaltainen Kuvaus ( T (z = az + b = a z + b ( = a (e iφ z + b a a on translaatiosta, kierrosta ja homotetiasta yhdistetty Koska kukin näistä kuvaustyypeistä säilyttää kuvioiden yhdenmuotoisuuden, T on yhdenmuotoisuuskuvaus Numeron 16 tarkasteluista seuraa, että jokainen yhdenmuotoisuuskuvaus on joko muotoa T (z = az + b tai T (z = az + b 9 Inversio origokeskisessä 1-säteisessä ympyrässä on kuvaus T (z = 1 z Inversio z 0-keskisessä ja r-säteisessä ympyrässä määrittyy kaavalla T (z = z 0 + Algebran peruslause r z z 0 30 Todistetaan algebran peruslause Sen mukaan jokaisella polynomilla P (z = z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, missä kertoimet a j ovat kompleksilukuja, on ainakin yksi nollakohta, ts yhtälöllä P (z = 0 on ainakin yksi ratkaisu Todistus vaatii hiukan analyysin käsitteitä ja tietoja 31 Kompleksilukujonolla z j, j = 1,,, eli (z j on raja-arvo z, jos z n z on mielivaltaisen pieni kaikilla tarpeeksi suurilla n:n arvoilla (Tämä voidaan lausua täsmällisemminkin, mutta tarpeisiimme riittää tämä Jos P on polynomi, w j = P (z j ja jonolla (z j on rajaarvo z, niin jonolla (w j on raja-arvo w = P (z Tämä seuraa siitä, että w j w = P (z j P (z = z n j z n + a n 1 (z n 1 j z n 1 + + a 1 (z j z = z j z Q(z j, z Kun j on tarpeeksi suuri, z j z on pieni; tällöin lauseke Q(z j, z on kiinteän ylärajan alapuolella, ja tulo z j z Q(z j, z tulee sekin mielivaltaisen pieneksi

6 Solmu 3 Tarkastellaan kaikkien niiden reaalilukujen joukkoa E, jotka jollain z:n arvolla ovat muotoa P (z Luku x on E:n alaraja, jos jokainen E:n alkio on x Jokainen ei-positiivinen luku on E:n alaraja Reaalilukujen perusominaisuuksia on, että E:n alarajojen joukossa on suurin alaraja (Sitä kutsutaan myös E:n infimumiksi ja merkitään inf E Olkoon tämä suurin alaraja a Havaitaan, että jos P (z a, on olemassa z z siten, että P (z < P (z Jos nimittäin kaikilla z C olisi P (z P (z, olisi P (z a:ta suurempi E:n alaraja 33 Osoitetaan, että jollain z 0 pätee yhtälö P (z 0 = a Tehdään vastaoletus: P (z > a kaikilla z Jos näin on, voidaan löytää luku z 1, jolle P (z 1 < a + 1 ja päättymätön lukujono (z j, jolla on esim ominaisuus P (z j+1 a < 1 ( P (z j a ja siis myös P (z j < a + 1 j Koska P (z = z n 1 + a n 1 z + + a 1 z n 1 + a 0 z n ja koska termit, joissa z on nimittäjässä, tulevat pieniksi, kun z on suuri, niin P (z tulee suureksi, kun z on tarpeeksi suuri Tästä seuraa, että kaikki jonon (z j luvut ovat jossain neliössä Q = {z C R < Re z < R, R < Im z < R} Jaetaan Q neljään yhtä suureen neliöön Koska jonossa (z j on äärettömän monta lukua, jossain näistä neljästä neliöstä, esim neliössä Q 1, on äärettömän monta luvuista z j Prosessia voidaan jatkaa: jos Q 1 jaetaan neljäksi neliöksi, jossain näistä, esim neliössä Q, on äärettömän monta luvuista z j jne Neliöt (Q m ovat sisäkkäin ja niiden sivujen 1 pituudet ovat R Tästä seuraa, että neliöiden kärkipisteet muodostavat kompleksilukujonot, joilla on sa- m ma raja-arvo z 0 Lukujonosta (z j voidaan poimia ääretön osajono (z jk, jonka raja-arvo on myös z 0 Jonon P (z jk raja-arvo on P (z 0 Jos olisi P (z 0 > a, jouduttaisiin ristiriitaan ominaisuuden P (z jk < a + 1 j k kanssa Siis P (z 0 = a 34 Osoitetaan vielä, että a = 0 Oletetaan, että näin ei ole, että a > 0 ja P (z 0 = w 0 = a(cos φ 0 + i sin φ 0 = ae iφ0 Nyt voidaan kirjoittaa P (z = (z z 0 n +b n 1 (z z 0 n 1 + +b 1 (z z 0 +w 0 Olkoon k pienin indeksi, jolla b k 0 Silloin P (z = w 0 + b k (z z 0 k (1 + Q(z, missä Q(z on polynomi, jonka arvot ovat pieniä, kun z on lähellä z 0 :aa Voidaan esimerkiksi valita niin pieni r, että kun z = z 0 + re iφ, niin Q(z < 1 ja samalla r k b k < a Näillä z:n arvoilla P (z = ae iφ0 + r k b k 1 + Q(z e i(kφ++β(z, missä = arg b k ja β(z = arg(1 + Q(z Tehdystä oletuksesta seuraa, että β(z < π ja 1 + Q(z < 4 Edelleen löytyy φ niin, että kφ + + β(z = φ 0 + π Mutta tällä φ:n arvolla P (z = P (z 0 + re iφ = (a r k b k 1 + Q(z e iφ0 ja P (z < a Tultiin ristiriitaan sen kanssa, että a on P (z :n arvojen alaraja Siis vastaoletus onkin väärä, ja P (z 0 = 0 Algebran peruslause on todistettu Tehtäviä 35 Johda sin 6x:n ja cos 6x:n lausekkeet sin x:n ja cos x:n polynomeina 36 Laske sin k 37 Jos a ja b ovat kokonaislukuja, niin z = a + ib on kompleksinen kokonaisluku Jos kompleksista kokonaislukua z ei voida kirjoittaa muotoon z = z 1 z, missä z 1 ja z ovat kompleksisia kokonaislukuja 1, niin z on kompleksinen alkuluku Selvitä, mitkä joukon {3, 5, 7} luvut ovat kompleksisia alkulukuja 38 Selvitä, mitä tapahtuu suoralle ja ympyrälle inversiokuvauksessa 39 Olkoon ε 1 yhtälön z 3 = 1 jokin ratkaisu Osoita, että pisteet z 1, z ja z 3 ovat tasasivuisen kolmion kärjet jos ja vain jos z 1 + εz + ε z 3 = 0 40 Kuperan nelikulmion ABCD sivuille piirretään (ulkopuolisesti tasasivuiset kolmiot ABM, BCN, CDP ja DAQ Osoita, että nelikulmioilla ABCD ja MNP Q on sama painopiste 41 Selvitä, miten säännöllinen 5-kulmio voidaan konstruoida lähtemällä yhtälön z 5 = 1 ratkaisusta