PETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto LASSE POHJOLAINEN PETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty osastoneuvoston kokouksessa 13. 4. 2005. Tarkastaja: Professori Esko Turunen

Alkusanat Tämä diplomityö on kirjoitettu Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitoksella vuonna 2005. Työn ohjaajana ja tarkastajana toimi professori Esko Turunen. Haluankin kiittää professori Turusta mielenkiintoisesta aiheesta ja saamastani avusta kirjoittamisen aikana. Lisäksi haluan kiittää Matematiikan laitosta diplomityöni rahoittamisesta. Erityiskiitokset osoitan vanhemmilleni ja etenkin avopuolisolleni Niinalle opintojeni tukemisesta ja jatkuvasta kannustuksesta. Tampereella 22. elokuuta 2005 Lasse Pohjolainen Kuninkaankatu 36 B 33 33200 Tampere p. 044-3777527

Sisältö 1 Johdanto 9 2 Mistä BL-algebrat tulevat? 12 2.1 Osittainen järjestys........................ 12 2.2 Algebra L( )........................... 13 2.3 Residuoitu hila.......................... 17 2.4 BL-algebra............................. 19 2.5 Lokaalisti äärellinen BL-algebra................. 24 3 BL-logiikan rakentaminen ja algebralisointi 27 3.1 Lauselogiikka P C( )....................... 27 3.2 BL-logiikka............................ 28 3.3 BL-algebra L T........................... 35 4 BL-algebroiden rakentuminen eri logiikoista 37 4.1 MV-algebroiden rakentaminen.................. 37 4.1.1 Łukasiewicz-logiikka................... 37 4.1.2 Wajsberg-algebrat.................... 44 4.1.3 MV-algebrat........................ 48 4.1.4 Lokaalisti äärellinen MV-algebra............. 50 4.2 Tuloalgebrat............................ 52 4.3 Gödel-algebrat.......................... 55 5 BL-algebroiden deduktiiviset systeemit 58 5.1 Hilafiltteri............................. 58 5.2 Deduktiivinen systeemi...................... 61 5.2.1 Prime deduktiiviset systeemit.............. 62 5.2.2 Maksimaaliset deduktiiviset systeemit.......... 66 5.2.3 Tekijäalgebra L/D.................... 68 5.3 Boolen deduktiiviset systeemit.................. 71 5.4 Lokaalit BL-algebrat....................... 73 3

5.5 Algebra MV(L).......................... 77 5.6 Perfektit BL- ja MV-algebrat.................. 79 5.7 Semilokaalit BL-algebrat..................... 81 6 Yhteenveto 85 Kirjallisuutta 89

Tiivistelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto Matematiikan laitos Pohjolainen, Lasse: Petr Hájekin BL-algebrat Diplomityö, 89 sivua Tarkastaja: professori Esko Turunen Käsitellään osastoneuvostossa syyskuussa 2005 Avainsanat: BL-algebra, BL-logiikka, deduktiivinen systeemi, MV-algebra Klassisessa logiikassa mahdollisia totuusarvoja on vain kaksi eli tosi ja epätosi. Useampia kuin kahta totuusarvoa sisältäviä logiikoita kutsutaan moniarvologiikoiksi. Nykyisin tällaisista logiikoista luultavasti tunnetuin on sumea logiikka, joka sallii äärettömän monta totuusarvoa. Puolalaiset matemaatikot Adolf Lindenbaum (1904-1941) ja Alfred Tarski (1901-1983) esittivät ensimmäisinä ajatuksen, jonka mukaan jokaista logiikkaa vastaa algebrallinen struktuuri. Moniarvologiikassa eräs tärkeä tällainen struktuuri on BL-algebra. Sumeassa logiikassa BL-algebralla on vastaava rooli kuin Boolen algebralla on klassisessa logiikassa. Tässä diplomityössä tarkastellaan tshekkiläisen Petr Hájekin 1990-luvulla esittelemää BL-algebraa ja sen taustalla vaikuttavaa BL-logiikkaa. MV-algebrat ovat tietyn erityisehdon täyttäviä BL-algebroita, joita hyödynnetään laajasti sumean logiikan sovelluksissa sopivien ominaisuuksiensa vuoksi. Näin ollen BL-algebroiden tutkiminen on tärkeää, sillä löydetyt tulokset ovat voimassa myös MV-algebroissa. BL-logiikan aksioomiin pohjautuvat BL-algebrat määritellään tietyt ehdot täyttävinä residuoituina hiloina. Aluksi tutkimme BL-algebroiden yleisiä ominaisuuksia, minkä jälkeen rakennamme BL-logiikan ja osoitamme, että se on algebralisoituva. Tämän jälkeen tarkastelemme BL-logiikan laajennuksia ja niihin perustuvia BL-algebroita. Lopuksi käsittelemme BL-algebroiden deduktiivisia systeemejä. Todistamme mm., että jokaisella BL-algebralla on MV-alialgebra, ja että tietyt BL-algebraominaisuudet muuttuvat vastaaviksi MV-algebran ominaisuuksiksi siirryttäessä BL-algebrasta sen MV-alialgebraan tai päinvastoin.

Abstract TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Science and Engineering Institute of Mathematics Pohjolainen, Lasse: Petr Hájek s BL-algebras Master of Science Thesis, 89 pages Examiner: professor Esko Turunen Evaluated by the Department Council in September 2005 Keywords: BL-algebra, BL-logic, deductive system, MV-algebra In classical logic there are only two truth values, true and false. Logics with more than two truth values are called many-valued logics. Nowadays the best known many-valued logic is fuzzy logic which contains infinitely many truth values. The idea of treating a logic as an algebraic structure was first introduced by Polish mathematicians Adolf Lindenbaum (1904-1941) and Alfred Tarski (1901-1983). In many-valued logic BL-algebra is one such structure. In fuzzy logic BL-algebras have the same role as Boolean algebras in classical logic. In this thesis we study BL-algebras which are based on BL-logic. These structures were introduced by Petr Hájek in the late 1990 s. MV-algebras are particular BL-algebras which are widely used in fuzzy logic applications because of their good properties. Therefore the study of BL-algebras is very useful since the results are also valid in MV-algebras. BL-algebras are defined as particular residuated lattices. We begin by introducing some basic properties of BL-algebras. Then we formulate the BL-logic and show that it can be algebralized. We go on to study some extensions of BL-logic and introduce algebras based on those logics. We finish our discussion with deductive systems of BL-algebras and prove, among other things, that each BL-algebra includes an MV-subalgebra. We also prove that certain properties of BL-algebras turn into corresponding properties of MV-algebras when we deal with MV-subalgebra instead of BL-algebra or vice versa.

Merkinnät ja lyhenteet A B A on joukon B osajoukko L/D algebran L tekijäalgebra x alkion x ekvivalenssiluokka x alkion x esikomplementti x alkion x hilakomplementti ord(x) alkion x kertaluku BL-algebrassa O(x) alkion x kertaluku MV-algebrassa Z + ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko ei-triviaali ekvivalenssirelaatio ekvivalenssirelaatio f : A B f on kuvaus joukosta A joukkoon B T ϕ formula ϕ on todistuva teoriassa T, hilaoperaatioita implikaatio A B joukkojen A ja B leikkaus i I A i joukkojen A i (i = 1, 2,...) leikkaus i I A i joukkojen A i (i = 1, 2,...) unioni max(a) joukon A maksimi (suurin alkio) min(a) joukon A minimi (pienin alkio) sup(a) joukon A pienin yläraja (supremum) inf(a) joukon A suurin alaraja (infimum) A/ kaikkien ekvivalenssiluokkien joukko,, loogisia konnektiiveja N luonnollisten lukujen (1, 2,... ) joukko negaatio operaatio MV-algebrassa ar(f) operaation f ariteetti osittainen järjestysrelaatio 0 pienin alkio (hilajärjestyksen suhteen) e(p) propositionaalimuuttujan p totuusarvo 1 suurin alkio (hilajärjestyksen suhteen)

A A tulojoukko i I A i tulojoukko A 1 A 2... tulokonjunktio tulo-operaatio residuoidussa hilassa tyhjä joukko xry x ja y ovat relaatiossa R keskenään (t-normin) residuumi (vahva) disjunktio & (vahva) konjunktio = isomorfismi

Luku 1 Johdanto Matemaattisessa logiikassa on jo tuhansien vuosien ajan hyödynnetty kaksiarvologiikkaa, jonka mukaan jokaisella väittämällä on totuusarvo tosi tai epätosi. Arkielämässä tulee kuitenkin eteen tilanteita, joissa väittämän totuusarvo on selvästi jotakin näiden kahden väliltä. Yksi ratkaisu tällaisiin tilanteisiin on useamman kuin kahden eri totuusarvon salliminen. Useampia kuin kahta eri totuusarvoa sallivia logiikoita kutsutaan moniarvologiikoiksi. Sumea logiikka sisältää äärettömän määrän mahdollisia totuusarvoja ja jokainen totuusarvo tulkitaan asteeksi, joka osoittaa kuinka lähellä totuusarvo on valitun asteikon ääripäitä tosi ja epätosi. Jo Aristoteleen tiedetään sanoneen, että joidenkin tulevaisuutta koskevien väittämien totuusarvo ei välttämättä ole tosi eikä epätosi. Myös muutamat 1800-luvulta peräisin olevat tutkimukset viittaavat ainakin jossain määrin moniarvologiikkaan. Todellisena moniarvologiikan isänä pidetään kuitenkin puolalaista matemaatikkoa Jan Łukasiewiczia (1878-1956). Hän mainitsi kolmiarvologiikan ensimmäisen kerran Varsovan yliopistossa pitämässään puheessa vuonna 1918, ja ääretönarvoista logiikkaa Łukasiewicz esitteli vuonna 1922. Vuonna 1935 Łukasiewiczin maanmies Mordechaj Wajsberg (1902-1942(?) 1 ) osoitti, että Łukasiewiczin ääretönarvoisen logiikan aksioomajärjestelmä on täydellinen. Adolf Lindenbaum (1904-1941) ja Alfred Tarski (1901-1983) (molemmat puolalaisia) esittivät ensimmäisinä metodin, jonka mukaan jokainen looginen järjestelmä voidaan nähdä algebrallisena struktuurina [3]. Kalifornian yliopiston professori C.C.Chang esitteli vuonna 1958 MV-algebrat (kirjainyhdistelmä MV on lyhenne sanasta many-valued) ja vuotta myöhemmin hän antoi algebrallisen todistuksen Łukasiewiczin aksioomien täydellisyydelle. 1 Juutalaisena Wajsberg todennäköisesti menehtyi natsien keskitysleirillä. 9

LUKU 1. JOHDANTO 10 Sumean logiikan kehityksen katsotaan saaneen alkunsa vuonna 1965, kun professori Lofti Zadeh esitteli sumeat joukot. Ensimmäinen varsinainen sumeaa logiikkaa käsittelevä tutkimus on luultavasti peräisin J.A.Goguenilta vuosilta 1968-1969. Vuonna 1979 tshekki Jan Pavelka julkaisi sumeaa logiikkaa käsittelevän tutkimuksen, jossa Łukasiewicz-logiikka yleistettiin sumeiden päättelysääntöjen avulla. Pavelkan tutkimuksen kohteena oli sumea lauselogiikka, jossa totuusarvojen joukkona on yksikköväli [0,1]. Hän osoitti, että implikaatio-operaation jatkuvuus on välttämätön ja riittävä ehto tämän logiikan täydellisyydelle. Kymmenen vuotta myöhemmin toinen tshekki Vilem Novák laajensi Pavelkan tulokset [0,1]-totuusarvoiseen predikaattilogiikkaan. Vuonna 1994 Novák osoitti, että Pavelkan määrittelemä sumea logiikka on aksiomatisoituva, jos ja vain jos totuusarvojen joukko muodostaa täydellisen MV-algebran yksikkövälillä [0,1]. Samana vuonna Esko Turunen laajensi Pavelkan tulokset tapaukseen, jossa totuusarvojen joukkona on injektiivinen MV-algebra. Turusen todistus on puhtaan algebrallinen. 1990-luvun loppupuolella Petr Hájek (myös tshekki) kehitti moniarvologiikan, jonka hän nimesi BL-logiikaksi (kirjaimet BL tulevat sanoista basic logic) ja esitteli tähän logiikkaan perustuvan BL-algebran. Sumeassa logiikassa BL-algebralla on samanlainen asema kuin Boolen algebralla on klassisessa kaksiarvologiikassa. BL-algebrat pohjautuvat BL-logiikan aksioomiin samalla tavalla kuin Boolen algebrat perustuvat klassisen logiikan aksioomiin. Hilateoria on keskeisessä roolissa BL-algebroiden tutkimisessa, sillä BL-algebrat ovat tietyt ehdot täyttäviä residuoituja hiloja. Joillakin erityisillä BL-algebroilla, kuten MV-algebroilla, on sovellusten kannalta erittäin hyviä ominaisuuksia ja ovat siksi yleisempiä sumean logiikan työkaluina. Tässä diplomityössä keskitytään kuitenkin enemmän yleisiin BL-algebroihin ja niiden ominaisuuksiin. Aloitamme tarkastelun määrittelemällä luvussa 2 tärkeitä peruskäsitteitä, kuten osittainen järjestysrelaatio, jatkuva t-normi, residuumi ja residuoitu hila. Lisäksi luvussa esitellään tärkeimmät jatkuvat t-normit (Łukasiewiczin, Gödelin ja tulo t-normit) ja niiden residuumit. Luvussa määritellään myös BL-algebrat ja todistetaan muutamia perustuloksia. Luvussa 3 muodostamme t-normin avulla lauselogiikan ja aksiomatisoimme BL-logiikan. Tämän jälkeen osoitamme, että BL-logiikka on algebralisoituva.

LUKU 1. JOHDANTO 11 Luku 4 sisältää esimerkkejä erilaisista BL-logiikan laajennuksista ja niiden pohjalta muodostetuista BL-algebroista. Myös lokaalisti äärellisten MV-algebroiden esittely kuuluu tähän lukuun. Luku 5 käsittelee BL-algebroiden deduktiivisia systeemejä. Tämä diplomityö pohjautuu Petr Hájekin ja Esko Turusen BL-algebroita käsitteleviin tutkimuksiin. Luvuissa 2-4 lähteinä on pääasiassa käytetty teoksia [2] ja [4] sekä artikkelia [1]. Luku 5 perustuu artikkeleihin [5], [6], [7] ja [8].

Luku 2 Mistä BL-algebrat tulevat? 2.1 Osittainen järjestys Joukon alkioiden järjestys on välttämätön ominaisuus, kun alkioiden halutaan olevan verrattavissa keskenään. Määrittelemme aluksi osittain järjestetyn joukon, mikä on edellytys t-normin olemassaololle kyseisessä joukossa. Binäärinen relaatio R ei-tyhjässä joukossa A on tulojoukon A A osajoukko. Jos parille (x, y) A A pätee (x, y) R, niin alkioiden x ja y sanotaan olevan relaatiossa keskenään. Tällöin merkitsemme xry. Binäärinen relaatio on refleksiivinen, jos jokaisella joukon A alkiolla x on voimassa xrx. Relaatio R on transitiivinen, jos ehdoista xry ja yrz seuraa xrz, kun x, y, z A. Jos relaatio R on refleksiivinen ja transitiivinen, niin sitä kutsutaan kvasijärjestykseksi (quasiorder). Kvasijärjestys R on osittainen järjestys (partial order) joukossa A, jos se on antisymmetrinen, ts. jos ehdoista xry ja yrx seuraa x = y. Relaatio R on symmetrinen joukossa A, jos ehdosta xry seuraa yrx. Kvasijärjestys R joukossa A on ekvivalenssirelaatio, jos se on symmetrinen. Ekvivalenssirelaation yleinen merkintä on ja kvasijärjestykselle, joka ei ole symmetrinen, käytetään merkintää. Jos joukossa A on määritelty osittainen järjestysrelaatio, niin joukko A on osittain järjestetty joukko (partially ordered set). Jos osittain järjestetyssä joukossa A kaikille alkioille x, y on voimassa joko x y tai y x, niin järjestys on täydellinen järjestys (total order) ja joukko A on lineaarisesti järjestetty (linearly ordered). 12

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 13 Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Tällöin joukot x = {y A y x}, missä x A, ovat ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkia. Kaikkien ekvivalenssiluokkien x (x A) joukolle käytetään jatkossa merkintää A/. Lemma 2.1.1 Jos on ekvivalenssirelaatio joukossa A, niin kaikilla joukon A alkioilla x, y on voimassa (1) x x, (2) x y, jos ja vain jos x = y, jos ja vain jos x y, (3) jos x y, niin joukot x ja y ovat erillisiä. Todistus: (1) Koska ekvivalenssirelaatio on refleksiivinen eli x x, niin x x. (2) Oletetaan aluksi, että x y, jolloin x y. Olkoon sitten x y ja z x. Tällöin z x, ja ekvivalenssirelaation transitiivisuuden perusteella z y, joten z y ja x y. Vastaavalla tavalla nähdään, että y x. Näin ollen x = y. Oletetaan lopuksi, että x = y. Nyt x x = y. (3) Olkoon x y ja z x y jollakin alkiolla z. Tällöin z x ja z y. Symmetrisyyden perusteella x z, jolloin transitiivisuuden perusteella saadaan x y, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. On siis oltava x y =. Määritelmä 2.1.1 Olkoon f m-argumenttinen operaatio joukossa A (ts. f on kuvaus f : A m A, missä m on luonnollinen luku), ja olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Jos ehdoista x 1 y 1,..., x m y m seuraa, että f(x 1,..., x m ) f(y 1,..., y m ), niin on kongruenssi (congruence) operaation f suhteen. Ekvivalenssirelaatio on triviaali joukossa A, jos kaikille joukon A alkoille x, y pätee x y. 2.2 Algebra L( ) Seuraavaksi määrittelemme jatkuvan t-normin ja t-normin residuumin, jotka toimivat konjunktion ja implikaation totuusfunktioina yleisessä lauselogiikassa. Esittelemme myös muutamia jatkuvan t-normin ja sen residuumin yleisiä ominaisuuksia.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 14 Määritelmä 2.2.1 Välillä [0, 1] määritelty binäärinen operaatio : [0, 1] 2 [0, 1] on t-normi, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (i) operaatio on kommutatiivinen eli kaikilla välin [0, 1] alkioilla x,y on voimassa x y = y x, (ii) operaatio on assosiatiivinen eli kaikille välin [0, 1] alkioille x,y,z pätee (x y) z = x (y z), (iii) operaatio on kasvava molempien argumenttiensa suhteen, ts. jos x 1 x 2, niin x 1 y x 2 y ja jos y 1 y 2, niin x y 1 x y 2, (iv) jokaisella välin [0, 1] alkiolla x on voimassa 1 x = x ja 0 x = 0. Binäärinen operaatio on jatkuva t-normi, jos se on t-normi ja :[0, 1] 2 [0, 1] on jatkuva kuvaus. Esimerkki 2.2.1 Seuraavat t-normit ovat tärkeimpiä esimerkkejä jatkuvista t-normeista: (i) Łukasiewiczin t-normi: x L y = max(0, x + y 1), (ii) Gödelin t-normi: x G y = min(x, y), (iii) tulo t-normi: x Π y = x y, missä operaatio on tavallinen reaalilukujen kertolaskuoperaatio. Todistus: Määritelmän 1.2.1 ehtojen (i)-(iv) toteutuminen seuraa suoraan maksimi-, minimi-, ja kertolaskuoperaation ominaisuuksista. Voidaan osoittaa, että jokainen jatkuva t-normi on yhdistelmä esimerkissä 2.2.1 mainituista kolmesta jatkuvasta t-normista. Lause 2.2.1 Olkoon jatkuva t-normi. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen operaatio x y = max { z z x y }, joka toteuttaa ehdon (z x) y, jos ja vain jos z (x y) kaikilla välin [0, 1] alkioilla x,y,z. Todistus: Olkoon x, y, z [0, 1]. Tällöin (z x) y, jos ja vain jos z max{z z x y} = x y, ja yksikäsitteisyys on ilmeinen. Lauseessa 2.2.1 määriteltyä operaatiota kutsutaan t-normin residuumiksi.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 15 Esimerkki 2.2.2 Łukasiewiczin, Gödelin ja tulo t-normien residuumit ovat seuraavat. Jos x y, niin x y = 1. Jos x > y, niin (i) Łukasiewiczin implikaatio: x L y = 1 x + y, (ii) Gödelin implikaatio: x G y = y, (iii) Goguenin implikaatio: x Π y = y/x. Todistus: Olkoon x > y, jolloin (i): x L z = y, jos ja vain jos x + z 1 = y, jos ja vain jos z = 1 x + y. Näin ollen 1 x + y = max{z x z y}. (ii): x G z = y, jos ja vain jos min(x, z) = y, jos ja vain jos z = y. (iii): x Π z = y, jos ja vain jos x z = y, jos ja vain jos z = y/x. Lemma 2.2.1 Jokaiselle jatkuvalle t-normille ja sen residuumille pätee (i) x y, jos ja vain jos (x y) = 1 (ii) (1 x) = x. Todistus: Ominaisuudet (i) ja (ii) seuraavat suoraan residuumin määritelmästä. Lemma 2.2.2 (a) Jos x y, niin x = y (y x), ja (b) jos x u y ja u on idempotentti alkio (ts. u u = u), niin x y = x. Todistus: (a): Olkoon f : [0, 1] [0, 1] jatkuva kuvaus siten, että f(z) = z y, f(0) = 0 ja f(1) = y. Näin ollen jollekin välin [0,1] alkiolle z on voimassa f(z) = x ja ehdon x = z y toteuttavalle maksimaaliselle alkiolle z pätee z = y x. (b): Oletetaan ensin, että u = y, jolloin x = u (u x) ja x u = u (u x) u = u (u x) = x. Oletetaan sitten, että u y. Nyt x y x u = x, ja ilmeisesti x y x, joten on oltava x y = x. Algebra on struktuuri M, f 1,..., f n, missä M on ei-tyhjä joukko ja symbolit f i ovat operaatioita joukossa M. Jos f on operaatio f(x 1,..., x m ), niin sen ariteetti on ar(f) = m. Algebra M 1 = M 1, f 1,..., f n on algebran M 2 = M 2, g 1,..., g n alialgebra, jos joukko M 1 on joukon M 2 osajoukko ja jokainen operaatio f i on operaation g i rajoittuma tulojoukkoon M ar(fi).

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 16 Määritelmä 2.2.2 Olkoon L( ) algebra L( ) = L,,,,, 0, 1, missä L = [0, 1], x y = min(x, y) ja x y = max(x, y), kun x, y L. Operaatio on kiinnitetty t-normi ja sen residuumi. Lisäksi 0 ja 1 ovat erityisiä kiinnitettyjä joukon L alkioita. Määritellään järjestysrelaatio siten, että x y, jos ja vain jos x y = x. Operaatiot ja voidaan määritellä t-normin ja sen residuumin avulla: Lemma 2.2.3 Jokainen jatkuva t-normi ja sen residuumi toteuttavat seuraavat identiteetit algebrassa L( ). (i) x y = x (x y) (ii) x y = ((x y) y) ((y x) x). Todistus: (i): Olkoon x y. Tällöin (x y) = 1 ja x (x y) = x = x y. Jos y x, niin lemman 2.2.2 mukaan x (x y) = y = x y. (ii) Olkoon x y, jolloin x y = y ja (x y) = 1. Nyt (x y) y = (1 y) = y, ja koska y (y x) x, niin residuumin määritelmän mukaan y (y x) x. Näin ollen ((x y) y) ((y x) x) = y. Tapaus y x osoitetaan täysin symmetrisesti. Määritelmä 2.2.3 Jokaisen jatkuvan t-normin residuumi määrittelee vastaavan unaarisen operaation x = (x 0), jota kutsutaan esikomplementiksi (precomplement). Lemma 2.2.4 Łukasiewiczin, Gödelin ja tulo t-normien esikomplementit ovat (i) Łukasiewicz-negaatio: L x = 1 x, { 1, kun x = 0 (ii) Gödel-negaatio: G x = 0, kun x > 0. (iii) Tulo t-normia vastaavan Goguenin implikaation esikomplementti vastaa Gödel-negaatiota. Todistus: Kyseiset esikomplementtioperaatiot seuraavat suoraan esikomplementin ja residuumin määritelmistä.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 17 2.3 Residuoitu hila Tässä osiossa määritellään residuoitu hila, joka saadaan määrittelemällä tietyt ehdot täyttävässä hilassa operaatiot ja. Määritelmä 2.3.1 Algebra L = L,, on hila (lattice), jos binääriset operaatiot ja toteuttavat seuraavat ehdot kaikilla joukon L alkioilla x,y,z: (i) x x = x ja x x = x (idempotenttisuus), (ii) x y = y x ja x y = y x (kommutatiivisuus), (iii) x ( y z ) = ( x y ) z ja x ( y z ) = ( x y ) z (assosiatiivisuus) (iv) x ( x y ) = x ja x ( x y ) = x (absorptio). Lemma 2.3.1 Olkoon L, järjestetty joukko, jossa jokaisella alkioparilla (x, y) on pienin yläraja (supremum) ja suurin alaraja (infimum). Asettamalla x y = inf(x,y) ja x y = sup(x,y), saadaan algebra L = L,,,, joka on hila ja on hilan L järjestys. Todistus: Määritelmän 2.3.1 ehtojen (i)-(iv) toteutuminen seuraa suoraan sup- ja inf-funktioiden ominaisuuksista. Lemma 2.3.2 Olkoon L = L,, hila. Määritellään järjestysrelaatio siten, että x y, jos ja vain jos x y = x ja x y = y. Tällöin L, on järjestetty joukko, missä x y = inf(x, y) ja x y = sup(x, y). Todistus: Sivuutetaan. Seurauslause 2.3.1 Algebra L = L,,, on hila, jos ja vain jos L on järjestetty joukko, jossa jokaisella alkioparilla (x, y) on pienin yläraja sup(x, y) = x y ja suurin alaraja inf(x, y) = x y. Lemma 2.3.3 Jokaisessa hilassa L operaatiot ja ovat kasvavia hilajärjestyksen suhteen, t.s. jos x 1 x 2 ja y 1 y 2, niin x 1 y 1 x 2 y 2 ja x 1 y 1 x 2 y 2. Todistus: Sivuutetaan.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 18 Määritelmä 2.3.2 Jos hilassa L = L,,, kaikille joukon L alkioille x,y pätee niin hila L on distributiivinen. (1) x (y z) = (x y) (x z) tai (2) x (y z) = (x y) (x z), Distributiivisen hilan avulla voimme määritellä Boolen algebran. Määritelmä 2.3.3 Olkoon L = L,,, distributiivinen hila. Jos jokaista joukon L alkiota kohti x on olemassa alkio x L, jolle pätee (x x ) y = y ja (x x ) y = y kaikilla y L, niin L on Boolen algebra. Alkiota x kutsutaan alkion x hilakomplementiksi (lattice complement). Edellä t-normi ja sen residuumi määriteltiin yksikkövälillä [0, 1]. Seuraavassa nämä operaatiot yleistetään mielivaltaiseen osittain järjestettyyn joukkoon L. Määritelmä 2.3.4 Olkoon L algebra L = L,,,,, 0, 1, missä,, ja ovat binäärisiä operaatioita ja 0 ja 1 ovat vakioita. Algebra L on residuoitu hila (residuated lattice), jos (i) L,,, 0, 1 on hila, missä 1 on suurin alkio ja 0 pienin alkio hilajärjestyksen suhteen, (ii) L,, 1 on kommutoiva puoliryhmä yksikköalkiona 1, (iii) operaatiot ja muodostavat adjungoidun parin (adjoint couple), ts. (1) z (x y), jos ja vain jos x z y kaikilla joukon L alkioilla x,y,z. Lemma 2.3.4 Jokaisessa residuoidussa hilassa L = L,,,,, 0, 1 kaikille joukon L alkioille x, y, z pätee (i) x y x, y, (ii) y x y, (iii) x 1 = 1 ja 0 x = 1.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 19 Todistus: (i): Koska x, y 1, niin x y x 1 = x ja x y 1 y = y. (ii): Edellisen kohdan perusteella y x y, jolloin y x y. (iii): Koska 1 x 1 ja 0 = 1 0 x, niin 1 x 1 1 ja 1 0 x 1. Lemma 2.3.5 Jokainen Boolen algebra L = L,,,, 0, 1 on residuoitu hila, jossa operaatiota vastaa operaatio ja residuumi määritellään siten, että x y = x y kaikilla joukon L alkioilla x, y. Lisäksi kaikille x L pätee x = x. Todistus: Olkoon L = L,,,, 0, 1 on Boolen algebra. Tällöin operaatio on assosiatiivinen ja kommutatiivinen, ja kaikilla x L on voimassa x 1 = x eli L,, 1 on kommutoiva puoliryhmä. Oletetaan, että x y z. Koska y y = (y y ) 1 = 1, ja koska Boolen algebrat ovat distributiivisia hiloja, niin x x y = (x y ) 1 = (x y ) (y y ) = y (x y) y z. Olkoon sitten x y z, jolloin x y y (y z) = (y y ) (y z) = 0 (y z) = y z z. Näin ollen x y z, jos ja vain jos x (y z) = y z eli operaatiot ja muodostavat adjungoidun parin. L on siis residuoitu hila, ja x = x 0 = x 0 = x. Määritelmä 2.3.5 Residuoitu hila L = L,,,,, 0, 1 on lineaarisesti järjestetty, jos joukon L kaikilla alkioilla x,y on voimassa x y = x tai x y = y ja x y = x tai x y = y. 2.4 BL-algebra Nyt voimme määritellä BL-algebran määräämällä kaksi sopivaa lisäehtoa residuoidulle hilalle. Määritelmä 2.4.1 Olkoon algebra L = L,,,,, 0, 1 residuoitu hila. Algebra L on BL-algebra, jos ja vain jos (2) x y = x (x y) ja (3) (x y) (y x) = 1 kaikilla joukon L alkioilla x,y.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 20 Ehtoa (3) kutsutaan esilineaarisuusaksioomaksi (the axiom of prelinearity). Lemma 2.4.1 Jokaisessa BL-algebrassa L = L,,,,, 0, 1 on kaikille joukon L alkioille x,y,z,w voimassa (4) x (x y) y ja x (y (x y)), (5) jos x y, niin x z y z, (z x) (z y) ja (y z) (x z), (6) x y, jos ja vain jos x y = 1, (7) (x y) z = (x z) (y z), (8) x y = ((x y) y) ((y x) x), (9) (x y) [(z x) (z y)] = 1, (10) (y z) x = (y x) (z x), (11) (x y) z = x (y z), (12) (x y) [(y z) (x z)] = 1, (13) (x y) z = (x y) (x z), (14) jos x, y z ja z x = z y, niin x = y, (15) (y x) (z x) (y z) x, (16) (x y) {(z w) [(y z) (x w)]} = 1, (17) x (y z) = (x y) (x z), (18) (x y) (y z) x z. Todistus: (4): Koska (x y) (x y), niin määritelmän 2.3.4 adjungaattiehdon (iii) mukaan x (x y) y. Vastaavasti x (y (x y)) seuraa siitä, että (x y) (x y). (5): Olkoon x y. Kohdan (4) mukaan y (z (y z)), joten myös x (z (y z)) ja adjungaattiehdon mukaan x z y z. Koska x y, niin z (z x) x y. Tällöin (z x) (z y) ja x (y z) y (y z) z, joten (y z) (x z). (6): Jos x y, niin 1 x y. Tällöin 1 (x y) eli 1 = (x y). Tästä seuraa, että x y. (7): Koska x x y, niin x z (x y) z. Vastaavasti voidaan kirjoittaa y z (x y) z, joten (x z) (y z) (x y) z. Toisaalta x z (x z) (y z), joten x (z [(x z) (y z)]). Vastaavalla tavalla havaitaan, että y (z [(x z) (y z)]). Näin ollen (x y) (z [(x z) (y z)]) ja siis (x y) z (x z) (y z)). (8): Merkitään z = [((x y) y) ((y x) x)], jolloin

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 21 z = z 1 = z ((x y) (y x)) = (z (x y)) (z (y x)) [((x y) y) (x y)] [((y x) x) (y x)] y x = x y. Toisaalta (x y) (x y) = (x (x y)) (y (x y)) y y = y, joten x y ((x y) y). Vastaavasti nähdään, että x y ((y x) x). Näin ollen x y ((x y) y) ((y x) x). (9): Kohdan (4) perusteella (x y) [(z x) z] (x y) x y, joten (x y) (z x) z y ja (x y) (z x) (z y). Näin ollen (x y) [(z x) (z y)] = 1. (10): Koska y, z (y z), niin kohdan (5) nojalla ((y z) x) y x ja ((y z) x) z x. Näin ollen ((y z) x) (y x) (z x). Toisaalta, koska (y x) (z x) (y x), (z x), niin y [(y x) (z x)] x ja z [(y x) (z x)] x. Tällöin (y z) [(y x) (z x)] x eli [(y x) (z x)] ((y z) x). (11): Kohdan (4) mukaan [x (y z)] (x y) (y z) y z, joten x (y z) (x y) z. Toisaalta, koska (x y) z (x y) z ja koska (x y) z x (y z), joss [(x y) z] x y z, joss [(x y) z] (x y) z, joss (x y) z (x y) z, niin (x y) z x (y z) kaikilla x, y, z L. (12): Koska kohdan (4) perusteella (x y) (y z) x (y z) y z ja koska joss (x y) [(y z) (x z)] = 1, x y [(y z) (x z)], joss (x y) (y z) x z, joss (x y) (y z) x z,

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 22 niin (x y) [(y z) (x z)] = 1 on voimassa kaikilla x, y, z L. (13): Määritelmän 2.4.1 ehdon (2) ja kohdan (11) avulla saadaan (x y) z = [(x y) x] z = (x y) (x z). (14): Olkoon x, y z ja z x = z y. Tällöin x = (z x) = z (z x) = z (z y) = (z y) = y. (15): Koska (y z) y, z, niin (y x) (y z) x ja (z x) (y z) x, joten (y x) (z x) (y z) x. (16): Kohdan (6) ja määritelmän 2.3.4 ehdon (iii) perusteella joss joss (x y) {(z w) [(y z) (x w)]} = 1, (x y) (z w) [(y z) (x w)], (x y) (z w) (y z) (x w), joss (x y) (z w) (y z) x w, joss (x y) (z w) (y z) x w, mikä on voimassa kaikilla x, y, z, w L, sillä [(x y) (z w) (y z) x] [(z w) (y z) y] [(z w) z] w. (17): Koska y z y, z, niin x (y z) x y ja x (y z) x z. Näin ollen x (y z) (x y) (x z). Toisaalta, koska (x y) (x z) x y ja (x y) (x z) x z, niin [(x y) (x z)] x y ja [(x y) (x z)] x z. Siis [(x y) (x z)] x (y z) eli (x y) (x z) x (y z). (18): Kohtien (11) ja (12) mukaan [(x y) (y z)] (x z) = (x y) [(y z) (x z)] = 1, joten (x y) (y z) x z.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 23 Lemma 2.4.2 BL-algebrassa L = L,,,,, 0, 1 esikomplementti x = x 0 toteuttaa seuraavat ominaisuudet jokaisella joukon L alkiolla x. (i) x x, (ii) x x = 0, (iii) 1 = 0 ja 0 = 1, (iv) x = x, (v) (x y) = x y, (vi) jos x x = 1, niin x x = 0. Todistus: (i)-(ii): Koska x = (x 0), niin x x, jos ja vain jos x x 0, jos ja vain jos x x 0. Näin ollen x x ja x x = 0 ovat voimassa. (iii): Lemman 2.3.4 kohdan (iii) mukaan 1 = 1 0 = 0 ja 0 = 0 0 = 1. (iv): Kohdan (ii) mukaan x x ja x x x. Näin ollen eli x x. x x 0, joss x x 0, joss x x 0, joss x x 0 (v): Lemman 2.4.1 kohdan (10) perusteella (x y) 0 = (x 0) (y 0). (vi): Olkoon x x = 1, jolloin kohtien (i), (v) ja (iii) nojalla x x x x = ( x x) = 1 = 0. Lemma 2.4.3 Lineaarisesti järjestetty residuoitu hila L = L,,,,, 0, 1 on BL-algebra, jos ja vain jos kaikille joukon L alkioille x,y pätee x y = x (x y). Todistus: On näytettävä, että lineaarisesti järjestetyssä residuoidussa hilassa L määritelmän 2.4.1 ehdosta (2) seuraa ehto (3). Koska kaikille joukon L alkioille x, y pätee x y tai y x, niin x y = 1 tai y x = 1. Siis (x y) (y x) = 1 eli ehto (3) on voimassa.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 24 Lemma 2.4.4 Olkoon L = L,,,,, 0, 1 lineaarinen BL-algebra ja olkoon x, y, z L. Tällöin, jos z x = z y 1, niin x = y. Todistus: Jos z x = z y 1, niin z x ja z y. Näin ollen (koska L on lineaarinen) x, y z ja lemman 2.4.1 kohdan (14) perusteella x = y. Lineaariset BL-algebrat ovat erityisasemassa, kun luvussa 5 tutkimme BLalgebroiden deduktiivisia systeemejä. Lause 2.4.1 Jos L = L,,,,, 0, 1 on BL-algebra, niin L,, on distributiivinen hila. Todistus: Havaitaan, että (x y) x (y z) ja (x z) x (y z), joten (x y) (x z) x (y z) kaikilla joukon L alkioilla x, y, z. Toisaalta määritelmän 2.4.1 ehdon (2) ja lemman 2.4.1 kohtien (7) ja (5) nojalla x (y z) = (y z) [(y z) x] = [y ((y z) x)] [z ((y z) x)] [y (y x)] [z (z x)] = (y x) (z x) = (x y) (x z), joten määritelmän 2.3.2 ehto (1) toteutuu. 2.5 Lokaalisti äärellinen BL-algebra Otetaan BL-algebrassa L = L,,,,, 0, 1 käyttöön merkinnät x 0 = 1 ja x n+1 = x n x, missä n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Seuraavan määritelmän avulla voidaan todistaa useita tuloksia myöhemmin käsiteltäville MV-algebroille ja BL-algebroiden deduktiivisille systeemeille. Määritelmä 2.5.1 Olkoon L = L,,,,, 0, 1 BL-algebra. Joukon L alkion x kertaluku (merkitään ord(x)) on pienin kokonaisluku n, jolle pätee x n = 0. Jos tällaista kokonaislukua n ei ole olemassa, niin ord(x) =. BL-algebra L on lokaalisti äärellinen, jos jokainen joukon L alkio x 1 on äärellistä kertalukua. Lause 2.5.1 Jokainen lokaalisti äärellinen BL-algebra L = L,,,,, 0, 1 on lineaarinen.

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 25 Todistus: Olkoon x, y L ja x y = 1. Tällöin 1 = [(x y) y] [(y x) x] [(x y) y], joten y x y y eli y = x y. Olkoon sitten x 1. Koska BL-algebra L on lokaalisti äärellinen, niin on olemassa kokonaisluku n, jolle x n = 0. Nyt lemman 2.4.1 kohdan (11) ja lemman 2.3.4 kohdan (iii) avulla saadaan y = x y = x (x y) = x 2 y =... = x n y = 0 y = 1. Näin ollen x y = 1, jos ja vain jos x = 1 tai y = 1. Koska kaikilla joukon L alkioilla x, y on voimassa (x y) (y x) = 1, niin on oltava (x y) = 1 tai (y x) = 1. Siis x y tai y x, joten L on lineaarinen BL-algebra. Lemma 2.5.1 Jokaisessa lokaalisti äärellisessä BL-algebrassa L = L,,,,, 0, 1 kaikille joukon L alkioille x on voimassa: (1) 0 < x < 1, jos ja vain jos 0 < x < 1 (2) x = 0, jos ja vain jos x = 1 (3) x = 1, jos ja vain jos x = 0 Todistus: (1): Olkoon 0 < x < 1 ja ord(x) = m. Koska x 0, niin m 2. Tällöin x m = x m 1 x = 0 ja x m 1 = x m 2 x 0 eli 0 < x m 2 x. Nyt esikomplementin määritelmästä seuraa, että 0 < x m 1 x < x m 2 1. Olkoon sitten 0 < x < 1 ja ord( x) = n ( 2). Tällöin 0 < ( x) m 1 x < ( x) m 2 1. Koska oletus x = 0 johtaisi ristiriitaan x = 1, niin on oltava 0 < x x < 1. (2)-(3): Oletetaan, että x = 0. Tällöin lemman 2.4.2 kohdan (iii) perusteella on oltava x 0. Jos nyt olisi x 1, niin olisi 0 < x < 1, mikä johtaa ristiriitaan 0 < x < 1. Kohta (3) osoitetaan vastaavalla tavalla. Lause 2.5.2 Lokaalisti äärellisessä BL-algebrassa L = L,,,,, 0, 1 jokaiselle joukon L alkiolle x pätee x = x. Todistus: Koska lemman 2.4.2 kohtien (i) ja (iii) mukaan x x, 1 = 1 ja 0 = 0, niin riittää näyttää, että x x on voimassa kaikilla 0 < x < 1. Asettamalla z = 0 lemman 2.4.1 kohdassa (11)

LUKU 2. MISTÄ BL-ALGEBRAT TULEVAT? 26 saadaan (x y) = x y kaikilla y L. Ominaisuudesta x x ja operaation määritelmästä seuraa x = x x = x ( x x), joten x = ( x ( x x)) = x ( x x). Toisaalta x = x = x 0, ja koska 0 < x < 1, niin 0 < x < 1 ja 0 < x < 1. Näin ollen, koska x 0 = x ( x x) 1, ja koska L on lineaarinen BL-algebra, niin lemman 2.4.4 perusteella ( x x) = 0. Nyt lemman 2.5.1 kohdan (2) mukaan x x = 1, joten x x.

Luku 3 BL-logiikan rakentaminen ja algebralisointi 3.1 Lauselogiikka P C( ) Kiinnittämällä t-normin saamme lauselogiikan (propositional calculus), jonka totuusarvojen joukko on yksikköväli [0,1]. Konjunktion & totuusfunktio on tällöin ja implikaation totuusfunktioksi tulee t-normin residuumi. Määritelmä 3.1.1 Operaation indusoimassa lauselogiikassa PC( ) on propositionaaliset muuttujat p 1, p 2,..., konnektiivit & ja sekä totuusvakio 0, jonka totuusarvo on 0. Formulat määritellään seuraavasti. Propositionaaliset muuttujat ja totuusvakio 0 ovat formuloita, ja jos ϕ ja ψ ovat formuloita, niin ϕ&ψ ja ϕ ψ ovat myös formuloita. Muut konnektiivit määritellään näiden avulla: ϕ ψ on ϕ&(ϕ ψ), ϕ ψ on ((ϕ ψ) ψ) ((ψ ϕ) ϕ), ϕ on ϕ 0, ϕ ψ on (ϕ ψ)&(ψ ϕ). Propositionaalimuuttujan totuusfunktio on kuvaus e, joka liittää jokaiseen propositionaalimuuttujaan p totuusarvon e(p) väliltä [0,1]. Totuusfunktio voidaan yleistää yksikäsitteisesti kaikille formuloille seuraavalla tavalla: e( 0) = 0, e(ϕ ψ) = (e(ϕ) e(ψ)), e(ϕ&ψ) = (e(ϕ) e(ψ)). 27

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 28 Nyt lemmasta 2.2.3 seuraa välittömästi Lemma 3.1.1 Kaikille formuloille ϕ, ψ pätee e(ϕ ψ) = min(e(ϕ), e(ψ)) ja e(ϕ ψ) = max(e(ϕ), e(ψ)). Määritelmä 3.1.2 Formula ϕ on 1-tautologia lauselogiikassa PC( ), jos jokaiselle formulan ϕ totuusfunktiolle e pätee e(ϕ) = 1. 1-tautologia on siis formula, joka on absoluuttisesti tosi minkä tahansa totuusfunktion e suhteen. 3.2 BL-logiikka BL-logiikan rakentamiseksi meidän on valittava aksioomiksi joitakin formuloita, jotka ovat 1-tautologioita jokaisessa lauselogiikassa P C( ). Määritelmä 3.2.1 BL-logiikkamme aksioomat ovat: A1: (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) A2: (ϕ&ψ) ϕ A3: (ϕ&ψ) (ψ&ϕ) A4: (ϕ&(ϕ ψ) (ψ&(ψ ϕ) A5: (ϕ (ψ χ)) ((ϕ&ψ) χ) A6: ((ϕ&ψ) χ) (ϕ (ψ χ)) A7: ((ϕ ψ) χ) (((ψ ϕ) χ) χ) A8: 0 ϕ BL-logiikassamme päättelysääntö (deduction rule) on modus ponens, ts. jos formulat ϕ ja ϕ ψ ovat tautologioita, niin formula ψ on tautologia. Kiinnitettyä formuloiden joukkoa T kutsutaan teoriaksi, ja formula ϕ T on teorian T erityisaksiooma. Todistus (proof ) teoriassa T on formuloiden ϕ 1,..., ϕ n jono, jossa jokainen formula ϕ i on joko BL-logiikan aksiooma, teorian T erityisaksiooma tai sitten formula ϕ i seuraa jostakin edeltävästä formulasta ϕ j (j < i) päättelysäännön perusteella. Formula on todistuva (provable) teoriassa T, jos se on todistuksen viimeinen jäsen. Teoriassa T todistuvalle formulalle ϕ käytetään merkintää T ϕ. Funktio e on malli (model) teoriassa T, jos jokaiselle teorian T erityisaksioomalle ϕ pätee e(ϕ) = 1. Malli on siis funktio, jonka suhteen kaikki erityisaksioomat ovat tosia.

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 29 Lemma 3.2.1 Aksioomat A1-A8 ovat 1-tautologioita jokaisessa lauselogiikassa PC( ). Lisäksi, jos formulat ϕ ja ϕ ψ ovat 1-tautologioita, niin ϕ on 1-tautologia. Tästä seuraa, että jokainen BL-logiikassamme todistuva formula on 1-tautologia jokaisessa lauselogiikassa PC( ). Todistus: Aksioomat A2-A4 sekä A8 ovat ilmeisiä 1-tautologioita. Aksiooma A1 on 1-tautologia, jos ja vain jos ts., jos ja vain jos 1 (x y) ((y z) (x z)), (x y) (y z) x z, mikä seuraa siitä, että x (x y) = min(x, y) y ja vastaavasti y (y z) z kaikilla välin [0,1] totuusarvoilla x, y, z. Koska joss t x (y z), t x (y z), joss t x y z, joss t (x y) z, niin aksioomat A5 ja A6 ovat 1-tautologioita. Osoittaaksemme aksiooman A7 1-tautologiaksi havaitaan, että aina on voimassa joko x y = 1 tai y x = 1. Koska z 1 y, jos ja vain jos z y, niin 1 y = 1. Jos x = 1 ja x y = 1, niin tällöin modus ponens-päättelysäännön mukaan on oltava y = 1. Lemma 3.2.2 Seuraavat implikaation ja (vahvan) konjunktion & ominaisuudet ovat todistuvia BL-logiikassa: (1) ϕ (ψ ϕ), (2) (ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ)), (3) ϕ ϕ, (4) (ϕ&(ϕ ψ)) ψ, (5) ϕ (ψ (ϕ&ψ)), (6) (ϕ ψ) ((ϕ&χ) (ψ&χ)), (6 ) ((ϕ ψ)&(χ δ)) ((ϕ&χ) (ψ&δ)), (7) (ϕ&ψ)&χ ϕ&(ψ&χ) ja ϕ&(ψ&χ) (ϕ&ψ)&χ. Todistus: (1): Aksiooman A2 perusteella BL (ϕ&ψ) ϕ ja aksiooman A6 mukaan BL ((ϕ&ψ) ϕ) (ϕ (ψ ϕ)). Näin ollen päättelysäännön perusteella BL ϕ (ψ ϕ).

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 30 (2): Aksioomasta A1 saadaan BL ((ψ&ϕ) (ϕ&ψ)) [((ϕ&ψ) χ) ((ψ&ϕ) χ)], joten BL ((ϕ&ψ) χ) ((ψ&ϕ) χ). Soveltamalla aksioomia A5 ja A6 saadaan BL [ϕ (ψ χ)] [(ϕ&ψ) χ] [(ψ&ϕ) χ] [ϕ (ψ χ)]. (3): Ominaisuuksien (1) ja (2) perusteella BL ψ (ϕ ϕ). Valitsemalla nyt formulaksi ψ mikä tahansa aksioomista A1 - A8 on ominaisuus (3) todistuva modus ponens-päättelysäännön perusteella. (4): Ominaisuudesta (3) seuraa, että BL (ϕ ψ) (ϕ ψ). Tällöin ominaisuuden (2) mukaan BL ϕ ((ϕ ψ) ψ), ja aksiooman A5 avulla saadaan BL (ϕ&(ϕ ψ)) ψ. (5): Koska BL (ϕ&ψ) (ϕ&ψ), niin aksiooman A6 perusteella BL ϕ (ψ (ϕ&ψ)). (6): Koska BL (ϕ&(ϕ ψ)) ψ ja BL ψ (χ (ψ&χ)), niin aksiooman A1 mukaan voidaan kirjoittaa BL (ϕ&(ϕ ψ)) (χ (ψ&χ)). Nyt aksiooman A6 mukaan BL ϕ ((ϕ ψ) (χ (ψ&χ))), ja ominaisuuden (2) avulla saadaan BL ϕ (χ ((ϕ ψ) (ψ&χ))). Aksiooman A5 perusteella BL (ϕ&χ) ((ϕ ψ) (ψ&χ)). Käyttämällä uudelleen ominaisuutta (2) saadaan BL (ϕ ψ) ((ϕ&χ) (ψ&χ)). (6 ): Edellisen kohdan mukaan BL (ϕ ψ) ((ϕ&χ) (ψ&χ)), jolloin BL ((ϕ ψ)&(χ δ)) [((ϕ&χ) (ψ&χ))&(χ δ)]. Hyödyntämällä uudelleen ominaisuutta (6) ja aksioomaa A3 saadaan BL [((ϕ&χ) (ψ&χ))&(χ δ)] [((ϕ&χ) (ψ&χ))&((ψ&χ) (ψ&δ))] ja BL [((ϕ&χ) (ψ&χ))&((ψ&χ) (ψ&δ))] [(ϕ&χ) (ψ&δ)]. Näin ollen BL ((ϕ ψ)&(χ δ)) ((ϕ&χ) (ψ&δ)). (7): Seuraavassa δ on mielivaltainen formula. Aksioomasta A6 saadaan BL [((ϕ&ψ)&χ) δ] [(ϕ&ψ) (χ δ)] ja BL [(ϕ&ψ) (χ δ)] [(ϕ (ψ (χ δ)))].

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 31 Nyt aksioomasta A5 seuraa BL [(ϕ (ψ (χ δ)))] [ϕ ((ψ&χ) δ)] ja BL [ϕ ((ψ&χ) δ)] [(ϕ&(ψ&χ)) δ], joten BL [((ϕ&ψ)&χ) δ] [(ϕ&(ψ&χ)) δ]. Vastaavalla tavalla voidaan näyttää, että BL [(ϕ&(ψ&χ)) δ] [((ϕ&ψ)&χ) δ]. Määritelmä 3.2.2 Totuusvakiolla 1 tarkoitetaan merkintää 0 0. Lemma 3.2.3 Totuusvakiolla 1 on seuraavat todistuvat ominaisuudet BLlogiikassa: (8) 1, (9) ϕ ( 1&ϕ), (10) ( 1 ϕ) ϕ. Todistus: (8): Koska BL 0 0, niin myös BL 1. (9): Koska BL 1 ja BL 1 (ϕ ( 1&ϕ)), niin BL ϕ ( 1&ϕ). (10): Koska BL 1 ja BL 1 (( 1 ϕ) ϕ), niin BL ( 1 ϕ) ϕ. Lemma 3.2.4 Seuraavat konnektiivien ja ominaisuudet ovat todistuvia BL-logiikassa: (11) (ϕ ψ) ϕ, (ϕ ψ) ψ ja (ϕ&ψ) (ϕ ψ), (12) (ϕ ψ) (ϕ (ϕ ψ)), (13) (ϕ ψ) (ψ ϕ), (14) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ)), (15) ϕ (ϕ ψ), ψ (ϕ ψ) ja (ϕ ψ) (ψ ϕ), (16) (ϕ ψ) ((ϕ ψ) ψ), (17) (ϕ ψ) (ψ ϕ), (18) ((ϕ χ) (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ).

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 32 Todistus: (11): Merkintä ϕ ψ vastaa formulaa ϕ&(ϕ ψ), joten aksiooman A2 mukaan BL (ϕ ψ) ϕ. Ominaisuus BL (ϕ ψ) ψ vastaa lemman 3.2.2 kohtaa (4). Koska BL ψ (ϕ ψ), niin lemman 3.2.2 kohdan (6) mukaan BL (ϕ&ψ) (ϕ&(ϕ ψ)). (12): Koska BL ϕ&(ϕ ψ) ϕ&(ϕ ψ), niin aksiooman A6 perusteella BL [ϕ ((ϕ ψ) (ϕ&(ϕ ψ)))]. Nyt lemman 3.2.2 kohdan (2) mukaan BL (ϕ ψ) (ϕ (ϕ&(ϕ ψ))). (13): Tämä ominaisuus vastaa aksioomaa A4. (14): Koska BL (ψ χ) (ψ (ψ χ)) ja BL (ψ (ψ χ)) [((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ))], niin BL (ψ χ) [((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ))]. Vastaavalla tavalla saadaan BL (χ ψ) [((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ))]. Käyttämällä hyväksi aksioomaa A6 saadaan BL ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ)). (15): Havaitaan, että BL ϕ ((ϕ ψ) ψ), ja että BL ψ ((ϕ ψ) ψ), jolloin ominaisuudesta (14) seuraa BL ϕ (ϕ ψ). Vastaavasti voidaan osoittaa BL ψ (ψ ϕ). Konnektiivin määritelmästä ja ominaisuudesta (13) seuraa suoraan, että BL (ϕ ψ) (ψ ϕ). (16): Konnektiivin määritelmästä ja ominaisuudesta (11) seuraa, että BL (ϕ ψ) ((ϕ ψ) ψ). Lemman 3.2.2 kohdan (2) perusteella BL (ϕ ψ) ((ϕ ψ) ψ). (17): Ominaisuuden (15) mukaan BL (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ψ ϕ) ja BL (ψ ϕ) (ϕ ψ) (ψ ϕ), jolloin aksiooman A6 mukaan BL (ϕ ψ) (ψ ϕ). (18): Koska BL (ϕ ψ) ((ϕ ψ) ψ) ja BL ((ϕ ψ) ψ) [((ϕ χ) (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ)], niin BL (ϕ ψ) [((ϕ χ) (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ)]. Vastaavasti nähdään, että BL (ψ ϕ) [((ϕ χ) (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ)],

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 33 joten aksiooman A6 perusteella BL ((ϕ χ) (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ). Seurauslause 3.2.1 Lemman 3.2.4 kohdista (14) ja (18) seuraa suoraan (14 ) ((ϕ ψ)&(ϕ χ)) (ϕ (ψ χ)), (18 ) ((ϕ χ)&(ψ χ)) ((ϕ ψ) χ). Lemma 3.2.5 Konnektiiveilla ja on seuraavat todistuvat lisäominaisuudet BL-logiikassa: (19) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) ja ((ϕ ψ) χ) (ϕ (ψ χ)) (konnektiivin assosiatiivisuus), (20) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) ja ((ϕ ψ) χ) (ϕ (ψ χ)) (konnektiivin assosiatiivisuus), (21) ϕ ϕ (ϕ ψ) ja (ϕ (ϕ ψ)) ϕ. Todistus: (19): Koska BL (ϕ (ψ χ)) ϕ, BL (ϕ (ψ χ)) (ψ χ), BL (ψ χ) ψ ja BL (ψ χ) χ, niin käyttämällä seurauslauseen 3.2.1 ominaisuutta (14 ) saadaan BL (ϕ (ψ χ)) (ϕ ψ) ja BL (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ). Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että BL ((ϕ ψ) χ) (ϕ (ψ χ)). (20): Todistus molempiin suuntiin tapahtuu duaalisesti kohdan (19) kanssa käyttämällä seurauslauseen 3.2.1 ominaisuutta (18 ). (21): Koska BL ϕ ϕ ja BL ϕ (ϕ ψ), niin seurauslauseen 3.2.1 kohdan (14 ) mukaan BL ϕ ϕ (ϕ ψ). Todistus toiseen suuntaan tapahtuu duaalisesti seurauslauseen 3.2.1 kohdan (18 ) avulla. Lemma 3.2.6 Seuraavat negaation ominaisuudet ovat todistuvia BL-logiikassa: (22) ϕ ( ϕ ψ) (erityisesti ϕ ϕ ja (ϕ& ϕ) 0), (23) (ϕ (ψ& ψ)) ϕ, (23 ) (ϕ ψ) ( ψ ϕ), (23 ) (ϕ ψ) (ψ ϕ). Todistus: (22): Koska BL ϕ ((ϕ 0) 0) ja BL 0 ψ, niin BL ((ϕ 0) 0) ((ϕ 0) ψ)

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 34 ja BL ϕ ((ϕ 0) ψ). Negaation määritelmän mukaan formula ϕ ( ϕ 0) vastaa formulaa ϕ ϕ ja aksiooman A5 perusteella BL (ϕ& ϕ) 0. (23): Edellisen kohdan mukaan BL (ψ&(ψ 0)) 0, joten aksiooman A1 perusteella BL (ϕ (ψ& ψ)) (ϕ 0). (23 ): Aksiooman A1 mukaan BL (ϕ ψ) ((ψ 0) (ϕ χ)). (23 ): Lemman 3.2.2 kohdan (2) perusteella BL (ϕ (ψ 0)) (ψ (ϕ 0)). Osiossa 3.1 määriteltiin propositionaalimuuttujan totuusfunktio lauselogiikassa P C( ). BL-algebrassa L = L,,,,, 0, 1 voidaan määritellä analoginen totuusfunktio. Määritelmä 3.2.3 Olkoon L = L,,,,, 0, 1 BL-algebra. Jos kuvaus e liittää jokaiseen propositionaalimuuttujaan p joukon L alkion e(p), niin kuvaus e on L-totuusfunktio (jatkossa L-totuusfunktiolle käytetään merkintää e L ). Käyttämällä hyväksi BL-algebran L operaatioita, voidaan L-totuusfunktio e L laajentaa kaikille formuloille: e L ( 0) = 0, e L (ϕ ψ) = (e L (ϕ) e L (ψ)), e L (ϕ&ψ) = (e L (ϕ) e L (ψ)). Määritelmän 3.1.1 ja lemman 3.1.1 perusteella saadaan e L ( ϕ) = e L (ϕ) 0, e L (ϕ ψ) = e L (ϕ) e L (ψ) ja e L (ϕ ψ) = e(ϕ) e(ψ). Jos e L (ϕ) = 1 jokaisella L-totuusfunktiolla e L, niin formula ϕ on L-tautologia. Voidaan osoittaa, että jos formula ϕ on todistuva BL-logiikassa, niin ϕ on L-tautologia jokaisessa BL-algebrassa L. Todistetaan vahvempi tulos. Lause 3.2.1 Jos T on teoria BL-logiikassa ja formula ϕ on T-todistuva, niin jokaisessa BL-algebrassa kaikille malleille e L pätee e L (ϕ) = 1. Todistus: Lauseen todistamiseksi on osoitettava, että jokainen BL-logiikan aksiooma on L-tautologia. Lisäksi on näytettävä, että lausekkeen x y määritelmä residuumin avulla on L-tautologia. Määritelmän 3.2.1 aksioomat

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 35 voidaan osoittaa L-tautologioiksi täysin vastaavasti kuin lemmassa 3.2.1 lukuunottamatta aksioomaa A7. Merkitään Koska t = t 1 t = ((x y) z) ((y x) z). = t ((x y) (y x)) = (t (x y)) (t (y x)) [((x y) z) (x y)] [((y x) z) (y x)] z z = z, niin myös aksiooma A7 on L-tautologia. Määritelmä x y = ((x y) y) ((y x) x) voidaan osoittaa L-tautologiaksi, kuten lemmassa 2.4.1 on tehty. 3.3 BL-algebra L T Seuraavaksi näytämme, miten BL-logiikka voidaan algebralisoida. Osoitamme myös, että BL-logiikka on täydellinen (complete). Määritelmä 3.3.1 Olkoon T teoria BL-logiikassa ja olkoon ϕ formula teoriassa T. Lisäksi olkoon [ϕ] T kaikkien niiden formuloiden ψ joukko, joille pätee T ϕ ψ ja olkoon L T algebra L T = L T,,,,, 0, 1, missä L T on kaikkien luokkien [ϕ] T joukko. Määritellään operaatiot,, ja sekä vakiot 0 ja 1 seuraavasti: [ϕ] T [ψ] T = [ϕ ψ] T, [ϕ] T [ψ] T = [ϕ ψ] T, [ϕ] T [ψ] T = [ϕ&ψ] T, [ϕ] T [ψ] T = [ϕ ψ] T, 0 = [ 0] T, 1 = [ 1] T. Lemma 3.3.1 Algebra L T = L T,,,,, 0, 1 on BL-algebra.

LUKU 3. BL-LOGIIKAN RAKENTAMINEN JA ALGEBRALISOINTI 36 Todistus: Operaatiot ja toteuttavat hilaehdot lemmassa 3.2.4 ja lemmassa 3.2.5 osoitettujen ominaisuuksien perusteella. L T,, 1 on kommutoiva puoliryhmä aksiooman A3, lemman 3.2.2 kohdan (7) ja lemman 3.2.3 kohdan (9) perusteella. Havaitaan, että hilajärjestys toteuttaa ehdon [ϕ] T [ψ] T, jos ja vain jos T ϕ ψ. (Jos [ϕ] T [ψ] T, niin T ϕ (ϕ ψ). Tällöin T ϕ ψ, sillä BL-logiikassa T ϕ ψ ψ. Toisaalta, jos T ϕ ψ, niin ilmeisesti T ϕ (ϕ ψ). Nyt [ϕ] T = [ϕ] T [ψ] T, joten [ϕ] T [ψ] T.) Operaatiot ja muodostavat adjungoidun parin, sillä joss [χ] T ([ϕ] T [ψ] T ), T χ (ϕ ψ), joss T (χ&ϕ) ψ, joss [χ&ϕ] T [ψ] T, joss [χ] T [ϕ] T [ψ] T. Algebra L T on siis residuoitu hila. BL-algebran määritelmän ehdot (2) ja (3) toteutuvat konnektiivin määritelmän ja lemman 3.2.4 kohdan (17) seurauksena. Näin ollen algebra L T on BL-algebra. Lause 3.3.1 (Täydellisyyslause) BL-logiikka on täydellinen, ts. formula ϕ on todistuva BL-logiikassa, jos ja vain jos ϕ on L-tautologia jokaisessa BLalgebrassa L. Todistus: Oletetaan ensin, että formula ϕ on L BL -tautologia BL-algebrassa L BL, ja olkoon e(p i ) = [p i ] BL jokaisella propositionaalimuuttujalla p i. Nyt e(ϕ) = [ϕ] BL = [ 1] BL, joten ϕ 1 eli ϕ. Oletetaan sitten, että formula ϕ on todistuva BL-logiikassa, jolloin lauseen 3.2.1 perusteella formula ϕ on L-tautologia. Määritelmä 3.3.2 Jos logiikka C on saatu lisäämällä BL-logiikan aksioomiin (äärellinen tai ääretön määrä) uusia aksioomia, niin logiikka C on BLlogiikan skemaattinen laajennus (schematic extension). Logiikan C päättelysäännöksi tulee myös modus ponens. Seuraavassa luvussa käsitellään muutamia BL-logiikan skemaattisia laajennuksia.

Luku 4 BL-algebroiden rakentuminen eri logiikoista 4.1 MV-algebroiden rakentaminen 4.1.1 Łukasiewicz-logiikka Lisätään BL-logiikan aksioomiin kaksoisnegaatioaksiooma ϕ ϕ, jolloin saadaan Łukasiewicz-logiikka eli Ł-logiikka. Lemma 4.1.1 Seuraavat ominaisuudet ovat todistuvia Ł-logiikassa (1) ϕ ϕ, (2) (ϕ ψ) ( ψ ϕ), (3) (ϕ ψ) (ϕ& ψ), (4) ((ϕ ψ) ψ) ((ψ ϕ) ϕ) Todistus: (1): Tämä ominaisuus seuraa suoraan lemman 3.2.6 kohdasta (22) ja kaksoisnegaatioaksioomasta. (2): Ominaisuus on todistuva kohdan (1) ja lemman 3.2.6 kohdan (23 ) perusteella. (3): Koska BL ϕ ((ϕ ψ) ψ), niin BL ϕ ( ψ (ϕ ψ)) ja BL (ϕ& ψ) (ϕ ψ). Näin ollen kohdan (1) avulla saadaan Ł (ϕ ψ) (ϕ& ψ). Toisaalta BL ϕ ( ψ (ϕ& ψ)) ja BL ϕ ( (ϕ& ψ) ψ), joten BL (ϕ&ψ) (ϕ ψ). Siten Ł (ϕ&ψ) (ϕ ψ). 37

LUKU 4. BL-ALGEBROIDEN RAKENTUMINEN ERI LOGIIKOISTA38 (4): Aksiooman A4 mukaan BL ( ϕ&( ϕ ψ)) ( ψ&( ψ ϕ)), jolloin kohdan (2) avulla saadaan Ł ( ϕ&(ψ ϕ)) ( ψ&(ϕ ψ)) ja Ł ((ϕ ψ)& ψ) ((ψ ϕ)& ϕ). Nyt kohdan (3) perusteella Ł ((ϕ ψ) ψ) ((ψ ϕ) ϕ). Määritelmä 4.1.1 Lauselogiikassa P C( L ) konjunktion totuusfunktio on Łukasiewiczin t-normi x L y = max(0, x + y 1). Ainoa peruskonnektiivi on implikaatio, ja totuusvakiona on 0. Muut konnektiivit määritellään seuraavasti: ϕ on ϕ 0, ϕ&ψ on (ϕ ψ), ϕ ψ on ϕ&(ϕ ψ), ϕ ψ on (ϕ ψ) ψ ϕ ψ on ϕ ψ. Konnektiivi on vahva disjunktio, joka on konnektiivin & duaali. Määritelmä 4.1.2 Olkoon Ł logiikka, jossa negaatio ja konjunktio & määritellään, kuten lauselogiikassa P C( L ). Ł -logiikan aksioomat ovat: Ł1: ϕ (ψ ϕ) Ł2: (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) Ł3: ( ϕ ψ) (ψ ϕ) Ł4: ((ϕ ψ) ψ) ((ψ ϕ) ϕ). Lemma 4.1.2 Aksioomat Ł1-Ł4 ovat todistuvia Łukasiewicz-logiikassa. Todistus: Aksiooma Ł1 on todistuva lemman 3.2.2 kohdan (1) perusteella. Aksiooma Ł2 vastaa aksioomaa A1, ja aksioomat Ł3 ja Ł4 ovat todistuvia lemman 4.1.1 kohtien (2) ja (4) mukaan. Lemma 4.1.3 Seuraavat implikaation ja negaation ominaisuudet ovat todistuvia Ł -logiikassa: (1) ϕ ((ϕ ψ) ψ), (2) (ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ)), (3) ϕ ϕ, (4) 0 ϕ, (5) ϕ ϕ, (6) (ϕ ψ) (ψ ϕ), (7) ϕ ϕ.

LUKU 4. BL-ALGEBROIDEN RAKENTUMINEN ERI LOGIIKOISTA39 Todistus: (1): Aksiooman Ł1 mukaan Ł ϕ ((ψ ϕ) ϕ), ja aksiooman Ł4 perusteella Ł ((ψ ϕ) ϕ) ((ϕ ψ) ψ). Nyt aksiooman Ł2 avulla saadaan Ł ϕ ((ϕ ψ) ψ). (2): Kohdan (1) mukaan Ł ψ ((ψ χ) χ), ja aksioomasta Ł2 saadaan Ł (ψ ((ψ χ) χ)) [(((ψ χ) χ) (ϕ χ)) (ψ (ϕ χ))]. Näin ollen Ł [(((ψ χ) χ) (ϕ χ)) (ψ (ϕ χ))]. Aksioomasta Ł2 saadaan myös Ł (ϕ (ψ χ)) (((ψ χ) χ) (ϕ χ)), joten Ł (ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ)). (3): Koska Ł ϕ (ψ ϕ), niin kohdan (2) mukaan Ł ψ (ϕ ϕ). Valitsemalla formulaksi ψ mikä tahansa aksioomista Ł1 - Ł4 saadaan Ł ϕ ϕ. (4): Koska Ł 0 0 eli Ł 0, niin Ł ϕ 0, ja aksiooman Ł3 perusteella Ł 0 ϕ. (5): Koska merkintä ϕ vastaa formulaa ((ϕ 0) 0), niin aksiooman Ł4 mukaan Ł (( 0 ϕ) ϕ). Kohdan (4) perusteella joten Ł ((ϕ 0) 0) ϕ. Ł (( 0 ϕ) ϕ) ϕ, (6): Kohdan (5) mukaan Ł ϕ ϕ, jolloin aksiooman Ł2 avulla saadaan Ł (ϕ ψ) ( ϕ ψ). Nyt aksioomasta Ł3 seuraa, että Ł ( ϕ ψ) (ψ ϕ). (7): Koska Ł ϕ ϕ, niin kohdan (6) perusteella Ł ϕ ϕ. Lemma 4.1.4 BL-logiikan aksioomat A1-A3, A5, A6 ja A8 sekä Łukasiewiczlogiikan kaksoisnegaatioaksiooma ovat todistuvia Ł -logiikassa

LUKU 4. BL-ALGEBROIDEN RAKENTUMINEN ERI LOGIIKOISTA40 Todistus: Aksiooma A1 vastaa aksioomaa Ł2. Koska Ł (ϕ&ψ) (ϕ ψ), Ł (ϕ ψ) (ψ ϕ) ja Ł (ψ ϕ) (ψ&ϕ), niin aksiooma A3 on todistuva Ł -logiikassa. Aksiooma A3 osoitettiin jo todistuvaksi, joten aksiooman A2 osoittamiseksi riittää näyttää, että Ł (ϕ&ψ) ψ. Koska Ł ψ (ϕ ψ), niin Ł (ϕ ψ) ψ eli Ł (ϕ&ψ) ψ. Aksiooma A5 on todistuva Ł -logiikassa, sillä Ł (ϕ (ψ χ)) (ϕ ( χ ψ)), Ł (ϕ ( χ ψ)) ( χ (ϕ ψ)), Ł ( χ (ϕ ψ)) ( χ (ϕ&ψ)) ja Ł ( χ (ϕ&ψ)) ((ϕ&ψ) χ). Aksiooman A6 osoitus todistuvaksi on täysin symmetrinen aksiooman A5 osoituksen kanssa, ja aksiooma A8 sekä kaksoisnegaatioaksiooma on osoitettu todistuviksi lemman 3.2.3 kohdissa (4) ja (5). Määritelmä 4.1.3 Merkintä ϕ ψ vastaa formulaparia (ϕ ψ), (ψ ϕ), ja merkintä ϕ ψ tarkoittaa, että (ϕ ψ) ja (ψ ϕ). Lemma 4.1.5 Konnektiiveilla, ja on seuraavat todistuvat ominaisuudet Ł -logiikassa: (8) (ϕ ψ) ( ϕ ψ), (9) (ϕ ψ) ( ϕ ψ), (10) (ϕ&ψ) ( ϕ ψ), (11) (ϕ ψ) ( ϕ& ψ), (12) ψ (ϕ ψ), (13) (ϕ ψ) (ψ ϕ), (14) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ), (15) (ϕ ψ) (ϕ ψ)&ψ, (16) (ϕ ψ) (ϕ& ψ) ψ, (17) ϕ ϕ, (18) ((ϕ& ψ) ψ) (ϕ (ψ& ϕ)), (19) ((ϕ ψ)&ψ) (ϕ&(ψ ϕ)).