Opiskelijoiden käsityksiä divergenssistä ja roottorista

Laudaturtutkielma Fysiikan opettajan suuntautumisvaihtoehto Opiskelijoiden käsityksiä divergenssistä ja roottorista Ossi Pasanen 2008 Ohjaaja: Tarkastajat: Heimo Saarikko Heimo Saarikko Kaarle Kurki-Suonio HELSINGIN YLIOPISTO FYSIIKAN LAITOS PL 64 (Gustaf Hällströmin katu 2a) 00014 Helsingin yliopisto

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Ossi Pasanen Työn nimi Arbetets titel Title Fysiikan laitos Opiskelijoiden käsityksiä divergenssistä ja roottorista Oppiaine Läroämne Subject Fysiikka (opettajan suuntautumisvaihtoehto) Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages laudaturtutkielma Heinäkuu 2008 61+5 Tiivistelmä Referat Abstract Tässä laudaturtutkielmassa tarkastellaan yliopisto-opintojaan aloittavien fysiikan opiskelijoiden erilaisia tapoja hahmottaa divergenssin ja roottorin käsitteitä, jotka ovat keskeisiä matemaattisia työkaluja fysiikan tutkimuksessa ja soveltamisessa. Tutkimus liittyy Helsingin yliopiston fysiikan laitoksella tehtyyn opetuskokeiluun, jonka tavoitteena on kehittää hahmottavaa ymmärrystä tukevaa divergenssin ja roottorin käsitteiden opetusta. Kokeilu tehtiin yliopistokurssien Fysiikan matemaattiset apuneuvot I ja II yhteydessä. Tutkimus toteutettiin analysoimalla näiden käsitteiden opetusta varten suunniteltujen avointen harjoitustehtävien vastauksia. Matematiikan oppimisen teorioiden mukaan rakenteelliset käsitteet ovat oppimishierarkiassa korkeammalla kuin operationaaliset. Tutkimuksessa havaittiin, että opiskelijat käyttävät divergenssin hahmottamisessa runsaasti sekä rakenteellisia että operationaalisia mielikuvia. Pyörteisyyden yhteydessä perustelut olivat pääasiassa operationaalisia. Runsaampi operationaalisten käsitteiden käyttö pyörteisyyden yhteydessä saattaa liittyä siihen, että pyörteisyys on käsitteenä vaikeammin hahmotettava kuin lähteisyys. Harjoitustehtävässä analysoidun rakenteellisten tai operationaalisten käsitteiden käytön ja myöhemmän koesuoriutumisen välille ei löydetty merkittävää yhteyttä. Käsitteiden empiiristen merkitysten korostaminen opetuksessa saattaa tarjota oikoteitä matemaattisten käsitteiden ymmärtämiselle aiemmin tutkitun matematiikan oppimishierarkian ohitse. Tämän ajatuksen lisätutkimuksella voi olla tärkeä merkitys matematiikan opetukselle. Avainsanat Nyckelord Keywords divergenssi, roottori, korkeakouludidaktiikka, käsitteiden merkitykset Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja övriga uppgifter Additional information

Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Taustaa............................... 3 1.2 Matematiikan suhde empiriaan.................. 4 1.3 Tavoitteiden asettelua....................... 5 1.4 Tutkimuksen toteutuksesta..................... 6 2 Käsitteiden määrittely 9 2.1 Funktio............................... 9 2.1.1 Funktion määritelmä.................... 9 2.1.2 Funktion esitys ja käyttö fysiikassa............ 10 2.2 Funktion raja-arvo......................... 11 2.2.1 Matemaattinen käsite.................... 11 2.2.2 Fysikaalinen näkökulma.................. 12 2.3 Funktion derivaatta......................... 13 2.3.1 Derivaatta tietyssä pisteessä................ 13 2.3.2 Derivaattafunktio...................... 14 2.3.3 Fysikaalinen merkitys.................... 14 2.3.4 Derivaattamerkinnöistä................... 15 2.4 Osittaisderivaatta.......................... 16 2.4.1 Fysikaalinen merkitys.................... 16 2.5 Nablaoperaattori.......................... 17 2.6 Divergenssin fysikaalinen tulkinta................. 18 2.7 Roottorin fysikaalinen tulkinta................... 19 3 Aiemmat tutkimukset ja teoreettinen viitekehys 21 3.1 Tutkimuksia derivaatan opetuksesta................ 21 3.2 Teoreettinen viitekehys....................... 22 3.2.1 Matematiikan oppimisen kognitiivisia teorioita...... 22 3.2.2 Operationaalis-rakenteellinen teoria........... 23

2 SISÄLTÖ 3.2.3 APOS-teoria matematiikan oppimisesta.......... 26 3.2.4 Matemaattisen ajattelun kolme maailmaa........ 26 3.2.5 Avointen kysymysten losoasta.............. 29 4 Opiskelijoiden lähtötason kartoitus 31 4.1 Lähtötasotestin suunnittelu ja kysymysten luokittelu...... 31 4.2 Lähtötasotestin analyysi...................... 34 5 Tutkimusmetodi 43 5.1 Tutkimuksen rakenne........................ 43 5.2 Tutkimusongelmat......................... 43 5.3 Harjoitustehtävän suunnittelu................... 44 5.4 Tutkimusmateriaalin keräys.................... 45 6 Yhteenveto tuloksista 47 6.1 Koetehtävän pisteytys....................... 47 6.2 Harjoitustehtävän kategorisointivaihe............... 48 7 Harjoitus- ja koetehtävän osaamisen vertailu 51 7.1 Lähteisyystehtävän analyysi.................... 51 7.2 Pyörteisyystehtävän analyysi.................... 53 8 Johtopäätökset ja pohdintaa 57 Kirjallisuutta 61

Luku 1 Johdanto 1.1 Taustaa Matematiikka on fysiikan perustyökalu ja äidinkieli, jonka avulla lainalaisuudet ja mallit esitetään täsmällisen tarkasti. Suureiden välisiä kokeellisesti mitattuja riippuvuuksia kuvataan yhtälöillä ja niitä yhdistelemällä luodaan uusia malleja. Malleista voidaan taas johtaa tuloksia, jotka liittyvät yksittäiseen sovellustilanteeseen. Mallin pätevyyttä voidaan jälleen testata kokeellisesti. Tällaisessa uuden tiedon kehittelyssä ja menestyksellisessä soveltamisessa on ymmärrettävä käytettyjä matemaattisia käsitteitä pintaa syvemmältä ja etenkin niiden empiirisisiä merkityksiä. Yhä paremman opiskelijoiden matematiikan oppimisen tueksi on uusien opetusmenetelmien kehittäminen ja niiden toimivuuden testaaminen jatkuva haaste opetuksessa. Vaikka Suomen peruskoulun matematiikan kouluopetuksen tasoa on kehuttu OECD-maiden PISA-tutkimuksessa [13], on alan opettajakunnan sisällä kuitenkin käyty kriittistä keskustelua siitä, mitä tutkimustulokset käytännössä tarkoittavat. Varsinkin korkea-asteen opettajat ovat havainneet, että opiskelijoiden perusmatematiikan taidoissa on sellaisia keskeisiä uuden asian oppimista haittaavia puutteita, jotka eivät PISA-tutkimuksessa ole tulleet näkyviin [20, 3]. Opetuksen tutkimus on Suomessa painottunut perusopetukseen. Koska myös korkeakouluasteella törmätään opetuksellisiin haasteisiin, on tarpeen saada tutkimustietoa myös korkeakouluopetuksen kehittämisen tueksi. Yliopisto-opetuksen kehittämisen tarpeesta onkin ollut viime vuosina yhä enemmän keskustelua [5]. Matematiikan opetuksen tärkeyttä teollisuuden ja tutkimuksen kilpailukyvyn edistämisessä korostetaan myös Valtion Tiede- ja teknologianeuvoston raportissa [29].

4 LUKU 1. Johdanto 1.2 Matematiikan suhde empiriaan Tutkimusaihe kehittyi omassa opetustyössäni tekemieni havaintojen pohjalta. Olen työskennellyt vuodesta 2000 Helsingin yliopiston teoreettisen fysiikan kurssin Matemaattiset apuneuvot parissa ensin kaksi vuotta laskuharjoitusassistenttina, sitten kyselytuntien pitäjänä ja vuodesta 2004 lähtien kurssin luennoitsijana. Erityisesti vuosina 2001-2003 pitämäni kyselytunnit tarjosivat minulle aitiopaikan kuulla opiskelijoiden käsityksiä ja etenkin virhekäsityksiä kurssin aihepiiriin liittyen, sillä kyselytunneilla opiskelijoilla oli mahdollisuus esittää kysymyksiä epäselväksi jääneistä asioista. Yksi perimmäinen piirre kysymyksien taustalla tuntui olevan halu ymmärtää opetettujen matemaattisten käsitteiden yhteys todellisuuteen. Monet kysymykset esitettiin muodossa mitä se tarkoittaa käytännössä [23]. Tämä sai minut huomaamaan, että opiskelijoilla on halu konkretisoida opetettuja matematiikan asioita ja tarve kiinnittää ne jotenkin havaittavaan maailmaan. Alun alkujaan matematiikalla on varsin konkreettiset empiiriset juuret. Matematiikka on kehittynyt luonnon tutkimuksen pohjalta. Yksinkertaisimmallaan matematiikka on lukumäärän laskemista. Tuo kyky meillä ihmisillä näyttää olevan aivoihin jo valmiiksi rakennettuna, kuten vauvojen aivotutkimuksissa on selvinnyt [31]. Peruslaskennon lisäksi geometriset ongelmat ja ajanlaskun tarpeet ohjasivat matematiikan kehitystä muinaiskulttuureissa [28, 19]. Monet matematiikan historian merkkihenkilöt ovat tehneet tutkimusta myös muilla luonnontieteen aloilla. Matematiikkaa opetetaan kuitenkin kaikilla kouluasteilla erillisenä oppiaineena, jolloin yhteys matematiikan ja fysikaalisen luonnontutkimuksen välillä jää paikoin hämäräksi. Tästä syystä tuntui kiinnostavalta tutkia, miten fysiikan laitoksella tapahtuvassa matematiikan opetuksessa voitaisiin paremmin tukea opiskelijoiden kykyä ymmärtää matematiikan empiirisiä merkityksiä etenkin vaikeana koetun usean muuttujan dierentiaalilaskennan tapauksessa. Myös Kaarle Kurki-Suonio korostaa kolmessa luennossaan [14] matematiikan käsitteiden empiiristä perustaa. Matematiikan voidaan nähdä syntyvän fysiikan kanssa rinta rinnan tarkasteltaessa luonnollisten lukujen käsitettä, joka perustuu fysikaalisen suureeseen lukumäärä ja yhteenlaskun empiiriseen lakiin. Matematiikka voidaan irrottaa omaksi rakenteelliseksi järjestelmäkseen, jossa oleellista ovat vain osasten keskinäiset suhteet. Matematiikan ja fysiikan kehityksessä on kuitenkin koko historian ajan ollut paljon keskinäisiä linkkejä, joista Kurki-Suonio käyttää nimitystä empirian portit. Fysiikka tarjoaa matematiikan käsitteille empiirisiä merkityksiä, joiden avulla käsitteet voidaan

1.3. Tavoitteiden asettelua 5 Kuva 1.1: Derivoinnin ketjusäännön analogia mekaanisen hammasratasmallin kanssa [24]. kiinnittää. Kurki-Suonio esittää, että tie matemaattiseen käsitteeseen saattaa olla pitkä, jos sinne joudutaan kulkemaan koko matka matematiikan maailmassa. Sen sijaan empirian kautta käsitteeseen voidaan päästä paljon helpommin. [14] Empirian etuihin matematiikan opetukselle on havahduttu muuallakin. Uusissa korkeakouluihin tarkoitetuissa matematiikan oppikirjoissa esim. [26, 30] matematiikan käsitteiden empiiriset merkitykset ovat voimakkaasti edustettuna. Etenkin kirjassa [30] käytetään fysikaalisia esimerkkejä matematiikan käsitteiden ja relaatioiden jos ei aivan empiirisinä todistuksina niin vähintäänkin empiirisinä analogioina matemaattisen esityksen rinnalla. Yksi suosikeistani on derivoinnin ketjusäännön analogia hammasratasmallin kanssa, jonka itsekin aikoinaan kehitin riippumattomasti omaa luento-opetustani varten (ks. kuva 1.1). Tämän tutkimuksen aihepiiriin liittyy Oregon State Universityn fysiikan ja matematiikan laitosten välinen Bridging the Vector Calculus Gap -projekti. Sen tarkoituksena on rakentaa siltaa perinteisen matemaatikoiden opettaman vektorianalyysin ja fyysikoiden käyttämän matematiikan välille [6, 7]. 1.3 Tavoitteiden asettelua Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelm Leibnizin 1600- ja 1700- lukujen vaihteessa kehittämä dierentiaali- ja integraalilaskenta on keskeisin fysiikassa tar-

6 LUKU 1. Johdanto vittava matematiikan osa-alue. Se pohjautuu derivaatan ja dierentiaalin käsitteisiin. Lukio-opetuksen kehittämiseksi tehdyt tutkimukset ovat osoittaneet, että derivaattaan liittyvien käsitteiden oppimistuloksia voidaan tehostaa representaatioilla [12] eli käsittelemällä derivaattaa objektina, johon liittyy tiettyjä konkreettisesti havaittavia piirteitä, kuten funktion kuvaajan jyrkkyys tai vaakasuoruus. Pidemmälle menevän fysiikan opiskelun tarpeisiin on derivaatan käsitettä laajennettava useamman riippumattoman muuttujan tapaukseen ja vektoriarvoisiin funktioihin. Näiden laajennettujen käsitteiden opetukseen soveltuvia opetusmenetelmiä ei ole kuitenkaan kehitetty tutkimuslähtöisesti, vaikka uudistusprosessi on oppikirjoissa ollutkin havaittavissa. Tässä laudaturtutkielmassa käsitellään Helsingin yliopiston fysiikan laitoksella tehtyä tutkimustyötä, jossa pyrittiin kehittämään ja testaamaan uusia runsaisiin visualisointeihin, konkreettisiin havaintoesimerkkeihin ja konstruktivistisiin harjoitustehtäviin perustuvia opetusmenetelmiä usean muuttujan differentiaalilaskennan opettamisessa. Näiden opetusmenetelmien todellista toimivuutta ei ole ennen kartoitettu tieteellisesti. Tässä laudaturtutkielmassa keskitytään tutkimuksen teoreettisen pohjan esittelyyn, lähtötasotestin analyysiin sekä erikoisvalmistellun harjoitustehtävän vastauskategorioiden ja koeosaamisen välisen riippuvuuden tutkintaan. Tutkielma toimii pohjana lisensiaattityölle, joka sisältää laajempaa arviointia opetuskokeilusta myös yksilötasolla. Tutkimuksen oheistuotteena on syntynyt paljon uudenlaista opetusmateriaalia, joka pohjautuu aiemmissa tutkimuksissa tehdyille havainnoille opiskelijoiden käsitteenmuodostusprosessin toiminnasta. Kehitelty materiaali koostuu erityisistä kurssia varten kehitetyistä opetusvälineistä kuten pyörteisyystestipallot, tietokoneanimaatiot ja visualisoinnit. 1.4 Tutkimuksen toteutuksesta Tutkimustyön toiminnallinen osuus ajoittui syksyn 2007 yliopistokursseihin Matemaattiset apuneuvot I ja II. Matemaattiset apuneuvot I kurssin alussa tehty lähtötasotesti antoi yleiskäsityksen juuri opintonsa aloittaneiden 130 opiskelijan matemaattisfysikaalisen ymmärryksen tasosta. Tutkimuksen kannalta olennaisin uusien opetusideoiden testausvaihe alkoi Matemaattiset apuneuvot I kurssin loppupuoliskolla ja kattoi suuren osan Matemaattiset apuneuvot II kurssin sisällöstä. Kurssin lopussa joulukuussa opiskelijoille annettiin tehtävämoniste, jonka avulla opiskelijat pääsivät omakohtaisesti pohtimaan opetettuja käsitteitä. Opetettujen asioiden lopputestinä toimi yksi aihepiirin

1.4. Tutkimuksen toteutuksesta 7 ymmärtämistä syväluotaava koetehtävä. Keväällä 2008 tein viidelle opiskelijalle tarkemman empiiristä toimintaa sisältävän haastattelututkimuksen, jolla kartoitin opiskelijoiden kognitiivisen kehityksen tasoa usean muuttujan dierentiaalilaskennan käsitteiden ymmärtämisessä sekä formaalin matematiikan, että empiiristen merkitysten näkökulmista. Tutkimus kytkeytyy läheisesti aiempiin lukiotasolle keskittyneisiin tutkimuksiin, erityisesti [12], joiden tuloksia pyrin hyödyntämään ja kehittämään pidemmälle menevään dierentiaalilaskennan opetukseen soveltuvaksi. Tarkoitus on kartoittaa mihin dierentiaalilaskennan ymmärtämisen keskeiset puutteet liittyvät ja miten käsitteiden ymmärtämistä voidaan vahvistaa siten, että opiskelijoilla on kurssin jälkeen selkeä kuva työkalujen käyttökohteista opinnoissaan ja tulevaisuudessa fyysikon työssään. Perustyökalujen parempi ymmärtäminen lisää myös myöhempien opintojen mielekkyyttä ja vaikuttaa näin ehkäisevästi opintojen keskeytyshaluihin.

8 LUKU 1. Johdanto

Luku 2 Käsitteiden määrittely Tämän tutkielman pääteema on erilaisten derivaatan käsitteiden ymmärtäminen fysikaalisesta näkökulmasta ja näiden käsitteiden opettaminen fysiikan opiskelijoille. Tässä kappaleessa määritellään tutkielmassa käytettävät matemaattiset käsitteet ja tarkastellaan niiden tulkintoja ja merkitystä fysiikan kannalta. Osa käsitteistä esitellään hyvinkin yksityiskohtaisesti, sillä niiden määritelmiin sisältyy salakavalia yksityiskohtia, joilla on tärkeä merkitys niiden soveltamisen kannalta. Kappale valottaa myös sitä matemaattista käsitepohjaa, joka tutkijalla on ollut perustana tutkimusta tehdessä ja tämän aihepiirin asioita opettaessa. 2.1 Funktio Funktio on matemaattinen käsite, joka kuvaa kahden alkion välistä riippuvuutta [26, 1, 17]. Erityisesti, kun fysiikassa jonkin suureen y arvo riippuu yksikäsitteisesti jonkun toisen suureen x arvosta, sanotaan, että ensimmäinen suure on jälkimmäisen suureen funktio. 2.1.1 Funktion määritelmä Määritelmä Funktio f on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon x yksikäsitteisen joukon B alkion y, merkitään y = f(x). Alkiota x kutsutaan lähtöjoukkoon A kuuluvaksi riippumattomaksi muuttujaksi eli argumentiksi ja alkio y on kuvajoukkoon B kuuluva riippuva muuttuja eli funktion arvo kyseisellä x:n arvolla. Lähtöjoukosta käytetään myös

10 LUKU 2. Käsitteiden määrittely lähtöjoukko funktio kuvajoukko A x y x f y B sisääntulo: x resepti: f ulostulo: y = f(x) Kuva 2.1: Funktio voidaan ajatella reseptinä. nimitystä määrittelyjoukko (merkitään M f ) ja kuvajoukkoa kutsutaan arvojoukoksi (merkitään A f ). Funktion ilmaisemaa sääntöä kutsutaan toisinaan kuvaukseksi ja sitä voidaan merkitä f : x y. Funktion toimintaa voidaan havainnollistaa kuvassa 2.1 esitetyllä prosessilla, jossa funktion määräämä resepti muuntaa sisääntuloalkion ulostuloalkioksi. 2.1.2 Funktion esitys ja käyttö fysiikassa Tämän tutkielman kannalta tärkeimmät funktion esitysmuodot ovat eksplisiittinen symbolinen esitys ja graanen esitys. Eksplisiittisessä esityksessä suureiden välistä riippuvuutta kuvataan sellaisella matemaattisella lausekkeella, josta riippuvan muuttujan arvo saadaan suoraan laskemalla. Graasessa esityksessä riippuvuus esitetään funktion kuvaajan avulla koordinaatistossa. Funktioon liittyvät määrittely- ja arvojoukot voivat olla minkä tahansa objektien joukkoja. Tässä tutkimuksessa rajoitutaan kuitenkin luonnontieteellisissä sovelluksissa tärkeimpiin funktiotyyppeihin, joiden määrittely- ja arvojoukot pohjautuvat reaalilukujen joukkoon. Fysiikassa funktion lähtö- ja arvojoukot ovat useimmiten fysikaalisia suureita eli luonnonilmiöiden mitattavia ominaisuuksia, joilla on mitattavan lukuarvon lisäksi myös dimensio [15]. Tarkasteltavat funktiotyypit ovat: Reaalifunktiot y = f(x), joiden määrittely- ja arvojoukkona on reaalilukujen joukko tai sen osajoukko x M f = R ja y A f = R. Usean muuttujan reaalifunktiot y = f(x 1, x 2,..., x n ) = f(x), jossa määrittelyjoukko koostuu järjestetyistä lukujonoista eli vektoreista 1 x = (x 1, x 2,..., x n ) M f = R n ja arvojoukkona on reaalilukujen joukko y A f = R. 1 Vektorisuureet kirjoitetaan tässä tutkielmassa lihavoitua fonttia käyttäen. Esimerkiksi 3-ulotteisen karteesisen koordinaatiston paikkavektori on r = xi + yj + zk.

2.2. Funktion raja-arvo 11 Vektorifunktiot y = F(x), missä määrittelyjoukko on n-ulotteinen reaalinen vektoriavaruus ja arvojoukko m-ulotteinen vektoriavaruus. Vektorifunktio F on funktiokokoelma, joka sisältää m kappaletta usean muuttujan funktioita f i (x) eli vektorin komponentteja. Funktio voidaan kirjoittaa vektorimuodossa F = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)). Tässä tutkimuksessa tärkeimpiä näistä ovat vektorifunktiot 3-ulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa, jossa M f = A f = R 3. Fysiikassa funktioilla kuvataan skalaari- tai vektorisuureiden riippuvuutta yhdestä tai useammasta skalaari- tai vektorisuureesta. Esimerkiksi kinematiikassa funktioilla esitetään kappaleen paikkaa, nopeutta ja kiihtyvyyttä kuvaavien vektorisuureiden riippuvuus skalaarisuureesta aika: r(t), v(t), a(t). Nestevirtauksia mallinnettaessa tarvitaan funktiota v(r, t), joka esittää nestealkion virtausnopeutta tietyssä avaruuden pisteessä r tietyllä hetkellä t. Kokeellisessa tutkimuksessa suureiden riippuvuussuhde määritetään vaihtelemalla riippumattoman suureen arvoa ja mittaamalla sitä vastaavia riippuvan suureen arvoja. Tulokset kirjataan ylös manuaalisesti taulukkoon tai automatisoidussa mittausjärjestelmässä taulukkomuotoiseen tiedostoon. Kokeellisesti määritetty suureiden välinen riippuvuus esitetään yleensä graasesti kuvaajana. Teoreettisessa tutkimuksessa suureiden välistä funktionaalista riippuvuutta kuvataan eksplisiittisellä matemaattisella lausekkeella. Molemmissa tapauksissa matemaattinen kuvailu on fysikaalisen todellisuuden malli, joka vastaa tietyllä tarkkuudella tutkittavaa ilmiötä. 2.2 Funktion raja-arvo 2.2.1 Matemaattinen käsite Funktion raja-arvo on peruskäsite, johon dierentiaalilaskenta perustuu. Epäformaalisti raja-arvo voidaan määritellä seuraavasti [1]. Määritelmä (epäformaali) Olkoon funktio f(x) määritelty pisteen x = x 0 ympäristössä. Jos funktion arvo f(x) lähestyy mielivaltaisen lähelle lukua L, kunhan x valitaan riittävän läheltä pistettä x 0, on funktion raja-arvo pisteessä x = x 0 yhtä kuin L. Merkitään: lim f(x) = L. x x 0

12 LUKU 2. Käsitteiden määrittely Usein tämä epäformaali määritelmä on matematiikan soveltajalle täysin riittävä, sillä raja-arvo on pohjakäsite, johon seuraavan tason käsitteet perustuvat, mutta raja-arvoa ei sellaisenaan juuri tarvita sovelluksissa. Määritelmässä esiintyy kuitenkin kaksi salakavalaa ilmaisua: lähestyy mielivaltaisen lähelle ja valitaan riittävän läheltä, joiden matemaattinen merkitys on tarpeen täsmentää. Formaalisti raja-arvo määritellään seuraavasti [17, 1]. Määritelmä (formaali) Funktion f(x) raja-arvo pisteessä x 0 on L, merkitään lim x x0 f(x) = L, jos kaikille luvuille ɛ > 0 on olemassa jokin sellainen luku δ ɛ > 0 siten, että ehdon 0 < x x 0 < δ ɛ toteuttavilla x:n arvoilla pätee f(x) L < ɛ. Mielivaltaisen lähellä ja riittävän lähellä tarkoittavat näitä kahta lukua ɛ ja δ ɛ. Koska reaaliluvut täyttävät lukusuoran aukottomasti [1], on matemaattisesta näkökulmasta täysin mielekästä valita luku avoimelta väliltä ]0, [ vaikka miten läheltä nollaa. Tarkastellaan määritelmää seuraavaksi fysikaalisesta näkökulmasta. 2.2.2 Fysikaalinen näkökulma Olkoon tarkasteltavana kahden fysikaalisen suureen x ja y välistä riippuvuutta kuvaava funktio f eli y = f(x). Tällöin funktion f raja-arvolla pisteessä x 0 tarkoitetaan sitä suureen y arvoa, jota f(x) lähestyy mielivaltaisen lähelle, kun suureen x arvo valitaan riittävän läheltä arvoa x 0, kuitenkin niin, että erotus x x 0 on dimensiollisten lukuarvojen 0 ja δ ɛ välissä, 0 < x x 0 < δ ɛ. Määritelmä siis olettaa, että kahden mittauksen välinen erotus voisi olla miten pieni tahansa olematta kuitenkaan nolla. Tämä on fysikaalisesti mieletön ajatus. Yhtäältä absoluuttisen tarkat mittaukset ovat fysikaalisesti mahdottomia. Toisaalta tutkimus on paljastanut, että pienessä mittakaavassa luonto näyttäytyy mittauksissa epäjatkuvana eli suureiden arvot ovat kvantittuneet.mitattavissa olevat suureiden arvot eivät siis täytä lukusuoraa samalla tavalla aukottomasti kuin reaaliluvut. [15] Fysikaalisten ilmiöiden mallintamiseen käytetyt matemaattiset mallit sisältävät siten jatkuvuuden idealisaation, jolle ei ole fysikaalista vastinetta. Mallin hyvyys riippuukin siitä, voidaanko empiirisesti rajallisen kokoiset erotukset ɛ ja δ ɛ valita tarkasteltavassa systeemissä niin pieniksi, että tulos on mittaustarkkuuden rajoissa sama kuin matemaattista määritelmää käytettäessä [15].

2.3. Funktion derivaatta 13 2.3 Funktion derivaatta Luonnonilmiöitä tutkittaessa tarkkaillaan, millaista tutkittavien suureiden muutos on. Tarkastellaan mitattavaa suuretta edustavan funktion f(x) arvoja kahdella argumentin arvolla x 0 ja x 1. Tällöin suureen f(x) absoluuttinen muutos f(x) tilanteessa, jossa x muuttuu arvosta x 0 arvoon x 1, määritellään näitä vastaavien funktion arvojen erotuksena f(x) = f(x 1 ) f(x 0 ). Absoluuttinen muutos liittyy aina valittuun tarkastelun alkupisteeseen x 0 ja argumentin absoluuttiseen muutokseen x = x 1 x 0 ja se voidaan kirjoittaa muodossa f(x) = f(x 0 + x) f(x 0 ). (2.1) Paremmin vertailukelpoinen funktion muutoksen mitta on absoluuttisen muutoksen sijaan funktion arvon suhteellinen muutos argumentin muutokseen nähden. Tätä suhteellisen muutoksen lauseketta kutsutaan myös erotusosamääräksi f(x) x = f(x 0 + x) f(x 0 ). (2.2) x Suhteellinen muutos kuvaa funktion arvon keskimääräistä muutosnopeutta argumentin muutoksen suhteen välillä x 0... x 1. 2.3.1 Derivaatta tietyssä pisteessä Funktion derivaatta pisteessä x = x 0 määritellään erotusosamäärän (2.2) rajaarvona, kun argumentin muutos x lähestyy nollaa. Määritelmä Funktion f(x) derivaatta kohdassa x = x 0 on df dx = lim x=x0 x 0 f x = lim f(x 0 + x) f(x) x 0 x (2.3) Graasesti funktion suhteellinen muutos vastaa funktion kuvaajalle pisteiden (x 0, f(x 0 )) ja (x 1, f(x 1 )) kautta piirretyn sekantin kulmakerrointa ja funktion derivaatta vastaa funktion kuvaajan tangentin kulmakerrointa pisteessä (x 0, f(x 0 )). Tätä on havainnollistettu kuvassa 2.2.

14 LUKU 2. Käsitteiden määrittely y y=f(x) f(x 0 ) sekantti f(x 1 ) tangentti x 0 x 1 x Kuva 2.2: Funktion f(x) keskimääräinen muutosnopeus argumentin x muutokseen nähden vastaa sekantin kulmakerrointa. Hetkellinen muutosnopeus eli derivaatta vastaa graasesti kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. 2.3.2 Derivaattafunktio Edellä annettu lauseke määrittelee derivaatan tietyssä tarkastelupisteessä. Derivaatan määritelmä siis liittää tiettyyn funktion määrittelyjoukon pisteeseen a M f lukuarvon df dx. Jos derivaatta on määritelty kaikissa määrittelyjoukon pisteissä, muodostuu näistä derivaatan arvoista funktio x=a määrittelyjoukolta M f derivaatan lukuarvojen joukolle A derivaatta. Tätä funktiota kutsutaan derivaattafunktioksi ja merkitsemme sitä pilkulla alkuperäisen funktion nimen perässä f. Siispä derivaattafunktion arvo tietyssä yksittäisessä pisteessä x 0 vastaa funktion derivaatan arvoa kyseisessä pisteessä ja voidaan merkitä f (x 0 ) = df dx. Derivaattafunktiolle käytetään myös merkintää Df(x), jossa x=a derivointimerkki D on käsky suorittaa derivointi perään kirjoitetulle funktiolle. 2 2.3.3 Fysikaalinen merkitys Tyypillinen tutkittava ilmiö fysiikassa on suureen aikariippuvuuden määrittäminen. Tällöin tutkittavan suureen arvoa mitataan eri ajanhetkillä valittuun alkuhetkeen nähden. Tarkasteltaessa samanpituisia aikavälejä, saattaa suureen arvon muutos olla eri suuruinen eri mittauksissa. Tällöin suureen keskimää- 2 D-merkistä käytetään myös nimitystä derivointioperaattori.

2.3. Funktion derivaatta 15 räinen muutosnopeus ajan suhteen on ollut erilainen eri mittausväleillä. Kun aikaväliä lyhennetään lähestytään hetkellisen muutosnopeuden eli suureen aikaderivaatan käsitettä. Mittaustekniikka asettaa käytännön rajoituksia, miten lyhyt kahden mittauksen aikaväli voi käytännössä olla. Empiiriseltä kannalta derivaatta voidaan siten tulkita kahden toisistaan riippuvan suureen absoluuttista muutosta kuvaavien ns. dierentiaalien osamääränä. Dierentiaali on fysiikassa tärkeä käsite ja sillä tarkoitetaan hyvin pientä mitattavissa olevaa suureen muutosta. Muutoksen pienuuden korostamiseksi käytetään tavallisen -merkinnän sijasta d -kirjainta suurenimen edessä. Kun esimerkiksi suureen s muutos s on hyvin pieni, voidaan merkitä ds = s. Jos esimerkiksi kappaleen paikasta tehdään kaksi peräkkäistä mittausta lyhyen aikavälin dt aikana ja havaitaan paikan muuttuneen näiden mittausten välillä määrällä ds, voidaan kappaleen hetkellistä nopeutta mittausten aikana approksimoida lausekkeella v ds dt. (2.4) Mitä pienemmäksi aikaväli saadaan, sitä paremmin oikealla oleva osamäärä vastaa kappaleen hetkellistä nopeutta. 3 2.3.4 Derivaattamerkinnöistä Derivaatan eri merkintätavat heijastelevat erilaisia näkökulmia käsitteeseen. Esittelemme myöhemmin kappaleessa 3.2.2 matematiikan käsitteiden operationaalisen ja rakenteellisen näkökulman, jotka edustavat käsitteiden jäsentymisen eri kehitysvaiheita niin matematiikan historiassa kuin yksilötasolla. Differentiaalimerkinnän df voidaan nähdä heijastelevan derivaatan operationaalista puolta: derivaatan määrittämiseksi funktiolle on tehtävä jotain. Pilk- dx kumerkintä f (x) puolestaan esittää derivaatan rakenteellisena käsitteenä. Derivaatta on ruumiillistunut objektiksi: Jos f on funktio, niin f on sen derivaatta. Derivaatan merkitsemisessä dierentiaaliosamääränä on etu, että se korostaa empiiristä puolta. Kullakin dierentiaalilla on emosuureensa dimensio. Tällöin dierentiaaliosamäärän dimensio on sama kuin kyseisten emosuureiden osamäärän dimensio. Tämä on välittömästi nähtävissä derivaatan dierentiaalimuotoisesta merkinnästä. Pilkku- ja D-merkinnässä derivaatan dimensiot ei- 3 Käytännössä tilanne ei tosin ole näin yksinkertainen, sillä aikaväliä pienennettäessä mittausten suhteellinen virhe kasvaa, mikä vääristää nopeudelle saatavaa laskettua arvoa.

16 LUKU 2. Käsitteiden määrittely vät ole suoraan näkyvissä. Toinen etu dierentiaalimerkinnästä on, että sen avulla kirjoitettu derivaatta antaa suoran mittausreseptin derivaatan numeerisen arvon laskemiseksi. 2.4 Osittaisderivaatta Usean muuttujan funktion arvo voi muuttua minkä tahansa muuttujan muuttuessa. Tällaisen funktion riippuvuutta yksittäisestä muuttujasta kuvataan osittaisderivaatalla kyseisen muuttujan suhteen kaikkien muiden muuttujien pysyessä muuttumattomina. Kyseessä on yhden muuttujan funktion derivaatan käsitteen laajennus. Määritelmä Usean muuttujan funktion g(x 1, x 2,..., x n ) osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä (x 1, x 2,..., x n ) on g x i = lim (x1,x 2,...,x n) x 0 g(x 1, x 2,..., x i + x,..., x n ) g(x 1, x 2,..., x n ). x (2.5) Osittaisderivaatan käsitteessä on siis mukana sama raja-arvon avulla määritelty rajankäyntiprosessi kuin tavallisessa yhden muuttujan derivaatassakin. Pidetään vain huolta siitä, että useista muuttujista tutkitaan aina yhden muuttujan muutosta kerrallaan. Funktion g osittaisderivaattaa muuttujan x i suhteen merkitään usein lyhyesti i g. 2.4.1 Fysikaalinen merkitys Monissa fysikaalisissa ilmiöissä tutkittava suure riippuu useamman kuin yhden suureen arvosta. Sopivasti suunnitellussa koetilanteessa saattaa kuitenkin olla mahdollista rajoittaa tutkittavaa ilmiötä siten, että riippuvuutta määritettäessä muutellaan vain yhtä suuretta kerrallaan. Tällöin tilanne vastaa efektiivisesti edellä tarkasteltua yhdestä muuttujasta riippuvaa tapausta. Osittaisderivaatan symbolisessa esityksessä esiintyvien g ja x merkintöjen empiirinen tulkinta dierentiaaleina on hyvin samanlainen kuin edellä käsiteltyjen yhden muuttujan tapauksessa. Dierentiaali g kuvaa suureen g pientä muutosta silloin, kun muuttuja x muuttuu pienellä määrällä x muiden g:n arvoon vaikuttavien muuttujien pysyessä muuttumattomina.

2.5. Nablaoperaattori 17 Kuva 2.3: Maaston korkeusproili h(x, y). Osittaisderivaatta eri koordinaattien suhteen kertoo maaston jyrkkyyden kyseisen koordinaatin suuntaisessa siirtymässä. Maantieteellisgeometrisenä esimerkkinä tarkasteltavana voi olla esimerkiksi kaksiulotteisessa tasossa määritelty maaston korkeusproili h(x, y), joka kertoo maaston korkeuden pisteessä (x, y) merenpinnasta mitattuna (kuva 2.3). Osittaisderivaatan h(x,y) geometrinen merkitys on nyt maaston jyrkkyys liikuttaessa x-akselin suunnassa eli pinnalle piirretyn x-akselin suuntaisen x tangenttisuoran kulmakerroin. Osittaisderivaatta y-akselin suhteen on vastaava jyrkkyys y-akselin suuntaisessa siirtymässä. 2.5 Nablaoperaattori Monen muuttujan dierentiaalilaskennassa usein vastaantulevat derivaatat voidaan kirjoittaa yksinkertaisessa helposti käsiteltävässä symbolisessa muodossa ns. nablaoperaattorin (symboli ) avulla. Operaattori on vektorimuotoinen kokoelma edellä määritellyistä osittaisderivaattaoperaattoreista x i, missä indeksi i viittaa koordinaattiakselin järjestysnumeroon avaruudessa, jonka kanta on {ê 1, ê 2,..., ê n }. Nablaoperaattorin määritelmä on ( = ê 1 ) + ê 2 +... + +ê n, (2.6) x 1 x 2 x n missä ê i tarkoittaa koordinaattiakselin x i suuntaista yksikkövektoria. Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa nabla on ( = i x + j y + k ) z (2.7)

18 LUKU 2. Käsitteiden määrittely standardikantavektoreiden {i, j, k} avulla lausuttuna. Koska nabla on muodoltaan vektori, voidaan sillä operoida sekä skalaari- että vektorifunktioihin eri kertolaskutoimitusten avulla. 3-ulotteisessa avaruudessa nablan avulla määriteltävät peruslaskutoimitukset ovat [18] gradientti h, (2.8) divergenssi F, (2.9) roottori F, (2.10) missä h on skalaarifunktio ja F vektorifunktio kolmiulotteisessa avaruudessa. Tässä tutkielmassa keskitymme vain divergenssiin ja roottoriin 2- tai 3- ulotteisessa avaruudessa. Koska kyse on dierentiaalilaskennasta eli analyysistä, jonka kohteena ovat nyt vektoriarvoiset funktiot, käytetään tästä aihepiiristä myös lyhyttä nimitystä vektorianalyysi. 2.6 Divergenssin fysikaalinen tulkinta Vektorifunktion F(x, y, z) divergenssi eli lähteisyys F = F x x + F y y + F z z (2.11) on muodoltaan skalaarisuure. Kyseessä on muodollisesti kahden vektorin pistetulo. Tässä divergenssin lauseke on esitetty karteesisessa standardikannassa. Se on kuitenkin suureena koordinaatistovalinnasta riippumaton. Sovelluksissa tarvitaan myös divergenssin esitystä sylinteri- ja pallokoordinaatistomuodossa. Divergenssillä on sama tulkinta sekä kahdessa että kolmessa ulottuvuudessa. Olkoon v(x, y, z) nesteen virtausnopeus. Tällöin divergenssin v arvo pisteessä (x, y, z) tarkoittaa nettovuota tilavuusyksikköä kohti eli vuon tiheyttä tarkasteltavassa pisteessä [30]. Jos divergenssi on positiivinen, on tarkastelupisteessä lähde ja virtaus ulos on suurempi kuin sisään eli pisteestä pulppuaa nestettä ulos tai neste laajenee tarkastelupisteessä. Jos taas vuo on negatiivinen, on kyseessä nielu ja piste imee nestettä sisäänsä tai neste puristuu kokoon. Kun divergenssi on nolla, on kenttä tarkastelupisteessä lähteetön. Piste tulee tässä ymmärtää fysikaalisessa mielessä dierentiaalisena tilavuusalkiona.

2.7. Roottorin fysikaalinen tulkinta 19 Toinen tyypillinen fysikaalinen esimerkki lähteisyydestä on Maxwellin I laki, joka voidaan esittää muodossa D(r) = ρ(r). (2.12) Laki kertoo varaustiheyden toimivan sähkövuon tiheyden lähteisyytenä [16]. 2.7 Roottorin fysikaalinen tulkinta Vektorifunktion F(x, y, z) roottori eli pyörteisyys i j k F = x y z = i( y F z z F y ) j( x F z z F x ) + k( x F y y F x ). F x F y F z (2.13) on muodoltaan vektorisuure. Lauseke on muodollisesti kahden vektorin vektoritulo. Tämäkin suure voidaan lausua ekvivalentisti sylinteri- tai pallokoordinaatistossa sovellustilanteen tarpeiden mukaan. Roottoria voidaan käsitellä myös kaksiulotteisena versiona rajoittamalla tarkasteltava vektorikenttä tasoon. Esimerkiksi xy-tasossa roottori on muotoa F = k( x F y y F x ). (2.14) Divergenssin tapaan myös roottorin fysikaalinen tulkinta voidaan esittää nestevirtauksen avulla. Jos pyörteiseen nestevirtaukseen asetetaan pieni testipallo, se lähtee pyörimään. Pyörteisyysvektorin suunta määräytyy ns. oikean käden säännöllä 4 pallon pyörimisakselista ja kiertosuunnasta. Pyörteisyysvektorin pituus kuvaa pyörteisyyden voimakkuutta ja se on verrannollinen testipallon pyörimisnopeuteen. Pyörteisyysvektori vastaa siten fysikaalisesti kerrointa vaille testipallon kulmanopeusvektoria. Jos testipallo pyörii, esiintyy kyseisessä mittauspisteessä pyörteisyyttä ja pyörteisyysvektorin pituus on suurempi kuin nolla. Rajatapauksessa, jossa testipallo pysyy paikallaan eli F = 0, sanotaan kenttää pyörteettömäksi. Koska pyörteisyys on vektorisuure, ei sen sijaan ole oikein puhua positiivisesta tai negatiivisesta pyörteisyydestä muutoin kuin 2-ulotteisen tarkastelun tapauksessa. 4 Kun oikean käden sormet etusormesta pikkurilliin asetetaan kaarelle osoittamaan pallon kiertosuuntaa, niin pyörimisakselin suuntaisesti pystyyn nostettu peukalo määrää pyörteisyysvektorin suunnan.

20 LUKU 2. Käsitteiden määrittely Kuva 2.4: Tasoon rajoittuneessa kaksiulotteisessa virtauskentässä pyörteisyyden detektorina voidaan käyttää siipiratasta. Pyörteisyysvektorin suunta määräytyy rattaan kiertosuunnasta oikean käden säännön mukaisesti. Kaksiulotteisessa tilanteessa pyörteet ovat rajoittuneet tasoon ja täten on olemassa vain kaksi mahdollista pyörteen suuntaa. Testipallo voidaan tässä tilanteessa korvata siipirattaalla [30], jonka akseli on kohtisuorassa tarkastelutasoa vastaan. Kun tehdään valinta positiivisesta kiertosuunnasta tasossa, voidaan pyörrettä kuvata pelkällä reaaliluvulla, jonka etumerkki ilmaisee pyörteen suunnan. Tieto pyörteisyyden vektorialkuperästä on vain kätketty positiivisen kiertosuunnan valintaan ja oikean käden sääntöön. Kuvassa 2.4 on esitetty siipirattaan pyörimissuunnan ja pyörteisyysvektorin välinen yhteys oikean käden säännön mukaisesti. Toinen tyypillinen fysikaalinen esimerkki pyörteisyydestä on Maxwellin IV lain staattinen osa, joka voidaan esittää muodossa H(r) = J(r), (2.15) missä H on magneettikentän voimakkuus ja J on virrantiheys tarkastelupisteessä. Laki kertoo, että stationaarinen virtajakauma synnyttää ympärilleen pyörteisen magneettikentän. Magneettivuon tiheyden pyörteisyys tarkastelupisteessä on yhtä suuri kuin virrantiheys [16]. Virrantiheysvektori määrää siis pyörteisyysakselin.

Luku 3 Aiemmat tutkimukset ja teoreettinen viitekehys 3.1 Tutkimuksia derivaatan opetuksesta Yhden muuttujan funktioiden derivaatan opetuksesta ja oppimisesta on paljon aiempia tutkimuksia sekä Suomessa että ulkomailla. Esimerkiksi Markus Hähkiöniemi tutki väitöskirjassaan [12] opiskelijoiden derivaatan opiskelussa käyttämiä representaatioita. Tutkimusten mukaan derivaatan oppimista voi tukea ottamalla opiskelijoiden erilaiset representaatiot huomioon. Representaatioilla tarkoitetaan yleisesti erilaisia ajattelun apuvälineitä. Ne voivat olla esimerkiksi symbolisia, graasia tai kinesteettisiä [12]. Hähkiöniemen tutkimuksen opetuskokeilu perustui ajatukselle, että derivaatan havaitseminen funktion kuvaajasta auttaa derivaatan oppimista. Tätä ovat tutkineet esimeriksi Berry ja Newman [4]. He selvittivät Yhdysvaltalaisten yliopisto-opintoja aloittavien opiskelijoiden ymmärrystä derivaatan käsitteestä. Heidän havaintonsa oli, että monilla opiskelijoilla oli algebrallissymbolinen käsitys derivaatasta ja heidän oli vaikea löytää yhteyttä derivoidun funktion kuvaajan ja alkuperäisen funktion välillä. Opiskelijoilta näytti puuttuvan derivaatan intuitiivinen idea. Opiskelijat pääsevät läpi kursseista tietäen, että heidän `täytyy etsiä derivaatan nollakohta' kuitenkaan ymmärtämättä, miksi se on tärkeää. [4] Gray ja Tall käsittelevät asiaa teoreettisemmin [11]. He esittävät, että oppiminen voi tapahtua siten, että opittava käsite omaksutaan ensin mielikuvaobjektina. Esimerkiksi derivaatan hahmo voidaan oppia tutkimalla funktion kuvaajaan jyrkkyyttä. Tämä konkreettinen derivaatan hahmo muuntuu vähitellen mielessä abstraktimmaksi ja lopulta se voidaan irrottaa alkuperäises-

22 LUKU 3. Aiemmat tutkimukset ja teoreettinen viitekehys tä konkreettisesta kiinnityksestä. Symbolitasolla oppiminen tapahtuu puolestaan prosessien kautta oppimalla derivaatan ominaisuuksia symbolisia laskutoimenpiteitä tehden, kuten tutkimalla, mitä symbolisen funktion lausekkeen derivaattana saadaan. Tässä esiteltävä tutkimus kohdistuu yhden muuttujan funktioiden sijasta useamman muuttujan funktioiden derivaattoihin ja laajentaa siten aiempien tutkimusten kenttää. Edellä mainitut tutkimukset on tehty matematiikan opetuksen näkökulmasta. Tässä tutkimuksessa sen sijaan korostetaan fysiikan näkökulmaa. Fysiikan sovellusten kannalta derivaatan empiiristen merkitysten ymmärtäminen on tärkeää. Tämä fysiikan tarve on sopusoinnussa tässä kappaleessa käsiteltävien matemaattisten käsitteiden oppimisesta muodostettujen teorioiden kanssa. Tutkimusten mukaan uusien matemaattisten käsitteiden opiskelu on hyvä aloittaa juuri operationaaliselta puolelta, jossa korostuvat derivaatan käsitteiden empiirisesti tärkeät ominaisuudet. 3.2 Teoreettinen viitekehys Tässä kappaleessa esitettävä teoreettinen viitekehys kattaa koko tutkimusprojektin ja on siten pohjana kaikelle analyysille ja suunnittelulle. Riippuu kuitenkin käytettävän materiaalin luonteesta, millä tasolla erilaiset tutkimuksessa kerätyt materiaalit voidaan lopulta analysoida. Tässä laudaturtutkielmassa tarkastelumme ensin esitestiä, jonka käsittely on lähinnä tilastollista ja kuvailevaa eikä perustu tässä käsiteltäville kognitiivisille teorioille. Harjoitustehtävän ja koeosaamisen suhteen analyysi tehdään sen sijaan seuraavassa esiteltävien mallien pohjalta. 3.2.1 Matematiikan oppimisen kognitiivisia teorioita Vuonna 1965 Piaget oli yksi ensimmäisiä lasten matemaattisen ajattelun kehitystä tutkineita teoreetikoita. Piaget'n mukaan kehitys on kolmitasoinen [27]: empiirisen abstraktion tasolla lapsi konstruoi objektien ominaisuuksille merkityksiä pseudo-empiirisen abstraktion tasolla lapsi konstruoi merkityksiä niille ominaisuuksille, joita erilaiset toimenpiteet aiheuttavat tarkasteltaville objekteille reektiivisen abstraktion tasolla toimenpiteistä ja operaatioista tulee itsenäisiä ajattelun välineitä.

3.2. Teoreettinen viitekehys 23 Piaget'n ajatuksia on sittemmin laajennettu ja kehitetty kuvaamaan korkeamman tason matematiikan opiskelulle ominaisia kognitiivisia rakenteita. Varsinkin Yhdysvalloissa matematiikan korkeakouluopetuksen kehityksen ja arvioinnin yhtenä välineenä käytetään ns. APOS-teoriaa [8], jossa ajattelun kehittymistä kuvataan neliportaisena tienä toimenpiteiden ja prosessien kautta mieleen rakentuviksi objekteiksi ja vähitellen näiden ympärille rakentuvaksi kartaksi. APOS-teoriaan liittyvistä tutkimuksesta riippumatta Sfard kehitti samankaltaisen operationaalis-rakenteellisen kognitiivisen teorian, joka korostaa matematiikan operationaalisen ja rakenteellisen puolen dualistisuutta [25]. Gray ja Tall katsovat asiaa symbolien näkökulmasta ja korostavat symbolien merkitystä linkkinä prosessin ja ajateltavan käsitteen välillä. He käyttävät tästä linkistä nimitystä prosepti [11]. Vuonna 2004 Tall päätyi aiempien tutkimustensa perusteella uuteen kolmihaaraisen matematiikan oppimista kuvaavan teorian, jota hän kutsuu nimellä matematiikan kolme maailmaa [27]. Tarkastelemme seuraavaksi yksityiskohtaisesti APOS-teoriaa, operationaalisrakenteellista teoriaa ja teoriaa matematiikan kolmesta maailmasta. [2] 3.2.2 Operationaalis-rakenteellinen teoria Anna Sfard esittää 1991 julkaistussa artikkelissaan [25], että on olemassa kahdenlaisia matemaattisia käsitteitä. Objektin tyyppiset käsitteet ovat olemassa käsitteinä vain omassa matematiikan maailmassaan. Niitä voidaan kyllä esittää paperilla symboleina, mutta matematiikan kannalta niiden olemassaolo ei ole kiinnostavaa. Kiinnostavaa on ainoastaan se, millaisia näitä objekteja koskevat säännöt ja lait ovat. Matematiikan opiskelijan täytyy kehittää kyky nähdä ja kuvitella nämä näkymättömät matemaattiset objektit. Matemaattisissa määritelmissä nämä käsitteet esiintyvät aivan kuin ne olisivat abstrakteja objekteja. Tästä Sfard käyttää nimitystä matematiikan rakenteellinen puoli. Toisenlainen tapa ajatella matemaattisia käsitteitä ovat käsitteet, jotka voidaan määritellä prosesseina. Luonnolliset luvut voidaan määritellä lukumäärän laskemisen prosessin avulla. Tämä kuvastaa matematiikan operationaalista puolta. Rakenteellinen puoli on staattinen ja ajaton, operationaalinen puoli on dynaaminen tapahtumaketju. Sfard väittää, että rakenteellinen ja operationaalinen matematiikan näkemys ovat toisilleen komplementaarisia eli kaikki matemaattiset käsitteet voidaan ajatella joko operationaalisina tai rakenteellisina käsitteinä. Rakenteellinen puoli on abstraktimpi ja vaikeampi hahmottaa kuin operationaalinen. Sfardin artikkelissa on esimerkkejä, miten sama matemaattinen käsite voidaan määritellä näillä kahdella eri tavalla. Esimerkiksi

24 LUKU 3. Aiemmat tutkimukset ja teoreettinen viitekehys funktio on rakenteellisena käsitteenä joukko järjestettyjä pareja. Operationaaliselta kannalta funktio on laskennallinen prosessi tai sääntö, jolla päästään yhdestä systeemistä toiseen systeemiin. Vastaavasti edellä mainitut luonnolliset luvut voidaan operationaalisen lukumäärän laskemisen sijasta määritellä myös rakenteellisena joukko-opillisena käsitteenä. [25] Strukturaaliset ja operationaaliset käsitteet näkyvät myös siinä, miten ihmiset käsittelevät niitä mielessään. Toisinaan matemaattisia käsitteitä havainnollistetaan mielikuvina toisinaan niistä käytetään mielessä verbaalista kuvausta. Mielikuvat liittyvät strukturaaliseen käsitykseen ja verbaaliset operationaaliseen. Visualisaatio tekee abstrakteista käsitteistä helpommin tartuttavia ja niistä tulee melkein materiaalisia olioita. Visuaalinen informaatio on välitöntä. Mielikuvan ominaisuudet ovat välittömästi saatavilla. Verbaaliseen käsitteeseen pääsee käsiksi vasta purkamalla sen tapahtumaketjuna auki mielessä. [25] Oleellista näissä kahdessa näkökulmassa on niiden erilainen kognitiivinen taso. Sfard argumentoi, että rakenteelliset käsitteet ovat abstraktimman tason käsitteitä kuin operationaaliset käsitteet ja käsitteen muodostuksessa operationaalinen käsite edeltää yleensä rakenteellista käsitettä. Rakenteelliset käsitteet ovat siis operationaalisten prosessien tuotoksia. Sfard perustelee esimerkein, että näin tapahtuu sekä yksilön käsitteen muodostuksessa, että matematiikan kehityksessä yleisemminkin. 1 Tärkeät matemaattiset edistysaskeleet ovat tapahtuneet Sfardin mukaan vasta siinä vaiheessa, kun operationaalinen käsite on pystytty ilmaisemaan rakenteellisessa asussa. Esimerkiksi alunperin prosessina määriteltyjen funktioiden määrittely rakenteellisena objektina mahdollisti uudenlaiset operaatiot funktioilla ja johti funktionaaleihin. Sfardin teoria esittää opetukseen selkeän ohjenuoran: operationaaliset käsitteet ennen rakenteellisia käsitteitä. [25] Sfardin mallia soveltaen esimerkiksi pyörteisyys voidaan ymmärtää ensin prosessina, jossa virtauskenttään laitettu testikappale lähtee pyörimään. Pyörimisen prosessi toimii pyörteisyyden operationaalisena mallina. Rakenteellisena mallina pyörteisyyden ominaisuuksiin voidaan kiinnittää abstrakti objekti, vektori, jonka suunta kertoo pyörteisyysakselin ja pituus pyörteisyyden voimakkuuden tarkastelupisteessä. 1 Sfard huomauttaa, että tämä teoria ei välttämättä päde geometriassa, jossa rakenteelliset käsitteet voi olla helpompi hahmottaa kuin proseduraaliset käsitteet [25]. Geometrian opiskelun erilaisesta käsitteenmuodostuksesta puhuu myös Tall [27].

3.2. Teoreettinen viitekehys 25 Sfardin teorian mukaan käsitteiden oppiminen tapahtuu kolmessa vaiheessa [12, 25]: Ensimmäisellä tasolla opiskelija sisäistää (interiorize) prosessin, joka suoritetaan jo olemassa olevalle objektille. Opiskelija tulee taitavaksi prosessin suorittamisessa ja voi ajatella prosessia suorittamatta sitä. Toisessa vaiheessa pitkät toimintojonot tiivistetään (condense) helpommin hallittavaksi kokonaisuudeksi. Pystytään ajattelemaan prosessia kokonaisuutena tarvitsematta ajatella yksityiskohtia. Prosessista on tässä vaiheessa tullut ennemminkin sisäänulos-relaatio kuin operaatio. Kolmannella tasolla matemaattinen hahmo esineellistetään (reify). Tämä tarkoittaa, että käsite ymmärretään objektina, joka on irrotettu siitä prosessista, joka sen tuotti. Objekti saa itsenäisen merkityksen olemalla tietyn kategorian jäsen eikä viittausta alkuperäisen prosessiin tarvita. Tähän uuteen objektiin voidaan nyt kohdistaa erilaisia prosesseja ja sykli alkaa alusta. Sfardin mukaan käsitteiden oppiminen ei aina noudata tätä kehitystä. Voi käydä niin, että opiskelija luo käsitteen ikään kuin tyhjästä alkaen manipuloida käsitettä tiettyjen sääntöjen mukaan aivan kuin se olisi objekti, mutta tuolla objektilla ei kuitenkaan ole minkäänlaista kiinnitystä operationaaliseen rakenteeseen. Matemaattisen käsitteen representaatio on rakentunut itsenäisenä ilman minkäänlaista tarkoitusta. Tästä oppimista haittaavasta käsitetyypistä Sfard käyttää nimitystä pseudo-rakenteellinen (pseudo-structural tai quasistructural) käsite. [25, 12]. Hähkiöniemi korostaa, että esimerkiksi derivaatan käsite saatetaan helposti oppia pseudo-rakenteellisena objektina pelkkiä derivointisääntöjä opettelemalla ilman mitään merkitystä [12]. Tätä tukevia havaintoja oli Berryn ja Newmanin tutkimuksessa [4]. Saman ongelman voi nähdä esiintyvän myös usean muuttujan dierentiaalilaskennassa. Esimerkiksi divergenssin ja roottorin voi oppia pelkkänä symbolisena operaationa vailla minkäänlaista yhteyttä niiden perustana oleviin osittaisderivaattoihin kuuluvaan rajankäyntiprosessiin. Tätä käsitteiden pseudooppimista voidaan verrata fysiikan oppimista häiritsevään kaavatautiin, jossa fysiikkaa opetetaan ja opiskellaan kaavojen kokoelmana vailla kiinnitystä empiiriseen todellisuuteen [15].

26 LUKU 3. Aiemmat tutkimukset ja teoreettinen viitekehys 3.2.3 APOS-teoria matematiikan oppimisesta APOS-teoria on Piaget'n reektoivan abstraktion teorian adaptaatio korkeamman tason matematiikan käsitteiden oppimisen mallintamiseksi. Sen mukaan matemaattisen käsitteen muodostuksen alussa opiskelija tekee konemaisesti vaadittuja toimenpiteitä aiemmin konstruoiduille mielikuvarakennelmille tai fyysisille objekteille. Tämä on toimenpiteiden (action) taso. Vähitellen opiskelija kykenee irrottamaan toimenpiteet kohteestaan ja muodostaa niistä ajatusmallin, jota kutsutaan prosessiksi (process). Prosessi sisältää ajatuksen toimenpiteiden rakenteesta, muttei ole enää sidottu kohteeseen. Seuraavalla tasolla prosessit ruumiillistuvat objekteiksi (object), joita voidaan käsitellä kokonaisina yksikköinä. Eri objekteilla nähdään ominaisuuksia, jotka mahdollistavat niiden keskinäisen vertaamiseen. Opiskelija ymmärtää, että nämä objektit voivat olla itse muunnoksen kohteita. Objektit on myös mahdollista palauttaa takaisin alkuperäisiksi prosesseiksi, joista ne syntyivät. Viimeisellä tasolla toimenpiteet, prosessit ja objektit jäsentyvät mielessä tomintamalliksi (schema). Se on opiskelijan muodostama viitekehys opiskeltavasta käsitteestä. Opiskelijalle on muodostunut valmiudet erottaa, mitkä ilmiöt kuuluvat viitekehykseen ja mitkä eivät. Tätä nelitasoisen kehityksen englanninkielisten alkukirjainten mukaan nimettyä mallia kutsutaan APOS-teoriaksi. Tasojen luokittelu on esitetty kootusti taulukossa 3.1. Teoriaa voidaan käyttää esimerkiksi paloiteltaessa yliopistokurssien käsitteitä ns. geneettisiin osiinsa, joiden avulla opetusta voidaan suunnitella siten, että se seuraa opiskelijoiden matemaattisen käsitteen muodostuksen etenemistä. [8, 2] 3.2.4 Matemaattisen ajattelun kolme maailmaa Tall esitti vuonna 2004 mallin, josta hän käyttää nimitystä kolme matematiikan maailmaa [27]. Tässä mallissa kognitiivinen kehitys jaetaan kolmeen erilliseen, mutta keskenään vuorovaikuttavaan kehityksen kategoriaan. Ensimmäinen maailma lähtee havainnoista, joita teemme ajattelemalla ja aistimalla erilaisia asioita sekä fysikaalisessa maailmassa että omassa ajatusmaailmassamme. Voimme kiinnittää huomiota tiettyihin havaintojemme ominaisuuksiin, joiden pohjalta näemme mielessämme idealisoituja käsitteitä, joille ei ole enää vastinetta ympäröivässä maailmassamme. Tall käyttää tästä nimitystä `käsitteellisesti ruumiillistunut maailma' (conceptual-embodied world) tai lyhyesti `ruumiillistunut maailma'. Tämä käsite sisältää oikeiden reaalimaailman