9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen.

128 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9. Dualiteetti Jos E on vektoriavaruus, niin merkintä E = L(E, K) tarkoittaa avaruuden E algebrallista duaalia. Duaalin E ovat avaruuden E lineaarisia muotoja. Jos x E ja x E, niin usein merkitään x, x funktiomerkinnän x (x) sijasta. Ehto (x, x ) x, x määrittelee niin sanotun kanonisen bilineaarimuodon E E K. Normiavaruuden tapauksessa x E voi olla jatkuva tai epäjatkuva, joten tämän motivoimana määrittelemme. 9.1. Määritelmä. Jos E on normiavaruus, niin E = L (E, K) on avaruuden E (topologinen) duaali. Siis E = { x : x on jatkuva lineaarikuvaus E K } ja E on avaruuden E vektorialiavaruus. Jos E on äärellisulotteinen, niin E = E. Muussa tapauksessa E E. Jos x E, niin funktionaalin x normi on Lauseen 6.1 sivulla 97 nojalla x = sup x, x. x 1 Siis (E, ) on normiavaruus saman Lauseen 6.1 nojalla. 9.2. Lause. Jos E on normiavaruus, niin (E, ) on Banachin avaruus. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen. 9.3. Esimerkki. Olkoon 1 < p < ja q = p/(p 1), eli 1 p + 1 q = 1, joten p ja q ovat duaalieksponentteja (katso luku 2, Määritelmän 2.13 sivulla 14 jälkeinen teksti). Näytämme, että avaruuden (l p, p ) duaali on isomorfinen avaruuden (l q, q ) kanssa. Merkitään kun k N, ja kun x = (x k ) k e k = (,...,, 1,,... ) l }{{} p, k 1 kpl. s n (x) = l p ja n N. Tällöin x k e k, k=1 ( lim x s n(x) p = n k=n+1 x k p ) 1/p =,

eli FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 129 x = x k e k. k=1 Jos x (l p ), x l p ja n N, niin s n (x), x = x k e k, x =: k=1 x k y k. Koska lim s n (x) = x ja x on jatkuva, niin lim s n (x), x = x, x, siis (9.4) x, x = x k y k. Näytämme, että (y k ) k ja asetetaan jokaisella n N Tällöin w n p p = k=1 k=1 l q. Merkitään y k q, kun y k, α k = y k, kun y k =, w n = α k e k l p. k= α k p = k= y k p(q 1) = k= y k q. Sijoitetaan kaavaan (9.4) muuttujan x paikalle w n. Nyt A := y k q = α k y k = w n, x = w n, x w n p x (9.5) k= k= k= ( ) 1/p = y k q x = A 1/p x k= Kerrotaan yhtälö (9.5) puolittain luvulla A 1/p, jolloin saadaan Siis y = (y k ) k asettaen ( ) 1/q A 1 1/p = A 1/q = y k q x. k= l q ja y q x. Määrittelemme kuvauksen T : (l p ) l q T x = y, missä siis y = (y k ) = ( e k, x ). Suoraan määritelmästä seuraa, että T on lineaarinen kuvaus, ja edellä totesimme, että T x q x,

13 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI joten T on jatkuva. Jos T x =, niin e k, x = kaikilla k N, ja siis s n (x), x = x k e k, x =, k= kaikilla (x k ) l p ja kaikilla n N. Koska x on jatkuva ja lim s n (x) = x, niin päättelemme, että x, x = jokaisella x l p, joten x =. Siispä T on injektio. Jos x = (x k ) l p ja y = (y k ) l q, niin Hölderin epäyhtälön (Lause 2.17 sivulla 14) mukaan ( ) 1 ( ) 1 x k y k x k p p y k q q. k=1 k=1 Tästä seuraa, että kuvaus Λ y : x x k y k on jatkuva lineaarinen kuvaus l p K, joten se on eräs duaaliavaruuden (l p ) alkio, ja sen normi k=1 ( ) 1 Λ y y k q q k=1 = y q. Määritellään kuvaus S : y Λ y. Edellisen perusteella S on jatkuva lineaarinen kuvaus S : l q (l p ), jolle Sy y q jokaisella y l q. Suoraan operaattorin S määritelmän nojalla e k, Sy = y k jokaisella k N, joten T Sy = y kaikilla y l q. Siis T ((l p ) ) = l q ja koska T jo edellä todettiin injektioksi, se on siis bijektio ja S on operaattorin T käänteiskuvaus. Olkoon nyt x (l p ) ja y = T x. Tällöin siis Sy = x ja x = Sy y q = T x q x. Tästä seuraa, että T x q = x joten T on isometrinen isomorfismi (l p ) l q. Voimme siten samaistaa avaruudet (l p ) ja l q. Tämän takia usein merkitäänkin q = p. Koska p ja q ovat symmetrisessä asemassa keskenään, niin vastaavasti l p ja (l q ) voidaan samaistaa keskenään isometrisesti isomorfisina avaruuksina. Siispä ((l p ) ) = (l p ) = (l q ) = l p. Tämä tulos ilmaistaan sanomalla, että l p on refleksiivinen avaruus, kun 1 < p <.

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 131 Jos x = (x k ) l p ja x = (y k ) l q, niin kanoninen bilineaarimuoto voidaan siis esittää muodossa (9.4): x, x = x k y k. Jos erityisesti p = q = 2, niin tarkasteltavana on Hilbertin vektoriavaruus l 2. Tällöin on siis edellisen mukaan (l 2 ) = l 2 ja kanoninen bilineaarimuoto voidaan tulkita sisätuloksi k= x, x = ( x y ), missä y = (y k ) k l 2. Kuvaus y = (y k ) k (y k ) k = y on tässä tapauksessa liittolineaarinen ja isometrinen bijektio l 2 (l 2 ). Tähän asiaa palataa yleisemmissä puitteissa. 9.6. Esimerkki. Olkoon Ω R n, n 1, esimerkiksi avoin osajoukko ja µ Lebesguen mitta avaruudessa R n. Olkoon 1 < p <. Silloin avaruuden L p (Ω) duaali on luonnollisella tavalla isometrisesti isomorfinen avaruuden L q (Ω) kanssa, missä q on jälleen p:n duaalieksponentti. Tarkemmin sanoen jokaista ϕ (L p (Ω)) vastaa yksikäsitteinen g L q (Ω), jolle f, ϕ = f(x)g(x)µ(dx), jokaisella f L p (Ω). Ω Katso esimerkiksi W. Rudin: Real and Complex analysis, Theorem 6.16. Edelleen, ϕ = g q. Tulos pätee myös tapauksessa p = 1 (jolloin q = ), mutta tulos ei ole voimassa, kun p =. Huomautettakoon vielä, että täysin edellisen kaltaisella päättelyllä voidaan osoittaa, että avaruuden l 1 duaali (l 1 ) on isometrisesti isomorfinen avaruuden l kanssa. Sen sijaan avaruuden l duaali (l ) ei ole isomorfinen avaruuden l 1 kanssa. Itse asiassa duaalia (l ) ei voida esittää minään jonoavaruutena, vaan sen luonnollisen esityksen muodostavat äärellisesti additiiviset joukkofunktiot ba (N) eli äärellisesti additiiviset mitat (kts. Köthe, Topologische Lineare Räume, 31) Hilbertin avaruuden duaali Olkoon E Hilbertin avaruus ja x E. Olkoon f x : E K kuvaus z ( z x ), z E. Välittömästi voimme todeta, että f x on lineaarinen. Cauchy Schwarzin epäyhtälön mukaan f x (z) = ( z x ) z x

132 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI jokaisella z E, joten f x on jatkuva eli f x E. 9.7. Lause (Fréchet Rieszin lause). Jos E on Hilbertin avaruus ja f x (z) = ( z x ), kun x E ja z E, niin kuvaus Λ: x f x määrittelee liittolineaarisen ja isometrisen bijektion E E. Todistus. Kuvauksen Λ liittolineaarisuus on ilmeinen. Koska on f x E ja f x x. Toisaalta f x (z) x z, x 2 = ( x x ) = f x (x) = f x (x) f x x, joten x f x ja siis f x = x, eli kuvaus Λ on isometria E E. Koska jokainen isometria on injektio, niin olemme jo osoittaneet, että kuvaus Λ on jatkuva lineaarinen injektio, joka on lisäksi isometria. Näytämme seuraavaksi, että Λ on surjektio E E. Olkoon siis f E. Jos f =, niin f(z) = ( z ) jokaisella z E, eli f = f. Olettakaamme siis, että f. Merkitään M = Ker (f) = { z E : f(z) = }. Koska f on jatkuva ja yksiö {} on suljettu skalaarikunnassa K, on M = f 1 ({}) avaruuden E suljettu vektorialiavaruus. 14 Lauseen 4.26 sivulla 63 nojalla E = M M. Koska f, on M E, joten M { }. Siispä löytyy sellainen y M, että y. Olkoon z E; tällöin f(f(z)y f(y)z) = f(z)f(y) f(y)f(z) =, joten f(z)y f(y)z Ker (f) = M. Koska y M, niin tästä seuraa, että ( f(z)y f(y)z y ) = f(z)( y y ) f(y)( z y ) =. Koska y, niin ( y y ) = y 2 >, joten edellisestä saadaan esitys f(z) = ( z f(y) y 2 y ) =: ( z x ), kun z E. Olemme siis osoittaneet, että f(z) = ( z x ) = f x (z) jokaisella z E, joten f = f x ja siis kuvaus Λ on surjektio E E. Fréchet Rieszin lauseen mukaan Hilbertin avaruuden E jokainen jatkuva lineaarimuoto voidaan esittää sisätulon avulla seuraavasti: z ( z x ), missä 14 kts. Topologia I, 15.2.

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 133 vektorix E on yksikäsitteisesti määrätty ja kyseessä olevan lineaarimuodon normi on x. Kuvausta x f x sanotaan usein kanoniseksi kuvaukseksi E E. Hahn Banachin lause Olkoon E Hilbertin avaruus, M E sen suljettu aliavaruus, F normiavaruus ja T L (M, F ). Tällöin T voidaan jatkaa jatkuvana lineaarikuvauksena koko avaruuteen E, toisin sanoen löytyy sellainen T 1 L (E, F ), jolle T 1 x = T x, kun x M ja vieläpä T 1 = T. Tämä jatko saadaan käyttämällä ortoprojektiota P M : E M ja määritellään T 1 := T P M. Jätämme lukijalle harjoitustehtäväksi näyttää, että T 1 on vaadittu jatko. Jos E onkin vain Banachin avaruus, ei tälle jatkamisongelmalle aina ole ratkaisua! Esimerkiksi, jos M = c ja E = l, niin M E on avaruuden l suljettu vektorialiavaruus. Valitaan edelleen F = c ja T L (M, F ) identtinen kuvaus. Kuitenkin tiedämme, että ei ole olemassa operaattoria T 1 L (E, F ), jolle pätisi T 1 x = T x jokaisella x M! Hahn Banachin lause liittyy tähän jatkamisongelmaan. Sen seurauksena tiedetään, että E on Banachin avaruus ja F on äärellisulotteinen, niin tällöin jokainen T L (M, F ) voidaan jatkaa jatkuvana lineaarisena operaattorina koko avaruuteen E. Hahn Banachin lause liittyy myös seuraavaan ongelmaan: jos E on normiavaruus ja x, y E, x y, niin löytyykö sellainen duaalin E alkio, että x, x y, x. Siis tämä on eräänlainen tunnistamisongelma; kykenemmekö me erottamaan avaruuden pisteitä jatkuvilla lineaarisilla funktionaaleilla? Yleisemmin, minkälaiset konveksit joukot voidaan separoida toisistaan duaalin E alkioilla. Hahn Banachin lause antaa näihin ongelmiin vastauksen. Lause on hyvin syvällinen, sillä se on itse asiassa ekvivalentti Zornin lemman ja siten valintaaksiomin kanssa. Aloitamme todistuksen seuraavalla aputuloksella, jota voi ajatella eräänlaisena induktioaskeleena, sillä Zornin lemma on myös ekvivalentti ns. transfiniittisen induktion kanssa. 9.8. Lemma. Olkoon E vektoriavaruus, jonka skalaarikuntana on R. Olkoon M E aito vektorialiavaruus, p seminormi avaruudessa E ja f sellainen lineaarimuoto M R, että f(u) p(u) aina, kun u M. Jos tällöin z E \ M ja M 1 = M span (z), niin on olemassa sellainen lineaarimuoto

134 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI f 1 : M 1 R, että f 1 (u) = f(u) jokaisella u M ja f 1 (w) p(w) kaikilla w M 1. Todistus. Jos x, y M, niin Siispä f(x) f(y) = f(x y) p(x y) p(x + z) + p( y z) = p(x + z) + p(y + z). p(y + z) f(y) p(x + z) f(x), aina, kun x, y M. Koska edellisen arvion oikea puoli ei riipu muuttujasta y, niin sup( p(y + z) f(y)) p(x + z) f(x) y M ja edelleen, koska edellisen arvion vasen puoli ei riipu muuttujasta x, niin sup( p(y + z) f(y)) inf (p(x + z) f(x)) y M x M Tästä voimme päätellä, että on olemassa sellainen vakio c R, että (9.9) p(y + z) f(y) c p(x + z) f(x) kaikilla x, y M. Tämän vakion avulla saamme nyt laajennuksen määriteltyä avaruuteen M 1. Jos w M 1 = M span (z), niin w = u + λz, missä u M ja λ R ovat yksikäsitteiset. Määritellään f 1 : M 1 R asettamalla f 1 (w) = f 1 (u + λz) = f(u) + λc, missä c on epäyhtälöparissa (9.9) esiintyvä vakio. Tällöin f 1 M 1 ja f 1(u) = f(u) jokaisella u M. Pyrimme osoittamaan, että f 1 (w) p(w). Tapaus λ = on selvä, koska f p aliavaruudessa M. Olkoon siis λ. Epäyhtälöparista (9.9) seuraa, että kun u M ja siis p(λ 1 u + z) f(λ 1 u) c p(λ 1 u + z) f(λ 1 u), 1 λ p(u + λz) 1 λ f(u) c 1 λ p(u + λz) 1 λ f(u), mikä on yhtäpitävä epäyhtälöparin (9.1) 1 λ p(w) c + 1 λ f(u)) 1 λ p(w) kanssa. Koska c + 1 λ f(u) = 1 λ (f(u) + λc) = 1 λ f 1(w),

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 135 niin havaitaan, että epäyhtälöpari (9.1) voidaan kirjoittaa muodossa mikä osoittaa väitteen. 1 λ p(w) 1 λ f 1(w) 1 λ p(w) = f 1(w) p(w), Lemma 9.8 ilmaisee siis sen, että seminormin majoiroima vektorialiavaruuden lineaarimuoto voidaan jatkaa samanlaiseksi muodoksi yhtä dimensiota laajempaan avaruuteen. Seuraavaksi osoitetaan, että se voidaan jatkaa koko avaruuteen. 9.11. Lause (Hahn Banach). Olkoon E R-vektoriavaruus, M sen vektorialiavaruus, p seminormi avaruudessa E ja f sellainen lineaarimuoto M R, että f(u) p(u), kun u M. Tällöin on olemassa sellainen lineaarimuoto g : E R, että g(u) = f(u), kun u M ja g(x) p(x), kun x E. Todistus. Todistuksen alkuun tarvitsemme hieman merkintöjä. Kun N 1 N 2 on kaksi avaruuden E vektorialiavaruutta, h 1 L(N 1, R) ja h 2 L(N 2, R), niin merkitsemme h 1 h 2 h 2 (x) = h 1 (x), kun x N 1. Kun N M on avaruuden E vektorialiavaruus, niin asetamme F N = { h L(N, R) : f h, ja h(x) p(x), kun x N }. Tämän jälkeen merkitsemme vielä F = { F N : N on avaruuden E aliavaruus ja N M }. Tällöin f F M F, joten F. Edelleen havaitsemme, että (F, ) muodostaa osittain järjestetyn joukon. Olkoon G = { h i F Ni : i I } jokin joukon F täysin järjestetty osajoukko. Tämä tarkoittaa sitä, että jos h, g G, niin h g tai g h. Nyt yhdiste N = i I N i on avaruuden E vektorialiavaruus, kuten helposti huomataan sen perusteella, että G on täysin järjestetty. Voimme määritellä lineaarimuodon k L(N, R) asettamalla k(x) = h i (x), kun x N i, mikä on hyvin määritelty, sillä jos x N i N j, niin tällöin h i (x) = h j (x). Kuvauksen k lineaarisuus seuraa jälleen välittömästi siitä, että G on täysin

136 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI järjestetty. Suoraan kuvauksen k määritelmän seuraa, että k F ja h i k kaikilla i I. Toisin sanoen k on joukon G yläraja. Zornin lemman (kts. Appendix tai Topologia II, luku 17) nojalla joukossa F on siten (ainakin yksi) maksimaalinen alkio g : W R. Jos W E, niin on olemassa z E \ W ja nyt Lemman 9.8 nojalla löytyy sellainen lineaarimuoto g 1 : W span (z) = W 1 R, että g(x) = g 1 (x) kun x W ja lisäksi g(x) p(x) kaikilla x W 1. Todistuksen merkintöjen mukaan tämä tarkoittaa, että g 1 F W1 ja g g 1. Siispä g 1 F, mutta g g 1, joten g ei olisikaan maksimaalinen alkio. Näin ollen on välttämättä W = E ja g on siten etsitty lineaarinen muoto E R. Lauseen 9.11 perustyyppi on ensimmäisen kerran esiintynyt (hieman rajoitetummassa muodossa) eräässä Hahnin julkaisussa vuonna 1927, ja hiukan Lausetta 9.11 yleisemmässä muodossa Stefan Banachilla vuodelta 1929. Näissä on oleellista se, että E on reaalinen vektoriavaruus. Tämän lauseen yleistivät kompleksiseen avaruuteen vuonna 1938 samanaikaisesti Yhdysvalloissa Bohnenblust ja Sobczyk, sekä Neuvostoliitossa Suhomlinov. Olkoon E kompleksinen vektoriavaruus. Koska R voidaan tulkita kompleksilukujen C alikunnaksi, on tulo λx määritelty, kun λ R ja x E, joten E voidaan luonnollisella tavalla varustaa myös R-vektoriavaruuden struktuurilla. Merkitsemme E r :llä avaruutta E tulkittuna reaaliseksi vektoriavaruudeksi. Olkoon f lineaarimuoto E C, eli f E. Merkitsemme f(x) = f 1 (x) + if 2 (x), kun x E ja missä f 1 (x), f 2 (x) R ja edelleen f 1 = 1 (f + f), 2 g 2 = 1 (f f). 2i Siispä f 1, f 2 ovat R-lineaarisia muotoja E r x E, niin R. Koska f(ix) = if(x), kun f(ix) = f 1 (ix) + if 2 (ix) = i(f 1 (x) + if 2 (x)) = if 1 (x) f 2 (x). Tästä seuraa, että f 1 (ix) = Re (f(ix)) = Re (if 1 (x) f 2 (x)) = f 2 (x), eli f 2 (x) = f 1 (ix), joten saamme esityksen (9.12) f(x) = f 1 (x) if 1 (ix), kun x E.

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 137 Kääntäen, jos f 1 on lineaarimuoto E r R ja asetamme f(x) = f 1 (x) if 1 (ix), kun x E. Siis f on kuvaus E C. Koska f 1 (x + y) = f 1 (x) + f 1 (y), niin välittömästi toteamme kuvauksen f määritelmän nojalla, että f(x + y) = f(x) + f(y). Jos x E, niin f(ix) = f 1 (ix) if 1 ( x) = f 1 (ix) + if 1 (x) = i(f 1 (x) if 1 (ix) = if(x). Olkoon nyt c = a + ib C, missä a, b R, ja olkoon x E. Edellä tehtyjen havaintojen nojalla on tällöin f(cx) = f((a+ib)x) = f(ax)+f(ibx) = af(x)+if(bx) = (a+ib)f(x) = cf(x). Siis f on lineaarimuoto E C. Olemme siten todistaneet, että algebrallisen duaalin E alkiot ovat täsmälleen ne kuvaukset f : E C, jotka voidaan esittää muodossa f(x) = f 1 (x) if 1 (ix), missä f 1 on R-lineaarimuoto E r R. Tämän avulla voimme nyt osoittaa kompleksisen version Hahn Banachin lauseesta. 9.13. Lause (Bohnenblust Sobczyk Suhomlinov). Olkoon E vektoriavaruus, jonka skalaarikuntana on K, missä K = R tai K = C. Olkoon M avaruuden E vektorialiavaruus, p seminormi avaruudessa E ja f sellainen lineaarimuoto M K, että f(u) p(u), kun u M. Tällöin on olemassa sellainen lineaarimuoto g : E K, että g(u) = f(u), kun u M, ja g(x) p(s) kaikilla x E. Todistus. Tapaus K = R on sama kuin Lause 9.11. Olkoon K = C. Tällöin (9.14) f(u) = f 1 (u) if 1 (iu), kun u M, missä f 1 on R-lineaarimuoto M r R. Koska niin f 1 (x) = 1 (f(x) + f(x)), 2 f 1 (x) = 1 2 f(x) + f(x) 1 ( f(x) + f(x) ) = f(x), 2 ja siis f(x) p(x), kun x M. Hahn Banachin lauseen 9.11 nojalla on siis olemassa sellainen R-lineaarinen muoto g 1 : E R, että g 1 (u) = f 1 (u), kun u M, ja g 1 (x) p(x) kaikilla x E r. Asetamme: (9.15) g(x) = g 1 (x) ig 1 (ix),

138 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kun x E. Tällöin g on lineaarimuoto E C ja g(u) = f(u), kun u M. Vielä on osoitettava, että g(x) p(x) jokaisella x E. Olkoon x E. Tällöin on olemassa sellainen λ C, että λ = 1 ja g(x) = λ 1 g(x) Tällöin g(λx) = λg(x) = g(x) R, joten kuvauksen g määritelmän (9.15) nojalla on siis g(λx) = g 1 (λx). Koska λ = 1, niin suoraan laskemalla saamme nyt, että g(x) = λ g(x) = λg(x) = g(λx) = g 1 (λx) p(λx) = λ p(x) = p(x). Näin ollen g täyttää vaaditut ehdot. 9.16. Huomautus. Myös Lausetta 9.13 sanotaan usein Hahn Banachin lauseeksi, samoin kuin esimerkiksi seuraavaa lausetta, jota voidaan pitää Lauseen 9.13 seurauslauseena. Seuraavaksi sovellamme edellä olleita lauseita erilaisten jatkuvien lineaaristen funktionaalien rakentamiseen normiavaruuksissa tai Banachin avaruuksissa. 9.17. Lause. Olkoon E normiavaruus, M sen vektorialiavaruus ja u M. Tällöin on olemassa sellainen x E, että u, x = u, u, kun u M, ja x = u. Todistus. Määritellään seminormi p avaruudessa E asettamalla kun x E. Tällöin p(x) = x u, u, u u u = p(u), kun u M ja siis Lauseen 9.13 nojalla on olemassa sellainen x E, että u, x = u, u, kun u M ja x, x p(x) = x u kaikilla x E. Siispä x on jatkuva eli x E, ja x u. Toisaalta, u = sup{ u, u : u 1, u M } = sup{ u, x : u 1, u M } sup{ x, x : x 1, x E } = x, joten x = u.

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 139 Lauseen 9.17 mukaan siis normiavaruuden vektorialiavaruuden jatkuva lineaarimuoto voidaan jatkaa koko avaruuden jatkuvaksi lineaarimuodoksi siten, että sen normi säilyy muuttumattomana (mikä on erityisen hyödyllistä). 9.18. Lause. Olkoon M normiavaruuden E vektorialiavaruus, x E ja d = dist(x, M) >. Tällöin on olemassa sellainen x E, että x (M) = {}, x, x = d ja x = 1. Todistus. Merkitään W = M span (x ). Jos z W, niin z = u + λx, missä u M ja λ K ovat yksikäsitteisiä. Asetetaan z, z = λd. Tällöin z on lineaarinen muoto W K eli z W. Jos λ =, niin z, z = kaikilla z M, joten siis z (M) = {}. Oletamme seuraavassa, että λ. Tällöin z, z = λd λ u λ + x = u + λx = z, sillä d λ 1 u + x, koska λ 1 u M. Siispä z W ja z 1. Näytetään nyt, että z = 1. Tätä varten valitaan ε >. Koska d = inf{ x u : u M }, niin löytyy sellainen u M, että x u < d + ε. Nyt x u, z = x, z = d, joten soveltamlla tietoa (x u)/ x u = 1 saadaan z = sup{ u, z : u W, u 1 } x u, z x u d = x u > d d + ε = 1 ε d + ε, mistä päättelemme, että z 1. Nyt voimme soveltaa Lausetta 9.17, joka takaa sellainen jatkuvan lineaarifunktionaalin x E olemassaolon, jolle x, x = x, z, kun x W, ja x = z. Tällöin x (M) = {}, x, x = x, z = d ja x = 1. 9.19. Seuraus. Jos x on normiavaruuden E vektori, niin on olemassa sellainen x E, että x, x = x ja x = 1. Todistus. Jos M = { }, niin dist(x, M) = x. Väite seuraa siten välittömästi Lauseesta 9.18. 9.2. Seuraus. Jos E on normiavaruus ja x E, niin Todistus. Jos x 1, niin x = sup{ x, x : x E, x 1 }. x, x x x x,

14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI joten sup x, x x. x 1 Jos x =, niin x = = sup x, x, joten oletamme, että x. Nyt Seurauksen 9.19 nojalla on olemassa sellainen x E, että x, x = x ja x = 1, joten x sup x, x. 9.21. Seuraus. Jos E on normiavaruus ja x E on sellainen vektori, että x, x = kaikilla x E, niin x =. Todistus. Jos x, x = kaikilla x E, niin Seurauksen 9.2 nojalla x = ja siis x =. 9.22. Lause. Olkoon M normiavaruuden vektorialiavaruus. Tällöin M on tiheä avaruudessa E silloin ja vain silloin kun avaruudella M on seuraava ominaisuus: Jos x E ja x (M) = {}, niin x =. Todistus. HT 13/26. Bilineaarimuodot ja Lax Milgramin lause Fréchet Rieszin lauseen sovelluksena todistamme Lax Milgramin lauseen, jota voi soveltaa differentiaaliyhtälöihin. Lause koskee Hilbertin avaruuksien bilineaarimuotoja. 9.23. Määritelmä. Olkoon E, F ja G vektoriavaruuksia. Sanomme, että kuvaus B : E F G on bilineaarinen, jos x B(x, y) on lineaarinen jokaisella y F ja y B(x, y) on lineaarinen jokaisella x E. 9.24. Lause. Olkoon E, F ja G normiavaruuksia. Tällöin bilineaarinen kuvaus B : E F G on jatkuva on olemassa sellainen M <, että B(x, y) M x y kaikilla (x, y) E F. Todistus. HT 13/26. Fréchet Rieszin lauseen avulla voimme nyt karakterisoida Hilbertin avaruuksien bilineaarimuodot eli bilineaarikuvaukset, joissa maaliavaruutena on K. 9.25. Seuraus. Olkoon E R-kertoiminen Hilbertin avaruus ja B : E E R bilineaarinen ja jatkuva. Silloin on olemassa yksikäsitteinen T L (E), jolle B(x, y) = ( x T y ) jokaisella x, y E.

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 141 Todistus. Jos y E, niin kuvaus B y : x B(x, y) on jatkuva ja lineaarinen, eli B y E. Fréchet Rieszin lauseen nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen alkio T (y) E, että B(x, y) = ( x T (y) ) jokaisella x E. Kuvaus T : y T (y) on lineaarinen (HT). Se on myös jatkuva, sillä T y 2 = ( T y T y ) = B(y, T y) M y T y, joten T y M y jokaisella y E. 9.26. Määritelmä. Kun E on Hilbertin avaruus, niin sanomme, että bilineaarimuoto B : E E R on koersiivinen, jos löytyy sellainen C >, että B(x, x) C x 2 jokaisella x E. 9.27. Lause (Lax Milgram). Olkoon B jatkuva, koersiivinen bilineaarimuoto Hilbertin avaruudessa E. Jos w E, niin on olemassa yksikäsitteinen u E, jolle (9.28) B(x, u) = x, w jokaisella x E. Todistus. Olkoon w E. Fréchet Rieszin lauseen nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen v E, jolle x, w = ( x v ) jokaisella x E. Seurauslauseen 9.25 mukaan voimme löytää operaattorin T L (E), jolle B(x, y) = ( x T y ) jokaisella x, y E. Koska B on koersiivinen, niin T on bijektio. Valitaan u = T 1 v, jolloin B(x, y) = ( x v ) = x, w kaikilla x E, joten ehto (9.28) on voimassa. Jos myös u 1 toteuttaa ehdon (9.28), on alkion v yksikäsitteisyyden nojalla B(x, u 1 ) = x, w = ( x v ) = ( x T u ) jokaisella x E. Seurauslauseen (9.25) mukaan saamme, että T u = T u 1 ja koska T on bijektio, niin u = u 1. Sovellamme Lax Milgramin lausetta seuraavan epähomogeeniseen Sturmin Liouvillenongelmaan (vertaa luvun 5 käsittelyä) (pu ) + qu = f, kun x (, 1) (SL ) u() =, u(1) =, missä p C 1 (, 1), q C(, 1), f L 2 (, 1) ovat annettuja ja p(x) α > ja q(x). Muistutamme, että H 1 (, 1) = { f H 1 (, 1) : f() = f(1) = } on Sobolevin avaruuden H 1 (, 1) suljettu vektorialiavaruus. Tarvitsemme seuraavan aputuloksen

142 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9.29. Lemma (Poincarén epäyhtälö). On olemassa vakio C >, jolle kaikilla f H 1 (, 1). f H 1 (,1) C f L 2 (,1) Todistus. Jos f H 1 (, 1), niin Lauseen 5.21 sivulla 87 nojalla melkein kaikilla x [, 1] on voimassa x f(x) = f(x) f() = f (t) dt f L 1 (,1), mistä seuraa, että f f 1. Hölderin epäyhtälön nojalla siis f 2 2 f f 1 f 1 f 2 f 2 f 2, joten f 2 f 2. Siispä väite seuraa nyt avaruuden H 1 (, 1) normin määritelmästä. 9.3. Lause. Tehtävällä (SL ) on yksikäsitteinen heikko ratkaisu u H 1 (, 1). Jos f C(, 1), on u C 2 (, 1) ja se on tehtävän (SL ) klassinen ratkaisu. Heikko ratkaisu tarkoittaa tässä funktiota u H 1 (, 1), jolle (9.31) jokaisella ϕ D(, 1). p(x)u (x)ϕ (x) + q(x)u(x)ϕ(x) dx = f(x)ϕ(x) dx Todistus. 1. Kuten luvussa 5 näemme, että jokainen tehtävän (SL ) klassinen ratkaisu on myös heikko ratkaisu. 2. Määritellään Hilbertin avaruudessa E := (H 1(, 1), H 1 (,1) bilineaarimuoto B(u, v) = p(x)u (x)v (x) + q(x)u(x)v(x) dx. Koska p, q C(, 1), niin p, q M jollakin M <. Siispä Hölderin epäyhtälön avulla saamme B(u, v) M u (x)v (x) + u(x)v(x) dx C u H 1 v H 1, joten B on jatkuva. Poincarén epäyhtälön seurauksena B on myös koersiivinen, sillä u 2 H C 1 u 2 L = C u (x) 2 dx Cα 1 p(x)u (x) 2 dx 2 Cα 1 p(x)u (x) 2 + q(x)u(x) 2 dx = Cα 1 B(u, u). Edellä käytimme hyväksi oletusta p(x) α ja q(x).

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 143 3. Löydämme tehtävän (SL ) heikon ratkaisun nyt seuraavasti: Koska f L 2 (, 1) on lineaarikuvaus w(ϕ) = ϕ(x)f(x) jatkuva E R, joten w E. Lax Milgramin lauseen nojalla (sillä B toteuttaa Lax Milgramin lauseen ehdot) löydämme yksikäsitteisen funktion u E, jolle B(ϕ, u) = p(x)ϕ (x)u (x) + q(x)ϕ(x)v(x) dx = w(ϕ) = ϕ(x)f(x) jokaisella ϕ E. Määritelmän (9.31) nojalla tämä on tehtävän (SL ) yksikäsitteinen heikko ratkaisu (sillä D(, 1) E). 4. Kuten luvussa 5, voimme osoittaa, että u C 2 (, 1) jos f C(, 1). Huomautamme vielä, että yleisempi tehtävä (pu ) + ru + qu = f, kun x (, 1) u() =, u(1) =, missä p, q ja f ovat kuten edellä ja r C(, 1), palautuu tehtävään (SL ) kertomalla ylempi yhtälö funktiolla ( x r(t) ) ζ(x) = exp p(t) dt ja käyttämällä identiteettiä ζ p + ζr =. (Katso Brezis, VIII. 4, mistä löytyy myös muita Lax Milgramin lauseen sovelluksia). Biduaali 9.32. Määritelmä. Jos E on normiavaruus, niin E := (E ) on avaruuden E biduaali. Tiedämme jo, että normiavaruuden E biduaali on aina Banachin avaruus. Olkoon x E kiinteä ja tarkastellaan sen määräämää kuvausta J x : E K, J x x = x, x. Havaitsemme, että J x (E ) : kuvaus J x on lineaarinen, sillä J x (x + αy ) = x, x + αy = x, x + α x, y = J x (x ) + αj x (y ), kun x, y E ja α K. Edelleen joten J x on myös jatkuva. J x (x ) = x, x x x,

144 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siispä jokaisella x E, on kuvaus J x E, joka siis riippuu vektorista x. Merkitsemme näin muodostunutta kuvausta J : E E, Jx = J x. Kuvauksen J määrittelee siis ehto x, Jx = x, x, kun x E ja x E. Sanomme, että J on kanoninen kuvaus E E. 9.33. Lause. Jos E on normiavaruus, niin kanoninen kuvaus J : E E on lineaarinen isometria. Todistus. HT 13/26. Koska E on Banachin avaruus, niin lauseen 9.33 mukaan J(E) E on vektorialiavaruus, joka on isometrisesti isomorfinen avaruuden E kanssa. Nyt jos E on Banachin avaruus, niin J(E) on suljettu. Jos E ei ole täydellinen, ei myöskään J(E) ole suljettu. Kuitenkin voimme puhua vektorialiavaruuden J(E) sulkeumasta avaruudessa E. Sanommekin, että Banachin avaruus J(E) on avaruuden E täydentymä ja merkitsemme Ê := J(E). Jokaiselle normiavaruudelle E siis löytyy Banachin avaruus F (esimerkiksi F = Ê) ja sellainen lineaarinen isometria T : E F, että T (E) F on tiheä. Voidaan myös osoittaa, että jokainen tällainen F on itse asiassa lineaarisesti isometrinen täydentymän Ê kanssa. 9.34. Määritelmä. Normiavaruus E on refleksiivinen, jos J(E) = E. Koska E on aina Banachin avaruus, niin välttämätön ehto refleksiivisyydelle on, että E on Banachin avaruus. Jos E on refleksiivinen, niin E ja E ovat toisiinsa nähden symmetrisessä asemassa. 9.35. Esimerkki. a) Jokainen äärellisulotteinen normiavaruus on refleksiivinen: tällöin on nimittäin E = E ja siis dim (E) = dim (E ) = dim (E ), joten J on bijektio. b) Jos 1 < p <, niin l p on refleksiivinen: (l p ) =, missä q on p:n duaalieksponentti (1/p + 1/q = 1), ja x, y = k x k y k, kun x = (x k ) l p, y = (y l ). c) Vastaavasti, jos Ω R n on mitallinen, voidaan osoittaa, että L p (Ω) = L q (Ω). Dualiteetilla on luonnollinen esitys f, g = f(t)g(t)dµ missä f L p (Ω), g L q (Ω). Ω

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 145 d) Seuraavat avaruudet eivät ole refleksiivisiä: c, c, l 1, l, C(, 1), L 1 (Ω) ja L (Ω). e) Olkoon E Hilbertin avaruus, x E ja z E. Jos merkitsemme f x (z) = ( z x ), niin Fréchet Rieszin lauseen mukaan kuvaus x f x on liittolineaarinen ja isometrinen bijektio E E. Tästä seuraa, että kanoninen kuvaus J : E E on bijektio ja siis jokainen Hilbertin avaruus on refleksiivinen. Separoituvan avaruuden tapauksessa tämä tulos sisältyy jo esimerkkiin b). f) Jos E on refleksiivinen avaruus ja M on avaruuden E suljettu vektorialiavaruus, niin M on refleksiivinen (Pettisin lause; kts. esim. Taylor, s. 192) Refleksiivisyys on yhteydessä Banachin avaruuden geometrian esim. Milmanin lauseen muodossa: Jokainen tasaisesti konveksi Banachin avaruus on refleksiivinen.