MAA - HARJOITUSTEN RATKAISUJA TEHTÄVÄ arvosana frekvenssi fx 0 7 8 7 9 0 0 summa a) tyyppiarvo Mo 8, koska sitä on eniten. b) Kurssilla oli oppilasta, joten Md on. ja 7. arvosanan keskiarvo. Niitä jotka saivat enintään arvosanan, on ja kun seiskoja on viisi, niin nämä sanotut arvosanat kuuluvat tähän luokkaan, joten Md 7. c) Yllä olevan taulukon kolmas sarake on kohdassaan arvosanan ja sen saaneiden oppilaiden lukumäärän tulo. x.78.7 f 7 arvosana TEHTÄVÄ 7 8 9 0 luokka -0 < x < -0-0 < x < -0-0 < x < - 0-0 < x < - 0-0 < x < -0 frekv luokka 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x < 0 frekv luokka 0 < x < 0 0 < x < 70 70 < x < 80 80 < x < 90 frekv ()
f -0-0 0 0 0 80 Puttonen pelasi mittauspöytäkirjan mukaan päivänä. Lasketaan yhteen voitot ja tappiot, ja saadaan summaksi 89. Keskimääräinen tappio pelipäivää kohden 89 on siten / d. d Jakaumalla on kaksi tyyppiarvoa, jotka luokkakeskuksin voidaan ilmoittaa, jotta Puttonen hävisi keskimäärin euroa tai voitti vitosen. Nämä saa tietenkin ilmoittaa myös täsmällisin luokkarajoin. TEHTÄVÄ Taulukkoon laskettu suhteelliset frekvenssi prosentteina P T Yhteensä p [P] p(t) p(kaikki) laudatur 7 8 0 0,8 0,709 0,07 magna 08 78 09 0,978 0,909 0,9 cum laude 9 0 0 0,89 0,79 0,007 lubenter 0 77 88 0,9 0,97 0,7 appro 7 087 0,09 0,09 0,008 hylätty 9 9 9 0,089 0,0980 0,0880 summa 7 008 0 ()
POJAt 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0 L M C B A I TYTÖT 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0 L M C B A I KIRJOITTAJAT YHDESSÄ 0, 0, 0, 0, 0,0 0 L M C B A I ()
TEHTÄVÄ x - ( x x) arvosana frekvenssi keskiarvo f ( x x ) -,78 7,90,7077 -,78,9 7,79-0,78 0,,097 7 0,8 0,079 0,9 8 7,8,,997 9,8,0 0,8099 0,8 0,78 0,78 summa 8,87 σ 8.87.8.... TEHTÄVÄ Koulutus-palkka 000 kuukausipalkka 000 000 000 000 000 0 0 koulutustaso Regressiosuoralle saadaan Excel-ohjelman avulla yhtälö palkka. 0. x koulutustaso y. 0. x Korrelaatiokertoimelle ohjelma antaa arvoksi noin 0.788 Regressiosuora on sellainen, joka liittyy kuvaajan pisteisiin mahdollisimman hyvin. Poikkeamien neliöiden summa on mahdollisimman pieni. ()
Tämän (kuvitellun) esimerkin mukaan korrelaatio on melko voimakas. Kannattaa siis hankkia koulutusammatti, mikäli pitää itselleen tärkeänä nostaa kovaa palkkaa. TEHTÄVÄ x 0 8. 7.77 8.0 8.0 TEHTÄVÄ 7 kk 7 8 9 0 MWh.7. 0. 0. 0. 0.8 0.9.9. Σ 7.7 9.8 0.8..... 7. 9. Kuvassa kuukausittain summautuva kulutus. Sähköä kului kaikkiaan 9. MWh 900 kwh ja tästä kertyy kulutetulle energialle hintaa kaikkiaan 900 kwh 0.09 77.0. kwh Vuotuonen sähkölasku on siten 77.0 9 88.0. Kuukaudessa sähköön meni keskimäärin noin 7. Sähkönkulutus, summakäyrä Kulutus [MWh] 0 0 0 7 8 9 0 aika [kk] ()
Kulutetun energian 9. MWh puolikas on 9.7 MWh. Kun tästä pystyakselin pisteestä ammutaan summakäyrälle ja siihen sattuvasta pisteestä kuvan mukaan suoraan vaaka-akselille, näyttäisi vuotuisesta energiasta puolet käytetyn jo ennen maaliskuun loppua. TEHTÄVÄ 8 a) P() / b) P( silmäluku > ) / c) P(pariton) / ½ d) P (silmäluku < ) / ½ e) P(silmäluku ei eikä ) / / TEHTÄVÄ 9 Pelataan korttia: a) P( ) / ¼ b) P(0) / / c) P( 0) / d) P( < kortin silmäluku < 0) 0/ / TEHTÄVÄ 0 Tikka osuu tavalliseen tikkatauluun. Vaikka erilaiset pisteitä antavat tulosmahdollisuudet muodostavat joukon E {,,,,,,7,8,9,0}, niin esimerkiksi tapahtumat P{saadaan } ja P{saadaan } eivät ole symmetrisiä, siis yhtä mahdollisia. Sitä paitsi tikkataulussa taitaa olla reunassa aluetta, josta ei saa ollenkaan pisteitä, joten P{saadaan } ei ole /0. TEHTÄVÄ a) P(voi syödä) 8/0 /. b) P(piimää) 0, koska kaapissa ei kuvauksen mukaan piimäpurkkia ole c) P(pilaantunutta jogurttia) /0 / d) P(joko pilaantunutta tai syömiskelpoista) 0/0. Kyseessä nyt ns. varma tapaus TEHTÄVÄ Vuonna 978 syntynyt henkilö valitaan umpimähkään, esim. väestörekisteritiedostosta. Ainut varma tieto on siis se, että hän on syntynyt vuonna 978 ja on muutoin tyttö. Mahdollisia syntymäpäiviä on, koska 978 ei ole karkausvuosi. ()
Tässä tehtävässä on hyötyä, jos osaa vanhan lorun; syys- huhti- kesä marraskuuss on päivää kolme kymmentä. Kahdeksan kolmatta helmikuussa vaan muissa yksi neljättä. a) P(**78 0N) / 0.087 0.0 b) P(9**78 0N) / 0.0098... 0.00 c) P(**78 0N) 7/ 0.0978... 0.09 TEHTÄVÄ Kun kolminumeroisen luvun numerot arvotaan -kanttisella nopalla, niin todennäköisyyksiä laskettaessa turvaudutaan tuloperiaatteeseen: a) P() b) P() c) P(parillinen) d) P(jokainen numero < ) ( ). 8 ( a) / d) /8) TEHTÄVÄ Nyt kulmien astelukuja hyödynnetään. On siis :lla merkityn sektorin keskuskulma on 0 0, ja nelosella merkityn 7 0. Millä todennäköisyydellä onnenpyörä pysähtyy a) P() 90/0 / b) P( tai tai ) (0 0 90)/0 / c) P(ei nelonen) (0 7)/0 9/ d) P(kulman asteluku) x/0 /, josta o o x 0 8.7 TEHTÄVÄ Kukin ottelu voi päättyä kolmella eri tavalla. Rivejä on siten 9. TEHTÄVÄ a) Ensimmäinen nro voidaan valita tavalla, toinen kolmella, kolmas kahdella. Tuloperiaate antaa, jotta mahdollisuuksia on kaikkiaan. 7()
b) Kukin numero voidaan valita nyt neljällä eri tavalla. Siten mahdollisuuksia on kaikkiaan TEHTÄVÄ 7 Luokassa on oppilasta, joista on tyttöjä. Pojista 7 ja tytöistä on yli 8- vuotiasta. a) P(alle 8 vuotias tyttö) 8 b) P(poika) 7 7 c) P(8 täyttänyt) TEHTÄVÄ 8 a) P(molemmat tyttöjä) b) P(molemmat alle 8-vuotiaita poikia) 0 9 7 TEHTÄVÄ 9 Kun rekisterilaattaa tehtäessä tunnuksessa on kolme kirjainta (käytettävissä kirjainta) ja kolminumeroisesta luvusta, jonka ensimmäinen numero ei saa olla nolla, niin erilaisia laattoja voi tuloperiaatteen nojalla olla 9 0 0 8800 TEHTÄVÄ 0 Suomen kielen aakkosissa on 9 kirjainta. Vokaaleja ovat a, e, i, o, u, y, ä, ö, å eli 9 kappaletta a) P(vokaali) 9/9 9 8 7 9 7 8 8 b) P(vokaali, vokaali, vokaali) 9 8 7 7 8 9 9 9 87 0 9 8 9 0 8 9 c) P(konsonantti, konsonantti, konsonantti) 9 8 7 9 8 7 9 7 9 90/09 0.. Myös konsonanttien todennäköisyys on laskettu periaatteella, ettei sama kirjain saa esiintyä useampaa kertaa. Mikäli saisi, olisi P (0/9) 0. 8()
TEHTÄVÄ a) Valinnassa on järjestys tärkeä, joten erilaisten toimikuntien lukumäärä - alkioisen joukon permutaatioiden lukumäärä:! n(toimikunnat) 000 ( )! 8! (8 )! 7 b) P(kaikki poikia) 0. 00 000 7! (7 )! 8 c) P(kaikki tyttöjä) 0. 88 000 7! (7 )! 7 d) P(JM puheenjohtaja tyttöä) 0. 0 000 TEHTÄVÄ Kolme numeroarvoltaan erilaista pelikorttia voi olla! erilaisessa järjestyksessä, mutta vain yksi näistä on suuruusjärjestys pienimmästä suurimpaan. P(suuruusjärjestys) TEHTÄVÄ Seitsemänhenkisen joukkueen lähtöjärjestyksiä on kaikkiaan 7! a) Kun asetetaan ehto, jonka mukaan kolme poikaa juoksee kolme ensimmäistä osuutta, mahdollisuuksia on! ja vastaavasti tytöt voivat juosta viimeiset neljä vuoroa! erilaisessa järjestyksessä. Poikien järjestysten lukumäärä on riippumaton tyttöjen juoksujärjestyksestä, joten tuloperiaatetta voi soveltaa:!! P(PPPTTTT) 7! b) P(TPTPTPT) 7!. 9()
TEHTÄVÄ a) n(järjestys)! b) sama vastaus c) n! 0 TEHTÄVÄ Auton neljä pyörännapaa voidaan asettaa järjestykseen esimerkiksi kiertämällä autoa myötäpäivään. a) Auton neljällä renkaalla on! erilaista järjestystä ja vain yksi näistä on oikea, jos tahdotaan että jokainen rengas on entisellä paikallaan; P (entiset paikat). b) Kun tarkastellaan autosta kuljettajan puolta, siellä on ollut kaksi rengasta. Jos halutaan renkaiden pyörimissuunnan säilyvän, on kuljettajan puolelle tuotava kuljettajan puolella edellisvuonnakin olleet renkaat, mutta nyt saa eturengas olla takana tai entisellä paikallaan. Kun tämä valinta tehdään, niin jäljellä olevien apumiehen puoleisten renkaiden pyörimissuunta on automaattisesti oikea n(vt) n(ve) n(oe) n(ot) P(pyörimissuunta säilyy) TEHTÄVÄ! a) 0 0!!! d )!! TEHTÄVÄ 7!! b ) c ) 0!!!!! ja e ).!0!! d ) 0!! n n n! n! n(n )!!(n )!!(n )! (n )! n(n ) n n n n n n n(n )(n )! (n )! TEHTÄVÄ 8 Erikan poimiessa kyniä sanotulla tavalla on taustana neljän alkion valinta yhdeksän alkion joukosta, käytetään siis kombinaatioita. 0()
a) P(SSSS) 9 0 0 ja b) P(SSPP) 9 TEHTÄVÄ 9 Tässä asetelmassa on kyse siitä, että valitaan alkion joukosta neljän hengen osajoukkoja. Kombinatoriikkaa jälleen. Olkoon maihin pääsevien suomalaisten lukumäärä k. Ei-suomalaisia valittaessa heitä poimitaan ulkomaalaisen joukosta. a) b) c) 80 P (k 0) 0 70 78 780 P (k ) 70 70 78 0 8 P (k ) ja d) P(k ) 70 78 70 70 8 9 00 e ) P(k ) 70 70 9 8 f) P(k i) 78 78 78 9 9 i 0 ainakin laskimen mukaan. TEHTÄVÄ 0 Hyllyllä on kaikkiaan 0 hattua, ja pomojen hävittyä eteisestä hyllyllä on enää kuusi hattua. Nyt on 0 alkion joukosta poimittu neljä. a) Kun kullakin pomolla tulee olla oma hattunsa, on siepattujen hattujen järjestyskin oltava oikea. Tässä ollaan nyt permutaatioiden alueella. Poimitaan siis 0 alkion joukosta neljän alkion järjestettyjä osajoukkoja, joista hattujen sattuessa oikeille omistajille vain yksi permutaatio on oikea. ()
P(omat hatut) 0!!!7 8 9 0 00 (0 )! b) Kun onnistuneen paon jälkeen istutaan autossa, ja katsellaan hattuja, niin todetaan, että hatut löytävät oikeat omistajat, ehkä tehdään pari vaihtoa. Tässä tilanteessa yksi 0-alkoisen joukon -kombinaatio on vievä suotuisaan tulokseen. P(omat hatut, kun ehkä vaihdettu) 0 0 c) Kun onnistuneen paon jälkeen istutaan autossa, ja katsellaan hattuja, niin todetaan, että kukaan pomo ei löydä omaansa. Jokainen on siepannut henkivartijahatun: P(henkivartijahatut) 0 0 TEHTÄVÄ Pokeriyhdistelmän poiminta, otetaan -alkioisesta joukosta alkion osajoukko. a) Tämä yhdistelmä, neljä korttia samaa maata ja viides muuta maata on avopokerin ns. neljän väri, joka voittaa yhden parin ja neljän sarjan. Suotuisat kortit määrätään useassa vaiheessa: Mikä maa, neljä mahdollisuutta mitkä neljä korttia tätä maata, mahdollisuuksia lopuksi viides kortti, valittuun maahan kuulumaton, 9 mahdollisuutta 9 0 P(neljän väri) 0.0 9890 8 b) P(neliluku), eli kysytään, mistä silmäluvusta kaikki neljä 9890 korttia ( mahdollisuutta) ja sen jälkeen viides kortti on mahdollista valita 8 kortin joukosta. TEHTÄVÄ Poimitaan kahdeksan alkion joukosta kolmen alkion osajoukkoja. Olkoon pilaantumattomien, syömiskelpoisten jogurttien lukumäärä k. ()
0 a) P (k ) 8 8 b) P (k ) P(k 0 tai) P(k 0) P(k ) 0, sillä se vaihtoehto, ettei Helena ei syö yhtään pilaantumatonta, on mahdoton. Hänhän syö 8 8 kolme jogurttia joka tapauksessa, ja pilaantuneita on vain kaksi. 0 c) P (k ) P(k tai ) P(k ) P(k ) 8 8 8 8 TEHTÄVÄ Poimitaan kuuden alkion joukosta alkion osajoukkoja. Olkoon niiden kirjojen lukumäärä, joita Erja ei ole aiemmin lukenut k. a) P(k ) b) On lukenut korkeintaan toisen toteutuu siis silloin, kun on lukenut vain toisen taikka ei kumpaakaan, missä jälkimmäisen vaihtoehdon todennäköisyys laskettiin jo tehtävän ensimmäisessä osassa. Tällöin siis ei-lukemisen kohteeksi joutuneiden kirjojen luku on tai. c) P(k tai k ) 8 TEHTÄVÄ Tässä tehtävässä valitaan yhdeksän alkion joukosta kahden alkion osajoukkoja. ()
a) P( ) 9 0 8 b) P(samanväriset) P( ) P(O O) c) P(eriväriset) P(samanväriset) TEHTÄVÄ 8 9 9 a) P(, ) 0, sillä taskussa ei ole kahta euroa. b) P(SKr,SKr) c) P(saman valtakunnan rahoja) P(SKr,SKr) P(NKr,NKr) d) P(eri valtakunnan rahoja) P(saman valtak) TEHTÄVÄ 8 8 8 7 0 a) P(ykkönen esiintyy) P(ei esiinny) 9 8097 7 7 897 7 b) P( ja esiintyvät) 9 8097 7 7 TEHTÄVÄ 7 8 8 9 7 9 ()
8 a) P(ainakin ässä) P(ei yhtään ässää) 70 9890 0... 0. 9 b) b) P(ainakin ruutu) P(ei yhtään ruutua) 777 9890 7 0.778... 0. 78 90 TEHTÄVÄ 8 a) P(kaikki parittomia) b) P(ainakin parillinen) P(ei yhtään parillista) c) P(ainakin kuutonen) P(ei yhtään kuutosta) TEHTÄVÄ 9 7 ( ) 9 Merkitään A Antti osuu ja A Antti ampuu ohi. Minnalle vastaavasti. a) P(A ja M) 0. 0.7 0. 0.. b) P(A ja M) 0. 0.8 0. 0. c) P(A ja M) 0.7 0.8 0.7 0. TEHTÄVÄ 0 Käytetään edellistehtävän vastaavia merkintöjä; kullekin viljalajille sen ensimmäistä kirjainta. a) P(R ja O ja V ja K) 0.9 0.8 0.7 0. 0.987 0. b) P(R ja O ja V ja K) 0.9 0.8 0.7 0. 0.9 0. 9 c) P(itää vähintään siementä) P(itää siementä) P(kaikki itävät) P (R ja O ja V ja K) P (R ja O ja V ja K) P (R ja O ja V ja K) ()
P (R ja O ja V ja K) P (R ja O ja V ja K) 0.987 0.9 0.8 0. 0. 0.9 0. 0.7 0. 0.0 0.8 0.7 0. 0.9 0.987 0.87 0.0987 0.00787 0.9 0.870 0.8. TEHTÄVÄ a) Olkoon kuutosten lukumäärä k. P(k ) 0. 0 b) Parillisten määrä m. P(m ) 0.. TEHTÄVÄ Olkoon Jämsän kautta ajavien rekkojen lukumäärä k. P(k ) 0. 0. TEHTÄVÄ Kouluviikolla on viisi työpäivää. Ruokailu toistuu siis viisi kertaa, n. Tässä esimerkissä P(etuilu huomataan) p 0., jolloin q 0.8. Tapahtuma joutuu jonon viimeiseksi korkeintaan kerran toteutuu, kun joutuu hännille kerran taikka ei kertaakaan. Olkoon k hännille joutumisien lukumäärä viikon aikana. 0 0 P(k < ) P(k 0) P(k ) 0.8 0. 0.8 0.7. TEHTÄVÄ Merkitään oikein veikattujen otteluiden lukumäärä k. Tässä n. 0 8 88 a) P(k 0) 8 0. 00 0 9 9 b) P (k ) P(k 0) P(k ) ()
7() 0.09 0.08... 9 0 9 09 9 89. TEHTÄVÄ 0.7 9 9 0 0. 0.8 ) P(k 0.08907 9 8 0 0. 0.8 ) P(k 0.007 9 7 0. 0.8 ) P(k 0.000087 97 0 0.8) ( 0) P(k 0.89 97 080 0.8 ) P(k 0.9897088 9 7779 0. 0.8 ) P(k k P(k) likiarvoin 0 0.000087 0.007 0.08907 0.7 0.9897088 0.89 Suurin todennäköisyys viiden laukauksen sarjassa on tapahtumalla, missä jokainen luoti käypi maaliin. 0.08 9 8 9 7 97 0 ) P(k ) P(k 0) P(k ) P(k 0.8 97 080 9 7779 ) P(k ) P(k ) P(k
TEHTÄVÄ 7 Todennäköisyys sille, että umpimähkään valittu käpykyläläinen äänesti, on 79 0.7870. b) Kun poimitaan umpimähkään kolme käpykyläläistä, kaikki kolme olivat 7 äänestäneet todennäköisyydellä ( ) 0.8770... 0. 9. 79 a) Oli jättänyt äänestämättä korkeintaan on ilmaistavissa myös niin, että vähintään kaksi (valituista kolmesta) oli äänestänyt: 7 0 7 P(äänesti ) P(äänesti ) 0.88... 0. 88 79 79 79 TEHTÄVÄ 7 P(0.8xyx.) 0 0 P(0.yyabc ) 0 0 0 00 0 Lieneekö kysymys hiukan huonosti muotoiltu? desimaaliesityksen ensimmäinen numero on tietenkin aina 0 (erittäin pieni todennäköisyys olla ykkönen), ja vasta toinen numero voi olla nollasta eroava. sanalla desimaaliesitys tarkoitetaan kuitenkin sitä numerosarjaa, joka alkaa desimaalipisteen jälkeen. TEHTÄVÄ 8 TEHTÄVÄ 9 Jänne on säteen suuruinen, jos keskuskulma on tasan 0 0. Kun ensimmäinen piste on kiinnitetty, niin toi sen on oltava siitä korkeintaan sillä etäisyydellä, jolla syntyy enintään 0 asteen kulma, kun sanotut pisteet yhdistetään ympyrän keskipisteeseen. Toinen piste voi siis mennä 0 astetta ensimmäisestä kumpaan tahansa kertosuuntaan 0 P 0 Äänestäneitä oli tehtävän 8 mukaan kaikkiaan 7. Taulukossa olevien äänimäärien summa täsmää. Jos valitaan yksi käpykyläläinen umpimähkään, niin 8()
77 P(äänesti kokoomusta) 7 7 P(äänesti SDP) 7 P(äänesti krist. keskusta) 7 77 7 a) Kertolaskusäännön avulla saadaan 0.0008 7 7 7 7 Minkähän takia tämä saattaa olla väärin? Miksikähän tulos 0.09 on suurella todennäköisyydellä lähempänä oikeaa? 7 77 b) P(kukaan ei äänestänyt kokoomusta) 0.08... 0. 7 TEHTÄVÄ 0 α 8 Kun otetaan tarkasteluun kuvan mukainen rajatapaus, missä pylväs juuri ja juuri ulottuu kiskolle, niin saadaan 0 cos α, josta α.09... 8 Pylväällä on täten mahdollisia kaatumissuuntia kaikkiaan sen verran, mitä täydessä kulmassa on asteita eli 0. Näistä kiskolle osumisen kannalta niin sanottuja suotuisia 0 astelukuja on.09... 8.89 0 8.89... P(osuu kiskoon) 0.00... 0.. 0 TEHTÄVÄ Olkoon lottorivissä oikein veikattuja x 9()
P(x P(x 7 0) 9 7 7 ) 9 7 jne. Taulukoidaan 8 8097 8097 0.88 0. k 0 P( x k) 0.88 0. 0.79 0.088 0.0 0.00077 0.00000 P( x 7) 0.00000000 Näiden likiarvojen summa on 0.999987 TEHTÄVÄ Tässä on kyseessä binomitodennäköisyys. Viallisia säätimiä voi olla 0,, tai. 0. P 0. 0. 0 x 0()
0 P(x 0) 0. 0.8 0 P(x ) 0. 0.8 P(x ) 0. 0.8 0 P(x ) 0. 0.8 9 9 008 0.970 0.888 0.0 0.0009 TEHTÄVÄ Olkoon Helenan syömien pilaantuneiden jogurttien lukumäärä x, mikä tässä voi saada arvot 0,,, tai. P(x 0) 0 0 0 0 P(x ) 0 0 P(x ) 0 0 P(x ) 0 0 0 0 ()
P 0. 0. 0. x 0 Ex 0 0 0 0 0 TEHTÄVÄ Mahdolliset sikaparimassat ovat (77, 8), (77, 9), (77, 98), (8, 9), (8, 98) tai (9, 98). Satunnaismuuttuja x voi siten saada arvot 8, 9 tai 98 kg. Alkeistapauksia on nyt ainoastaan kuusi kappaletta. P (x 8) P(x 9) P(x 98) P / / x 8 9 98 8 8 9 Ex 8 9 98 9 0 ()
Dx 00 8 (8 9) (9 9) (98 9) Vastaus: odotusarvo on 9 kg ja keskihajonta on kg. TEHTÄVÄ Kutsuttuja miehiä eli satunnaismuuttuja x voi saada arvot 0,,, tai. P(x 0) 9 P(x ) P(x ) P(x ) 0 P(x ) 0 0 0 Ex 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 Dx (0 0 ) 9 0 ( 0 ) 9 0 ( 0 ) 9 0 ( 0 ) 9 ( 0 ) 9 0 0(9 0) 0(8 0) 0(7 0) (9 0) 9 8 90 90 78 8 0. 88 9 9 9 9 ()
TEHTÄVÄ a) Binomijakauman odotusarvo Ex np ja hajonta Dx npq Tapahtuma arvaa oikein toteutuu todennäköisyydellä 0. ja vastaus menee väärin todennäköisyydellä 0.7. Ex 0 0. ja Dx 0 0. 0.7. 9. b) P (x > ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x 0) TEHTÄVÄ 7 0 0 0 7 0. 0.7 0. 0.7 0. 0.7 0 8 0 9 0 0. 0.7 0. 0.7 0.7 0.09 0.8989 0.89 0.097807 0.09 0.00799 0.77... 0.887... 0.8 x < F(x) 0, sillä P(silmäluku < ) 0 x < F(x) x < F(x) x < F(x) x < F(x) x < F(x) x F(x) P ½ 0 x ()
TEHTÄVÄ 8 Olkoon ruutujen lukumäärä x. 9 P( x 0) 9 P( x ) 9890 9 P( x ) 9890 jne.. 777 9890 09 9890 09 0. 90 78 9890 8 9990 99 0 0. 0.7 x 0 P( x ) 0. 0. 0.7 0.08 0.007 0.0009 ΣP 0. 0.9 0.907 0.9887 0.999 Likiarvojen summa 0.9999. Todennäköisyysjakauma janadiagrammina. Pari viimeistä janaa on käytetyssä mittakaavassa sangen lyhyitä. 0. 0. 0. ruutujen lukumäärä 0 Kertymäfunktion arvot saadaan yllä olevasta taulukosta alimmalta riviltä. Otetaan kuitenkin huomioon, että F(x) 0, kun x < 0. ()
F(x) 0.8 0. 0 TEHTÄVÄ 9 Neljän pennun joukossa voi olla naaraita 0,,,, tai kappaletta. Tämä on binomitodennäköisyyttä. P(x 0) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P 0.0 0. pennut 0 Kertymäfunktiolle: x < 0 F(x) 0, sillä P(naaraiden määrä < 0) 0 0 x < F(x) x < F(x) x < F(x) x < F(x) x F(x) ()
F(x) 0. 0 x TEHTÄVÄ 0 On annettu f(x) kx, kun 0 x 0, muulloin a) Origosta alkava, pisteeseen (, k) päättyvä suoran pätkä, jana, rajoittaa yhdessä x- akselin ja suoran x kanssa kolmion, jonka alan tulee olla yksi. Jos k > 0, jana on nouseva ja täyttää tiheysfunktion merkkikriteerin. Rajoittuvan kolmion kateetit ovat ja k. A ½ k k 8 b) 0. Tiheysfunktion kuvaaja yhtyy x-akseliin, kun x < 0 taikka kun x >. c) Kertymäfunktio F(x) 0, kun x < 0 ja F(x), kun x >. Entä väli 0? x x x F(x) 8 Siis 0, kun x 0 F(x) x, kun 0 < x, kun x > 7()
F(x) x (½) d) P(x < ½) F(½) P( < x < ) F() F() 8 TEHTÄVÄ On annettu f(x) c, kun 0 x < 0 0, muualla a) Tämä funktio on tiheysfunktio, jos ensiksikin c > 0 ja toisekseen toteutuu ehto c 0 c. 0 f(x) tiheysfunktio 0.0 b) Kertymäfunktio F(x) 0 x 0, kun x 0 x, kun 0 < x < 0. 0, kun x 0. 0 0 8()
c) P(x <.) F(.) 0. P(x >.8) P(x <.8) -F(.8) 0.8 0.7 P(. < x <7.7) F(7.7) F(.) 0.77 0. 0.. TEHTÄVÄ x, kun x 0 On suoraan annettu satunnaismuuttujan kertymäfunktio F(x) x 0, kun x < 0 a) P(x < ) F () 7 b) P( < x < ) F () F() 7 c) P(x > ½) P(x < ½) F(½). TEHTÄVÄ On annettu eräs funktio f(x) kx k,kun x < 0,muualla f() k k k f() k k 0 Funktion f kuvaaja välillä on jana, jonka päätepiste on y-akselilla. Alkupisteen täytyy olla > 0, joten kertoimen k on oltava negatiivinen ja jana on siten laskevan suoran osa. Tiheysfunktio rajoittaa x-akselin ja suoran x kanssa kolmion, jonka kateetit ovat ja k. On siis oltava ½ ( k) k ½. x 9()
Jotta saisi kertymäfunktion selville välillä, tulisi pystyä laskemaan sen puolisuunnikkaan pinta-ala, jota rajoittavat suorat x, x x, x-akseli ja funktion x f(x) kx k ½( x) kuvaaja. Puolisuunnikkaan korkeus on x ja sen kannat, yhdensuuntaiset sivut pituudeltaan f() ja ½( x). x Välillä on kertymäfunktion lauseke F(x) x (x ) (x ) x x x x x. Tämä saattaa olla oikein laskettu, koska F() 0 ja F(), kuten pitää ollakin. P(x < ) F() P(. < x <.) F(.) F(.).... 0 TEHTÄVÄ a) P(x <.0) Φ() 0.8 b) P(x > 0.) P(x < 0.) Φ(0.) 0.77 0.7 c) P(.0 < x <.) Φ(.) Φ() 0.9 0.8 0.099 TEHTÄVÄ a) P(x < x) 0.8 Φ(0.8), josta x 0.8 b) P( x < x < x) 0.90 Φ(x) Φ( x) 0.90 Φ(x) ( Φ(x)) 0.90 Φ(x) 0.90 Φ(x) 0.9, josta x. TEHTÄVÄ a) P(x < 0.) P(x > 0.) P(x < 0.) Φ(0.) 0.8 0. b) P( < x < ) Φ() Φ( ) Φ() Φ() Φ() 0.8 0.8 c) P( 0.0 < x < 0.) Φ(0.) Φ( 0.0) Φ(0.) Φ(0.0) 0.7 0.9 0.7) 0()
TEHTÄVÄ 7 a) P(x < x) 0.97 Φ(x), josta x.97 b) P(x < x) 0.999 Φ(x), josta x.0 c) P(x > x) P(x < x) 0.79 P(x < x) 0.0 Φ(x) Φ( x) 0.0 Φ( x) 0.79 x 0.0 x 0.0. TEHTÄVÄ 8 a) P(0. < x < x) 0. Φ(x) Φ(0.) Φ(x) 0.78 0. Φ(x) 0.880, josta x.8. b) P( x < x < x) 0.0 Φ(x) Φ( x) Φ(x) 0.0 Φ(x) 0.7, josta x 0.7. TEHTÄVÄ 9 a) P(x < ) P( z ) Φ(0.0) 0. 9 0 b) P(x > 0) P( z > ) P(z 0.0 Φ(0.0) 0. 9-0. c) P(0 < x < ) P( z < ) Φ(0) Φ( 0.) 0. Φ(0.) 0.9 0. 0.9. - 0. d) P(0.0 < x <.0) P( z < ) Φ(0.) Φ( 0.) Φ (0.) 0.987 0.97. TEHTÄVÄ 70 Jakaumassa N(00,) 0 00 a) P(x > 0) P(x < 0) P( z ) Φ() 0. 977 0.08 80 00 b) P(x < 80) P( z ) Φ(.) Φ(.) 0. 908 0.098 90-00 0 00 c) P(90 < x < 0) P( z ) Φ(0.7) Φ( 0.7) Φ(0.7) 0.97. (0.0 0.09 0... ; muista desimaalia) ()
TEHTÄVÄ 7 P(z z) 0. P(z > z) 0. P(z < z) 0.7 Φ( z), josta x z 0.8 z 0.8 0.8 x 9.9 Jos pyrkijät on arvosteltu kokonaisin pistein, hyväksymisraja 0 takaa sen, että hyväksyttyjä on vähemmän kuin 7 %. TEHTÄVÄ 7 0 a) P(v > 0) P(v < 0) P( z ) Φ( 0.) Φ(0.) 0.9, joten noin 9 % ajoi liika kovaa. 7 b) P(v > 7) P(v < 7) P( z ) Φ(0.7) 0. 77 0.. Noin % ylitti 7 km/h. 8 c) P(v > 8) P(v < 8) P( z ) Φ(.8) 0. 99 0.07 Vielä lähes % ylitti 8 km/h. TEHTÄVÄ 7 P(z > z) 0.9 P(z z) 0.9 Φ( z) z.7 z.7 a 00.7 a 00.7 a 98.7 Suunnilleen 9 %:ssa pusseista on ainakin 98 g jauhoa. TEHTÄVÄ 7 P(z > z) 0.80 P(z z) 0.80 Φ( z) z 0.8 z 0.8 000 µ 0.8 µ 000 0.8 µ 0. Jos gramman tarkkuuksiin mennään, parasta asettaa 0 grammaa keskikohdaksi. TEHTÄVÄ 7 Kun n 0 ja p 0. niin odotusarvo µ np 7.. Jakauman keskihajonta on 0 0 0. 0.7.7. 7. P (z > ) P(z ) Φ( ) Φ( 0) 0.999 0.0008 0 ()