Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot, hperbelifunktiot, area-funktiot Reaalifunktion käsite; alkeisfunktiot Reaalifunktioilla tarkoitetaan funktioita, joiden lähtöjoukkona on reaalilukujoukko R tai jokin sen osaväli ja jotka ovat reaaliarvoisia, ts. mös maalijoukko on R. Alkeisfunktioiksi kutsutaan tavallisia koulukurssissa ja liopistollisissa peruskursseissa käsiteltjä reaalifunktioita. Ei ole täsin ksiselitteistä, mitä niihin eri hteksissä luetaan. Varsin luonnollisena voidaan pitää seuraavaa listaa: itseisarvofunktio, potenssifunktiot, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot, näiden käänteisfunktiot (arcus-funktiot), hperbelifunktiot, näiden käänteisfunktiot (area-funktiot), edellisistä hdistettinä funktioina saatavat funktiot. Funktioita, joita leensä ei pidetä alkeisfunktioina, ovat esimerkiksi funktiot, jotka määritellään jonkin differentiaalihtälön ratkaisuna tai sarjakehitelmän summana. Monia muitakin, jollakin tavoin epäsuoria tapoja voidaan kättää funktioiden määrittelemiseen. funktio lähtöjoukko väli (reaaliakselin) maalijoukko itseisarvo (reaaliluvun) potenssifunktio polnomifunktio rationaalifunktio eksponenttifunktio logaritmifunktio trigonometrinen funktio (leinen määritelmä) arcus-funktio hperbelifunktio area-funktio hdistett funktio differentiaalihtälö sarja
Reaalifunktiot 2/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot, hperbelifunktiot, area-funktiot Funktion kasvavuus ja vähenevs Reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota kutsutaan kasvavaksi, jos kaikilla tarkastelujoukkoon kuuluvilla arvoilla 1, 2 pätee 1 < 2 = f( 1 ) f( 2 ). funktio kasvava Jos funktionarvojen välillä ei sallita htäsuuruutta, funktio on aidosti kasvava: Ehdot 1 < 2 = f( 1 )<f( 2 ). 1 < 2 = f( 1 ) f( 2 ) ja 1 < 2 = f( 1 )>f( 2 ) merkitsevät vastaavasti, että funktio on vähenevä ja aidosti vähenevä. Terminologia ei ole aivan vakiintunutta. Eri hteksissä saatetaan (aidolle) kasvavuudelle ja (aidolle) vähenevdelle antaa hieman edellisestä poikkeaviakin määritteljä. Voidaan mös kättää toisenlaisia nimitksiä, esimerkiksi ei-kasvava, ei-vähenevä. S on edellä olevien määritelmien hieman erikoisessa piirteessä: Jos funktion arvo on vakio, kseessä on sekä kasvava että vähenevä funktio! Esimerkkejä: Funktio f() = 3 on aidosti kasvava kaikkialla. Funktio f() = 2+ 1 +1 +1on kaikkialla kasvava, mutta ei aidosti kasvava, koska se saa välillä [ 1, 1] vakioarvon 1. vähenevä =2+ 1 +1 +1
Reaalifunktiot 3/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot, hperbelifunktiot, area-funktiot Funktion jaksollisuus; parillisuus ja parittomuus Reaalifunktio f on jaksollinen, jaksona L 0, jos kaikilla on voimassa f( + L) =f(). Tunnettuja esimerkkejä jaksollisista funktioista ovat trigonometriset funktiot sin ja cos, joiden jakso on 2π, sekä esimerkiksi tan, jonka jakso on π. Jos funktion jakso on L, sillä on jaksona mös jokainen nl, missä n on kokonaisluku. Reaalifunktio f parillinen, jos kaikilla pätee f( ) =f(),japariton, jos f( )= f(). Parillisia funktioita ovat esimerkiksi cos ja, parittomia sin ja 3. funktio trigonometrinen funktio (smmetria) pii L parillinen funktio pariton funktio
Reaalifunktiot 4/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot, hperbelifunktiot, area-funktiot Reaalifunktion käänteisfunktio Tunnetun funktion f käänteisfunktio g voidaan usein lötää ratkaisemalla htälö = f() muuttujan suhteen. Jos ratkaisu on ksikäsitteinen tietillä arvoilla, saadaan tästä käänteisfunktion lauseke muodossa = g(). Esimerkiksi funktio f() = 2 3 on määritelt, kun 3. Käänteisfunktio saadaan ratkaisemalla htälöstä = f(): funktio käänteisfunktio htälö = 2 3 = = 3 2 1. Ratkaisu on mahdollinen ja tulos ksikäsitteinen, jos 1. Käänteisfunktio on siis määritelt, kun sen argumentti on 1. Kun tavanomaiseen tapaan merkitään funktion argumenttia, on käänteisfunktion lauseke g() = 3 2 1, 1. Vaikka käänteisfunktio olisi olemassa, ei sille välttämättä saada lauseketta edellä esitetllä menettelllä. Esimerkiksi funktion f() = 5 1+ 2 tapauksessa jouduttaisiin ratkaisemaan viidennen asteen polnomihtälö 5 2 =0, mikä ei ole juurilausekkeiden avulla mahdollista. Tästä huolimatta käänteisfunktio on olemassa, mikä voidaan päätellä osoittamalla funktio f derivaatan avulla aidosti kasvavaksi. Tällöin f on bijektio R R ja käänteisfunktio siis olemassa. Alkeisfunktioiden avulla muodostettua lauseketta sille ei kuitenkaan saada. htälö (polnomi-) juuri (murtopotenssi) derivaatta kasvava bijektio
Reaalifunktiot 5/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot, hperbelifunktiot, area-funktiot Käänteisfunktion kuvaaja Funktion f kuvaaja muodostuu niistä -tason pisteistä (, ), jotka toteuttavat htälön = f(). Josgon funktion f käänteisfunktio, ovat htälöt = f() ja = g() htäpitäviä, jolloin samat pisteet (, ) toteuttavat ne. Käänteisfunktion kuvaajaa piirrettäessä merkitään kuitenkin argumentiksi ja funktion arvoksi, jolloin piirrettävänä ovat ne pisteet, jotka toteuttavat htälön = g(). Tämä poikkeaa edellisestä siten, että ja ovat vaihtaneet rooleja, jolloin käänteisfunktion g kuvaaja saadaan peilaamalla funktion f kuvaaja suorassa =. kuvaaja koordinaatisto (-) käänteisfunktio 2 = f() = = 5 1+ 2 = f 1 () 2 2